Post on 28-Oct-2014
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
ASIGNATURA:
ESTADÍSTICA II
CURSO: CA4-7
ALUMNA:
CINDY XIOMARA FILIÁN CEVALLOS
PROFESOR:
ING. FRANCISCO BAHAMONDE
TEMA:
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD Y
TEOREMA DE BAYES
DEBER
HACER 20 EJERCICIOS DE PROBABILIDAD Y 5 EJERCICIOS SOBRE
PROBABILIDAD CONDICIONAL DE BAYES.
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
1. UNA URNA CONTIENE 5 BOLAS FUCSIAS, 5 BOLAS BLANCAS Y 2
BOLAS AMARILLAS. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL
EXTRAER UNA BOLA AL AZAR:
a) SEA FUCSIA
5 BF E1: Salga fucsia
5 BB P (E1) = 512
2 BA
12
b) NO SEA BLANCA
E2: No sea blanca
P (E2) = 512
+ 212
= 712
2. SE SELECCIONA AL AZAR UNA CARTA DE UN NAIPE COMPLETO,
CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA CARTA SE A UN AS.
E1: Salga un As
P (E1) = 452
= 113
3. SE LANZA UNA MONEDA 3 VECES, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE
QUE ME SALGA UNA CRUZ.
c
c
s
c
c
C, C, C
C, C, S
C, S, S E1: Salga una cruz
C, S, C P (E1) = 38
S, S, S
S, S, C
S, C, C
S, C, S
4. SE LANZA UN DADO AL AIRE, CALCULAR LA PROBABILIDAD DE
QUE CAIGA UN NÚMERO IMPAR.
EM = 1, 2, 3, 4, 5, 6
E1: Número impar
P (E1) = 36=12
5. UNA CAJA CONTIENE 2 LÁPICES ROJOS, 3 VERDES Y 5 MORADOS,
CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL SELECCIONAR UN LÁPIZ
AL AZAR:
a) SEA ROJO
2 LR E1: Sea rojo
3 LV P (E1) = 210
=15
5 LM10
b) SEA VERDE O MORADO
E1: Sea verde
s
s
c
s
c
c
s
s
P (E1) = 310
E2: Sea morado
P (E2) = 510
P (E1 + E2) = P (E1) + P (E2) = 310
+ 510
= 810
6. CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR UNA CARTA DE
UN NAIPE AL AZAR SEA ROJA.
E1: Carta roja
P (E1) = 2652
=12
7. SE LANZA UNA MONEDA 3 VECES, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE
QUE ME SALGA CARA EN EL ÚLTIMO LANZAMIENTO.
C, C, C
C, C, S E1: Cara en el 3er lanzamiento
C, S, S P (E1) = 48
C, S, C
S, S, S
S, S, C
S, C, C
S, C, S
8. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL LANZAR 2 DADOS AL AIRE
SALGA UNA SUMATORIA DE 10.
c
s
c
s
c
c
s
s
c
s
s
c
c
s
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
EM = 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
E1: Sume 10
P (E1) = 336
9. UN CARTÓN CONTIENE 8 ESFEROS AZULES, 3 ROSADOS Y 3
NEGROS, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SELECCIONAR
UN ESFERO AL AZAR:
a) SEA ROSADO
8 EA
3 ER
3 EN
14
E1: Sea rosado
P (E1) = 314
b) SEA AZUL O NEGRO
E1: Sea azul
P (E1) = 814
E2: Sea negro
P (E2) = 314
P (E1 + E2) = P (E1) + P (E2) = 814
+ 314
=1114
10.CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SELECCIONAR UNA CARTA
DE UN NAIPE AL AZAR SEA UN 2 O UNA CARTA NEGRA.
E1: Sacar un 2
E2: Sacar una carta negra
P (E1 U E2) = P (E1) + P (E2) - P (E1 ∩ E2) = 452
+ 2652
− 252
=2852
11.SE LANZA UNA MONEDA 2 VECES, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE
QUE ME SALGA CARA Y SELLO.
C, C
E1: Salga cara y sello
C, S P (E1) = 24
S, S
S, C
12.CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL LANZAR UN DADO AL AIRE
ME SALGA 6 O DE QUE ME SALGA UN NÚMERO PAR.
E1: Salga 6
c
s
s
c
c
s
P (E1) = 16
E2: Salga número par
P (E2) = 36
P (E1 + E2) = P (E1) + P (E2) = 16+ 36=46
13.UN BAÚL CONTIENE 10 BOLAS MORADAS, 5 BOLAS CELESTES Y 5
BOLAS GRISES, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL
SELECCIONAR 2 BOLAS CON REEMPLAZO:
a) AMBAS SEAN CELESTES
E1: Sea celeste
P (E1) = 520
P (E1 * E1) = 520
∗5
20=116
b) NINGUNA SEA MORADA
E2: No sea morada
P (E1) = 520
+ 520
=1020
14.SE LANZA UN DADO AL AIRE, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE
CAIGA UN NÚMERO PAR.
EM = 1, 2, 3, 4, 5, 6
E1: Número par
P (E1) = 36=12
15.SE LANZA 2 DADOS AL AIRE, CUA´L ES LA PROBABILIDAD DE
OBTENER UNA SUMATORIA DE 4.
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
EM = 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
E1: Sume 4
P (E1) = 336
16.SE SELECCIONAN 2 CARTAS DE MANERA ALEATORIA Y CON
REEMPLAZO DE UNA BARAJA, CALCULAR LA PROBABILIDAD DE
QUE:
a) AMBAS SEAN ROJAS
E1: Sea roja
P (E1) = 2652
P (E1 * E1) = 2652
∗26
52=14
b) AMBAS SEAN NEGRAS
E2: Sea negra
P (E2) = 2652
P (E2 * E2) = 2652
∗26
52=14
17.SE LANZA UNA MONEDA 3 VECES, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE
QUE ME SALGAN 3 CARAS.
C, C, S
C, C, S E1: Salga 3 caras
C, S, S P (E1) = 18
C, S, C
S, S, S
S, S, C
S, C, C
S, C, S
18.UNA URNA CONTIENE 2 BOLAS VERDES, 3 BOLAS CAF{ES Y 4
BOLAS AMARILLAS, CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR
2 BOLAS AL AZAR, SIN REEMPLAZO:
a) AMBAS SEAN VERDES
2 BV
3 BC
c
s
c
s
c
c
s
s
c
s
s
c
c
s
4 BA
9
E1: 1ra Sea verde
P (E1) = 29
E2: 2 da Sea verde
P (E2) = 18
P (E1 * E2) = 29∗1
8=136
b) SEAN CAFÉ Y VERDE
E1: Sea café
P (E1) = 39
E2: Sea verde
P (E2) = 28
P (E1 * E2) = P (E1) * P (E2) = 39+ 28= 112
∗2=16
19.CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SELECCIONAR UNA CARTA
AL AZAR DE UN NAIPE COMPLETO SEA 4.
E1: Salga 4
P (E1) = 452
20.SE LANZA UN DADO AL AIRE, CALCULAR LA PROBABILIDAD DE
QUE CAIGA UN 2 O UN 3.
E1: Caiga 2
P (E1) = 16
E2: Caiga 3
P (E2) = 16
P (E1 + E2) = P (E1) + P (E2) = 16+ 16=13
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CONDICIONAL DE BAYES
1. SE TIENE 3 CAJAS; LA PRIMERA CAJA CONTIENE 2 LÁPICES ROJOS
Y 2 AZULES; LA SEGUNDA CAJA CONTIENE 1 LÁPIZ ROJO Y 3
AZULES Y LA TERCERA CAJA CONTIENE 3 LÁPICES ROJOS Y 1
AZUL. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SELECCIONAR 1
LÁPIZ AL AZAR DE CUALQUIERA DE LAS CAJAS SEA ROJO? ¿CUÁL
ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL LÁPIZ SELECCIONADO SEA DE LA
PRIMERA CAJA?
P (R/A1) = P (A1) * P(R/A1) = 13∗2
4=212
P (R/A2) = P (A2) * P(R/A2) = 13∗1
4=112
P (R/A3) = P (A3) * P(R/A3) = 13∗3
4=312
2 rojos
2 azules
1 rojo
3 azules
3 rojos
1 azul
P (A1) = 1/3
P (A2) = 1/3
P (A3) = 1/3
P (R/A1) = 2/4
P (R/A2) = 1/4
P (R/A3) = 3/4
P (R) =P (A1) * P(R/A1) + P (A2) * P(R/A2) + P (A3) * P(R/A3)
P (R) =212
+ 112
+ 312
= 612
P (A1/R) = P ( A1 )∗P(R/ A1)
P (R )
P (A1/R) =
212612
=26
2. P (A1) = 0.60, P (A2) = 0.40, P (B1/A1) = 0.05 Y P (B1/A2) = 0.10.
DETERMINAR P(A1/B1) POR EL TEOREMA DE BAYES.
P (A1) = 0.60 P (B/A1) = 0.05
P (A1) * P (B/A1) = 0.60 * 0.05 = 0.03
P (A2) = 0.40 P (B/A2) = 0.10
P (A2) * P (B/A2) = 0.40 * 0.10 = 0.04
P (A1/B) = P ( A1 )∗P (B /A1)
P ( A1 )∗P(B/A 1)+P (A 2 )∗P(B /A2)
P (A1/B) =0.03
0.03+0.04
P (A1/B) =37
3. TENEMOS 2 BOLSAS; LA PRIMERA BOLSA CONTIENE 6
CARAMELOS ROJOS Y 4 CARAMELOS VERDES; LA SEGUNDA
BOLSA CONTIENE 5 CARAMELOS ROJOS Y 5 VERDES. ¿CUÁL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR UN CARAMELO AL AZAR SEA
VERDE? ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL CARAMELO
SELECCIONADO SEA DE LA SEGUNDA BOLSA?
P (V/B1) = P (B1) * P (V/B1) = 12∗4
10=420
P (V/B1) = P (B1) * P (V/B1) = 12∗5
10=520
P (V) =P (B1) * P(V/B1) + P (B2) * P(V/B2)
P (R) =420
+ 520
= 920
6 rojos
4verdes
5 rojos
5 verdes
P (B1) = 1/2
P (B1) = 1/2
P (V/B1) = 4/10
P (V/B2) = 5/10
P (B2/V) = P (B1 )∗P(V /B2)
P (V )
P (A1/R) =
520920
=59
4. SE LANZA UN DADO AL AIRE, ENCUENTRE LA PROBABILIDAD DE
QUE CAIGA 4, SI SE SABE QUE CAERÁ UN NÚMERO PAR.
A: Evento de que salga 4
B: Evento de que salga par
P (A) = 16
P (B) = 36
P (A/B) =
1636
=13
5. P (A1) = 0.20, P (A2) = 0.40 Y P (A3) = 0.40. P (B1/A1) = 0.25 Y P (B1/A2)
= 0.05 Y P (B1/A3) = 0.10. DETERMINAR P (A3/B1) POR EL TEOREMA
DE BAYES.
P (A1) = 0.20 P (B/A1) = 0.25
P (A1) * P (B/A1) = 0.20 * 0.25 = 0.05
P (A2) = 0.40 P (B/A2) = 0.05
P (A2) * P (B/A2) = 0.40 * 0.05 = 0.02
P (A3) = 0.40 P (B/A3) = 0.10
P (A3) * P (B/A3) = 0.40 * 0.10 = 0.04
P (A3/B) = P ( A3 )∗P (B /A3)
P ( A1 )∗P(B/A 1)+P (A 2 )∗P(B /A2)+P (A3 )∗P(B/ A3)
P (A3/B) = 0.04
0.05+0.02+0.04
P (A3/B) = 411
EJERCICIO DEL EXAMEN
UN ALMACÉN ESTÁ CONSIDERANDO CAMBIAR SU POLÍTICA DE OTORGAMIENTO DE CRÉDITOS PARA REDUCIR EL NÚMERO DE CLIENTES QUE FINALMENTE NO PAGAN SUS CUENTAS.
EL GERENTE DE CRÉDITOS SUGIERE QUE EN LO FUTURO EL CRÉDITO LE SEA CONCEDIDO A CUALQUIER CLIENTE QUE SE DEMORE UNA SEMANA O MÁS EN SUS PAGOS EN OCASIONES DISTINTAS. LA SUGERENCIA DEL GERENTE SE BASA EN EL HECHO DE QUE EN EL AÑO PASADO, EL 90% DE TODOS LOS CLIENTES QUE FINALMENTE NO PAGARON SUS CUENTAS, SE HABÍAN DEMORADO EN SUS PAGOS EN POR LO MENOS DOS OCASIONES.
SUPONGA QUE DE UNA INVESTIGACIÓN INDEPENDIENTE ENCONTRAMOS QUE EL 2% DE TODOS LOS CLIENTES (CON CRÉDITO) FINALMENTE NO PAGAN SUS CUENTAS Y QUE DE AQUELLAS QUE FINALMENTE SI LAS PAGAN EL 45% SE HAN DEMORADO EN POR LO MENOS 2 OCASIONES.
ENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE QUE YA SE DEMORO POR LO MENOS 2 OCASIONES FINALMENTE NO PAGUE SU CUENTA Y CON LA INFORMACIÓN OBTENIDA ANALICE LA POLÍTICA QUE HA SUGERIDO EL GERENTE DE VENTAS.
A: Si pagan
B: No pagan
P (B) = 0.90 P (A/B) = 0.02
P (A/B') = 1 -0.02 = 0.98
P (B') = 1 – 0.90 = 0.10
P (B/A) =
P( AB )∗P (B )
P ( AB )∗P (B )+P( AB' )∗P (B' )=
(0.02 ) (0.90 )(0.02 ) (0.90 )+ (0.98 ) (0.10 )
=0.155172