Post on 13-Sep-2015
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Profesor: Rafael Gutirrez Estrada
NOTAS SOBRE DIAGONALIZACION
Sea ( )n nA .
Definicin: Se dice que A es diagonalizable si existe otra
matriz ( )n nP invertible tal que 1P AP D con
( )n nD una matriz diagonal, esto es, una matriz que
fuera de su diagonal principal tiene puros ceros.
Cmo saber si una matriz A es o no diagonalizable?
La respuesta se da en el siguiente Teorema.
Teorema: A es diagonalizable si existe una base de n
compuesta por puros vectores propios de A.
Qu es un vector propio de A?
Definicin: Un vector no nulo
1
2
n
n
x
xX
x
es un vector
propio de A si existe tal que AX X . Al real se le conoce como el valor propio correspondiente al vector
propio X .
Cmo encontrar valores y vectores propios de A?
Trabajando con la igualdad AX X , esta se puede reescribir como 0AX X equivalentemente como
Profesor: Rafael Gutirrez Estrada
( ) 0 ( )A I X ,
lo cual ya en un ejemplo concreto es un sistema de
ecuaciones lineales de n n homogneo. Ahora por la
regla de Crammer se tiene que tal sistema tiene
soluciones no triviales si y solo si
0A I
Ecuacin algebraica que al resolverla nos da los valores
propios. Finalmente estos valores propios se sustituyen
en (*) y resolviendo el sistema se obtienen los vectores
propios de A.
Nota: Si 1 2, , , n son los valores propios y todos
ellos son distintos entonces la matriz A es
diagonalizable, y si algunos de ellos se repiten, entonces
todava puede ocurrir cualquier cosa, esto es, puede o no
ser diagonalizable, de hecho va a ser diagonalizable si
podemos encontrar n vectores propios linealmente
independientes. Ms aun la matriz P se construye
colocando a estos n vectores propios como las
columnas de P , y 1P AP D es una matriz diagonal que
tiene en su diagonal a los valores propios.
Ejemplos: Diga si las siguientes matrices son o no
digonalizables.
1.- Sea
5 2
6 2A
Profesor: Rafael Gutirrez Estrada
Los valores propios se encuentran al resolver la
ecuacin algebraica
2 2
1 2
5 2(5 )( 2 ) 6( 2) 0
6 2
10 5 2 12 3 2 ( 1)( 2) 0
1 y 2
A I
Sustituyendo 1 1 en ( ) 0A I X se obtiene el
sistema de ecuaciones
1 1
2 2
5 1 2 4 2 0
6 2 1 6 3 0
x x
x x
Como el segundo rengln de la matriz asociada se
obtiene del primero al multiplicarlo por 32, nos quedamos
solo con la primera ecuacin, esto es, con
1 24 2 0x x
De la cual se tiene que 2 12x x . Por lo tanto haciendo
1 1x , un vector propio de A es 1
2
.
Observacin: Como hubo una incgnita libre, de aqu se
obtuvo un vector propio. Si se hubiera tenido dos
incgnitas libres, entonces se tendran que obtener dos
vectores propios, , etc.
Sustituyendo 2 2 en ( ) 0A I X se obtiene el
sistema de ecuaciones
Profesor: Rafael Gutirrez Estrada
1 1
2 2
5 2 2 3 2 0
6 2 2 6 4 0
x x
x x
Como el segundo rengln de la matriz asociada se
obtiene del primero al multiplicarlo por 2 , nos quedamos
solo con la primera ecuacin, esto es, con
1 23 2 0x x
De la cual se tiene que 3
2 12x x . Por lo tanto haciendo
1 2x , un vector propio de A es 2
3
.
Con todo lo anterior se tiene que
1 2
2 3P
Observe que las columnas de P son los vectores propios
antes obtenidos, y son linealmente independientes y
forman una base de 2. Por lo tanto A es diagonalizable
y P es la matriz que la diagonaliza.
Finalmente es fcil ver que 1 3 2
2 1P
, y se verifica
que
1 3 2 5 2 1 2 3 2 1 2 1 0
2 1 6 2 2 3 4 2 2 3 0 2P AP D
Profesor: Rafael Gutirrez Estrada
Antes de dar el segundo ejemplo, cabe mencionar que
para matrices de tamao mayor de 2x2 no es del todo
fcil encontrar los valores propios, de hecho algunas
recomendaciones para resolver la ecuacin
0A I
Son:
(i) Calcular el determinante como Dios nos de a
entender, y despus emplear el criterio de
Einsenstein en conjuncin con la divisin
sintetica.
(ii) Calcular el determinante usando propiedades
de los determinantes, procurando construir un
rengln o columna con dos ceros, ya que de
esta manera es muy fcil calcular los valores
propios.
Criterio de Einsenstein
El criterio de Einsenstein nos dice que si una ecuacin
algebraica con coeficientes enteros (y coeficiente lder
igual a 1) tiene races racionales, entonces tales races
deben de ser algunos de los enteros que dividan al
trmino independiente.
Ejemplo: Dada la ecuacin
3 23 3 0
Profesor: Rafael Gutirrez Estrada
El coeficiente lder, es el coeficiente de 3 , esto es, el
coeficiente lder es 1. Finalmente es claro que el trmino
independiente es 3 .
Por lo tanto si la ecuacin tiene races racionales, estas
deben ser algunos de los divisores de 3, esto es, las
posibles races son 1 y 3 . De estos 4 valores el nico
que es raz es 3 . Las dems races o son irracionales o
son complejas, de hecho si dividimos 3 23 3 entre
3 va divisin sinttica
3 1 3 1 3
3 0 3
1 0 1 0
Se tiene que: 3 2 23 3 ( 3)( 1) 0
De donde concluimos que las otras dos races son
nmeros complejos.
Obviamente en los cursos de algebra lineal de la UPIICSA
se procura trabajar siempre con matrices que tengan
valores propios reales.
2.- Sea
10 9 21
8 8 14
4 3 9
A
Los valores propios se encuentran al resolver la
ecuacin algebraica
Profesor: Rafael Gutirrez Estrada
Si desarrollamos el determinante con respecto al primer
rengln, se tiene que
2
2
10 9 21
8 8 14
4 3 9
8 14 8 14 8 8 ( 10 ) 9 21
3 9 4 9 4 3
( 10 )(72 8 9 42) 9( 72 8 56) 21( 24 32 4 )
( 10 )(30 17 ) 9( 16 8 ) 21(8 4 )
A I
2 2 3
3 2
300 170 10 30 17 144 72 168 84
7 16 12 0
Equivalentemente:
3 27 16 12 0
Por lo tanto las posibles races racionales de la
ecuacin anterior segn el criterio de Einsenstein son
1, 2, 3, 6 y 12 .
Fcilmente se puede ver que 1 no son races, pero 2 si
lo es. Ahora aplicando divisin sintetica
2 1 7 16 12
2 10 12
1 5 6 0
10 9 21
8 8 14 0
4 3 9
A I
Profesor: Rafael Gutirrez Estrada
Por lo tanto se tiene que:
3 2 27 16 12 ( 2)( 5 6) ( 2)( 3)( 2) 0
De donde se concluye que los valores propios son
1 2 2 y 3 3
Una manera alternativa para encontrar los valores
propios es usando propiedades de los determinantes, lo
cual en general es sumamente difcil, salvo casos muy
particulares.
Sustituyendo 1 2 2 en ( ) 0A I X se obtiene el
sistema de ecuaciones
1 1
2 2
3 3
10 2 9 21 12 9 21 0
8 8 2 14 8 6 14 0
4 3 9 2 4 3 7 0
x x
x x
x x
Resolviendo el sistema
11 2
1 32
1
3
1
2
2 31 2 3 1 2 3
12 9 21 0 4 3 7 0 4 3 7 0
8 6 14 0 4 3 7 0 0 0 0 0
4 3 7 0 4 3 7 0 0 0 0 0
3 74 3 7 0 ; ,
4
RR R
R RR
x xx x x x x x
Profesor: Rafael Gutirrez Estrada
Se llega a que hay dos incgnitas libres. Dando valores
adecuados (de preferencia que no den lugar a
fracciones), se construyen los siguientes vectores
propios
1 2
1 y 5
1 1
Sustituyendo 3 3 en ( ) 0A I X se obtiene el
sistema de ecuaciones
1 1
2 2
3 3
10 3 9 21 13 9 21 0
8 8 3 14 8 5 14 0
4 3 9 3 4 3 6 0
x x
x x
x x
Resolviendo el sistema
22 1 1 2
1 33
2 1
2 3
1
5 3 8 21
14
11
2
1 3 2 3
13 9 21 0 1 2 7 0 1 2 7 0
8 5 14 0 8 5 14 0 0 21 42 0
4 3 6 0 4 3 6 0 0 11 22 0
1 2 7 0 1 0 3 0
0 1 2 0 0 1 2 0
0 1 2 0 0 0 0 0
3 0 y 2
RR R R R
R RR
R R
R R
x x x x
1 3 2 3 30 3 y 2 ; x x x x x
Se llega a que hay una incognita libre. Dando valores
adecuados (de preferencia que no den lugar a
fracciones), se construye el siguiente vector propio
Profesor: Rafael Gutirrez Estrada
3
2
1
Por lo tanto la matriz A es diagonalizable, ya que los tres
vectores propios antes encontrados son linealmente
independientes y forman una base de 3. La matriz P
que diagonaliza es
1
1 2 3 7 5 11
1 5 2 y 3 2 5
1 1 1 4 3 7
P P
Finalmente con un poco de esfuerzo se puede ver que
1
2 0 0
0 2 0
0 0 3
P AP D
.
.
.
Ojala y entiendan algo de lo escrito en estas notas. Por
favor estudien en estas vacaciones y den todo lo que
puedan en el ETS, y si aprueban denme la buena noticia.
Saludos