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PROGRESIONES ARITMÉTICAS. Son sucesiones construidas añadiendo una cantidad constante a un primer término. Ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19… El primer término es 3 y le añadimos de 4 en 4.
FÓRMULAS 𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + 𝐝. (𝐧 − 𝟏) 𝐚𝐤 = 𝐚𝐩 + 𝐝. (𝐤 − 𝐩)
𝐒𝐧 =(𝐚𝟏 + 𝐚𝐧). 𝐧
𝟐=[𝟐. 𝐚𝟏 + 𝐝. (𝐧 − 𝟏)]. 𝐧
𝟐
1.- De las siguientes sucesiones hallar: a1, d, an, a10, S15. a. 4, 11, 18, 25, 32… b. – 4, – 1, 2, 5, 8…
a. a1 = 4 d = 7 an = 4 + 7.(n – 1) → an = 7n – 3 a10 = 7.10 – 3 = 67
S15 =[2.4 + 7. (15 − 1)]15
2= 795.
B a1 = – 4 d = 3 an = – 4 + 3.(n – 1) → an = 3n – 7 a10 = 3.10 – 7 = 23
S15 =[2. (– 4) + 3. (15 − 1)]15
2= 255.
ANTONIO ANGULO PARRA
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2 2. a.) ¿Qué lugar ocupa el nº 81 en la progresión 1,a.?
b.) ¿Qué lugar ocupa el nº 82 en la progresión 1,b.?
a. Sustituimos an por 81 y despejamos n: 81 = 7n – 3 → n = 12 b. Sustituimos an por 82 y despejamos n: 83 = 3n – 7 → n = 30
3. ¿El nº 181 forma parte de la progresión 1,a.? ¿y el 137?
Sustituimos an por 181 y despejamos n: 181 = 7n – 3 → n = 26’27 no es natural, el nº 181 no es un elemento de la prpgresión 1,a. Sustituimos an por 137 y despejamos n: 137 = 7n – 3 → n = 20. El 137 es el vigésimo término de la progresión 1,a.
4.- Escribe los 5 primeros términos de las siguientes progresiones.
a.) a1 = 3 y a4 = 15
b.) b1 = 19 y b6 = 4
a.
Hallar a1 y d. {a1 = 3
a4 = a1 + 3. d → 15 = 3 + 3. d → d = 4→ 3,7,11,15,19…
b.
Hallar b1 y d. {b1 = 19
b6 = b1 + 5. d → 4 = 19 + 5. d → d = −3→ 19,16,13,10,7…
5.- Escribe los 5 primeros términos de las siguientes progresiones.
a.) a3 = 5 y a7 = 21
b.) b2 = 7 y b6 = 23
a.
Hallar a1 y d. {a7 = a3 + 4. d → 21 = 5 + 4. d → d = 4a3 = a1 + 2. d → 5 = a1 + 2.4 → a1 = −3
→ −3,1,5,9,13…
b.
Hallar b1 y d. {b6 = b2 + 4. d → 23 = 7 + 4. d → d = 4b6 = b1 + 5. d → 23 = a1 + 5.4 → a1 = 3
→ 3,7,11,15,19…
6.- Escribe los 5 primeros términos de las siguientes progresiones.
a.) a1 = 4 y S6 = 69
b.) b1 = 18 y S8 = 3
a. Hallar a1 y d.
{
a1 = 4
Sn =[2. a1 + d. (n − 1)]. n
2→ S6 =
[2. a1 + d. (6 − 1)]. 6
2→ 69 =
[2.4 + d. (6 − 1)]. 6
2→ d = 3
4,7,10,13,16…
ANTONIO ANGULO PARRA
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3 b. Hallar b1 y d.
{
b1 = 18
Sn =[2. b1 + d. (n − 1)]. n
2→ S8 =
[2. b1 + d. (8 − 1)]. 8
2→ 3 =
[2.18 + d. (8 − 1)]. 8
2→ d = −5
18,13,8,3, –2…
7. De una progresión aritmética sabemos que a2 + a5 = 29 y a3 – a1 = 14, hallar los 5 primeros términos.
¿Pertenece el 60 a dicha progresión?
{a2 + a5 = 29 → a1 + d⏞
a2
+ a1 + 4. d⏞ a5
= 29 →⏞si d=7
a1 = −3a3 − a1 = 14 → a1 + 2. d⏟
a3
− a1 = 14 → d = 7 → −3,4,11,18,25 →
an = 7. n − 10 60 = 7.n – 10 → n = 10 → el 60 sí pertenece a la progresión.
8. En un cine, la 3ª fila está a 11 m. de la pantalla y la 6ª a 17 m. ¿En qué fila estoy sentado si estoy a 35
metros de la pantalla?
{a3 = 11a6 = 17
→ {a6 = a3 + 3d → 17 = 11 + 3d → d = 2a3 = a1 + 2d → a1 = 7
→ {an = 7 + 2(n − 1)
35 = 7 + 2(n − 1)→
n = 14
9. En un edificio de planta baja y 6 pisos, el suelo del 2º piso se encuentra a 5,5 m. de altura y el del 4º a
10,5 m. Calcula la altura del edificio.
{a2 = 5,5 a4 = 10,5
→ {a4 = a2 + 2d → 10,5 = 5,5 + 2d → d = 2,5a2 = a1 + d → a1 = 3
El edificio tiene 3 + 6·2,5 = 18 m.
10. a. ¿Cuánto suman los 15 primeros múltiplos de 3?
b. ¿Cuánto suman los múltiplos de 3 de 4 cifras?
a.
{3, 6, 9… {a1 = 3d = 3
→ Sn =[2 · a1 + d · (n − 1)] · n
2;
S15 =[2 · 3 + 3 · (15 − 1)] · 15
2= 360
b.
{1002, 1005,… ,9999 → {n = 3000 a1 = 1002d = 3
→ Sn =[2 · 𝑎1 + d · (n − 1)] · n
2
Sn =[2 · 1002 + 3 · (3000 − 1)] · 3000
2= 13497504
11. Hallar la suma de los múltiplos de 11 comprendidos entre 100 y 570.
ANTONIO ANGULO PARRA
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4 100
11= 9′091 → 11 · 10 = 110
570
11= 51,81 → 11 · 51 = 561
110,… , 561 {𝑎1 = 110𝑑 = 11
→ 𝑎𝑛 = 110 + 11(𝑛 − 1) → 561 = 110 + 11(𝑛 − 1) →
n = 42
Sn =[2 · 𝑎1 + d · (n − 1)] · n
2→ S42 =
[2 · 110 + 11 · (42 − 1)] · 42
2= 14091
ANTONIO ANGULO PARRA
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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. Son sucesiones construidas multiplicando por una cantidad constante a un primer término. Ejemplo: 3, 6, 12, 24, 48… El primer término es 3 y lo vamos multiplicando por 2.
FÓRMULAS
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 · 𝐫𝐧−𝟏
𝐒𝐧 = 𝐚𝟏 ·𝐫𝐧 − 𝟏
𝐫 − 𝟏
𝐒∞ =𝐚𝟏
𝟏 − 𝐫; 𝐬𝐢 𝐫 < 𝟏
1.- De las siguientes progresiones hallar: a1, r, an, a10, S15 y S∞
a.- 3, 6, 12, 24, 48, 96…
b.- 2, 6, 18, 54, 162…
c.- 1280, 640, 320, 160, 80…
a. Al dividir cada término por el anterior nos da siempre 2 a1 = 3 r = 2 an = a1.rn – 1 ; an = 3.2n – 1 a10 = 3.210 – 1 = 1536
𝑆15 = 3.215−1
2−1= 98301
S∞ = ∞, r > 1 b. Al dividir cada término por el anterior nos da siempre 3 a1 = 2 r = 3 an = a1.rn – 1 ; an = 2.3n – 1 a10 = 2.310 – 1 = 118098
𝑆15 = 2.315−1
3−1= 14348906
ANTONIO ANGULO PARRA
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2 S∞ = ∞, r > 1 c. Al dividir cada término por el anterior nos da siempre 1/2 a1 = 1280 r = ½ = 0’5 an = a1.rn – 1 ; an = 1280.0’5n – 1 a10 = 1280.0’510 – 1 = 2’5
𝑆15 = 1280.0′515−1
0′5−1= 2559′9218
S∞ = a1
1−r=
1280
1−0′5= 2560, r < 1
2. ¿El nº 384 pertenece a la progresión 3, 6, 12, 24, 48, 96…?
a1 = 3; r = 2; an = a1.rn – 1; an = 3.2n – 1 → 384 = 3.2n – 1 → 128 = 2n – 1 = 27 → n – 1 = 7; n = 8. El 384 si pertenece a la progresión y ocupa el octavo lugar.
3. ¿El nº 230 pertenece a la progresión 2, 6, 18, 54, 162…?
a1 = 2; r = 3; an = a1.rn – 1 ; an = 2.3n – 1 → 230 = 2.3n – 1 → 115 = 3n – 1; 115 no es potencia de 3, el nº 230 no pertenece a la progresión.
4. Hallar a1 y r en las siguientes progresiones geométricas.
a) a1 = 3; a5 = 48 b) a1 = 1280; a4 = 160
a) a5 = a1.r4 → 48 = 3.r4 → 16 = r4 → r = 2
b) a4 = a1.r3 → 160 = 1280.r3 → 160/1280 = r3 → r = ½
5. Hallar a1 y r en las siguientes progresiones geométricas.
a) a2 = 6; a5 = 162 b) a2 = 9; S∞ = 36
a.
{a2 = 6 a5 = 162
→ a5 = a2 · r3; 162 = 6 · r3 ; r = 3 → a2 = a1 · r → 6 = a1 · 3; a1 = 2
b.
{a2 = 9 S∞ = 36
→ {a2 = a1 · r → 9 = a1 · r
S∞ =a1
1 − r→ 36 =
a1
1 − r
→ {
a1 = 18
r =1
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ANTONIO ANGULO PARRA
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PROGRESIONES