Post on 22-Oct-2018
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 1
CONJUNTOS
Conjunto.-
Un conjunto es una colección de objetos (elementos) bien definida, es decir que no exista duda
si un elemento cualquiera pertenece o no a dicho conjunto ; o bien es una colección de números
u objetos que satisfacen una condición dada.
Métodos para describir conjuntos:
Método de extensión.- Consiste en enumerar dentro de corchetes todos los elementos del
conjunto a describir ; u}o,i,e,{a,V ; } ,6,7,8,9,0{1,2,3,4,5D } 2,4,6,8 {P ; ;
; domingo sabado, viernes,jueves,miercoles, martes, lunes,S }{ } 1,4329,31,37,4 {I .
Método de comprensión.- Utiliza una frase que describe los elementos del conjunto además de
la expresión : xx que se lee “x tal que x” y se entiende “cada elemento del conjunto es” ,
ejemplo: vocal}una es{x / x V dígito}un es{x / x D ; real} númeroun es{x / x C ;
O} de Ula de alumnoun es{x / x E ; L ; }abecedario del letra una es{x / x
} diez quemenor positivopar númeroun es{x / x P } semana la de díaun es{x / x S ;
Pertenencia.-
Si el elemento “a” pertenece o forma parte del conjunto “V” se denota de la siguiente forma:
V a , es casos últimos dos estos L, V ; D P ; V b :apertenenci no la usa setambién
conjuntos. entre noy conjuntoun a respectocon elementoun de es apertenenci la porque
Subconjunto.-
Para que un conjunto “A” sea subconjunto de otro conjunto “B” ( BA ), es necesario que
todos los elementos del primer conjunto “A” estén o pertenezcan al segundo conjunto “B”.
conjuntos.son no m"y "4 porque es casos últimos dos estos L,m ; N4 ; DN ; ND
L;D ; DV ; V L ; LL ; VV ; LV :entonces , N
D ; Ly V :sea
entero} númeroun es{x / x
dígito}un es{x / x }abecedario del letra una es{x / x vocal}una es{x / x
Conjunto Universo.-
Es el conjunto que se forma con al menos todos los elementos de los conjuntos que intervienen
en una situación o problema dado. Se utiliza la letra “ U ” para representarlo.
Conjunto vacío.-
Es un conjunto que carece de elementos . Se utiliza la letra griega para representarlo.
ejemplo : edad} de años 200 de mascon mexicanoun es{x / x D
} edad de años 20con Sinaloa deor exgobernad es{x / x D .
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 2
Conjunto complemento.-
Si se tiene un conjunto “ A ”, su conjunto complemento A es aquel que se forma con los
elementos que faltan al conjunto “ A ” para completar el conjunto universo. Ejemplo :
} consonante una es{x / x } vocaluna es{x / x V¨A entonces VA si
Unión de dos conjuntos.-
La unión de dos conjuntos forma otro conjunto cuyos elementos pertenecen a uno o a otro o a
ambos conjuntos } { ambos a o C xo AxxCA .
Intersección de dos conjuntos.-
La intersección de dos conjuntos forma otro conjunto cuyos elementos son los que pertenecen o
están en los dos conjuntos } { ambos a , Cy xA xxCA .
Ejercicios.-
#.-Describa por el método de comprensión los siguientes conjuntos:
a).- 10} 8, 6, 4, 2, { P
b).-
e} d, c, b, a, { C
c).-
25} 20, 15, 10, 5, { Q
d).-
} 36 25, 16, 9, 4, {1, E
#.-Describa por el método de extensión los siguientes conjuntos:
a).- diez} de menores positivos enteros números los { P
b).- } materia"" palabra la de sconsonante letras {las C
c).-
} digitos los de cuadrados {los D
#.-Dados : } ih,f,c,b,{a, A , } ie,{a, B , }h g, {c, C , i} h,b, a, { D ,
} ih,g,f,e,d,c,b,{a, U
Indique si la aseveración que se presenta es verdadera o falsa:
a) B a
b).- D B c)
B a d).-
D B
e) B D
f).- U B g)
U C h).-
A D
i) BA
j).- A D k)
C i l).-
UA
#.- Obtenga todos los conjuntos que sean subconjuntos de conjunto } 8 6, 4, {2, C
Solución:
Número de subconjuntos de un conjunto con “n” elementos : 2
n
2n=2
4=16 subconjuntos
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 3
; 8} { ; 6} {; } {4 ; } {2 ; 6,8} { ; 8} 4, { ; 8} 2, { ; 6} 2, {
; } 6 {4, ; 4} 2, {; } 8 6, {2, ; 8} 6, {4, ; 8} 4, 2, { ; } 6 4, {2, ; 8} 6, 4, 2, {
#.-Dados : } ih,c,b,{a, A , } ie,{a, B , } jg,f,d,{c, C , } ig,d,{b, D ,
} ji,h,g,f,e,d,c,b,{a, U
Realice las operaciones de conjuntos que se indican:
a).- C b) .- DB c) .- AC d) .- )AD(
e) .- CA f) .- DB g) .- D)BC( h) .- )AD(B
#.-Dados : 9} 8, 7, 6, 3, 1, { A , 8} 4, 1, { B , 8} 6, 4, 2, { C , } {1,5,7,9 D ,
} 0 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, {1, U
Realice las operaciones de conjuntos que se indican:
a) .- AC b) .- BD' c) .- DB)C(
d) .- )A(CD
f).- D)B(C f) .- AD)(B
#.- Ubique el área delimitadas en los diagramas de Venn que corresponde a la expresión de
conjunto que se indica :
U
a).- BA
b).- AB c).-
A
A B
d).- AB e).-
BA f).-
AB
g).- BA
h).- )BA(
i).- )BA(
#.- Ubique el área delimitada en los diagramas de Venn que corresponde a la expresión de
conjunto que se indica :
a).- CBA
b).- CAB c).-
)CBA(
d).- CBA
e).- BCA
f).- CAB
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 4
U
A
B
C
#.- En una encuesta hecha a 300 personas se obtuvieron los siguientes resultados : 200
personas toman refresco de cola , 180 toman de sabor y 100 personas toman de sabor y
de cola . Determine ¿cuantas personas
a).- toman refresco de sabor ? ,
b).- toman solo refresco de cola? ,
c).- toman al menos uno de los dos ?,
d).- no toman refresco de cola? ,
e).- no toman refresco. (use los diagramas de Venn)?
Solución.-
cola sabor
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 5
#.- Una escuela de idiomas tiene 120 estudiantes y se sabe que 60 estudian francés , 50
estudian español y 20 estudian francés y español . Determine ¿cuantos estudiantes: a).-
estudian francés o español pero no ambos , b).- No estudian ni francés ni español,
C) .-estudian solo francés.
Solución.-
Francés Español
#.- Se realizó una encuesta a 700 personas de una ciudad sobre el medio de
comunicación que emplea para enterarse de las noticias, y el resultado fue el siguiente:
250 por radio; 200 por televisión; y 450 por periódico; 80 por radio y televisión; 60 por
radio y periódico; 100 por televisión y periódico; 40 personas emplean los tres medios
(radio, televisión y periódico).
Determine.
a).-¿cuántas personas solamente se enteran de las noticias por la radio?
b).-¿cuántas personas solamente se enteran de las noticias por la televisión?
c).-¿cuántas solamente se enteran de las noticias por solo uno de estos medios?
d).-¿cuántas personas no se enteran de las noticias por ninguno de los tres medios?
d).-¿cuántas personas solamente se enteran de las noticias solo por dos medios?
#.- En cierta escuela se tienen que cursar al menos uno de los tres idiomas siguientes :
Inglés, francés y ruso. Si tiene 400 estudiantes y se sabe que 300 cursan Ingles , 200
francés y 150 el ruso; además 140 cursan inglés y ruso, 90 cursan inglés y francés y 50
cursan francés y ruso. ¿Cuantos estudiantes cursan los tres idiomas?
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 6
#.- De 100 personas solicitantes a un puesto en una empresa , 40 cuentan con experiencia
laboral , 30 tienen título universitario , y 20 tienen título y experiencia labora. ¿cuantas personas
solicitantes: a).- tienen experiencia laboral o título o ambos ,b).- tienen solo experiencia laboral
? ; c).- no tienen ni título ni experiencia laboral ?
#.-En una escuela hay 200 alumnos, de los cuales 100 practican fútbol, 120 practican béisbol y
50 practican ambos deportes, cuántos alumnos: a).- practican los dos deportes a la vez ;
b).- practican fútbol pero no-béisbol ; c).- practican al menos uno de los deportes ; d) .- No
practican deporte.
#.- En una determinada población, el 70% son aficionados al fútbol, el 60% al tenis y el 65% al
baloncesto. El 45% lo son al fútbol y al tenis, el 40% al tenis y al baloncesto y el 50% al futbol
y al baloncesto, mientras que el 30% lo son a los tres deportes. ¿Cuántas personas de esta
población no son aficionados a ninguno de los tres deportes?
#.- Una distribuidora automotriz tiene 75 carros, de los cuales: 32 tienen tracción delantera; 39
son compactos; 30 tienen transmisión automática; 16 son compactos con tracción delantera; 12
son compactos con transmisión automática; 10 tienen tracción delantera y transmisión
automática y 4 son compactos con tracción delantera y transmisión automática. ¿Cuantos carros
a).- son compacto con tracción trasera y transmisión automática; b).- No son compactos no
tienen tracción delantera y tampoco transmisión automática; c).- son compactos con tracción
trasera y no tienen transmisión automática; d).- No son compactos tienen tracción trasera y no
tienen transmisión automática.
#.-El gerente de personal de una planta industrial, asegura que en el año de 1996 entre un total
de 400 empleados, 312 obtuvieron un ascenso, 248 incrementaron sus prestaciones de
jubilación, 173 lograron ambos beneficios y 43 ningún beneficio. Explique por qué puede ser
objetada esta afirmación
Definiciones, utilizando el concepto de conjunto;
Circunferencia.- Es el conjunto de todos los puntos (x, y) que están a la misma distancia
( llamada radio) de otro punto fijo (h, k) llamado centro.
Parábola.- Es el conjunto de todos los puntos (x, y), tales que la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es una constante positiva.
Hipérbola.- Es el conjunto de todos los puntos (x, y), cuyas distancias a un punto (foco)
y a una recta (directriz) fijos son iguales.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 7
Las propiedades, se cumplen si A, B, C... son subconjuntos de un conjunto universo U:
1. A ∪ B = B ∪ A
2. A ∩ B = B ∩ A
3. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ,que autoriza la escritura A ∪ B ∪ C. 4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ,que autoriza la escritura A ∩ B ∩ C.
5. A ∪ ∅ = A (∅ esel conjunto vacío)
6. A ∩ ∅ = ∅
7. A ∪ U = U 8. A ∩ U = A
9. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
10. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
11. A ∪ A' = U
12. A ∩ A' = ∅
13. (A ∪ B)' = A' ∩ B' Leyes de Morgan
14. (A ∩ B)' = A' ∪ B' Leyes de Morgan
15. A ∪ A = A ∩ A = A
16. (A')' = A
17. A - B = A ∩ B'
18. (A - B) - C = A - (B ∪ C)
19. Si A ∩ B = ∅, entonces (A ∪ B) - B = A
20. A - (B ∪ C) = (A - B) ∩ (A - C)
Un par ordenado es un objeto formado por dos elementos con un orden determinado que
notaremos por (a, b). A los elementos “a” y “b” se les denomina primera y segunda componente
del par (a, b). Dos pares ordenados son iguales si y sólo si las componentes correspondientes
son iguales.
Dados X e Y conjuntos, llamaremos producto cartesiano de X e Y, al conjunto formado con
todos los pares ordenados que pueden formarse con elementos de X e Y: X Y = {(a, b) / a
X y b Y} . Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B = {(1, x), (1,
y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. Y B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. En
este caso, A × B ≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par
(x, 1). De igual forma se puede definir el producto cartesiano de tres conjuntos:
A B C = {(a, b, c) / a A, b B y c C}
Ejercicios a resolver
#.- Describa por el método de extensión los siguientes conjuntos:
B = { x/x es un número positivo menor que 5}
D = { x/x es una consonante de la palabra materia}
E = { x/x es una consonante }
G = {x/x es un país de América}
#.- Describa por el método de comprensión los siguientes conjuntos
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 8
M = {Mercurio,Venus, Marte,…,Neptuno y Plutón}
H = { a, e, i, o, u}
J = { 1, 3, 5, 7, 9}
K = { f, e, l, i, z}
L = { a,b,c,d,e,...,x,y,z}
#.-Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}; U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
Hallar: a).- BA ; b).- CA ; c).- CB ; d).- BB
e).- BA ; f).- CA ; g).- CB ; h).- BB
i).- BA ; j).- CA ; k).- )C(B ; l).- BB
#.-Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan
construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
#.-¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos:
{e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?
#.-Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
#.-¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}
#.- Un grupo de 50 personas va al supermercado a comprar barras de chocolate. Cada persona
compra como mínimo una barra. El supermercado vende dos tipos de barras de chocolate: con
relleno y sin relleno. Si 45 personas compran de los dos tipos de barras, y 47 compran como
mínimo una barra con relleno cada uno, ¿cuántas personas compraron únicamente barras de
chocolate sin relleno?
#.- Un grupo de 100 extraterrestres llega en la nave Estrella 2000 para invadir su planeta. Estos
extraterrestres se distinguen por dos características: sus ojos y sus colas. Algunos de ellos
tienen ojos, pero no tienen cola, otros tienen cola pero no tienen ojos, y otros tienen ojos y cola.
Si hay 75 extraterrestres que tienen ojos y 50 que tienen ojos y cola, ¿cuántos de ellos tienen
ojos pero no tienen cola? ¿Cuántos tienen solamente cola?
#.- Un grupo de 30 estudiantes decide ir de paseo al zoológico. Hay dos exhibiciones principales
abiertas para visitas: la pajarera y la cueva del león. Ocho estudiantes visitan la pajarera, de los
cuales seis visitan también la cueva del león. ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la cueva
del león? ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la pajarera?
#.- Hay 70 niños en la ciudad de Cartagena, y todos se van a vestir en forma especial para ir a
una fiesta. Hay dos actividades para la noche de la fiesta: un baile y un concurso de disfraz. Si
30 niños fueron tanto al baile como al concurso de disfraz, y solamente 24 niños fueron
únicamente al baile, ¿cuántos niños en total participaron en el concurso de disfraz? ¿Cuántos
fueron únicamente al concurso de disfraz?
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 9
#.- Actualmente se están exhibiendo dos películas en un teatro de la ciudad: Ficción Increíble 3
y Las matemáticas en las estrellas. Un total de 68 personas asistieron al teatro. Si 35 personas
vieron Las matemáticas en las estrellas, y 10 vieron tanto Ficción Increíble 3 como Las
matemáticas en las estrellas, ¿cuántas personas vieron únicamente Ficción Increíble 3?
¿Cuántos boletas se vendieron en total en el teatro?
#.- Se anotaron 75 órdenes de bebidas en un restaurante, donde se ofrecen dos tipos de bebidas:
jugo de naranja y leche. Si 59 personas tomaron jugo de naranja y 18 tomaron leche, ¿cuántas
personas tomaron tanto leche como jugo de naranja?
#.- Hay 100 atletas y tres estaciones diferentes en que se presentan deportes: fútbol en el otoño,
basketball en el invierno y baseball en la primavera. Algunos de los atletas juegan solamente un
deporte, otros dos y otros tres. Cuarenta personas juegan fútbol. Si 15 juegan los tres deportes,
5 juegan basketball y fútbol, pero no baseball, y 10 juegan solamente fútbol, ¿cuántas personas
juegan tanto baseball como fútbol?
#.- Hay 49 personas que tienen mascotas. 15 personas tienen únicamente perros, 10 tienen
únicamente gatos, 5 personas tienen perro y gato y 3 tienen gato, perro y serpientes. ¿Cuántas
serpientes hay?
#.- Tres juegos populares de computador son: La invasión de los extraterrestres, Las carreras de
carros y Fútbol de lujo. Cincuenta personas de su barrio tienen juegos de computador. 16
tienen los tres juegos, 5 tienen Las carreras de carros, 7 tienen Fútbol de lujo, y 19 tienen
únicamente La invasión de los extraterrestres. En total ¿cuántos juegos de computador hay en
su vecindario?
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 10
NÚMEROS
Números naturales.-
Son los números que usamos para contar, por lo que solo involucra a los enteros positivos.
} ., 258. ..., 51, , ,11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, {0,N
Números enteros.-
Este conjunto de números se forma con los números naturales y sus negativos.
} ., . . 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,., . . 4, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, {1,E
Para realizar las operaciones de suma , resta y multiplicación para los números enteros se siguen
las siguientes reglas :
*Si se suman dos números enteros del mismo signo, se suman sus magnitudes y al
resultado se le asigna el signo de ambos ; 6642 ; 853
*Si se suman dos números enteros de diferente signo, se restan sus magnitudes y al
resultado se le asigna el signo del mayor: 572 ; 2253
Al multiplicar dos números enteros del mismo signo el resultado es positivo:
12)3)(4( ; 15)5)(3(
Al multiplicar dos números enteros de diferente signo el resultado es negativo:
7)2)(14( ; 2)5)(10(
Ejercicios:
74 #. ; 283 #. ; 283164 #.
)58(2 #. ; })52(1 {4 #. ; })14(32 {3 #. 2
)63(68 #. ; } )42(5{3 #. ; })64(35 {24 #. 2
Números racionales.-
Son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros.
2
200100.00 ;
4
10.2500 ;
6
10.16666 ;
3
10.3333 ;
2
1600.8
Una característica de estos números es que al realizar la división sus decimales son periódicos.
914183653594771277124183000.00653594 ;
11100.09090909 ;
7128571428570.14285714
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 11
Producto entre fracciones.-
Se realiza multiplicando los numeradores y denominadores respectivamente, las reglas de los
signos para los enteros también se aplican para los racionales.
4
7
)4)(4)(2)(3(5
)5)(7)(3)(4(2
4
5
4
7
2
3
3
4
5
2 ;
8
3
)4(2
)3(1
)4)(2(5
)5)(3(1
4
5
2
3
5
1
10
13
20
26
4(5)
13(2)
5
2
4
1)4(3
5
2
4
13 ;
5
12
5
)3(4
5
34 ;
8
15
)4(2
)3(5
4
3
2
5
Ejercicios.-
5
2
3
42
2
1 #. ;
4
3
3
7
4
3 #.
; 3
54
7
3 #. ; )5(
4
3 #.;
5
7
2
3 #.
; 3
2
5
4 #. ;
3
7
4
3 #.;
4
3
2
1 #.
División entre fracciones.-
Se realiza multiplicando el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda
fracción y queda como numerador de la fracción resultante y el denominador de la primera por
el numerador de la segunda y queda como denominador de la fracción resultante, las reglas de
los signos para los enteros también se aplican para los racionales.
68
15
4(17)
3(5)
5
17
4
3
5
23(5)
4
5
5
23
4
3 ;
21
10
)3(7
2(5)
53
72
12
10
)4(3
)5(2
5
4
3
2
; 20
3
)5(4
)1(3)5(
4
3 ;
6
20
)3(2
)4(5
4
3
2
5
Ejercicios.-
; 5
3
2
1 #. ;
4
7
2
5 #. ;
5
3
6
4 #.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 12
432
721
#. ;
43
54
#. ;
5
4
3
2
5
4 3 #.
Suma y resta de fracciones.-
Se obtiene un común divisor, ( es un número que se puede dividir de manera exacta entre los
denominadores todas las fracciones a sumar) se suma la división de este común divisor entre
cada uno de los denominadores multiplicado por el numerador correspondiente .
; 6
7
6
14125
6
)7(2)4(3)5(1
3
7
2
4
6
5
15
73
15
2548
15
)5(5)16(3
3
5
5
16
3
2)3(1
5
6)5(2
3
21
5
62
Ejercicios.-
12
1
3
5
4
2 .#
12
1
3
5
4
2 .# ;
3
21
5
62 .# ;
2
51
3
2
5
62 .#
4
3
3
2
2
1
5
3 .# ;
5
11
3
25
5
2 .# ;
3
22
4
32
.#
3
22
5
33
.# ; 3
21
5
32 .# ;
Números irracionales .-
Son aquellos que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros.
Todas las raíces que no son exactas son irracionales, además de algunos parámetros como
....73094142135623.12 ; 90....57182818284.2e ; ... 3.1415π
Números reales.-
Es el conjunto de los números racionales e irracionales ( lo que incluye a los números naturales
y a los números enteros ).
Propiedades de campo de los números reales:
Sean cy b a, números reales:
Existe un elemento identidad en la suma y multiplicación para cada número
a0a ; a(a)(1)
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 13
Existe un inverso multiplicativo y aditivo para cada número (excepto el cero en la
multiplicación)
0) a(a ; 1a
1 ) a (
c)(bacb)(acba asociativa
abba ; abba conmutativa
cabac)(b a distributiva
“ ba ” es un número real y “ (a)(b) ” es un número real de cerradura
ba ó ba ó ba :cumple se
scondicione estas de una solo reales, números dos by aSean tricotomía
Propiedades de la igualdad.-
Reflexiva aa
Simétrica si ba entonces ab
Transitiva si ba y cb entonces ca
Aditiva si ba entonces cbca
Multiplicativa si ba entonces cbca
#- Haciendo uso de las propiedades de la igualdad despeje la incógnita que se indica en
cada caso:
; x despeje ba x:de -a).
Solución
ab x a baa x; a baa)(x ; ba x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 14
; x despeje ba x:de -b).
Solución
ab x abaa x; abaa)(x ; ba x
; x despeje bxa : de -c).
Solución
a
b x
a
b
a
xa ;
a
b
a
xa ; bxa
; x despeje ba)( xde -d).
Solución
a
b x
a
b
a
xa ;
a
b
a
xa ; bxa
; x despeje b a
x :de -e).
Solución
ab x aba a
x ; aba
a
x ; b
a
x
; x despeje b a
x :de -f).
Solución
ab)a(b x )a(b) a( )a(
x ; )a(ba)(
a
x ; b
a
x
Lo que se puede deducir de las operaciones anteriores es que para pasar de un lado del signo
igual al otro lado una letra o número deberá pasar con operación contraria a la que tiene en su
lugar original.
ba cba x ; x despeje cba x:de -a).
a
b c x , b cxa ; x despeje cbx)(a :de -b).
a
b c x , b cxa ; x despeje cbx)(a :de -c).
ab) c( x , b ca
x ; x despeje cb
a
x :de -d).
ab) c( x , b ca
x ; x despeje cb
a
x :de -e).
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 15
ba) c( x , a cb x ; x despeje ca
bx :de -f).
ba) c( x , a cb x ; x despeje ca
bx :de -g).
ab
c x ,
b
ca x ; x despeje ca)b(x :de -h).
ab
c x ,
b
ca x ; x despeje ca)b(x :de -i).
También se puede utilizar el mismo criterio para otro tipo de operaciones:
2 a x , 2 a2 2x ; x despeje a 2 x:de -h).
3 a x , 3 a3 3x ; x despeje a 3 x:de -j).
2a x , 2a
22 x ; x despeje a 2 x :de -k).
3ax , 3a3
3 x ; x despeje a 3 x :de -l).
Ejercicios.-
) 4(33
2
2
1684
2
6
2
3 134
5
21
4
92852
3
23
3
62 1
4
33
4
35
5
63
5
3
2
3)25)(6(8
2
6
43 3
62
245 3
2
16 492 2)7()3(
3)2)75(3(22))23)(2(1( )2)75(3(2)25)(6(2
83 59 )2(5 872453
)8)(3( )3)(2)(4( )2()14( )9()3)(6(
5
7
5
3
3
5
3
2
7
19
7
13
7
9
12
1
3
5
4
2
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 16
2
5
4
7
7
3
15
4
6
7
5
3 22
3
4
5
2a
3
a
2
2
5
2
3
5
3
4
1 2
5
2
3
5
3
4
1
5
2)2(
5
2
1
2 5
2
3
4
5
2
4
3
4
3
2
5
5
24
3
4
36
5
20
1
4
3
3
22
5
33
2
13
2
34
6
8
2
3
13
5
2
3
2
11
11
1
4
34
35
33
62
2
6
42
2
1684
2
6
2
3 134
5
21 3
62
245
3
1
2
3
6
2
4
1
3
4 ))63(4)23(3( )2)63(23(34
2)1.1(
3 64
3 8
216
4
2 36
49
)4(9
27
3 64
4
9
2
410
2
412
3
315
2
5
22
2
32
(0.5)(0.5) (0.5)(1.25) 3(0.2)
3 27
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 17
5
11
5
25
5
2
5
4
2
15
2
3
52
2
2
3
4
5
5
2)2(
5
2
4
3
4
3
2
5
2
3
2
4
2
2
7
6
1
3
2
4
2
3
7
5
1
3
2
2
3 134
5
21 3
62
245
3
1
2
3
6
2
4
1
3
4
Ejercicios.-
Despeje la variable que se indica en cada ecuación:
i despeje ; t despeje ; C despeje , t i CI :de
i despeje ; t despeje ; C despeje , t)i(1 CM :de ;
n despeje ; i despeje ; C despeje ,n
) i(1 CM :de
i despeje ; t despeje ; C despeje , t)i(1 CM :de
n despeje ; d despeje ; C despeje , n
) d(1 CS :de
σ despeje ;μ despeje ; x despeje , σ
μx Z:de
n despeje ; S despeje ; C despeje , n
SCD :de
n despeje ;A despeje , i
1n
i)(1A M :de
n despeje ;A despeje , i
ni)(11
A C :de
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 18
2))32(2(63
93 )2)53(34(34
5
11
3
22
5
2
5
4
2
15
2
3
22
2
5
21
2
32
0.02
0.8 (0.5)(0.5) (0.5)(1.25) 3(0.2)
20
14
3
3
22
5
33
2
13
2
34
6
)4(33
2 )928(52
2
6
42
2
1684
2
6
2
5
21
2
32
5
14
3
4
36
5
916
4
916 3
62
245
2
6
43 3
62
245 3
2
16 492
)2)75(3(2)25)(62(3
2
)52(6
4)23(2
))41(32(
2
4
57
3
22
5
2 2
38
54
54
5
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 19
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica esta formada por uno o más términos algebraicos. Un término
algebraico esta formado por un signo un coeficiente y una o más letras o literales y éstas con
algún exponente que indica la potencia a la que esta elevada la literal.
Ejemplo : 2y 4 x6 donde 6 es el coeficiente , "y " e x"" son las literales , 4 y 2 son los
exponentes de "y " e x"" respectivamente y el signo es positivo (+) , el cual se sobreentiende
si no es negativo.
Otros ejemplos : x2 ; 4yx
5
6 ;
z 3
4yx ; 5 z 3y 2 x8 2 ; 2)4y2(x
Una expresión con un solo término se le llama monomio; en caso que tenga dos términos se les
llama binomio , y si tiene tres términos trinomio , con cuatro será tetranomio , etc. En general si
tiene dos o más términos se le llama polinomio.
ejemplos:
Binomios : 2x ; 4 x5 ; 4
2y 3
2
35x ;
2
y 3y ;
5
3z 2y 4 x24z 3y 2 x4
Trinomios 3y 42 x5 ; 2z2y 33z4 x4z 3y2 x5 ; cba ;
; 5
2
2
y
3
x2
;
2y
53y25x
4
4 x
3 25x 243x ; 326x 39x
Suma de expresiones algebraicas.-
En la suma expresiones algebraicas, solo se pueden sumar los términos que sean semejantes ,
esto es que tengan la misma parte literal y se procede a sumar los coeficientes , dejando
inalterada la parte literal de los términos sumados.
Ejemplos:
x152x12y3x526x7x 24xy32x5xy33x22x3x
Ejercicios.-
)y26x 2z3y2xz2y38x()2y35xy 28xz2y32x ()2z3y25x2z3y22x( #.
)3y 23yz25y()y5 2z3y3z24y()26y3y z22y ()2z33y2z3(5y #.
)22xyy27x(4xy)26xy5xyy2x( #.
8y)2
6x(4x3)2
(2x3)3x2
3x( #.
5y)6x2(2x5x)3y2x4( #.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 20
)38x26x(4x)22x35x2(2x4x)23x38x( #.
)25x2y33xy2(4x)2y32xy24x(2xx)y22x2y34x( #.
)722x(6x4)2x2(6x)38x22x(5x #.
5y)24x(2x8y)3x2(4x2)2x5( #.
)34x27x(5x3x)34x2(2x)23x3x8( #.
)2y32xy27x3x(3x)y2x2y35x()24x2y32xy2(7x #.
Resta de expresiones algebraicas.-
En la resta expresiones algebraicas, solo se pueden restar los términos que sean semejantes ,
esto es que tengan la misma parte literal y se procede a restar los coeficientes , dejando
inalterada la parte literal de los términos sumados. Para empezar deberán multiplicarse los
signos de los términos dentro del paréntesis al cual le antecede el signo negativo.
Ejemplo:
3x25xy3x42x26xy3x5x28xy35x23x4x
2x)26xy3x5x()28xy35x23x(4x #.
Ejercicios.-
y)26x4x 3y22x2y37x()2y35xy 25x3y2(2x #.
)y26x 2z3y2xz2y38xy25x (y)28xz2y32x2z3y22x( #.
y)26x3xy z2y38x()2y35xy 28xz2y32x(y)22x2z3y24x( #.
)2y32xy24x(2x)25x2y33xy2(4x #.
)32x4x2(2x)38x22x(5x4)2x2(6x #.
5)24x(2x2)2x5(8)3x2(4x #.
6x)3x2(x)23x34x2(2x)34x27x(5x #.
)2y3x3y22x(x)2y32xy27x3x()24x2y32xy2(7x #.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 21
EXPONENTES.-
Exponente .- Es un número o expresión que se localiza adelante y encima de un número o
expresión llamada base y que indica el número de veces que se debe de tomar como factor la
base ( número o expresión).
)3)(3(23 ; )8)(8)(8(38 ; )5x)(5x(25)(x ; )xy4)(xy4)(xy4(3)xy4(
Leyes de los exponentes.-
Sea “ a ” un número real, y “m y n” enteros positivos, entonces :
; nma)n(ama ; 0a , nmana
ma
; mnan)m(a
; mbmam(ab) ; 0b mb
mam
b
a
nana
1 ; na
1 na
Todo número distinto de cero elevado a un exponente cero es igual a la unidad 1a0
Sea n a , con 0a si “ n ” es par, entonces n1
an a siempre y cuando “ n” sea
diferente de cero.
Además : nm
an ma ó
n manm
a
2ax)2x)(ax( ; xx)3x)(2/1x(
4x62x)6x)(2x( ; 5x32x)5x)(2x(
2/7321
Ejercicios.-
1/61/23/2 x1xx #. 2xx #. 3y7y #.
3
5y #. 6x5x2x #. 44x5x3 #.
2
4y
6 x #. 6x3ay2ay #.
2y #.
3/11/5
1y
3x
2y
4 x
2
y6
x
4y
2x
3
4y
3x
2y
5x
#. #. #.
1/3
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 22
3 4z
6y
5 x
2
3 x
4x
)3
x(32
x)(8
2
x
) x(2x 2Y y
3a ax
#. #. #.
#. #. #.5/61/3
4/3
Multiplicación de expresiones algebraicas.-
Monomios por monomios.-
Se multiplican los coeficientes considerando sus signos y en la parte literal se suman los
exponentes de la misma variable.
Ejemplos:
5y624x )4y36x(y)3(4x ; 7/5
y4
x24 y)2
6x)(2/5
y6
4x(
Ejercicios.-
#. )2y2y)(7x23x(
#. )1/4y
2x4()
2y
2/52x(
#. )2z3)(8y2xyz3(
#. )3
y2
x2(y)3
7x(
#. )y 2
4x)(3
y2
(2x #. )3y3)(4x3y2x6(
#. )2/3
y5/2
x2()3
y2
5x( #. )
2/3y
2x3()
1/3y
4/34x(
#. )5/4
y2/1
x2(y)3
(x #. )
2y
1x6()
1/5y
3x3(
Monomios por polinomios.-
Ejemplo:
320416x524x 5)4x26x()3(4x
Ejercicios.-
#. )24x3xyy26x)(2y35x(
#. )2xy y24x2y35x)(3y3(2x
#. )1/3y1/22x1y23x3y2)(2x2y4(4x
#. 1)32y2y27xy)(4xy23x(
#. )2x38y2y26x34xyzY2)(2x2xyz3(
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 23
2y 6
2y 3 xy6
2y 3 xy 6
xy2 x2
3y x
2y 3 xy 52 x2 y2x
#. )2a
xa2x3x4(ax2
#. )32
x25
x22x5a2x4(3x2
#. )3y34x2y22x)(5xy3x2x6(
Polinomios por polinomios.-
2y)22y)(4y23y3(2y #. )2xy y24x2y33xy)(5x3y3(2x #.
4)3y2)(6x22x3(5x #. 4x)2)(6x22x3(4x #.
3y)23y)(2y2(2y #. 3y)33)(2y2(5y #.
División de expresiones algebraicas.-
Monomios entre monomios
yx2
y214x #.;
y25x
3y620x #.;
3y26x
5y630x #. -. Ejercicios
;y 2 x4yx6
24
2y36x
3y524x :Ejemplo
3/42/3
2335
Polinomios entre monomios
2y26x
2y312x3y418x5y630x -#.
2y1/25x
2y210x2y320x -#.
-.Ejercicios
; 16x2xy2y24x y36x
y26x2y412x3y524x : Ejemplo
1y34x
z2y2x84y612x -#.
3/4y2/32x
1/4y1/36x12xy2y214x -#.
Polinomios entre polinomios.-
Para dividir dos polinomios entre si siguen los siguientes pasos:
Ordenar las expresiones en orden descendente tomando en cuenta el exponente de la literal
principal ; dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor;
multiplicar el resultado por los términos del divisor y restar el producto al dividendo;
determinar si el grado del primer término del residuo es menor al grado del primer término del
divisor, si lo es, se termina el proceso, si no lo es, se repite del paso 2 en adelante.
Dividir :
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 24
#.
3 2x3x 2x
214xyy2 x3xy #.
10 2 x74 x22 x#.
4 x52 x1 x#.
1 x22 x4 1 x2 #.
3y 8 3 x27 y 2 x3 #.
2y 43 xy124y 2 x9 y 2 xy3 #.
; 3y 27 2y x 54y 2 x363 x8 3y x2 #.
2x
32 x802 x803 x404 x105x #.
Ejercicios.-
Suma y resta de expresiones algebraicas.-
)22xyy27x(4xy)26xy5xyy2x(
8y)26x(4x3)2(2x3)3x23x(
5y)6x2(2x5x)3y2x4(
)38x26x(4x)22x35x2(2x3x)23x38x(
)2y32xy24x(2x)25x2y33xy2(4xx)y22x2y34x(
)38x22x(5x4)2x2(6x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 25
5y)24(2x8)3x2(4x2)2x5(
)34x27x(5x)23x34x2(2x)23x3x8(
)2y32xy27x3x()24x2y32xy2(7x3x)y2x2y35x(
)2y5x2(4x6x)3y2x3(
Multiplicación de expresiones algebraicas
1)32y2y27xy)(4xy23x(
)2z38y2y26x34xyzy2)(2x2xyz3(
)axa2x3x4(ax2
)xx22x5a2x4(3x2 32
25
)3y34x2y22x2xy)(5xy3y2x6(
3y)23y)(3x2x3(
)38xyy26x35xyy2)(2x1/2y1/3x3(
)2yz2x2zy5x2y2)(2xzy(3x 21
43
32
21
52
32
)3by2a6x3by2a4x3y2)(2xbya(3x
)13x22x33)(3x2x(
)24yy210x42y)(25x2x5(
)23x3)(2x23x3x2(
)2y33xy2y)(4x22x2y3x4(
División de expresiones algebraicas
3z3y54x
3z4y316x ;
1/33/2zy2a5x
z2y3a20x ;
1/33/2
1/2
zy27x
2zy514x
y22x
22xyy210xy34x2y48x3y512x 1/2
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 26
2y3x3y2x33y5x64y7x96y8x122y2x3 2/1
2y 2 x3
2y 3 x32y 2 x33y 5 x64y 7 x96y 8 x12
1013x27x311x44x2x 18x23x312x58x3x22x
86x2x4x
1013x27x311x44x2x
2768x322x
83x2x 2412x212x310x48x623x34x
2412x212x310x48x42x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 27
PRODUCTOS NOTABLES
Se les conoce como productos notables, a ciertos productos entre expresiones algebraicas que
se pueden resolver utilizando la regla correspondiente a ese caso; esto permite, para esos casos,
no tener que realizar el proceso de la multiplicación de la manera tradicional, además de facilitar
la factorización de expresiones algebraicas.
Binomios al cuadrado.-
REGLA: El cuadrado de un binomio 2b)(a , es igual al cuadrado del primer término “ 2a ”,
más el doble del producto del primer término por el segundo “ b a 2 ” , más el cuadrado del
segundo termino “ 2b ”, el resultado 2bb a 22a se conoce como trinomio cuadrado
perfecto
Expresión general:
2bb a 22a2b)(a
Ejemplos :
2y 9y x 122 x42y)3(2(2x)(3y)2)x2(2y) 3 x2 ( -#.
25 2 x104 x2)5(5))(22(x2)2x(2) 52 x( -#.
Ejercicios.-
-#.2)y 42 x3 ( -#.
2 )4y3(x
-#.2) 5 x4 ( -#.
2)y3(5x
-#.2)2y2(3x -#.
2) ny 2m x4 (
-#.2) 44y 3 x2 ( -#.
2)1x2(
-#.
2
3y2y4
1
-#.
2
x3
52x5
2
-#.2) y 2x4 (
-#.
2z)y 22y x 3(
-#.2)y 5 x6 ( -#.
2 )4y53 x(4
-#.25z) y5 x4 ( -#.
2 y3 5x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 28
-#.
2
3
2y
4
2x -#.
2
6x
2
Binomios al cubo.-
REGLA: El cubo de un binomio 3b)(a , es igual al cubo del primer término 3a , más el triple
del producto del cuadrado del primer término por el segundo b2a 3 , más el triple del producto
del primer término por cuadrado del segundo 2b a 3 , más el cubo del segundo término 3b .
Expresión general:
3b2b a 3b2a 33a3b)(a
Ejemplo:
1 x62 x123 x83(1))23(2x)(1(1)23(2x)3)x2(31) x(2 -#.
848x296x34x632)(22)4x)(3(2)(24x)(334x)( 32)4x ( -#.
Ejercicios.-
-#.3) 2(x -#.
3) 4 x(
-#.3)y x3 ( -#.
3) 4 x5 (
-#.3)y 5 x3 ( -#.
3)y 3 x4 (
-#.3)y 22 x3 ( -#.
3) 2y4 x2 (
-#.3) 2y32 x4 ( -#.
3) 3z 22y 3 (
-#.3) 3y 53 x2 ( -#.
3)y 2/3 x2 (
-#.3) 22 x3 ( -#.
3) 43 x5 (
-#.3) 2y 24 x2 ( -#.
3) ny 2m x5 (
-#.3) z 3 xy2 ( -#.
3) 3z 22 xy5 (
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 29
-#.3
3
y 22 x -#.
3
3
42x2
3
-#.31)3 x2 ( -#.
3) 3 y2 3 x (
Binomios conjugados.-
REGLA: El producto de dos binomios conjugados es igual a cuadrado del término igual menos
el cuadrado del término conjugado ,al resultado 2b2a se le conoce como diferencias de
cuadrados.
Expresión general:
2b2ab)b)(a(a ; 2a2bb)b)(aa(
2a2bb)b)(aa( ; 2b2ab)ab)(a(
Ejemplo :
2b 92a 42b) (32a) 2(b) 3a 2 b)( 3a 2 ( -#.
2a 42b 92a) 2(2b) 3(b) 3a 2 b)( 3a 2 ( -#.
Ejercicios.-
-#. )y 3 )(y 3 ( -#. )3 x)(43 x(4
-#. )y 2 x3 )(y 2 x3 ( -#. y) 6 xy)(5 6 x5(
-#. 3
y
2
x
3
y
2
x -#.
5
2y 2
3
x4
5
2y 2
3
x4
-#. )y 22 x7 )(y 22 x7 ( -#. )3y 22 x)(33y 22 x(3
-#. ) 1/2y 23/2 x5 )( 1/2y 23/2 x5 ( -#. )ny 2m x)(4ny 2m x(4
-#. )y 22 x3 )(y 22 x3 ( -#. )3ny 2mx )(3ny 2m x(
-#. y) 5 x4 y)( 5 x4 ( -#. )y 5 2y3 x2 )(y 5 2y3 x2 (
-#. ) zy 22y x )( zy 22y x ( -#. )3y 2 4 )(3y 2 4 (
-#. )y2x)(4y2x(4 -#. )y 52 x)(2y 52 x(2
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 30
Binomios con un término común.-
REGLA: El producto de dos binomios con un término común es igual a cuadrado del término
común más la suma de los no comunes por el común mas el producto de los términos no
comunes.
Expresión general:
ba xb)(a2xb) x)( a(x ;
cb) x (a ) cb (2)x a(c) xa )( b xa (
Ejemplos :
12a 72a )4a )( 3a ( -#.
15a 162a 4 )3a 2 )( 5a 2 ( -#.
Ejercicios:
-#. ) 1 x)( 2(x -#. )2)(y 6y (
-#. )6 x)( 5(x -#. )4)(x 1 x (
-#. ) 9y )( 3(y -#. ) 2 x)(2 5 x(2
-#. )7 x)(3 2 x (3 -#. )2)(x 9(x
-#. )2 x)( 1(x -#. ) 3 x)( 8 x(
-#. ) 4 x)( 2(x -#. )2)(y 6y (
-#. )5 x)( 2(x -#. )8)(x 2 x (
-#. ) 7y )( 3(y -#. ) 4 x)(3 1 x(3
-#. )7 x)(3 2 x (3 -#. )4)(x 5(x
-#. )44x )( 1(4x -#. ) 8 x)( 1 x(
-#. 2)x)(41x(4 -#.
5
2
5
x3
5
1
5
x3
-#. ) 32x)( 12x( -#. )4x)( 6x (
-#. )5 x)( 1(x -#. ) 3 x )( 8 x (
-#. 43
2x 2
3
2x -#. 2
3
y 1
3
y
-#. 63 x 43 x -#. )9)(2x 52x (
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 31
Binomios con un término semejante:
REGLA: El producto de dos binomios con un término semejante es igual al producto de los
términos semejantes mas la suma del producto del término semejante del primer binomio por
el no semejante del segundo binomio y del producto del término semejante del segundo binomio
por el no semejante del primer binomio y mas el producto de los términos no comunes.
Expresión general:
db xc) bd (a xc ad) xb)(c x(a 2
Ejemplo :
8 x142 x6 )22x )( 43x ( -#.
15y 212y 6 )33y )( 52y ( -#.
Ejercicios:
-#. ) 3 x)(5 2(2x -#. )2 x)( 1(x
-#. )3 x)( 5(4x -#. ) 8 4x )( 8 (5x
-#. ) 2 x6 )( 3 x2 ( -#. ) 2x)(3 1x(4
-#. )7 x3 )( 2 x 3 ( -#. ) 6)(3x 5(2x
-#. )2 x)(5 2(x -#. )2 x)( 1(x
-#. )33x )( 1(x -#. ) 8 3x )( 2 2x (
-#. ) 2 x)(5 4(3x -#. )53x )( 1(3x
-#. )33x )( 1(5x -#. ) 1 4x )( 2 x(
Trinomios al cuadrado :
REGLA: El cuadrado de un trinomio 2c)b(a , es igual a la suma de los cuadrados de cada
uno de los términos “ 2c2b2a ”, más el doble del producto de todas las combinaciones de
los tres términos “ c b 2c a 2b a 2 ” , y el resultado es: bc2ac2ab22c2b2 a
Expresión general:
bc2ac2ab22
c2
b2
a2
) cb (a
Ejemplo :
y 16 x12 xy2442y 162 x9 2) 24y3x ( -#.
Ejercicios.-
-#.2) z3y 5(2x -#.
22)y2(x
-#.2)32y 5(4x -#.
2) 3 z 8 5xy (
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 32
-#.2) 2z 33y 2 x2 ( -#.
2) 2x3x(
Binomios por Trinomios de la forma: )2bab 2b)(a(a
REGLA: El producto de un binomio y un trinomio de la forma )2bab 2b)(a(a
cuadrado de un trinomio 2c)b(a , es igual a la suma de los cubos de cada uno de los
términos “ 3b3a ”, más el doble del producto de todas las combinaciones
Ejemplo :
8327x ) 46x29x )( 23x ( -#.
Ejercicios.-
-#. )2y 25y x 102 xy)(4 5 x(2 -#.21)x21)(x(x
-#. ) 25 x 52)(x 5(x -#. ) 4 x 82 x2)(16 x(4
-#. ) 1 x 32)(9x 1(3x -#. ) 25 x 52)(x 5(x
Binomio de Newton
Esta fórmula permite desarrollar un binomio a una potencia positiva, su forma es la
siguiente:
nb..kbkna
!k
)1kn()2n)(1n(n..
..3b3na!3
)2n)(1n(n2b2na!2
)1n(nb1nnanan)ba(
La operación !k se le conoce como el factorial de un número, y se calcula:
1)3k)(2k)(1k(k!k ejemplo 241234!4
Al desarrollar el binomio 5)2x( usando la fórmula del binomio de Newton se obtiene:
5)2(
!5
)1)(2)(3)(4(54)2(
!4
)2)(3)(4(53)2(
2
!3
)3)(4(52)2(
3
!2
)4(5)2(
45
55)2( xxxxxx
32x802x803x404x105x5)2x(
Ejercicios.-
-#.4) y2 x4 ( -#.
6) 3 x(
-#.5) 1 x3 ( -#.
7) y5 x2 (
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 33
más ejercicios de productos notables
2) 2 x4 ( ) 2 x4 )( 5 x2 (
2)5y x2 ( ) 4 x6 )( 6 x(
2)y 5 x4 ( y) x4 y)( 4x (
2) z4y 7 x( 2)2 x3)(22 x(2
) 1 x6 )( 4 x( y)6 x3 6y)( 3x (
6) 3y 2 x2 ( 2)4y32(2x
26) x( 2y)5 x(4
4) x4)(2 x(2 y)5xy)((5x
3
4) x(2 32y) x(3
) 16 x82
x4)(4 x(2 2
) 3
c2
b a (
8) x)( 2(x 7) x)( 3 (x
4)3x )( 2(x ) 3 x)(2 2 x(6
2) 4y 2 x(3 2
5)2y (x
)y 2
x)(52y 2
x(5 2) 2
a(4x
3)y x(5 ) 1 x
21)(x(x
2
z) 2y 2 2
x(4 3) x)(2 2 x(6
2
) 42
y (2 1) x)(2 5(2x
)2y 3)(x2y 3 x( )5)(xy 4(xy
3) x)(6 3 x(6 )z43y)( z43y(
16)28y4)(4y 42y (2 1) x)(2 5(2x
)2y 2 x)(42y 2 x(4 )2y)( 4y(
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 34
2) 23y3(5x 2)n x)( 6n(x
) 2y 4y2 x24 xy)( 22 x( 2) 43x2(2x
)4x)(24x(2 )3x)(4x(
)1)(y 6y ( 3)52y (
) 42y )( 322y ( ) 52y )( 52y (
) 4y )( 12y ( ) 4y )( 12y (
2)y 5 x( )1/2y x4 )(1/2y 4x (
24)(x 25y)(4x
4)4)(2x(2x y)5xy)((5x
34) x(2 32y) x(3
) 16 x82 x4)(4 x(2 ) 1 x2 x1)( x(
8) x)( 2(x 7) x)( 3 (x
4)3x )( 2(x 3) x)(2 2 x(6
)3)(y 7y ( 2)z523y (
) 123y )( 122y ( ) 62y )( 5y (
) 24y )( 1y ( ) 15y )( 12y (
3)y 5 x( 7) x8)( x(
43y)(x 5y)5y)(4x5y)(4x(4x
y)y)(5x(5x )2)(x5(3x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 35
FACTORIZACIÓN ALGEBRAICA
Factorizar una expresión algebraica, es obtener los factores que multiplicados entre si nos darían
la expresión algebraica considerada. (No todas las expresiones se pueden factorizar).
Factorización de binomios :
Caso : 2b2a ,
Esto es la diferencia de dos términos que tienen raíz cuadrada exacta ambos términos, se conoce
como diferencia de cuadrados y su factorización es el producto de dos binomios de la forma : ,
)ba)(ba( conocido como producto de binomios conjugados, es decir :
Expresión general:
)ba)(ba(2b2a
Ejemplos:
2y)2y)(x(x2
4y2 x -. #
)25y)(6x25y(6x425y236x -. #
Ejercicios.-
16
x -. #
216
49x -. #
2
16y2
25x -. # 6
48
81x -. # y
94
x -. # 12
9x -. #
2
362
16x -. # y a
y4
2252a
121x -. #
12
36x -. # 4
6y16
x -. #
2
y2
64x4
9x -. # 4
25y2
36x -. #
25y2
x -. # 2
y4x -. #
4
y2
3)(x -. # 2
1)(y 2
9x -. #
812
4x -. # 6y2/316x -. #
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 36
Caso : 3b3a
Esto es la diferencia o suma de dos términos que tienen raíz cúbica exacta ambos términos, se
conoce como diferencia o suma de cubos y su factorización es el producto de un binomio de la
forma: )ba( ó )ba( , por un trinomio de la forma ) 2bb a2(a ó ) 2bb a2a (
según sea diferencia o suma de cubos.
Expresión general:
2bab2a)ba(3b3a
2bba2a)ba(3b3a ó
Ejemplos:
1)22x41)(4x2(2x168x -. #
9)3x23)(x(x273 x -. #
Ejercicios.-
3
y 273
x8 -. #
6
y 643
x -. #
13
x8 -. #
6
y 649
x8 -. #
9
y 1253
x -. #
9
y 273
x125 -. #
6
y 1253
x216 -. #
3
y 10002/3
x27 -. #
6
86
x8 -. # y
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 37
Caso : bx ax
Esto es la diferencia o suma de dos términos que tienen un término común, y su factorización es el
producto del término común por el binomio que resulta de dividir la expresión a factorizar por el
término común .
Expresión general:
)ba(xbx ax ó )ba(xbx a x
Ejemplos:
)32x(2x22x634x -. #
)25y4x(2y22x 4y210x2y38x -. #
Ejercicios.-
2y4x9y212x -. #
2z3x310xz4y35x -. #
2y464x3y68x -. #
3y310xz2y56x -. #
z212xy4y215x -. #
z3xy3yz23x -. #
24xy3y x10 -. #
z3y310xz2y3 x -. #
3
z2
y4
8x2
z4
y2
12x -. #
3b
y2a
16xz2b
y3a
64x -. #
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 38
Factorización de trinomios.-
Caso : 2bb 2a2a
Este trinomio es conocido como trinomio cuadrado perfecto, se caracteriza en que dos de sus
términos tienen raíz cuadrada exacta y el otro es el doble producto de esas raíces y su factorización
es un binomio formado por las raíces mencionadas elevado al cuadrado.
Expresión general:
2)ba(2bb 2a2a
Ejemplos:
23)(2x912x24x -. #
25y)2(4x225yy2x40416x -. #
Ejercicios.-
2
4y4x2
x -. #
410x2
25x -. #
9x6 x -. #
yyx2x -. #
6312x2
x -. #
2
25y30xy2
9x -. #
912x2
4x -. #
16x2
9x -. #
2
16yy2
8x4
x -. #
92
30x4
25x -. #
96x32
36x -. #
2520x2
4x -. #
yy4x2
4x -. #
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 39
122x4 x -. #
Caso : b a x)b a(2 x ,
Este trinomio es conocido como trinomio producto de dos binomios con un término común, y tiene
la forma : b a x)b a(2 x y su factorización es el producto de dos binomios donde el término
común de ambos binomios es la raíz cuadrada de uno de los términos del trinomio y los términos
no comunes deben cumplir que su suma sea el coeficiente del término común y su producto sea el
tercer término )bx)(ax( .
Expresión general:
)bx)(ax(b a xb) (a2 x Ejemplos:
7)3)(x(x2110x2 x -. #
7)2)(x(x149x2 x -. #
Ejercicios.-
56x2 x -. #
145x2
x -. #
422x2
x -. #
93
x66
x -. #
2x x -. #
12x8 x -. #
65x2 x -. #
712y2
y -. #
152
2y4
y -. #
122
x84
x -. #
32z2
z -. #
43xy2
y2
x -. #
283y2
y -. #
322
4x4
x -. #
826x4 x -. #
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 40
Caso : d b x)bc ad(2acx ,
Este trinomio es conocido como trinomio producto de dos binomios con un término semejante, y
tiene la forma : d b x)bc ad(2acx y su factorización es el producto de dos binomios donde
el término semejante se obtiene de factorizar el término del trinomio con mayor exponente
) x)(c x (a y para obtener los términos no semejantes de los dos binomios se buscan dos
números que multiplicados sea el término independiente del trinomio y que la suma de los
productos de uno de los no semejante por el coeficiente del semejante del otro binomio con el
producto del otro no semejante por el coeficiente del semejante del otro binomio sea igual al
coeficiente del término con menor exponente .
Expresión general:
)dcx)(bax(d b x)bc ad(2acx
Ejemplos:
1)2)(2x(3x2x26x -. #
7)2)(x(2x1412x2 x2 -. #
Ejercicios.-
3x112
20x -#. 109x2
2x -#.
412x2
8x -#. 52
9x4
x4 -#.
66x2
36x -#. 203
x116
4x -#.
12x2512x -#. 8x103x -#.
64x2
10x -#. 45x2
6x -#.
310x2
8x -#. 18x2
x5 -#.
4x2
x -#. 613x2
6x -#.
7x232
6x -#. 15x42
x4 -#.
215x2
x7 -#. 25x2
3x -#.
2x52
2x -#. 1x42
x3 -#.
5x122
9x -#. 6x132
x6 -#.
818x2
x9 -#. 15x2
x2 -#.
15x2
2x -#. 20x312
x12 -#.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 41
Caso : xcbx ax ,
Esto es la diferencia o suma de tres términos que tienen un término común, y su factorización es el
producto del término común por el trinomio que resulta de dividir la expresión a factorizar
por el término común.
Expresión general:
)cba( xcx bx a x Ejemplos:
)4y 23xy22x (2x 8xy2y26x34x -#.
) 3yz25xy22x ( 22xy z36xy4y210x2y34x -#.
Ejercicios.-
2yz216x2y464x3y68x -#.
y2
12x2
yz2
6xz3
y4
9x -#.
3
4xyy2
12x2
y3
8x -#.
2
z2
8xy2
z2
y3
2x3
z4
y2
6x -#.
2
yz2
8xz2
y4
4x2
z3
y3
12x -#.
z2
y3
8x3
zy 2
2x12
z3
y5
4x -#.
4
y2
8x2
y4
x62
y5
2x -#.
2
yz2
3x3
z3
y4
9x2
z4
y6
6x -#.
2
yz4
x20z3
y3
5x2
z4
y5
10x -#.
z2
y3
zxy z3
y2
x-#.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 42
Factorización de tetranomios.-
Caso : 3b2ab3b2a33a ,
Este tetranomio es producto de un binomio al cubo, se caracteriza en que dos de sus términos
tienen raíz cúbica exacta (generalmente los de los extremos ) y forman el binomio al cubo , pero se
tiene que cumplir que los otros dos términos del tetranomio sean el triple producto del cuadrado de
una de esas raíces por la otra y su factorización es el binomio formado por las raíces cúbicas
mencionadas elevado al cubo.
Expresión general:
3)ba(3b2ab3b2a33a
Ejemplos:
3
4y)(2x3
64y2
96xyy2
48x3
8x -#.
3
3)(x272
27xyy2
9x3
x-#.
Ejercicios.-
3
8y2
y2
24xy4
24x6
8x -#.
2727x2
9x3
x-#.
824x2
24x3
8x -#.
Caso : ay by bx xa ,
Este tetranomio es producto de dos binomios se puede factorizar agrupando y factorizando de dos
en dos los términos del tetranomio y dichos términos quedan con un factor común que permiten de
nuevo factorizarlos y de esa manera se obtiene la factorización del tetranomio.
Expresión general:
)yx)(ba()ba(y)ba(xay by bx xa
Ejercicios.-
z bzy bx yx -#.
zx zy y2x 2x -#.
6zz2x 3yyx -#.
y axy xa -#.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 43
Caso : xdxcbx ax ,
Esto es la diferencia o suma de cuatro términos que tienen un término común, y su factorización es
el producto del término común por el tetranomio que resulta de dividir el término común por la
expresión a factorizar.
Expresión general:
) d cba ( xdx cx bx a x
Ejemplos:
)4y 2x23xy22x (2x 8xy212x2y26x34x -#.
)13xz25xy22x(22xy22xy z36xy4y210x2y34x -#.
Ejercicios.-
2yz216xy312x2y432xz3y68x -#.
yz212x2yz26x2y33xz3y49x -#.
22xy34xyy212x2y38x -#.
2z28xyz2y24x2z2y32x3z4y26x -#.
z2
y3
8x3
zy 2
2x12
z3
y5
4xz3
y4
x6 -#.
3
y3
x124
y2
8x2
y4
x62
y5
2x -#.
2
z2
y3
12x2
yz2
3x3
z3
y4
9x2
z4
y6
6x -#.
3
z2
y2
5x12
yz4
x20z3
y3
5x2
z4
y5
10x -#.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 44
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Simplificación de fracciones .-
Para simplificar una fracción algebraica se primero se factorizan las expresiones del numerador y
del denominador y se eliminan términos iguales que estén en ambas partes.
Ejemplos:
3
5
)4( 3
(5) 4
12
20 -#. ;
3
2
(12) 3
(12) 2
36
24 -#.
3z
2xy -#.
zz 3
xy)4(3)(
zy 3
y x x )42(
2z
312xy
z4
y2
8x
x2x
2)(xx
2x
2)(xx
2x
2x2x -#.
3
2x
3)(x 3
3)(x2x
93x
6x22x -#.
4x
2x
2)(x4x
2)2)(x(x
8x24x
42x -#.
2x
1x
2)2)(x(x
1)2)(x(x
44x2x
23x2x -#.
Ejercicios.-
#.- 32x2x
92x #.-
124x
3x26x
#.- 32x2x
83x #.-
2510x2x
5x
#.- 127x2x
4x #.-
34x2x
1x
#.- 2x8x16
3x64 #.-
65x2x
3x
#.- 4y4x
2y2x #.-
924x
81416x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 45
Multiplicación de fracciones.-
Al igual que en aritmética se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador
y se dejan indicados los productos , posteriormente se factorizan las expresiones y se eliminan
factores que sean iguales en numerador y denominador.
Ejemplos:
; 5
3
3)(2)(5)(2)(
3)(2)(2)(3)(
(10)(6)
(4)(9)
6
9
10
4 -#.
8
3
2)(x4x
3)(x3x
3)(x2x
2)(xx
8x)2(4x6x)2(2x
9x)2(3x2x)2(x
8x24x
9x23x
6x22x
2x2x -#.
Ejercicios.-
#.- 12x2x
32x2x
96x2x
65x2x
#.- 924x
12x28x
14x24x
38x24x
#.- 42x
54x2x
2510x2x
103x2x
#.- 42x2x
2x2x
107x2x
83x
#.- 412x29x
x428x
2x26x
429x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 46
División de fracciones.-
Al igual que en aritmética se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de
la segunda fracción y queda como numerador y el denominador de la primera fracción por el
numerador de la segunda fracción y queda como denominador, se dejan indicados los productos,
posteriormente se factorizan las expresiones y se eliminan factores que sean iguales en numerador
y denominador.
Ejemplos:
; 3
1
)3)(3)(2)(2)(2(
)2)(2)(3)(2(
)9)(8(
)4)(6(
4
9
8
6 -#.
)2x(5
)3x(3
(5))2)(x4(x
)3)(x4(3)(x
8)(5)6x2
(x
)12x2
(3)(x
12x2
x
5
86x2
x
3 -#.
Ejercicios.-
276x2x
4512x2x
454x2x
1514x2x -#.
2x2x
42x2x
107x2x
83x -#.
3xy24y
25x2xy
29x216y
225x24y -#.
412x29x
x428x
429x
2x26x -#.
83x
x622
2x2x
34x2x -#.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 47
Suma de fracciones.-
Al igual que en aritmética se tiene que obtener el mínimo común divisor , y para esto se requiere
factorizar los denominadores de las fracciones que se van a sumar , el común divisor se forma con
los factores necesarios para que éste se puede dividir entre cada uno de los denominadores de las
fracciones a sumar y el resultado de la división se multiplica por el numerador correspondiente.
Ejemplos:
; )2)(2((3)(3)
)3)(3)(1()2)(3)(5()2)(2)(7(
)2)(2(
1
(2)(3)
5
(3)(3)
7
4
1
6
5
9
7 -#.
2)3)(x3)(x(x
29x142x
2)3)(x3)(x(x
65x2x155x84x
2)3)(x3)(x(x
3)(1)2)(x(x3)(5)(x2)(4)(x
3x
1
3)2)(x(x
5
3)3)(x(x
4
3x
1
65x2
x
5
96x2
x
4 -#.
Ejercicios.-
12
x
7
12x2
x
8 -#.
12
x
7
3x2
3x
2
23x2
x
8 -#.
2x2
x
4
32x2
x
2
65x2
x
5 -#.
13
x
7
1x2
x
2
12
x
8 -#.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 48
Ejercicios varios:
Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes fracciones racionales.
42
x
22)(x
442
x
42
x
x 96x2
x
29x
33x
4
2x
22)(x
92
x
62x
12
x
2x2
2x3
x
5x3
x
252
x
127x2
x
62
x3
x
65x2
x
189x2
x
65x2
x
189x2
2x3
x
12
x
2x2
2x3
x
Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y
escriba la fracción racional resultante en su forma más simple:
7x
11x2x
492
x
121x3
x
x2
82x2x
1612x2
2x
6x2
x
32x2x
3x2x
22x
2x2
2x
22x
93x2x
42
x
273
x
63x
32x2x
12
x
65x2
x
63x
32x2x
12
x
65x2
x
2x2x
4x
34x2
x
4x
65x2x
x
32x2x
4
2x2
x
x
1x
1x
1x
1x
1x
1x
1x
1x
252x
4
1x
1x
x
410x
42
x
83
x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 49
x1
11
x1
2xx1
32x2x
12x
12x
2x
1x
3
618x2x
3
45x2x
1
162
x
1
65x2x
3
32x2x
1
2x2
x
1
2x1
x
1x
2x
2x
4
7x
2
2x2x
4
34x2x
3
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 50
RADICALES
Cuando un término algebraico involucra una raíz de cualquier orden, se conoce como radical.
Partes de un radical .-
Cuando se tiene un término que involucra una raíz de cualquier orden, se conoce como radical.
índice radicando o subradical ecoeficient
Ejemplos : x322 ; 4 5y38x x3 ; 3 x
8x
Simplificación de radicales.-
Para simplificar un radical se deberán realizar las operaciones que sean necesarias para que la
expresión que quede dentro del radical (el subradical o radicando) sea mínima, para esto se
descompone en factores el subradical buscando que al menos uno de estos tengan la raíz que
corresponde al radical.
Ejemplos:
; 23(9)(2)18 #.
; 2x22xyy4yx 2(4)(2)x5y38x #.
; 2xyy3
122xy)(y)3
4(3)(xy2
yx 6
(9)(2)x3
y7
18x4 #. x
Ejercicios.-
Simplifique los radicales siguientes,
3 7
y5
16x 2
5x #.
2 6
y5
32x 3
3x #.
3 8
y4
24x 2xy #. z
3 4
y6
27x x#.
4 5
y7
8xy 3
2x #.
2 5
y3
24x 3
4x #.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 51
Suma de radicales.-
Para sumar dos radicales es necesario que tengan el mismo índice y subradical y si ese es el caso
se suman las partes que quedan fuera del radical, en muchas ocasiones antes de sumar hay que
simplificar el radical.
Ejemplos:
; 2292421021223242)5(22)3(42)2(3
24(25)(2)2(9)(2)4(4)(2)32450218483 #.
; 2x282x82x152x32x2
2x(4)22x(3)52x32x2(2)(16)x2(2)(9)x52x3(2)(4)x
(2)(16)x2(2)(9)x52x3(2)(4)x32x218x52x38x #.
; 233x18x
233x5x3x9x3xx4233x5x3x(3)3x 3x(2)x2
233x5x(3)(9)x3x(3)(4)xx2233x5x27x3x12xx2 #.
Ejercicios.-
333 3x4x 3x5x 3x2x #.
2x 2x350x 2x8x 2x318x 2x4 #.
333 481x6x 43x2x 424x5x #.
3x 2x655x 2x312x 2x27x 2x4 #.
Multiplicación de radicales.-
Para poder multiplicar radicales es necesario que tengan el mismo índice, se procede a
multiplicar los elementos de los radicales y posteriormente se simplifica .
; 2602)6(1036(2)107210(12)(6))5)(2(65 122 #.
; y2
72xy (4)(x)18x y2
16x18x2x3 8xy6x #.
x448xx2(6)x28x
x436x28x536x28x)(3x)3(6x)(2x(2x)(4x)3x 32x4x 6x2x #.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 52
Ejercicios.-
33 46x5x
24x2x #.
53x2x
38x4x #.
8x
3x
53x2x 3x 4 #.
333 38x2x
24x4x
52xx #.
333 316x3x
24x
32x
54x
2x #.
2225x4x
25xx
52x
23x #.
4444xx
62x2x
38x
23x #.
División de radicales.-
Para poder dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice, se procede a dividir los
elementos de los radicales y posteriormente se simplifica .
Ejemplo:
; x3x6x2x)3(x2x4x)3(x25x9x22x
618x
3
x6
2x3
618x6x #.
Ejercicios.-
2
3x3x
736xx12
#.
3
3
43x5x
824x20x
#.
3
3
22x4x
632x10x
#.
22x4x
524x 220x #.
Racionalización del denominador .-
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 53
Este proceso tiene como finalidad, eliminar radicales del denominador de un término algebraico
o bien la fracción en un subradical.
Ejercicios.-
racionalizar el denominador:
?2
3 -.#
; 2
6
4
6
2(2)
3(2)
2
2
2
3
2
3 ;
?4
5
4
5 -.#
3
33
:bien o 2
10
8
10
4(2)
5(2)
3 2
3 2
4
5
4
5 3
3
3
3
3
3
3
3
3
?4
5 -.#
3
3
; 2
10
4
102
4
8(10)
4
80
34
80
)4(4(4)
5(4)(4)
3 4
3 4
3 4
3 4
4
5
4
5 3333
3
3
3
3
3
3
3
3
?3xx2
75 -.#
; 2x6
21x5
)x3(x2
21x5
29xx2
21x5
3x
3x
3xx2
75
3xx2
75 ;
?y4x2
x5 -.#
; y4x2
y4x2 x5
y4x2 y4x2
y4x2 x5
y4x2
y4x2
y4x2
x5
y4x2
x5
?3x5
x2 -.#
; 9x5
)3x5(x2
3x5 3x5
)3x5(x2
3x5
3x5
3x5
x2 ;
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 54
?3 y3 x2
5 -.#
y2x
2y y 2x
22x 5
3y
32x
2y y 2x
22x 5
2y 3 y 2x
22x
2y y 2x
22x
3 y2x
5
y2x
5
3333
33
3333
333
3333
333
Ejercicios.-
3x5x
2 #.
6x
x #.
8x
2 #.
3
2x 4
5 #.
3 24x 2
5 #.
3 2x
1 #.
|
4 38x 3
2x #.
3 2
3x 3
2x #.
32x
2x #.
y2x
3 #.
23 x
4 #.
3 y3 2x
3xy #.
y5x
4x #.
2y x
2x #.
3 y4
3y #.
3 2y3
5 #.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 55
ECUACIONES
Ecuación es una igualdad que involucra incógnitas representadas por letras y que es cierta solo
para algún o algunos valores de las incógnitas; consta de dos miembros separados por el signo
igual. La igualdad no se altera si a los dos miembros de la ecuación se le aplica exactamente la
misma operación: sumar , restar, multiplicar o dividir por el mismo número ambos miembros.
Si después de quitar paréntesis y denominadores una incógnita tiene como exponente la unidad
se dice que la ecuación es lineal o de primer grado; si después de quitar paréntesis y
denominadores una incógnita tiene como exponente el dos se dice que la ecuación es cuadrática
o de segundo grado; si después de quitar paréntesis y denominadores una incógnita tiene como
exponente el tres se dice que la ecuación es cúbica o de tercer grado, y así sucesivamente.
Las ecuaciones nos permiten representar situaciones o problemas que nos interesa resolver o
saber de algún comportamiento de la naturaleza o de las actividades que desarrolla el hombre.
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las literales Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las literales.
En general para resolver una ecuación de primer grado se siguen los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos con la incógnita x en un miembro y los términos
independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.-
Ejemplos:
; 6 x 2
12 x 122x -#.
; 33
9 x 93x 9 x25x -#.
; 14
4 x 44x
46152x x24x 612x54 x24x -#.
; 8
178
17 x 178x 215x412x
2x45112x 1)2(2x5)3(4x 3
12x
2
54x -#.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 56
. 34
12 x 124x 76 5643x3x2x 6x
5463x3x 72x 66x 542)3(x3x 72x 1)6(x -#.
x
xx
Ejercicios.-
7) 4(x 25x292x -#. x42)3(x5)5(x2x -#.
x2)3(x83 x25x -#. 3
5x3x2x 1
2
43x -#.
; 2
23x
3
x46x -#.
3
x5xx2 1
3
x32x -#.
2x) 4(x 23xx2)4(x -#.
x) 15(x) 23(x4x -#.
; 412x
3 -#.
35
15y: esy que lopor 155y :resultaecuación
primera la a sumarla al 164y2x
1y2x queda , 2por ecuación segunda lar multiplica
original sistema elen ahora , 25
10x: que lopor 105x :quedaecuación segunda la
a sumarla al ; 82yx
22y4x; 2por ecuación primera lar multiplica . apropiado número elpor
ecuaciones dos las o una ndomultiplica logra se que lo contrario signocon pero ecoeficient
mismo el tengan ecuaciones ambasen eliminar a incognita la que necesario es suceda esto
que paray ecuaciones ambassumar al elimine se incognitas dos las de una que de trataSe
; 82yx
1y2x : reducción por resolver : ejemplo
Por sustitución.-
32(2)12x1y
:resulta ; 2 xde obtenido valor el sustituir al despejeprimer elen ahora ; 25
10x
: que lopor 285x reduciendo , 84x2 x 82x)1 2( x: queda ,ecuación
segunda laen sustituir al ;2x 1y :ecuación primera la de y"" Despejando ecuación.
otra laen asustituirly ecuaciones las de una de incognitas las de unadespejar de trataSe
82yx
1y2x :n sustituciópor resolver -ejemplo.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 57
Por igualación.-
despejes dichosigualar e ecuaciones ambasen incógnita misma ladespejar en consiste
; 82yx
1y2x igualaciónpor resolver : ejemplo
32(2)12x1y resulta ; 2 xde obtenido valor el sustituir despejeprimer
elen ahora 25
10 x 10 5x 28x4x 8x4x2
8x 2x)2(1 2
8x2x1 :despejes dos losigualar
2
8xy :ecuación
segunda la de y""despejar ;2x 1y :ecuación primera la de y""Despejar
Método gráfico.-
Este método consiste en graficar en un sistema de ejes cartesianos ambas ecuaciones que por ser
lineal o de primer grado sus gráficas son líneas rectas y las coordenadas del punto donde se
interceptan las dos rectas nos dan los valores de las incógnitas del sistema.
Ejercicio:
82yx
1y2x
Al graficar cada una de las dos ecuaciones del sistema queda:
Soluciones del sistema.-
gráfica de las dos ecuaciones
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
eje X
eje
Y
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 58
Del gráfico se puede ver que las coordenadas donde se interceptan las dos rectas son:
3y ; 2x
Sistemas de 3 ecuaciones con tres incógnitas
Método de reducción.-
Eliminar por reducción la misma incógnita de las tres ecuaciones, tomando de dos en dos
ecuaciones ( en este caso se seleccionó la “x”)
1z 2y2x
2z 2y 2x
2z y x
; se toman la 1ª y la 2ªecuación y se multiplica la 1ª por : 2
2z 2y 2x
4z 22y2x
; se suman y resulta la ecuación: 6z 4y ; ahora del sistema:
1z 2y2x
2z 2y 2x
2z y x
; se toman la 2ª y la 3ª ecuación y se multiplica la 2ª por: 1
1z 2y2x
2z 2y 2x ; se suman y resulta la ecuación : 3z 3y
3z 3y
6 z 4y
; se resuelve por reducción y como con sumarlas se elimina la "y " ,eso se
hará y resulta: 3 z 3z ; sustituyendo en: 3z 3y , resulta: 33)3(y
69 3y , sustituyendo en la 1ª ecuación: 2z y x , los valores obtenidos de
z""y y"" resulta: 5 3 6 2 x 23 6 x ,
Finalmente 3z ; 6y ; 5x
Ejercicios.-
Obtenga los valores de las incógnitas en cada sistema de ecuaciones :
102yx
2y3x
102yx
9y3x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 59
13yx
10y24x
7y3x
24y2x
102yx
2y3x
72y3x
95yx
0z 122y3x
0z 53y2x
0z 82y x
0z3y2x
6z 25y x
2zy3x
1z 3y3x
4z 22y x
1z3y2x
8z 2y2x
1z 22y3x
1z 33y5x
#.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
1302zy11x
307zy5x
505zy3x
5y2 x
6zy5x
1zy2x
162z5y
183x5z
72y3x
2z 35y6x
2z 63y5x
26z5y3x
3z y2x
5z3yx
2zy x
2z y
2y x
1zy x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 60
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
La expresión general de una ecuación de segundo grado con una incógnita es :
0a , 0c xb2ax
grado. segundo de siendo sigueecuación
lay nteindependie el o gradoprimer de términoelfaltar Pueden nte.independie términoel es
" c "y , gradoprimer de términoel es " x b " ; grado segundo de términoel es ," 2ax " : donde
0a , 0 xb2ax ; 0a , 0c2ax Métodos de solución.-
Completando el trinomio cuadrado perfecto.-
Ejemplo:
; 4
92
4
9 x3
2 x:ecuación la de miembros dos los a sumárseloy cuadrado al elevarlo dos entre
gradoprimer de términodel ecoeficient eldividir 4º ; 2x32
xigualdad la de miembro otro a
nteindependie términoelr traslada3º ; 0 2x32
x"2" entre caso esteen 2
x: de ecoeficient
el entreecuación la dadividir to ;2ºecuación laordenar y cero aigualar 1º 0 46x2
2x
lado elreducir y cuadrado al binomioun resulta que loecuación la de izquierdo lado el factorizar 4º
12
2
2
3
2
1
2
3 x2
2
3
2
1
2
3 x:soluciones dos tienese
2
3 x
2
3 x
24
1 2
4
1
24
1 2
4
1 : x"" incognita ladespejar 5º paso ;
4
12
2
3 x :derecho
21
Si aplicamos este procedimiento a la ecuación general ax2 + bx + c= 0, resulta lo que se conoce
como fórmula general para ecuaciones de segundo grado o cuadráticas:
0c xb2ax para
2a
4ac2bb x
14
4
4
26
2 x; 2
4
8
4
26
1 x
4
26
4
46
4
32366
2(2)
4(2)(4)26)(6)( x: queda
2a
4ac2bb x
en dosustituyeny , 4 c , 6b ; 2a sería esto , 0 46x22x :anterior ejemplo elEn
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 61
En caso de que a la ecuación de 2º grado no tenga el término de primer grado “ bx” sería de la
forma: ax2 + c = 0 , se puede utilizar la fórmula general , solo que en este caso b = 0 y la
fórmula
quedaría: 2a
4ac x ; otra manera de resolver este tipo de ecuación sería despejando
x de : 0c2ax y resulta: 2
a
cx .
En caso de que a la ecuación de 2º grado no tenga el término independiente “c” sería de la
forma: ax2
+ bx = 0 , se puede utilizar la fórmula general , solo que en este caso c = 0 y la
fórmula quedaría :
a2
bb
2a
2bb x ; también se puede resolver factorizando y despejando x , de :
0bx2ax y resulta: factores los , cero a igual es producto el que dado ; 0b)(axx
a
b
2 x 0baxy 0
1 x:entonces cero, aigualar pueden se
Ejercicios.-
08 x22 x-#. -#. 04 x1126x
-#. 012x23x -#. 03624x
-#. 08 x22x -#. 04 x1126x
-#. 012x23x -#. 0 127x2x
-#. 012x23x -#. 04 x1126x
-#. 03624x -#. 08 x22x
-#. 0 46x22x
Cuando la ecuación cuadrática es de la forma ax2 + bx+ c = 0, en muchos casos se puede
resolver factorizando el trinomio e igualando a cero cada uno de los factores y de estas
igualdades obtener los valores de “x”.
08 x22
x :Resolver
22
x; 41
xfinalmente 2 x 02 x:cero a igualadofactor 2º el
4 x 04 x:factor 1º el cero a igualando 02)4)(x(x :dofactorizan 08 x22x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 62
24x164
26x 2
y2
2) 2
1) (y (y
2)32
1 4) (x x(x
5
3 2)4(x23)(x
8
9
#.-Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
07x2
8x 03612
16x
0x2
x 6y93)2)(y(y
2)8
22) (y 4(y 2
5)(x2
12) 2
13) (y (y
352
1)(6x2
4)(3x2)2)(5x(5x
04
3x
2x
8
1
3)(x5)(3x3)(2x7)(x
53x
1x
025
24x
8
52x
1
52x
x
x
x1
4x41
x1
3x2
11x
x3
1x
2x
x3
1
3
1x
x1
x
4
3
84x 3
2x
62x
22x
5
4x
5
22x3
)bx)(ax(
b2x
bx
1
ax
1
xx1
44x1
x1
32x
1
1x
x3
1x
2x
3x
1
3
1x
x1
7
47
5x
21
7
x
#.- Resolver los siguientes sistemas cuadráticos:
8xyyx
12yx
402xy
6y2x
122
y2
x
10y2x
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 63
24xy
10yx
3yx
15yx 22
1yx
20
1
y
1
x
1
29y3xyx
3yx
22
#.- Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados:
a).-El 30% de un número; b).-El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida;
c).-El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida; d).-El doble del
resultado de sumarle a un número entero su siguiente.
#.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a).- El triple del resultado de
sumar un número con su inverso; b).- El doble de la edad que tendré dentro de cinco años.
c).- El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x; d).- El área de un triángulo del que se
sabe que su base es la mitad de su altura.
#.- Expresa en lenguaje algebraico: a).- La mitad del resultado de sumarle 3 a un número;
b).-La tercera parte del área de un rectángulo en el que la base mide el doble que la altura;
c).- El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos; d).-La media de un
número y su cuádruplo.
#.- Traduce al lenguaje algebraico cada uno de estos enunciados: a).- La cuarta parte de un
número entero más el cuadrado de su siguiente; . b).- El perímetro de un triángulo isósceles del
que sabemos que su lado desigual mide 4 cm menos que cada uno de los dos lados iguales ;
c).-La diagonal de un cuadrado de lado x; d).- El doble de la edad que tenía hace 7 años.
#.-Traduce al lenguaje algebraico: a).- La suma de un número con el doble de otro; b).-El
precio de una camisa rebajado en un 20%; c).-El área de un círculo de radio x; d).- La suma
de tres números enteros consecutivos.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 64
TRIGONOMETRÍA
Estudia la relaciones que tienen los lados y los ángulos de un cualquier tipo de triángulo .
Los triángulos rectángulos son aquellos que tiene un ángulo recto (es decir de 90º), el lado
opuesto al ángulo recto se conoce como hipotenusa y los lados que forman el ángulo recto
se conocen como catetos.
Si consideramos el triangulo rectángulo siguiente :
b c
a
El lado c es la hipotenusa
El lado a es el cateto opuesto del ángulo
El lado b es el cateto adyacente del ángulo
El lado b es el cateto opuesto del ángulo
El lado a es el cateto adyacente del ángulo
La relación : ángulo del como conoce se hipotenusa
ánguloun de opuesto catetoseno
para el triangulo mostrado:
c
b
hipotenusa
a oopuest cateto
c
a
hipotenusa
a opuesto cateto ββsensen ;
αα
La relación : ángulo del como conoce se hipotenusa
ánguloun de adyacente catetocoseno
para el triangulo mostrado:
c
a
hipotenusa
a adyacente cateto
c
b
hipotenusa
a adyacente cateto ββ cos cos ;
αα
Se puede ver que el seno es igual al coseno de y que el seno es igual al coseno de
La relación : ángulo del como conoce se ánguloun de adyacente cateto
ánguloun de opuesto catetotangente
para el triangulo mostrado
a
b
a adyacente cateto
a oopuest cateto
b
a
a adyacente cateto
a opuesto cateto
β
ββ tan ; tan
α
αα
Las relaciones inversas de estas son conocidas como: cosecante, secante y cotangente :
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 65
tangente
1 Cotangente ;
coseno
1 Secante ;
seno
1 Cosecante
Los seno y cosenos y tangentes de cualquier ángulo ya fueron determinados y por lo tanto son
valores conocidos.
A esta relaciones se les conocen como funciones trigonométricas, y se complementan con el
teorema de Pitágoras , que establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
2 cateto 2 cateto 2 hipotenusa
Para el triángulo empleado esto sería:
2a2c b ; 2b2c a ; 2b2a c :bien o 2 b 2 a 2 c
Además la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 1800
Ejemplos:
.
Si consideramos el triángulo rectángulo siguiente :
b c
a
Si : a = 30 , determine las dimensiones y ángulos faltantes.
162.3930a
c c
30
c
a
hipotenusa
a adyacente cateto
40º cos cos cos
173.25º4030ab a
30
a
b
adyacente cateto
a opuesto cateto tan tan tan
º50º40º9090 º90
#.- Determine las dimensiones y ángulos faltantes.
a). 50º , a = 80
b c
b). 35º , c = 15
c). a =16 , c = 20
a
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 66
Ley de senos y ley de cosenos.-
Cuando el triangulo a resolver no es rectángulo se utilizan : La ley de senos y/o la Ley de
cosenos, las cuales establecen :
Ley de senos: β
c a
α
b
La longitud de uno de los lados entre el seno del ángulo opuesto es igual a otro de los lados
entre el seno de su ángulo opuesto.
sen
b
sen
a , o bien
sen
c
sen
a , o bien
sen
c
sen
b
Ley de cosenos: β
c a
α
b
El cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de lo cuadrados de los otros
dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que se forma
entre ellos.
α) cos ( c b 22c2b2a ; β) (cos c a 22c2a2b ; ) (cos b a 22b2a2c
#.- Dado . 37º , a = 50 , c = 30 , determine las dimensiones y ángulos faltantes
b c
a
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 67
#.- Dado 25º , c = 60 , determine las dimensiones y ángulos faltantes
b c
a
#.- Dado: 35º , a = 40 , determine las dimensiones y ángulos faltantes
b c
a
#.- Dado: a = 16 , b = 20 , determine las dimensiones y ángulos faltantes
b c
a
#.- Dado: 105º , a= 70 , b= 40 , determine las dimensiones y ángulos faltantes
b c
a
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 68
#.- Dado: 37º , a = 50 , c = 30 , determine las dimensiones y ángulos faltantes
b c
a
#.- Dado: 98º , a = 70 , b = 40 , determine las dimensiones y ángulos faltantes
b c
a
#.- Dado: 47º , a = 60 , c = 35 , determine las dimensiones y ángulos faltantes
b c
a
Si consideramos un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a la unidad , se tendría :
ángulo al opuesto atetoc 1
ángulo del opuesto cateto
hipotenusa
a opuesto cateto αα sen
ángulo al adyacente cateto 1
ángulo al adyacente cateto
hipotenusa
a adyacente cateto αα cos
Como: 2 adyacente cateto 2 opuesto cateto 2 hipotenusa
Entonces se puede escribir 12cos2senbien o 2cos2sen1 ;
de donde 2sen1 cos ; 2cos1sen ;
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 69
#.- Transformar el ángulo en grados a radianes:
a).- 15º b).- 35º c).- 80º d).- 150º
e).- 200º f).- 90º g).- 60º h).- 45º
#.- Transformar el ángulo en radianes a grados:
rad5
π a). rad
10
π -b). rad 3π -c). rad
4
17π -d).
#.- 4
7cos Si, , encuentra el valor de las otras funciones.
#.- 2,0cosθ Si , encuentra las otras funciones.
#.- 9
5tan Si , encuentra las otras funciones.
Problemas a resolver
#.- El ángulo con el que se ve el extremo de una chimenea, desde un punto del suelo situado a
36 m. del pie de la chimenea, es de 25°. Calcula la altura de la chimenea.
#.- El ángulo con el que se ve el extremo de un mástil de una bandera colocada en la cima de
una colina, medido desde un punto del suelo horizontal es de 53° 15'; caminando 33 m. hacia la
bandera, el ángulo de elevación crece a 64° 34'. Hallar la altura a la que se encuentra el extremo
del mástil.
#.- Un avión vuela horizontalmente hacia el Este. En un cierto momento un observador situado
al Sur del aparato mide la elevación de éste, que resulta ser de 42° 36'. Poco después la
elevación es de 35° 48'. Si el avión ha volado 1 km en ese lapso de tiempo, ¿a qué altura vuela?
#.- Desde un avión situado a 345 m del suelo, el ángulo de depresión con el que se ve a otro.
avión, que está a 126 m de altura, es de 39° 28'. ¿A qué distancia se encuentran ambos aparatos?
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 70
#.- En un terreno horizontal se ve una torre bajo un ángulo de 32° 45' 20". Si se aproxima hacia
la torre 23'4 m, en dirección recta hacia la torre, el ángulo con el que se ve dicha torre es ahora
de 46° 57'. Calcula la altura de dicha torre.
#.- La base de un triángulo isósceles mide 54 cm y los ángulos de la base, cada uno de ellos 42°
35'. Calcular los lados iguales, la altura y el área del triángulo.
#.- Desde un avión que vuela a 1.200 m de altura se ven dos pueblos, que están en la misma
dirección en la que se vuela el avión, con ángulos de depresión de 71° 23' y de 12° 47'. ¿Cuál es
la distancia que hay entre los dos pueblos?
#.- Un péndulo de 1 m. de longitud, en su posición extrema, forma un ángulo de 42° 15' con la
vertical. Calcula los centímetros a los que se eleva el extremo inferior del péndulo respecto a la
posición de reposo.
#.- Un barco navega a 30 nudos en dirección Noroeste. ¿Qué distancia ha recorrido en una hora
hacia el norte? ¿Y hacia el Oeste?
#.- Las bases de un trapecio miden 17 cm y 10 cm y uno de sus lados 8 cm. El ángulo que
forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no paralelos del trapecio es de 32°.
Calcula lo que mide el otro lado y el área del trapecio.
#.- Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el
pedestal bajo un ángulo de 15° y la estatua bajo un ángulo de 40°. Calcular la altura del
pedestal.
#.- Desde un faro F se observa al barco A bajo un ángulo de 43° con respecto a la línea de la
costa, y al barco B bajo un ángulo de 21°. El barco A está a 5 millas de la costa y el barco B a 3
millas. ¿Cuál es la distancia entre los barcos?
#.- De un triángulo rectángulo se sabe que su área es de 864 cm2 y que un cateto mide 48 cm.
Calcula los ángulos del triángulo.
#.- Si queremos que una cinta transportadora de 25 m de longitud eleve una carga hasta 15 m de
altura, ¿qué ángulo se deberá inclinar la cinta?
#.- Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a
aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1.200 m y el ángulo de
observación desde el aeropuerto es de 32°. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre, si
esta mide 40 m de altura?
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 71
#.- Calcula la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde
un barco se toman las siguientes medidas: a) El ángulo que forma la visual hacia la luz con el
horizonte es de 25°. b) Nos alejamos 200 m y el ángulo que forma ahora dicha visual es de 10°.
#.- Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura,
produce una sombra de 0.82 m. de longitud en el suelo.
#.- Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de
53 grados para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo.
¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está
directamente bajo el observador?
#.- El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la
horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m.
y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3 m. del suelo.
#.- Un avión vuela a una altitud de 10000 metros y pasa directamente sobre un objeto
fijo en tierra. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados.
Determine la velocidad aproximada del avión.
#.- Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro
lado de la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.
#.- Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del
suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y
la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del
edificio señalado.
#.- Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se
observa un punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la
orilla ángulos de 40 grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos
P y Q es 30 metros, determine el ancho del río.
#.- Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia
de 20 cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 72
ángulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente,
mide 10 grados, ¿cuál es la altura del cuadro?
#.- Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que
el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la
escalera forma con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?
#.- Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m.
respectivamente. El primer poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo
de elevación del sol y la longitud de cada poste.
#.- Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del
árbol, desde un punto situado a 180 m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por
encima o por debajo del nivel del señalado punto y calcule la diferencia de nivel.
#.-¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es
46 grados, y tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados.?
#.- Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la
playa se observa que los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del
faro son 47 grados y 45 grados. Calcule la altura del arrecife.
#.- Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los
tirantes quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al
suelo son 27 grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto
cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?
#.- Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión
de dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que
separa a dichos botes.
#.- Un topógrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un
lago. Si C está a 5.000 m. de A y a 7.500 m. de B y el ángulo ACB mide 35 grados.
¿Cuál es el ancho del lago?
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 73
#.- Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol
justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta
llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra
orilla?
#.- Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del
suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y
la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del
edificio señalado.
#.- Desde la cúspide de un faro de 80 m. de altura, se observan hacia el oeste dos barcos
según ángulos de depresión de 60º y 30º. Calcule la distancia que separa a los barcos.
#.- Un asta de bandera está enclavada en lo alto de un edificio. Desde un punto situado
en el suelo, a 12 m. Del edificio, se observa el techo del edificio según un ángulo de
elevación de 30º y la punta del asta según un ángulo de elevación de 60º. Calcule la
altura del edificio y la longitud del asta.
#.- Desde un punto A situado en el suelo se observa hacia el norte el campanario de una
iglesia según un ángulo de elevación de 30º y desde un punto B, situado en el suelo se
observa el campanario hacia el oeste según un ángulo de elevación de 60º. Si AB = 100
m., calcule la altura del campanario.
#.- Un barco, pide socorro recibiéndose la señal en dos estaciones A y B que distan
entre sí 45 Km. Desde cada estación se miden los ángulos BAC = 44º 55’ y ABC = 52º
16’. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada estación?
#.- Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es
de 6 Km, la de BC es de 9 Km, el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuál es la
distancia de A a C?. Calcular los otros dos ángulos.
#.- Desde dos puntos situados en la misma orilla de un río y separados entre si 30 m se
observa un árbol situado en la otra orilla. La distancia del primer punto al pie del árbol
es de 24m y el ángulo que forma la visual del segundo punto con respecto al árbol es de
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 74
45º 37’. Calcular la distancia del segundo punto al árbol y el ángulo que forma la visual
del primer punto.
#.- Dos amigos parten de un mismo punto en dirección a dos ciudades situadas a 200 y
300 Km, respectivamente, del punto de partida. El ángulo que forman dichas carreteras
es de 60º.En sus coches llevan un teléfono móvil que tiene un radio de alcance de 250
Km. ¿Podrán ponerse en contacto cuando lleguen a su destino?. Calcular los otros dos
ángulos.
#.- Dos asistentes a una conferencia se sitúan en las dos butacas extremas de una fila.
Cada uno desde su posición, mide el ángulo que determinan el conferenciante y el otro
asistente obteniéndose resultados de 37º y 42º. ¿A qué distancia está cada uno de ellos
del conferenciante?. ¿A qué distancia se encuentran ambos del escenario?. Desde una
butaca a la otra hay una distancia de 30 m.
#.- Una antena de telefonía móvil está sujeta al suelo con dos cables desde su punto más
alto, y uno de los cables tiene doble longitud que el otro. Los puntos de sujeción de los
cables al suelo están alineados con el pie de la antena, la distancia entre dichos anclajes
es de 70 metros y el ángulo formado por los cables es de 120º. Calcula la longitud de
cada uno de los cables y la altura de la antena de telefonía.
#.- De un triángulo ABC sabemos que: a = 12 cm, b = 18 cm y A + B = 110º ¿Cuánto
valen A y B?
#.- En un mapa de carreteras observamos los pueblos A, B, C y D como se indica en la
figura. Por un error no aparece la distancia entre los pueblos A y D, pero si las
distancias y ángulos que forman las carreteras que los unen. Calcula la distancia entre
los pueblos A y D.
#.- En una circunferencia de radio 10 cm trazamos la cuerda AB de 8 cm. Si O es el
centro de la circunferencia, halla el ángulo AOB.
#.- Desde una carretera se ve el punto más alto de una montaña, y la visual de dicho
punto forma un ángulo de 40º con la horizontal. La carretera avanza hacia la montaña en
línea recta, y después de avanzar 5 Km, vemos que la visual con el pico y la horizontal
forma un ángulo de 75º. ¿Qué altura tiene la montaña?
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 75
#.- Se quiere medir la distancia entre dos caseríos separados por una colina bastante escarpada,
por lo que no es posible medirla directamente. Para ello, se localiza un punto desde el que se
ven los dos caseríos. Dicho punto está a 4 km de uno de ellos y a 6 km del otro y las visuales
con las que se ven desde él los dos caseríos forman un ángulo de 65°. Calcular la distancia que
hay en línea recta entre los dos caseríos.
#.- Para averiguar la distancia entre dos ciudades situadas en las orillas de un lago se efectúan
las mediciones de las distancias que las separan de una tercera que resultan de 51,631 Km y
32,360 Km, así como el ángulo que forman con vértice en esta tercera ciudad que es de 81° 43'.
¿Cuál es la distancia entre ambas ciudades?
#.- Desde un punto de la costa situado en A se observa un barco en la dirección N 22° 4'E y
desde un punto de observación situado en B a 25,5 km de A en dirección Sureste, el mismo
barco está en N 10° 35'O. ¿A qué distancia de A está el barco?
#.- Al instalar una antena, de 10 m de altura, sobre un terreno inclinado con respecto a la
horizontal 20° 37', los cables que lo sostienen quedan formando un ángulo de 42° 19' con el
mástil. Hallar las longitudes de los cables.
#.- Un barco está a 2,85 km en dirección N 42° 15'O de un faro, y otro a 4,18 km en dirección N
62° 27'E, del mismo punto. ¿Cuál es la distancia entre los dos barcos?
#.- Desde dos barcos separados 2,5 km se ve un tercero en las direcciones S 45° 45'E y S 52°
37'O ¿Cuál es la distancia de los dos primeros barcos al tercero?
#.- Bernardo conoce la distancia a la que está de un árbol, situado en la misma orilla del rio que
él, que es de 63 m. También conoce los ángulos con los que se ve a Carmen, que está al otro
lado del rio, desde el árbol y desde donde el está. Estos ángulos son respectivamente de 83° 23'
y 42° 46'. Calcula a qué distancia está Bernardo de Carmen.
#.- Estando situado a 87 m de un olmo, veo su copa bajo un ángulo de 22° 35'. Juan ve ese
mismo olmo con un ángulo de 25° 12'. ¿A qué distancia está Juan del olmo?
#.- Dos de los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un ángulo de 32°
38'. ¿Cuánto miden las diagonales? ¿Cuál es el área del paralelogramo?
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 76
#.- Para construir un túnel que atraviese una montaña desde el punto A al B, se localiza una
roca encima de la montaña, desde la que podamos ver los dos extremos del túnel. Se miden las
distancias desde esta roca hasta las dos entradas del túnel, que son de 245 m y 658 m
respectivamente. También se mide el ángulo que forma la roca con las dos entradas, que es de
87° 36'. ¿Cuál será la longitud del túnel?
#.- Un avión vuela entre dos ciudades separadas por 80 km. Los ángulos de depresión con los
que se ven las dos ciudades desde el avión son de 29° 35' y 43° 52' ¿A qué altura vuela el
avión? ¿A qué distancia está de cada una de las ciudades?
#.- Un poste está inclinado 12° con respecto a la vertical, hacia la posición donde se encuentra
el Sol. El ángulo de elevación del Sol desde el extremo de la sombra del árbol es de 53° 35'.
Hallar la altura del árbol, si la sombra mide 11,3 m.
#.- Un barco navega 55,375 millas en dirección N 28° 15'E y después 94,625 millas en
dirección N 61° 45'O desde donde había llegado. ¿Cuál es la distancia recorrida (en línea recta)
y la orientación del punto de llegada respecto del punto de partida.
#.- Desde lo alto de un faro, a 51 m del nivel del mar, se ve un barco situado al Sur, con un
ángulo de depresión de 18° 50'. Dos minutos más tarde el ángulo de depresión es de 14° 20'.
Calcular la velocidad del barco si se sabe que navega directamente hacia el Oeste.
#.- Un barco pide socorro y las señales las reciben dos estaciones de radio B y C separadas por
80 km. La recta que une B y C forma con la dirección Norte un ángulo de 48°. B recibe señales
en dirección de 135° con el Norte, mientras que C las recibe en una dirección que forma 96° con
el Norte. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
Identidades Trigonométricas Básicas
x cos
1 xsec
x cos
sen x tan x
tan x
1
sen x
x cos xcotg
1 x2
cosx2
sen sen(x)x)sen(
x2
secx2
tan1 cos(x)x)cos(
x2
cscx2
cotg1 tan(x)x)tan(
xcosy sen y cossen x y)sen(x
xcossen x 2sen(2x)
ysen sen x y cos x cos y)cos(x x
2sen 21x
2senx
2coscos(2x)
ytan tan x 1
sytan tan x y)tan(x
x 2tan1
tan x 2 tan(2x)
sen x
1 xcsc
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 77
xcosxπ/2sen
2
xcos1 xcossen x 2)2xsen(
sen xxπ/2cos 2
xcos1 xcossen x 2)2xcos(
xcotgxπ/2tan xcos1
xcos1tan(x/2)
cos(2x) 1/21/2x2
sen cos(2x) 1/21/2x2
cos
Demostrar las siguientes identidades:
1 x2
cotgx2
csc xcostan x
sen x
1 xsec xcotgsen x x2
secx2
cos x 2
sen x2
tan
x2
tan1) x(sec1) x(sec 1 xcsctan x xcos
tan x xsecsen x xsec xcsctan x xcotg
1
x 2cotg
1x2csc
tan x1 xcos
xcossen x
sen x1sen x1
x2cos
sen x1
xcos
xcos
sen x1
x2
sec 2sen x1
1
sen x1
1
2
2cosx)(sen x
2cosx)(sen x
sen x x x)cotgsec(1 x)cos(1 12
x)2
cos(1x2
csc
αcos1)αcsc
1α(1sen2αsen 4
2
24
2x)cos(1
2x)tan
21) x(sec
2
xcotg1
xtan1
x2
cotg1
x2
tan1 xsen
x3
cosx3
sen
x2
cosx2
sen.
xx)coscscx(sec
xcosxsen1
αcosαsen
αcosα2sen1
αcot1
αcot
αtg1
αtg22
2
3
2
3
xcscxsecxcotg
1xcotg
0αsec1
1αsenαsec
senα1
1αsecαcot 22
αcotαcosαsenαsen1
αcosαcosα2sen22
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 78
2
αcot
2
αsenαsen
2
αcosαcos1
αsecαsen1
αcosαtg
αcosecαsecαcotαtg αsenαcosαsenαcos 2244
1α2sencotαtgα
cotαtgα 2 1α2cosα2sen1 22
α2secαsen1
1
αsen1
1 2 αsenαcosαtg1
αtg1 22
2
2
1α)cos2α(3cosα)2senα(3sen 2424 1αcosecαcosαsen
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 79
PROBLEMAS
#.-Un padre reparte $10000.00 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2000.00 más que al
menor. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
#.- Una persona tiene $8000.00 en 200 monedas de $10.00 y de $50.00 ¿Cuántas
monedas de $10.00 y de $50.00 tiene?
#.-El cociente de dividir 84 entre cierto número excede en 5 a este número. Hallar el
número.
#.-Encuentra dos números cuya suma sea igual a 30, y el doble del primero, más el
segundo sea igual al doble de este último.
#.-La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez años la suma de las
edades era igual a la edad que tiene hoy Carla. ¿Cuál es la edad de cada una en la
actualidad?
#.-Si se divide un ángulo recto en dos ángulos agudos, de modo que uno sea el doble del
otro más 3º, ¿cuál es la medida de cada uno?
#.-Encuentra dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los
resultados están en la razón 3 : 2, pero si les restamos cinco unidades, la razón es 5 : 2.
#.-El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6 cm. más que la
altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
#.-Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estante a otro,
resulta que uno queda con el triple del otro. ¿Cuántos libros había originalmente en cada
estante?
#.-Encuentra las edades de dos hermanos sabiendo que al mayor le faltan dos años para
tener cinco veces la edad actual del menor y que si el mayor tuviera seis años menos
tendrían la misma edad.
#.- La suma de las dos cifras de un número es 9 y la diferencia entre él y el que resulta
de invertir el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número primitivo?
#.-La suma de dos números es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le resta 5,
se obtienen dos números tales que el primero es el doble que el segundo. ¿Cuáles son
los números?
#.-El valor de una fracción es 1. Si se disminuye el numerador en 3 unidades y se
aumenta el denominador en 5 unidades, el nuevo valor es igual a 3. ¿Cuál es la
fracción?
#.-Encuentra dos números tales que su suma sea 42 y su diferencia 6.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 80
#.-En un número la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si a ese
número le restamos 27 se obtiene otro número que resulta de invertir el orden de sus dos
cifras. ¿Cuál es el número?
#.-Las ciudades A y B están separadas por 180 km. Simultáneamente sale un auto de
cada ciudad en el mismo sentido. El que sale de B lo hace con una velocidad de 60
km/h y el que sale de A, a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo el auto que sale de A
alcanza al que sale de B, y cuántos kilómetros ha recorrido cada uno?
#.-Encuentra un número entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las unidades es el doble
que la cifra de las decenas y que si se invierten, el número aumenta en 36.
#.-Dos números están en razón 1:3 y la diferencia de sus cuadrados es -200. ¿Cuales
son los números?
#.-Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 5:3 y su superficie mide 120
cm2. Determine la medida de sus tres lados.
#.-Determina, si existen, pares de números tales que su suma sea igual a 6 y la de sus
recíprocos 3/4.
#.-Encuentra un número entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las unidades es el doble
que la cifra de las decenas y que si se invierten, el número aumenta en 36.
#.- En un número la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si a ese
número le restamos 27 se obtiene otro número que resulta de invertir el orden de sus dos
cifras. ¿Cuál es el número?
#.-La suma de las dos cifras de un número es 9 y la diferencia entre él y el que resulta
de invertir el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número primitivo?
#.-La edad de Eliana es 1/5 de la edad de Miguel y hace 5 años, la edad de Eliana era
1/10 de la edad de Miguel. Determinar sus edades actuales.
#.-La edad de Adolfo es 15 años menos que el doble de la edad de Teresa y la séptima
parte de la edad de Adolfo es 20 años menos que la edad de Teresa. Calcula ambas
edades.
#.-Hace 4 años la edad de Ximena era 8 veces la edad de Matías. En cuatro años más la
edad de Ximena será 4 veces la de Matías. ¿Cuál es la edad de cada uno?
#.-El largo de una piscina rectangular es 3 veces su ancho. Si su perímetro es de 32 m.,
¿cuáles son sus dimensiones?
#.- Divide el número 19 en dos partes tales que 2/3 de la menor sea igual a 3/5 de la
mayor.
#.- Encuentra una fracción que si se disminuye su numerador en 4 unidades y se
aumenta su denominador en 5, es equivalente a 1. Pero si se disminuye sólo el
denominador en 7, será equivalente
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 81
#.-La suma de dos números es 13, si el mayor se divide por el menor se obtiene por
cuociente 2 y por resto 1. Encuentra ambos números.
#.-La suma de las cifras de un número de dos cifras es 9. Invirtiendo las cifras resulta un
número que tiene 9 unidades más que el cuádruplo del número primitivo. ¿Cuál es el
número?
#.-De un número de tres cifras se sabe que la suma de éstas es 13. Si se intercambian las
cifras de las unidades y las centenas, el número disminuye en 198; si se intercambian las
de las unidades y decenas, el número aumenta en 36. Encontrar el número.
#.-¿Cuántos litros de leche con 30% de grasa se deben mezclar con leche de 5% de
grasa para obtener 50 litros con 20% de grasa
#.- Encuentre 2 números pares consecutivos cuyo producto sea 4224.
#.- La diagonal de un rectángulo mide 10 cm y su área 48 cm2. ¿Cuáles son las medidas
de los lados del rectángulo?
#.- En un círculo, la distancia entre 2 cuerdas paralelas congruentes es de 12 cm. Si cada
cuerda mide 6 cm más que el radio, calcule la medida del radio.
#.- Con un cartón cuadrado se quiere construir una caja sin tapa. Al cartón se le corta un
cuadrado de 3 cm de lado en cada uno de sus vértices. Calcule la medida del lado del
cartón, sabiendo que el volumen de la caja debe ser 192 cm3.
#.- La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendría dentro de
6 años. Determine la edad actual.
#.- Determine las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 80
cm y la suma de sus catetos es 46 cm.
#.- Al despedirse al término de un encuentro, unos amigos se estrecharon la mano. Uno
de los jóvenes constató que hubo un total de 45 apretones de mano. ¿Cuántos amigos
asistieron a dicho encuentro si todos se despidieron de todos una sola vez?
#.-Encuentra un par de números reales cuya suma sea 4 y su producto sea máximo.
#.- Guillermo fue a comprar las gaseosas para un cumpleaños. Disponía para esto de
$18. Se encontró con que cada una costaba 30 centavos más de lo esperado y por eso el
dinero le alcanzó para 3 botellas menos de las planeadas. ¿Cuántas compró?
#.- Jorge reparte 35 revistas entre sus amigos, dándole a cada uno tantas revistas como
amigos son, más dos revistas. ¿Cuántos amigos tiene Jorge?
#.- El área de un campo rectangular es de 50 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus
dimensiones si el ancho supera en 5 metros al largo?
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 82
#.- Un grupo de escolares alquiló un colectivo en $80. Cuatro de ellos no pudieron ir a
la excursión y entonces cada uno de los que fue debió pagar $1 más. ¿Cuántos escolares
había al principio?
#.- En un triángulo rectángulo, el cateto menor es igual a 3/5 de la hipotenusa. Ésta
supera por 3 cm al cateto mayor. ¿Cuál es la medida de cada lado? (Ayuda: recordá el
teorema de Pitágoras)
#.- En un campeonato de fútbol en el que cada equipo juega una vez con cada uno de
sus adversarios se jugaron, en total, 66 encuentros ¿cuántos equipos participaron?
#.- La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
#.- Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía
hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
#.- Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula
las dimensiones de la finca.
#.- Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5.
Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
#.- Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un
camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es
540 m².
#.- Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es
semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
#.- Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es
580. ¿Cuáles son esos números?
#.- Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres
horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?
#.- El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos
números?
#.- Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja
de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los
bordes. Halla las dimensiones de la caja.
#.- Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números
pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
#.- Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es
580. ¿Cuáles son esos números?
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 83
#.- Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un
camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es
540 m²
#.- Juan y Pedro son mellizos. Andrés tiene 3 años más que ellos y las edades de los tres
sumadas es 42 años. ¿Qué edad tiene Andrés?
#.- Un comerciante vende cierto número de cajas de lápices en la siguiente forma: la
quinta parte a $58 la caja; la mitad del resto a $60 la caja y la otra mitad a $61 la
caja; recibe en total $7.200. ¿Cuántas cajas de lápices ha vendido?
#.- Tres personas reúnen un capital de $9.500 para establecer un comercio minorista. Si
la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la tercera la mitad de lo que
aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución de cada uno de ellos?
#.- Con un pedazo cuadrado de cartón se construye una caja abierta cortando en cada
esquina cuadrados de 3 centímetros de lado y doblando hacia arriba los rectángulos
resultantes (de 3 cm. de altura). Si la caja tiene un volumen de 432 cm3 . ¿De cuántos
cm2 de cartón se disponía al principio?
#.- El área de un campo rectangular es de 50 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus
dimensiones si el ancho supera en 5 metros al largo?
#.- Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da
55. ¿Cuál es el número?
#.- El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál
es el número?
#.- Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?
#.- El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste
es 147. Hallar el número.
#.- La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son
los números?
#.- En el triángulo ABC, los lados AB=3BC y BC = 0.5AC. Si su perímetro es 84 m.
¿Cuánto mide cada lado?
#.- Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida
del lado del cuadrado.
Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés
Página 84
#.- Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es 140 m.
Calcular el largo y en ancho.
#.- Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica.
¿Cuánto mide el lado?