Post on 19-Nov-2020
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ANMT
ALA0
3005
V2
Clase
Potencias y raiacuteces
POTENCIAS Y RAIacuteCES
Matemaacutetica 2ordm medio Profesor Luis Concha
Colegio Alonso de Ercilla de Valdivia
Aprendizajes esperados
bull Reconocer la definicioacuten de potencia de base entera y de exponente entero
bull Resolver potencias de base racional y exponente entero
bull Reconocer la definicioacuten de raiacutez como una potencia de base entera y exponente fraccionario
bull Aplicar las propiedades de la potenciacioacuten y radicacioacuten en la resolucioacuten de ejercicios
bull Componer y descomponer raiacuteces y potencias
bull Aprender teacutecnicas de racionalizacioacuten de denominadores que contengan raiacuteces
1 Potencias
2 Raiacuteces
Corresponde a una multiplicacioacuten reiterada de teacuterminos o nuacutemeros iguales El teacutermino o nuacutemero que se va multiplicando se llama base la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente y el resultado se denomina potencia
Ejemplos
an = a middot a middot a middot a middot hellip a middot middot a
n veces
73 = 7 middot 7 middot 7 =
(ndash 6)2 = (ndash 6) middot (ndash 6) = 36
343
1 Potencias
1 Potencias
Por ejemplo ndash 32 ne (ndash 3)2 ya que
ndash 32 = ndash 3 middot 3 = ndash 9 y (ndash 3)2 = (ndash 3) middot (ndash 3) = 9
ndash xn NO siempre es igual a (ndash x)n
xy
n xn
y NO siempre es igual a
Por ejemplo ya que
y = 23
3= 2middot2middot2
3 83
23
3 = = 827
23
23
23
middot middot
= 23
3 23
3
Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia Los pareacutentesis nos ayudan a identificarla
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente par
1 Potencias
Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base
Ejemplos
(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =
2) ndash 3
5
4
=(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5bull(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5=
81
625
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente impar
Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa
Ejemplos
1 Potencias
1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728
2) ndash 2
3
5
=(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3=
ndash 32
243
12 Operaciones entre potencias
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an + man middot am =
5x + 3x5x middot 53x = = 54x
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
(a middot b)nan middot bn =
85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an ndash man am =
923
96= = 917923 ndash 6
Esto se cumple para todo a distinto de 0
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
Aprendizajes esperados
bull Reconocer la definicioacuten de potencia de base entera y de exponente entero
bull Resolver potencias de base racional y exponente entero
bull Reconocer la definicioacuten de raiacutez como una potencia de base entera y exponente fraccionario
bull Aplicar las propiedades de la potenciacioacuten y radicacioacuten en la resolucioacuten de ejercicios
bull Componer y descomponer raiacuteces y potencias
bull Aprender teacutecnicas de racionalizacioacuten de denominadores que contengan raiacuteces
1 Potencias
2 Raiacuteces
Corresponde a una multiplicacioacuten reiterada de teacuterminos o nuacutemeros iguales El teacutermino o nuacutemero que se va multiplicando se llama base la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente y el resultado se denomina potencia
Ejemplos
an = a middot a middot a middot a middot hellip a middot middot a
n veces
73 = 7 middot 7 middot 7 =
(ndash 6)2 = (ndash 6) middot (ndash 6) = 36
343
1 Potencias
1 Potencias
Por ejemplo ndash 32 ne (ndash 3)2 ya que
ndash 32 = ndash 3 middot 3 = ndash 9 y (ndash 3)2 = (ndash 3) middot (ndash 3) = 9
ndash xn NO siempre es igual a (ndash x)n
xy
n xn
y NO siempre es igual a
Por ejemplo ya que
y = 23
3= 2middot2middot2
3 83
23
3 = = 827
23
23
23
middot middot
= 23
3 23
3
Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia Los pareacutentesis nos ayudan a identificarla
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente par
1 Potencias
Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base
Ejemplos
(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =
2) ndash 3
5
4
=(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5bull(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5=
81
625
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente impar
Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa
Ejemplos
1 Potencias
1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728
2) ndash 2
3
5
=(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3=
ndash 32
243
12 Operaciones entre potencias
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an + man middot am =
5x + 3x5x middot 53x = = 54x
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
(a middot b)nan middot bn =
85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an ndash man am =
923
96= = 917923 ndash 6
Esto se cumple para todo a distinto de 0
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
1 Potencias
2 Raiacuteces
Corresponde a una multiplicacioacuten reiterada de teacuterminos o nuacutemeros iguales El teacutermino o nuacutemero que se va multiplicando se llama base la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente y el resultado se denomina potencia
Ejemplos
an = a middot a middot a middot a middot hellip a middot middot a
n veces
73 = 7 middot 7 middot 7 =
(ndash 6)2 = (ndash 6) middot (ndash 6) = 36
343
1 Potencias
1 Potencias
Por ejemplo ndash 32 ne (ndash 3)2 ya que
ndash 32 = ndash 3 middot 3 = ndash 9 y (ndash 3)2 = (ndash 3) middot (ndash 3) = 9
ndash xn NO siempre es igual a (ndash x)n
xy
n xn
y NO siempre es igual a
Por ejemplo ya que
y = 23
3= 2middot2middot2
3 83
23
3 = = 827
23
23
23
middot middot
= 23
3 23
3
Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia Los pareacutentesis nos ayudan a identificarla
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente par
1 Potencias
Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base
Ejemplos
(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =
2) ndash 3
5
4
=(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5bull(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5=
81
625
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente impar
Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa
Ejemplos
1 Potencias
1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728
2) ndash 2
3
5
=(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3=
ndash 32
243
12 Operaciones entre potencias
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an + man middot am =
5x + 3x5x middot 53x = = 54x
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
(a middot b)nan middot bn =
85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an ndash man am =
923
96= = 917923 ndash 6
Esto se cumple para todo a distinto de 0
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
Corresponde a una multiplicacioacuten reiterada de teacuterminos o nuacutemeros iguales El teacutermino o nuacutemero que se va multiplicando se llama base la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente y el resultado se denomina potencia
Ejemplos
an = a middot a middot a middot a middot hellip a middot middot a
n veces
73 = 7 middot 7 middot 7 =
(ndash 6)2 = (ndash 6) middot (ndash 6) = 36
343
1 Potencias
1 Potencias
Por ejemplo ndash 32 ne (ndash 3)2 ya que
ndash 32 = ndash 3 middot 3 = ndash 9 y (ndash 3)2 = (ndash 3) middot (ndash 3) = 9
ndash xn NO siempre es igual a (ndash x)n
xy
n xn
y NO siempre es igual a
Por ejemplo ya que
y = 23
3= 2middot2middot2
3 83
23
3 = = 827
23
23
23
middot middot
= 23
3 23
3
Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia Los pareacutentesis nos ayudan a identificarla
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente par
1 Potencias
Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base
Ejemplos
(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =
2) ndash 3
5
4
=(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5bull(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5=
81
625
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente impar
Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa
Ejemplos
1 Potencias
1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728
2) ndash 2
3
5
=(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3=
ndash 32
243
12 Operaciones entre potencias
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an + man middot am =
5x + 3x5x middot 53x = = 54x
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
(a middot b)nan middot bn =
85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an ndash man am =
923
96= = 917923 ndash 6
Esto se cumple para todo a distinto de 0
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
1 Potencias
Por ejemplo ndash 32 ne (ndash 3)2 ya que
ndash 32 = ndash 3 middot 3 = ndash 9 y (ndash 3)2 = (ndash 3) middot (ndash 3) = 9
ndash xn NO siempre es igual a (ndash x)n
xy
n xn
y NO siempre es igual a
Por ejemplo ya que
y = 23
3= 2middot2middot2
3 83
23
3 = = 827
23
23
23
middot middot
= 23
3 23
3
Es fundamental identificar la base para resolver correctamente una potencia Los pareacutentesis nos ayudan a identificarla
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente par
1 Potencias
Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base
Ejemplos
(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =
2) ndash 3
5
4
=(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5bull(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5=
81
625
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente impar
Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa
Ejemplos
1 Potencias
1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728
2) ndash 2
3
5
=(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3=
ndash 32
243
12 Operaciones entre potencias
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an + man middot am =
5x + 3x5x middot 53x = = 54x
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
(a middot b)nan middot bn =
85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an ndash man am =
923
96= = 917923 ndash 6
Esto se cumple para todo a distinto de 0
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente par
1 Potencias
Las potencias que tienen exponente par son siempre positivas sin importar el signo de la base
Ejemplos
(ndash 11) middot (ndash 11) = 1211) (ndash 11)2 =
2) ndash 3
5
4
=(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5bull(ndash 3)
5bull
(ndash 3)
5=
81
625
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente impar
Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa
Ejemplos
1 Potencias
1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728
2) ndash 2
3
5
=(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3=
ndash 32
243
12 Operaciones entre potencias
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an + man middot am =
5x + 3x5x middot 53x = = 54x
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
(a middot b)nan middot bn =
85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an ndash man am =
923
96= = 917923 ndash 6
Esto se cumple para todo a distinto de 0
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
11 Signos de una potencia
bull Potencias con exponente impar
Las potencias que tienen exponente impar son positivas si su base es positiva y negativas si su base es negativa
Ejemplos
1 Potencias
1) (ndash 12)3 = (ndash 12) middot (ndash 12) middot (ndash 12) = ndash 1728
2) ndash 2
3
5
=(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3bull
(ndash 2)
3=
ndash 32
243
12 Operaciones entre potencias
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an + man middot am =
5x + 3x5x middot 53x = = 54x
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
(a middot b)nan middot bn =
85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an ndash man am =
923
96= = 917923 ndash 6
Esto se cumple para todo a distinto de 0
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
12 Operaciones entre potencias
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an + man middot am =
5x + 3x5x middot 53x = = 54x
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
(a middot b)nan middot bn =
85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an ndash man am =
923
96= = 917923 ndash 6
Esto se cumple para todo a distinto de 0
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
bull Multiplicacioacuten de potencias
De igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
(a middot b)nan middot bn =
85 middot 42 middot 22 = 85 middot (4 middot 2)2 = 85 middot 82 = 87
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an ndash man am =
923
96= = 917923 ndash 6
Esto se cumple para todo a distinto de 0
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
bull Divisioacuten de potencias
De igual base Se conserva la base y se restan los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
an ndash man am =
923
96= = 917923 ndash 6
Esto se cumple para todo a distinto de 0
12 Operaciones entre potencias
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
bull Divisioacuten de potencias
De igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo
1 Potencias
Esto se cumple para todo b distinto de 0
(a b)nan bn =
75
42
282 = 75 (28 4)2 = 75 72 = 73
12 Operaciones entre potencias
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
bull Potencia de potencia
Se multiplican los exponentes
Ejemplo
1 Potencias
(an )m = am middot n
(210 )4 = 210 middot 4 = 2 40
12 Operaciones entre potencias
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
12 Operaciones entre potencias
bull Adicioacuten y sustraccioacuten de potencias
No existe regla para sumar yo restar potencias Es necesario resolver cada potencia y luego aplicar cada operacioacuten planteada
Ejemplo
1 Potencias
42 + 42 = 2 bull (22)2 =
Algunas veces podemos utilizar el concepto de factorizacioacuten para reducir una expresioacuten que contenga sumas yo restas de potencias
2 bull 42 = 2 bull 24 = 25
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
13 Propiedades
bull Potencias de exponente cero
Ejemplo
1 Potencias
a0 = 1
Esto se cumple para todo a distinto de 0
1
00 indeterminado
=x
3 ndash 4y7 ndash (15 ndash 8)
x
3 ndash 4y0
=
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base entera
1 andash n = a
n Esto se cumple para todo a distinto de 0
5ndash 2 middot 15
3
2
= middot (5)2 5
2 1 = 25
1 middot 25 = 1
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
bull Potencias de exponente negativo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo
Ejemplo
1 Potencias
13 Propiedades
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria
Esto se cumple para todo a y b distintos de 0
a
b
ndash n=
b
a
n
33=43 3
4
ndash 3
=3
4
3= 64
27
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
bull Potencias de base 10
1 Potencias
13 Propiedades
Con exponente positivo
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Ejemplos
54000000 = 54 middot 1000000 = 54 middot 106
4 middot 10ndash 5000004 = 4 middot 000001 =
Con exponente negativo
01
0010001
10 ndash 1 =
00001
10 ndash 2 =10 ndash 3 =10 ndash 4 =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
Una raiacutez es una cantidad que se debe multiplicar por siacute misma tantas veces como indique el iacutendice para obtener un nuacutemero determinado
Ejemplos
2 Raiacuteces
cxb = ya que cb = x
Los teacuterminos de una raiacutez son b iacutendice xa cantidad subradical c radical
b ax =c
= 2 ya que 23 = 8 3 8
= 3 ya que 34 = 81 4 81
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
Toda raiacutez corresponde a una potencia con exponente fraccionario
Ejemplos
2 Raiacuteces
x ba
= b ax
Esto se cumple para todo b distinto de 0
8 52
= 5 28 5 64=
= 3 24=3
2
41 minus
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
2
4 3 16=
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Multiplicacioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se multiplican las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
nmiddot bn
= amiddotba n
Ejemplo
9middot3 =393 33 =middot 3=3 27
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la multiplicacioacuten de potencias
Esto se cumple para todo n distinto de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
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0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Divisioacuten de raiacuteces
De igual iacutendice Se dividen las cantidades subradicales conservando el iacutendice que tienen en comuacuten
n bn
= aba n
Ejemplo
De igual cantidad subradical Cada raiacutez se transforma a potencia y luego se realiza la divisioacuten de potencias
51224 =45124 2 = 256 = 44
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
2 Raiacuteces
21 Operaciones entre raiacuteces
bull Raiacutez de una raiacutez
Ejemplo
a =m a n mmiddotn
Se multiplican los iacutendices
2 =5 4 25middot4 = 220
Esto se cumple para todo n y b distintos de 0
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Composicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza para ingresar un factor a una raiacutez
a b = a bnnn
4 16223 =4 34 2 =4 4 81middot2 =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
2 Raiacuteces
22 Propiedades
bull Descomposicioacuten de una raiacutez
Ejemplo
Esto se cumple para todo n distinto de 0
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raiacutez exacta
= a bnanmiddotbn
162 = 81 2 middot = 2981 2 =
Esta propiedad se utiliza cuando queremos sumar o restar raiacuteces y sabemos que pueden llegar a tener cantidades subradicales iguales
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Raiacutez cuadrada
Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raiacuteces en el denominador conviene trasformar esta fraccioacuten a una nueva expresioacuten pero sin las raiacuteces en el denominador A este proceso se le llama racionalizacioacuten Podemos agrupar las formas de racionalizacioacuten en tres tipos
34 = 4
3=middot 3
3 ( )2
4 3
3=
433
Raiacutez eneacutesima
45 32
= 5
=5 5
334
32
middot33
334 =5
35 5
4
3
275
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
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( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
2 Raiacuteces
23 Racionalizacioacuten
Adicioacuten o sustraccioacuten de raiacuteces
34 =
+ 2=
3 ndash 234+ 2
middot 3 ndash 2 4( ndash 23 )
3 ndash 2
= 4( ndash 23 )
1
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =
Siacutentesis de la clase
Potencias b ab
a
xx =
Raiacuteces
Operaciones Propiedades
Racionalizacioacutenn nn baba middotmiddot =
n xn
n xn
n x a
a
a minus
minus
middot1
baba
ba
middot1plusmn
nnn baba middotmiddot = 0 ne= bbaba nnn mnm n aa =
Signos Propiedades
Operaciones011
ne=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=minus aaa
a n
nn
0 ne⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus
baab
ba nn
010 ne= aa
( ) Znaa nn isinminusneminus 22
( ) Znaa nn isinminus=minus minusminus 1212
nnn baba )middot(middot =
mnmn aaa +=middot mnmn aaa minus=
nnn baba )( =
( ) mnmn aa =