Primer ParcialPrimer Parcial

Triángulos esféricos Triángulos esféricos Rectángulos y Rectángulos y

RectilaterosRectilateros

1.1 Triángulos esféricos1.1 Triángulos esféricos

a, b, c: lados

A, B, C: ángulos

Los lados a, b, c pueden también ser medidos desde el centro O de la esfera.

Tanto ángulos como lados se expresan en sexageximal ( grados, minutos y segundos)

1. 2. Triedro correspondiente al triángulo

Al unir el centro O de la esfera con los vértices A, B, C del triángulo se forma el triedro correspondiente al triángulo.

Sobre la arista OC se forma un ángulo diedro. Este diedro en su intersección con la superficie esférica forma el ángulo C.

El ángulo diedro C es igual al ángulo C del triángulo esférico.

1.3 Triángulos polares suplementarios.

El triángulo polar del Δ ABC es otro Δ A’B’C’ de modo que:

A’: polo del círculo máximo del lado a que se halla en el mismo hemisferio que el vértice A.

B’: polo del círculo máximo del lado b que se halla en el mismo hemisferio que el vértice B.

C’: polo del círculo máximo del lado c que se halla en el mismo hemisferio que el vértice C.

1.4 Propiedades de los triángulos esféricos.

1. En todo ΔABC los lados y los ángulos son menores que 2(π/2):

a, b, c, A, B, C < 180º

2. Todo lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su resta:

b – c < a < b + c

3. La suma de los lados es menor que 4(π/2):

a + b + c < 360º.

4. La suma de los ángulos es mayor que 2(π/2) y menor que 6(π/2):

180º < A + B + C < 540º

5. A lados iguales se oponen ángulos iguales (y viceversa)

a = b ↔ A = B

6. A mayor lado se opone mayor ángulo (y viceversa).

a < b ↔ A < B

7. Todo ángulo aumentado en 2(π/2) es mayor que la suma de los otros dos.

A + 180º > B + C

8. La suma de dos lados es menor (*) que 180º si y solo si la suma de sus ángulos opuestos es menor (*) que 180º.

a + b < 180º ↔ A + B < 180 º

(*) : Análogamente sucede con el “>” y con el “=“.

a + b > 180º ↔ A + B > 180 º

a + b = 180º ↔ A + B = 180 º

9. Entre un ΔABC y su polar ΔA’B’C’ correspondiente se verifica que los lados de uno son suplementarios de los ángulos respectivos del otro:

a + A’ = 180º, b + B’ = 180º, c + C’ = 180º

A + a’ = 180º, B + b’ = 180º, C + c’ = 180º

Se tiene:

A’N = 90º, C’M = 90º (ecuadores)

→ A’N + C’M = 180º →

A’N + C’N + MN = 180º

→ b’ + B = 180º

Análogamente:

A + a’ = 180º, C + c’ = 180º, etc.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS ESFÉRICOS.

• Rectángulos: Un ángulo rectos.

• Birrectángulos: Dos ángulos rectos.

• Trirrectángulos: Tres ángulo rectos.

• Rectiláteros: Un lado recto.

• Birrectiláteros: Dos lados rectos.

• Trirrectilateros: Tres lados rectos.

Formulas relacionando los Formulas relacionando los elementos de un triángulo elementos de un triángulo

esféricoesférico

[[Tema 2Tema 2]]

2.1 Fórmulas que relacionan 3 lados y 1 ángulo.

Fórmula de los cosenos:

CP ┴ suelo

PM ┴ OB, PD ┴ OA

EP | | KM

Los ángulos diedricos son :

B y A.

^ EDP = c (por “perp. / perp”)

Se cumple que: OM = OK + KM = OK + EP (1)

Además: OM = OC cos a (2)

OK = OD cos c

OD = OC cos b →

OK = OC cos c cos b (3)

EP = PD sin c

PD = CD cos A → EP = OC sin b sin c cos A (4)

CD = OC sin b

(2), (3), (4) → (1)

OC cos a = OC cos b cos c +

OC sin b sin c cos A

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Fórmulas que relacionan 3 lados y un ángulo :

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

2.2 Fórmulas que relacionan dos lados y sus ángulos opuestos .

Fórmula de los senos:

CP ┴ suelo PM ┴ OB, PD ┴ OA

CP = CM sin B

CM = OC sin A

→CP = OC sin A sin B (1)

CP = CD sin A

CD = OC sin b →

CP = OC sin b sin A (2)

(1) = (2)

sin a sin B = sin b sin A

C

c

B

b

A

a

sin

sin

sin

sin

sin

sin

2.3 Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo opuesto (a uno de ellos)

DK = DE + EK = DE + PM (1)

DK = OD sin c

OD = CD ctg b

→

DK = CD ctg b sin c (2)

ED = DP cos c

DP = CD cos A

→

ED = CD cos c cos A (3)

PM = CP ctg B

CP = CD sin A

→ PM = CD sin A ctg B (4)

(2) , (3) , (4) → (1)

ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B

Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo opuesto (a uno de ellos)

ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B

ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B

ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A

ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A

ctg c sin a = cos a cos B + sin B ctg C

ctg c sin b = cos b cos A + sin A ctg C

“Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” =

“coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos” +

“seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”.

“Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” = “coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos” + “seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”.

ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A

2.4. Fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado

Tomamos el tringulo polar de Δ ABC, o sea, Δ A’B’C:

y las fórmulas que relacionan tres lados y un ángulo en Δ ABC:

cos a’ = cos b’ cos c’ + sin b’ sin c’ cos A’

aA

Cc

Bb

Aa

180'

180'

180'

180'

→

cos (180-A) = cos (180-B) cos (180-C) + sin (180-B) sin (180-C) cos (180-a) →

- cos A = (-cos B) . (-cos C) + sin B . sin C . (-cos a)

Fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a

cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c

El coseno de un ángulo es igual a menos el producto de los cosenos de los otros dos mas el producto de los senos de esos dos por el coseno del lado (opuesto al ángulo 1º).

Fórmulas de los triángulos Fórmulas de los triángulos esféricos esféricos rectángulosrectángulos

[[Tema 3Tema 3]]

Triángulo esférico rectángulo

3.1. Fórmulas obtenidas a partir de las fórmulas generales.

Se considera A = 90º.

* Fórmula de los cosenos de los lados

Partiendo de:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos 90º

cos a = cos b cos c

El coseno de la hipotenusa es igual al producto de los cosenos de los catetos.

* Fórmula de los senos.

Partiendo de:

C

ca

B

ba

sin

sin

1

sin

sin

sin

1

sin y

sin b = sin a sin B

sin c = sin a sin C

“El seno de un cateto = seno de la hipotenusa X seno del ángulo opuesto”

Fórmulas de las tangentes de los catetos (I)

Partimos de las fórmulas:

ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A

ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A

ctg a sin b = cos b cos C ctg a sin c = cos c cos B

actgB

C

c

actgC

b

b 1cos

cos

sin1cos

cos

sin y

tg b = tg a cos C

tg c = tg a cos B

“ La tangente de un cateto” = “tangente de hipotenusa” x “coseno ángulo comprendido entre ambos”

Fórmulas de las tangentes de los catetos (II)

Partimos de las fórmulas:

ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B

ctg c sin b = cos b cos A + sin A ctg B

ctg b sin c = ctg B ctg a sin c = ctg B

sin 1 sin 1c b

ctg B ctg b ctg C ctg c y

tg b = sin c tg B

tg c = sin b tg C

“ La tangente de un cateto” = “seno del otro” x “tangente del ángulo opuesto al primero”

Fórmulas “hipotenusa-ángulo-lado”

Partimos de las fórmulas:

ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A

ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A

ctg a sin b = cos b cos C ctg a sin c = cos c cos B

cos C = ctg a tg b

cos B = ctg a tg c

“El coseno de un ángulo” = “cotangente de la hipotenusa” x “tangente del lado opuesto al otro ángulo”

Fórmula “hipotenusa-los dos ángulos adyacentes”

Partimos de la fórmula:

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a

→ 0 = - cos B cos C + sin B sin C cos a

→ sin B sin C cos a = cos B cos C

cos a = ctg B ctg C

“ El coseno de la hipotenusa es igual al producto de las contangentes de los dos ángulos adyacentes”

Fórmulas “catetos-ángulo-ángulo”

Partimos de las fórmulas:

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c

→cos B = sin C cos b

cos C = sin B cos c

“El coseno de un ángulo” = “seno del otro ángulo” x “coseno del lado opuesto al primero”

3.2 Obtención de las fórmulas para los tr. Rectángulos esféricos por medio del pentágono de Neper.

Primera Regla

Si los tres elementos se hallan seguidos:

“Cos del central” = “Cotg del izquierdo” x “Cotg del derecho”

Segunda Regla

Si uno de los elementos se halla separado de los otros dos”

“Cos del separado” = “Sen de coaligado 1º” x “Sen del coaligado 2º”

Pentágono de Neper

Algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Relacionar a, b y c.

→ (segunda regla de Neper)

cos a = sin(90º - b) sin(90º - c)

→ cos a = cos b cos c

Ejemplo 2. Relacionar c, a y C.

→ (segunda regla de Neper)

cos (90º - c) = sin a sin C → sin c = sin a sin C

Ejemplo 3. Relacionar a, b y C.

→ (Primera regla de Neper)

cos C = ctg a ctg (90º - b)

→ cos C = ctg a tg b → tg b = tg a cos C

Ejemplo 4. Relacionar a, B y C.

→ (primera regla de Neper)

cos a = ctg B ctg C

3.3. Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos.

1) Ninguno de sus lados puede ser cuadrantal (90º).

cos a = ctg B ctg C ; ctg B ≠ 0, ctg C ≠ 0 (Suponiendo no birrectángulo)

2) Lado y ángulo opuesto son de la misma especie (ambos menores o mayores que 90º)

tg b = sin c tg B → Al ser sin c = (+) , tg b y tg B el mismo signo

→ b<90º y B<90º ó b>90º y B>90º .

3) O los tres lados son menores(*) de 90º, o sólo uno de ellos es menor de 90º.

cos a = cos b cos c →

(+) = (+) . (+) → a, b, c < 90º

(+) = (-) . (-) → a<90º, b,c>90º

(-) = (+) . (-) y (-) = (-) . (+) → un lado < 90º

4) Si los catetos son de la misma especie → hipotenusa aguda

Si “ “ “ “ “ “ distinta “ → hipotenusa obtusa

cos a = cos b cos c →

cos a = (+) . (+) = (+) → a < 90º (aguda)

cos a = (+) . (-) = (-) → a > 90º (obtusa)

cos a = (-) . (+) = (-) → a > 90º

cos a = (-) . (-) = (+) → a < 90º

5) Un cateto es menor que su ángulo opuesto si ambos son < 90º.

Un cateto es mayor que su ángulo opuesto si ambos son > 90º.

sin b = sin a sin B → B

ba

sin

sinsin

Como sin a < 1 → sin b < sin B

→ b < B (primer cuadrante)

b > B (segundo cuadrante)

6) La hipotenusa está comprendida entre cada uno de los catetos y sus suplementarios.

sin b = sin a sin B → a

bB

sin

sinsin → sin b < sin a

Si b en el cuadrante I: b < a < 180º - b

Si b en cuadrante II: 180 - b < a < b

7) La suma de los dos ángulos oblicuos está entre 90º y 270º.

La diferencia de “ “ “ “ es menor que 90 º.

Según las propiedades de los triángulos esféricos:

A + B + C > 180º y 180º + A > B + C

Siendo A = 90º → 90º + B + C > 180º y 180º + 90º > B + C

es decir, 90º < B + C < 270º

Por otra parte, se tiene:

180º + C > A + B, y como A = 90º

90º + C > B → 90º > B - C

Resolución de Triángulos Resolución de Triángulos esféricos rectángulosesféricos rectángulos

Tema 4Tema 4

4.1. Caso 1: Se conoce la hipotenusa a y un cateto b .

Cálculo de c :

Por medio de Neper : cos a = sin(90º - b) sin(90 – c)

→ cos a = cos b cos c.

b

ac

cos

coscos

Cálculo de B :

Por medio de Neper : cos (90º - b) = sin a sin B

→ sin b = sin a sin B.

a

bB

a

bB

sin

sinarcsin

sin

sinsin

c < 90º si cos a/cos b =(+) ; c > 90º si ( X) =(-)

B está en el mismo cuadrante que b (pues según la propiedad 2 ángulo y lado opuesto son de la misma especie).

Cálculo de C :

Neper : cos C = ctg a ctg (90º - b)

a

bC

a

bC

tan

tanarccos

tan

tancos

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

b = 158º 22’ 04”

a = 122º 36’ 07”

Solución:

57961.092956.0

53879.0

cos

coscos

43759.084243.0

36864.0

sin

sinsin

25363.056353.1

3957.0

tan

tancos

b

ac

a

bB

a

bC

→ C = 75º 18’ 25”

→ B = 154º 02’ 59” (180º - 25º 57’ 0.8”)

→ c = 54º 34’ 59”

Forma de operar con la calculadora:

Partiendo de 0.25363 →

→ 75.30712 Nos resulta: 75º

Ahora hacemos: 0.30712 x 60

→ 18.4272 Resulta: 18 ‘

Finalmente hacemos: 0.4272 x 60

→ 25.632 Resulta: 25.6”

Resultado: 75º 18’ 25.6”

acos

4.2. Caso 2: Se conoce los dos catetos b y c.

Cálculo de a :

Neper : cos a = sin(90º - b) sin(90 – c)

→ cos a = cos b cos c.

Cálculo de B :

Neper : cos (90º - c) = ctg B ctg (90º - b)

c

bBbBc

sin

tantantancotsin

Para la especie se analizarán los signos (+.-, etc).

Cálculo de C :

cos (90º - c) = ctg C ctg (90º - c) → sin b = ctg C tg c

b

cC

sin

tantan

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

c = 40º 44’ 06”

b = 64º 48’ 03”

Solución:

cos cos . cos 0.75773*0.42576 0.32261

tan 2.12518tan 3.25668

sin 0.65256tan 0.86119

tan 0.95176sin 0.90483

a c b

bB

cc

Cb

→ a = 71º 10’ 45”

→ B = 72º 55’ 49”

→ C= 43º 35’ 04”

4.3. Caso 3: Se conoce la hipotenusa a y un ángulo B.

Cálculo de b :

Neper : cos (90º - b) = sin a sin B

→ sin b = sin a sin B.

Cálculo de c :

Neper : cos B = ctg a ctg (90º - c) → cos B = ctg a tg c

→ tg c = cos B tg a [La especie : regla de los signos]

El lado b es de la misma especie que B.

Cálculo de C :

cos a = ctg B ctg C 1

tancos tan

Ca B

C es de la misma especie que c.

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

a = 152º 24’ 04”

B = 68º 38’ 02”

Solución:

sin sin .sin 0.93127 * 0.46327 0.43142

1 1tan 0.44144

cos tan ( 0.88621)*2.55614

tan cos tan 0.36432.*( 0.52276) 0.19045

b B a

Ca B

c B a

→ b = 25º 32’ 30”

→ C = 156º 10’ 52” (-23º49’8” +180º)

→ c= 169º 13’ 01” (-10º46’58” +180º)

4.4. Caso 4: Se conoce los dos ángulos B y C (*).

Cálculo de a (hipotenusa) :

Neper : cos a = ctg B ctg C

Cálculo de b :

Neper : cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b

La especie de a: : por la regla de los signos.por la regla de los signos.

Cálculo de c :

cos C = sin B sin (90º - c) cos

cossin

Cc

B

.

1cos

tan tana

B C

coscos

sin

Bb

C

La especie de b y c es la misma que la de sus ángulos opuestos.

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

C = 67º 38’ 08”

B = 155º 12’ 06”

Solución:

→ a = 152º 56’ 25”

→ b = 168º 59’ 49”

→ c= 24º 52’ 53”

1 1

cos 0.89053tan tan ( 0.46202)* 2.43046

cos 0.90778cos 0.98161

sin 0.92478cos 0.38049

cos 0.90718sin 0.41942

aB C

Bb

CC

cB

4.5. Caso 5: Se conoce un cateto, b, y el ángulo opuesto al otro, C .

Cálculo de a (hipotenusa) :

Neper : cos C = ctg a ctg (90º - b)

Cálculo de c :

Neper : cos (90º - b) = ctg C ctg (90º - c) → sin B = ctg C tg c

→ tg c = sin b tg C

La especie de a: : por la regla de los signos.por la regla de los signos.

Cálculo de B :

cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b

.

tantan

cos

ba

C

c se halla en el mismo cuadrante que C; B en el mismo que b .

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

b = 121º 42’ 05”

C = 154º 08’ 06”

Solución:

→ B = 103º 15’ 09”

→ a = 60º 56’ 09”

→ c = 157º 35’ 07” (-22º24’53” +180º)

cos sin *cos 0.43625 ( 0.52549) 0.22924

tan 1.61905tan 1.79930

cos 0.89982tan sin * tan 0.85079*( 0.48481) 0.41247

B C b

ba

Cc b C

4.6. Caso 6: Se conoce un cateto, b, y su ángulo opuesto, B .

Cálculo de a (hipotenusa) :

Neper : cos (90º - b) = sin a sin B

Cálculo de c :

Neper : cos (90º - c) = ctg B ctg (90º - b)

→ sin c = ctg B tg b

Cálculo de C :

cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b

.

sinsin

sin

ba

B

Como b, B son de la misma especie (+/+ = +, -/- = +) → sin a, sin c y sin C = (+), sin embargo los ángulos pueden ser <90º ó >90º .

tansin

tan

bc

B

cossin

cos

BC

b

4.7. Discusión del caso 6.

I) b<90º, B<90º

sinsin 1

sinsin

sin 1sinsin

sin 1sin

bb B a

Bb

b B aBb

b B aB

No tiene solución

Una “solución” a = 90º

Dos soluciones 1

2

90º

90º

a

a

II) b = 90º → Triángulo birrectángulo (se estudia más adelante)

III) b > 90º y B > 90º

sinsin 1

sinsin

sin 1sinsin

sin 1sin

bb B a

Bb

b B aBb

b B aB

No tiene solución

Una “solución” a = 90º

Dos soluciones

Cuando hay dos soluciones, debe tenerse en cuenta:

* Lado y ángulo opuesto son de la misma especie.

* La hipotenusa es aguda si los catetos son de la misma especie, obtusa en caso contrario.

1

2

90º

90º

a

a

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectángulo:

b = 46º 46’ 04”

B = 57º 28’ 03”

Solución:

b < 90º y b < B → sin

sin 1sin

ba

a → dos soluciones.

sin 0.72858sin 0.86418

sin 0.84308

ba

B

a1 = 59º 47’ 25”

a2 = 120º 12’ 35” [180º - a1]

67847.056777.1

06369.1

tan

tansin

B

bc c1 = 42º 43’ 28”

c2 = 137º 16’ 32” [180º - c1]

]78512.068495.0

53777.0

cos

cossin

b

BC C1 = 51º 43’ 55”

C2 = 128º 16’ 05” [180º - C1]

Las dos soluciones son:

a1 = 59º 47’ 25” (hipotenusa aguda) c1 = 42º 43’ 28”C1 = 51º 43’ 55”

Y la otra:

a2 = 120º 12’ 35” (hipotenusa obtusa)

c2 = 137º 16’ 32”

C2 = 128º 16’ 05”

Recordar: b = 46º 46’ 04” (< 90º)

B = 57º 28’ 03”

Triángulos rectilaterosTriángulos rectilateros

Propiedades y resoluciónPropiedades y resolución

4.8 Resolución de triángulos esféricos rectiláteros. ( a = 90º)

El pentágono de Neper pasa a ser:

Las reglas son las mismas

Ejemplo:

Resolver el triángulo esférico rectilatero:

c = 60º 34’ 09”

B = 122º 18’ 08”

Solución:

cos c = ctg(180º – A) ctg(90º – B) →

cos b = sin c cos B = 0.87095 * (-0.53438) = -0.46542 → b = 117º 44’ 14”

tan C = tan c sin B = 1.77248 * 0.84524 = 1.49817 → C = 56º 16’ 40”

21896.3cos

tantan

c

BA → A = 72º 44’ 31”

Propiedades de los triángulos rectiláteros

Sea ABC un triángulo rectilatero (a = 90º) → su polar A’B’C’ es triáng. rectángulo:, además se verifica:

A’ = 180º - 90º a’ = 180º - A

B’ = 180º - b b’ = 180º - B

C’ = 180º - c c’ = 180º - C

1) Ningún ángulo puede ser cuadrantal (90º)

a’ ≠ 90º → 180º - A ≠ 90º → A ≠ 90º

b ≠ 90º → 180º - B ≠ 90º → B ≠ 90º

c’ ≠ 90º → 180º - C ≠ 90º → C ≠ 90º

2) Lado y ángulo opuesto son de la misma especie (ambos menores o mayores que 90º)

B’ < 90º y b’<90º → 180º - B < 90º y 180º - b < 90º

→ B > 90º y b > 90º

Análogamente B’>90º y b’>90º → B > 90º y b > 90º

3) O los tres ángulos son mayores de 90º, o sólo uno de ellos es mayor de 90º (los otros dos menores)

De la fórmula: cos A = - cos B . Cos C

- = - (-) . (-) → A, B, C >90º

- = - (+) . (+) → A>90º

+ = - (+) . (-) → C>90º

+ = - (-) . (+) → B>90º

4) Si los ángulos B y C son de la misma especie → A obtuso

Si “ “ “ B y C “ “ distinta “ → A agudo

Según la propiedad 3:

A > 90º →

5) Un ángulo B es mayor que su lado opuesto b si ambos B, b > 90º

“ “ B es menor “ “ “ “ b si B, b < 90º

º90º90

º90º90

CB

CB y

y

Y viceversa

6) El ángulo A está comprendido entre cada uno de los ángulos y sus suplementarios respectivos

7) La suma de los dos lados b y c está comprendida entre 90º y 270º, y la diferencia es menor que 90º.

Si A en el cuadrante I: B < A < 180º - B

Si b en cuadrante II: 180 - B < A < B

Demostración: sin B = sin b sin A →

sin B < sin AA

Bb

sin

sinsin

90º < B’ + C’ < 270º → 90º < 180º - b + 180º - c < 270º →

90º < 360º - b - c < 270º →

-270º < - b - c < -90º →

90º < b + c < 270

Ejemplo: Discutir y resolver el triángulo esférico rectilatero:

c = 69º 15’ 02”

C = 56º 45’ 04”

Solución:

A: cos(90º - C) = sin(180º - A) sin c

c, C < 90º y c > C → sin c > sen C →

c

CA

sin

sinsin

º90

º901

sin

sinsin

2

1

A

A

c

CA

89430.093513.0

83629.0

sin

sinsin

c

CA

"51'34º116

"08'25º63

2

1

A

A

b: cos c = sin b sin (90º - C) = sin b cos C

"45'44º139

"14'15º4064617.0

cos

cossin

2

1

b

b

C

cb

B: cos (90º - B) = ctg c cot (90º - C)

1

2

35º 18' 3"tansin 0.57787

144º 41' 56"tan

BCB

Bc

Las dos soluciones son:

Resumen: c = 69º 15’ 02”, C = 56º 45’ 04”

A1 = 63º 25’ 08”, A2 = 116º 34’ 51”

b1 = 40º 15’ 14”, b2 = 139º 44’ 45”

B1 = 35º 18’ 03”, B2 = 144º 41’ 36”

Solución 1:

A1 = 63º 25’ 08” (A<90) → B,C dist.esp. , B2 = 144º 41’ 36” , b2 = 139º 44’ 45”

Solución 2:

A2 = 116º 34’ 51” (A>90) → B,C misma.esp., B1 = 35º 18’ 03” , b1 = 40º 15’ 14”

Ejemplo 2º: Discutir y resolver el triángulo esférico rectilatero:

A = 51º 25’ 42”

B = 47º 33’ 12”

Solución:

B < 90º → b < 90º ; y A < 90º →

Ángulos menores de 90º → C > 90º → c > 90º

c: cos c = ctg(180º - A) ctg(90º - B) →

c = 150º 41’ 02”

87193.093513.0

83629.0

tan

tancos

A

Bc

b: cos (90º - B) = sin b sin(180º - A) →

C: cos(180º - A) = sin(90º - B) sin(90º - C) → - cos A = cos B cos C

"46'17º108

"14'42º7087193.0

sin

sinsin

2

1

b

b

A

Bb

→ no valida

"31'29º15792382.0cos

coscos C

B

AC