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NRivera? 2005
(En(En(En(En precprecprecprecá áá álculolculolculolculo))))
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NRivera 2005 2
Objetivos: Al finalizar este módulo, (y
completada la asignación), se esperaque el estudiante pueda:
1. Identificar funciones racionales.
2. Hallar el dominio de funciones racionales.3. Hallar las ecuaciones de las asíntotas
verticales, horizontales u oblicuas.
4. Trazar la gráfica, usando los interceptos en losejes, las asíntotas, simetría, el signo de lafunción en los intervalos en que queda divididoel eje x por los ceros reales del numerador ydel denominador, los puntos de intersecciónentre la curva y la AH o la AO, y puntosadicionales, si fueran necesarios.
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NRivera 2005 3
Definición: Una función racional f es
una función que puede expresarse en la
forma
donde y son polinomios. El dominio
de f es
{ }| ( ) 0 f D x Q x= ∈ℜ ≠El alcance depende de cada función.
( )( )
( )
x f x
Q x=
P Q
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NRivera 2005 4
Ejemplos: ¿Es función racional?
( )2
xh x x
=−
3( ) 25
f x x
= + −
No, el numerador no es
un polinomio.
Sí, f se puede expresar como
2( 5) 3( )
52 7
( )5
x f x
x x
f x x
− +=
−
−=
−
1.2.
Cociente de
dos
polinomios
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NRivera 2005 5
Funciones racionales simples:
1( ) f x x
=
1.
Dominio: {0}ℜ −
.110
11
yx
610
∞ 0
Note que si x crece,
Se dice que y = 0
es asíntota horizontal
de la gráfica de f.
.000001
0 y →
Veamos el
comportamiento
de la funcióncuando x → ∞
No hay intercepto en el eje y,
(0 no está en el dominio de f),
ni en el eje x, porque 1/x
siempre es diferente de 0
1000 .001
100 .01
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1( ) f x
x
=
100.01
10.111
yx
∞0
Note que si 0 x +→
entonces, y → ∞
Se dice que la recta x = 0 es
asíntota vertical de la gráfica de f.
Además, f es función impar,
porque f(-x) = - f(x)
(Demuéstrelo.)Por tanto, la gráfica de f es
simétrica respecto al origen.
Veamos la gráfica.
Veamos el comportamiento de
la función cuando x se aproxima a 0 por la derecha. ( 0 ) x +→
.001 1000
.000001 1000000
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: {0} Alcance ℜ −
1( ) f x =
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1( )
n
f x x
=La gráfica de
para n entero impar positivo,
es similar a la de 1 y
x=
3
1 y
x=
1 y x
=
Ejemplo:
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NRivera 2005 9
1( ) ,n f x x=
para n entero positivo impar,la gráfica es similar a:
AV:
x= 0
AH: y = 0
En general, si
YâÇv| YâÇv| YâÇv| YâÇv|™ ™™ ™Ç ÇÇ Ç |ÅÑtÜ |ÅÑtÜ |ÅÑtÜ |ÅÑtÜAAAA
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NRivera 2005 10
2.
2
1( ) f x
x= Dominio: {0}ℜ −
Además, f es función par, porque f(-x) = f(x).
2
1( ) f x
x=
El alcance es:
(0, )∞
2
1( )
( ) f x
x− =
−
2
1
( )
x
f x
=
=
Razón:
No hay intercepto en el eje x,
ni en el eje y.
AH: y = 0
AV:
x = 0
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NRivera 2005 11
En general, si n es entero par
positivo, la gráfica dees:
1( ) ,n f x x=
x = 0
y = 0
Note que si , x → ∞entonces, 0. y →
También, si 0 , x +→
entonces, .→ ∞AH: y = 0.
AV: x = 0
Además, f es función par,
∴ La gráfica es simétrica
respecto al eje y.
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NRivera 2005 12
Use transformaciones para
trazar la gráfica de cada función:
2
3
2
( ) ( 3 )
4( ) 1
( 2 )
f x x
g x
x
−=
−
= +
+
1.
2.
3. 4
2
( ) 5( 1)h x x= −+
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NRivera 2005 13
2
2
( ) ( 3) f x x
−=
−: {3} Dom ℜ −
: ( , 0) Alc −∞29
: (0, ) y Int −
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NRivera 2005 14
3
4( ) 1
( 2)
g x
x
= +
+
32
(0, )
: { 2} Dom ℜ − −
: {1} Alc ℜ −
A
3: : ( 2 4 , 0) x Int A − −
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NRivera 2005 15
4
2( ) 5
( 1)h x
x= −
+: { 1} Dom ℜ − −
: ( 5, ) Alc − ∞
245
245
: ( 1 , 0)
: : ( 1 , 0) x
A
Int B
− −
− +
: (0, 3) y
Int −
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NRivera 2005 16
• Se estudiarán ahora otras funciones
racionales. – Asíntotas verticales
– Asíntotas horizontales u oblicuas, etc.
2( ) .
( )
A f x k
x h
= +
−
Ya puede trazar la gráfica de
funciones de la forma
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Ejercicios: Halle el dominio de
cada función racional.
Respuesta:
1 22 1( )
9 x f x
x x+=
− 1{0,9} f D = ℜ−
2 2
2( )
4
x f x
x−=− 2
{2, 2} f D = ℜ − −
3 2
2 4( )
4
x f x
x−=+ 3 f D = ℜ
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NRivera 2005 18
Comportamiento de una función racional
cerca de un cero real del denominador
Sea
Si c es un número real, y
entonces la rectaes asíntota vertical de la gráfica de f. (Los
valores de f(x) tienden a o
cuando x se aproxima a c.)
( )( )
( )
x f x
Q x=
( ) 0 P c ≠
( ) 0Q c =
x c=
∞ − ∞
( f(x) debe estar en la forma más simple para hallar la AV)
,
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NRivera 2005 19
La gráfica de f, cerca de una asíntota
vertical, puede parecerse a una de éstas:
x = c c
x = c x = c
x = c
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NRivera 2005 20
Ejemplo: Halle las ecuaciones de
las asíntotas verticales (AV):
2( )( 2)( 3)
x f x x x= − +
Note que f está en su forma más simple, yque el denominador es cero
cuando x = 2 y cuando x = - 3, (números reales.)
Las ecuaciones de las AV son : x = 2, x = - 3
1.
(La gráfica de f es un ejercicio próximo)
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Ejemplo: Halle las ecuaciones de
las asíntotas verticales (AV):
2 x ≠ −
2 2( )4
x f x x
−= −
2.
Note que ambos numerador y denominador son cero si x = 2. Simplifica:
2
( ) ( 2)( 2)
x
f x x x
−=
− +
2, x ≠ 2 x ≠ −
1( )
2 f x
x=
+2, x ≠
Hay una AV, es x = - 2
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NRivera 2005 22
Comentario:
• La gráfica de
es la gráfica de
sin el punto donde x = 2, (2, ¼ )
2
2( )
4
x f x
x
−=
−1
1( )
2
f x
x
=
+
Note que {2, 2} f D = ℜ − −mientras que
1{ 2} f D = ℜ − −
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NRivera 2005 23
2
2( )
4
x f x
x
−=
−
Gráfica de
14(2, )
1( ) ,2
f x x
=+
Note que
2 2 si x y x≠ ≠ −
y = 0
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NRivera 2005 24
Ejemplo 3: Halle las ecuaciones
de las asíntotas verticales (AV),si:
2
2( )
( 2) ( 1)
x g x
x x
−=
− +
Solución: Debe simplificar primero:
( 2)( )( 2)( 2)( 1)
x g x x x x
−=− − +
1
( ) ( 2)( 1) g x x x= − +
Ahora, halle lasecuaciones de las
AV:
x = 2x = -1
Veamos la gráfica:
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NRivera 2005 25
2
2( )
( 2) ( 1)
x g x
x x
−=
− +
(El análisis de esta función es un ejercicio
próximo)
1( )
( 2)( 1)
g x
x x
=
− +
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NRivera 2005 26
Comportamiento de la gráfica de
una función racional cuando | | x → ∞Si los valores de f(x) se aproximan a un número real L
cuando o cuando ,la recta y = L es asíntota horizontal (AH)
de la gráfica de f. La gráfica puede parecerse en los
extremos a una de las siguientes:
→ ∞ → −∞
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NRivera 2005 27
Comportamiento de la gráfica de
una función racional cuando
• Es posible que la gráfica de la función
racional se aproxime a la recta (con a 0)
y = ax + b, (asíntota oblicua) cuando
| | x → ∞
| | x → ∞
La gráfica puede parecerse en los extremos a una
de las siguientes, si a > 0:
≠
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NRivera 2005 28
Observaciones:• La gráfica de una función racional puede
tener a lo más una asíntota horizontal ouna asíntota oblicua, aunque podría tener
más de una asíntota vertical.
• Es posible que la gráfica de una función
racional interseque su asíntota horizontal
u oblicua, pero no puede intersecar asíntotas verticales.
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NRivera 2005 29
¿Puede ésta ser la gráfica deuna función racional?
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NRivera 2005 30
¿Puede ser ésta la gráfica
de una función racional?
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NRivera 2005 31
Para hallar las asíntotas
horizontales(AH) u oblicuas(AO):• Si es una fracción propia, entonces y = 0
(el eje x) es la ecuación de la AH. (Explicar.)
• Si no es fracción propia, al dividir
se obtiene
( )
( )
x
Q x
( )
( )
x
Q x( ) ( ) x Q x÷ ( )( )
( )
P x f xQ x
=
Si H(x) = c, c constante, entonces, y = c es la AH. Si H(x) = ax+b, ,
y el , entonces y = ax + b es la AO. (Explicar.)Re 0 siduo ≠0a ≠
(donde H(x) es un polinomio). ( ) ( ) H x Q x= + Residuo
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NRivera 2005 32
Ejercicios
• Halle las asíntotas horizontales u
oblicuas en cada caso:
1
4 1( )
8 6
x f x
x
+=
−
Note que f 1 no es una fracción
propia (cuando el grado del numerador es
mayor o igual al grado del denominador
la fracción no es propia.)
Al dividir, se obtiene4 1 1 2
8 6 2 8 6
x
x x
+ −= +
+ +Por lo que 1
2 y = es la asíntota horizontal.
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NRivera 2005 33
Observación:Una forma más rápida para hallar la asíntota
horizontal (AH), si la tiene, es comparar losgrados del numerador y del denominador.
• Si grado num. = grado den. ,
entonces
es la AH. (Explicar.)
• Si grado num. < grado den. ,entonces es la AH, (el eje x). (Explicar)
• Si grado num. > grado den., NO hay AH. (Explicar.)
..
coef líder del num ycoef líder del den
=
0 y =
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NRivera 2005 34
Por ejemplo, sea 4 1( )8 6
x f x x
+= −
Como el grado del numerador es igual al grado del
denominador, la gráfica tiene una asíntota horizontal:
4
8
y =
1
2 y =
ó
4 es el coeficiente líder
del numerador, 8 es el
coef. líder del den.
AH
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NRivera 2005 35
Ejercicio: Halle las asíntotas horizontales
u oblicuas en cada caso:
1 4
3
2
2
3
3
( ) 2 5
2( ) 3
2 2 3( )1
x
f x x
x f x x
x x f x x
+=
++
= +
+ −= −
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NRivera 2005 36
Respuestas
1 4
3( )
2 5
x f x
x
+=
+
:Como grad num < grado den,
el eje x, (y = 0), es la AH.
3
2
2( )
3
x f x
x
+=
+
:Como grado num > grado den,
NO hay AH. Tampoco oblicua,
¿por qué?
2
3
2 2 3( )
1
x x f x
x
+ −=
−
:Como grado num > grado den,
NO hay AH.Al dividir, se obtiene:
3
1( ) 2 4
1 f x x
x= + +
−Ecuación de la AO:
y = 2x + 4∴
( Al dividir, el cociente es un polinomio cuadrático)
Pol. lineal
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NRivera 2005 37
Gráfica de funciones racionales
Para trazar la gráfica aproximada (un boceto)
de una función racional se tendrán en cuenta:a) su dominio,
b) las AH, AV, o AO, si las hay
c) simetríad) interceptos en los ejes, si los hay
e) puntos de intersección entre la curva y la
asíntota horizontal, o la AOf) signo de la función en los intervalos
determinados por los ceros del num y del den.
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NRivera 2005 38
Ejercicios:
• Para cada función,
1. Halle su dominio2. Halle las ecuaciones de las AV, AH o las
AO.
3. Determine si la curva es simétrica respectoal eje y; al origen
4. Halle los interceptos en los ejes decoordenadas, y los puntos de intersecciónde la curva y su asíntota horizontal uoblicua, si la tiene.
Continúa..
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NRivera 2005 39
Ejercicios:
5. Trace cada asíntota (entrecortada, si no
es un eje de coordenadas)6. Halle el signo de la función en los
intervalos en que los ceros reales del
num. y del den. dividen el eje x
7. Localice los puntos encontrados.
8. Trace la curva.
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NRivera 2005 40
Ejercicios…
1
2 2
2
3
1( )
22
( ) ( 2) ( 1)
2 2 3( ) 1
x f x
x x
f x x x
x x f x x
+=
−−
=− +
+ −= −
4 2
5 2
6 2
1( )
44
( )1
4
( ) 1
f x
x x
f x x
f x
=
−=
+
= +
2x 2 2 8x x+ +
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NRivera 2005 41
7 2
2( )
4
x f x
x
−=
−2
8
9 2
9( )
33
( )1
x f x
x x
f x x
−=
−
=−
2
10
2
11 2
1( )
( )6
x f x
x
x f x
x x
+=
=+ −
1 2
3
1 3 2
1 4 2
2
1 5 2
3
1 6 2 2
2 8( )
24
( )
23
( ) 2 14
( 3 ) ( 1)( )
4
( 2 ) ( 1)( )
( 3 ) ( 1)
x x f x
x x x
f x
x f x x
x
x x f x
x
x x f x
x x
+ +=
++
=+
= − +−
+ +=
−
− +=+ −
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NRivera 2005 42
Ejercicios..
17
2( )
( 2)( 3)
x f x
x x
=− +2
18 2
4 1( )
1
x f x
x
−=
+2
19
( 2 8)( 2)( )
( 2)
x x x f x
x
+ − −=
−2
20 2
( 2) ( 1)( )
( 2)( 1)
x x f x
x x
− +=
+ −
2
21 2
2( 9)( )
3
x f x
x
−=
+
22
( 1)( )
( 2)( 3)
x x f x
x x
−=
+ −
24
( 2)( 3)( )
( 2)( 3)
x x f x
x x
+ −=
− +
25
( 2)( )
( 1)( 4)
x x f x
x x+=
− +
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NRivera 2005 43
Respuestas
( )f+
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NRivera 2005 44
1( )
2
f x
x
=
−
1
2
:( 1,0)
:(0, )
x
y
Int
Int
−
−
AH:
AV:
Signos de f:
-1 2
0+ - +
1: {2} f Dom ℜ−
: {1} Alcance ℜ −
2x−
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NRivera 2005 45
2 2
2( )
( 2) ( 1)
x f x
x x
−=
− +1
( 2)( 1) x x
=
− +
No hay int. en el eje x.
El int. en el eje y es
1
2(0, )−Signos de f:
-1 2
+ - +
AH: y = 0
2: { 1,2} f Dom ℜ− −
: {0} Alc ℜ −
22 2 3x x+ − 2 28 − +
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NRivera 2005 46
3
2 2 3( )
1
x x f x
x
+ =
−
2 28: ,0 (.8,0) :
4
2 28, 0 ( 1.8, 0) :
4
x Int
B
+≈
− −
≈ −
:(0,3) y Int
B A
B A 1
0 0- + -+
Signos de la función:
3: {1} f Dom ℜ−
AO:
AV
No hay int. entre
la AO y la curva.
1 : { 2 2}Dom ℜ− −
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NRivera 2005 47
4 2
1( )
4
f x
x
=
−
1
4
: .
: (0, )
x
y
Int No tiene
Int − y
+ - +
-2 2
Signos de la función:
4: { 2,2} f Dom ℜ− −
Curva simétrica
respecto al eje y
(función par).
: {0} Alc ℜ −
4x
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NRivera 2005 48
:
: (0,0).
x
Dom
Int Función impar
ℜ
5 2
4( )
1
x f x
x
=
+
(Curva serpentina)
0
- 0 +
Signos de la función:
4
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NRivera 2005 49
6 2
4( )
1:
: (0, 4) y
f x
x Dom
Int
=
+ℜ
: (0,4] AlcanceFunción par.
Note que f tiene
sólo valores positivos.
2( )
xf
− 1
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NRivera 2005 50
7 2( )
4
f x
x
=
−
14
(2, )AV:
x = -2
AH: y = 0
y
. xo hay Int
14
: { 2, 2}
: {0, }
Dom
Alc
ℜ − −
ℜ −
7
1( ) , 2, 2
2
f x x x
x
= ≠ − ≠
+
12
: (0, ) y Int
-2 2
- + +
Signos de f:
2 9x − ( ) 3 3f x x x+ ≠
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NRivera 2005 51
8
9( )
3
x f x
x
=
−
(3, 6)
8 ( ) 3, 3 f x x x= + ≠
y
: {3}
: {6}
Dom
Alc
ℜ −
ℜ −
3( )
xf x =
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NRivera 2005 52
9 2( )
1
f x
x
=−
9: { 1,1} f Dom ℜ − −
: Alcance ℜ
: (0, 0) x Int
Función impar.
-1 0 1
- + 0 - +
Signos de f:
2 1( )
xf
+{0}D ℜ
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NRivera 2005 53
10 ( ) f x
x
=
Función impar.
: {0} Dom ℜ −
No hay puntos de int.entre la AO y la curva.
0
- +
Signos de la función:
No hay puntos de int.
entre la curva y los ejes
de coodenadas.
2
( ) x
f x2x
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NRivera 2005 54
11 2( )
6
f x
x x
=
+ −11( )
( 3)( 2)
x f x
x x
=
+ −: { 3, 2} Dom ℜ − −
Punto de int. entre
AH y curva: (6, 1)
Vea el detalle
de la gráfica de f,
para
3 40 x≤ ≤en la próxima
pantalla.
+ - 0 - +
-3 0
Signos de la función:
2
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NRivera 2005 55
2
11 2( )
63 40
x f x
x x x
=
+ −≤ ≤
2 2 8( )
x xx
+ +=
8( )f x x= +
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NRivera 2005 56
12 ( )
2
x
x
=
+: { 2} Dom ℜ − −
. x No hay Int : (0, 4 ) y Int
No hay int. entre
la curva y la AO.
-2
- +
Signos de la función:
12 ( )
2
f x x
x
= ++
34 +
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NRivera 2005 57
3
13 2
4( ) 2
x x f x x
+
= +
132
7( ) 4
2
x f x x
x
= −
+:
:
Dom
Alc
ℜ
ℜ
Punto de int.
entre la curva
y la AO: (0,0)
0
- 0 +Signos de la función:
53
−
53
(1, )
53
( 1, )− −
Función impar.
14 2
3( ) 2 1 f x x= + +
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NRivera 2005 58
14 2( )
4f
x −
: Dom ℜ: Alc ℜ
1
4: (0, )
y Int
C
: xn t (A,0), (B,0), (C,0)
. 1 2
1 . 8
2 . 2
A
BC
≈ −
≈≈ −
¿Cómo puede aproximar
los interceptos en el eje x?
2( 3) ( 1)( )
x xf x
+ += : { 2 2}Dom ℜ
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NRivera 2005 59
15 2( )
( 4)
f x
x
=
−
: { 2,2} Dom ℜ− −: Alc ℜ
-3 -2 -1 2
- 0 - + 0 - +
Signos de f:
94
: (0, ) y Int −
: ( 3,0), ( 1,0) x Int − −Int. entre la AO y la
curva:, aproximadamente:
(-1.95, 5.05)
17
2( )
xf x =
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NRivera 2005 60
17 ( )
( 2)( 3)
f x
x x− +
: {2, 3} Dom ℜ − −: Alc ℜ
: (0,0) x Int
y
-3 0 2
- + 0 - +
Signos de f:
24 1( )
xf x
−=
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: Dom ℜ
: [ 1,4) Alc −(0,-1)
Función par.
12
( , 0)−
12
( , 0 )
18 2( )
1
f x
x
=
+
2( 2 8)( 2)( )
x x xf x
+ − −=
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NRivera 2005 62
19 ( )
( 2)
f x
x
=
−
: {2}
: [ 9, )
Dom
Alc
ℜ −
− ∞
(2, 0)
(-1, -9)
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NRivera 2005 63
(-1,0)(2, 0)
-2 -1 1 2
+ - 0 + + 0 +
Signos de f:
2
20 2( 2) ( 1)( )( 2)( 1) x x f x x x
− +=+ −
: (0, 6) y Int −2
21 2
2( 9)( )
xf x
−=
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NRivera 2005 64
: Dom ℜ
: [ 6, 2) Alc −
: ( 3,0), (3,0) x Int −
Función par.
21 2( )
3
f x
x +
22
( 1)( )
( 2)( 3)
x x f x
x x
−=
+
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NRivera 2005 65
( 2)( 3) x x+ −
Ver detalle en lapróxima pantalla,
para 12
2. x− ≤ ≤
: { 2, 3} Dom ℜ − −: (0, 0), (1, 0) x Int
-2 0 1 3
+ - 0 + 0 - +
Signos de f:
22
( 1)( )
( 2)( 3)
x x f x
x x
−=
+
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12
2 x− ≤ ≤
( 2)( 3) x x+ −
2 ( 2)( )
x xf x
+= : ( 2,0), (0,0)x Int −
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NRivera 2005 67
23 2
( )1
f x x
=
+
1
2( , 2 )
: Dom ℜ
-2 0
+ 0 - 0 +Signos de f:
( ) ( ) x
24
( 2)( 3)( )
x x f x
+ −=
+
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NRivera 2005 68
( 2)( 3) x x− +
-3 -2 2 3
+ - 0 + - 0 +
Signos de f:
: ( 2,0), (3,0) x Int −
: (0,1) y Int
25
( 2)( )
x x f x
+=
+
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NRivera 2005 69
( 1)( 4) x x− +
.5 30 x≤ ≤
-4 -2 0 1
+ - 0 + 0 - +
Signos de f:
: ( 2,0), (0,0) x Int −
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NRivera 2005 70
(4,1)
25
( 2)
( ) ( 1)( 4)
x x
f x x x
+
= − +
.5 30 x≤ ≤
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NRivera 2005 71
Asignación:• Ejercicios del prontuario.
¡Estudie!