Post on 02-Feb-2016
PROFESORAS: Pía Azócar Farías
Isabel López Castillo
RAÍCES
RAÍCES DEFINICIÓN 1: Si n es un entero par positivo y a es un real no
negativo, entonces es el único real b , no negativo, tal que bn = an a
DEFINICIÓN 2: Si n es un entero impar positivo y a es un real
cualquiera, entonces es el único real b tal que bn = an a
Un error que se comete a menudo es = -5
Lo correcto es = |-5 | = 5
Observa:
Propiedades de las raíces.
1.- Toda potencia de exponente fraccionario se puede expresar como raíz cuyo índice es el denominador del exponente.
1335 5
234
3
2
343
2.- Multiplicación de raíces de igual índice.
Se multiplican las cantidades subradicales y se conserva el índice.
2 35 53 · 5a b abc
2 3 3 2 23 3·p q r p q 4 5 33 p q r
23pqr pq
3 45 15a b c
3 1 3 2 33 p p q q r
3.- División de raíces de igual índice.
Se dividen las cantidades subradicales y se conserva el índice.
3 2 24 418 : 9a b a b 4 2ab
3 2 23 31 1:2 5a b a b 3 52ab
4.- Raíz de raíz.
Se conserva la cantidad subradical y se multiplican los índices.
5 10pq pq 3 3 34 125 5
5.- Amplificación de una raíz.
Si se amplifica el índice de una raíz , se debe amplificar por la misma cantidad cada uno de los términos de la cantidad subradical
3 24 x y · 3 9 612 x y
6.- Simplificar una raíz.
Si se simplifica el índice de una raíz , se debe simplificar por la misma cantidad cada uno de los términos de la cantidad subradical.
10 5 515 p q r 23 p qr: 5
Racionalizar el denominador.
Se trata de transformar una expresión que contenga una raíz en el denominador por otra equivalente que no tenga raíz.
Caso 1 :5 3
·7
7
7
2
5 21
7
5 217
2 35
4m
m p
3 25
3 25·m p
m p
3 25
5 55
4m m p
m p
3 254m m p
mp
3 254 m p
p
Caso 2 :6 3
13 2 2
6 3
13 2 213 2 2
·13 2 2
2 2
6 39 12 6
13 2 2
6 39 12 613 8
6 39 12 65
Caso 3 :
4 - 5 + 3 + 2
1) 3 27
4
4
4
) 30 ) 4 3
) 3 ) 2 3
) 2 3
a d
b e
c
3 27 3 9·3 3 3 3 4 3 4 3
42 3
3 5
22)a b
ab
3 5
2( )a bab
2
2 2
ab aba b
aba
12
) )
( )) )
1)
aa a d
b
ab bb e aa
cab
3) .- El valor numérico de la expresión : 9 3 · 0,33
1 1) 3 )3 31) 3 ) 9
) 3
a d
b e
c
30,3
9
13
9 3 · 0,33
19 3 ·
33
3
3 33
3
4).- Si u = , entonces 2 3 3 ( 2)( 2)u u
( 2)( 2)u u 2 2( 2)u 2 2u
2
2 3 3 2 2 3 3 2 3 3
1) 3 3 ) 31) 2 3 ) 9
) 3
a d
b e
c
5) El valor de es :
a ) 12 d ) - 15 b ) 27 e ) 39 c ) 15
43
21
81144
34 )81(144 3312 2712
15
6.- Si u = 2/3 y v = 5/6 , entonces , la expresión : 2 2v u
17 1) )6 6
1) ) 0,661) 2
a d
b e
c
2 2v u 2 2
5 26 3
25 436 9
25 16
36
936
36
12
2) )
) )
)
xa d x yy
b xy e xy
c x y
2 3
3
x xy
x y
4 3
3
·x xy
x y
5 3
3
x y
x y 2 2x y xy
8
2 3
2 3·
2 3
2 2
16 8 24
2 3
4 2 62 3
2(2 6)1
2( 6 2)
) 2( 6 1) ) 4 6
) 2( 6 2) ) 6 4
) 3(2 6)
a d
b e
c
9. El doble de es igual a:3 4
3 3
3 6
3
) 8 ) 2 8
) 16 ) 64
) 32
a d
b e
c
32 4 33 2 ·4 3 32
10.- La expresión ( - )6 , es igual a:3·5 x
a) 125x2 d) b) 56 x6 e) n.a. c) -125 x2
)5( x
53 · x2 = 125x2
6 635 · x
11.- El valor de : 2
5 2 3
) 13 ) 37 20 3
) 37 10 3 ) 25 20 3
) 25 10 13
a d
b e
c
2
5 2 3 25 20 3 12
37 20 3
2 25 2·5·2 3 (2 3)
) 5 ) 1 5
) 4 3 ) 1 5
) 1 15
a d
b e
c
3 15
3
3·
3 9 45
3 3 3 15
3 3(1 15)
3
1 15
3 1512.
3
2
4
1
16
1 1) )16 21) ) 281) 4
a d
b e
c
2
4
1
16
212
14
13.-
14.- Al racionalizar se obtiene : 5 a
a
5 4
5 35 2
5
)
))
))
ac
aeab
adaa
45
45
5·a
a
a
a
5 5
5 4
a
aa
a
aa 5 4
5 4a
) 5 ) 10
) 2 5 ) 5 10
) 3 5
a d
b e
c
110 5
5 2 1
10 · 55
1
100· 55
20 20 5
5 · 4
2 5 5 5
115) 10 5
5
16.- Si x = 2 , el valor de la expresión es igual a :
2
12
x
9 3) )2 27) ) 225) 2
a d
b e
c
2
12
x
2
12
2
221 1
2· · 2 22 2
12 2
2
14
2 9
2
17.- Cuánto habría que restarle a para obtener52
5
2 2) 5 ) 55 53 3) 5 ) 55 55) 53
a d
b e
c
2
5
5·
5 2 5
5
2 55
5x
5 5 5 2 5x
· 5
5 2 5 5 5x
5 3 5x
5 3 5x
35
5x
18.- La solución de 1 + = 4 , es : 32 x
a) 0 d) 3/2 b) 3 e) otro valor c) 6
2x = 12 x = 6
1 2 3 4x
2 3 3x 2/
222 3 3x
2 3 9x
19.- Si x = , el valor numérico de :2
1x
x
3
16) ) 338) ) 2 334) 3
a d
b e
c
21
33
221 1
2 · · 3 33 3
12 3
3
11
3
20.- El valor numérico de la expresión es igual :
552 · 8
3
5
) 1.024 ) 64
) 32 ) 64
) 32
a d
b e
c
552 · 8
51
· 82
5
1· 4 52 32
2 3 2
2
( )x y
x
4 3
2
x yx
3
2 4
yx x
3
6
yx
632
63
2
3
2
) )
) )
)
ya x y d
x
yb x y e
x
yc
x
2 3 2
2
( )21.
x y
xEn este ejercicio había dos posibles solucionesC y E.
6
)y
ex
61
2yx
16
2
6
yx
3
6
yx
22.- En , el valor de x es : 223 x
a) 0 d) 62 b) 6 e) 64 c) 16
223 x ( )6
x + 2 = 64 x = 62
663 2 2x
23.- De las siguientes expresiones, ¿ Cuál(es) de ellas es(son)menores que 6
2
2 2 3. . .
2 3 5I II III
) )
) // )
)
a Sólo I d Sólo I y III
b Sólo e Sólo II y III
c Sólo III
22 2 4
. 222 2
I
22 2 4
. 1,33...33 3
II
23 3 9
. 1,855 5
III
2
6 6 61,5
2 2 4
24.- El valor numérico de la expresión es :
20,01 10
81
a) 1/10 d) 1/3 b) 1/9 e) 1 c) 1/5
20,01 10
81
1 1
100 1009
1 110 100
9
10 1100
9
9 1·
100 9 1
100
110
25.- La expresión tiene como valor : 1223 0,064
a) 0,8 d) 0,2 b) 0,5 e) 0,1 c) 0,4
1223 0,064
12
364
1000
124
10
410
25
2 : 5 = 0,4
3 3) ) 22 2
3 23) 2 )2 2
) 3 2 2
a d
b e
c
21
12
2
21 12 · 1
2 2
1 21
2 2 3 2 2
2 2
32
2
21
26. 12
Si , entonces : 2t 2 12t t
3) 2 2 ) 222) 3 2 ) 23
5) 22
a d
b e
c
2 12t t 2 12 · 2
2 2
2 22
4 2 22
3 22
27.-
28.- La expresión es igual a :
2
3
) )
) )
)
xa y x d y
xxb e yy
xcy
3
x y
xy
3
x y
xy x y
y xy·xy
xy
2
·
x xy
y xy
xy
29.- El valor de x en
es :
42842 xxx
a) 4 d) 4/9 b) 1/2 e) 3/4 c) 8
42842 xxx2842 xxx ( )2
2 2
x2 – 4x + 8 = x2 + 4x + 4
4 = 8x
x8
4 x2
1
30.- El valor de 333 2503165542
3
33
33
240)
231)233)
236)228)
c
eb
da
333 250316554227 · 2 8 · 2 125 · 2
333 21521026
3 231
31.- El conjunto solución de la ecuación : 24 48 x
24 48 x
2243 22 x
2243 x 2)(
22 )22()43( x
9 ( x + 4 ) = 4 · 2 9x + 36 = 8
9x = -28
289)
.)928)
289)9
28)
c
aneb
da
928x
32.- La expresión es igual a :
a
bc
abe
abb
b
ad
b
aa
3
2)
3
2)
3
2)
3
2)
2
3)
2
22
22
3
1
6
3
)8
27(
b
a
3
1
6
3
)8
27(
b
a 3
163
)27
8(
ba 3
63
27
8 ba
3
2 2ab
33.- El valor de : es :
5,45·23
a) 72 d) 135 b) 45 e) n.a c) 24
5,45·23 453·15915
34.- Al reducir 3 4 5 3333
120 4
11
60 433
3)
..)3)
3)3)
c
aneb
da3 4 5 3333
3 4 53 333·3
6 4 54 333 6 4 516 33·3 24 517 33
24 5 85 3·3 120 863 60 433
35.- El producto de es : )23(·)23(
23)
5)2)
5)1)
c
eb
da
)23(·)23(
= 3 - 2 = 1
2 2
3 2
36.- = 3·6
3·6 = 18
2·9
23
a) 9 d) b) e) 18 c)
292332
37.- Al racionalizar , se obtiene : 15
4
)15(4)
4
15)15)
)15(4)15)
c
eb
da
15
15·15
422 1)5(
)15(4
4
)15(4=
15
38.- =
3)
63)63)
63)63)
c
eb
da
)832(3
)832(3
2496 4 · 6
6236 63