Post on 27-Aug-2021
Universidad Simón Bolívar
Mecánica de Materiales II:Relaciones constitutivas Esfuerzo – Deformación
Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar
Universidad Simón Bolívar
• Conceptos• Conceptos
• Ley de Hooke• Ley de Hooke
• Módulo de Young• Módulo de Young
• Módulo de Poisson• Módulo de Poisson
• Relaciones• Esfuerzo – Deformación• Deformación - Esfuerzo
• Relaciones• Esfuerzo – Deformación• Deformación - Esfuerzo
• Estado plano• De Esfuerzos• De Deformaciones
• Estado plano• De Esfuerzos• De Deformaciones
ContenidoContenido
Universidad Simón Bolívar
Material Homogéneo:Material que tiene propiedades iguales en cada uno de sus puntos
Material Elástico:Material que recupera completamente sus dimensiones originales alretirar las cargas que produjeron las deformaciones
Material Lineal:Material en el cual las deformaciones producidas por la acción de unestado de cargas son muy pequeñas (< 0,1%)
Isótropo:Material en el que las propiedades físicas son iguales en todas lasdirecciones
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
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Elástico
Lineal
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Universidad Simón Bolívar
Para un material homogéneo, elástico, lineal e isotrópico,la matrizde deformaciones depende linealmente de la matriz de esfuerzos:
yzxzxyzyxyz
yzxzxyzyxxz
yzxzxyzyxxy
yzxzxyzyxz
yzxzxyzyxy
yzxzxyzyxx
ffffff
ffffff
ffffff
ffffff
ffffff
ffffff
τττσσσγτττσσσγτττσσσγ
τττσσσετττσσσε
τττσσσε
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
[ ]nmf = matriz de flexibilidad
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Universidad Simón Bolívar
De manera similar, es posible expresar los valores de los esfuerzosen dependencia lineal de las deformaciones:
yzxzxyzyxyz
yzxzxyzyxxz
yzxzxyzyxxy
yzxzxyzyxz
yzxzxyzyxy
yzxzxyzyxx
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσ
γγγεεεσ
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
[ ]nmk = matriz de rigidez
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Universidad Simón Bolívar
Supongamos una barra sometida a tracción:
y
z x
xx f σε ⋅= 11
xy f σε ⋅= 21
xz f σε ⋅= 31
Ley de Hooke(1678)
Robert Hooke (1635-1703): científicoinglés quien descubrió laproporcionalidad entre las cargas y losalargamientos experimentando conalambres y resortes.
ConceptosLey de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Universidad Simón Bolívar
A principios del siglo XVIII cuando elcientífico inglésThomas Young (1773-1829)introdujo el concepto de Módulo deElasticidad, como la constante deproporcionalidad entre los esfuerzos ydeformaciones
x
xEεσ=
El Módulo de Young, como también se leconoce, fue medido por primera vez por elcientífico francésLouis Navier (1785-1836)en 1826.
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Universidad Simón Bolívar
En 1830 el científico francésSimeón Poisson(1781-1829) demostró que :
Ex
x
σε =
xzy ενεε ⋅−==
Concluyendo que:
Ef
111 =
Eff
ν−== 3121
Al coeficiente νννν se le conoce comoMódulo de Poisson y para el caso deesfuerzos uniaxial descrito lasexpresiones son:
xy Eσνε ⋅= xz E
σνε ⋅=
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson
Relaciones Estado plano
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De esta manera volvemos a las expresiones generales querelacionan las deformaciones:
yzxzxyzyxyz
yzxzxyzyxxz
yzxzxyzyxxy
yzxzxyzyxz
yzxzxyzyxy
yzxzxyzyxx
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσ
γγγεεεσ
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
[ ]nmk = matriz de rigidez
Los coeficienteskij son 36 propiedades elásticas del materialtotalmente imprácticas de medir experimentalmente.Por lo que para un material homogéneo, isótropo, elástico y lineal,es posible demostrar que con 2 propiedades es suficiente.
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Universidad Simón Bolívar
Si un material es homogéneo, elástico, lineal e isótropo, entonceslos esfuerzos y deformaciones en cada punto están relacionados através de las siguientes ecuaciones:
( )zyxxx G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2
( )zyxyy G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2
( )zyxzz G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2
xyxy G γτ ⋅⋅= 2
xzxz G γτ ⋅⋅= 2
yzyz G γτ ⋅⋅= 2
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Teorema
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Donde λ y G son las dos propiedadeselásticas del material conocidos comoconstantes de Lamé.En honor al ingeniero francés GabrielLamé (1795-1870), cuyas expresionesson:
( ) ( )νννλ
⋅−⋅+⋅=
211
E
( )v
EG
+⋅=
12
Al sustituir en las expresiones anteriores se tiene:
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Teorema
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( )
++⋅⋅−
+⋅+
= zyxxx
E εεεν
νεν
σ211
( )
++⋅⋅−
+⋅+
= zyxyy
E εεεν
νεν
σ211
( )
++⋅⋅−
+⋅+
= zyxzz
E εεεν
νεν
σ211
xyxy
E γν
τ ⋅+
=1
xzxz
E γν
τ ⋅+
=1
yzyz
E γν
τ ⋅+
=1
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Esfuerzo - Deformación
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( )zyx
x EEσσνσε +⋅−=
( )zxy
y EEσσνσ
ε +⋅−=
( )yxz
z EEσσνσε +⋅−=
xyxy Eτνγ ⋅+= 1
xzxz Eτνγ ⋅+= 1
yzyz Eτνγ ⋅+= 1
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones Estado
plano
Deformación - Esfuerzo
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yx
x EEσνσε ⋅−=
xy
y EEσνσ
ε ⋅−=
( )yxz Eσσνε +⋅−=
xyxy Eτνγ ⋅+= 1
0=xzγ
0=yzγ
[ ]yxx
E ενεν
σ ⋅+⋅−
=21
[ ]xyy
E ενεν
σ ⋅+⋅−
=21
0=zσ
xyxy
E γν
τ ⋅+
=1
0=xzτ
0=yzτ
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones
Estado plano
Estado plano de esfuerzos
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( ) ( ) ( )[ ]yxx
E ενεννν
σ ⋅+⋅−⋅⋅−⋅+
= 1211
xyxy
E γν
τ ⋅+
=1
0=xzτ
0=yzτ
( ) ( ) ( )[ ]xyy
E ενεννν
σ ⋅+⋅−⋅⋅−⋅+
= 1211
( ) ( ) [ ]yxz
E εενν
νσ +⋅⋅−⋅+
⋅=211
( )[ ]yxx Eσνσννε ⋅−⋅−⋅+= 1
1
0=zε
xyxy Eτνγ ⋅+= 1
0=xzγ
0=yzγ
( )[ ]xyy Eσνσννε ⋅−⋅−⋅+= 1
1
Conceptos Ley de Hooke
Módulo de Young
Módulo de Poisson Relaciones
Estado plano
Estado plano de deformaciones