Post on 17-Mar-2021
Modelo Multifractal Baseado em Cascata
Multiplicativa Multinomial
Adaptada
Jeferson Wilian de Godoy Stenico
Cascata Multinomial Generalizada
• Constitui de um processo iterativo entre o intervalo [0,1]
• Utiliza da expressão do Binômio de Newton para gerar um processo multinomial
• O binômio de Newton, dado pela expressão:
(1)
Dois multiplicadores iniciais e , sendo variáveis aleatórias
•Assim para valores aleatórios em [0,1], teremos a seguinte relação para os multiplicadores:
• , e
•Com isso usando a equação (1), podemos escrever a expressão para os multiplicadores de forma
generalizada para cascata multiplicativa multinomial.
onde (2)
•b é igual ao tipo de cascata multiplicativa que queremos usar
• n representa o estágio da cascata
Cascata Multinomial Generalizada
Exemplo de uma cascata trinomial
Distribuição Beta de ordem k
Observando a construção da cascata multiplicativa à distribuição do k° ordem estatística da distribuição
uniforme em [0,1] é dada por:
(3)
Ou
(4)
Sendo e , podemos expressar a equação (4) como:
(5)
Para representar a função de densidade de probabilidade temos:
6
7
8
9
10
Modelo multifractal
•Um processo estocástico X(t) é chamado multifractal se possui incremento estacionário e
satisfaz a seguinte equação:
(11)
Através da equação (11), podemos observar que as propriedades multifractais dos dados
reais de tráfego são caracterizadas por suas correspondentes função de escala e
fator de momento .
•O modelo proposto objetiva capturar tanto a função de escala como o fator de momento
do processo a ser analisado.
•Segundo os autores em (Dang. et al.,2002), isto pode ser obtido pelo produto de uma cascata
e uma variável aleatória i.i.d. positiva Y.
• O modelo multifractal resultante pode ser visto como o produto da taxa de pico
do fluxo Y, pela medida de rajada na escala de tempo aplicada
,
A variável Y é independente da medida da cascata então a série obtida denotada por
satisfaz a seguinte relação:
(12)
Analisando a equação (12) junto à definição de processos multifractais equação (11) pode observar que as R e
Y devem ser:
(13)
Considerando a unidade de intervalo de tempo como unitária (denotada por ) no estágio N da cascata.
Usando algumas modificações do artigo (Dang. et al., 2002), temos:
(14)
As variáveis R e Y agora devem ser escolhidas de forma a atender ao seguinte sistema de equações:
(15)
, .
A função de escala pode ser precisamente modelada assumindo que R é uma variável
aleatória em [0,1] com distribuição beta, Beta . Assim, a função relacionada
à função de escala pode ser explicitamente escrita como:
(16)
onde corresponde à função Gama
Considerou-se a variável aleatória como tendo uma distribuição lognormal definida
pelos parâmetros m e v.
Possuindo momento
Assim, segundo o sistema de equações (15), as variáveis m e v devem obedecer à seguinte
equação:
(17)
A equação (17) permite expressar analiticamente o fator de momento pela seguinte relação:
(18)
Dessa forma, analisando-se as equações (16) e (18), verifica-se que o modelo multifractal proposto
é caracterizado por apenas três parâmetros (b,m,v), provindos das expressões analíticas para a
função de escala e o fator de momento
Propriedades estatísticas
• A média do processo
•A variância do processo
•A covariância do processo
Alguns Resultados
Dec_pkt_1_40ms.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0.5
1
1.5
2
x 104
Tempo
Inte
nsida
de d
e Tr
áfeg
o (b
ytes
)
Tráfego Sintético Gerado Usando Cascata Binomial (b=2)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x 104
Tempo
Inte
nsid
ade
de T
ráfe
go (b
ytes
)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x 104
Tempo
Inte
nsid
ade
do T
ráfe
go (b
ytes
)
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x 104
Tempo
Inte
nsid
ade
de T
ráfe
go (b
ytes
)
Tráfego Sintético Gerado Usando Cascata Trinomial (b=3)
Tráfego Sintético Gerado Usando Cascata tetranomial (b=4)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Legendre spectrum
Hoelder exponents:
spectrum
: fl(
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Legendre spectrum
Hoelder exponents:
spectrum
: fl(
)
Espectro Multifractal
Tráfego Real Dec-pkt_1_40ms Tráfego Sintético (b=2)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Legendre spectrum
Hoelder exponents:
spectrum
: f l(
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Legendre spectrum
Hoelder exponents:
spectr
um
: f l(
)
)
Tráfego Sintético (b=3) Tráfego Sintético (b=4)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
q
tal(q
)
Binomial
Trinomial
Tetranomial
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
5
10
15
20
25
30
35
40
q
log
[c(q
)]
Binomial
Trinomial
Tetranomial
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
b
Fu
nçã
o d
e A
uto
co
rre
laçã
o
Binomial
Trinomial
Tetranomial
Tráfego Real
Função Escala Função Momento Função Autocorrelação
Tráfego Média Variância
Dec_pkt_1_40 3.6607e+003 1.0881e+007
Sintético Binomial 4.7730e+003 1.1139e+007
Sintético Trinomial 3.7037e+003 9.3869e+006
Sintético Tretanomial 3.2009e+003 8.6233e+006
Tabela I Média, Variância
ReferenciasDang, T. D., Molnár, S., & Maricza, I. (2003). Queuing performance estimation for general multifractal traffic.Int. J. Commun. Syst., 16(2), 117–136.