Minitérminos, maxitérminos

Dada una expresión que depende de n variables, hay 2 formas en las cuáles la expresión se puede convertir

La expresión E tuvo mezclas de términos que eran productos o sumas de otros términos.

Aunque en apariencia dependía de tres variables, una era redundanteLa forma final equivalente correspondía a la suma de dos términos siendo cada uno una literal sencilla

Minitérminos, maxitérminos

En general, las expresiones dependen de n variables

Una expresión compuesta sólo por sumas de términos y cada término integrado mediante un producto de literales

Recibe el nombre de suma de productos (s de p)El número máximo de literales en un producto no redundante es n

Una expresión compuesta solo de un producto de términos, y cada término conformado por una suma de literales

Es la forma de producto de sumas (p de s)

Definición de formas canónicas

Una expresión de suma de productos o de producto de sumas dependiente de n variables es canónica si contiene literales no redundantes y cada producto o suma tiene exactamente n literales

Formas canónicasE1=(x’+y’+z)(x+y+z’)(x+y+z)

E2=(x’+y’+z)[(x+y)(x+y)+(x+y)(z+z’)+zz’] Postulado 4aE3=(x’+y’+z)(x+y) Postulado 1 y teorema 3b

E4=xy’+x’y+xz+yz Postulado 4a y 5b, teorema 7

Con este proceso, se eliminan redundancias en cada paso

La expresión inicial está en p de s en forma canónicaLa expresión final esta en s de p, pero no canónica

Formas canónicasDada una expresión canónica de suma de productos, es posible convertirla a la forma canónica

El término xy’ en la expresión carece de la variable z

Multiplicaremos por (z+z’) que es igual a 1, equivalentes se harán con otros términos

E5=xy’(z+z’)+x’y(z+z’)+xz(y+y’)+yz(x+x’)

E6=xy’z+xy’z’+x’yz+x’yz’+xyz+xy’z+xyz+x’yzE7=xy’z+xy’z’+x’yz+x’yz’+xyz

Formas canónicasEn una expresión de s de p dependiente de n variables, con el fin de distinguir entre los términos producto que tienen n literales (el máximo) y aquellos con un número menor que n, se establece...

Un producto de literales no redundante canónico recibe el nombre de minitérminoUna suma de literales no redundante canónica se denomina maxitérmino

Convertir a un producto canónico de maxitérminos E=(x+y’)(y’+z’)

Generalización de la ley de De Morgan

Esta ley establece que el complemento de la suma (producto) de dos variables de conmutación produce el mismo resultado que multiplicar (sumar) sus complementos

(x1+x2+ ... +xn)’=x1’x2’ ... xn’

(x1x2x3 ... xn)’=x1’+x2’+ ... +xn’

El complemento de la suma lógica de cualquier número de variables de conmutación es igual al producto lógico del complemento de esas variables.

Ejemplo a desarrollarDado...

E=xy’z+x’y’z’+x’yzObtendremos el complemento de E

Intercambiaremos las operaciones + y ▪ y se sustituye cada variable por su complementoE’=(x’+y+z’) ▪(x+y+z) ▪(x+y’+z’)E’=xy+yz’+x’y’z+xz’

Tomar el complemento de E’ y ponerla en la forma de suma de productos

Funciones de conmutaciónUna función de conmutación es una asignación específica de valores de conmutación 0 y 1 para todas las combinaciones posibles de valores que toman las variables de las cuales depende la función

El número de funciones de conmutación de n variables es 2 a la 2n

EjemploAnalizar mediante código decimal, las funciones de las siguientes expresiones...

E7=x’yz’+x’yz+xy’z’+xy’z+xyz

E1=(x+y+z)(x+y+z’)(x’+y’+z)Las cuales se tomaron del ejemplo del cambio de p de s a s de p

De este análisis se establece...

Operaciones de conmutación en funciones

de conmutaciónDada la forma canónica de la suma de productos de una función de conmutación, la manera de obtener la expresión canónica del producto de sumas es...

Se aplica la ley de De Morgan al complemento de cada minitérmino que está ausente en al expresión de suma de productosLuego se forma el producto de los maxitérminos resultantes

Operaciones de conmutación en funciones

de conmutaciónDe manera inversa, para obtener la expresión de la suma de productos a partir de una expresión determinada de productos de sumas...

Se aplica la ley de De Morgan a cada término suma ausente del productoLuego se forma la suma de los minitérminos resultantes

EjercicioDada la expresión del producto de sumas en E1 emplear el enfoque anterior para determinar la forma correspondiente de suma de productos

Operaciones de conmutación en funciones

de conmutaciónLas leyes de conmutación se aplican igualmente a las expresiones de conmutación como a las variables que representan los elementos de conmutación

Función y expresión de conmutación

Existe una diferencia en significado entre una función de conmutación y una expresión de conmutación

Una función se define listando sus valores de verdad para todas las combinaciones de valores de las variables (tabla de verdad)Una expresión es una combinación de literales vinculadas mediante operaciones de conmutación

Para una combinación determinada de valores de variables, la expresión tomará un valor de verdad

Continuación...Si los valores de verdad tomados por una expresión para todas las combinaciones posibles de valores de las variables son los mismos que los correspondientes valores de verdad de la función...

Afirmamos en ese caso que la expresión representa la función

Es posible escribir más de una expresión para representar una función específica

Lo que es fundamental es la función de conmutaciónDe todas las expresiones que pueden representar una función, podríamos buscar las particulares que de alguna manera ofrezcan una ventaja sobre las otras

Otras operaciones de conmutación

OR Exclusiva (XOR)Se le asigna el simbolo

Asi, xy es verdadera cuando x e y tienen valores de verdad opuestos, pero es falsa cuando x e y tienen el mismo valor.

xy = x’y+xy’

Ejercicio....Iniciar con la forma de s de p para la XOR para obtener una forma canónica de producto de sumas

Operaciones NAND, NOR y XNOR

NAND(xy)’=x’+y’

NOR(x+y)’ = x’y’

XNOR(xy)’=(x’y+xy’)’=xy+x’y’

Equivalencia...XNOR es 1 siempre que x e y tiene el mismo valor

La funciòn de dos variables que es igual a 1, siempre que las dos variables tiene el mismo valor, recibe el nombre de relación de equivalencia

A XNOR B = A B = xy + x’y’

Comparar dos señales (entradas) para ver si son las mismas, es importante en sistemas digitales

La compuerta XNOR es un comparador de un bitCuando su salida es 1 sabemos que las dos entradas son iguales.

Conjunto de Operaciones Universales

Toda expresión de conmutación está integrada por variables conectadas mediante diversas combinaciones de los operadores binarios (AND y OR) y unaria (NOT)

Un conjunto de operaciones se denomina universal si toda función de conmutación puede expresarse exclusivamente en términos de operaciones de este conjunto

Por tanto, el conjunto de operaciones (AND, OR, NOT) es universal

Representación de funciones

Cualquier función de conmutación puede expresarse en términos de sólo dos operaciones de conmutación

Cualquier función de conmutación puede expresarse exclusivamente en términos de operaciones NANDCualquier función de conmutación puede expresarse exclusivamente en términos de operaciones NOR

Aplicación real...En el mundo real, las operaciones de conmutación se llevan a cabo por medio de dispositivos físicos

Si es posible expresar todas las funciones de conmutación en términos de una sola operación...

La implementación física de cualquier función de conmutación puede efectuarse con sólo un tipo de dispositivo físico

Compuertas lógicasCompuerta es el nombre genérico dado a un dispositivo físico que efectúa cualesquiera de las operaciones de conmutación