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Osc. Ondas y Termodinámica
OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA
MÓDULO 1: OSCILACIONES
Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
● El MAS es una idealización => No existe !
● En la naturaleza siempre hay fuerzas disipativas que producen el amortiguamiento de las oscilaciones.
Lección 2: Oscilaciones Amortiguadas
Osc. Ondas y Termodinámica
● El MAS es una idealización => No existe !
● En la naturaleza siempre hay fuerzas disipativas que producen el amortiguamiento de las oscilaciones.
Lección 2: Oscilaciones Amortiguadas
http://www.youtube.com/watch?v=BRbCW2MsL94
Osc. Ondas y Termodinámica
● El MAS es una idealización => No existe !
● En la naturaleza siempre hay fuerzas disipativas que producen el amortiguamiento de las oscilaciones.
Lección 2: Oscilaciones Amortiguadas
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.youtube.com/watch?v=BRbCW2MsL94
Osc. Ondas y Termodinámica
● El MAS es una idealización => No existe !
● En la naturaleza siempre hay fuerzas disipativas que producen el amortiguamiento de las oscilaciones.
Lección 2: Oscilaciones Amortiguadas
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.youtube.com/watch?v=BRbCW2MsL94
Objetivo: encontrar las ecuaciones querigen las oscilaciones amortiguadas
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento:
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
−bm
t = ln vv0
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
−bm
t = ln vv0
v t = v0 e−
bm
t
Velocidad
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
−bm
t = ln vv0
v t = v0 e−
bm
t
Velocidad
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
−bm
t = ln vv0
v t = v0 e−
bm
t
EC =12
m v2 ≈ E0 e−
2bm
t
Velocidad Energía
Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
−bm
t = ln vv0
v t = v0 e−
bm
t
EC =12
m v2 ≈ E0 e−
2bm
t
Para un tiempo =m/b τ : v → v
0 /e
E → E0
/e2
Velocidad Energía
Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
Fel =− k x
v
Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
F r =− b v
Fel =− k x
v
Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
F r =− b v
Fel =− k x
La 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x = m xv
Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
F r =− b v
Fel =− k x
La 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x = m x
x bm
x km
x = 0
Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y homogénea.
v
Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
F r =− b v
Fel =− k x
La 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x = m x
x bm
x km
x = 0
x 2 x 02 x = 0
Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y homogénea.
v
Donde: β = b/2m es el parámetro de amortiguamiento. ω
0
2 = k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado. Ec. diferencial de lasoscilaciones amortiguadas
Osc. Ondas y Termodinámica
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0:
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Si ω0 =0:
Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0:
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Si ω0 =0:
Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0: la solución es el MAS.
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0 x t =A cos t
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Si ω0 =0:
Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0: la solución es el MAS.
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0 x t =A cos t
Si ω0 =0:
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
x 2 x = 0
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0: la solución es el MAS.
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0 x t =A cos t
Si ω0 =0: la velocidad decae
exponencialmente.
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
x 2 x = 0 v t = v0 e−
bm
t
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0: la solución es el MAS.
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0 x t =A cos t
Si ω0 =0: la velocidad decae
exponencialmente.
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
x 2 x = 0 v t = v0 e−
bm
t
Parece razonable que la solución sea una combinación de ambas
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0: la solución es el MAS.
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0 x t =A cos t
Si ω0 =0: la velocidad decae
exponencialmente.
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
x 2 x = 0 v t = v0 e−
bm
t
Parece razonable que la solución sea una combinación de ambas
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con: =
b2m
, 0 = km
, 1 = 02−2
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
Parámetro de amortiguamiento
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
Parámetro de amortiguamiento
Constante de amortiguamiento
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
Parámetro de amortiguamiento
Constante de amortiguamiento
Frecuencia angular naturalo propia
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
Parámetro de amortiguamiento
Constante de amortiguamiento
Frecuencia angular naturalo propia
Frecuencia angular del mov.
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
Parámetro de amortiguamiento
Constante de amortiguamiento
Frecuencia angular naturalo propia
Frecuencia angular del mov.
Constante de lafuerza recuperadora
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
• No es un movimiento periódico (pero en algunos casos 'casi')
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
• No es un movimiento periódico (pero en algunos casos 'casi')
• Si decae poco en un periodo, podemos considerarlo como la 'amplitud efectiva' de un movimiento armónico (casi un MAS).
A e− t
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
• No es un movimiento periódico (pero en algunos casos 'casi')
• Si decae poco en un periodo, podemos considerarlo como la 'amplitud efectiva' de un movimiento armónico (casi un MAS).
• El 'periodo' del movimiento es , independiente de A
A e− t
t=2
02−
2
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
• No es un movimiento periódico (pero en algunos casos 'casi')
• Si decae poco en un periodo, podemos considerarlo como la 'amplitud efectiva' de un movimiento armónico (casi un MAS).
• El 'periodo' del movimiento es , independiente de A
• La frecuencia es menor que ω0 , pero si
A e− t
0≫ 1≈0
Situación frecuente
t=2
02−
2
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicio: demostrar que la perdida relativa de amplitud por periodo en un oscilador armónico amortiguado es:
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
p =A t −A tT
A t = 1 − e−T
Ejercicio: una partícula de masa m=2kg sujeta por un muelle de constante k=200N/m realiza oscilaciones amortiguadas y pierde ¼ de su amplitud en 60 oscilaciones. Determinar el parámetro de amortiguamiento, la frecuencia angular del movimiento y la constante de amortiguamiento.
Ejercicio: sabiendo que la frecuencia angular de un oscilador amortiguado es el 95% de su frecuencia propia, ¿en qué % se reducirá la amplitud en cada oscilación?
Solución: β=0.00763 s-1, ω1=10 s-1, b=0.369 kg/s
Solución: se reduce un 12.7 %
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2 Energía del 'MAS'
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E =12
k A02 e−2 t
Energía del 'MAS'
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E =12
k A02 e−2 t
E0
Energía del 'MAS'
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E = E0 e−2 tE =
12
k A02 e−2 t
E0
Energía del 'MAS'
Energía del MA
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E = E0 e−2 t
Definiendo:
E = E0 e−
t
=1
2=
mb
E =12
k A02 e−2 t
E0
Energía del 'MAS'
Energía del MA
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E = E0 e−2 t
Definiendo:
E = E0 e−
tE =
12
k A02 e−2 t
tiempo de relajación(para la energía)
E0
Energía del 'MAS'
Energía del MA
=1
2=
mb
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E = E0 e−2 t
Definiendo:
E = E0 e−
tE =
12
k A02 e−2 t
tiempo de relajación(para la energía)
Ejercicio: demuestra que si en una oscilación amortiguada p y q son la perdida relativa de amplitud y energía respectivamente, se cumple: q = 2 p − p2
q ≈ 2 p si ≪0
E0
Energía del 'MAS'
Energía del MA
Ejercicio: si (en unidades SI), determinar el tiempo necesario para que la energía se reduzca a la mitad.
x t = 0.360 e−t /50 cos60 t−1 /3
Solución:17.33 s
=1
2=
mb
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t Aproximación a 1er orden
(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
Q = 2E0 e−2 t
2 E0 e−2 t⋅T
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
Q = 2E0 e−2 t
2 E0 e−2 t⋅T
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
Q = 2E0 e−2t
2E0 e−2t⋅T
=2T
12
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
1
Q = 2E0 e−2t
2E0 e−2t⋅T
=2T
12
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Q =1 ≈ 0
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
Factor de calidad (si )≪0
1
Q = 2E0 e−2t
2E0 e−2t⋅T
=2T
12
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
PD = F r⋅vPotencia disipada:
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
PD = F r⋅v
Fr =−b v
PD =−b v2Potencia disipada:
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
PD = F r⋅v
Fr =−b v
PD =−b v2Potencia disipada:
Energía del sistemaen función del tiempo:
E = E0∫0
tPD dt
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
PD = F r⋅v
Fr =−b v
PD =−b v2Potencia disipada:
Energía del sistemaen función del tiempo:
E = E0∫0
tPD dt E =
12
k A02−∫0
tb v2 dt
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
PD = F r⋅v
Fr =−b v
PD =−b v2Potencia disipada:
Energía del sistemaen función del tiempo:
E = E0∫0
tPD dt E =
12
k A02−∫0
tb v2 dt
v =dxdt
=ddt
A e− t cos1 t
E =12
m12 A0
2 e−2 t 12sin 1 t cos 1 t 22
1
cos21 t Ejercicio: demostrar que si: 1≈0≫ , E ≈ E0 e−2t
y haciendo la integral
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Hemos visto la solución de la ec. diferencial si ω0 > β:
x t =A e− t cos1 t
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Hemos visto la solución de la ec. diferencial si ω0 > β:
x t =A e− t cos1 t
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Pero que pasa si ω0 <= β:
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Hemos visto la solución de la ec. diferencial si ω0 > β:
x t =A e− t cos1 t
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Pero que pasa si ω0 <= β:
Hay dos casos:
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Hemos visto la solución de la ec. diferencial si ω0 > β:
x t =A e− t cos1 t
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Pero que pasa si ω0 <= β:
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
Sobreamortiguamiento (ω0 < β)
Hay dos casos:
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
La solución de la ec. diferencial es:
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
La solución de la ec. diferencial es:
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
• Ya no hay varias oscilaciones• Puede aparecer una sola oscilación, según las condiciones iniciales.
La solución de la ec. diferencial es:
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
• Ya no hay varias oscilaciones• Puede aparecer una sola oscilación, según las condiciones iniciales.
La solución de la ec. diferencial es:
Sobreamortiguamiento (ω0 < β)
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
Siendo:
• Ya no hay varias oscilaciones• Puede aparecer una sola oscilación, según las condiciones iniciales.
La solución de la ec. diferencial es:
Sobreamortiguamiento (ω0 < β)
La solución de la ec. diferencial es:
x t = A1 e− '1 t A2 e '1 t e− t
A1 =−v0 − '1 x0
2 '1
A2 =v0 '1 x0
2 '1
1 = 2−02• Tampoco en este caso hay oscilaciones
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
Siendo:
• Ya no hay varias oscilaciones• Puede aparecer una sola oscilación, según las condiciones iniciales.
La solución de la ec. diferencial es:
Sobreamortiguamiento (ω0 < β)
La solución de la ec. diferencial es:
x t = A1 e− '1 t A2 e '1 t e− t
A1 =−v0 − '1 x0
2 '1
A2 =v0 '1 x0
2 '1
1 = 2−02• Tampoco en este caso hay oscilaciones
En amortiguamiento crítico,es cuando la partícula llega al equilibrio en menos tiempo
En amortiguamiento crítico,es cuando la partícula llega al equilibrio en menos tiempo
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicio (prob 22): dos cuerpos unidos entre si de masas M y m están en equilibrio colgados del techo mediante un muelle de constante k. En un determinado instante se retira el cuerpo de masa m por lo que el cuerpo M empieza a oscilar, realizando oscilaciones amortiguadas por el rozamiento con el aire. Se pide:
a) Energía con la que empieza a oscilar el cuerpo.
b) Perdida relativa de energía (q) en función de la pérdida relativa de amplitud (p).
c) Si M=100g, m=30g, k=25N/m, p=1.50%, determinar el tiempo necesario para que la energía sea la cuarta parte del valor inicial
Oscilaciones amortiguadas.
E0 =m² g²
2k, q = 2 p−p² ≈ 2p , t = 18.2s
Ejercicio: un péndulo simple tiene un periodo de 2s y una amplitud de 2º. Si después de 10 oscilaciones su amplitud disminuye en 0.5º, determinar el parámetro de amortiguamiento y la perdida relativa de amplitud y energía.
Solución:
Solución: β=0.01438 s-1 , p=0.25, q=0.437
Osc. Ondas y Termodinámica
Cuestiones Osc. Amortiguadas (contesta razonadamente).
1. En un oscilador armónico amortiguado la energía decrece describiendo oscilaciones de amplitud decreciente.
2. La energía de un oscilador muy débilmente amortiguado es proporcional al cuadrado de su amplitud efectiva.
3. El parámetro de amortiguamiento tiene las mismas unidades que la constante de amortiguamiento.
4. Si ω0 < β la partícula se aproximará a la posición de equilibrio sin realizar
oscilaciones y en el menor tiempo posible.
5. El factor de calidad es una magnitud que sólo esta definida para el movimiento débilmente amortiguado.
6. La energía de un oscilador débilmente amortiguado decrece exponencialmente con el tiempo.
7. Los amortiguadores de un coche son un ejemplo de sistema débilmente amortiguado.
8. El periodo de un oscilador débilmente amortiguado aumenta a medida que la partícula pierde velocidad.
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzU
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzU
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
Fel =− k x
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k x
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k x
Fosc = F0 cos t
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k x
Fosc = F0 cos t
v
• Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
x bm
x km
x =F0
mcos t
Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
x bm
x km
x =F0
mcos t
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
Donde: β = b/2m es el parámetro de amortig.. ω
0
2 =k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado. ω : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante
Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
x bm
x km
x =F0
mcos t
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y no homogénea.
Donde: β = b/2m es el parámetro de amortig.. ω
0
2 =k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado. ω : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante
Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v