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MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA OMÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN
1. Nosotros conocemos que la curvatura de la viga recta, cuando se somete a un momento flexionante, el material de la viga se deforma, dando como resultado una curvatura de la viga, verificándose bajo ciertas condiciones supuestas establecidas:
CURVATURA: …(I)
FORMULA DE LA ESCUADRÍA: Obtención de los esfuerzos flexiónantes en vigas.
a)Los planos transversales antes de la flexión permanecen transversales después de la flexión, esto es, no hay torcedura.
b)El material de la viga es homogéneo e isótropo y obedece la ley de Hooke. Aquí suponemos que “E” es la misma para tracción que para compresión.
c) La viga es recta y tiene una sección transversal constante prismática.
d)Las cargas no ocasionarán ni tracción ni pandeo de la viga. Esta condición se cumple, si el plano de las cargas contiene al eje de simetría de la sección transversal y si las cargas están en este plano.
e)La carga aplicada es un momento flexionante puro.
2. Debido a que “M” varía a lo largo del claro de la viga, la curvatura obviamente tendería a variar. En consecuencia, sería bastante difícil y pesado determinar la forma completa de la curva elástica en todas las circunstancias. Por lo tanto así es necesario expresar la forma de la curva
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 1
1ρ=MEI
σ=MyI
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
elástica en términos de sus coordenadas rectangulares x , y , si vamos a usar las condiciones de pendiente y flexión.
Consideremos la curva de la figura, que se supone representa un segmento de la línea elástica de la viga. A una distancia “x ”de un punto de referencia, digamos el punto “O” , el soporte, un incremento de “dL , tendrá un cambio de pendiente de un extremo al otro de “dθ” . Así, dL=ρdθ
De la cual obtenemos:
…(II)
Para ángulos pequeños (esto es flexiones pequeñas):
y
Analizando estas últimas expresiones en (II), tendremos:
…( )α
…(III)
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 2
dθdL
=1ρ
dydx
=tanθ=θ dL≈dx
dθdL
=dθdx
= ddx ( dydx )=d2 y
d x2
dθdL
=d2 yd x2
d2 yd x2
=1ρ
d2 yd x2
= MEI
(α )⟶ ( II ) :
( III )⟶ ( II ):
ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA DE LA VIGA
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Ordenando:
Expresión del cortante (V ): Derivando la expresión (A)
Tomando extremos:
Expresión de la carga ( p): Derivando la expresión (a)
Tomando extremos:
3. CONVENCIÓN DE SIGNOS:
GIRO(θ)
ANTIHORARIO (+)
HORARIO (-)
FLECHA(δ )
(+) POSITIVO
(-) NEGATIVO
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 3
M=EId2 yd x2
…(A)
V=dMdx V=EI
d3 yd x3
M=EId3 yd x3
…(a)
p=dVdx
p=EId 4 yd x4
p=EId 4 yd x4
…(b)
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
EJERCICIO 01.
Si una fuerza de 50Kg se aplica en el extremo de la viga ¿Qué parte de esta carga soportará el resorte?
SOLUCIÓN
Estructuras hiperestáticas de 1° grado
Estructura Primaria o Isostatizada, es conjugada como superabundante o redundante RB, la misma que será igual a: RB=R(δB−0.1)cm
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 4
EI=3×107Kg /cmk=2T /m=2000Kg /cm
RB=2000Kg/cm ∙(δB−0.1)cm
RB=2000 ∙ (δB−0.1 )Kg
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Por estática determinamos: M A y RA
…(1)
…(2)
Cálculos de las constantes de integración: de acuerdo a las condiciones de frontera.
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 5
∑ Fv=0⟶ { RA=(50−RB )KgM A=75 (50−RB )Kg /cm}
M=(50−RB )x−75(50−RB) MOMENTO GENÉRICO
EId2 yd x2
=(50−RB ) x−75(50−RB)
EIdydx
=(50−RB ) x2
2−75 (50−RB )x+C1
EIy=(50−RB ) x3
6−75 (50−RB ) x
2
2+C1 x+C2
x=0⟶θA⟶ (1 ) :C1=0x=0⟶ y A⟶ (2 ) :C2=0
x=75cm⟶ yB=−δB⟶ (2 )
−EI δB=16 [50−2000 (δB−0.1 ) ] (75 )3−75
2 [50−2000 (δB−0.1 ) ] (75 )2+0 (75 )+0
−3×107 δB=16
[50−2000δB+200 ](421875)−752
[50−2000δB+200 ](5625)
311250000δB=35156250
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
EJERCICIO 02
Calcular la viga hiperestática y construir los diagramas de momentos flexionantes y fuerzas cortantes. Considere que “P”, “a”, “E” y “I” son conocidos.
SOLUCIÓN
Estructura hiperestática de 2° grado
Libero las restricciones debido al apoyo A que es un empotramiento
perfecto.
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 6
δB=0.11295cm
δB≈0.113 cm
RB=2000 (0.113−0.1 ) Kg=2000 (0.013)
RB=26Kg
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Momentos genéricos en las secciones , y
Sección
Sección
Sección
Por simetría físico (geométrica) y asimetría de cargas
Además:
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 7
- 11
EId2 ydx2
=R A x−M A
EIdydx
=RAx2
2−M A x+C1……………….(1)
EIy=R Ax3
6−M A
x2
2+C1 x+C2……….(2)
- 22
EId2 ydx2
=R A x−M A−P(x−a)
EIdydx
=RAx2
2−M A x−
P2
( x−a )2+C3……………….(3)
EIy=R Ax3
6−M A
x2
2−P6
( x−a )3+C3 x+C4……….(4)
- 11 - 22 - 33
0≤ x≤a M=M A x−M A
a≤ x≤3a M=M A x−M A−P(x−a)
- 33 3a≤ x≤4 a M=??
[ R A=RB
M A=M B]
∑F v=0
RA−P+P−RB=0
RA=RB
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Cálculo de las constantes de integración de acuerdo a las condiciones de frontera para:
Remplazando los valores de las constantes en las expresiones (1 ) , (2 ) , (3 ) ,(4) tendremos:
Estas expresiones por sí solas no resuelven el problema, porque si bien nos brindan las ecuaciones de giros y flechas, se encuentran en función de RA y M A; por lo que resulta necesario emplear las expresiones (5 ) ,(6), y
calcular el valor de las constantes C5 y C6.
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 8
M A=MB
⟶ x=4 a⟶ dydx
=0⟶ (5 ) C5=−4 M Aa
EId2 ydx2
=−R A (4 a−x )+M A
EIdydx
=RA
(4a−x)2
2+MA x+C5………………(5)
EIy=−R A
(4 a−x )3
6+M A
x2
2+C5 x+C6…….(6)
x=0 y=0 dydx
=0
x=0
x=adydx izq
=dydx der
C1=C3∴
x=a C1a+C2=C3a+C4∴
EIdydx
=RAx2
2−M A x………………………….(I )
EIy=R Ax3
6−M A
x2
2………………………….(II )
EIdydx
=RAx2
2−M A x−
P2
( x−a )2………….( III )
EIy=R Ax3
6−M A
x2
2−P6
( x−a )3………….(IV )
C1=0
y izq= yder
C2=0
C3=0
C4=0
(1 ) :⟹ (2 ) :⟹
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Reemplazando el valor de C5 en la expresión anterior, obtenemos:
Remplazando esos últimos valores de las constantes en (5) y (6) y considerando las expresiones anteriores (I), (II), (III), (IV) tendremos:
Cálculo de las reacciones:
Resolviendo simultáneamente (α) y (β):
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 9
⟶ x=4 a⟶ y=0⟶ (6 ) −8M Aa2=−4C5a+C6
C6=8M Aa2
EIdydx
=RAx2
2−M A x…………………………………………….(I )
EIy=R Ax3
6−M A
x2
2…………………………………………….( II )
EIdydx
=RAx2
2−M A x−
P2
( x−a )2…………………………….(III )
EIy=R Ax3
6−M A
x2
2−P6
( x−a )3…………………………… ..(IV )
EIdydx
=RA
(4a−x)2
2+MA x−4M Aa………………………….(V )
EI y=−RA
(4 a−x)3
6+M A
x2
2−4M Aax+8M Aa
2………….(VI )
y=0 (IV): P a6
=43R Aa−2M A (α )
dydx
¿izq=dydx
¿der (III) y (IV) respectivamente
−2 Pa2=−4 RAa2+2M Aa (β )
x=3a
RA=11P16
M A=3 Pa8
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
EJERCICICO 03.
Calcular la flecha en la sección “C” y el giro en la sección “B” de la viga. Considere que “q”, “a”, “E”, e “I” son conocidos.
CARGA PARABÓLICA
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 10
CARGA TRIANGULAR
Donde debemos determinar el valor de la constante “k”; por las condiciones de frontera: Para el punto “B” que pertenece a la curva, tiene como coordenadas
q(x )x
=qa
q ( x )=x ( qa)
q ( x )=qax
y '=−k x '2 (1 ) ;
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Luego la ecuación de la parábola, para los ejes y ' y x 'será:
Para:
ESTRUCTURA ISOSTÁTICA
+∑M A=0→−MA−A1( 23 a)−A2(a+ 38 a)+RB (2a )=0
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 11
(1)y '=−q
x '=a
−q=−k (a)2 k=q
a2
y '=−q
a2x '2 (2 )
x=x '+a⟶
y=q ( x )=q−(− y ')
y=q+ y '⟶
i)
ii)
x '=x−a… (α )
y '= y−q…( β)
(α ) y (β )→(2) y−q=−q
a2( x−a )2
y=q− q
a2( x−a )2
y=q[1− ( x−a )2
a2 ]q( x)=q [1− (x−a )2
a2 ]
RB=A1+A1∑ Fv=0⟶
A1=Area del ∆
A2=Area de la ParábolaRB=qa2
+23qa
RB=76qa A1=
qa2
A2=23qa
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
−M A−( qa3 )(23 a)−( 23 qa)(a+ 38 a)+(76 qa) (2a )=0
M A=−qa2
3−( 23 qa)(118 a)+ 73 qa2
M A=−qa2
3−1112
qa2+ 73qa2
M A=−2qa2−1112
q a2
Aplicación de la ecuación diferencial de la línea estática
Sección 1 – 1
M=M A [12 ( qxa )( x )]( x3 )
M=M A−q x3
6a; pero MA=13
12qa2
EId2 ydx2
=1312
qa2−q x2
6a
Sección 2 – 2
Donde
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 12
M A=1312
qa2
0≤ x≤a
M=1213
q a2−q x2
6a
EIdydx
=1312
q a2 x− q24 a
x0+C1…………………………… (I )
EI y=1324
q a2 x2− q x5
120a+C1 x+C2……………………… ( II)
a≤ x≤2a
M=RB (2a−x )−[ 23 (qx ) (2a−x )] x [ 38 (2a−x )]Área Centroide
M=RB (2a−x )−{23 x q[1− ( x−a )2
a2 ] (2a−x )}[ 38 (2a−x )]M=RB (2a−x )− q
4 a2[a2−( x2−2xa+a2)] (2a−x )2
q ( x )=q[1− ( x−a )2
a2 ]
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Ordenada:
CONDICIÓN DE BORDE:
x=0→ dydx
=0→ ( I )→C=0
x=20→ y=0→ (IV ) :
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 13
M=RB (2a−x )− q
4a2[−x4+6a x3−12a2 x2+8a3 x ]
EIdyda
=RB
(2a−x )2
2− q4 a2 (−x5
5+3 ax
4
2−4 a2 x3+4a3 x2)+C3… (III )
EIy=+RB
(2a−x )2
6− q4a2 (−x6
30+ 3ax
5
10−a2 x4+ 4
3a3 x3)+C3 x+C4(IV )
M=RB (2a−x )−{23 x q[1− ( x−a )2
a2 ] (2a−x )}[ 38 (2a−x )]M=RB (2a−x )− q
4 a2[a2−( x2−2xa+a2)] (2a−x )2
EId2 yd x2
=RB
(2a−x )2
2− q4a2
(−x4+6 ax3−12a2 x2+8a3 x)
EIdydx
=RB
(2a−x)2
2− q4 a2 (−x5
5+ 6ax
4
4−12x2 x
2
3+8 a3 x
2
2 )+C3EIy=+RB
(2a−x )2
6− q4a2 (−x6
30+ 6ax
5
20−12a
2 x4
3+8a3 x
2
2 )+C3 x+C4
0=0− q4a2 (−64a
6
30+ 310
a6 x 32−a6 x 16+ 43a6 x 8)+2aC3+C4
0=−qa6
4a2 (−6430 + 9610
−16+ 323 )+2aC3+C4
0=−qa6
4a2 (−64+288−480+23030 )+2aC3+C4
0=−qa6
4a2(64 )+2aC3+C4
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 14
8qa4
15=2aC3+C4
... A
M Aa−q24 a
a4=−RBa2
2− q4 a2 (−a5
5+ 32a5−4c5+4 c5)+C3
M Aa−q24 a
a3=−RBa2
2− q4a2
¿
M Aa−q24 a
a3=−RBa2
2−¿
M A=1312
qa2
RB=76qa
1312
q a3−qa3
24+ 7qa
3
12+( 13q a340 )=C3
2012
q a3−qa3
24+(13q a340 )=C3
q a3( 200−5+39120 )=C3
q a3( 234120 )=C3
q a3( 11760 )=C3⟶
C3=( 3920 )q a3 ... B
(B )⟶ ( A ) :
−10130
q a4=C4
815
q a4=2a( 11760 qa3)+C4
815
q a4−11760
q a4=C4
qa4
30(16−117 )=C4⟶
; PERO:
0=0− q4a2 (−64a
6
30+ 310
a6 x 32−a6 x 16+ 43a6 x 8)+2aC3+C4
0=−qa6
4a2 (−6430 + 9610
−16+ 323 )+2aC3+C4
0=−qa6
4a2 (−64+288−480+23030 )+2aC3+C4
0=−qa6
4a2(64 )+2aC3+C4
⟶ x=a→dydx
/ izquierda=dydx
/derecha
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 15
... C
EIy=76qa( (2a−x )3
6 )− q
4a2 (−x6
30+ 3ax
5
10−a2 x4+ 4
3a3 x3)+ 11760 qa3 x−101
30q a4
δc→ x=a :
δc= 1EI { 736 q a4− q
4a4 [−a6
30+ 3a
6
10−a6+ 4
3a3 x3]+ 11760 q a4−101
30qa4}
δc= 1EI { 736 q a4−qa4
120[−1+9−30+40 ]+ 117
60qa4−101
30q a4}
δc=qa4
EI { 736−118120 +11760
−10130 }
δc= q a4
360EI{70−54+702−1212 }
δc= q a4
360EI{−494 }⟶ δc=( −494
360 EI )( qa4
EI )=1.37 2̂ qa4EI
EIdydx
=−76qa ( (2a−x )2
2 )− q
4 a2 (−x5
5+ 32ax4−4 a2 x3+4 a3 x2)+11760 qa3
θ→x=2a
θB=1EI {−q
4 a2 [ 325 a5+ 32aa416−32a5+16a5]+ 11760 q a3}
θB=1EI {−qa3
4 [−325 +24−32+16 ]+11760 qa3}θB=
1EI {−qa3
4 [−325 +8 ]+11760 qa3}θB=
1EI {−qa3
4 [−32+405 ]+ 11760 qa3}θB=
1EI {−8qa320
+ 11760
qa3}θB=
1EI {−qa3
4 [−32+405 ]+ 11760 qa3}θB=
qa3
EI {−24+11760 }
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
CONDICIONES DE FRONTERA O DE BORDE
Apoyo móvil Apoyo fijo Apoyo
Empotrado
θA≠0 θA≠0 θA=0 δ A=0
δ A=0 δ A=0
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
EJEMPLO 01: Calcular el giro y la flecha en el extremo libre de la viga
mostrada.
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 16
θB=( 9360 ) qa3
EI=1.55 qa
3
EI
Giros
Horario = (-) Antihorario=
(+)
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
1) Trabajando por la derecha
2) De derivada segunda de “y” con respecto a “x”
3) Cálculo de la constante de integración: de acuerdo a la condición
de frontera.
En apoyo “A”
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 17
M=−W (L– x )2
2
MMN=M=−W (L−x )(L−x )2
=−W(L−x )2
2
M=EId2 yd x2
EId2 yd x2
=−W(L−X )2
2
EId yd x
=−W∫ (L−X )2
2dx
EIy=−W(L−X )4
24+C1 x+C2
EId ydx
=+W(L−X )3
6+C1
EIy=+W∫ (L−X )3
6dx+C1∫dx+C2
… (1)
… (2)
θA=0
δ A=0(1) ,(2)
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
En (2)
4) Sustituyendo las constantes en (1) y (2) se tiene:
5) 5.1) Giro en “B”:
En (1)
5.2) Flecha en “B”:
En (2)
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 18
c2=WL4
24
↓δB=−18
WL4
EI
θB=−WL3
6 EI
c1=−WL3
6
x=0
0=W(L−0)3
6+c1
0=WL3
6+C1⟶
x=0⟶ y=0
0=−WL4
24−WL3
6(0)+C2
EId yd x
=W(L−X )3
6−W L3
6…(I )
EIy=−W(L−X )4
24−W L3
6x+W L4
24…( II )
Ecuacion del giro
Deformada = línea elástica.
x=L⟶ dydx
=θB
→EI θB=W (0)−WL3
6
x=L⟶ y=δB
EI δB=−W (0)−WL4
6+WL
4
24
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Ejemplo (2) determinar la deflexión máxima de la viga mostrada.
1) Trabajando por la izquierda:
1.1)
1.2)
2)2.1)
2.2)
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 19
M= PbL
x
0≤ x≤a
a≤ x≤ L
M= PbL
x−P(x−a)
0≤ x≤a⟶M=EId2 yd x2
EId2 yd x2
= PbL
x
EId ydx
= PbL
x2
2+c1
EIy= PbL
x3
6+c1 x+c2
… (1)
… (2)
a≤ x≤ L⟶M=EId2 yd x2
EId2 yd x2
= PbL
x−P(x−a)
EId ydx
= PbL
x2
2−P
(X−a)2
2+c3
EIy= PbL
x3
6−P(X−a)3
6+c3 x+c4
… (3)
… (4)
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
3) Cálculo de las constantes de integración de acuerdo a las condiciones
de frontera. Para
Sustituyendo:
)
)
)
)
Resolviendo simultáneamente el sistema:
De
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 20
c2=0
c1a=c3a+c4
c1 ¿c3
x=0 : y=0
x=L : y=0
x=a :{ y= ydydx
=dydx
x=0⟶ y=0⇝(2)
0=0+0+C2⟶ … (α )
x=L⟶ y=0⇝(4)
0=Pb L2
6−Pb3
6+c3L+c4⟶ Pb3
6−Pb L2
6=c3L+c4 … (β)
x=a⟶ y= y⇝ (2 ) y (4)
PbL
a3
6+c1a+c2=P
ba3
6 L−0+c3a+c4
… (γ )
x=a⟶ dydx
=dydx⇝de (1 ) y (3)
PbL
a2
2+c1=
Pba2
2 L−0+c3⟶ … (ϕ)
(α ) , ( γ ) y (ϕ)C4=0C1=C3C2=0
Nuevo resumen
¿c1¿c3?
(β )⟶c3=Pb3
6 L− PbL6
c3=c1=Pb6
( b2
L−L)
c3=c1=Pb6 L
(b2−L2)
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Resumido:
4) Ecuaciones finales de las deformaciones Angulares y lineales
4.1)
4.2)
5) Deflexión Máxima (δ máx)
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 21
c1=c3=Pb6 L
(b2−L2)
c2=0
c4=0
EId ydx
= PbL
x2
2+ Pb6 L
(b2−L2)
EIy= PbL
x3
6+ Pb6 L
x (b2−L2)
0≤ x≤a
a≤ x≤ L
… (I )
… (II )
EIdydx
=Pb x2
2L−P
(X−a)2
2+ Pb6 L
(b2−L2)
EIy= Pbx3
6 L−P
(X−a)3
6+ Pb6 L
x (b2−L2)
… (III )
… (IV )
De ( I ) para dydx
=0⟶ y=δmáx
0=Pb x2
2L+ Pb6 L
(b2−L2 )
−Pb6 L
(b2−L2 )=Pb x2
2 L
X2=(L2−b2)3
x=√¿¿¿ … (ε )
(ε )⇝(II )
EIδmax=Pb6 L
(L2−b2)3 √(L2−b2)
3+Pb6 L √ (L¿¿2−b2)
3(b2−L
2 )¿
¿Pb6 L
(L2−b2 )3 √ (L2−b2)
3−Pb6 L √ (L2−b2 )
3(L2−b2 )
¿Pb6 L ( L
2−b2
3 )√ (L2−b2 )3
(1−3 )
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Ejemplo (3): En la viga mostrada, calcular el ángulo de giro de la sección sobre el apoyo A.
Solución tipo A
1. Conocemos:
2.2.1
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 22
δmax=−Pb3 LEI ( L
2−b2
3 )3/2
EIδmax=Pb6 L
(L2−b2)3 √(L2−b2)
3+Pb6 L √ (L¿¿2−b2)
3(b2−L
2 )¿
¿Pb6 L
(L2−b2 )3 √ (L2−b2)
3−Pb6 L √ (L2−b2 )
3(L2−b2 )
¿Pb6 L ( L
2−b2
3 )√ (L2−b2 )3
(1−3 )
{ dMdx =V
dVdx
=+p }p=+q ( x )=+q ( xl )
2
p=+q( xl )2
=dVdx
dVdx
=+ql2
x2
dV=+ql2
x2dx
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
2.2
2.3
3) Cálculo de las constantes de integración: de acuerdo a condiciones de frontera:
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 23
V=+q x3
3 l2+C1
M= +q12l2
x4+C1 x+C2
EIy=+q x6
360 l2+C1
x3
6+C2
X2
2+C3 x+C4
En (2 )→x=0→M=0∴C2=0
EIdydx
=+q x5
60 l2+C1
x2
2+C2 x+C3
p=+q ( x )=+q ( xl )2
p=+q( xl )2
=dVdx
dVdx
=+ql2
x2
dV=+ql2
x2dx
… (1)
dMdx
=V
dMdx
=+q x2
3l2+C1
dM=(+q x33 l2+C1)dx
… (2)
M=E Id2 yd x2
EId2 yd x2
= q x4
12 l2+C1 x+C2
… (3)
… (4)
x=0→M=0
x=0→ y=0
x=L→ y=0
x=L→dydx
=0
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Resolviendo simultáneamente
Sustituyendo en (3) el valor de los constantes tendremos:
4) Calculo de giro en “A”
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 24
(I) ecuación final de la deformación Angular
En (4 )→x=0→ y=0∴C4=0
En (4 )→x=L→ y=0∴− q l6
360=C1 l
3
360+C3l
C1=−5 ql120
Y C3=+q l3
240
θA=+q l3
240EI
En (4 )→x=L→dydx
=0∴−q l3
60=C1l
2
2+c3
EIdydx
=+q x5
60 l2− 5ql240
x2+ q l3
240
Para : x=0→dydx
=θA
EI θA=+q l3
240
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
SOLUCIÓN TIPO B
Ecuación diferencial de la elástica:
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 25
M=−R A X+ 1q12 l2
x4
EIdydx
=−RAx2
2+ 160
q x5
l2+C1
EIy=−R Ax3
62+ 1360
q x6
l2+C1 x+C2
MEI
=d2 yd x2
..(G)
M=−R A X+[q ( xl )2 x3 ] 1x4 =−RA X+ q x4
12 l2
… (I )
MEI
=d2 yd x2
M=EId2 yd x2
=−RA X+ q x4
12l2
EId2 yd x2
=−R A X+ q x4
12l2
EId2 yd x2
=−R Ax2
2+ 112
ql2x5
5+C1
… (II )
… (III )
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Condiciones de frontera
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones tendremos:
Remplazando las expresiones anteriores en (II) tendremos:
Ecuación final de las deformaciones angulares o giros.
Ordenando y simplificando:
Cálculo del giro en A:
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 26
EIdydx
= q60
x5
l2+5ql X
2
240++q l3
240…(IV )
EIdydx
=+5ql120
X2
2+ 160
qx5
l2+ q l3
240
RA=+5ql120
C1=q l3
240
… (III )
… (III )
… (II )
a¿ x=0→δ A=0
b¿ x=L→dydx
=θB=0
c ¿ x=L→δ b=0
x=0⟶δ A=0 (III ) :
0=−RA0+0+0+C2⟶ C2=0
x=l⟶δB=0 ( III ) :
0=−RAl3
6+ 1360
q l4+C1 l+C2⟶ +RAl2
6−C1=
ql3
360
x=l⟶ dydx
=0⟶ ( II ) :
0=−R A l
2
2+ 160
q l3+C1⟶−RA l
2
2+C1=
−160
q l3
x=0⟶ dydx
∕ x=0=θ A
EI θA=q l3
240
MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA
Para
Rpta
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES 27
θA=q l3
240EI