OPERACIONES CON

FUNCIONES

MATEMÁTICA 1

OPERACIONES CON FUNCIONES

Se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones

dadas, mediante la adición, sustracción, multiplicación y

división de sus valores. Las nuevas funciones se conocen

como la suma, diferencia, producto y cociente de funciones

originales.

Igualdad de funciones:

Las funciones f y g son iguales si y sólo si:

i) Df = Dg

ii) f(x) = g(x) x Df = Dg

Las funciones f(x) = x3 – 1, g(x) = x3 – 1; son iguales, porqueDf = Dg = R

OPERACIONES CON FUNCIONES

Dadas las funciones f y g, tenemos:

i) La suma, denotada por f + g, es la función definida por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

ii) La diferencia, denotada por f - g, es la función definida por:

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

iii) El producto, denotada por f . g, es la función definida por:

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

iv) El cociente, denotada por f / g, es la función definida por:

(f / g)(x) = f(x) / g(x); g(x) 0

En cada caso, el dominio de la función resultante consta de

aquellos valores de x comunes a los dominios de f y g, pero para

el caso iv) g(x) 0

Aplicaciones:

1. Dadas las funciones:

f = (1; 4), (2; 5), (3; 6), (4; -6), (5; -5) y

g = (0; 8), (1; 3), (2; 0), (3; 7), (4; 0), (5; 10).

Hallar: a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g

Solución:

Df =

Dg =

a). Adición de funciones: f + g

Df D

g=

f + g =

2. Dadas las funciones:

f(x) = x - 5 y g(x) = x2 - 1.

Determine el dominio de la función resultante:

a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g

Solución:

Dadas las funciones:

f(x) =x + 1

1

3).

g(x) =x - 2

x

Determine el dominio de la función resultante:

a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g

Dadas las funciones, hallar: a) (f + g)(x);

b) (f - g)(x); c) (f . g)(x); d) (f / g)(x); si:

f(x) =

g(x) =

x2 – 1; si |x | ≤ 2

x; si x > 2

x + 1; si x < 0

x – 1; si 0 ≤ x ≤ 3

4).

Hallar: a) (f + g)(x); b) (f - g)(x); c) (f . g)(x);

d) (f / g)(x); si:

f(x) =

g(x) =

|x |; x [-1; 3

3 - 2x; x [3; 6]

[|x|] ; x 5; 7]

x – 1; x [1; 4

5).

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas las dos funciones f y g, la función compuesta,

denotada por f g, está definida por

(f g)(x) = f(g(x))

El dominio de f g, es el conjunto de todos los números x del

dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f.

f gf

g

A B Cf g

g o f

Dgof

Df Rf Dg

Rf Dg

Rgof

Rg

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

a.

b.

c.

d.

n.

m.

p.

q.

r.

s.

t.

v.

A B C

f g

fg

(f g)(a) = f(g(a)) = f(m) = t

(f g)(d) = f(g(d)) = f(p) = r

f g = (a, t); (d, r)

Ejemplo

PROPIEDADES DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Consideremos las funciones f, g, h y la “I” (identidad):

i) (f g)(x) (g f )(x) no es conmutativa

iii) (f + g) h = (f h) + (g h) distributiva

ii) (f g) h = f (g h) es asociativa

v) f I = I f = f, f

iv) (f . g) h = (f h) . (g h)

Sea f = (2; 5), (3; 4), (6; 2), (5; 0), (1; 7) y

g = (4; 8), (5; 3), (0; 9), (2; 2), (7; 4)

Hallar f g

1).

2. Sea f, g: R R tal que: f(x) = x2 + 2x + 3, g (x) = x - 5

Hallar:(g o f)(1) + (f o g) (2).(f o g) (3) - (g o g) (2)

(f o g) (2)

3. Sean: f(x) = g (x) = 2x + 1x - 2

5 y

Obtenga (f o g)(3) de dos maneras.

4. Si f y g están definidas por:

Determine el dominio de la función compuesta definida por:

a) (f o g)(x) b) (g o f)(x)

f (x) = x - 2 y g(x) = x2 - 2

5. Sea:

Hallar:(gog)(1) + 2.g(-1)

g(x) =x - 1, si x < 1

-3x2 + 1, si x ≥ 1

g2(1) + (gog)(-1)

6. Si f (x - 1) = x - 2 y (g o f)(x + 2) = 2x2 - x

Hallar g(x)

Taller 5

2. Si (f . g)(x - 1) = x2 – 2x y g(x) = x + 3, determinar f(x).

1. Dadas las funciones: Calcular (f . g)(x) si:

f(x) = g(x) =7, si x 10

x - 1, si x > 11 x, si x > 3

3x – 1; si 0 < x < 2 Calcular: a) (f + g)(x), b) (f . g)(x)

FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

1. La nómina de pago diario de una cuadrilla es directamente

proporcional al número de trabajadores, y una cuadrilla de 12 tiene

una nómina de $.810. a) Encuentre un modelo matemático que exprese

la nómina de pago diario como una función del número de

trabajadores. b) ¿Cuál es la nómina de pago diario para una cuadrilla

de 15 trabajadores?

2. A un campo de forma rectangular se le colocaron 240 m de cerca. a)

Encuentre un modelo matemático que exprese el área del terreno como

una función de su longitud. b) ¿Cuál es el dominio de la función? c)

¿Cuáles son las dimensiones del campo rectangular de mayor área que

pueda cercarse con 240 m?

3. Realice el ejercicio anterior (2) considerando ahora que un lado del

terreno está sobre la orilla de un río, por lo que tiene un límite natural,

y el material para cercar se empleará en los otros tres lados.