Modelos de Transporte: Modelos de Transporte: mméétodo de costo mtodo de costo míínimo y nimo y

de de VogelVogel

M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas

2

3

MMéétodo de costo mtodo de costo míínimonimo

4

MMéétodos de Costo mtodos de Costo míínimo:nimo:

–– de la matrizde la matriz–– por columnapor columna–– por filapor fila

5

Costo mCosto míínimo de la matriznimo de la matriz: Consiste en : Consiste en seleccionar en cada etapa aquella seleccionar en cada etapa aquella variable variable xijxij cuyo costo Cij sea el mcuyo costo Cij sea el míínimo nimo para todos los i, j.para todos los i, j.Costo mCosto míínimo por columnanimo por columna: : Comenzando con la columna de la Comenzando con la columna de la izquierda, seleccionamos aquella izquierda, seleccionamos aquella variable de menor costo.variable de menor costo.Costo mCosto míínimo por filanimo por fila: Comenzando por : Comenzando por la primera fila, seleccionamos la primera fila, seleccionamos xijxij como como la variable correspondiente que tenga la variable correspondiente que tenga menor costo.menor costo.

6

Este es un procedimiento que aventaja a la Este es un procedimiento que aventaja a la regla de la esquina noroeste en la bregla de la esquina noroeste en la búúsqueda squeda de la solucide la solucióón n óóptima. ptima. AquAquíí emplearemos la misma templearemos la misma téécnica bcnica báásica de sica de agotar alternativamente ya sea la oferta de agotar alternativamente ya sea la oferta de las flas fáábricas o la demanda de los mercados, bricas o la demanda de los mercados, pero modifica el requisito de proceder pero modifica el requisito de proceder geogrgeográáficamente desde la esquina superior ficamente desde la esquina superior izquierda. izquierda. En lugar de lo anterior, la asignaciEn lugar de lo anterior, la asignacióón n corresponde a la casilla de menor costo de la corresponde a la casilla de menor costo de la tabla de transporte. tabla de transporte.

7

Si esta asignaciSi esta asignacióón satisface el requisito de n satisface el requisito de demanda de un mercado, se sigue adelante demanda de un mercado, se sigue adelante con el costo mcon el costo máás bajo siguiente en el mismo s bajo siguiente en el mismo renglrenglóón y agotando, de ser posible, las n y agotando, de ser posible, las existencias de la fabrica en cuestiexistencias de la fabrica en cuestióón.n.ElEl procedimiento agota de la misma manera procedimiento agota de la misma manera la oferta de las fla oferta de las fáábricas y la demanda de los bricas y la demanda de los mercados, inspeccionando siempre los costos mercados, inspeccionando siempre los costos a fin de encontrar la casilla siguiente para a fin de encontrar la casilla siguiente para una asignaciuna asignacióón en el rengln en el renglóón o la columna de n o la columna de que se trata.que se trata.

8

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

MMéétodo de costo mtodo de costo míínimonimo

9Se resolverá la siguiente tabla de transporte por los 3 métodos de costo

10

Costo mCosto míínimo de la matriznimo de la matriz

11

2500 0

3500

12

2500 0

3500

2000 4000

0

13

2500 0

3500

2000 4000

0

4000

0

1000

14

2500 0

35002500

2000 4000

0

4000

0

10000

1000

15

2500 0

35002500

2000 40002500

0

4000

0

10000

1000

1500

0

16

2500 0

35002500

0

2000 40002500

0

0

4000

0

10000

1000

1500

0

2500

17

Costo mCosto míínimo por filanimo por fila

18

4000

0

1000

19

2000

4000

0

1000

0

4000

20

2000

4000

0

1000

0

4000

2500 0

3500

21

2000

4000

0

10000

0

4000

2500 0

35002500

1000

22

2000

4000

0

10000

0

40002500

2500 0

35002500

1000

1500

0

23

2000

4000

0

10000

0

40002500

0

2500 0

35002500

0

1000

1500

0

2500

24

Costo mCosto míínimo por columnanimo por columna

25

2500 0

3500

26

2500 0

3500

4000

0

1000

27

2500 0

3500

4000

0

1000

2000 4000

0

28

2500 0

3500

4000

0

1000

2000 40002500

0

1500

0

29

2500 0

35002500

4000

0

10000

2000 40002500

0

1500

0

1000

30

2500 0

35002500

0

4000

0

10000

2000 40002500

0

0

1500

0

1000

2500

31

CCÁÁLCULO DE LOS LCULO DE LOS ÍÍNDICES DE NDICES DE MEJORAMIENTOMEJORAMIENTO

32

SoluciSolucióón con costo mn con costo míínimo nimo de la matrizde la matriz

33

Calculo de los Calculo de los ííndices de ndices de mejoramiento:mejoramiento:

34

Segunda iteraciSegunda iteracióón con costo n con costo mmíínimo de la matriznimo de la matriz

35

36

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

BalanceoBalanceo de un de un problemaproblema de de transportetransporte

37

BalanceoBalanceo de un de un problemaproblema de de transportetransporte

SiSi la la ofertaoferta excedeexcede a la a la demandademanda, se , se puedepuede balancearbalancearel el problemaproblema creandocreando un un puntopuntode de demandademanda ficticiaficticia quequeabsorbaabsorba el el excesoexceso de de ofertaoferta..

38

BalanceoBalanceo de un de un problemaproblema de de transportetransporte

SiSi la la demandademanda excedeexcede a la a la ofertaoferta, , parapara queque el el problemaproblema se se vuelvavuelva factiblefactible se se puedepuede permitirpermitirno no satisfacersatisfacer parteparte de la de la demandademanda pagandopagandounauna penalidadpenalidad porpor unidadunidad de de demandademandainsatisfechainsatisfecha. . Se Se agregaagrega un un puntopunto de de abastecimientoabastecimiento ficticioficticiocon con unauna capacidadcapacidad igualigual a la a la demandademandainsatisfechainsatisfecha, y , y unauna penalidadpenalidad asociadaasociada a a cadacadapuntopunto demandademanda..

39

52

EL PROBLEMA NO ESTÁ BALANCEADO

40

Agregamos una columna de holgura para lograr el balance.

41

Se procede a resolverlo usando el Se procede a resolverlo usando el mméétodo de la esquina noroeste o del todo de la esquina noroeste o del costo mcosto míínimo.nimo.Al obtenerse la SFBI se procede a Al obtenerse la SFBI se procede a utilizar los utilizar los ííndices de mejoramiento.ndices de mejoramiento.

42

BalanceoBalanceo de un de un problemaproblema de de transportetransporte

TambiTambiéén se puede presentar el caso n se puede presentar el caso contrario, en el que la demanda total contrario, en el que la demanda total excede a la oferta de las fexcede a la oferta de las fáábricas, en bricas, en este caso se agregareste caso se agregaríía a la tabla un a a la tabla un renglrenglóón de holgura que representase a n de holgura que representase a una funa fáábrica ficticia que serbrica ficticia que seríían an esencialmente pedidos atrasados.esencialmente pedidos atrasados.

43

EL MEL MÉÉTODO DE VOGEL O DE TODO DE VOGEL O DE SANCISANCIÓÓNN

44

MMéétodo de todo de VogelVogel

Es un mEs un méétodo heurtodo heuríísticosticoProporciona una SFBI mejor que los mProporciona una SFBI mejor que los méétodos todos anterioresanterioresEn muchos casos proporciona la soluciEn muchos casos proporciona la solucióón n óóptima o una muy cercana a ptima o una muy cercana a éésta.sta.Se llama de sanciSe llama de sancióón por el mn por el méétodo que aplica. todo que aplica. Por cada renglPor cada renglóón y columna de la tabla de n y columna de la tabla de transporte hay una sancitransporte hay una sancióón conceptual, en n conceptual, en ttéérminos de costo, debida al hecho de no elegir rminos de costo, debida al hecho de no elegir la celda mla celda máás baja disponible durante el s baja disponible durante el proceso de asignaciproceso de asignacióón.n.

45

MMéétodo de todo de VogelVogelUn mUn méétodo que por lo general supera a los todo que por lo general supera a los demdemáás cuando se trata de encontrar una s cuando se trata de encontrar una solucisolucióón n óóptima.ptima.La expresiLa expresióón sancin sancióón es una indicacin es una indicacióón del n del mméétodo que se aplica. todo que se aplica. Las sanciones calculadas son las diferencias, Las sanciones calculadas son las diferencias, en relacien relacióón con cada rengln con cada renglóón y columna, n y columna, entre las rutas de transporte de costo mentre las rutas de transporte de costo máás s bajo y de costo mbajo y de costo máás bajo siguiente. s bajo siguiente.

46

MMéétodo de todo de VogelVogel

Por lo tanto, las asignaciones se hacen Por lo tanto, las asignaciones se hacen primero a aquellas casillas donde las primero a aquellas casillas donde las sanciones son mayores, porque esto evita los sanciones son mayores, porque esto evita los incrementos mincrementos máás grandes del costo asociados s grandes del costo asociados por las diferentes asignaciones. por las diferentes asignaciones. AsAsíí pues, el mpues, el méétodo de sancitodo de sancióón subraya tanto n subraya tanto la eleccila eleccióón de las rutas de transporte de bajo n de las rutas de transporte de bajo costo, en un sentido costo, en un sentido absolutoabsoluto, como la , como la eleccieleccióón de las rutas de bajo costo que mejor n de las rutas de bajo costo que mejor eluden las sanciones eluden las sanciones relativasrelativas de costo de costo asociadas con la utilizaciasociadas con la utilizacióón de otras n de otras posibilidades alternativas.posibilidades alternativas.

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Los pasos en que consiste el Los pasos en que consiste el mméétodo son:todo son:

1. Encontrar las diferencias entre los costos m1. Encontrar las diferencias entre los costos máás peques pequeñños en los os en los renglones y las columnasrenglones y las columnas

2.2. DeterminarDeterminar el renglel renglóón o la columna con la diferencia de costos n o la columna con la diferencia de costos mmíínimos mnimos máás grande, si hay dos o ms grande, si hay dos o máás iguales, seleccionar s iguales, seleccionar arbitrariamente.arbitrariamente.

3.3. AsignarAsignar tanto como sea posible a la celda que tiene el costo mtanto como sea posible a la celda que tiene el costo máás s pequepequeñño tratando de satisfacer la demanda en funcio tratando de satisfacer la demanda en funcióón de la n de la disponibilidad de la oferta e ir disminuyendo la oferta y la disponibilidad de la oferta e ir disminuyendo la oferta y la demanda correspondiente.demanda correspondiente.

4.4. EliminarEliminar las columnas o los renglones saturados.las columnas o los renglones saturados.5.5. RegresarRegresar al primer paso y repetir hasta que columnas y al primer paso y repetir hasta que columnas y

renglones queden saturados; si al final solo queda un renglrenglones queden saturados; si al final solo queda un renglóón n o una columna, por el mo una columna, por el méétodo de costo mtodo de costo míínimo continuamos nimo continuamos asignando a las celdas restantes hasta que todas queden asignando a las celdas restantes hasta que todas queden saturadas.saturadas.

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EJEMPLO 1EJEMPLO 1

MMéétodo de todo de VogelVogel

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50

SOLUCISOLUCIÓÓN CON WINQSBN CON WINQSB

51

52

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

MMéétodo de todo de VogelVogel

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Tenemos el casoTenemos el caso de una empresa que de una empresa que debe abastecer tres mercados distintos ( Mdebe abastecer tres mercados distintos ( M--1, 1, MM--2 y M2 y M--3) con demandas de 19, 24 y 9 3) con demandas de 19, 24 y 9 unidades, respectivamente; dicho unidades, respectivamente; dicho abastecimiento debe hacerse a partir de tres abastecimiento debe hacerse a partir de tres ffáábricas (Fbricas (F--1, F1, F--2 y F2 y F--3) con ofertas de 18, 15 3) con ofertas de 18, 15 y 26 unidades, respectivamente.y 26 unidades, respectivamente.Resolver la tabla de transporte usando el Resolver la tabla de transporte usando el mméétodo de todo de VogelVogel..

54

55

SOLUCISOLUCIÓÓNN

56

SANCIONES 2 1 1EN COLUMNA SANCIONES

EN RENGLÓN

9

0

57

SANCIONES 2 1 1EN COLUMNA 2 1 SANCIONES

EN RENGLÓN

0

9

0

2

58

SANCIONES 2 1 1EN COLUMNA 2 1

2SANCIONES

EN RENGLÓN

0

9

0

2

4

0

59

Ahora completamos la tabla usando el Ahora completamos la tabla usando el mméétodo del costo mtodo del costo míínimo por matriz.nimo por matriz.

60

SANCIONES 2 1 1EN COLUMNA 2 1

2SANCIONES

EN RENGLÓN

0

5

0

2

0

0

61

SANCIONES 2 1 1EN COLUMNA 2 1

2SANCIONES

EN RENGLÓN

0

0

0

2

0

0

62

SANCIONES 2 1 1EN COLUMNA 2 1

2 SANCIONES

EN RENGLÓN

63

El costo asociado a la soluciEl costo asociado a la solucióón anterior n anterior es:es:

CxCx = (6x4) + (1x9) + (0x5) + (4x15) + = (6x4) + (1x9) + (0x5) + (4x15) + (3x24) + (0x2)(3x24) + (0x2)

= $ 165.00 = $ 165.00

64

En las siguientes tablas se muestra el En las siguientes tablas se muestra el mméétodo de todo de VogelVogel, paso a paso, para , paso a paso, para realizar las asignaciones:realizar las asignaciones:

RENGLON/COLUMNA

COSTOMENOR

COSTO SIGUIENTE

MENOR

SANCIÓN ASIGNACIÓN A LA CASILLA

A.INICIOFábrica 1 1 5 4 9 a X13

Fábrica 2 2 4 2Fábrica 3 2 3 1Mercado 1 4 6 2Mercado 2 2 3 1Mercado 3 1 2 1

65

RENGLON/COLUMNA

COSTOMENOR

COSTO SIGUIENTEMENOR

SANCIÓN ASIGNACIÓN A LA CASILLA

B. Suprimir el mercado 3Fábrica 1 5 6 1Fábrica 2 2 4 2Fábrica 3 3 7 4 24 a X32

Mercado 1 4 6 2Mercado 2 2 3 1

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RENGLON/COLUMNA

COSTOMENOR

COSTO SIGUIENTEMENOR

SANCIÓN ASIGNACIÓN A LA CASILLA

C. Mercados 2 y 3 suprimidosMercado 1 4 6 2 15 a X21

67

Habiendo cubierto los mercados 3 y 2 y Habiendo cubierto los mercados 3 y 2 y agotado la fagotado la fáábrica 2, se determinan las brica 2, se determinan las siguientes asignaciones:siguientes asignaciones:

Costo mCosto máás bajo para satisfacer el resto de la demanda del mercado 1 s bajo para satisfacer el resto de la demanda del mercado 1 4 a X114 a X11Holgura para agotar la oferta restante de la fHolgura para agotar la oferta restante de la fáábrica 1 5 a X14brica 1 5 a X14Holgura para agotar la oferta restante de la fHolgura para agotar la oferta restante de la fáábrica 3 2 a X34brica 3 2 a X34

68

EJEMPLO 3EJEMPLO 3

MMéétodo de todo de VogelVogel

69

Una empresa tiene tres plantas en diferentes zonas, Una empresa tiene tres plantas en diferentes zonas, productoras de un solo artproductoras de un solo artíículo el cual se vende en culo el cual se vende en cuatro diferentes centros de distribucicuatro diferentes centros de distribucióón. n. Las mLas mááximas posibilidades de producciximas posibilidades de produccióón de la planta n de la planta y los requerimientos de cada centro se muestran a y los requerimientos de cada centro se muestran a continuacicontinuacióón. n. AdemAdemáás, se proporcionan los costos unitarios de s, se proporcionan los costos unitarios de transporte.transporte.Encontrar el costo mEncontrar el costo míínimo de transporte, nimo de transporte, satisfaciendo las demandas y considerando las satisfaciendo las demandas y considerando las limitaciones de oferta, por el mlimitaciones de oferta, por el méétodo de todo de VogelVogel..

70

71

SOLUCISOLUCIÓÓNN

72

73

El costo (El costo (CxCx) asociado a la soluci) asociado a la solucióón n anterior es anterior es

CxCx = (5x20) + (25x5) + (20x5) + (10x17) = (5x20) + (25x5) + (20x5) + (10x17) + (5x25) + (15x5)+ (5x25) + (15x5)

CxCx = $695.00= $695.00

74

EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER

75

La Red de La Red de AJaxAJax

La planta de La planta de AjaxAjax se encuentra en Chicago.se encuentra en Chicago.Una compaUna compañíñía de almacenamiento se a de almacenamiento se encuentra en encuentra en StSt Louis.Louis.AjaxAjax vende sus computadoras en 8 mercados.vende sus computadoras en 8 mercados.Para satisfacer la demanda de esta semana, Para satisfacer la demanda de esta semana, el gerente de el gerente de AjaxAjax debe decidir un plan de debe decidir un plan de embarque de alfas desde su planta hasta la embarque de alfas desde su planta hasta la bodega y los mercados.bodega y los mercados.Los costos de transporte se muestran en la Los costos de transporte se muestran en la tablatabla

76

Costos de transporte $/unidadCostos de transporte $/unidad11ChiChi

22STLSTL

33DetDet

44CinCin

55LOULOU

66INdINd

77MilMil

88MInMIn

ofertaoferta

PlantaPlanta 1414 2424 2121 2020 21.521.5 1919 1717 3030 100100

BodegaBodega 2424 1515 2828 2020 18.518.5 19.519.5 2424 2828 4545

demandademanda 2222 1414 1818 1717 1515 1313 1515 2020

Plantear el modelo de red.Plantear el modelo de red.Resolverlo por el mResolverlo por el méétodo de costo mtodo de costo míínimo (por matriz) y por el de nimo (por matriz) y por el de VogelVogelComparar los costos de la SFBI por ambos mComparar los costos de la SFBI por ambos méétodos.todos.

77

SOLUCISOLUCIÓÓNN

78

Modelo de TransporteModelo de TransporteCentros productores Centros de consumo

1

3

2

1

2 cij

a2

b1

b2

b3

MIN Z=ΣΣcijXijs.tΣXij =aiJ

ΣXij =bji

a1

79

80

81

82

83

84

EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER

85

Almacenes

PlantaPlanta 11 22 33 44 OfertaOferta

11 464464 513513 654654 867867 7575

22 352352 416416 690690 791791 125125

33 995995 682682 388388 685685 100100

DemandaDemanda 8080 6565 7070 8585 300300

Se desea saber cuántos camiones enviar de i a j dados los costosDe transporte de i a j.Plantear el modelo de programaciPlantear el modelo de programacióón lineal (sin resolverlo).n lineal (sin resolverlo).Resolverlo por el mResolverlo por el méétodo de costo mtodo de costo míínimo y por el de nimo y por el de VogelVogel..

86

SOLUCISOLUCIÓÓNN

87

Modelo de programaciModelo de programacióón linealn linealXijXij= No de camiones de la planta i al almac= No de camiones de la planta i al almacéén jn jCij= costo en UM/camiCij= costo en UM/camióón de la planta i al almacn de la planta i al almacéén jn j

MinMin Z=464X11+513X12+654X13+867X14+352X21+Z=464X11+513X12+654X13+867X14+352X21+416X22+690X23+791X24+995X31+682X32+388X33+416X22+690X23+791X24+995X31+682X32+388X33+685X34685X34s.as.aX11+X12+X13+X14 =75X11+X12+X13+X14 =75X21+X22+X23+X24 =125X21+X22+X23+X24 =125X31+X32+X33+X34 =100X31+X32+X33+X34 =100X11+X21+X31 =80X11+X21+X31 =80X12+X22+X32 =65X12+X22+X32 =65X13+X23+X33 =70X13+X23+X33 =70X14+X24+X34 =85X14+X24+X34 =85

∀∀XIJXIJ ≥≥ 0 0

88

89

90

91

92

93

EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER

94

La compaLa compañíñía a ““Aceros del Norte, S.A.Aceros del Norte, S.A.”” debe hacer envdebe hacer envííos de tres os de tres ffáábricas a siete bodegas. bricas a siete bodegas. El costo unitario de las fabricas a cada bodega, los requerimienEl costo unitario de las fabricas a cada bodega, los requerimientos de tos de las bodegas, las capacidades de cada fabrica son:las bodegas, las capacidades de cada fabrica son:Obtener una primera soluciObtener una primera solucióón al problema de transporte por la regla n al problema de transporte por la regla de la esquina noroeste. de la esquina noroeste. ¿¿CuCuáál es el costo?l es el costo?Encontrar la soluciEncontrar la solucióón n óóptima por el mptima por el méétodo de costo mtodo de costo míínimo. nimo. ¿¿CuCuáál es l es el costo?el costo?Encontrar la soluciEncontrar la solucióón n óóptima por el mptima por el méétodo de todo de VogelVogel. . ¿¿CuCuáál es el l es el costo?costo?

FABRICAS BODEGAS CAPACIDADES

A B C D E F G

1 6 7 5 4 8 6 5 7002 11 3 4 5 4 3 2 4003 8 5 3 6 5 8 4 1000

DEM. 100 200 450 400 200 350 300

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SOLUCISOLUCIÓÓN CON TORAN CON TORA

96

ESQUINANW

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98

EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER

99

LA EMPRESA MANUFACTURAS INTERNACIONALES, LA EMPRESA MANUFACTURAS INTERNACIONALES, S.A. TIENE TRES FABRICAS Y CINCO BODEGAS A S.A. TIENE TRES FABRICAS Y CINCO BODEGAS A PARTIR DE LAS CUALES SATISFACE SU DEMANDA. PARTIR DE LAS CUALES SATISFACE SU DEMANDA. A CONTINUACIA CONTINUACIÓÓN TENEMOS LOS DATOS SOBRE N TENEMOS LOS DATOS SOBRE CAPACIDADES DE FCAPACIDADES DE FÁÁBRCA, REQUERIMIENTOS DE BRCA, REQUERIMIENTOS DE BODEGAS Y COSTOS DE TRANSPORTE (MATRIZ):BODEGAS Y COSTOS DE TRANSPORTE (MATRIZ):APLICANDO LOS 3 MAPLICANDO LOS 3 MÉÉTODOS DE TRANSPORTE TODOS DE TRANSPORTE ENCONTRAR LA SOLUCIENCONTRAR LA SOLUCIÓÓN N ÓÓPTIMA A ESTE PTIMA A ESTE PROBLEMA, ES DECIR UN PROGRAMA DE PROBLEMA, ES DECIR UN PROGRAMA DE EMBARQUES AL COSTO MAS BAJO. EMBARQUES AL COSTO MAS BAJO. LOS COSTOS ESTAN EXPRESADOS EN PESOSLOS COSTOS ESTAN EXPRESADOS EN PESOS

100

B-1 B-2 B-3 B-4 B-5 CAPACIDAD DE FÁBRICA

FABRICA A 5 8 6 6 3 800FÁBRICA B 4 7 7 6 5 600FÁBRICA C 8 4 6 6 4 1100REQUERIMI

ENTO DE BODEGA

400 400 500 400 800