PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE

Problema 1

1. Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, José y Luis,a un almacén de frutos secos. Ante un saco de almendras, el dueño les dijo:

—Coged las que queráis.

Cada uno de los seis metió la mano en el saco un número n de veces y, cadavez, se llevó n almendras (es decir, si uno de ellos metió la mano en el saco 9veces, cada vez cogió 9 almendras, y, por tanto, se llevó 81 almendras). Ade-más, cada padre cogió, en total, 45 almendras más que su hijo.

Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, y Julio, 15 más que Pablo.

• ¿Cómo se llama el hijo de Antonio?

• ¿Y el de Juan?

• ¿Cuántas almendras se llevaron entre todos?

Unidad 3. Álgebra

Problema 2

2. Un galgo persigue a una liebre.

La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos sal-tos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre. ¿Cuán-tos saltos dará cada uno hasta el momento de la captura?

EJERCICIOS FACTORIZACIÓN

1. Descompón factorialmente los siguientes polinomios:

a) x6 – 9x5 + 24x4 – 20x3 b) x6 – 3x5 – 3x4 – 5x3 + 2x2 + 8x

c) x6 + 6x5 + 9x4 – x2 – 6x – 9

Unidad 3. Álgebra

2. a) Intenta factorizar x4 + 4x3 + 8x2 + 7x + 4.

b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x2 + x + 1.

Unidad 3. Álgebra

3. Intenta factorizar 6x4 + 7x3 + 6x2 – 1. Hazlo ahora sabiendo que – y sonraíces del polinomio.

EJERCICIOS FRACCIONES ALGEBRAICAS1. Reduce previamente a común denominador las fracciones algebraicas siguien-

tes, y súmalas: ; ; –

2. Efectúa: + – xx – 1

2xx + 1

1x2 – 1

2x + 1x + 1

x – 2x2 + x

x + 7x

13

12

Unidad 3. Álgebra

3. Efectúa estas operaciones:

a) · b) :

4. Calcula:

a) : ( · ) b) ·

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINÓMICAS

1. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) x4 – x2 – 12 = 0 b) x4 – 8x2 – 9 = 0

x4 + x2

x4x4 – x2

x2 + 1x

2x + 1x – 1

3x + 2

x

2x + 3x + 5

x2 – 2x + 3x – 2

2x + 3x + 5

x2 – 2x + 3x – 2

Unidad 3. Álgebra

2. Resuelve:

a) x4 + 10x2 + 9 = 0 b) x4 – x2 – 2 = 0

RESOLUCIÓN ECUACIONES IRRACIONALES

1. Resuelve:

a) – + 1 = x b) – = 4 c) 2 + = x

d) 2 – = x e) – 1 = √8 + 2x√3x + 3√x

√x√x + 7√2x – 3√2x – 3

Unidad 3. Álgebra

2. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/hen línea recta hasta P , y hemos caminado a 5km/h de P a C . Hemos tardado, en total, 99 mi-nutos (99/60 horas).

¿Cuál es la distancia, x, de B a P ?

Unidad 3. Álgebra

3 km

6 km

x

A

PB

ARENA

MAR

C

RESOLUCIÓN ECUACIONES RACIONALES

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) + = b) + = 4 c) + =

2. Resuelve:

a) + = 3 b) + = c) – = 2635

x2 + 1x2 – 1

x + 3x – 1

32

xx + 3

5x + 2

2xx + 1

xx – 1

34

1x2

1x

2(x + 1)3(x – 2)

4x

310

1x + 3

1x

Unidad 3. Álgebra

RESOLUCIÓN ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍITMICAS

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 23x = 0,53x + 2 b) 34 – x2=

c) = 186 d) 7x + 2 = 5 764 801

2. Resuelve:

a) 3x + 3x + 2 = 30 b) 5x + 1 + 5x + 5x –1 =

c) 2 log x – log(x + 6) = 3log 2 d) 4 log2 (x2 + 1) = log2 625

315

4x – 1

2x + 2

19

Unidad 3. Álgebra

RESOLUCIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b) c)x = 2y + 1

√—x + y – √

—x – y = 2

1 1 1— + — = 1 – —x y xyxy = 6

2x – y – 1 = 0x2 – 7 = y + 2

Unidad 3. Álgebra

2. Resuelve:

a) b) c)

RESOLUCIÓN SISTEMAS LINEALES

1. Reconoce como escalonados y resuelve:

a) b) 3x + 4y = 0

2y = –65x + y – z = 17

x = 72x – 3y = 83x + y – z = 12

log (x2 + y) – log (x – 2y) = 1

5x + 1 = 25 y + 1

x – y = 27

log x – 1 = log y

x2 + x y + y2 = 21

x + y = 1

Unidad 3. Álgebra

c) d)

2. Resuelve los siguientes sistemas escalonados:

a) b)

c) d) 4x + y – z = 7

2y = 83x = 9

x – 5y + 3z = 83y – z = 5

4z = 4

x + 2y – z = –33x + y = –5

5y = –10

y = –52z = 8

3x = 3

y = 4x – z = 11

y – z = 7

3x = –35y = 20

2x + y – z = –2

Unidad 3. Álgebra

3. Resuelve por el método de Gauss:

a) b)

4. Resuelve:

a) b) 2x – 5y + 4z = –14x – 5y + 4z = 35x – 3z = 13

5x – 4y + 3z = 92x + y – 2z = 14x + 3y + 4z = 1

2x + 3y = 14x – 2y + z = –3

2x – y – z = 9

x + y + z = 2x – y + z = 6x – y – z = 0

Unidad 3. Álgebra

RESOLUCIÓN INECUACIONES

1. Resuelve estas inecuaciones:

a) 3x + 2 ≤ 10 b) x – 5 > 1

2. Resuelve:

a) b)

3. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x2 – 3x – 4 < 0 b) x2 – 3x – 4 ≥ 0

c) x2 + 7 < 0 d) x2 – 4 ≤ 0

2x – 5 ≥ 63x + 1 ≤ 15

3x + 2 ≤ 10x – 5 > 1

Unidad 3. Álgebra

4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b) x2 – 4 ≤ 0

x – 4 > 1

x2 – 3x – 4 ≥ 0

2x – 7 > 5

Unidad 3. Álgebra

PARA PRACTICAR MÁS

Ecuaciones

1 Resuelve:

a) 7 – + = –

b) (3x – ) · (3x + ) – 4 = (3x – 5)2 +

c) + = – 1

2 Entre estas seis ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solu-ción, dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solución única.Identifica cada caso y resuelve las que sea posible:

a) = x – b) x + – 1 = x

c) – = –

d) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2

e) (5x – 3)2 – 5x (4x – 5) = 5x(x – 1)

f ) – = – (x – 2)2

2x – 2

2(x + 1) (x – 2)

22x + 1

7

2 + x4

(x – 1)2

161 + x

2(x + 1)2

16

23

3 – x3

2x + 34

x + 12

2√–3 + x

√–3

x – 1

√3

√–5 – x

√–5

59

23

23

5(x + 11)9

5x + 827

x3

x + 43

Unidad 3. Álgebra

3 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) + (x – 2)2 = b) 0,5(x – 1)2 – 0,25(x + 1)2 = 4 – x

c) (0,5x – 1) (0,5x + 1) = (x + 1)2 – 9 d) ( – 2)2– = –

e) x2 – 2x + 2 – 3 = 0 f ) x2 – x – 2 – = 0

g) + = + 1 h) 0,3)x2 – x – 1,3

)= 0

☛ Expresa los decimales periódicos en forma de fracción y obtendrás solucionesenteras.

(3x – 2)2

8x(x + 2)

4x(x – 3)

2

√2√3

x – 14

18

x + 18

x2

32

x2 + 22

x2 – 13

Unidad 3. Álgebra

Unidad 3. Álgebra

4 Resuelve estas ecuaciones incompletas de segundo grado sin aplicar la fór-mula general:

☛ Recuerda que: ax2 + c = 0 se resuelve despejando x. ax2 + bx = 0 se resuelvesacando factor común e igualando a cero cada factor.

a) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x2 – 20

b) – =

c) – = –

d) + [x2 – 2 – x ] =

e) (x – a)2 + x(x + b) = 8b2 – x(2a – b) + a2

f ) + = + x + 1

6x – 3

2x – 4

3x(x – 2)

4

x2 – 54

12

12

3x2 – 14

x + 23

x2 – 12

5x2 + 32

3x + 13

x2 – 4x + 156

x2 + 3x4

x2 – 2x + 52

Unidad 3. Álgebra

5 Resuelve estas ecuaciones bicuadradas:

a) x4 – 5x2 + 4 = 0 b) x4 + 3x2 – 4 = 0

c) x4 + 3x2 + 2 = 0 d) x4 – 9x2 + 8 = 0

6 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) = 3 + 2x b) x + = 1

c) + x = 0 d) + = 0

e) + = 4 f ) = 5x – 7

6√ 7x + 14

√5x – 6√2x

√x – 5√2x + 3√3√2 – 5x

√7 – 3x√5x + 6

Unidad 3. Álgebra

Factorización

7 Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces:

a) x3 – 2x2 – x + 2 b) x4 – 5x2 + 4

c) 2x3 – 3x2 – 9x + 10 d) x5 – 7x4 + 10x3 – x2 + 7x – 10

e) 6x4 – 5x3 – 23x2 + 20x – 4 f ) x5 – 16x

g) 4x2 – 25 h) 4x2 + 4x + 1

Unidad 3. Álgebra

8 Halla, en cada uno de los siguientes casos, el M.C.D. [A(x), B(x)] y el m.c.m.[A(x), B(x)]:

a) A(x) = x2 + x – 12; B(x) = x3 – 9x

b) A(x) = x3 + x2 – x – 1; B(x) = x3 – x

c) A(x) = x6 – x2; B(x) = x3 – x2 + x – 1

9 Resuelve las siguientes ecuaciones, factorizando previamente:

a) x3 – 7x – 6 = 0 b) 2x3 – 3x2 – 9x + 10 = 0

c) x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 = 0 d) 3x3 – 10x2 + 9x – 2 = 0

e) x5 – 16x = 0 f ) x3 – 3x2 + 2x = 0

g) x3 – x2 + 4x – 4 = 0

Unidad 3. Álgebra

Unidad 3. Álgebra

Fracciones algebraicas

10 Simplifica las fracciones:

a) b)

11 Opera y simplifica el resultado:

a) : b) ·

c) – – d) ( – ) : (1 + )e) (1 – · ) :

12 Demuestra las siguientes identidades:

a) ( + ) ( – 1) = b) : = 1a2 + 2a + 1a2 – a – 2

a2 – 1a2 – 3a + 2

1x

1x

2x1 – x2

11 + x

1x + 2

x + 3x + 2

x + 1x + 2

xx + 2

xx + 2

x + 1x

xx2 – 3x + 2

xx – 1

xx – 2

(x – 2)2

x2 – 1x2 + 2x – 3

(x – 2)3(a + 1)2

a2 – 13a + 3

12a – 12

3x3 – 2x2 – 7x – 2x3 – 4x

9 – x2

x2 – 3x

Unidad 3. Álgebra

c) ( – ) : ( – ) = 2x – 5

13 Resuelve estas ecuaciones y comprueba la validez de las soluciones:

a) + 3x = b) + = 1

c) = – d) – = +

☛ Ten en cuenta que 2 – x = – (x – 2).

e) + = 1 + f ) + = x√2√2x

x

√2

2x + 3x2

x + 1x

3x + 1x3

x + 66 – x

x6

12

xx – 6

x – 12 – x

x2

(x – 1) (x – 2)x – 2x – 1

12 – xx – 6

8x + 6

5x + 62

x + 2x

1x – 2

1x – 3

x – 3x – 2

x – 2x – 3

Unidad 3. Álgebra

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

14 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 3x =

☛ Expresa como potencia de base 3.

b) 2x · 2x + 1 = 8

☛ Multiplica el primer miembro.

c) 5 · 7–x = 35

☛ Divide los dos miembros por 5.

d) (0,5)x = 16

☛ 0,5 es una potencia de base 2.

e) =

f ) 21/x = 16

g) = 81

h) ( )x =

i ) 2x · 5x = 0,1

☛ Recuerda que 2x · 5x = (2 · 5)x.

8125

25

33x – 2

3x + 3

149

√7x

3√9

3√9

Unidad 3. Álgebra

15 Resuelve, tomando logaritmos, estas ecuaciones:

a) = 27 b) ex – 9 = c) 2x · 3x = 81 d) = 1

16 Resuelve las siguientes ecuaciones mediante un cambio de variable:

a) 2x + 21 – x = 3 b) 2x + 1 + 2x – 1 = c) 81 + x + 23x – 1 =

d) 22x – 5 · 2x + 4 = 0 e) 9x – 3x – 6 = 0 f ) 71 + 2x – 50 · 7x + 7 = 0

1716

52

2x

3x + 1√731

e x

Unidad 3. Álgebra

17 Resuelve las ecuaciones:

a) log (x2 + 1) – log (x2 – 1) = log

b) ln (x – 3) + ln (x + 1) = ln 3 + ln (x – 1)

c) 2ln (x – 3) = ln x – ln 4

d) log (x + 3) – log (x – 6) = 1

1312

Unidad 3. Álgebra

18 Resuelve las ecuaciones:

a) log (x + 9) = 2 + log x b) log + log = 1

c) 2(log x)2 + 7 log x – 9 = 0 d) log (x2 – 7x + 110) = 2

☛ Haz log x = y.

e) log (x2 + 3x + 36) = 1 + log (x + 3) f ) ln x + ln 2x + ln 4x = 3

√x√3x + 5

Unidad 3. Álgebra

Sistemas de ecuaciones

19 Resuelve:

a) b)

c) d) (x + y) (x – y) = 73x – 4y = 0

x2 + y2 – 5x – 5y + 10 = 0x2 – y2 – 5x + 5y + 2 = 0

Unidad 3. Álgebra

+ =

2x + 3y = 2

56

1y

1x

x · y = 15

= 53

xy

20 Resuelve:

a)y2 – 2y + 1 = x

b)2 = y + 1

+ y = 5 2x – 3y = 1

c)+ x = 12

d)+ 2 = x + 1

2x – y = 6 2x – y = 5

√x + y√3 (x + y)

√x

√x + 1

Unidad 3. Álgebra

21 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)3x2 – 5y2 = 7

b)

2 = 3 + y

2x2 = 11y2 – 3+ = 3

22 Resuelve:

a) b)

c) d)

e) f ) ln x – ln y = 2ln x + ln y = 4

x – y = 25log y = log x – 1

x2 – y2 = 11log x – log y = 1

log (x2y) = 2log x = 6 + log y2

log x + log y = 3log x – log y = –1

4 (x – 9)9y

y + 69

√x

Unidad 3. Álgebra

log2 x + 3log2 y = 5

log2 = 3 x2

y

23 Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalo-nados:

a) b) – y + z = –5

– 7z = 14x + y + z = 2

13x – 2y = 9

7x = 3

Unidad 3. Álgebra

24 Transforma los siguientes sistemas en escalonados y resuélvelos:

a) b)

☛ b) Sustituye la 3-ª ecuación por (3-ª) + (2-ª).

25 Resuelve por el método de Gauss:

a) b) x + y + z = 3

2x – y + z = 2x – y + z = 1

x – y – z = –10x + 2y + z = 11

2x – y + z = –8

x + z = 32x – y + z = 7

y – z = –5

3x + 2y = 7

4x – 5y = 0

Unidad 3. Álgebra

26 Aplica el método de Gauss para resolver los sistemas siguientes:

a) b)

27 Resuelve por el método de Gauss:

a) b) 2x – 3y + z = 03x + 6y – 2z = 04x + y – z = 0

x + y – 2z = 92x – y + 4z = 42x – y + 6z = –1

x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11

x – 5y + 6z = 29

x + y + z = 18x – z = 6x – 2y + z = 0

Unidad 3. Álgebra

28 Resuelve por el método de Gauss:

a) b)

Inecuaciones

29 Resuelve estas inecuaciones:

a) 5(2 + x) > –5x b) > x – 1 c) x2 + 5x < 0

d) 9x2 – 4 > 0 e) x2 + 6x + 8 ≥ 0 f ) x2 – 2x – 15 ≤ 0

x – 12

2x – y – z = 23x – 2y – 2z = 2

–5x + 3y + 5z = –1

x – y = 12x + 6y – 5z = –4

x + y – z = 0

Unidad 3. Álgebra

30 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) b)

c) d)

☛ Resuelve cada inecuación y busca las soluciones comunes. Uno de los sistemasno tiene solución.

31 Resuelve:

a) x2 – 7x + 6 ≤ 0 b) x2 – 7x + 6 > 0

c) (x + 1) x2 (x – 3) > 0 d) x(x2 + 3) < 0

2x – 3 > 05x + 1 < 0

5 – x < –1216 – 2x < 3x – 3

3x – 2 > –75 – x < 1

4x – 3 < 1x + 6 > 2

Unidad 3. Álgebra

32 Resuelve estas inecuaciones:

a) > 0 b) ≥ 0

c) < 0 d) < 0

PARA RESOLVER

33 Un inversor, que tiene 28 000 €, coloca parte de su capital en un banco al 8%y el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente200 € más que la segunda, ¿cuánto colocó en cada banco?

34 Dos grifos llenan un depósito de 1 500 litros en una hora y doce minutos.Manando por separado, el primero tardaría una hora más que el segundo.¿Cuánto tardaría en llenar el depósito cada grifo por separado?

x – 3x + 2

x2

x + 4

3x + 5x2 + 1

2x – 3

Unidad 3. Álgebra

35 Un granjero espera obtener 36 € por la venta de huevos. En el camino al mer-cado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio, aumentaen 0,45 € el precio de la docena. ¿Cuántas docenas tenía al principio?

☛ Iguala el coste de las docenas que se rompen a lo que aumenta el coste de las quequedan.

36 Un tendero invierte 125 € en la compra de una partida de manzanas. Dese-cha 20 kg por defectuosas y vende el resto, aumentando 0,40 € cada kilo so-bre el precio de compra, por 147 €. ¿Cuántos kilogramos compró?

☛ Iguala el coste de las que se desechan más las ganancias al aumento de coste delas que quedan.

Unidad 3. Álgebra

37 Varios amigos toman un refresco en una terraza y deben pagar 6 € por eltotal de las consumiciones. Como dos no tienen dinero, los demás les invi-tan, debiendo aumentar su aportación en 0,80 € cada uno. ¿Cuántos amigosson?

38 El cuadrilátero central es un rombo de 40 m de perímetro. Calcula las di-mensiones del rectángulo sabiendo que la base es el triple de la altura.

39 El número de visitantes a cierta exposición durante el mes de febrero se in-crementó en un 12% respecto al mes de enero. Sin embargo, en marzo su-frió un descenso del 12% respecto a febrero. Si el número de visitantes deenero superó en 36 personas al de marzo, ¿cuántas personas vieron la ex-posición en enero?

Unidad 3. Álgebra

40 La superficie de un triángulo equilátero es de 50 m2. Calcula el lado.

41 Para cubrir el suelo de una habitación, un solador dispone de dos tipos debaldosas:

Eligiendo el tipo A, se necesitarían 40 baldosas menos que si se eligiera eltipo B. ¿Cuál es la superficie de la habitación?

42 En un número de dos cifras, las decenas son el triple de las unidades. Si seinvierte el orden de las cifras, se obtiene otro número 54 unidades menor.Calcula el número inicial.

43 Le pregunté a mi padre: ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafete-ría de la esquina?

—No sé, nunca me he fijado.

—Pero hombre…, lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos herma-nas, tú y yo. ¿Cuánto has pagado?

—Algo más de 14 euros.

Unidad 3. Álgebra

3 dm

4 dm 5 dm

2 dmA

B

—El domingo pasado, además de nosotros seis, invitaste a dos amigosmíos. ¿Cuánto pagaste?

—Era poco menos de 20 euros, pues puse un billete y dejé la vuelta.

¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina?

44 Resuelve:

a) 3x4 – 75x2 = 0 b) x4 – 9x2 + 20 = 0

c) = x + 2 d) + 2 = x

e) – = 2 f) + = 9

g) + = h) x – =

i ) x · (x + 1) · (x – 2) · (x – ) = 0 j) (x2 – 9) ( + 3) = 0

k) ( – x + 2)x = 0√x

√x12

43

43x

310

x5 (x + 3)

1x + 2

6xx + 1

3xx – 1

√x – 5√2x – 3

√x√4x + 5

Unidad 3. Álgebra

45 Resuelve:

a) = 4 b) x2 – 1 = 3x – 3

2

Unidad 3. Álgebra

46 Resuelve estas ecuaciones de grado superior a dos en las que puedes despe-jar la incógnita:

a) + = 0 b) – = 0

c) – = 0 d) – = 0

e) – – = 0

47 Resuelve:

a) b)

c) (x + 3) (y – 5) = 0

(x – 2) (y – 1) = 0

√—4y + 2x = √—3y + x – 1

y + x = –5

√—x + y – √—x – y = √

__2x

x + y = 8

1x3 + x2

xx + 1

x + 1x2

5x3

22

5x1

x2x2

281x3

x8

259x2

3x5

Unidad 3. Álgebra

48 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x – 5 = 3x – 1 b) x + 2 = x – 6

c) x2 – 3x + 1 = 1 d) x2 – x = 1 – x2

Unidad 3. Álgebra

49 Resuelve por tanteo:

a) 2x = x3 b) ln x = x

50 Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones, sabiendo que tienen una solu-ción en el intervalo indicado:

a) x3 – x – 2 = 0 en [1, 2] b) 3x3 + x2 – 3 = 0 en [0, 1]

51 Queremos repartir, mediante un sistema de ecuaciones, 330 euros entre trespersonas de forma que la primera reciba 20 euros más que la segunda y la ter-cera la mitad de lo que han recibido entre las otras dos. ¿Cómo lo hacemos?

52 La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenases una unidad mayor que la suma de las otras dos.

Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta en 99 unidades.¿Cuál es ese número?

Unidad 3. Álgebra

CUESTIONES TEÓRICAS

53 ¿Qué valores ha de tomar k para que x2 – 6x + k = 0 no tenga solucionesreales?

54 Escribe un polinomio cuyas raíces sean 1, 4, – 4 y 0.

55 Halla el valor de m para que el polinomio 5x4 + mx3 + 2x – 3 sea divisiblepor x + 1.

56 Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x6 + 4x5 – 2x + 3 para x = –2.¿Es divisible P(x) entre x + 2?

57 Halla m para que al dividir el polinomio 2x4 + 9x3 + 2x2 – 6x + m entrex + 4, el resto sea igual a 12.

58 Escribe un polinomio de grado 4 que sólo tenga por raíces 0 y 1.

59 Justifica por qué este sistema de ecuaciones no puede tener solución:

x + y – z = 32x – y + z = 5x + y – z = 2

Unidad 3. Álgebra

60 Invéntate ecuaciones que tengan por soluciones los valores:

a) 3; –3; y – b) 5; 0,3 y –2

PARA PROFUNDIZAR

61 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado en las que la incógnita es x:

a) abx2 – (a + b) x + 1 = 0

☛ Al aplicar la fórmula general, verás que el discriminante es un cuadrado per-fecto: a2 + b2 – 2ab = (a – b)2

b) (x – a)2 – 2x (x + a) – 4a2 = 0

c) ax2 + bx + b – a = 0

d) (a + b) x2 + bx – a = 0

√7√7

Unidad 3. Álgebra

62 Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x4 – 4x2 < 0 b) x3 – x2 – 6x < 0

c) > 0 d) < 0

PARA PENSAR UN POCO MÁS

63 Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a7. En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacar decada vasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporciónalcohol-agua sea de 3 a 5?

–2(x – 1)3

4 – x2

(x – 3)2

Unidad 3. Álgebra

64 Un viajero que va a tomar su tren ha cubierto 3,5 km en 1 hora y se da cuen-ta de que, a ese paso, llegará 1 hora tarde. Entonces acelera el paso y recorreel resto del camino a una velocidad de 5 km/h, llegando media hora antes deque salga el tren. ¿Qué distancia tenía que recorrer?

RESUELVE TÚEn unas elecciones hay 20 000 votantes y se reparten 10 escaños. Concurren 5partidos, A, B, C, D, E, que obtienen los números de votos que figuran en la pri-mera columna.

a) Comprueba la validez de los resultados de las restantes columnas y di el repar-to de escaños según el método D’Hondt.

b) Haz el reparto de escaños aplicando el método del mayor resto.

c) Suponiendo que el número de escaños a repartir fuera 8, haz nuevamente elreparto por ambos métodos.

Unidad 3. Álgebra

8 435 (1) 4 217 (3) 2 812 (6) 2 109 (7) 1 687 (9)

6 043 (2) 3 021 (5) 2 014 (8) 1 511

3 251 (4) 1 625 (10)

1 150

1 121

A

B

C

D

E

1 2 3 4 5

Unidad 3. Álgebra