Post on 23-Jul-2016
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COPERSO
CURSO: MATEMATICAS
PROF: VICTOR MUÑOZ
TRABAJO:
PORTAFOLIO DIGITAL
NOMBRE: CARLOS ANTONIO UJPAN
COLEGIO PRIVADO MIXTO PERPETUO SOCORRO
INTRODUCCION
La matemática es fundamental para el desarrollo de una inteligencia intelectual, ya
que por ello estoy realizando algunos ejercicios que son, Multiplicación y división de
polinomios, Productos notables y entre otros que estarán a disposición de quienes
desean aprender.
JUSTIFICACION
La realización de este trabajo esta basados en la matemática para demostrar que con
ella nosotros podemos aprender de ella y así poder tener un buen desarrollo
académico
INDICE
PORTADA………………………………………………………………….. 1
INTRODUCCION…................................................................................... 2
JUSTIFICACION…………………………………………………………. 3
INDICE…………………………………………………………………….. 4
CONTENIDO: Multiplicación de polinomio …………………………….5
Productos notables……………………………………………………………6
Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita ……………7
Problemas de Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado con dos Incógnitas 8
Ecuación de Primer Grado con dos incógnita…………………………….. 9
Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas…………………………. 10
Ecuaciones Cuadráticas – Factorización………………………………… 11
Conclusiones ……………………………………………………………….. 12
Recomendaciones…………………………………………………………… 13
Referencias bibliográficas ………………………………………………... 14
Egrafias…………………………………………………………………….. 15
Multiplicación y división de polinomios
MULTIPLICACIÓN
La multiplicación consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda o primera cantidad
Por ejemplo:
(9)*(5) = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45 o bien (9)*(5) = 5+5+5+5+5+5+5+5+5 = 45
ELEMENTOS DE UNA MULTIPLICACIÓN
FACTORES: Son las cantidades que se multiplican
PRODUCTO: Es el resultado de multiplicar los factores.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
Para la multiplicación, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:
En la multiplicación de expresiones algebraicas se pueden distinguir tres casos:
Multiplicación de un monomio por un monomio
Multiplicación de un polinomios por un monomio
Multiplicación de un polinomio por otro polinomio
Multiplicación de
un:
Procedimiento: Ejemplo:
Monomio por un
monomio
Determinar el signo
del producto.
Multiplica los
coeficientes
numéricos.
Multiplica las partes
literales utilizando las
leyes de los
exponentes
correspondientes
Monomio por un
polinomio
Se utiliza la propiedad
distributiva de la
multiplicación; es
decir se multiplica
cada término del
polinomio por el
monomio.
Multiplicación: Operación en la que dos expresiones denominadas “multiplicando” y “multiplicador” dan como resultado un
“producto”. Al multiplicando y multiplicador se les denomina “factores”.
Regla de los signos:
(+)(+) = + (-)(+) = -
(+)(-) = - (-)(-) = +
En la multiplicación
de bases iguales, los
exponentes se suman:
Polinomio por un
polinomio
Cada término del
primer polinomio se
debe multiplicar por
cada uno de los
términos del segundo
polinomio y después
se deben agrupar los
términos semejantes,
ya que son los que se
pueden sumar o
restar.
D I V I S I Ó N
División: Operación en la que dos expresiones denominadas “dividendo” y “divisor” dan como resultado un
“cociente”.
La división se regula por las siguientes leyes de los signos:
Para la división, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:
Por ejemplo:
ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN
Con respecto a la división y en relación con los polinomios distinguiremos tres casos:
División de un:
Procedimiento: Ejemplo:
Monomio entre un
monomio
Determinar el signo del cociente
Dividir los coeficientes numéricos.
Aplicar las leyes de los exponentes
correspondientes
En la división de bases iguales, los exponentes
se restan y si el exponente es cero, recuerda
que todo número o expresión elevada a la
apotencia cero es igual a la unidad (1)
Polinomio entre
monomio
Se utiliza la propiedad distributiva
de la división, Se divide cada
término del polinomio entre el
monomio y se suman o restan según
sea el caso los cocientes obtenidos.
Polinomio entre
polinomio
Se ordenan los dos polinomios en
orden decreciente
Se divide el primer término del
dividendo entre el primer término
del divisor.
Se multiplica el primer término del
cociente por el divisor y el producto
obtenido se resta del dividendo,
obteniendo un nuevo dividendo.
Con el nuevo dividendo se repiten
las operaciones de los pasos dos y
tres hasta que el resultado sea cero
o de menor exponente que el
divisor.
Productos notables
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se
multiplican se llamanfactores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que
es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados
en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la
forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la
primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 +
2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)
2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Ver: PSU; Matemática
Pregunta 12_2005
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de
la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 –
2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)
2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos
el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b)
(a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b
2
Ver: PSU: Matematica,
Pregunta 15_2010
Pregunta 19_2010
Pregunta 09_2006
Otros casos de productos notable (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a
+ b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a
– b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 – (a
+ b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2 +
ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx +
b).
Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 +
3a2b + 3ab
2 + b
3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)
3.
Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 –
3a2b + 3ab
2 – b
3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)
3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica
que lo representa:
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)2 = a
2 + 2ab + b
2 Binomio al cuadrado
(a + b)3 = a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3 Binomio al cubo
a2 b2 = (a + b) (a b) Diferencia de cuadrados
a3 b
3 = (a b) (a2 + b
2 + ab) Diferencia de cubos
a3 + b
3 = (a + b) (a2 + b
2 ab) Suma de cubos
a4 b
4 = (a + b) (a b) (a2 + b
2) Diferencia cuarta
(a + b + c)2 = a
2 + b
2 + c
2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas
que se pueden escribir de la siguiente forma:
ax + b = 0
Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de
cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no
tenga exponente.
¿Todavía tienes dudas sobre este tema?
Solución
La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es
simpre un solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer
la solución por simple inspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x
= 4 es facil deducir que la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin
embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un
procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobretodo si la
ecuación contiene fracciones y/o radicales.
La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x =
n donde n es la solución. Cuando la ecuación tiene esa forma se dice
que la variable está despejada.
¿Todavía tienes dudas sobre este tema?
Procedimiento para encontrar la solución
Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos
miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y
las propiedades de las operaciones inversas.
Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número, se
multiplican por un número, se dividen entre un número, se elevan a la
misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.
Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se
multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y
se obtiene su raiz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece
inalterado y la igualdad se mantiene.
Se busca que los términos que contienen a la variable pasen al primer
miembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen al
segundo miembro.
Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.
El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =)
porque contiene a la variable.
El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable.
Esto se hace restando 3 a los dos miembros
El término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del =)
porque no contiene a la variable.
El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable.
Esto se hace sumando x a los dos miembros
Se reducen términos semejantes
2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x
3x = 18
El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la
variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.
(3x)/3 = (18)/3
x = 6
Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para
comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa
numéricamente cada miembro y se verifica la igualdad.
2(6) + 3 = 21 - (6)
12 + 3 = 15
15 = 15
Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada
correctamente.
Un poco más sobre el procedimiento
En la resolución de ecuaciones es común escuchar comentarios como
"lo que está restando pasa sumando" o "lo que está multiplicando pasa
dividiendo". Es válido considerar que se puede despejar algún
elemento de un miembro y pasarlo al otro miembro con la operación
inversa, pero es necesario comprender por qué se hace, para evitar
errores. En el siguiente ejemplo se illustra lo comentado aquí.
Ejemplo. Resolver la ecuación 3x - 4 = x + 2.
El término 3x contiene a la variable y debe quedarse en el primer
miembro. El término - 4 no contiene a la variable, por lo cual se debe
quitar del primer miembro, esto se hace sumando 4 a ambos
miembros.
3x - 4 + 4 = x + 2 + 4
Los términos - 4 y + 4 se eliminan porque - 4 + 4 = 0. La ecuación
queda:
3x = x + 2 + 4
Si comparamos esta ecuación con la original, observaremos que el
término - 4 del primer miembro se ha convertido en el término + 4 del
segundo miembro. En ese caso podemos decir que "el término que
estaba restando ha pasado sumando al otro miembro". Después de
reducir términos semejantes la ecuación queda:
3x = x + 6
El término x contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del
segundo miembro. Esto se hace restando x a los dos miembros.
3x - x = x + 6 - x
Los términos x y - x se eliminan porque x - x = 0. La ecuación queda:
3x - x = 6
Al comparar esta ecuación con la original, observamos que el
término x del segundo miembro se ha convertido en el término - x del
primer miembro. En ese caso podemos decir que "el término que
estaba sumando ha pasado restando al otro miembro". Después de
reducir términos semejantes la ecuación queda:
2x = 6
Para despejar la x del término 2x se debe quitar el 2 de ese término.
Esto se hace dividiendo entre 2 a los dos miembros.
(2x)/2 = (6)/2
En el primer miembro, el 2 que multiplica a x y el 2 que divide se
eliminan porque 2 / 2 = 0. La ecuación queda:
x = 6/2
Al comparar esta ecuación con la anterior, observamos que
el 2 de 2x ahora está dividiendo a 6. En ese caso podemos decir que "el
término que estaba multiplicando ha pasado dividiendo al otro
miembro". Después de realizar la división, la ecuación ha sido
solucionada:
x = 3
PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
1. Halla un número tal que su triplo menos 5 sea igual a su doble más 3.
2. ¿Cual es el número cuya tercera parte más 12 da 26?
3. La suma de las macetas de dos casas vecinas es 365. Una tiene 43 más que la otra. ¿Cuantas macetas
tiene la casa que más tiene?
4. Tres números enteros consecutivos suman 69. Calcula la mitad del mayor.
5. Curro leyó en un día la cuarta parte de las páginas de un libro, y al día siguiente, una tercera parte. Si
aun le quedan 75 páginas por leer, ¿cuántas páginas tiene el libro?
6. La suma de un número entero y el doble del siguiente vale 74. ¿De qué número se trata?
7. La suma de un número y el siguiewnte de su doble es 67. Calcula dicho número.
8. El triple de un número menos 11 es igual a 43. Averigua de qué número se trata.
9. Curro se gasta la mitad de su dinero en la entrada del cine y una cuarta parte en golosinas. Si le quedan
3 €, ¿cuánto dinero tenía?
10. Si al dinero que tengo le sumamos su mitad y su cuarta parte, y le añadimos un euro, tendré entonces 64 €. ¿Cuánto dinero tengo ahora?
Problemas de Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado con dos Incógnitas
Recuerda las cuatro fases que tendremos que seguir para resolver un problema:
1.- Comprender el problema.
2.- Plantear el sistema de ecuaciones.
3.- Resolver el sistema de ecuaciones por el método que creas más conveniente.
4.- Comprobar la solución.
1. En un aparcamiento hay 55 vehículos entre coches y motos. Si el total de
ruedas es de 170.
¿Cuántos coches y cuántas motos hay?.
2. Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros. Cinco kilos de
plátanos y cuatro de
peras cuestan 13,20 euros. ¿A cómo está el kilo de plátanos y el de peras?
3. En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 14 cabezas y 38 patas.
¿Cuántas gallinas y
cuántos conejos hay en el corral?
4. He comprado un DVD y me ha costado 105 euros. Lo he pagado con 12 billetes
de dos tipos,
de 5 euros y de 10 euros. ¿Cuántos billetes de cada clase he entregado?
5. Un fabricante de bombillas gana 0,3euros por cada bombilla que sale de la
fábrica, pero
pierde 0,4 euros por cada una que sale defectuosa. Un día en el que fabricó 2100
bombillas
obtuvo un beneficio de 484,4 euros. ¿Cuántas bombillas correctas y cuántas
defectuosas
fabrico ese día?
6. Halla dos números tales que la suma de un tercio del primero más un quinto del
segundo
sea igual a 12 y que si se multiplica el primero por 5 y el segundo por 7 se obtiene
300 como
suma de los dos productos.
7. El perímetro de un rectángulo es 64cm y la diferencia entre las medidas de la
base y la
altura es 6cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo.
8. Seis camisetas y cinco gorras cuestan 227 euros. Cinco camisetas y 4 gorras
cuestan 188 €.
Halla el precio de una camiseta y de una gorra.
9. En un examen tipo test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada
respuesta correcta
y se restan 0,25 por cada error. Si un alumno ha sacado 10,5 puntos ¿Cuántos
aciertos y
cuántos errores ha cometido?
Fco. Javier Sánchez García Pág. 1/16
IES “Los Colegiales” Matemáticas 2º ESO Tema 6 Sistemas de Ecuaciones de 1º
Grado
10. Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.
11. Ente María y Pedro tienen un total de 65 CD’s . Sabemos que Pedro tiene 7
CD’s más que
María. ¿Cuántos CD’s tiene cada uno?
12. Un grupo de amigos planea una excursión a la montaña. Llaman a un albergue
para
preguntar cuántas habitaciones hay. La persona que les atiende les dice que hay
70 camas
disponibles repartidas en 29 habitaciones, y que las habitaciones son dobles y
triples.
¿Cuántas habitaciones hay de cada tipo?
13. En el mes de enero un vendedor de coches vende 3 coches del modelo A y 5
del modelo B,
llegando a unas ventas de 165.000 €. En el mes de febrero vende 2 coches del
modelo A y 4 del
modelo B, por un total de 122.000 €. Calcula el precio de cada modelo de coche.
14. He comprado un cuaderno que costaba 3 euros y para pagarlo he utilizado
nueve
monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de
cada clase heutilizado?
Ecuación de Primer Grado con dos incógnita Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera:
Ax + By = C ; donde (x ; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del conjunto de los naturales. Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o mas incógnitas se puede utilizas todas las propiedades ya anteriormete estudiadas. Ejemplo #01 3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuacion debemos tomar en cuanta lo siguiente: Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a (0) y la
sustituimos en la ecuación y comenzamos a resolver: Tomamos como Y= 0 3X + 6(0) = 3 , Dicha multipliación se nos hace 0 y obtenemos 3X = 3 ahora dividimos ambos miembros entre 3 3X / 3 = 3 / 3 X = 1 Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando: 3(1) + 6Y = 3 3 + 6Y = 3 -3 + 3 + 6Y = 3 - 3 Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos: 6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha division nos da 0 de tal manera que Y = 0/ 6 Y = 0 y asi hallamos en valor de Y.
Método de Gauss
El método de Gauss consiste en util izar el método de
reducción de manera que en cada ecuación tengamos una
incógnita menos que en la ecuación precedente .
Resolución por el método de Gauss
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el
como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible
lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación ,
para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después
ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E2 − 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación ,
para eliminar el término en x.
E'3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer
reducción y eliminar el término en y.
E''3 = E'3 − 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
Ecuaciones Cuadráticas – Factorización
Por: Melissa Murrias
Revisado por: Dra. Luz M. Rivera
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2
+ bx + c, donde a, b, y c son números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2
+ 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]
( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0
4 4 4 4
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1 = 8 + 1
x2 + 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9 Hay que factor izar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±
x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplo:
X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8
x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6 x = -2 - 6
2 2
x = 4 x = -8
2 2
x = 2 x = - 4
CONCLUSIONES
Las matemáticas son muy importantes para el desarrollo cognitivo en nuestro
ámbito estudiantil y así ser uno de los mejores.
Son esenciales para lograr un buen desarrollo académico y solo así obtendremos
lluvias de éxitos en nuestras vidas.
En mi desarrollo académico de mi vida estudiantil la matemática a sido
fundamental porque he alcanzado muchos objetivos por medio de ella
RECOMENDACIONES
Para lograr hacer un buen programador es muy importante llevar al pie de la letra
la matemática.
Para obtener éxitos en nuestras vidas es necesario que las matemáticas se
acoplen a mi estilo de vida.
Es importante resaltar que le ponen mucho interés y esfuerzo a la matemática ya
que por ella obtendremos muchos beneficios para nuestras vidas laborales.
RE FERENCIAS BIBILOFRAFICAS
Nota Editorial. En Educación Matemática. Vol 4 (3). Grupo Editorial
Iberoamérica. México. Diciembre. 1992. P. 5
González, H.E.: Un criterio para clasificar habilidades matemáticas.
Educación Matemática. Vol. 5. (1). Grupo Editorial Iberoamérica.
México. Abril, 1993. P. 49.
Dubinsky, Ed: El aprendizaje cooperativo de las Matemáticas en una
sociedad no cooperativa. En Revista Cubana de Educación Superior
No 2-3. CEPES. Universidad de La Habana. 1996. P. 156.
E-GRAFIA
http://www.eumed.net/tesis-
doctorales/2010/mfv/CONCLUSIONES%20DEL%20CAPITULO%20
Y%20REFERENCIAS%20BIBLIOGRAFICAS.htm
http://matematica-
primaria.wikispaces.com/Referencias+bibliogr%C3%A1ficas
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas