Post on 22-Oct-2020
Wstęp do mechaniki
dr inż. Ireneusz Owczarek
CMF PŁireneusz.owczarek@p.lodz.plhttp://cmf.p.lodz.pl/iowczarek
2013/14
1 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Plan wykładu
1 Zjawiska ruchu
Algebra wektorów
Kinematyka
2 Zasady dynamiki Newtona
I zasada dynamiki
Układy inercjalne i mechanika klasyczna
Siła bezwładności
II zasada dynamiki
III zasada dynamiki
3 Praca i energia
Praca w polu sił zachowawczych
Zachowanie energii
2 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zjawiska ruchu Algebra wektorów
Wektory
przedstawia się (na płaszczyźnie lub w przestrzeni) zazwyczaj w ujęciu:
graficznym,
analitycznym, czyli w postaci układu liczb.
Każdy wektor można przedstawić
w postaci
þA = Axþi+Ayþj
Długość wektora þA: A =√
A2x +A2y.
Cx = Ax +Bx
Cy = Ay +By
3 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zjawiska ruchu Algebra wektorów
Mnożenie wektorów
Iloczyn skalarny
dwóch wektorów jest skalarem (liczbą):
c = þA · þB =∣
∣ þA∣
∣
∣
∣ þB∣
∣ · cosφ = AxBx +AyBy
gdzie φ jest kątem pomiędzy wektorami.
Przykłady zastosowania:
W = þF · þs = F · s · cosφ
Ek =1
2m · þv · þv =
1
2m · v2.
4 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zjawiska ruchu Algebra wektorów
Mnożenie wektorów . . .
Iloczyn wektorowy
dwóch wektorów jest wektorem:
þC = þA× þB
o zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnej
oraz o długości
C =∣
∣ þC∣
∣ =∣
∣ þA∣
∣
∣
∣ þB∣
∣ · sinφ
gdzie φ jest kątem pomiędzy wektorami.
Przykłady zastosowania:
þM = þr × þF ,
þFL = q · þv × þB.
5 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zjawiska ruchu Algebra wektorów
Mnożenie wektorów . . .
Iloczyn wektora przez liczbę
jest wektoremþC = þA · b
o długości
C =∣
∣ þC∣
∣ =∣
∣ þA∣
∣ · b
i zwrocie zgodnym ze zwrotem wektora þA, gdy b jest dodatnie oraz zwrocie
przeciwnym dla b ujemnego.
Ponadto, jeżeli b > 1 to długość wektora þC jest większa niż wektora þA.
Przykłady zastosowania:þF = m · þa
þp = m · þv
6 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zjawiska ruchu Kinematyka
Układ odniesienia
to ciało lub zbiór ciał względem, których opisuje się ruch innego ciała.
Torem ruchu ciał nazywa się krzywąutworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciał w przestrzeni.
Gdy tor jest linią prostą to ciało
porusza się ruchem prostoliniowym,gdy linią krzywą – ruch jest ruchemkrzywoliniowym.
7 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zjawiska ruchu Kinematyka
Opis ruchu
Droga jest to długość toruzakreślonego podczas ruchu.
Wektor położenia
þr(t) = x(t) ·þi+ y(t) ·þj + z(t) · þk
gdzieþi,þj,þk są wersorami odpowiednio osi x, y i z.
8 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zjawiska ruchu Kinematyka
Prędkość
Prędkość średnia
þvsr =∆þr(t)
∆t=
=∆x
∆tþi+∆y
∆tþj +∆z
∆tþk
Prędkość chwilowa
þvch = lim∆t→0
∆þr(t)
∆t=dþr
dt=
=dx
dtþi+dy
dtþj +dz
dtþk
Interpretacją geometryczną prędkości
średniej jest sieczna.
Wektor prędkości chwilowej ciała jest
styczny do toru, po którym to ciało się
porusza.
9 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zjawiska ruchu Kinematyka
Prędkość i przyspieszenie
Składowe prędkości chwilowej
vx =dx(t)
dt, vy =
dy(t)
dt, vz =
dz(t)
dt.
Wartość wektora prędkości
v =√
v2x + v2y + v2z .
Przyspieszenie chwilowe
þach = lim∆t→0
∆þv(t)
∆t=dþv
dt=dvx
dtþi+dvy
dtþj +dvz
dtþk
Wektor przyspieszenia chwilowego jest styczny
do toru tylko w ruchu prostoliniowym.
10 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki
Zasada bezwładności
Oddziaływanie między ciałami ilościowo opisuje
Siła
to wielkość wektorowa stanowiąca miarę oddziaływań pomiędzy ciałami,
które powodują zmiany kształtu lub stanu ruchu.
Jednostką siły w układzie SI jest niuton
1N =1kg ·m
s2.
Pierwsza zasada dynamiki
Każde ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu prostoliniowym jednostajnym
względem spoczywającego lub poruszającego się ruchem jednostajnym
prostoliniowym układu odniesienia, dopóki działanie innych ciał nie zmusi je
do zmiany tego stanu.
Siła jest przyczyną zmian ruchu, a nie jest przyczyną samego ruchu, tzn.
ciało może się poruszać nawet, gdy nie działają na nie żadne siły
(bezwładność).
11 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki
Zasada bezwładności . . .
Zasada bezwładności
Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego
i jednostajnego jeżeli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tego
stanu.
Zasada bezwładności lub pierwsza
zasada dynamiki leży u podstaw
statyki punktu materialnego,
n∑
i
þFi = 0.
Wnioski
Wszystkie ciała mają własność bezwładności.
Istnieją inercjalne układy odniesienia.
12 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki
Układ inercjalne i nieinercjalne
Newton zakładał istnienie "absolutnego" układu odniesienia.
Układ inercjalny
to układ, w którym obowiązują zasady dynamiki Newtona.
lub Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to
Układ inercjalny
to taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym.
Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ze stałą co do
wartości i kierunku prędkością jest też układem inercjalnym.
Jaki układ można uznać za inercjalny ?
Heliocentryczny układ odniesienia.
Laboratoryjny układ odniesienia.
13 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki
Układ inercjalne i nieinercjalne . . .
W układach inercjalnych
þFwyp =
n∑
i
þFi.
þFbezw = 0.
Czy Ziemia jest układem inercjalnym ?
Wartości przyspieszenia normalnego:
ruch obrotowy wokół własnej osi
(obrót dobowy) – 0, 034ms2
,
ruch obrotowy wokół Słońca –
0, 0044ms2
.
małe w porównaniu z g ≈ 9, 81ms2
.
14 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki
Układ inercjalne i nieinercjalne . . .
W układach inercjalnych
þFwyp =
n∑
i
þFi.
þFbezw = 0.
Czy Ziemia jest układem inercjalnym ?
Wartości przyspieszenia normalnego:
ruch obrotowy wokół własnej osi
(obrót dobowy) – 0, 034ms2
,
ruch obrotowy wokół Słońca –
0, 0044ms2
.
małe w porównaniu z g ≈ 9, 81ms2
.
Ziemia może z dobrym przybliżeniem być traktowana jako układ inercjalny.
14 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna
Pojęcia względne i absolutne
Zasada względności (Galileusza)
prawa fizyki w dwóch inercjalnych układach odniesienia są takie same.
Pojęcia względne, np. ruch, prędkość, tor ruchu.
15 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna
Przekształcenie współrzędnych
Niezależny postulat mechaniki klasycznej
Czas i długość są wielkościami absolutnymi.
Z tych założeń wynika
Transformacja Galileusza
Jeżeli osie X i X ′ układów inercjalnych poruszają
się ze względną prędkością v zgodnie z osią X, to
x = x′ + vt,
y = y′,
z = z′,
t = t′.
Klasyczne prawo składania szybkości
u = |u′ ± v|.
16 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna
Prędkość i pęd
Prawo zachowania pędu w układzie S
m1 þu1 +m2 þu2 = const.
Prędkości w układzie S
þu1 = þv + þu′1,
þu2 = þv + þu′2,
wobec tego
m1(þv + þu′1) +m2(þv +þu′2) = const.
oraz
m1þv+m1 þu′1+m2þv+m2þu′2= const. i (m1+m2)þv = const.
Prawo zachowania pędu pozostaje niezmiennicze we wszystkich układach
inercjalnych
m1 þu′1 +m2þu′2= const.
17 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna
Przyspieszenie
Dodawanie prędkości w transformacji Galileusza
þu = þu′ + þv.
Po obliczeniu pochodnych:
dþu
dt=dþu′
dt+dþv
dt.
Ponieważ układ porusza się ze stała prędkością
dþv
dt= 0
to
Przyspieszenie
jest niezmiennicze w transformacji Galileusza
þa = þa′.
18 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności
Układy nieinercjalne
Siła bezwładności
þFbezw jest siłą pozorną, gdyż nie wynika ona z żadnego oddziaływania
między ciałami.
Układ nieinercjalny
porusza się ze stałym przyspieszeniem względem układu inercjalnego.
W układach nieinercjalnych
þFwyp = þFbezw +
n∑
i
þFi
þFbezw = −m · þauk Ó= 0
19 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności
Układy nieinercjalne . . .
Przykłady:
siła bezwładności podczas ruszania pojazdu,
siła bezwładności podczas hamowania pojazdu,
siła Coriolisa,
siła odśrodkowa.
þFn = mþg + þw = mþg +mþa
a) jazda do góry
Fn = mg +ma = m(g + a)
b) jazda do dołu
Fn = mg −ma = m(g − a)
20 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności
Stan nieważkości ciał
Wypadkowa siła działająca na ciało znajdujące się w swobodnie spadającej
windzie, w polu grawitacyjnym, jest równa zeru.
21 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności
Układ nieinercjalny obracający się
Ziemia obracająca się wokół własnej osi jest nieinercjalnym układem
odniesienia.
Promień krzywizny ruchu po okręgu
określony jest przez szerokość
geograficzną φ:
Fodsi = mω2RZ · cosφ.
Siła odśrodkowa powoduje zmianę efektywnego przyspieszenia ziemskiego
∆g ≈ −0, 033 · cosφm
s2.
Efekt jest większy od oczekiwanego ze względu na spłaszczenie Ziemi.
22 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności
Układ nieinercjalny obracający się . . .
W układzie nieinercjalnym obracającym się z prędkością kątową ω występuje
siła pozorna składająca się z dwóch części: siły odśrodkowej i siły Coriolisa
þFods = mþω × (þr × þω),
þFCorr = 2mþv × þω.
Siła Coriolisa pojawia się tylko wtedy, gdy ciało ma niezerową prędkość
w układzie nieinercjalnym i jest prostopadła do prędkości ciała
(obserwowanej w układzie nieinercjalnym).
mþa = þF −mþω × (þr × þω)− 2mþv × þω.
23 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności
Układ nieinercjalny obracający się . . .
Siła Coriolisa powoduje następujące efekty:
na półkuli północnej wiatr skręca w prawo, a na południowej – w lewo;
na półkuli północnej mocniej podmywane są prawe brzegi rzek (na
południowej – lewe);
na półkuli północnej wiry wodne oraz cyklony poruszają się odwrotnie do
ruchu wskazówek zegara, a na południowej zgodnie z ruchem
wskazówek zegara.
24 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładności
Układ nieinercjalny obracający się . . .
Na półkuli północnej siła Coriolisa odchyla tor ciała w kierunku wschodnim.
Spadek z 5, 5km zajmie t = 100s, a końcowe odchylenie toru od pionu:
∆l =aCt
2
2≈ 40 · cosφ m,
dla Łodzi około 25m.
start wahadła z maksymalnego
wychylenia
Dla obserwatora na Ziemi płaszczyzna
ruchu wahadła Foucault’a obraca się
z prędkością kątową
ω1 = ω · sinφ,
dla Łodzi φ = 52o
ω1 ≈ 12o
h.
Pełny obrót płaszczyzny drgań: 32h.
M = 28kg, l = 67m,T = 16, 4s.
25 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona II zasada dynamiki
Zasady dynamiki
Masa jest miarą bezwładności ciała w ruchu postępowym.Jeżeli dwa ciała pod wpływem tej samej siły doznają przyspieszeń, to iloraz
mas tych ciał jest odwrotnie proporcjonalny do ich przyspieszeń
m1
m2=a2
a1.
26 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona II zasada dynamiki
Zasady dynamiki . . .
Druga zasada dynamiki
Ciało, na które działa siła niezrównoważona, porusza się ruchem
przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do wartości tej siły,
skierowanym i zwróconym tak samo, jak działająca na ciało siła:
þa =þF
m.
lub w innej postaci:
þF = mdþv
dt=d
dt(mþv)
Pęd ciała
to wielkość wektorowa równa iloczynowi masy ciała i jego prędkości.
þFdt = d(mþv) = dþp
27 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona II zasada dynamiki
Zasady dynamiki . . .
Druga zasada dynamiki
Przyrost pędu ciała jest równy popędowi siły działającej na to ciało.
mdþv = þFdt.
W przypadku ruchu bezwładnego, tj. gdy þF = 0, pęd ciała jest stały
d
dt(mþv) = þF = 0
czyli
mþv = const.
28 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki
Zasady dynamiki . . .
Trzecia zasada dynamiki
Gdy ciało A działa na ciało B siłą þFAB wtedy ciało B działa jednocześnie na
ciało A siłą þFBA równą co do wartości, równoległą i przeciwnie zwróconą do
siły þFAB :þFAB = −þFBA.
Siły zawsze występują parami, czyli
nie można mówić o pojedynczej
wyizolowanej sile.
Układ ciał nazywamy odosobnionym albo zamkniętym
jeżeli dla każdego ciała tego układu wszystkie siły, działające na nie,
pochodzące od ciał zewnętrznych równoważą się.
W układzie odosobnionym uwzględnia się tylko siły wzajemnego
oddziaływania między ciałami układu, zwane siłami wewnętrznymi.
29 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki
Pęd układu ciał
Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki
dþp
dt=d
dt
∑
i
miþvi
albo
þp =∑
i
miþvi = const.
Zasada zachowania pędu
Wektor pędu zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu.
lub
Zasada zachowania pędu
W inercjalnym układzie odniesienia pęd całkowity układu ciał, na który nie
działają siły zewnętrzne lub suma sił zewnętrznych jest równa zero, jest
stałym wektorem, niezależnym od zjawisk, zachodzących wewnątrz układu.
30 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki
Pęd układu ciał . . .
Klasyczne i podstawowe założenie – siły zewnętrzne są zaniedbywane:
1 działają krótko,
2 znacznie mniejsze od sił wewnętrznych.
Przykłady:
zderzenia sprężyste i niesprężyste, opis eksplozji,
rozpad promieniotwórczy, reakcje jądrowe, emisja i absorpcja światła,
napęd odrzutowy (rakietowy).
31 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Praca i energia Praca w polu sił zachowawczych
Praca
Proces zmiany energii ciała spowodowany działaniem siły nazywamy
procesem wykonania pracy, a przyrost energii ciała w tym procesie
nazywamy pracą, którą ta siła wykonała.
Praca elementarna dW wykonana przez siłę þF dla małego przesunięcia dþr
dW = þF · dþr
lub
dW = F cosΘ ·∆x
Jeżeli kąt Θ < 90◦, siłę nazywamy siłąnapędową.
Jeżeli kąt Θ > 90◦, to þF jest siłąoporu.
32 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Praca i energia Praca w polu sił zachowawczych
Praca . . .
Jednostką pracy w układzie SI jest J (1J= 1N·1m).
Często używa się jednostki eV (elektronowolt) (1eV = 1, 6 · 10−19J).
W =
∫
Fdx
Praca wykonana w jednostce czasu to moc
P =dW
dt=þFdþr
dt= þFþv.
33 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Praca i energia Praca w polu sił zachowawczych
Siły zachowawcze
Siła jest zachowawcza
jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza
się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.
(WAB)1 + (WBA)2 = 0
(WAB)2 = −(WBA)2
(WAB)1 = (WAB)2
Praca siły zachowawczej
nie zależy od drogi, a tylko od położenia punktu początkowego i końcowego.
Siłami zachowawczymi są np. siła grawitacji, siła powodująca ruch
harmoniczny, siła elektrostatyczna.
Siła dysypatywna (rozpraszająca)
gdy praca siły po drodze zamkniętej nie równa się zeru.
34 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Praca i energia Zachowanie energii
Energia potencjalna
Jeśli praca dotyczy sił zachowawczych, wówczas jej wykonanie powoduje
zmianę energii.
Energia potencjalna
ciała w danym punkcie (względem określonego punktu odniesienia) równa
jest pracy jaką wykonują siły zachowawcze przy przemieszczeniu ciała
z danego punktu do punktu odniesienia.
Związek pracy na odcinku AB z energią potencjalną w punktach A i B:
WAB = EpA − EpB = −(EpB − EpA) = −∆Ep
lub
dW = −dEp = F · dx.
Ogólnie
WAB =
B∫
A
þF · dþr
35 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Praca i energia Zachowanie energii
Energia kinetyczna
Praca wykonana przez siłę działającą na ciało równa jest zmianie jego
energii kinetycznej.
WAB = mv2B2−mv2A2= EkB − EkA .
Energia kinetyczna
to energia ciała związana z jego ruchem
Ek = mv2
2
Dlaczego energia kinetyczna rośnie bardziej ze wzrostem prędkości niż
masy?
36 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Praca i energia Zachowanie energii
Prawo zachowania energii
Praca siły zachowawczej przy przesunięciu z punktu A do B:
WAB = EpA − EpB = EkB − EkA
⇓
EpA + EkA = EpB + EkB
⇓
Ep + Ek = const.
Zasada zachowania energii mechanicznej
Całkowita energia mechaniczna ciała, na które działają tylko siły
zachowawcze, jest stała.
−∆Ep = ∆Ek
37 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Praca i energia Zachowanie energii
Prawo zachowania energii . . .
Ogólna zasada zachowania energii
Energia całkowita układu odosobnionego jest stała.
Układ odosobniony to taki układ, który nie wymienia energii z otoczeniem.
Zasada zachowania energii całkowitej
Energia może być przekształcona z jednej formy w inną, ale nie może być
wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.
lub
Zasada zachowania energii całkowitej
Całkowita energia izolowanego układu jest taka sama przed, jak i po
wystąpieniu przemian w tym układzie.
38 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Praca i energia Zachowanie energii
Prawo zachowania energii . . .
39 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki
Praca i energia Zachowanie energii
Literatura
Halliday D., Resnick R, Walker J.
Podstawy Fizyki t. 1-5.
PWN, 2005.
Praca zbiorowa pod red. A. Justa
Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki.
Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.
Jaworski B., Dietłaf A.
Kurs Fizyki t. 1-3.
PWN, 1984.
Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ
http://cmf.p.lodz.pl/efizyka
e-Fizyka. Podstawy fizyki.
Kąkol Z. Żukrowski J.
http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm
Wykłady z fizyki.
40 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechaniki