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8/3/2019 Olimpo Matematico-Geometria-Año 1-Folleto 3
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OLIMPO MATEMATICO-GEOMETRIA Año 1- Fol leto Nº 3
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El conocimiento es patrimonio de la humanidad Pág. 1 lococrux@hotmail.com
Problema 1
Uno de polígonos, medio teórico y subliminal………………….
Un polígono regular de 2n vértices esinscrito en un círculo de radio 5. La
suma de los cuadrados de las distan-
cias de cualquier punto en el círculo alos vértices del polígono es 1200.
Hallar el valor del valor entero n.
Fuente: Fuente: Inscribed polygon-Brut3Forc3-05 Diciembre 2007-Art of problem solving
Problema 2
Aquí va con figura desde el inicio, un poco para aliviar la densidad del enunciado.
Se toman dos cuadrados (O,M,N,P) y
(O,S,R,T) [O es el único punto común]. Si A
es el punto medio de PS probar que r(AO) es
perpendicular a r(MT). Las letras están en el
sentido de las agujas del reloj
Fuente: two squares
Problema 3
Cuadriláteros y más cuadriláteros,
este es muy mono, y no te olvides
de Menelao, ya verán…………
Sea ABCD un cuadrilátero. Sean
M, N, P, Q puntos en las líneas
AB, BC, CD, DA, respectivamente.
Probar que las líneas MQ, NP, BD
son concurrentes si y solo si las
líneas MN, PQ, AC son concurren-
tes.
Fuente: Math Links- Easy but Useful!-Small exercise-Agosto 2004
Problema 4
Nuevamente con Gergonne en auxilio para la solución de este encanto………..
Sea P un punto interior en el triángulo ABC , A´ es la intersección de AP con BC,
B´ la intersección de AC con PB y C´ la intersección de AB con CP. Además
APx
PA=
BPy
PB= ,
CPz
PC= , Demostrar que: xyz =x+y+z+2.
Fuente: Aparecido en Mathlinks-Italian triangle equality-Italian Mathematical Olympiad
2004 (problem 6)
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Problema 5
Ayayay…, con lo que me gustan los de lugar
geométrico, este es bueno, y viene de una
revista japonesa que me cayo por allí (en In-
ternet, claro)…..
Suponer un punto A dentro de un círculo (di-
ferente del centro). Considerar todas las
cuerdas (excluyendo el diámetro) que pasan
por A. ¿Cuál es el lugar geométrico de la in-
tersección de las tangentes a los puntosextremos de las cuerdas?
Fuente: Aparecido en Mathematical Excalibur Vo-
lumen 1-Nº 5-1995-Problema 19
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Problema 5:
Sea O el centro y r el radio. Sea A' un punto en la prolongación de OA lejos de A
tal que OA x OA' = r2
. Suponemos que BC es una cuerda que pasa por A y las
tangentes en B y C se interceptan en D'. Por simetría D' esta en OD, donde D
es el punto medio de BC. De aquí ∠OBD' = 90º, OD x OD' = OB2
(= OA X
OA'.) Así el triángulo OAD es semejante al triángulo OD'A'. De aquí ∠ODA=90º,
D' esta sobre la línea L perpendicular a OA en A'. Recíprocamente, para D' en L,
sea la cuerda que pasa por A perpendicular a OD' que intercepta el círculo en B
y C. Sea D la intersección de la cuerda con OD'. Ahora los triángulos OAD y OD-
'A' son triángulos rectángulos semejantes. Así OD x OD' = OA x OA' = OB2 =
OC2. Lo cual implica que ∠OBD'=∠OCD'=90º. De aquí, D' esta en la ubicación
OD. Esto demuestra que el lugar geométrico es la línea L.
Solución: Wong Him Ting-Diagramación y traducción por Aldo Gil
Saludos y abrazos
Aldo