OPTIMIZACIÓN

“CONDICIONES DE

KKT”

INTEGRANTES: HUGO GUZMAN TELLO

RODRIGO GUZMAN TELLO

INTRODUCCIÓN

La optimización, es considerada como la búsqueda

de la solución optima de problemas.

Se puede considerar como optimización de

condiciones de minimización de costos, horas de

ocio o maximización de beneficios, etc.

INTRODUCCIÓN

Cuando se trata un problema de

optimización, considera algunas etapas

propias, para obtener la o las soluciones

optimas, las cuales son:

Determinar el modelo matemático del problema a

resolver.

Resolver el problema utilizando técnicas

matemáticas.

El objetivo de la optimización matemática es

encontrar soluciones máximas o mínimas sujetas a

ciertas restricciones.

ANTECEDENTES HISTÓRICOS.

Albert William Tucker (28 de Noviembre

de 1905 – 25 de Enero de 1995) fue un

matemático estadounidense nacido en

Canadá que realizó importantes

contribuciones a la topología, teoría de

juegos y a la programación no lineal

Nació en Ontario, Canadá, y se graduó en

la Universidad de Toronto en 1928. En

1932, completó su doctorado en la

Universidad de Princeton bajo la

supervisión de Solomon Lefschetz

ANTECEDENTES HISTÓRICOS.

Harold William Kuhn (nacido en 1925) es

un matemático estadounidense que estudió

la teoría de juegos. Él ganó en 1980 el John

von Neumann Theory Prize junto con David

Gale y Albert W. Tucker. Fue un profesor

emérito de matemáticas en la Universidad

de Princeton, es conocido por las

“Condiciones Karush-Kuhn-Tucker”

ANTECEDENTES HISTÓRICOS.

Harold William Kuhn Él es conocido por su

asociación con John Forbes Nash, como

estudiante graduado compañero, un amigo

de toda la vida y colega, y una figura clave

para lograr que Nash a la atención del

comité del premio Nobel que llevó a 1994

Premio de Nash Nobel de Economía

ANTECEDENTES HISTÓRICOS.

William Karush (1 marzo 1917 a 22

febrero 1997) fue un profesor emérito de la

Universidad Estatal de California en

Northridge y es un matemático conocido por

su contribución las “Condisiones de Karush-

Kuhn-Tucker”.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

Dentro de los problemas de programación nolineal, aparece una solución a dichosproblemas, conocido como “Condiciones deKarush-Kuhn-Tucker” el cual aplica un teoremaconocido como:

El teorema de Karush-Kuhn-Tucker, desde unpunto de vista práctico, los problemasplanteados con restricciones de desigualdadespueden recibir un mejor ajuste a las situacionesreales existentes. Con esto puede razonarseque una restricción de igualdad significa agotarcompletamente dicho recurso.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

Las condiciones de Karush-Kunh-Tucker (KKT), son una generalización del método de los multiplicadores de Lagrange para restricciones de desigualdad.

Formulación.

Considere el problema de optimización:

Min f(x1, x2, . . . , xn)

Sujeto a: g1(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0

g2(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0 (1)

gm(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0

CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

El método de solución procede de la

siguiente manera. Cambiemos cada

restricción de desigualdad gi ≤ 0 a una

restricción de igualdad introduciendo una

variable si de la siguiente manera:

gi ≤ 0 → gi + si2 = 0

De acuerdo a la técnica de los

multiplicadores de Lagrange se construye la

función:

F(x, , s) = f(x) + (gi + si2) (2)

CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

Los puntos que minimizan a f sujeta a las

restricciones gi ≤ 0 (1 ≤ i ≤ m) están dentro de los

puntos críticos de F:

Que hacen cero las derivadas parciales con respecto

a las variables xj (j = 1, . . . , n):

= + = 0

Que hacen cero las parciales con respecto a las

variables i (i = 1,….., m):

= gi + si2 = 0 ↔ gi ≤ 0

CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

Que hacen cero las parciales con respecto a las

variables si (i = 1, . . . ,m):

= 2 i si = 0 ↔ I si = 0 ↔ i gi = 0

Lo anterior se resume en el siguiente teorema que indica

las condiciones que deben satisfacer los puntos que

minimizan la función sujeta a las restricciones.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

Teorema

Suponga una formulación para el problema anterior

de minimización. Si x0 = (a1, a2, . , an) es un

óptimo, entonces deben existir números reales

llamados multiplicadores 1, 2,.., m no negativos

tales que (a1, a2, . . . , an, 1, . . . , m) es un

punto crítico para F. Es decir que se cumple:

CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

Bloque I

+ + = 0 j= 1,2,…,n

Bloque II

Condición de holgura complementaria

i gi (x0) = 0 i = 1,2,…..,m (3)

Bloque III

gi ≤ 0 i = 1,2,…..,m

La forma de operar las condiciones KKT será lasiguiente: Como lo que buscamos es el punto x0 y deinicio se desconoce, entonces las ecuaciones de lascondiciones de los bloques I y II se piensan como unsistema de ecuaciones en las variables xj

´s y j

´s: Se

intentan resolver tal sistema de ecuaciones y encaso de encontrarse las soluciones se revisan una auna para ver cúal de ella cumple que los j

´s son no

negativos y que también se cumplen lasrestricciones gi ≤ 0en los puntos encontrados.Normalmente se realiza una tabla donde se hace laverificación.

USO DE LAS CONDICIONES KKT

USO DE LAS CONDICIONES KKT

Posible trabajar el problema de maximización

resolviendo el problema de minimización pero

conservando aquellos puntos que tengan los

valores de los multiplicadores no positivos.

Observamos que las tablas para minimización y

para maximización son idénticas salvo que los

valores de los multiplicadores están cambiados de

signo. Por tanto, la estrategia conveniente para

optimizar una función sujeta a restricciones de

desigualdad por el método de las condiciones de

KKT será:

USO DE LAS CONDICIONES KKT

1. Plantear el problema como si se tratará sólo de

minimización y resolver el sistema de ecuaciones

correspondientes.

2. Eliminar aquellos puntos encontrados que no

satisfacen las restricciones gi ≤ 0.

3. Eliminar aquellos puntos que tienen a la vez

multiplicadores positivos y negativos.

USO DE LAS CONDICIONES KKT

4. Para minimización: escoger dentro de aquellos

puntos que tienen multiplicadores no negativos

aquél que tienen la menor evaluación de la función

objetivo.

5. Para maximización: escoger dentro de aquellos

puntos que tienen multiplicadores no positivos

aquél que tienen la mayor evaluación de la función

objetivo.

EJERCICIO

KKT

1-. Sea el siguiente problema de minimización:

EJERCICIO

a. Desarrolle las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker(KKT) para el problema

b. Revise el cumplimiento de las condiciones KKT paralos siguientes puntos:

(0,0); (2, 0); (0,2)

c. Qué podemos concluir para cada uno de estospuntos?

d. Muestre las restricciones, el conjunto de solucionesfactibles y la función objetivo gráficamente.

e. Determine un candidato para ser solución óptimaanalizando el grafico. Verifique si este candidato cumplecon las condiciones de KKT.

f. De la solución optima y el valor de la función objetivoasociado.

EJERCICIO

Solución:

a. Primero se lleva el problema a la forma estandar:

Ahora calculamos los gradientes de f y gi

EJERCICIO

Ahora calculamos los gradientes de f y gi

Así, se tiene que las condiciones de KKT son las

siguientes:

1

0;

0

1;

1*2

*2;

*2

1*2;

4*2

4*2

33

2

1

2

2

1

1

2

1gg

x

xg

x

xg

x

xf

1

0*

0

1*

1*2

*2*

*2

1*2*

4*2

4*2

43

2

1

2

2

1

1

2

1

x

x

x

x

x

x

EJERCICIO

b punto (0,0):

0*

011*

011*

13

2

2

2

12

2

2

2

11

x

xx

xx

EJERCICIO

Entonces,

Pero notemos que son linealmente

dependientes, al igual que y por lo tanto

basta con:

0

1

0

2y

2

0

1

0

EJERCICIO

De donde

Como son menores que 0, no cumplen KKT.

punto (2,0):

EJERCICIO

Entonces,

De donde

Como <0 entonces no cumple KKT. punto (0,2):4

EJERCICIO

Entonces

De donde

Como <0 entonces no cumple KKT.3

EJERCICIO

c.

(0,0) es un punto en el extremo del poliedro factible

que no cumple KKT, como la región es

convexa, quiere decir que (0,0) no es óptimo del

problema. Se puede observar que moviéndose en

cualquier punto al interior de la región factible, la

funcion objetivo mejora.

(2,0) y (0,2) son puntos que no cumplen KKT, lo

que indica que tienen alguna característica

particular en este caso, esto sucede porque no se

encuentran dentro del poliedro factible.

EJERCICIO

e. El candidato para ser solución óptima se

encuentra entre la intersección de las restricciones

más cercanas al (4,4).

Utilizando entonces g1 y g2 (restricciones activas)

para obtener el punto (x1, x2)

correspondiente, llegamos a que el candidato a

óptimo es el (1,1).

¿Cumple KKT?

Entonces,

De donde

Ambos son positivos, entonces se cumple KKT.

EJERCICIO

f. la solución óptima es el valor encontrado en la

parte anterior, como se observa gráficamente, la

región es convexa, pues los puntos que conforman

la línea que une a cualquier par de puntos dentro

de la región pertenecen a ella.

Así como la región es convexa, también lo son las

restricciones asociadas y función objetivos

asociadas. Luego el punto óptimo es: (x1, x2) =

(1,1).

Y la función objetivo: f(1,1)=9+9=18

FIN