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Modelización con sistemas de EDOs lineales 1 / 52
Modelización con sistemas de EDOs lineales
Rafael Ramírez Ros
Aplicaciones de las Matemáticas a la Ingeniería(27/11/2019)
Modelización con sistemas de EDOs lineales 2 / 52
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1 Introducción
2 Problemas de concentracionesUn depósitoDos depósitosLimpiando los Grandes LagosCentrifugadoras Zippe
3 Muelles verticales sin fricciónMuelle clásicoPéndulo de Wilberforce
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Introducción
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1 Introducción
2 Problemas de concentracionesUn depósitoDos depósitosLimpiando los Grandes LagosCentrifugadoras Zippe
3 Muelles verticales sin fricciónMuelle clásicoPéndulo de Wilberforce
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Introducción
Requisitos académicos
Álgebra Lineal: Lenguaje matricial, VAPs & VEPs,diagonalización de matrices, etcétera.Cálculo 1: Cálculo de derivadas, resolución de EDOslineales de 1er orden, etcétera.Ecuaciones Diferenciales: Modelización, resolución yestabilidad de SLHs a CC, etcétera.MATLAB: Dibujar gráficas, resolver numericamente EDOs,etcétera.
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Introducción
Sistemas de EDOs lineales: Formulación inicial
Un sistema lineal de 1er orden es un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias lineales de 1er ordende la forma
x ′1 = a11(t)x1 + · · · + a1n(t)xn + b1(t),x ′2 = a21(t)x1 + · · · + a2n(t)xn + b2(t),
......
......
x ′n = an1(t)x1 + · · · + ann(t)xn + bn(t),
donde t es la variable independiente. Además, ′ = d/dt .Datos: Coeficientes aij(t) y términos no homogéneos bi(t),que son funciones continuas en algún intervalo I ⊂ R.Incógnitas: Funciones x1(t), . . . , xn(t).
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Introducción
Sistemas de EDOs lineales: Formulación matricial
Escribiremos el SL anterior como x ′ = A(t)x + b(t), donde
x =
x1...
xn
, A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
, b =
b1...
bn
.
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Introducción
Sistemas de EDOs lineales: Tipos
El sistema es homogéneo si y sólo si b(t) ≡ 0.El sistema es a coeficientes constantes si y sólo si loscoeficientes aij(t) (y, por tanto, la matriz A(t)) sonconstantes (es decir, no dependen de t).n es la dimensión del sistema.SLH = Sistema Lineal Homogéneo.SLNH = Sistema Lineal No Homogéneo.EDO = Ecuación Diferencial Ordinaria.CC = Coeficientes Constantes.
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Problemas de concentraciones
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1 Introducción
2 Problemas de concentracionesUn depósitoDos depósitosLimpiando los Grandes LagosCentrifugadoras Zippe
3 Muelles verticales sin fricciónMuelle clásicoPéndulo de Wilberforce
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Problemas de concentraciones
Un depósito
Un depósito: Unidades, parámetros & incógnita
Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Parámetros: r = caudal entrada, γ = concentración deuna sustancia X en la entrada y V = volumen.Incógnita: c(t) = concentración de X en el instante t
- -
r m3/h
γ kg/m3
r m3/h
c(t) kg/m3
V m3
c(t) kg/m3
Figura : Un único depósito con una salida y una entrada.
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Problemas de concentraciones
Un depósito
Un depósito: Hipótesis & modelización
1a hipótesis: El volumen V se mantiene constante, luegoel caudal de salida es igual a r .2a hipótesis: La sustancia se distribuye de formainmediata y uniforme por todo el depósito, luego laconcentración de salida es igual a c(t).Cantidad dentro = Vc(t) kg→ variación = Vc′(t) kg/h.Entrada = rγ kg/h. Salida = rc(t) kg/h.Vc′ = variación = entrada− salida = rγ − rc, luego
c′ = −pc + pγ = p(γ − c),
donde p = r/V = porción del depósito que se renueva porhora (tiene unidades 1/h).
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Problemas de concentraciones
Un depósito
Un depósito: Solución & interpretación
La solución general es
c(t) = γ + e−pt (c(0)− γ).
Interpretación: Independientemente de cuál sea laconcentración inicial, la concentración dentro del depósitotiende a igualarse a la concentración de entrada.La EDO c′ = −pc + pγ es un SLNH 1D a CC.
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Problemas de concentraciones
Dos depósitos
Dos depósitos: Unidades, parámetros & incógnitas
Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Parámetros: r = caudal trasvase, Vj = volumen depósito j .Incógnitas: cj(t) = concentración depósito j , instante t .
-r m3/h
r m3/h
c1(t) kg/m3
c2(t) kg/m3
V1 m3
c1(t) kg/m3V2 m3
c2(t) kg/m3
Figura : Dos depósitos conectados formando un circuito cerrado.
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Problemas de concentraciones
Dos depósitos
Dos depósitos: Hipótesis & modelización
1a hipótesis: Los dos volúmenes se mantienen constantes,luego el caudal de derecha a izquierda es igual a r .2a hipótesis: La sustancia se distribuye de formainmediata y uniforme en cada depósito, luego lasconcentraciones de trasvase son c1(t) y c2(t).Variación depósito j : Vc′j (t) kg/h.Entrada depósito j : rci(t) kg/h, con i 6= j .Salida depósito j : rcj(t) kg/h.Ecuaciones de balance en cada depósito:
1o: V1c′1 = variación = entrada− salida = rc2 − rc1,
2o: V2c′2 = variación = entrada− salida = rc1 − rc2.
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Problemas de concentraciones
Dos depósitos
Dos depósitos: SLH & PVI
pj = r/Vj = porción depósito j que se renueva por hora.La formulación matricial de las dos EDOs anteriores es unSLH 2D a CC: c′ = Ac, donde
c =
(c1c2
), A =
(−p1 p1
p2 −p2
).
Para encontrar el vector concentración c(t) necesitamosconocer el vector concentración inicial c(0) = c0.Queremos resolver el PVI
c′ = Ac, c(0) = c0 =
(γ1γ2
).
Si γ1 = γ2, entonces c0 es un punto de equilibrio: Ac0 = 0,luego c(t) ≡ c0.
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Problemas de concentraciones
Dos depósitos
Dos depósitos: Solución & interpretación
Solución:
c1(t) =V1γ1 + V2γ2
V1 + V2+
V2(γ1 − γ2)
V1 + V2e−(p1+p2)t ,
c2(t) =V1γ1 + V2γ2
V1 + V2+
V1(γ2 − γ1)
V1 + V2e−(p1+p2)t .
Interpretación: Como el circuito es cerrado, ambasconcentraciones tienden a igualarse al valor
V1γ1 + V2γ2
V1 + V2,
que es la media ponderada de las concentraciones γ1 y γ2.
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Problemas de concentraciones
Dos depósitos
Dos depósitos: Cantidad conservada
S(c1, c2) = V1c1 + V2c2 = cantidad total de sustancia X enel circuito (en kg).La función S(c1, c2) es una cantidad conservada, pues suderivada temporal es idénticamente nula:
dSdt
= (V1c1 + V2c2)′ = V1c′1 + V2c′2
= (rc2 − rc1) + (rc1 − rc2) ≡ 0.
Comprobación: Evaluamos la función S(c1, c2) usando lassoluciones c1(t) y c2(t) dadas en la página anterior:
S(c1(t), c2(t)) ≡ V1γ1 + V2γ2 = S(c1(0), c2(0)), ∀t ∈ R.
Interpretación: El circuito es cerrado, luego la sustancia Xno puede entrar en el (ni salir del) circuito.
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Problemas de concentraciones
Limpiando los Grandes Lagos
Grandes Lagos: Hipótesis & preguntas
Situación: Los Grandes Lagos son cinco lagos (Superior,Michigan, Huron, Eire y Ontario) a lo largo de la fronteraentre EEUU y Canada con varias interconexiones entreellos. (Ver la figura de la siguiente slide.)Hipótesis:
1 Los cinco volúmenes se mantienen constantes;2 El contaminante se distribuye de forma inmediata y
uniforme en cada lago;3 La concentración de contaminante en el instante inicial es
la misma en los cinco lagos; y4 Solo entra agua pura a partir del instante inicial.
Pregunta: ¿Cuántos años tardará la contaminación enreducirse al 50% en cada lago?
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Problemas de concentraciones
Limpiando los Grandes Lagos
Grandes Lagos: Figura
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Problemas de concentraciones
Limpiando los Grandes Lagos
Grandes Lagos: Modelo
Unidades: año (tiempo), Tm (masa) y mi3 (volumen).Incógnitas: Concentraciones s(t), m(t), h(t), e(t) y o(t).Modelo: El SLH 5D c′ = Ac, donde
c =
smheo
,A =
− 3
580 0 0 0 00 − 19
590 0 0 03
17019
425 − 225 0 0
0 0 1729 − 85
116 00 0 0 85
393 − 33131
.
A es triangular inferior, luego sus VAPs son los elementosdiagonales (todos negativos) y el SLH es atractor.
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Problemas de concentraciones
Limpiando los Grandes Lagos
Grandes Lagos: Resultados & advertencia
Advertencia: s(134) ' s(0)/2, aunque 29002×15 ' 96,7.
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Utilidad
El uranio natural (NU) es una mezcla de un 99.28% delisótopo pesado U-238, un 0.72% del isótopo fisible U-235y una cantidad casi despreciable del isótopo U-234.El enriquecimiento de uranio crea
Uranio empobrecido (DU): ≤ 0.3% de U-235;Uranio poco enriquecido (LEU): [3%,5%] de U-235;Uranio muy enriquecido (HEU): [20%,85%] de U-235.
Este enriquecimiento se realiza mediante procesos dedifusión gaseosa (ya obsoletos, usados durante la guerrafría), centrifugadoras (las centrifugadoras Zippe son lasmás eficientes) o técnicas basadas en láseres.
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Descripción
Cilindros de aproximadamente 20 centimetros de radio yde hasta 12 metros de altura que giran a casi 70000revoluciones por minuto.Se llenan de UF6 en estado gaseoso. Debido a la fuerzacentrífuga, la concentración de 235UF6 disminuye con ladistancia al eje de rotación.Calentando el fondo del cilindro se produce unaconvección que permite extraer gas rico en 235UF6 porarriba y gas pobre en 235UF6 por el borde.Tienen un factor de separación α2 ∈ [1.2,1.4].Se montan en grandes formaciones en serie y en paralelo.
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Trivia
P. A. M. Dirac estudió la eficiencia del enriquecimiento eintrodujo la unidad SWU (separative work unit).La planta en Oak Ridge (Tennesse) donde se enriqueció eluranio para fabricar las bombas atómicas de Hiroshima yNagasaki fue el mayor edificio industrial de la época.Las centrifugadoras Zippe (Kamenev en Rusia) fuerondiseñadas por un grupo de 60 científicos alemanes yaustríacos capturados por los rusos al acabar la WWII.La velocidad del borde de estas centrifugadoras esaproximadamente igual a la velocidad del sonido.El famoso gusano informático Stuxnet fue (presuntamente)diseñado por Israel y EEUU para sabotear lascentrifugadoras del programa nuclear iraní.
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Unidades & parámetros
Unidades: h (tiempo), gr (masa) y m3 (volumen).Caudales: rF (entrada) , rE (salida enriquecida) y rD (salidaempobrecida).V = volumen del gas en la centrifugadora (constante).Concentraciones de 235UF6: cF (t), c(t), cE (t), cD(t).
-
-
-
rF m3/h
cF (t) gr/m3
rE m3/h
cE(t) gr/m3
rD m3/h
cD(t) gr/m3
V m3
“c(t)” gr/m3
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Factor de separación & corte
Factores de separación: Constantes αE , αD > 1 tales que
cE = αEc, cD =cαD
,cE
cD= α2 := αEαD.
Corte: Es la constante θ := αD−1α2−1 ∈ (0,1) que cumple
θαE +1− θαD
= 1.
Consecuencia: Si rE = θrF y rD = (1− θ)rF y γ > 0,entonces las concentraciones constantes
cF (t), c(t) ≡ γ, cE (t) ≡ αEγ, cD(t) ≡ γ
αD
dan un estado de equilibrio de la centrifugadora.
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Una sola centrifugadora
Vc′ = variación = entrada− salida, luego
c′ =rF cF − rEcE − rDcD
V
= pF cF − pF
(θαE −
1− θαD
)c
= pF (cF − c),
donde pF = rF/V = porción gas que se renueva por hora.Si cF (t) ≡ γ es constante, entonces
c(t) = γ + e−pF t (c(0)− γ),
luego limt→+∞ cE (t) = αEγ y limt→+∞ cD(t) = γ/αD.
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Conexiones en cascada
Una sola centrifugadora no llega a producir D,L,HEU.Necesitamos una cascada de M + N + 1 centrifugadoras:
DU← C−M · · · C−1
NU↓
C0 C1 · · · CN → L,HEU
Las conectamos de forma que:Alimentamos con NU la centrifugadora C0;La salida enriquecida de cada una entra en la siguiente;La salida empobrecida de cada una entra en la anterior;La salida empobrecida de la primera es DU; yLa salida enriquecida de la última es L,HEU.
Normalmente, N > M.
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Caudales en cascada
Simplificación: Supondremos que α ' 1, en cuyo caso
αE ' αD ' α, θ ' 11 + α
, 1− θ ' α
1 + α.
Consecuencias:1 cD = c/α y cE = αc en cada centrifugadora.2 rD = αrE en cada centrifugadora.3 El caudal rE de la última centrifugadora CN determina los
demás caudales. Normalizaremos a uno ese último caudal.
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Concentraciones en cascada
γ = concentración del NU, entrada en C0.cj(t) = concentración en la centrifugadora Cj .c = (c−M , . . . , cN) = vector de concentraciones.
cD(t) =c−M(t)α
= concentración salida empobrecida C−M .
cE (t) = αcN(t) = concentración salida enriquecida de CN .
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Esquema para M = N = 1
- - -?
c−1(t) c0(t) c1(t)
1 + α2γ
α2 α + α2 α
α 1 + α 1
c−1/α c0/α c1/α
αc−1 αc0 αc1
Salidas (caudal arriba, concentración abajo) empobrecidas yenriquecidas en una cascada simétrica de tres centrifugadoras.
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Resultados para M = N = 1
Si fijamos rE = 1 en CN = C1, obtenemos el SLNH 3Dc′ = Ac + b, con
A =1V
−(α + α2) 1 + α 0α2 −(1 + 2α + α2) 10 α + α2 −(1 + α)
,
b = (0,1 + α2,0)tγ/V .
El SLH c′ = Ac es atractor y cp(t) ≡ (1/α,1, α)tγ es unasolución particular del SLNH c′ = Ac + b, luego
limt→+∞
cD(t) = γ/α2, limt→+∞
cE (t) = α2γ.
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Gráfica para M = N = 1
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Problemas de concentraciones
Centrifugadoras Zippe
Centrifugadoras Zippe: Resultado caso general
Obtenemos un SLNH c′ = Ac + b con solución particular
cp(t) ≡ (α−M , . . . ,1, . . . , αN)t γ
y cuya matriz A es tridiagonal con todos sus VAPsnegativos.Por tanto,
limt→+∞
cD(t) = α−(M+1)γ,
limt→+∞
c(t) = (α−M , . . . ,1, . . . , αN)t γ,
limt→+∞
cE (t) = αN+1γ.
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Muelles verticales sin fricción
Outline
1 Introducción
2 Problemas de concentracionesUn depósitoDos depósitosLimpiando los Grandes LagosCentrifugadoras Zippe
3 Muelles verticales sin fricciónMuelle clásicoPéndulo de Wilberforce
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Muelles verticales sin fricción
Muelle clásico
Muelle clásico: Descripción & hipótesis
Una masa cuelga de un muelle y oscila verticalmente.Hipótesis:
1 La fuerza de recuperación del muelle es proporcional (ytiene sentido opuesto) al desplazamiento desde la posiciónde equilibrio (Ley de Hooke).
2 La fuerza de fricción es despreciable.
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Muelles verticales sin fricción
Muelle clásico
Muelle clásico: Parámetros, incógnitas & modelización
Parámetros:m = masa,k = constante de Hooke.
Incógnita: y(t) = desplazamiento vertical desde elequilibrio (teniendo en cuenta la masa).Modelización (segunda ley de Newton):
my ′′ = masa × aceleración =∑
fuerzas = −ky .
¿Por qué no aparece el peso en la anterior suma defuerzas?
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Muelles verticales sin fricción
Muelle clásico
Muelle clásico: SLH 2D
Introduciendo la nueva incógnita z = y ′, transformamos laanterior EDO de 2o orden en el SLH 2D
y ′ = zz ′ = −ky/m
Escribimos el SLH 2D anterior como x ′ = Ax , donde
x =
(yz
), A =
(0 1
−k/m 0
).
Los VAPs de A son λ± = ±ω0i, donde ω0 =√
k/m.
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Muelles verticales sin fricción
Muelle clásico
Muelle clásico: Oscilaciones armónicas
La solución general es y(t) = A cos(ω0t + ϕ), dondeA > 0 es la amplitud,ϕ ∈ [0,2π) es la fase, yω0 > 0 es la frecuencia natural del muelle.
La amplitud y la fase se determinan a partir de lascondiciones iniciales y(0) = y0 y y ′(0) = y1.Ejemplo: Si y0 > 0 y y1 = 0, entonces A = y0 y ϕ = 0.La frecuencia natural no depende de las condicionesiniciales.
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Muelles verticales sin fricción
Muelle clásico
Muelle clásico: Conservación de la energía
La energía mecánica total del muelle es
E(y , y ′) = m(y ′)2/2︸ ︷︷ ︸cinética
+ ky2/2︸ ︷︷ ︸potencialelástica
.
La energía mecánica se conserva:
dEdt
= my ′y ′′ + kyy ′ = (my ′′ + ky)y ′ ≡ 0.
Si la energía cinética crece/decrece, entonces la energíapotencial elástica decrece/crece.
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Muelles verticales sin fricción
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Descripción & hipótesis
Descripción: Una masa cuelga de un muelle flexible enforma de espiral, oscilando verticalmente y torsionalmente.Queremos entender el fenómeno de transferencia deenergía entre las dos oscilaciones del siguiente video.Hipótesis de partida:
1 La ley de Hooke modela ambas oscilaciones;2 La fuerza de fricción es despreciable en ambas
oscilaciones;3 Cada oscilación ejerce sobre la otra un efecto proporcional
a su propio desplazamiento, con una constante deproporcionalidad común ε; y
4 Las frecuencias naturales coinciden (resonancia) si ε = 0.
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Muelles verticales sin fricción
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Parámetros & incógnitas
Parámetros:m = masa,I = momento de inercia,k1 = constante de Hooke del movimiento vertical,k2 = constante de Hooke del movimiento torsional,ε = pequeño parámetro de acoplamiento.
Resonancia: Suponemos que si ε = 0, las dos frecuenciasnaturales (vertical y torsional) coinciden. Es decir,
ω0 :=√
k1/m =√
k2/I.
Incógnitas:y(t) = desplazamiento vertical desde el equilibrio,θ(t) = desplazamiento torsional desde el equilibrio.
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Muelles verticales sin fricción
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Modelización & reducción
Modelización (segunda ley de Newton):my ′′ = −k1y + εθ
Iθ′′ = −k2θ + εy
Introduciendo las dos incógnitas auxilaresz = y ′ = velocidad vertical,Ω = θ′ = velocidad angular,
reducimos el anterior SLH 2D de 2o orden a CC al SLH 4Dde 1er orden a CC
y ′ = zz ′ = −k1y/m + εθ/mθ′ = ΩΩ′ = −k2θ/I + εy/I
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Muelles verticales sin fricción
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Formulación matricial
Escribiremos el SLH 4D anterior como x ′ = Ax , donde
x =
yzθΩ
, A =
0 1 0 0−ω2
0 0 ε/m 00 0 0 1ε/I 0 −ω2
0 0
y ya hemos impuesto la condición de resonancia.
Modelización con sistemas de EDOs lineales 44 / 52
Muelles verticales sin fricción
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: VAPs & VEPs
Los VAPs de A son simples e imaginarios puros:
λ1 = σ+i, λ2 = −σ+i, λ3 = σ−i, λ4 = −σ−i,
dondeσ± =
√ω2
0 ±ε√mI
= ω0 + O(ε).
Si notamos µ =√
m/I, entonces los VEPs son
v1,2,3,4 =
1σ+i−µ−µσ+i
,
1−σ+i−µµσ+i
,
1σ−iµ
µσ−i
,
1−σ−iµ
−µσ−i
.
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Muelles verticales sin fricción
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Solución del PVI
Fijamos los valores iniciales
y(0) = 1, θ(0) = z(0) = Ω(0) = 0.
Al imponer que la combinación lineal
x(t) =4∑
j=1
cjeλj tv j
cumpla la condición inicial x(0) = (1,0,0,0)t , obtenemos
c1 = c2 = c3 = c4 = 1/4.
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Muelles verticales sin fricción
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Desplazamientos (1)
Por tanto, los desplazamientos vertical y torsional son
y(t) = (eiσ+t + e−iσ+t + eiσ−t + e−iσ−t )/4= [cos(σ−t) + cos(σ+t)] /2= cos(ωt) cos(νt)
θ(t) = µ(−eiσ+t − e−iσ+t + eiσ−t + e−iσ−t )/4= µ [cos(σ−t)− cos(σ+t)] /2= µ sin(ωt) sin(νt),
donde ω =σ+ + σ−
2= ω0 + O(ε) y ν =
σ+ − σ−2
= O(ε). Esdecir, ω es casi la frecuencia natural, mientras que ν es lafrecuencia de una oscilación lenta (similar al batimiento).
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Muelles verticales sin fricción
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Desplazamientos (2)
Periodo de la oscilación rápida: 2πω ' 2π.
Periodo de la oscilación lenta: 2πν ' 251.
Modelización con sistemas de EDOs lineales 48 / 52
Muelles verticales sin fricción
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Conservación de la energía
La energía mecánica total del péndulo de Wilberforce es
E(y , z, θ,Ω) =m2
z2 +k1
2y2︸ ︷︷ ︸
modo vertical
+I2
Ω2 +k2
2θ2︸ ︷︷ ︸
modo torsional
− εyθ︸︷︷︸acopl.
.
La energía mecánica se conserva.Cuando la energía del modo vertical es grande/pequeña,la energía del modo torsional es pequeña/grande.La energía de acoplamiento siempre es pequeña.
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Muelles verticales sin fricción
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Transferencia de energía
Modelización con sistemas de EDOs lineales 50 / 52
Referencias
1 R. E. Berg y T. S. Marshall, Wilberfoce pendulumoscillations and normal modes, Am. J. Phys. 59:32–38,1991.
2 J. Bernstein, SWU for U and Me, arXiv:0906.2505.3 M. Goncalves, Cleaning up the Great Lakes, Prezi
presentation, november 2013.4 S. Manojlovic, Uranium enrichment methods, may 2010.5 M. Plavcic, P. Zupanovic y Z. B. Losic, The resonance of
the Wilberforce pendulum and the period of beats, Lat.Am. J. Phys. Educ. 3:547–549, 2009.
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Modelización con sistemas de EDOs lineales 52 / 52
Encuesta
Sesión: Modelización con sistemas de EDOs linealesFecha: 27/11/2019