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Matemtica IV Apuntes de clase Lic. Adriana Valverde Caldern
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MODELACIN POR MEDIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Conversin de los fenmenos de la vida real al formalismo matemtico
Qu es un modelo matemtico?
Es la representacin de algunas caractersticas de los fenmenos de la vida real a travs de
frmulas matemticas. Un modelo ser bueno y preciso si de l se obtienen resultados que
concuerdan con la realidad. Si se obtiene un modelo con estas caractersticas, entonces puede
ser usado para hacer predicciones cuantitativas. Pero, es casi imposible reflejar un sistema real
a travs de un modelo matemtico, por eso suele usarse, los modelos matemticos, para hacer
predicciones cualitativas.
Sugerencias para el modelo matemtico
Paso 1. Establecer claramente las hiptesis en que se basar el modelo, es decir, describir
cmo creemos que funciona el sistema fsico o, por lo menos, cules son sus aspectos ms
importantes. La calidad de las hiptesis determina la validez del modelo y las situaciones
donde el modelo es pertinente. Por ejemplo, algunos modelos de poblacin slo se aplican a
pequeas poblaciones en grandes entornos, mientras que otros consideran espacios y recursos
limitados.
Paso 2. Definir completamente las variables y parmetros que se usaran en el modelo, es
decir, nombrar las variables independientes y los parmetros que se estudiarn y, en caso
necesario, describir las unidades y escalas implicadas.
Paso 3. Planteamiento de un modelo matemtico del sistema fsico, es decir, usar las
hiptesis formuladas en el paso 1 para obtener la ecuacin o ecuaciones diferenciales que
relacionan las variables y parmetros del paso 2.
Paso 4. Resolucin de la ecuacin diferencias, es decir, usar mtodos sistemticos para hallar
la solucin de la ecuacin, si la tuviera.
Paso 5. Determinacin de una solucin particular, aplicando alguna informacin adicional
dada, propia del sistema fsico que se modela.
Paso 6. Comprobacin, es decir, verificar si la solucin satisface la ecuacin diferencial
planteada y la informacin adicional dada. Este ltimo paso es muy importante para garantizar
la validez del modelo matemtico.
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Ejemplos de modelos matemticos
1. MODELO EXPONENCIAL
a) Crecimiento ilimitado de la Poblacin Hiptesis:
La velocidad de crecimiento de la poblacin es proporcional al tamao de la poblacin
Variables y parmetros implicados:
t : tiempo (variable independiente)
P : poblacin (variable dependiente)
k : constante de proporcionalidad (parmetro)
Planteamiento del modelo:
Considerando que,
: Tasa de crecimiento de la poblacin
k P : Proporcin de la poblacin P
la hiptesis quedara expresada por la ecuacin diferencial
=
Observe que:
La hiptesis no considera otros factores para el cambio de la poblacin como seran
espacio o recursos, de ah que el modelo no lo tiene en cuenta.
Las unidades para las variables depende de la aplicacin. Si estamos modelando el
crecimiento de moho en el pan, entonces el tiempo t tendra que medirse en das y
() sera el rea cubierta por el moho o bien el peso del moho. La ecuacin diferencial se ha expresado usando la notacin de Leibniz, sin
embargo, puede usarse otras notaciones como ' ( ) ( )P t k P t o como P
k P .
sta ltima suele usarse cuando la variable independiente es el tiempo.
Solucin de la Ecuacin Diferencial
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El conjunto de las funciones () = se llama solucin general de la ecuacin diferencial
=
Determinacin de una solucin particular
Si se conoce el valor exacto de (0) estaremos frente a un problema de valor inicial
= ; (0) =
Una solucin al problema del valor inicial es () =
Comprobacin
Derivando la solucin general: () = ; se obtiene
= =
De la solucin particular: () = ; Obtenemos:
= =
La solucin satisface la ecuacin diferencial planteada y la condicin inicial dada.
Interpretacin de resultados
Si deseamos saber que nos dice el modelo acerca de la situacin que se est modelando,
hay que realizar un anlisis cualitativo.
Por ejemplo, supongamos que para alguna constante k, la razn de cambio 0dPdt
;
lo que indicara que ( )P t es constante. A este tipo especial se le denomina solucin de
equilibrio. Si ( )P t es constante, podra ser que ( ) 0P t , que en trminos de modelo
de poblacin corresponde a una especie que no existe.
Cul es el significado si 0dPdt
? ; Cul es el significado si 0dPdt
?
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ATENCIN!
Muchos procesos de formacin o de desintegracin de una sustancia, satisfacen la
condicin: la velocidad de variacin de la cantidad de una sustancia es proporcional
al cantidad de la sustancia que se tiene en el instante dado
Si ( )x t representa la cantidad de la sustancia en el instante t, entonces la velocidad de
su reproduccin estar dada por ( )dx k x tdt
. El coeficiente de proporcionalidad k
puede ser constante o variar con el tiempo, esto depender si las condiciones, por
ejemplo, de temperatura, alumbrado, etc. en las cuales se efecta la reproduccin se
cambian o no durante el experimento.
En el caso ms general, tenemos la ecuacin: ( ) ( )dx k t x tdt
b) Reproduccin de bacterias Realizando pruebas con bacterias se ha determinado que la velocidad de la
reproduccin de las mismas es proporcional a su cantidad si para ellas hay una reserva
suficiente de alimentos. Como las bacterias son muy pequeas y su cantidad es grande,
se puede suponer que la masa de las bacterias vara continuamente con el transcurso
del tiempo. Entonces la velocidad de incremento de la masa de bacterias se llama
velocidad de reproduccin.
= ()
(): designa la masa de todas las bacterias en el instante : es la constante de proporcionalidad.
Si se conoce el valor del coeficiente k y la masa inicial 0m de las bacterias, entonces
con la ayuda de la solucin general () = podemos obtener la masa de las bacterias en un instante cualquiera t.
En efecto:
Si 0 0( )x t m , entonces 00k tm ce y =
Por consiguiente: 0( )0( )k t tx t m e
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Ejemplo
Suponga que () = modela la poblacin de una colonia de bacterias en el tiempo t horas, que al inicio ( = 0) la poblacin fue de 1000 y que esta se duplica despus de una hora.
Esta informacin acerca de () conduce a las siguientes ecuaciones: 1000 = (0) = = 2000 = (1) = De donde obtenemos = 1000 y = 2; de modo que = 2 0,69315 Con estos valores escribimos la ecuacin diferencial
= (2)()
Y la solucin particular: () = 1000
c) Desintegracin radiactiva De un experimento se conoce que la velocidad de desintegracin de una sustancia
radiactiva es proporcional a la cantidad de la sustancia. Si por ( )x t se designa la masa
de la sustancia que todava no se ha desintegrado en el instante t, entonces la velocidad
de desintegracin satisface la ecuacin:
= ()
( )x t : designa la masa que todava no se ha desintegrado en el instante t,
0k es la constante de proporcionalidad.
Se puede demostrar que la familia de funciones ( ) k tx t ce es su solucin general.
Si conocemos la condicin inicial () = ; obtenemos la solucin particular: () = ()
En la prctica, la velocidad de desintegracin de una sustancia se caracteriza por el
periodo de semidesintegracin, es decir, el tiempo durante el cual se desintegra la
mitad de la sustancia que se tiene.
Designando al periodo de la semidesintegracin por T y considerando = + se tendr:
2 = De donde se obtiene la constante de proporcionalidad:
= 2
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Ejemplo
Un cientfico prepara una mezcla de sustancia radiactiva. Un ao despus la mezcla
tiene 3g de la sustancia; dos aos despus hay slo 1g. Determine la cantidad de
sustancia radiactiva que haba inicialmente.
Resolucin
Determinacin de las variables
() : Cantidad de sustancia radiactiva en t aos Datos del problema : (1) = 3
(2) = 1 Se pide la cantidad de sustancia inicial, es decir, cuando = 0
(0) = Usando el modelo de decrecimiento exponencial
= .
Resolviendo la EDO por el mtodo de separacin de variables 1 =
Integrando cada miembro ln() = + () = () =
Para = 0 se tiene (0) = ; lo que implica que = Luego:
() = Evaluando en = 1 y = 2 se obtiene
(1) = = 3 (2) = = 1
De estas dos ecuaciones se deduce que
= 3
3 = 1
= 9 La cantidad de sustancia radiactiva que haba inicialmente es 9g.
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2. MODELO LOGISTICO DE LA POBLACIN (Ajuste del modelo exponencial) Este modelo de cambio de la poblacin tiene en cuenta el entorno y los recursos limitados.
Hiptesis:
1. Si la poblacin es pequea, la razn de crecimiento de la poblacin es proporcional a
su tamao.
2. Si la poblacin es demasiado grande para ser soportada por su entorno y recursos, la
poblacin disminuir.
Variables y parmetros implicados:
t : tiempo (variable independiente)
P : poblacin (variable dependiente)
k : constante de proporcionalidad (parmetro)
N : capacidad de soporte (parmetro)
Planteamiento de la ecuacin diferencial:
Por la primera parte de la hiptesis:
=
Por la segunda parte de la hiptesis, tratamos de modificar el modelo exponencial lo menos
posible:
= ()
Se desea que () sea cercano a 1 si P es pequea. Pero si P N queremos que () sea negativo. La expresin ms simple es: () = 1
Se observa que () = 1 si (0) lo cual indicara que no existe poblacin y () = 0 si = , lo que indicara que la poblacin se mantiene constante en el tiempo, no hay cambio.
Luego la ecuacin diferencial se expresar:
= 1
Anlisis cualitativo del modelo logstico
Expresamos la ecuacin diferencial como una funcin de la poblacin P
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() =
= 1
Analizar el comportamiento de () es lo mismo que analizar el comportamiento de la razn de cambio de la poblacin
Se observa que si = 0 = se tiene
= 0
Es decir, las funciones constantes () = 0 y () = satisfacen la ecuacin diferencial
= 1
y se denominan soluciones de equilibrio.
Qu indican estas dos soluciones constantes?
() = 0 indica que no hay poblacin y por ello tampoco habr tasa de variacin. () = indica que la poblacin es exactamente la asociada con la capacidad de soporte y por ello no crecer ni disminuir.
Cul es el comportamiento de la poblacin a largo plazo considerando las soluciones de
equilibrio?
Si la poblacin inicial = (0) se encuentra entre 0 y N se tendr () > 0, lo cual indica que la poblacin est creciendo.
f (P)
P 00
N
P = N
P = 0 t
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Si la poblacin inicial = (0) es mayor que N se tendr () < 0, lo que indica que la poblacin est decreciendo, tendiendo a la capacidad de soporte N.
Funcin Logstica, si la poblacin inicial es :
() = + ( 1)
Donde: lim
() =
Ejemplo
Propagacin de enfermedades contagiosas
Una persona infectada se introduce en una poblacin fija de n-personas. La propagacin de la
enfermedad es directamente proporcional a la interaccin de las personas sanas con las
enfermas.
Formulacin de la ecuacin diferencial
Sean: () : Nmero de personas contagiadas en el tiempo t () : Nmero de personas sanas en el tiempo t
: Rapidez con la cual la enfermedad se propaga
k : constante de proporcionalidad
()() : interaccin entre personas sanas y enfermas
Ecuacin diferencial que establece la relacin de las variables segn el enunciado
=
(0) = 1 Pero, () e () se relacionan por () + () = 1 + por ello la ecuacin diferencial puede reescribirse
= (1 + ) (0) = 1
Modelo Matemtico que rige un PUENTE COLGANTE
La ecuacin diferencial modela el comportamiento del cable colgante de longitud S y peso
W.
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Considerando:
+ = = =
Analizamos el comportamiento de las fuerzas y el peso en un tramo muy pequeo
Sobre el cable actan tres fuerzas: 1. El peso del segmento
2. La tensin en
3. La tensin en
Si : peso por unidad ( lb/pie )
: longitud del segmento ( pie )
Entonces: : peso del cable desde a ( lb )
Como el sistema est en equilibrio, se tiene:
T1
w s
P1
P2
T2 X
Y
WS
P1 P2
F2 X
Y
F1
P0
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| | = y =
| | = = =
= | | (1)
Como la longitud de arco entre los puntos y es:
= 1 +
= 1 +
Derivando la ecuacin (1) con respecto a x se tiene:
= | |
Sustituyendo
, se tiene la ecuacin diferencial que rige el cable colgante:
= | |1 +
MODELO: SISTEMA PRESA DEPREDADOR
Hiptesis:
1. Si no hay depredadores presentes, las presas se reproducen a una tasa proporcional a
su poblacin y no les afecta la superpoblacin.
2. Los depredadores se comen a las presas y la razn a la que las presas son devoradas es
proporcional a la razn a la que los depredadores y presas interactan.
3. Sin presas que comer, la poblacin de depredadores declina a una razn proporcional
a ella misma.
4. La tasa de nacimiento de los depredadores va en proporcin al nmero de presas
comidas por los depredadores que, por la segunda hiptesis, es proporcional a la razn
a la que los depredadores y presas interactan.
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Variables y parmetros implicados:
t : tiempo (variable independiente)
C : poblacin de conejos (variable dependiente)
Z: poblacin de zorros (variable dependiente)
: tasa de crecimiento de los conejos (parmetro)
: constante que mide el nmero de interacciones conejos- zorros en las que
el conejo es devorado (parmetro)
: tasa de muerte de los zorros (parmetro)
: constante que mide el beneficio de la poblacin de zorros cuando un
conejo es devorado (parmetro)
Planteamiento de la ecuacin diferencial:
Traduciendo las hiptesis al formalismo matemtico obtenemos un sistema de ecuaciones
ordinarias de primer orden:
=
= +
= ( )
= ( + )
Se dice que el sistema es acoplado porque las razones de cambio de C y de Z dependen
tanto de C como de Z.