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RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
RESISTENCIA DE MATERIALES IIMETODO DISTRIBUCION DE MOMENTOS En 1930, el profesor Hardy Cross expuso en su obra Analysis of continuous frames el mtodo de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El mtodo de cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El clculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados.
Es ms, una vez comprendido el mecanismo del mtodo, las operaciones matemticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Adems, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisin, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de seccin constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas.
El mtodo de Cross es un mtodo de aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisin en el clculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista.
El mtodo permite seguir paso a paso el proceso de distribucin de momentos en la estructura, dando un sentido fsico muy claro a las operaciones matemticas que se realizan.
PROPIEDADES DE LOS APOYOSCuando una pieza termina en un apoyo aislado se la considera unida a otra de rigidez nula, por lo que el factor de distribucin vale la unidad ki Fd = = 1 ki + 0
Cuando una pieza termina en un empotramiento perfecto se supone que est unida a otra de rigidez infinita. El factor de distribucin es nulo
GUIDO F. RODIGUEZ MOLINA
2 011
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ki Fd = = 0 ki +
En realidad, se puede decir que una articulacin no absorbe nada, todo lo transmite (K=0, =1). De igual modo, un empotramiento perfecto lo absorbe todo, no transmite nada (K=, =0). METODO DE CROSS PASO A PASO Para la aplicacin del mtodo de cross deben seguirse los siguientes pasos:
1) .-
Calculo de los momentos de empotramientos en extremos fijos: Son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas estn fijas
2) .-
Calculo de la rigidez a la flexin: La rigidez a la flexin (EI/L) de un miembro es representada como el producto del Modulo de Elasticidad (E) y el segundo momento de rea, tambin conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el mtodo de distribucin de momentos, no es el valor exacto pero es la razn aritmtica de rigidez de todos los miembros.
3) .-
Calculo de los factores de Distribucin: Pueden ser considerados como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de sus miembros.
4) .-
Calculo de los factores de acarreo o transporte: Los momentos no balanceados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada. La razn de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo.
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Ejemplo: Analizar la viga estticamente indeterminada mostrada en la figura. Donde P= 10Kn, Kn/m y L= 10 m, a = 3 m. rigideces a flexin: AB=EI, BC= 2EI, CD = EI w=1
Paso I. Se procede a realizar los clculos preliminares de los momentos en extremos fijos para cada caso tal y como se muestra
Caso (a) MA = P a b2 L2
MA =
10 (3) (7)2 102
= 14.70 Tn m
MB =
P a2 b L2
MB =
10 (3)2 (7) 102
= 6.30 Tn m
VA =
Pb L
VB =
Pa L
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Caso (b)w L2 12 w L2 12wL 2
MA =
MA =
1 (10)2 121 (10)2 12wL 2
= 8.33 Tn m
MB =
MB =
8.33 Tn m
VA =
VB =
Caso (c)
MA =MB = VA =
PL
8 PL 8 P 2
MA = MB =
10 (10)
8 10 (10) 8
= 12.50 Tn m = 12.50 Tn m
VB =
P 2
Paso II Se procede a la construccion de la tabla de calculo, una vez determinados los factores de distribucin. Para el calculo de estos factores de distribucion debe considerarse la rigidez Rotacional a un giro (k) en los casos en que sea la misma el del ejemplo donde son distintas y seriaEI ,y tambien cuando sea un caso como L
3EI en esa tabla tambien se procedera a realizar lo L
aprendido en ESTATICA sobre los diagramas de Corte y Momento, los cuales nos serviran para el diseo de elementos mas adelante en CONCRETO ARMADO.
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Los numeros en amarillo son los momentos balanceados; las flechas ( / ) representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro. Momentos en articulaciones, determinados por el mtodo de distribucin de momentos. MA = 0 Kn-m MB = - 11.569 Kn-m
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MC = -10.186 Kn-m MD = - 13.656 Kn-m
DEC
5.14 3.84 A + B + _ _ C
4.65 + D 0.0 _ 4.86 5.34
6.16
DMF
11.58 10.20
13.66
A
B
1.62
C
D 13.09
19.20
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METODO DISTRIBUCION DE MOMENTOS PORTICOS
Hallar por el mtodo de Cross los diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes, asi como las reacciones de todas las barras del prtico de la figura.
Determinamos las rigideces
k A C =
1 = 0.143 7
k C D =
1 = 0.143 7
k D B =
1 = 0.2 5
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Nudo C
Fd =
0.143 = 0.5 0.143 + 0.143 0.143 = 0.5 0.143 + 0.143
Fd =
Nudo D
Fd =
0.143 = 0.417 0.143 + 0.2
Fd =
0.2 = 0.583 0.2 + 0.143
Clculo de los momentos de empotramiento
MA =
P a b2 L2
MB =
P a2 b L2
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Ejemplo Aplicacin del Mtodo de Distribucin de Momentos del prtico de dos niveles 400 Kg/m P = 300 Kg
Clculo de Rigideces:K A D = K DG = K B E = K EH = K C F = K D E = K EF = K GH = 3 = 0.500 6 1 = 0.333 3
Clculo de Factor de Distribucin. En los nudos A,B Y C tienen una rigides infinita, por lo tanto el factor de distribucin de las barras es cero:
Fd A D = FdB E = FdC F = 0
Nudo D llegan tres barras.FdDA = 0.333 = 0.286 0.333 + 0.500 + 0.333
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FdDG =
0.333 = 0.286 0.333 + 0.500 + 0.333
FdDE =
0.500 = 0.429 0.500 + 0.333 + 0.333
Nudo G llegan dos barras.FdGD = 0.333 = 0.400 0.333 + 0.500
FdGH =
0.500 = 0.600 0.500 + 0.333
Nudo E llegan cuatro barras.FdEB = 0.333 = 0.200 0.333 + 0.500 + 0.500 + 0.333
FdED =
0.500 = 0.300 0.500 + 0.333 + 0.333 + 0.500
FdEH =
0.333 = 0.200 0.333 + 0.500 + 0.500 + 0.333
FdEF =
0.500 = 0.300 0.500 + 0.500 + 0.333 + 0.333
Nudo H llegan dos barras.FdHG = 0.500 = 0.600 0.500 + 0.333
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FdHE =
0.333 = 0.400 0.333 + 0.500
Nudo F llegan tres barras.FdFE = 0.500 = 0.600 0.500 + 0.333 + 0
FdFC =
0.333 = 0.400 0.333 + 0.500 + 0
Clculo de los Momentos de empotramiento perfecto.
M=
w L2 12
M=
400 6 2 12
= 1200 Kg m
M=
w L2 12
M=
400 6 2 12
= 1200 Kg m
M=
PL 8
M=
300 (6) 8
= 225 Kg
M=
PL 8
M=
300 (6) 8
= 225 Kg m
M=
w L2 2
M=
400 2 2 2
= 800 Kg m
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DIAGRAMA DE MOMENTOS
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