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Apuntesde
Mecánica Teórica
José Agustín García García
Badajoz, enero de 2010.
Índice general
1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales 1
1.1. Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Desplazamiento y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2. Trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Cálculo de la energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Geometrización de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1. Las coordenadas no dependen explicitamente del tiempo . . 9
1.6.2. Las coordenadas gi dependen explicitamente del tiempo . . 12
1.7. Ecuaciones de Lagrange en Coordenadas Naturales . . . . . . . . . . 13
1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Fuerzas de ligadura 19
2.1. Fuerzas dadas y fuerzas de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Fuerzas de ligadura ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Fuerza de ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Fuerzas de ligadura no holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Componentes generalizadas de las fuerzas holónomas y no holónomas 24
2.6. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ii ÍNDICE GENERAL
3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y anholónomos 31
3.1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos . . . . . . . . . . 31
3.1.1. Componentes generalizadas de la fuerza en sistemas holónomos 33
3.2. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos . . . . . . . . . . 34
3.2.1. Relación entre las ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales y las ecuaciones de
3.2.2. Determinación de la fuerzas de ligadura en sistemas holónomos 36
3.3. Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos . . . . . . . . . 44
3.4. Potenciales generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5. Formulación covariante de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . 55
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Principios disponibles para la integración 63
4.1. Forma explícita de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Integración de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3. Sistemas con coordenadas ignorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4. Simetrías y propiedades de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6. Leyes de conservación para lagrangianos gauge-variantes . . . . . . 80
4.6.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7. Introducción a los sistema dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.1. Sistemas no autonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.2. Estabilidad de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.7.3. Sistemas casi lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5. Dinámica hamiltoniana 95
5.1. Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.1. Coordenadas ignorables en la formulación hamiltoniana . . 102
5.3. Una introducción a la geometría simplética . . . . . . . . . . . . . . 104
6. Principios Variacionales 111
6.1. Principio de D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3. El principio de Hamilton para fuerzas que no proceden de un potencial119
ÍNDICE GENERAL iii
6.4. Obtención de las ecuaciones canónicas de Hamilton . . . . . . . . . 121
6.5. Expresión de la función principal de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 122
6.6. Simetría y acción. El teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.6.1. Invariancia gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.7. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.8. Una introducción a la mecánica lagrangiana para medios continuos152
7. Teoría de transformaciones 157
7.1. Transformaciones de Contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.1. Transformaciones de contacto para un número cualquiera de dimensiones163
7.2. Formulas explicitas para las transformaciones de contacto . . . . . 164
7.3. Solucciones alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4. Relaciones entre las derivadas parciales de los dos conjuntos de variables170
7.5. Algunos ejemplos de transformaciones de contacto . . . . . . . . . . 172
7.5.1. Transformación puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.5.2. Transformación identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.5.3. Transformación de permutación . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.5.4. Transformación de contacto infinitesimal . . . . . . . . . . . 174
7.6. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.7. Teorema de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8. Corchetes de Poisson 183
8.1. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.1.1. Algunas propiedades de los corchetes de Poisson . . . . . . . 185
8.1.2. Las ecuaciones del movimiento en término de los corchetes de Poisson187
8.1.3. Corchetes de Poisson y Transformaciones de contacto infinitesimales189
8.2. Corchetes de Poisson cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9. El método Hamilton - Jacobi 197
9.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.2. La ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3. Sistemas autónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.4. Variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.5. El método de variación de las constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 215
iv ÍNDICE GENERAL
9.6. Relación entre la teoría de Hamilton – Jacobi y la mecánica cuántica225
10.Variables acción – ángulo 231
10.1.Sistemas ciclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.2.Variables acción ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.3.El movimiento del sistema en términos de las variables acción–ángulo234
11.Mecánica de medios continuos 245
11.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.2.Noción del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.3.Concepto de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
11.4.Imagenes euleriana y lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11.5.Derivada másica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11.6.Líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión . . . . . . . . . 254
11.6.1. Líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.6.2. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.6.3. Líneas de emisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.7.Estudio de la deformabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.7.1. Deformación del vector desplazamiento, vector superficie y volumen259
11.8.Velocidad de deformacion de los elementos de longitud, superficie y volumen262
11.9.Teorema de conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
11.10.Tensor velocidad de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.10.1.Tensor de Cauchy y Green–Venant . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.11.Teorema de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
11.12.Dinámica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.13.tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.14.Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
11.15.Principio de conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
11.15.1.Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido 305
A.1. Ecuaciones del movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
A.2. Teorema de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
A.3. Momentos cinético y lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
ÍNDICE GENERAL v
A.3.1. Teorema de Koenigs relativo al momento cinético . . . . . . . 311
A.4. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.4.1. Teorema de Koenigs relativo a la energía cinética . . . . . . . 314
A.5. Teorema de Steiner generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.5.1. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
A.6. Movimiento de dos sólidos en contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A.7. Teoremas generales de la mecánica del sólido rígido . . . . . . . . . 322
A.7.1. Trabajo de las fuerzas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.8. Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
B. Algunos conceptos de geometría diferencial 335
B.1. Concepto de espacio topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
B.2. Concepto de aplicación continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
B.3. Concepto de homeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
B.4. Concepto de carta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
B.5. Concepto de variedad topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
B.6. Concepto de transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 338
B.7. Variedades lisas. Difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
B.8. Algunos ejemplos de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
B.9. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
B.10.Una definición de vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
B.11.El espacio Tangente TP0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
B.12.Derivada direccional de una función. Otra definición de vector tangente347
B.13.El fibrado tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
B.14.Diferencial de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
B.15.Notacion de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
B.16.Vectores covariantes y contravariantes. El espacio de formas lineales359
B.17.Espacios euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
B.17.1.Subir y bajar indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
B.18.Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
B.19.Tensores covariantes antisimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
B.20.Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
B.20.1.Definición divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . 384
vi ÍNDICE GENERAL
B.21.Diferencial exterior de una forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . 386
B.22.Estructuras simpléticas sobre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . 387
B.23.El sistema de coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
B.24.Campos de vectores. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
B.25.Expresión del campo vectorial en el fibrado tangente . . . . . . . . . 402
B.26.Expresión en coordenadas naturales de la derivada de Lie . . . . . . 403
Capítulo 1
Ecuaciones de Lagrange para
sistemas elementales
1.1. Coordenadas Generalizadas
Vamo en este capítulo introductorio a analizar las ecuaciones del movimien-
to en coordenadas generalizadas como paso previo para el análisis de las ecua-
ciones de Lagrange.
Para ello consideremos un sistema de N partículas cada una de ellas con
masas m(n). Con referencia a un sistema de referencia inercial con un sistema
de coordenadas ortogonales euclídeas, las ecuaciones del movimiento de la n-
éxima partícula toma la forma
m(n)xi (n)= fi (n), i = 1,2,3, n = 1, . . . ,N
siendo xi (n) la i-éxima componente euclídea de la n-éxima partícula y fi (n) la
i-éxima componente euclídea de la fuerza aplicada sobre la n-éxima partícula.
Vamos a introducir una nueva notación y pasar de estudiar nuestro problema
2 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales
en un espacio de 3 dimensiones a uno de 3N dimensiones. Para ello hagamos
xi (n) ≡ x3(n−1)+i
fi (n) ≡ f3(n−1)+i
m(n) ≡ m3n−2
≡ m3n−1
≡ m3n
de tal forma que las posiciones de las N partículas vienen dadas por un vector
x = x1, . . . , x3N , y la fuerza por un vector f = f1, . . . , f3N . En estas condiciones
las ecuaciones del movimiento se escriben como
mi xi = fi i = 1, . . . 3N
1.2. Coordenadas generalizadas
En la sección anterior, se escribieron las ecuaciones del movimiento en un
sistema euclídeo, ahora bien no necesariamente tenermos que especificar las
coordenadas de las particulas en un sistema euclídeo, podemos utilizar un sis-
tema de coordenadas cualesquiera, donde las posiciones de las partículas venga
dada por un conjunto de 3N coordenadas g 1, g 2, . . . , g 3N , llamadas coordenadas
generalizadas. La única condición que se exige, desde un punto de vista mate-
mático, para que podamos emplear este nuevo sistema es que el jacobiano de la
transformacion x i → g j sea distinto de cero, en al menos un punto, lo que nos
garantiza por el teorema de la función implícita que la transformación de coor-
denadas es un difeomorfismo (existe la aplicación inversa, es continua y deriva-
da continua) en un entorno del punto. Así mismo, designaremos por g i , . . . , g 3N
las componentes generalizadas de la velocidad. Al espacio donde se definen las
coordenadas generalizadas se le denomina espacio de las configuraciones
1.3 Desplazamiento y trabajo virtual 3
1.3. Desplazamiento y trabajo virtual
1.3.1. Desplazamiento virtual
Consideremos dos confifuraciones del sistemas infinitamente próximas
g i , . . . , g 3N y g i +δg i , . . . , g 3N +δg 3N
Se denomina desplazamiento virtual al paso de una configuración del sistema a
otra infinitamente próxima en un instante t . Designaremos por δg el vector des-
plazamiento virtual. Se diferencia este desplazameinto virtual respecto de uno
real en que este último se realiza en un tiempo δt mientras que el primero es
instantaneo. Así mismo, el desplazamiento virtual no corresponde en general
con el desplazamiento que sufre el sistema como resultado de las fuerzas ac-
tuando sobre él. Un ejemplo claro de esta situación se da cuando el sistema esta
sometido a ligaduras que dependen del tiempo. Considerar una partícula que
está situada sobre una mesa giratoria, que gira con velocidad angular constante
ω. Considerar un desplazamiento que consiste en una variación del radio. En
un desplazamiento virtual únicamente varía la distancia al centro de la partícu-
la. En un desplazamiento real varían tanto la distancia al centro como el ángulo
respecto de un recta fija en el plano.
1.3.2. Trabajo virtual
Consideremos un desplazamiento virtual, denominaremos trabajo virtual al
producto escalar de la fuera por el desplazamiento
δW = F ·δg (1.1)
en un sistema de coordenadas cartesianas la anterior expresión foma la forma
δW = fiδx i
4 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales
en un sistema de coordenadas cualesquiera, g i la anterior expresión toma la
forma
δW =Giδg i
donde Gi son las componentes covariantes en el sistema g i de la fuerza actuan-
do sobre el sistema (esto es sobre cada partícula del sistema)1
Puesto que el desplazamiento virtual se realiza en un instante t , a la hora de
evaluar el trabajo virtual emplearemos el valor de la fuerza en dicho instante.
Dado que Gi son las componentes covariantes de la fuerza, si empleamos
otro sistema de coordenadas g i , las componentes cavariantes de la fuerza en
este nuevo sistema de coordenadas se pueden obtener a partir de la antiguas
mediante la ecuación
Gi =∂g j
∂g iG j (1.2)
Tenemos que destacar que las componentes covariantes Gi de la fuerza no
tienen siempre dimensiones de fuerza, depende de las dimensiones de la coor-
denada g i . Así por ejemplo si g i es un ángulo, Gi tiene dimensiones de momen-
to. Es posible obtener lo que se llaman componentes físicas de la fuerza a partir
de sus componentes covariantes. Para ello lo único que tenemos que hacer es
calcular las componentes covariantes no en la base general g i si no en una base
unitaria obtenida a partir de la base general. Para obtener la base unitaria basta
dividir cada vector base gi por su longitud. Como se demustra en el apendice
B, si gi j son las componentes del tensor métrico, las componentes físicas de la
fuerza se pueden obtener mediante la expresión
Fi =G j g i jpgi i
y en el caso de que el sistema sea ortogonal g i j = δi j (1/g j j ), de donde
Fi =Gi /p
gi i
Así pues para obtener las componentes covariantes de la fuerza en un sis-
1Empleamos aquí la notación de Einstein, en la que un índice repetido indica una suma en elíndice. Tenemos
∑
i fi x i = fi x i .
1.4 Ecuaciones de Lagrange 5
tema basta calcular el trabajo virtual y ver cuales son los coeficientes de cada
desplazamiento virtual.
1.4. Ecuaciones de Lagrange
Considerar un sistema dinámico con N partículas, el movimiento de cada
partícula viene gobernada por una una ecuación del tipo mi xi = fi en un sis-
tema de coordenadas cartesiano euclídeo ortonormal. El propósito de esta sec-
ción es generalizar estas ecuaciones para un sistema de coordenadas cualquiera
g i . El término sistema elemental designa un sistema dinámico conteniendo un
número de partículas conocido sobre el que actua un sistema de fuerzas cono-
cidas. Antes de comenzar la demostración de la obtención de las ecuaciones de
Lagrange vamos a demostrar dos lemas que nos van a permitir obtener dichas
ecuaciones. Estos dos lemas nos van a permitir pasar del espacio de las confi-
guraciones que vamos a suponer que es una varidedad diferencial, al espacio
fibrado tangente.
Lema 1.4.1 Sean g ≡ g 1, . . . , g N y g′ ≡ g ′1, . . . , g ′N dos sistemas de coordena-
das generalizadas y g, g′ sus correspondientes velocidades generalizadas, se tie-
ne que∂g ′i (g, g, t )
∂g j=
d
dt
[
∂g ′i (g, t )
∂g j
]
(1.3)
y
Lema 1.4.2∂g ′i (g, g, t )
∂g j=
∂g ′i (g, t )
∂g j(1.4)
DEMOSTRACIÓN
Puesto que estamos suponiendo que el espacio de las configuraciones es una
variedad diferenciable, tendremos que el nuevo sistema de coordenadas será
una función del antiguo sistema y del tiempo
g ′k = g ′k (g j , t )
6 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales
Dado que las velocidades generalizadas son las componentes de un vector con-
travariante, en ambos sistemas estan relacionadas dadas por la expresión
g ′k =∂g ′k
∂g ig i +
∂g ′k
∂t
La anterior expresión nos muestra como obtener las componentes de la veloci-
dad (que es un vector del espacio tangente) en el sistema de coordenadas prima-
do a partir de sus correspondentes coordenadas en el sistema sin primar, pero
nos mantenemos en el espacio tangente. Vamos a considerar ahora que en la an-
terior expresión las coordenadas y las velocidades son independientes, esto es
consideramos a la expresión anterior como una expresión en el fibrado tangente
donde los elementos que pertenecen a él no solo dependen de las coordenadas
g j si no tambien de las velocidades generalizadas g j . Esto es supondremos que
g ′k = g ′k(g, g, t ). Derivando parcialmente respecto de g j manteniendo las velo-
cidades constantes, obtenemos
∂g ′k (g, g, t )
∂g j=
∂
∂g j
∂g ′k (g, t )
∂g ig i +
∂
∂g j
∂g ′k (g, t )
∂t=
=∂
∂g i
∂g ′k(g, t )
∂g jg i +
∂
∂t
∂g ′k(g, t )
g j=
d
dt
∂g ′k(g, t )
∂g j
como queriamos demostrar. Así mismo partiendo de la expresión de las veloci-
dades generalizadas, derivando parcialmente respecto de g j , tenemos
∂g ′k (g, g, t )
∂g j=
∂g ′k (g, t )
∂g i
∂g i
∂g j=
∂g ′k (g, t )
∂g iδi
j =∂g ′k (g, t )
∂g j
como queriamos demostrar.
Pasemos a estudiar ya cuales son las expresiones de las ecuaciones de La-
grange.
Teorema 1.4.1 Si un sistema dinámico compuesto de N partículas se mueve ba-
jo la acción de un conjunto de fuerzas conocido, función única de las posiciones
de las partículas, las ecuaciones del movimiento en coordenadas generalizadas
1.4 Ecuaciones de Lagrange 7
se puede poner como
d
dt
(
∂T (g, g, t )
∂g k
)
−∂T (g, g, t )
∂g k=Gk k = 1, . . . ,N (1.5)
DEMOSTRACIÓN
Partiendo de la segunda ley de Newton, en coordenadas cartesianas
mi xi = fi (x)
teniendo en cuenta que
mi xi =d
dt
∂
∂x i
[
1
2m j (x j )2
]
=d
dt
∂T (x, t )
∂x i
obtenemosd
dt
[
∂T (x, t )
∂x i
]
= fi (1.6)
siendo
T (x, t )=1
2m j (x j )2
la energía cinética. Multiplicando ahora por ∂x i
∂g j y sumando en i
d
dt
[
∂T (x, t )
∂x i
]
∂x i
∂g j=
∂x i
∂g jfi (x)
puesto que fi (x) son las componentes covariantes de la fuerza en el sistema car-
tesiano,∂x i
∂g jfi (x1, . . . , x3N )=Gi (g 1, . . . , g 3N )
serán las componentes covariantes de la fuerza en la nueva base, en cuanto al
primer miembro, tenemos
d
dt
[
∂T (x, t )
∂x i
]
∂x i
∂g j=
=d
dt
[
∂T (x, t )
∂x i
∂x i
∂g j
]
−∂T (x, t )
∂x i
d
dt
[
∂x i
∂g j
]
8 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales
teniendo en cuenta los lemas anteriores
d
dt
[
∂x i
∂g j
]
=∂x i (g, g, t )
∂g j
y∂x i
∂g j=
∂x i (g, g, t )
∂g j
sustituyendo, tenemos
d
dt
[
∂T (x, t )
∂x i
]
∂x i
∂g j=
d
dt
[
∂T (x, t )
∂x i
∂x i (g, g, t )
∂g j
]
−∂T (x, t )
∂x i
∂x i (g, g, t )
∂g j
=d
dt
[
∂T (g, g, t )
∂g j
]
−∂T (g, g, t )
∂g j
por lo que
d
dt
[
∂T (g, g, t )
∂g j
]
−∂T (g, g, t )
∂g j=G j , j = 1,2, . . . ,N (1.7)
que son las ecuaciones de Lagrange en coordenadas generalizadas. Puesto que
el miembro de la derecha representa la componente covariante de la fuerza, el
miembro de la izquierda representa la componente covariante de la aceleración
multiplicada por su correspondiente "masa". De los dos términos del primer
miembro, únicamente el primero aparece en la correspondiente expresión de
las ecuaciones de Lagrange en coordenadas cartesianas euclídeas, ver la ecua-
cion 1.6. El segundo término ha aparecido debido a que estamos en un sistema
de coordenadas no cartesiano y corresponde con los llamados símbolos de Ch-
ristoffel del análisis tensorial.
1.5. Cálculo de la energía cinética
Vamos a ver como poder calcular la energía cinética en un sistema de coor-
denadas cualesquiera, para ello tengamos en cuenta que
x i = x i (g, t )
1.6 Geometrización de las ecuaciones de Lagrange 9
de donde
x i =∂x i
∂g jg j +
∂x i
∂t
de donde
T =1
2mi x i x i =
1
2mi (
∂x i
∂g jg j +
∂x i
∂t)(∂x i
∂g kg k +
∂x i
∂t) =
T =1
2mi (
∂x i
∂g j
∂x i
∂g kg j g k )+mi (
∂x i
∂g j
∂x i
∂tg j )+
1
2mi (
∂x i
∂t)(∂x i
∂t)
que podemos poner como
T (g, g, t )=1
2T j k (g, t )g j g k +T j (g, t )g j +
1
2T0(g, t ) (1.8)
siendo
T j k = mi∂x i
∂g j
∂x i
∂g k
T j = mi∂x i
∂g j
∂x i
∂t
T0 = mi (∂x i
∂t)(∂x i
∂t)
1.6. Geometrización de las ecuaciones de Lagrange
1.6.1. Las coordenadas no dependen explicitamente del tiempo
En el caso que las coordenadas g i no dependan explicitamente del tiempo,
la energía cinética la podemos poner como
2T =Ti j g i g j
al ser 2T > 0, la anterior ecuación define una forma cuadrática definida positiva
con relación a las velocidades generalizadas. Se puede asociar al anterior siste-
ma dinámico un espacio de Riemann con una métrica definida por la ecuación
ds2 = 2T dt 2
10 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales
de donde
ds2 = Ti j dg i dg j (1.9)
A toda configuración del sistema le corresponde un punto M bien determi-
nado del espacio de configuración de tal modo que a todo movimiento del siste-
ma dinámico queda asociado el movimiento del punto M en el espacio rieman-
niano. Vamos a ver como traducir la dinámica del sistema en una dinámica del
punto M en el espacio de Riemann. En primer lugar las componentes contrava-
riantes de la velocidad del punto M vienen dadas por la expresión
v i =dg i
dt= g i
por lo que las componentes covariantes de la velocidad valen
vi = Ti j v j = Ti j g j
ahora bien, de la expresión de la energía cinética T,
Ti j g j =∂T
∂g i
de donde
vi =∂T
∂g i(1.10)
que como veremos más adeltante constituye la expresión de los momentos ge-
neralizados del sistema.
Vamos a relacionar las ecuaciones de Lagrange con las componentes cova-
riantes de la aceleración, para ello partiremos de la expresión
ai = gi h ah = gi h
(
dvh
dt+Γ
hpq vp vq
)
= gi hdvh
dt+ gi hΓ
hpq vp vq =
=d
dt
(
gi h vh)
−vh dgi h
dt+ gi hΓ
hpq vp vq
1.6 Geometrización de las ecuaciones de Lagrange 11
teniendo en cuenta que
vi = gi h vh , Γi ,pq = gi hΓhpq
y quedgi h
dt=
∂gi h
∂g lv l
obtenemos
ai =dvi
dt−vh ∂gi h
∂g lv l +Γi ,pq vp vq
substituyendo los índices mudos h, l por p, q
ai =dvi
dt−vp
∂gi p
∂g qvq +Γi ,pq vp vq
teniendo en cuenta la expresión de Γi ,pq en términos del tensor métrico
Γi ,pq =1
2[∂p gi q +∂q gi p −∂i gpq ]
donde ∂i gpq = ∂gpq /∂gi , podemos escribir
ai =dvi
dt+
1
2[∂p gi q −∂q gi p]vp vq −
1
2∂i gpq vp vq
ahora bien, el término entre corchetes es antisimétrico, intercambiando los ín-
dices p, q cambia de signo el término, y vp vq es simétrico por lo que su producto
contraido se anula, y por tanto
ai =dvi
dt−
1
2
∂gpq
∂g ivp vq .
Dada la expresión del tensor métrico
gpq = Tpq
tenemos
vi = gi j v j =Ti j g j =∂T
∂g i
12 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales
y1
2
∂gpq
∂g ivp vq =
1
2
∂Tpq
∂g ig p g q =
∂T
∂g i
pues T = (1/2)Tpq g p g q , por lo que
ai =d
dt
∂T
∂g i−
∂T
∂g i=Gi
siendo Gi la componente covariante de las fuerzas aplicadas. Por lo tanto en
nuestro espacio de Riemann, la partícula parece tener masa unidad.
Nota
Las componentes covariantes de la aceleracion no coinciden con la derivada
total covariante de las componentes covariantes de la velocidad pues
Dvp
Dt=
dvp
dt−Γ
ipq vi vq =
dvp
dt−Γ
ipq gi k vk vq =
dvp
dt−Γk ,pq vk vq
mientras que
ap =dvp
dt−
1
2
∂grs
∂g kvr vs
y
Γk ,pq 6=1
2
∂grs
∂g k
Se puede ver que∂grs
∂g k= Γs,rk +Γr,sk
1.6.2. Las coordenadas gi dependen explicitamente del tiempo
Las cosas ahora son similares al caso anterior con tal de introducir una nue-
va coordenada g 0 dada por la condición
g 0 = t g 0 = 1
1.7 Ecuaciones de Lagrange en Coordenadas Naturales 13
1.7. Ecuaciones de Lagrange en Coordenadas Naturales
En física se refiere uno al sistema de coordenada naturales como aquel sis-
tema en el que una de las líneas coordenadas es la propia trayectoria de la par-
tícula. En forma matemática podemos expresar esta condicion de la forma
d y1
dt= v (1.11)
siendo v el módulo de la velocidad, que en coordenadas g j toma la forma
v =√
g j k v j vk =√
g j k g j g k
Como hemos visto en la sección anterior podemos considerar al sistema me-
cánico como una partícula que se mueve en el espacio de las configuraciones
dotado de una métrica dada por la expresión,
ds2 = Ti j dg i dg j
de donde,
(ds/dt )2 = Ti j g i g j
que no es otra cosa que el módulo al cuadrado del vector velocidad, por lo que
ds
dt= v =
√
Ti j g i g j =p
2T
Así pues y1 coincide con la longitud del arco.
Dada nuestra definición de coordenadas naturales, el vector v lo podemos
poner como
v = v∂
∂y1= v
∂
∂s= vu
siendo u, por construcción, un vector unitario tangente a la trayectoria, cuya
expresión en el sistema g i es
∂
∂s=
∂
∂g i
∂g i
∂s.
14 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales
Puesto que en este sistema de coordenadas la energía cinética tiene por expre-
sión
T =1
2v2
solo tendremos una ecuación de Lagrange
d
dt
(
∂T
∂y1
)
=Gy 1
o sead
dt
(
∂T
∂v
)
=Gy 1
de dondedv
dt=Gy 1 (1.12)
siendo
Gy 1 =Gi∂g i
∂y1
la componente generalizada de la fuerza en este sistema de coordenadas. Una
expresión igual a esta se obtiene mediante el método tradiciónal en el apendice
B. Así pues, la única ecuación de Lagrange en este sistema de coordenadas nos
da solamente la ley horaria del movimiento. Para encontrar la forma de la tra-
yectoria debemos de actuar de otra forma, ver apendice B, donde se obtienen
un conjunto de n ecuaciones
ma i(n) = mv2
(
d2g i
ds2+
dg p
ds
dg q
dsΓ
ipq
)
=(
g i jG j −G jdg j
ds
dg i
ds
)
(1.13)
cuya solucción nos da la ecuación de la trayectoria.
1.8. Ejercicios
Ejercicio 1.1 Considerad la superficie de revolución x = r cosθ, y = r sinθ, z =αr 2. Esta superficie se puede considerar como una variedad de dimensión 2 em-
bebida en el espacio Euclídeo usual. Encontrar la expresión de los vectores base
del espacio tangente en la variedad de dimensión 2 en términos de los vectores
1.8 Ejercicios 15
i, j,k de la base euclídea usual. Evaluar las componentes de la velocidad.
Ejercicio 1.2 La expresión de la energía cinética de un punto en un sistema de
coordenadas curvilineo a, b, c es
2T = Aa2 +Bb2 +C c2 +2F bc +2Gca +2Hab
Demostrar que p, q, r, las componentes físicas de la aceleración en la dirección
tangente a las lineas coordenadas estan dadas por 3 ecuaciones del tipo
d
dt
(
∂T
∂a
)
−∂T
∂a= p
pA+
Hp
Bq +
Gp
Cr
Ejercicio 1.3 Hallense la velocidad y aceleración, angular y radial, de un punto
que se mueve a lo largo de una circunferencia cuyo radio varía sinusoidalmente
con el tiempo mediante las ecuaciones de Lagrange. Suponer que el punto tiene
masa unidad.
Ejercicio 1.4 Considerar una partícula de masa unidad sin peso que se mueve
sobre la superficie de un toro liso sobre la que no actua ninguna fuerza excepto
la normal al toro. El elemento de línea geométrica viene dado por ls expresión
ds2 = (a−b cosθ)2dφ2+b2dθ2 siendoφ el ángulo azimutal yθ el desplazamineto
angular desde el plano ecuatorial. Calcular a) las componentes, contravarian-
tes, covariantes y físicas de la velocidad. b) las componentes, contravariantes,
covariantes y físicas de la aceleración. Demostrar que (a − b cosθ)2dφ/ds = h,
constante y que
b2(
dθ
dφ
)2
= (a −b cosθ)4/h2 − (a −b cosθ)2
Ejercicio 1.5 Considerar la superficie de revolución
x = r cosθ
y = r senθ
z = z(r).
16 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales
Calcular las componentes tangencial y radial de la aceleración de una partícula
que se mueve sobre ella utilizando las ecuaciones de Lagrange.
Ejercicio 1.6 Considerar una partícula de masa unidad que se mueve a lo largo
de la espiral plana de ecuación r = kθ que se muestra en la figura 1.1
Figura 1.1:
Calcular las componentes contravariantes, covariantes y física de la velo-
cidad y la aceleración.
Calcular la componente tangencial de la velocidad. Calcular las compo-
nentes tangencial y normal de la aceleración. A la vista de los resultados
obtenidos interpretar los resultados obtenidos en el apartado anterior.
Calcular el radio de curvatura.
Calcular la reacción de la curva.
Ejercicio 1.7 Calcular las ecuaciones del movimiento de un punto no pesado
que se mueve sobre una parabola que gira alrededor de su eje vertical con una
velocidad angular ω constante y es atraido hacia el origen con una fuerza pro-
porcional a la distancia.
Ejercicio 1.8 Una partícula pesada de masa m se mueve a lo largo de un cicloide
liso (sin rozamiento) cuyas ecuación viene dada por las expresiones
x = a(θ−senθ)
y = a(1+cosθ)
1.8 Ejercicios 17
siendo θ el ángulo de la tangente a la curva. Estudiar la ley horaria y la reacción
de la curva utilizando las ecuaciones del movimiento en coordenadas naturales.
Ejercicio 1.9 Se define el producto vectorial de dos vectores Ai y B i mediante la
expresión
Li =pg g i jǫ j pq Ap Bq
siendo g el determinante del tensor métrico y ǫi j k el símbolo de Levi-Civita, que
vale +1 si i , j , k es una permutacion par de 1,2,3 y -1 en caso contrario, vale
cero si los índices se repiten. Calcular las componentes del momento angular en
esféricas. Calcular las componentes físicas. Evaluar la componente Lz .
18 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales
Capítulo 2
Fuerzas de ligadura
2.1. Fuerzas dadas y fuerzas de ligadura
Se denomima fuerza dada o fuerza activa aquella fuerza actuando en un sis-
tema dinámico que es una función conocida de la configuración, movimiento
del sistema y a caso del tiempo.
Una fuerza de ligadura o pasiva es la fuerza ejercida por un agente, llama-
do ligadura, cuya acción en un sistema dinámico consiste en impedir que este
asuma ciertas configuraciones o realize algunos movimientos.
Al resolver un problema real, las fuerzas de ligadura no se puede de tratar
de la misma forma que las fuerzas dadas, puesto que el valor de las fuerzas de
ligadura no es conocido hasta despues de haber resuelto el problema dinámico.
Es por tanto importante distinguir entre fuerzas de ligadura y fuerzas activas a
la hora de resolver un problema de dinámica. Vamos a denominar con G a las
fuerzas activas y con R a las fuerzas de ligadura.
Vamos a distinguir asi mismo entre fuerzas de ligadura geométricas y fuer-
zas de ligadura cinemáticas. Las primeras limitan las posibles configuraciones
en que puede estar el sistema mientras que las segundas limitan los posibles
desplazamientos o movimientos del mismo.
Cada fuerza de ligadura geometrica es tambien una fuerza de ligadura cine-
mática puesto que es imposible restringir las posibles configuraciones del siste-
ma sin restringir su capacidad de movimiento. Sin embargo es posible restringir
20 Capítulo – 2. Fuerzas de ligadura
su capacidad de movimiento sin restringir sus posibles configuraciones. Un ca-
so que ilustra esta diferencia es el caso de una esfera que rueda sin deslizar sobre
una mesa. La ligadura geométrica consiste en que la esfera no abandone la me-
sa, si no estuviese ésta, la esfera caería bajo la acción de la gravedad, puesto que
no cae, la acción de la mesa equivale a la existencia de otra fuerza que se opone a
la acción de la gravedad, es la reacción normal de la mesa. Ahora bien si la esfera
rueda sin deslizar, la fuerza tangencial debida a las rugosidades de la mesa cons-
tituye una fuerza de ligadura cinemática pues actua acoplando el movimiento
rotacional de la bola con el movimiento translacional de su centro de masas,
pues en caso de rodadura sin deslizamiento no se puede producir un desplaza-
miento del centro de masas a lo largo de la mesa sin que venga acompañado por
una rotación de la esfera. Esta fuerza de rozamiento es una fuerza puramente
cinemática, pues no impide que el centro de masas y la orientación de la esfera
tengan un valor arbitrario, por tanto esta fuerza no impide que se alcancen cier-
tas configuraciones del sistema. La fuerza tangencial ejercida por una superficie
puede ser tambien una ligadura geométrica. Considerar por ejemplo un cilin-
dro que rueda sin deslizar sobre un plano, en este caso todas las ligaduras son
geométricas.
2.2. Fuerzas de ligadura ideales
Se denomina fuerzas de ligadura ideal aquellas fuerzas de ligadura que en
cualquier desplazamiento virtual compatible con las ligaduras no realizan tra-
bajo. Aunque esta restricción parece muy importante, existe una gran cantidad
de problemas interesantes donde se puede considerar que las furzas de ligadu-
ras son ideales. Vamos a citar algunos ejemplos.
1. En el caso de un solido rígido, en el que las distancias se mantienen cons-
tantes, las fuerzas de ligadura se pueden considerar ideales. Para verlo,
vamos a calcular el trabajo virtual realizado por las fuerzas de ligadura
compatibles con las ligaduras del sistema. Sea F(i ) la fuerza plicada sobre
2.2 Fuerzas de ligadura ideales 21
la partícula i por el resto de partículas del sólido,
F(i )=∑
j 6=i
f(i j )
siendo f(i j ) la fuerza que realiza la partícula j sobre la i. El trabajo virtual
realizado en el sistema por todas las fuerzas será
δW =∑
i
F(i ) ·δr(i ) =∑
i
∑
j
f(i j ) ·δr
ahora bien supuesto que las fuerzas de interacción entre particulas sean
proporcionales al vector que las une
f(i j )=−f( j i )= c(i j )r(i j )
por lo que
δW =∑
i
F(i ) ·δr(i ) =∑
p
c(i j )r(i j ) ·δr(i j )
donde la anterior suma está extendida a todos los pares de partículas. La
condición de que las partículas mantengan constante la distancia la po-
demos poner como
r(i j ) ·r(i j )= ct e
por lo que
r(i j ) ·δr(i j )= 0
y por tanto
δW = 0
2. Si un cuerpo se desliza sin rozamiento sobre una superficie lisa, la reac-
ción normal a la superficie no realiza trabajo, pues el movimiento del cuer-
po es ortogonal a la reacción y el trabajo virtual compatible con la ligadura
es nulo.
3. Si un cuerpo rueda sin deslizar sobre una superficie, el trabajo ejercido por
la superficie sobre el cuerpo es nulo. Esto se deduce del hecho de que el
22 Capítulo – 2. Fuerzas de ligadura
proceso de rodadura sin deslizamiento exige que la velocidad del punto de
contacto sea nula, esto es el desplazamiento virtual del punto de contacto
es nulo y por tanto es nulo el trabajo realizado. Efectivamente, considerar
dos cuerpos en contacto, el cuerpo 1 y el cuerpo 2, el cuerpo 1 ejerce una
fuerza de ligadura que denominaremos R1/2 y que el sólido 2 ejerce una
fuerza de ligadura R2/1 sobre el 1. Obviamente, por el principio de acción
reacción R1/2 = −R2/1. Sea A ∈ 1, B ∈ 2 los puntos de contacto de ambos
sólidos en el instante t , la potencia desarrollada por dichas reacciones es
dW =R2/1VA/0 +R1/2VB/0
siendo VA/0 y VB/0 las velocidades referidas a cierto sistema de referencia.
De acuerdo con la ley de transformación de velocidades
VA/0 = VA/2 +VA2/0
esto es la velocidad del punto A respecto del sistema de referencia O, se
puede poner como la velocidad del punto A respecto del sistema 2 más la
velocidad del punto A unida al sistema 2 respecto del sistema de referen-
cia O. Ahora bien, esta velocidad es precisamente la velocidad del punto
B, por tanto
VA2/0 =VB/0
por lo que
dW = R2/1VA/2 + (R2/1 +R1/2)VB/0.
El término entre paréntesis es nulo, por el principio de acción–reacción,
de donde
dW = R2/1VA/2.
Si los sólidos ruedan sin deslizar, VA/2 = 0, resultando que
dW = 0
como queríamos demostrar.
2.3 Fuerza de ligaduras holónomas 23
2.3. Fuerza de ligaduras holónomas
Se dice que tenemos una fuerza de ligadura holónoma, si es una fuerza de
ligadura geométrica ideal que restringe las posibles configuraciones del sistema,
a aquellas que satisface una ecuación del tipo
ψ(g, t )= 0
o equivalentemente, es una fuerza de ligadura cinemática ideal, que restringe
los posibles movimientos del sistema a aquellos que satisfacen una ecuación de
la forma
Ai (g, t )dg i + A0dt = 0
siendo la cantidad Ai (g, t )dg i + A0dt la diferencial exacta de alguna funcion, o
se puede reducir con algún factor de multiplicidad apropiado a una diferencial
exacta.
En la definición anterior se ha supuesto que la ligadura limitaba las configu-
raciones del sistema a aquellas satisfaciendo una única ecuación ψ(g, t ) = 0. Es
posible que existan ligaduras que limiten las posibles configuraciones a aquellas
que satisafen M ecuaciones del tipo ψi (g, t ) = 0. En este caso lo que se hace es
suponer que exiten M fuerzas de ligadura, una por cada ecuación. Ejemplos de
fuerzas de ligadura holónomas son las fuerzas que mantienen fijas las distancias
de las partículas en el interior de un sólido rígido.
2.4. Fuerzas de ligadura no holónomas
Una fuerza de ligadura no holónóma es una fuerza de ligadura ideal que
restringe los posibles movimientos del sistema a aquellos que satisfacen una
ecuación de la forma
∑
i
Ai (g, t )dg i + A0(g, t )dt = 0
donde la cantidad∑
i Ai (g, t )dg i + A0(g, t )dt no es una diferencial exacta ni se
puede convertir en diferencial exacta multiplicandola por alguna función de g y
24 Capítulo – 2. Fuerzas de ligadura
t .
Un ejemplo de este tipo de ligadura se obtiene cuando se imponen condi-
ciones generales de rodadura sin deslizamiento.
2.5. Componentes generalizadas de las fuerzas holónomas
y no holónomas
Como se dijo anteriormente no podemos dar una expresión de las fuerzas
de ligadura como función de las coordenadas generalizadas, sus velocidades y el
tiempo antes de resolver las ecuaciones del movimiento, sin embargo, podemos
en ciertas ocasiones dar algún paso en dicha dirección. En particular, en caso
de tener ligaduras holónomas o no holónomas (esto es ideales y que sea posible
encontrar una ecuacion de restricción) se pueden determinar las componentes
de la fuerza de ligadura salvo un factor común.
Teorema 2.5.1 Si un sistema dinámico compuesto de N partículas está sujeto a
una fuerza de ligadura R, holónoma o no holónoma, la cual restringe los despla-
zamientos del sistema a aquellos que satisfacen la ecuación
∑
i
Ai (g, t )dg i + A0(g, t )dt = 0
donde las cantidades A0, A1, . . . , A3N son funciones conocidas de g y t , las com-
ponentes generalizadas de la fuerza R1,R2, . . . ,R3N satisfacen las ecuaciones
R1
A1=
R2
A2= ·· · =
R3N
A3N(2.1)
o bien existe una cierta cantidad λ, llamado mutiplicador de Lagrange, tal que
Ri =λAi
DEMOSTRACIÓN
Sea δg un desplazamiento virtual del sistema, la condición de ligadura impone
la restricción
Aiδg i = 0
2.6 Grados de libertad 25
lo que nos indica que no todos los δg i son independientes, si no que tendremos
3N − 1 independientes, ahora bien, dado que la fuerza de ligadura es ideal, el
trabajo producido por esta en un desplazamiento virtual vale
Riδg i = 0.
Puesto que los δg i no son libres, la anterior expresión no nos permite hacer
Ri = 0. Sin embargo si mutiplicamos la ecuación de ligadura por un cierto factor
−λ y la sumamos a la anterior ecuación, obtenemos
(R1 −λA1)δg 1 +·· ·+ (R3N −λA3N )δg 3N = 0
este factor λ lo podemos elegir de tal forma que
(R1 −λA1) = 0
de donde
(R2 −λA2)δg 2 +·· ·+ (R3N −λA3N )δg 3N = 0
Ahora bien, estos 3N −1δg i son independientes por lo que
Ri −λAi = 0, i = 2, . . . ,3N
por lo queR1
A1=
R2
A2= ·· · =
R3N
A3N=λ (2.2)
por lo que salvo un factor λ podemos calcular las componentes de las fuerza de
ligadura, supuestas conocidas los coeficentes Ai de la ligadura holónoma o no
holónoma.
2.6. Grados de libertad
Considerar un sistema dinámico consistente en N partículas sujetas a L fuer-
zas de ligadura no holónomas y a M fuerzas de ligadura holónomas, en estas
condiciones se dice que el sistema poseé 3N −M grados de libertad configu-
26 Capítulo – 2. Fuerzas de ligadura
racionales y 3N −M −L grados de libertad cinemáticos. El numero de grados de
libertad configuraciones es igual al número de coordenadas independientes que
junto con las condiciones de ligadura permiten de forma inequívoca especificar
la configuración del sistema. El número de grados de libertad cinemáticos es el
número de desplazamientos independientes δg i que son requeridos para que
junto a las condiciones de ligadura (holónomas y no holónomas) especifiquen
inequívocamente un desplazamiento general del sistema δg.
Ejemplo 2.1 Considerar que un disco de radio a rueda sin deslizar sobre un
plano horizontal. El plano del disco permanece vertical pero es libre de rotar
respecto de un eje vertical que pasa por el centro del disco. Discutir las ligadu-
ras
SOLUCCIÓN
Como es de todos conocido, para especificar la configuración de cualquier soli-
do rigido es necesario dar 6 coordenadas que corresponden en general con las
tres coordenadas del centro de masas del sólido y tres ángulos de Euler, que per-
mitan dar la orientación en el espacio del sólido. En este caso exigimos que el
disco ruede sin deslizar ortogonalmente al plano, lo que significa que la distan-
cia del centro del disco, que es el centro de masas, al plano es constante e igual
al radio del mismo, por lo que tenemos una ecuación de ligadura
zg = a
que es holónoma. Por otra parte, dado que el plano del disco se mantiene verti-
cal, de los tres ángulos de Euler, uno de ellos vale π/2 y constituye la otra con-
2.6 Grados de libertad 27
dición de ligadura holónoma, por lo que nos quedan 4 grados de libertad, las
posiciones xg , yg del centro de masas y φ,ψ dos ángulos de Euler. Ahora bien
la condición de rodadura sin deslizamiento impone una condición de ligadura
cinemática, que se expresa mediante el hecho de que el punto de contacto entre
el disco y el plano tenga velocidad nula
vc = vg +ω×GC = 0
siendo vc la velocidad del punto de contacto, vg la velocidad del centro de ma-
sas, ω el vector velocidad instantanea de rotación y r(g c) el radio vector que une
le centro de masas con el punto de contacto. En un sistema de referencia inercial
con el eje k en la dirección ortogonal al plano tenemos
vg = xg i+ yg j,
GC =−ak
y
ω= φk− ψu
siendo u un vector unitario ortogonal al plano del disco y por tanto paralelo al
plano, por lo que
u = cosφi+senφj
y por tanto
ω= φk− ψcosφi− ψsenφj
sustituyendo
vc = (xg +aψsenφ)i+ (yg −aψcosφ)j = 0
de donde
xg = −aψsenφ
yg = aψcosφ
28 Capítulo – 2. Fuerzas de ligadura
de donde se deduce que en un desplazamiento virtual se debe de cumplir que
δxg = −a senφδψ
δyg = a cosφδψ
Estas ecuaciones no las podemos integrar y puesto que podemos mover el dis-
co de tal forma que todos las configuraciones xg , yg ,ψ,φ son accesibles, dichas
ecuaciones son las ecuaciones de ligadura no holónomas, por lo que solo nos
queda 2 grados de libertad cinemáticos.
Ejemplo 2.2 Evaluar las componentes de las fuerzas de ligadura del ejemplo an-
terior
SOLUCCIÓN
Según hemos visto, tenemos 4 ecuaciones de ligadura, 2 holónomas
zG −a = 0
θ−π/2 = 0
que podemos poner como
dzG = 0 (ligadura1)
dθ = 0 (ligadura2)
y dos anholónomas
dxG +a senφdψ = 0 (ligadura3)
d yG −a cosφdψ = 0 (ligadura4)
De acuerdo con lo explicado en secciones anteriores, tendremos 4 fuerzas
de ligadura cuyas componentes son de la forma
R j (i )=λ(i )A j (i )
2.7 Ejercicios 29
siendo A j los coeficientes de las ecuaciones de ligadura puestas como
A j (i )dg j + A0(i )dt = 0.
El índice i nos indica de que fuerza de ligadura se trata. En el caso que nos ocupa
las ecuciones de ligadura toman la forma general
Ax dx + Ay d y + Az dz + Aθdθ+ Aφdφ+ Aψdψ= 0
Identificando coeficientes, tenemos
ligadura1 : Ax = 0 Ay = 0 Az = 1 Aθ = 0 Aφ = 0 Aψ = 0
ligadura2 : Ax = 0 Ay = 0 Az = 0 Aθ = 1 Aφ = 0 Aψ = 0
ligadura3 : Ax = 1 Ay = 0 Az = 0 Aθ = 0 Aφ = 0 Aψ = a senφ
ligadura4 : Ax = 0 Ay = 1 Az = 0 Aθ = 0 Aφ = 0 Aψ =−a cosφ
por lo que las componentes de las fuerzas de ligadura valen
ligadura1 : Rx = 0 Ry = 0 Rz =λ1 Rθ = 0 Rφ = 0 Rψ = 0
ligadura2 : Rx = 0 Ry = 0 Rz = 0 Rθ =λ2 Rφ = 0 Rψ = 0
ligadura3 : Rx =λ3 Ry = 0 Rz = 0 Rθ = 0 Rφ = 0 Rψ =+λ3a senφ
ligadura4 : Rx = 0 Ry =λ4 Rz = 0 Rθ = 0 Rφ = 0 Rψ =−λ4a cosφ
2.7. Ejercicios
Ejercicio 2.1 Considerar el Lagrangiano
L(x, y, z, x, y , z) =1
2(x2 + y2 + z2)−mg z
con las ligaduras
y x −x y = 0
(a) >Las ligaduras son holónomas o no holónomas ?
(b) Escribir las ecuaciones del movimiento no holonómicas
30 Capítulo – 2. Fuerzas de ligadura
Ejercicio 2.2 Considerar el Lagrangiano
L(x, y, z, x, y , z) =1
2(x2 + y2 + z2)−mg z
con las ligaduras
z − y x = 0
Escribir las ecuaciones del movimiento no holonómicas
Ejercicio 2.3 Escribir las ecuaciones de ligadura del patinador o filo de cuchi-
llo en donde se prohibe el movimiento ortogonal a la dirección en la que esta
orientado el filo.
Capítulo 3
Ecuaciones de Lagrange para
sistema holónomos y
anholónomos
3.1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos
Considerar un sistema dinámico en el que hay impuestas un conjunto de M
ligaduras holónomas que se pueden escribir en la forma
φ1(g 1, . . . , g 3N , t ) = 0
φ2(g 1, . . . , g 3N , t ) = 0... =
...
φM (g 1, . . . , g 3N , t ) = 0
Este conjunto de M ecuaciones son independientes, por lo que de las 3N coor-
denadas originales tendremos que ahora únicamente 3N-M son independien-
tes. Sea f=3N-M el número de grados de libertad, supongamos por simplicidad
que consideremos como independientes las 3N-M primeras coordenadas, pues-
to que las anteriores ecuaciones de ligadura son independientes, podemos des-
pejar las M últimas coordenadas como función de las 3N-M primeras coordena-
32Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
das,
g j = g j (g 1, . . . , g 3N−M , t ), j = 3N −M +1, . . . ,3N (3.1)
Ahora bien siempre es posible emplear un conjunto de 3N-M coordenadas cua-
lesquiera q j , con tal que el jacobiano de la transformación de las g j → qk sea
distinto de cero. De tal forma que
g i = g i (q1, . . . , q f , t ) i = 1, . . . , f (3.2)
y a partir de las ecuaciones (3.1) obtenemos el resto de las coordenadas
g i = g i (q1, . . . , q f , t ) i = 3N −M +1, . . . ,3N (3.3)
por lo que tenemos que resolver el problema únicamente en términos de las
f coordenadas q i que ya son independientes. El conjunto de ecuaciones (3.2) y
(3.3) contienen las ecuaciones de ligadura, pues si eliminamos las q i , i = 1, . . . , f =3N −M en términos de las g j , j = 1, . . . ,3N obtendremos el conjunto de M
ecuaciones de ligadura. Al conjunto de f coordenadas cualesquiera q i , que jun-
to con las M ecuaciones de ligadura especifica por completo la configuración del
sistema se le denomina coordenadas generalizadas para sistemas holónomos.
El movimiento de un sistema mecánico con N partículas puede ser repre-
sentado por el movimiento de un punto en el espacio de las configuraciones,
que es un espacio de 3N dimensiones. El de un sistema holónomo teniendo f
grados de libertad puede ser representado por el movimiento de un punto en
un subespacio del espacio de las configuraciones de f dimensiones. Nos refe-
riremos a este subespacio como espacio de las configuraciones de un sistema
holónomo. Vimos en un capítulo anterior que el movimiento del sistema en el
espacio de las configuraciones para sistemas elementales está gobernado por
3N ecuaciones de Lagrange, vamos a ver que el movimiento del sistema dentro
del subespacio de las configuraciones para sistemas holónomos está tambien
representado por f ecuaciones de Lagrange en las variables q j
3.1 Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos 33
3.1.1. Componentes generalizadas de la fuerza en sistemas holóno-
mos
Como vimos anteriormente, el trabajo realizado sobre el sistema por el con-
junto de fuerzas exteriores en un desplazamiento virtual viene dado por
δW =Giδg i
En los sistemas elementales, los desplazamientos δg i eran independientes, en
un sistema con ligaduras dejan ya de ser independientes. Si restringimos nues-
tros desplazamientos a aquellos que no violan las ligaduras, introduciendo las
coordenadas q j tenemos
δg i =∂g i
∂q jδq j , , i = 1, . . . ,3N ; j = 1, . . . , f
sustituyendo
δW =∂g i
∂q jGiδq j
llamando
Q j =∂g i
∂q jGi
tenemos
δW =Q jδq j
Las cantidades Q j reciben el nombre de componentes generalizadas de la fuerza
para sistemas holónomos.
Teorema 3.1.1 Las componentes generalizadas Qi de las fuerzas de ligadura ac-
tuando sobre un sistema holónomo son cero
Dada nuestra hipótesis de que las fuerzas de ligadura son perfectas, el trabajo
realizado por ellas en un desplazamiento virtual es cero, nos lleva a que
0 =δW (ligadura) =Q j (ligadura)δq j
34Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
puesto que las δq j son independientes, para que la anterior combinación lineal
sea cero, sus coeficientes han de ser cero
Q j (ligadura) = 0
Darse cuenta que en caso de haber empleado coordenadas g i no hubiesemos
podido hacer cero los coeficientes dado que las δg i no son independientes.
3.2. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos
Para obtener las ecuaciones de Lagrange en sistemas holónomos vamos a
partir de las ecuaciones de Lagrange en sistemas elementales. De acuerdo con
nuestras ecuaciones desarrolladas en el capítulo 1,
d
dt
(
∂T (g, g, t )
∂g i
)
−∂T (g, g, t )
∂g i=Gi
en un sistema con ligaduras, las fuerzas generalizadas Gi contiene los términos
desconocidos asociados con las fuerzas de ligadura, por lo que el sistema ante-
rior no lo podemos resolver. Dividamos las Gi entre aquellas que son conocidas
y las de ligadura
Gi =Gi +∑
k
Ri (k)
donde las Ri (k), k = 1,M son las componentes generalizadas de las M fuerzas de
ligadura. Por no complicar más la notación hemos empleado el mismo simbo-
lo para las fuerzas generalizadas totales y las fuerzas generalizadas de aquellas
fuerzas conocidas. Sustituyendo
d
dt
(
∂T (g, g, t )
∂g i
)
−∂T (g, g, t )
∂g i=Gi +
∑
k
Ri (k)
Vamos a seguir los mismos pasos que en la demostración hecha en el capítulo 2
cuando se paso de coordenadas cartesianas a generalizadas. Multiplicando por
∂g i
∂q j
3.2 Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos 35
y sumando en i (empleamos la notacion de Einstein de suma en índices repeti-
do)d
dt
(
∂T (g, g, t )
∂g i
)
∂g i
∂q j−∂T (g, g, t )
∂g i
∂g i
∂q j= (Gi +
∑
k
Ri (k))∂g i
∂q j
de lo visto en la sección anterior
Gi∂g i
∂q j=Q j
y∑
k
Ri (k)∂g i
∂q j=
∑
k
Q j (k)(ligaduras) = 0
En cuanto al miembro de la izquierda siguiendo el mismo tratamiento seguido
en el capítulo 1 llegamos a
d
dt
(
∂T (g, g, t )
∂g i
)
∂g i
∂q j−∂T (g, g, t )
∂g i
∂g i
∂q j=
d
dt
(
∂T (q, q, t )
∂q j
)
−∂T (q, q, t )
∂q j=Q j (3.4)
que consituyen las ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos. Como ve-
mos la hipótesis de que los trabajos virtuales de las fuerzas de ligadura sean cero
hace que esto no entren de forma explicita en las ecuaciones lo que nos permite
que podamos en principio integrarlas, pues de haber permanecido en ellas esto
no hubiese sido posible pues las fuerzas de ligadura son desconocidas y única-
mente es posible evaluarlas una vez se ha resuelto el problema.
3.2.1. Relación entre las ecuaciones de Lagrange para sistemas ele-
mentales y las ecuaciones de Lagrange para sistemas holóno-
mos
El movimiento de un sistema dinámico compuesto por N partículas puede
ser representado por el movimiento de un punto en un espacio de 3N dimen-
siones, llamado espacio de las configuraciones g, movimiento descrito por las
ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales. Si el sistema, es un sistema
holónomo, con f grados de libertad, f < 3N , el movimiento del sistema pue-
de ser representado por el movimiento de un punto en un subespacio q de f
dimensiones incluido en el espacio de las configuraciones. El movimiento de
36Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
dicho punto viene descrito por las ecuaciones de Lagrange para sistemas holó-
nomos. Aparentemente ambas ecuaciones son idénticas, pero hay importantes
diferencias. En primer lugar la expresión de la energía cinética en los sistemas
elementales presupone movimientos arbitrarios de las partículas del sistema.
En el caso de los sistemas holónomos, la energía cinética solo incluye los movi-
mientos restringidos del sistema. En segundo lugar, las fuerzas generalizadas en
los sistemas elementales incluyen tanto las fuerzas dadas como las fuerzas de
ligadura y están definidas en término del trabajo virtual realizado en desplaza-
mientos virtuales arbitrarios de las partículas, mientras que las fuerzas genera-
lizadas que aparecen en las ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos
solo incluyen fuerzas dadas y están definidas en terminos de trabajo virtual rea-
lizado en desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras del sistema.
3.2.2. Determinación de la fuerzas de ligadura en sistemas holóno-
mos
Suponer que tenemos un sistema con N partículas y M ligaduras holónomas
y queremos determinar la fuerza de ligadura asociada con la M-exima condición
de ligadura sin estar interesado en las M-1 primeras ligaduras. En estas condi-
ciones podemos tratar las M-1 primeras fuerzas de ligadura como hacemos en
cualquier sistema holónomo (esto es considerar movimientos virtuales compa-
tibles con estas M-1 condiciones de ligadura) y considerar la M-exima fuerza
de ligadura como una fuerza dada. Así pues vamos a considerar un sistema con
3N-M+1 grados de libertad. La ecuaciones de Lagrange para este sistema serán
d
dt
(
∂T (q, q, t )
∂q j
)
−∂T (q, q, t )
∂q j=Q j +R j (M) j = 1, . . . ,3N −M +1
Suponer que la M-exima condición de ligadura la podemos expresar por la con-
dición
φM (q1, . . . , q3N−M+1, t )= 0.
3.2 Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos 37
De acuerdo con la relación derivada anteriormente entre las componentes ge-
neralizadas de las fuerzas de ligadura y las ecuciones de ligadura, tenemos
R j (M) =λ∂φM
∂q j, j = 1, . . . ,3N −M +1
por lo que
d
dt
(
∂T (q, q, t )
∂q j
)
−∂T (q, q, t )
∂q j=Q j +λ
∂φM
∂q jj = 1, . . . ,3N −M +1
que junto a la ecuación
φ(q1, . . . , q3N−M+1, t )= 0
nos dan 3N-M+2 ecuaciones que nos sirven para calcular las 3N-M+1 incógnitas
q1(t ), . . . q3N−M+1(t ) y λ(t ). Una vez resuelto el sistema de ecuaciones podemos
calcular la reacción
R j (M) =λ(t )∂φM
∂q j
Ejemplo 3.1 Una bola de masa m desliza libremente sobre una alambre enro-
llada en forma helicoidal, cuya ecuación en coordenadas cilíndricas es
ρ= a z = bφ
La gravedad actua en la dirección z positiva. La bola se abandona con velocidad
cero en el punto ρ= a, φ= 0, z = 0. Determinar, mediante las ecuaciones de La-
grange, las componentes físicas z,φ de la reacción que ejerce el alambre sobre
la bola como función de φ.
SOLUCCIÓN
La energía cinética de la bola, supuesta puntual, vale
T =1
2m
(
x2 + y2 + z2)
38Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
pasando a coordenadas cilíndricas
x = ρcosφ
y = ρsenφ
z = z
de donde
x = ρcosφ−ρφsenφ
y = ρsenφ+ρφcosφ
z = z
sustituyendo
T =1
2m
(
ρ2 +ρ2φ2 + z2)
Las condiciones de ligadura son
ρ−a = 0
z −bφ = 0
por lo que
T =1
2m
a2 +b2
b2z2
La fuerza generalizada debida a la gravedad vale
Qz = mg
por lo que las ecuaciones de Lagrange resultan
a2 +b2
b2z = g
de donde, teniendo en cuenta las condiciones frontera, obtenemos
z(t )=1
2
g b2
a2 +b2t 2
3.2 Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos 39
o sea, la bola recorre el alambre con un movimiento uniformemente acelerado
cuya aceleración vale
a =b2
a2 +b2g
La ley horaria para el ángulo resulta ser,
φ=1
2
g b
a2 +b2t 2
Vamos a analizar ahora las fuerzas de ligadura. Supongamos ahora que la coor-
denada φ la tratamos explicitamente, en estas condiciones la energía cinética
vale
T =1
2m
(
a2φ2 + z2)
Las componentes z,φ de la fuerza vale
Qz = mg , Qφ = 0.
Puesto que la ecuación de ligadura es
z −bφ= 0
las componentes de la reacción asociadas a esta ligadura valen
Rz = λ∂(z −bφ)
∂z=λ
Rφ = λ∂(z −bφ)
∂φ=−λb
De donde las ecuaciones de Lagrange toman la forma
mz = mg +λ
ma2φ = −λb
que junto con la ecuación de ligadura
z −bφ= 0
40Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
nos dan tres ecuaciones para el cálculo de z(t ), φ(t ) y λ(t ). Resolviendo el siste-
ma se obtiene para λ
λ=−mg a2
a2 +b2
las componentes generalizadas de la fuerza valen
Rz = −mg a2
a2 +b2
Rφ =mg a2b
a2 +b2
Para el cálculo de las componentes físicas, calculamos primero las componen-
tes contravariantes, por lo que multiplicamos por el recíproco del tensor métri-
co, g i j para a continuación multiplicar porp
gi i . Dado que el tensor métrico es
diagonal (obsérvese la expresión de la energía cinética), estas operaciones equi-
valen a dividir porp
gi i , que en el caso de la variable angular vale ρ, y por la
condición de ligadura es igual a a, por lo que
Rz (fis) = −mg a2
a2 +b2
Rφ(fis) =mg ab
a2 +b2
El signo negativo de la componente z indica que se opone a la gravedad, la fuer-
za neta vertical a la que se ve sometida la partícula vale
F z (neta) = mg −mg a2
a2 +b2= mg
b2
a2 +b2
de donde la aceleración vendrá dada por la expresión
z = gb2
a2 +b2
que coincide con la expresión obtenida a partir de la ecuación de Lagrange. Así
mismo, la componente φ de la fuerza es positiva lo que nos indica que es la
fuerza que junto con la fuerza neta calculada anteriormente hace moverse a la
partícula a lo largo de la hélice. Ver la figura 3.1
3.2 Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos 41
mg
Rz
Rφ
Ft
Figura 3.1:
Efectivamente, como la fuerza que hace mover a la partícula es la gravedad,
necesitamos una fuerza adicional que haga que la partícula se mueva siguiendo
a la hélice, esta es la reacción del alambre.
Vamos a ver como hacer los cálculos anteriores empleando las técnicas de la
mecánica clásica.
El vector posición de la partícula en cualquier instante viene dado por la
expresión
r = ρρ+ zk
La velocidad vale
v = r = ρρ+ρφφ+ zk
Puesto que ρ= a
v = aφφ+ zk
De donde vemos que la componente (física) φ vale aφ y la componente z vale z.
Este vector lo podemos poner como
v = vt
siendo v el módulo de v y t el vector unitario tangente a la curva. El modulo v
vale
v =√
a2φ2 + z2
42Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
que teniendo en cuenta que se verifica que z = bφ se tiene
v =1
b
√
a2 +b2z =√
a2 +b2φ
La componente contravariante de la velocidad es z , y teniendo en cuenta la for-
ma de la energía cinética (T = (1/2)mv2 = (1/2)m(a2 +b2)/b2 z2), el coeficiente
del tensor métrico es gzz = (a2 +b2)/b2 por lo que las componentes físicas son
v( f i s)=1
b
√
a2 +b2z
esto es el módulo de la velocidad. Si hubiesemos empleado como variable inde-
pendiente φ, la componente contravariante hubiese sido φ, la energía cinética
sería T = (1/2)m(a2 +b2)φ2 por lo que la componente física sería
v( f i s)=√
a2 +b2φ
Obviamente, la misma que antes pues φ = z/b El vector unitario tangente a la
hélice se puede expresar como
t = cosαφ+senαk
donde cosα y senα los podemos obtener de la expresión
v = vt = v cosαφ+v senαk = aφφ+ zk
de donde
v cosα= aφ
v senα= z
teniendo en cuenta la expresión para v, tenemos
cosα=a
pa2 +b2
3.2 Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos 43
y
senα=b
pa2 +b2
La aceleración viene dada como la derivada de la velocidad
a = v = aφφ−aφ2ρ+ zk
El término −aφ2ρ corresponde a la aceleración centrípeta, el resto corresponde
con la aceleración tangencial a la hélice, esto es
atant = aφφ+ zk
de donde, multiplicando por t y teniendo en cuenta la expresión obtenida antes
para cosα y senα llegamos a
atan =√
a2 +b2φ=p
a2 +b2
bz
Si calculamos la componente covariante de la aceleración a partir de las ecua-
ciones de Lagrange
at =d
dt
(
∂T
∂z
)
−(
∂T
∂z
)
=a2 +b2
b2z
y las componentes físicas (elevando el índice y multiplicando porp
gi i )
at (fis) = at /(√
a2 +b2/b)=p
a2 +b2
bz
que coincide con la componente tangencial atan a la hélice de la aceleración ob-
tenida anteriormente. Sustituyendo la expresión obtenida anteriormente para
z, se obtiene
at (fis) = gb
pa2 +b2
Podemos calcular la fuerza tangencial F t sin mas que sumar las componen-
tes Rφ(fis) y la fuerza neta F z (neta) obtenidas anteriormente
F t =√
(Rφ)2(fis)+ (F z )2(neta) = mg1
a2 +b2
√
a2b2 +b4 = mgb
pa2 +b2
44Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
que obviamente es igual a mat (fis). Os animo a calcular la componente normal
de la fuerza mediante el método de Lagrange y comprobar que vale
F n =−mv2
a
3.3. Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos
Vamos a suponer ahora que además de las ligaduras holónomas, que co-
mo sabemos restringen el movimiento del sistema a un subespacio del espa-
cio de las configuraciones, tenemos un conjunto de ligaduras anholónomas que
imponen ciertas restriciones al movimiento del sistema dentro del subespacio
de las configuraciones. Así pues, consideremos un sistema mecánico compues-
to por N partículas sobre las que actuan un conjunto de fuerzas conocidas,
M fuerzas de ligaduras holónomas y L fuerzas de ligadura anholónomas. Sean
q1, . . . , q3N−M coordenadas generalizadas que junto con las M condiciones de
ligadura nos dan una descripción completa del sistema. Suponer que tenemos
R1, . . . ,RL fuerzas de ligadura anholónomas, que restrigen los desplazamientos
del sistema a aquellos que cumplen el conjunto de ecuaciones,
∑
i
Aki (q, t )dq i + Ak0dt = 0, k = 1, . . . ,L
Vamos a suponer que el conjunto de L fuerzas de ligadura anholónomas actuan
como fuerzas dadas, de tal forma que las ecuaciones de Lagrange con 3N-M
grados de libertad dan lugar a 3N-M ecuaciones del tipo
d
dt
(
∂T
∂q i
)
−∂T
∂q i=Qi +
∑
k
Rki , i = 1, . . . ,3N −M
de acuerdo con lo demostrado anteriormente, siempre que las ligaduras sean
perfectas se cumple que
Rki =λk Aki
3.3 Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos 45
por lo que las ecuaciones de Lagrange toman la forma
d
dt
(
∂T
∂q i
)
−∂T
∂q i=Qi +
∑
k
λk Aki , i = 1, . . . ,3N −M
que junto con las L ecuaciones de ligadura dan lugar a 3N-M+L ecuaciones para
calcular las 3N-M incognitas q i (t ) y las L λk (t )
Ejemplo 3.2 Un disco de radio a y masa m, cuyo plano está restringido a per-
manecer vertical, rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal bajo la ac-
ción de una fuerza f cuya línea de acción pasa a través del centro de masas del
disco. Obener las ecuaciones del movimiento del disco.
SOLUCCIÓN
Las ligaduras holónomas vienen dadas por el hecho de que el disco permanece
vertical que implica que el ángulo que forma con la horizontal es π/2 y por el
hecho de que la distancia al plano de su centro de masas es constante e igual al
radio a del disco. Las ligaduras anholónomas vienen dadas por el hecho de que
rueda sin deslizar. Tal y como vimos en un ejemplo anterior esta condición se
puede poner como
x +aψsenφ = 0
y −aψcosφ = 0
La energía cinética del disco se puede poner como suma de la energía cinética de
su centro masas, supuesto que toda la masa está concentrada allí, más la energía
de rotación respecto del centro de masas. La energía del centro de masas vale
T =1
2m
(
x2 + y2)
La energía cinética de rotación vale
T =1
2ωIGω
siendo IG el tensor de inercía respecto de un sistema de referencia situado en el
centro de masas y que se mueve con movimiento de translación. Puesto que la
46Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
energía cinética es un escalar su valor no cambia si la calculamos en un sistema
de referencia unido al cuerpo. En el sistema de referencia unido al disco el tensor
de inercia vale
I=
Idd 0 0
0 Idd 0
0 0 I3
siendo Idd el momento de inercia respecto de un diámetro e I3 es el momento
de inercia respecto del eje del disco. La velocidad de rotación ω vale
ω=−ψu+ φk =
que en la base unida al disco (tomando el eje del disco como eje z ′,esto es u = k′,
y dos ejes cualesquiera en el plano del dico como ejes x ′, y ′) toma la forma
ω=−ψk′+ φcosψj′− φsenψi′
De donde la energía cinética de rotación vale
T =1
2(−φsenψ, φcosψ,−ψ)
Idd 0 0
0 Idd 0
0 0 I3
−φsenψ
φcosψ
−ψ
=1
2Idd φ
2 +1
2I3ψ
2
y la energía total
T =1
2m(x2 + y2)+
1
2Idd φ
2 +1
2I3ψ
2
La condición de ligadura anholónoma viene dada por el hecho que el punto de
contacto del disco con la superficie horizontal O tenga velocidad nula,
VO = VG +ω×GO = 0
que podemos poner como,
x +aψsenφ = 0
y −aψcosφ = 0
3.3 Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos 47
que no son integrables, pues aparece el ángulo φ sin tener ninguna ecuación
asociada a él. En término de desplazamientos, las anteriores ecuaciones las po-
demos poner como
δx +aδψsenφ = 0
δy −aδψcosφ = 0
Podemos introducir dos fuerzas de ligadura R1 y R2, cuyas componentes valen
R1x =λ,R1y = 0,R1,φ = 0,R1,ψ =+λa senφ
y
R2x = 0,R2y =µ,R2,φ= 0,R2,ψ =−µa cosφ
Nos dice el enunciado que las fuerzas aplicadas pasan por el centro de masas,
por lo que el momento de estas respecto del mismo son nulos y por tanto deben
tener nulas sus componentes generalizadas respecto de las variables angulares.
Sean Gx y Gy las componentes generalizadas respecto del eje x e y , las ecuacio-
nes del movimiento toman la forma
mx = Gx +λ
m y = Gy +µ
Id φ = 0
I3ψ = λa senφ−µa cosφ
que junto con las dos ecuciones de ligadura
x +aψsenφ = 0
y −aψcosφ = 0
nos dan 6 ecuaciones para calcular x(t ), y(t ),φ(t ),ψ(t ),λ,µ. Intentad calcular
cuanto vale la fuerza asociada a la ligadura zG = cte
48Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
3.4. Potenciales generalizados
Suponer que tenemos un sistema dinámico con f grados de libertad, con f
coordenadas generalizadas q1, . . . , q f y f componentes generalizadas Q1, . . . ,Q f
de las fuerzas externas. Suponer que pasamos a otro sistema de referencia h1, . . . , h f
con componentes generalizadas de las fuerzas aplicadas H1, . . . ,H f . Podemos
expresar el siguiente teorema
Teorema 3.4.1 Si existe una función U(q, q, t ) tal que
Q j =d
dt
(
∂U
∂q j
)
−∂U
∂q j
entonces
Hk =d
dt
(
∂U
∂hk
)
−∂U
∂hk
DEMOSTRACIÓN
Puesto que las componentes de la fuerza se comporta como un vector covarian-
te en el cambio de base, se verifica
Hk =∂q j
∂hkQ j
puesto que
Q j =d
dt
(
∂U
∂q j
)
−∂U
∂q j
tenemos
Hk =∂q j
∂hk
[
d
dt
(
∂U
∂q j
)
−∂U
∂q j
]
=
=d
dt
(
∂U
∂q j
)
∂q j
∂hk−
∂U
∂q j
∂q j
∂hk=
=d
dt
(
∂U
∂q j
∂q j
∂hk
)
−∂U
∂q j
d
dt
(
∂q j
∂hk
)
−∂U
∂q j
∂q j
∂hk
ahora bien∂q j
∂hk=
∂q j
∂hk, y
d
dt
(
∂q j
∂hk
)
=∂q j
∂hk
3.4 Potenciales generalizados 49
por lo que
Hk =d
dt
(
∂U
∂q j
∂q j
∂hk
)
−[
∂U
∂q j
∂q j
∂hk+
∂U
∂q j
∂q j
∂hk
]
=d
dt
(
∂U
∂hk
)
−∂U
∂hk
como queriamos demostrar. Podemos decir entonces que la función U(q, q, t )
actua como una función potencial generalizada. En el caso en queU no dependa
de las velocidades, tenemos
Q j =−∂U
∂q j
y por tanto en el nuevo sistema de coordenadas
Hk =−∂U
∂hk
En el caso de tener una función potencial generalizado U, tenemos
Q j =d
dt
(
∂U
∂q j
)
−∂U
∂q j
así mismo de acuerdo con las ecuaciones de Lagrange
Q j =d
dt
(
∂T
∂q j
)
−∂T
∂q j
restando miembro a miembro
d
dt
(
∂L
∂q j
)
−∂L
∂q j= 0 (3.5)
siendo L = T −U la función de Lagrange o lagrangiana.
Ejemplo 3.3 Calcular el potencial generalizado de una partícula cargada some-
tida a un campo electromagnético externo
SOLUCCIÓN
Como es bien sabido la fuerza que actua sobre una partícula cargada sometida
a un campo electromagnético externo viene dada por la expresión (en unidades
50Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
gaussianas)
F = q
[
E+1
c(v×B)
]
siendo q la carga de la partícula, E el campo eléctrico y B el campo magnético,
que vienen dados por las ecuaciones de Maxwell
∇×E+1
c
∂B
∂t= 0
∇×H−1
c
∂D
∂t=
4π
cj
∇·D = 4πρ
∇·B = 0
Puesto que ∇·B = 0 siempre podemos elegir al campo B de la forma
B =∇×A
siendo A el potencial vector. Sustituyendo en la primera ecuación de Maxwell,
∇×E+1
c
∂
∂t(∇×A) = 0
que podemos poner como
∇× (E+1
c
∂A
∂t) = 0
lo que nos indica que podemos igualar lo que esta entre paréntesis al gradiente
de una función escalar
E+1
c
∂A
∂t=−∇φ
de donde
E =−∇φ−1
c
∂A
∂t
sustituyendo en la expresión de la fuerza, obtenemos
F = q
[
(−∇φ−∂A
∂t)+
1
c(v× (∇×A))
]
.
3.4 Potenciales generalizados 51
La componente i del término (v× (∇×A)) la podemos poner como
v j
∂A j
∂x i−v j
∂Ai
∂x j
por lo que la i-exima componente de la fuerza vale
Fi = q
[
−∂φ
∂x i−
1
c
∂Ai
∂t+
1
cv j
∂A j
∂x i−
1
cv j
∂Ai
∂x j
]
.
Ahora bien teniendo en cuenta la expresión de la derivada total de un vector
d Ai
dt=
1
c
∂Ai
∂t+
1
cv j
∂Ai
∂x j
podemos poner la i-exima componente de la fuerza como
Fi = q
[
−∂φ
∂x i−
1
c
d Ai
dt+
1
cv j
∂A j
∂x i
]
.
Supongamos a partir de este momento que las velocidades y la coordenadas son
independientes, podemos poner
v j
∂A j
∂x i=
∂(v j A j )
∂x i=
∂(v ·A)
∂x i
sustituyendo
Fi = q
[
−∂
∂x i(φ−
1
cA ·v)−
1
c
d Ai
dt
]
el término d Ai /dt lo podemos poner como
d Ai
dt=
d
dt
(
∂
∂vi(A j v j )
)
=d
dt
(
∂
∂vi(A ·v)
)
por lo que
Fi = q
[
−∂
∂x i(φ−
1
cA ·v)−
1
c
d
dt
(
∂
∂vi(A ·v)
)]
.
Puesto que φ no depende de v, podemos reescribir la anterior expresión como
Fi = q
[
−∂
∂x i(φ−
1
cA ·v)+
d
dt
(
∂
∂vi(φ−
1
cA ·v)
)]
.
52Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
Sea U la función
U = q
(
φ−1
cA ·v
)
tendremos
Fi =d
dt
(
∂U
∂vi
)
−∂U
∂xi
así pues U tiene la forma de un potencial generalizado. Formando la lagrangiana
L = T −U = T −qφ+q
cA ·v =
1
2mv2 −qφ+
q
cA ·v
Desde el punto de vista de la Mecánica Clásica, son los campos E y H los que
tienen importancia desde un punto de vista dinámico pues de acuerdo con la
expresión de la fuerza Lorentz son los únicos que intervienen en las ecuaciones
del movimiento de la partícula cargada. Los potenciales φ y A son funciones au-
xililiares que nos ayudan, desde el punto de vista matématico, a resolver el pro-
blema (Esto no es así en Mecánica Cuántica, donde los potenciales juegan un
papel similar al de los campos). Puesto que los campos se obtienen por diferen-
ciación de los potenciales, estos no varían cuando se somete a los potenciales a
operaciones del tipo
φ −→ φ−1
c∂tΛ
A −→ A+∇Λ
Estas transformaciones reciben el nombre de transformaciones gauge. Si susti-
tuimos los potenciales por sus transformados en la expresión de la Lagrangiana
se obtiene
L −→ L+q1
c∂tΛ+
q
c∇Λ ·v = L+q
1
c
dΛ
dt
Ahora bien según veremos más adelante, la función de Lagrange está definida
de forma única salvo la derivada total de una cierta función. Esto significa que
las ecuciones diferenciales obtenidas mediante la funcion L y su transformada
son idénticas. Por tanto la función de Lagrange es un invariente gauge.
3.4 Potenciales generalizados 53
Teorema 3.4.2 Si existe una función W (q, q, t ) de tal forma que las componen-
tes generalizadas de la fuerza se pueden poner como
Q j =−∂W (q, q, t )
∂q j,
al cambiar a cualquier otro sistema de coordenadas hk , tenemos
Hk =−∂W (h, h, t )
∂hk
DEMOSTRACIÓN
Puesto que las componentes generalizadas de la fuerza se comportan como un
vector covariante, tenemos
Hk =∂q j
∂hkQ j
ahora bien puesto que por definición
Q j =−∂W (q, q, t )
∂q j
y de acuerdo con los lemmas demostrados
∂q j
∂hk=
∂q j
∂hk
se obtiene
Hk =−∂W (q, q, t )
∂q j
∂q j
∂hk=−
∂W (h, h, t )
∂hk
como queriamos demostrar. La función potencial W recibe el nombre de fun-
ción de disipación de Raileygh. Las ecuaciones de lagrange toman la forma
d
dt
(
∂T
∂q j
)
−∂T
∂q j=−
∂W (q, q, t )
∂q j(3.6)
Teorema 3.4.3 La función de Lagrange está definida salvo la derivada temporal
de una funcion F (q, t )
54Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
DEMOSTRACIÓN Suponer que tenemos una función F (q, t ), la derivada temporal
vale
F (q, q, t ) =∑
j
∂F
∂q jq j +
∂F
∂t
derivando respecto a qk
∂F (q, q, t )
∂qk
∣
∣
∣
∣
q j ,q j ,t
=∑
j
∂2F
∂qk∂q jq j +
∂2F
∂qk∂t(3.7)
puesto que∂F (q,q, t )
∂q j=
∂F (q, t )
∂q j
derivando esta expresión respecto del tiempo
d
dt
(
∂F (q,q, t )
∂q j
)
=d
dt
(
∂F (q, t )
∂q j
)
=∑
k
∂2F
∂qk∂q jqk +
∂2F
∂qk∂t(3.8)
restando las ecuaciones 3.8 y 3.7 tenemos
d
dt
(
∂F (q,q, t )
∂q j
)
−∂F (q, q, t )
∂qk
∣
∣
∣
∣
q j ,q j ,t
= 0 (3.9)
Por lo que si tenemos dos funciones de Lagrange, L y L′ tal que
L′ = L+ F
entonces ambas verificarán las mismas ecuaciones de Lagrange
d
dt
(
∂L′
∂q j
)
−∂L′
∂q j=
d
dt
(
∂L
∂q j
)
−∂L
∂q j= 0
3.5 Formulación covariante de las ecuaciones de Lagrange 55
3.5. Formulación covariante de las ecuaciones de Lagran-
ge
Considerar el fibrado tangente TQ sobre el que están definidos las ecuacio-
nes de Lagrange. Considerar la 1 – forma diferencial
ω=∂L
∂q jdq j = p j dq j =Ti dx i
cuyas 2n componentes son (∂L/∂q1, . . . ,∂L/∂qn ,0, . . . ,0). Calculemos la derivada
de Lie de la anterior 1 – forma a lo largo de la trayectoria recorrida por el sistema.
De acuerdo con la definición de derivada de Lie, tenemos
ω′ = L∆(ω) = L∆(Ti )dx i +Ti d(L∆x i )
siendo Ti las componentes de la 1 – forma y ∆i las componentes del vector tan-
gente a la curva integral cuyas componentes en este caso son (q i , q i ), pues de
acuerdo con nuestra hipótesis la curva integral es la trayectoria seguida por el
sistema dinámico. Puesto que
Ti =∂L
∂q i
en las primera n variables y cero en el resto, obtenemos
L∆(ω) = L∆
(
∂L
∂q i
)
dq i +∂L
∂q id(L∆q i )
teniendo en cuenta que la derivada de Lie de una función equivale a la derivada
a lo largo de la curva integral, tenemos
L∆
(
∂L
∂q i
)
=d
dt
(
∂L
∂q i
)
y de la misma forma
d(L∆q i )= d(d
dtq i )= dq i .
56Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
Así mismo, de acuerdo con las ecuaciones de Lagrange.
d
dt
(
∂L
∂q i
)
−∂L
∂q i= 0
por lo que,
L∆
(
∂L
∂q i
)
=∂L
∂q i
sustituyendo, tenemos
L∆(ω) =∂L
∂q idq i +
∂L
∂q idq i
Ahora bien, el miembro de la derecha representa la diferencial de la función de
Lagrange, por lo que
L∆(ω)−dL = 0 (3.10)
que constituye la forma covariante de las ecuaciones de Lagrange que estaba-
mos buscando. Todos lo elementos de la anterior ecuacion son objetos geomé-
tricos independientes del sistema de referencia que estemos empleando. Así te-
nemos, la 1 – forma ω, la diferencial de la función de Lagrange dL, el vector tan-
gente ∆ a la trayectoria del sistema y por último la propia función de Lagrange.
Ejemplo 3.4 Considerar el caso de un oscilador armónico unidimensional in-
vertido, cuyo potencial viene dado por la expresión V = −(1/2)kx2. a) Dibujar
las trayectorias en el espacio de las fases x–v (espacio de las fases de las velo-
cidades). b) Escribir el campo vectorial dinámico ∆. c) Obtener las ecuaciones
para las curvas integrales (esto es la ecuacion de las trayectorias) en el fibra-
do tangente. d) Calcular las derivadas de Lie respecto de ∆ de la energía E y el
momento p = mx. e) Mostrar, calculando la derivada de Lie respecto de ∆ que
x −ωx va converge hacia cero exponencialmente en el tiempo.
SOLUCCIÓN:
a) Para evaluar las trayectorias debemos de calcular las ecuaciones del movi-
miento y elimiar el tiempo entre las ecuaciones que describen las posiciones y
3.5 Formulación covariante de las ecuaciones de Lagrange 57
las velocidades. Ahora bien es posible tomarun atajo dado que la energía total
es una constante del movimiento tenemos
E =1
2mx2 −
1
2kx2
que nos describen la trayectoria en el espacio de fases de velocidades. Una ex-
presión de este campo se puede ver en la figura 3.2
-1 -0.5 0 0.5 1x
-1
-0.5
0
0.5
1
v
Figura 3.2:
b) Por definición el campo ∆ es el vector tangente a la trayectoria en el espacio
de las fases(x, x) y por tanto tiene como componentes x, x, así pues la expresión
vectorial del campo ∆ es
∆= x∂
∂x+ x
∂
∂x
ahora bien de las ecuaciones del movimiento
mx = Fx =−∂V
∂x= kx
llamando ω2 = k/x se tiene que x =ω2x por lo que
∆= x∂
∂x+ω2x
∂
∂x
Así pues ∆ es un campo que tiene como componente x a la velocidad x y como
componente y a la posición x multiplicada por ω2. La representación de este
campo lo acabamos de ver representado en la figura 3.2.
58Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
c) Para el cálculo de la curva integral solo tenemos que integrar el campo ∆.
Vamos a llamar x1 a la coordenada x y x2 a la coordenada y que en este caso es
x. Del hecho que el vector ∆ es tangente a la curva integral (x1(t ), x2(t )) tenemos
dx1
dt= x2
dx2
dt= ω2x1
cuya solucción es
x(t )= x1(t ) = a coshω(t − t0)+b sinhω(t − t0)
x(t ) = x2(t )= aωsinhω(t − t0)+bωcoshω(t − t0)
d) La derivada de Lie de la energía E(x, x) vale 1
L∆(E) =∂E
∂xx +
∂E
∂xx
teniendo en cuenta la expresión de E
L∆(E)=−mω2xx +mω2xx = 0
lo que significa que E se mantiene constante a lo largo de la curva integral. Esto
ya lo sabiamos pues E es una constante del movimiento (ver el próximo capítu-
lo). Respecto de la derivada de Lie del momento tenemos
L∆(mx) =∂mx
∂xx +
∂mx
∂xx = mx = kx
como vemos la deriva de Lie del momento es la fuerza.
e) La derivada de Lie de la función (x −ωx) vale
L∆(x −ωx) =∂(x −ωx)
∂xx +
∂(x −ωx)
∂xx =−ω(x −ωx)
1Podemos interpretar también la derivada de Lie de una función a lo largo de un campo inte-gral asociado al campo vectorial ξ como ξ( f ) e interpretar al vector tangente como una manera dederivar y por tanto Lξ = ξ( f ) = ξi (∂/∂x i ) f = ξi ∂ f /∂x i . En este caso las componentes del vector ∆
son x i , x i
3.6 Ejercicios 59
LLamando ξ = (x −ωx) y teniendo en cuenta que la deriva de Lie a lo largo del
campo ∆ es la derivada total, la expresión anterior se puede escribir como
dξ
dt=−ωξ
integrando
(x −ωx) = ξ(t )= ξ0 exp(−ωt )
así pues para tiempos grandes x →ωx
3.6. Ejercicios
Ejercicio 3.1 Una partícula de masa m se mueve a lo largo de un alambre que
forma una circunferencia vertical de radio a. El alambre gira en torno a un diá-
metro vertical fijo con velocidad angular ω. Encontrar las ecuaciones del movi-
miento de la partícula suponiendo que no existe rozamiento y que la partícula
es pesada.
Ejercicio 3.2 Considerar una moneda homogénea que rueda sin deslizar sobre
una mesa horizontal. Encontrar las ecuaciones del movimiento en términos de
los ángulos de Euler y las coordenadas del punto de contacto de la moneda con
la mesa.
Figura 3.3:
60Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
Ejercicio 3.3 Considerar una barra que se mueve en un plano vertical mante-
niendo uno de sus extremos moviendose a lo largo de una recta horizontal sin
rozamiento. Calcular las ecuaciones del movimiento y la reacción N que se pro-
duce en el extremo.
Ejercicio 3.4 Encontrar las ecuaciones del movimiento del trompo que se loca-
liza sobre una plataforma de masa m sometida a una fuerza F dirigida a lo largo
del eje y y restringida a moverse a lo largo de este eje. Al trompo se le aplica un
momento M en su cima tal y como se muestra en la figura 3.4.
Figura 3.4:
Ejercicio 3.5 Considerar el sistema que se muestra en la figura 3.5. Evaluar la
lagrangiana. El disco inferior rueda sin deslizar.
Figura 3.5:
3.6 Ejercicios 61
Ejercicio 3.6 Calcular la energía cinética de una barra que se mueve libremente
en el espacio. Utilizar los ángulos de Euler
Ejercicio 3.7 Dar las ecuaciones del movimiento de una barra que se mueve
libremente en un plano vertical y este a su vez gira con velocidad angular cons-
tante ω en torno a su eje vertical.
Ejercicio 3.8 Dar las ecuaciones del movimiento de un cono de semiángulo β
que rueda sin deslizar sobre un plano inclinado.
Ejercicio 3.9 Estudiar el movimiento de una barra pesada que rueda sin des-
lizar sobre un círculo fijo de radio R. El centro de masas de la barra coincide,
inicialmente, con el punto superior del círculo.
Ejercicio 3.10 La figura 3.6 nos muestra a un collar de masa m que desliza a lo
largo de una barra de masa M y longitud 2L. El coeficiente de fricción entre el
collar y la barra es µ. Hay una fuerza F actuando como se muestra en la figura en
el extremo de la barra. Encontrar las ecuaciones del movimiento utilizando las
ecuaciaones de Lagrange.
Figura 3.6:
62Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
Capítulo 4
Principios disponibles para la
integración
4.1. Forma explícita de las ecuaciones de Lagrange
Como vimos en el capitulo anterior, el movimiento de un sistema mecáni-
co viene regido por las ecuaciones de Lagrange. Vamos a demostrar que estas
ecuaciones se reducen a un conjunto de n ecuaciones diferenciales de segun-
do orden. Para ello supongamos que tenemos un sistema mecánico en el que la
energía cinética sea una función cuadrática de las velocidades, esto tiene lugar
normalmente si el sistema tiene ligaduras que no dependen del tiempo,
2T = Ti j q i q j .
Las ecuaciones de Lagrange toman la forma
d
dt
(
∂T
∂qk
)
−∂T
∂qk=Qk
Como vimos en un capítulo anterior introduciendo la métrica inducida por la
energía cinética
ds2 = 2T dt 2
64 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
podemos escribir las ecuaciones de Lagrange mediante la expresión
ak =Qk
siendo Qk la componente generalizada de la fuerza y ak la ’aceleración’ genera-
lizada. Teniendo en cuenta que ak = Tk j a j , que
a j =dv j
dt+Γ
j
i lv i v l
y que v i = q i , tenemos
Tk j q j +Tk jΓj
i lq i q l =Qk
multiplicando por el tensor recíproco T hk
T hk Tk j q j +T hk Tk jΓj
i lq i q l = T hkQk
teniendo en cuenta que
T hk Tk j = δhj
tenemos
δhj q j +δh
j Γj
i lq i q l = qh +Γ
hi l q i q l =T hkQk
de donde
qh =−Γhi l q i q l +T hkQk (4.1)
que constituyen la forma explícita de las ecuaciones de Lagrange. Vemos pues
que las ecuaciones de Lagrange dan lugar a un sistema de n ecuaciones dife-
renciales de segundo orden lo que nos da por tanto un sistema de ecuaciones
diferenciales de orden 2n.
4.2. Integración de las ecuaciones diferenciales
La teoría de las ecuciones diferenciales ordinarias nos dice que en la soluc-
ción de un sistema de ecuaciones diferenciales de orden 2n aparecen 2n cons-
tantes de integración que tendremos que calcular a partir de las condiciones
iniciales.
4.2 Integración de las ecuaciones diferenciales 65
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden k, el sistema se puede
reducir a k ecuaciones diferenciales de la forma
dxr
dt= Xr (x1, x2, . . . , xk ), , r = 1,2, . . . , k
donde Xr son funciones conocidas de las variables xi , siendo las variables xi
iguales a la originales qi o a sus derivadas hasta el orden (sin incluirlo) de la
derivada más elevada que aparece en cada ecuación diferencial. Así por ejemplo
suponer que tenemos el sistema
d2q1
dt 2= Q1(q1, q2, q1, q2)
d2q2
dt 2= Q2(q1, q2, q1, q2)
hagamos
x1 = q1, , x2 = q2, , x3 = q1, , x4 = q2
el sistema de orden 4 se reduce a un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de
primer orden dado por la expresión,
x1 = x3
x3 = Q1(x1, x2, x3, x4)
x2 = x4
x4 = Q2(x1, x2, x3, x4)
así pues cualquier sistema de ecuaciones diferenciales de orden k se puede re-
ducir a un sistema de k ecuaciones diferenciales de la forma
dxr
dt= Xr (x1, x2, . . . , xk ), r = 1,2, . . . , k (4.2)
Consideremos una función f (x1, x2, . . . , xk , t ), tal que d f /dt = 0 cuando sus
argumentos son soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales, se dice en-
66 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
tonces que
f (x1, x2, . . . , xk , t )=C t e.
es una integral primera del sistema de ecuaciones diferenciales. La condición
para que una función f constituya una integral primera del sistema se encuen-
tra facilmente. Partiendo del hecho que d f /dt = 0, tenemos
∂ f
∂x1x1 +
∂ f
∂x2x2 + . . .+
∂ f
∂xk
xk +∂ f
∂t= 0
puesto que las xi verifican el sistema, xi = Xi , se debe de verificar
∂ f
∂x1X1 +
∂ f
∂x2X2 + . . .+
∂ f
∂xk
Xk +∂ f
∂t= 0
La solucción completa de un conjunto de ecuaciones diferenciales de orden k
requiere conocer k integrales primeras independientes
fr (x1, x2, . . . , xk , t )=αr , r = 1,2, . . . k
siendo αr un conjunto de k constantes arbitrarias. Dado que el anterior sistema
es independiente, podemos despejar las xr ,
xr =φr (α1,α2, . . . ,αk , t ), r = 1,2, . . . k
que es la solucción que andamos buscando. Considerar por ejemplo la ecuación
diferencial
q =−q
hagamos x1 = q y x2 = q, la ecuación diferencial se reduce al sistema
x1 = x2
x2 = −x1
4.3 Sistemas con coordenadas ignorables 67
el cual posee dos integrales primeras
x21 +x2
2 = α1
arctan
(
x1
x2
)
− t = α2.
Resolviendo este sistema, se obtiene
x1 = α1/21 sen(t +α2)
x2 = α1/21 cos(t +α2)
que consituyen la solucción de la ecuación diferencial de segundo orden.
Una división elemental de los problemas que se plantean en mecánica viene
dada por aquellos que son solubles mediante funciones elementales conocidas
o integrales indefinidas de estas y aquellos no resolubles por funciones elemen-
tales o sus integrales indefinidas. Nos referiremos a los primeros como proble-
mas solubles mediante cuadraturas. Los probelmas de dinámica en general no
son solubles mediante cuadraturas y en aquellos casos en los que sí son solu-
bles se debe a que existe alguna razón especial. El objeto del presente capítulo
es analizar que condiciones especiales debe de cumplir la lagrangiana para que
el sistema se pueda integrar por cuadraturas.
4.3. Sistemas con coordenadas ignorables
Considerar un sistema holonómico cuyas fuerzas procedan de un potencial,
en estas condicionesd
dt
(
∂L
∂qk
)
−∂L
∂qk= 0
la cantidad
pk =∂L
∂qk
recibe el nombre de momento generalizado correspondiente a la variable qk .
Suponer que algunas de las variables qk no aparecen explicitamente en la ex-
presión de la lagrangiana, aunque puedan estar presentes sus velocidades qk .
68 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
Suponer que sean la r primeras q1, q2, . . . , qr . De acuerdo con las ecuciones de
Lagrange, para este conjunto de r variables tendremos
d
dt
(
∂L
∂qk
)
= 0
por lo que por integración directa
∂L
∂qk= pk =βk , k = 1,2, . . . , r
siendo βk constantes de integración. Este conjunto de r ecuaciones constituyen
r integrales primeras del sistema. A las r variables q1, q2, . . . qr que no aparecen
en la lagrangiana se las denomina ignorables o cíclicas. La anterior ecuación
nos dice que el momento generalizado asociado a toda variable cíclica es una
constante del movimiento.
Vamos a ver como podemos emplear las r constantes del movimiento para
reducir el orden del sistema de 2n a 2n −2r .
Considerar la función
R = L−∑
k
qk ∂L
∂qk, k = 1,2, . . . , r
Por medio de las r ecuaciones
∂L
∂qk= βk , k = 1,2, . . . , r
podemos expresar las r velocidades generalizadas q1, q2, . . . , qr como función de
qr+1, qr+2, . . . , qn , qr+1, qr+2, . . . , qn ,β1,β2, . . . ,βr
de tal forma que la función R solo depende del grupo anterior de variables. Con-
siderar ahora una variación arbitraria de los argumentos de la función R, la va-
riación de la propia función vendrá dada po la expresión
δR = δ(L−∑
k
qk ∂L
∂qk)
4.3 Sistemas con coordenadas ignorables 69
ahora bien
δL =n∑
r+1
∂L
∂qkδqk +
r∑
1
∂L
∂qkδqk +
n∑
r+1
∂L
∂qkδqk
y
δ
(
r∑
k=1
qk ∂L
∂qk
)
=r
∑
1
∂L
∂qkδqk +
r∑
1qkδβk
puesto que∂L
∂qk=βk
Tenemos que
δR =n∑
r+1
∂L
∂qkδqk +
n∑
r+1
∂L
∂qkδqk −
r∑
1qkδβk
Así pues
∂R
∂qk=
∂L
∂qkk = r +1, r +2, . . . , n
∂R
∂qk=
∂L
∂qkk = r +1, r +2, . . . , n
qk = −∂R
∂βk
k = 1,2, . . . , r
sustituyendo en las ecuaciones de Lagrange
d
dt
(
∂R
∂qk
)
−∂R
∂qk= 0 k = r +1, r +2, . . . , n (4.3)
donde la función R es función únicamente de las qr+1, qr+2, . . . , qn , qr+1, qr+2, . . . , qn ,β1,β2, . . . ,βr ,
por lo que el numero de grados de libertad ha pasado a ser n − r y el orden del
sistema del orden 2(n − r). Una vez resuelto este sistema, podemos sustituir sus
soluciones en la funcion R y calcular el resto de coordenadas mediante las ecua-
ciones
qk =−∫
∂R
∂βk
dt , k = 1,2, . . . , r (4.4)
La función R recibe el nombre de función de Routh, pues fué introducida por
este investigador en 1876.
Si el problema original se refiere a un problema de un sistema dinámico con-
servativo (las fuerzas dependen de un potencial independiente de las velocida-
70 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
des) en el que las ligaduras no dependen del tiempo, la lagrangiana depende
unicamente de las velocidades en el término cuadrático que aparece en la ex-
presión de la energía cinética. Ahora bien la función de Routh, no puede ser
separada en dos partes como antes. En general la función de Routh puede de-
pender de forma lineal de las velocidades.
Ejemplo 4.1 Considerar un sistema dinámico con dos grados de libertad cuya
energía cinética toma la forma
T =1
2
q21
a +bq22
+1
2q2
2
y la energía potencial vale
V = c +dq22
Calcular las ecuaciones del movimiento.
SOLUCCIÓN
La lagrangiana toma la forma
L =1
2
q21
a +bq22
+1
2q2
2 − c −dq22
puesto que q1 no aparece en la ecuación, la función
1
a +bq22
q1 =β
es una integral primera del sistema. La funcion de Routh vale
R = L− q1∂L
∂q1=
1
2q2
2 − c −dq22 −
1
2β2(a +bq2
2 )
y las ecuaciones de Lagrange para la función R toma la forma
q2 + (2d +bβ2)q2 = 0
cuya integral vale
q2 = Asen[
(2d +bβ2)1/2 +ǫ]
4.4 Simetrías y propiedades de conservación 71
de donde
q1 =∫
β(a +bq22 )dt
obteniendose la expresión
q1 = (βa +1
2βb A2)t −
βb A2
4(2d +bβ2)1/2sen2
[
(2d +bβ2)1/2 +ǫ]
lo que completa la solucción del problema.
4.4. Simetrías y propiedades de conservación
Vamos en primer lugar a ver que se entiende por una transformación de si-
metría. Para ello supondremos que tenemos un sistema mecánico, supongamos
que cada partícula del sistema mecánico es sometida a una misma operación,
por ejemplo trasladamos cada partícula en una cierta dirección, o por ejemplo
rotamos cada partícula un cierto ángulo alrededor de un mismo eje. Si el siste-
ma tiene el mismo aspecto al final que tenia al principio diremos que el sistema
es simétrico respecto de la operación que acabamos de realizar. Una manera al-
ternativa de realizar las operaciones de transformación es variar la posición del
observador. En vez de trasladar el sistema una cierta cantidad, trasladamos en
la dirección opuesta al observador. La operación inicial (trasladamos el sistema)
se llama activa, la segunda (trasladamos al observador) se llama pasiva. Vamos
a fijarnos en esta segunda manera de trabajar. Equivale a una transformación
de coordenadas. Si se produce una traslación, las nuevas coordenadas serán las
antiguas mas o menos un cierta cantidad
x ′ = x +ax
y ′ = y +ay
z ′ = z +az
siendo a = (ax , ay , az ) el vector de traslación. Este cambio de coordenadas es
simplemente un mapeo del espacio original en el nuevo espacio, en el que cada
punto del sistema de coordenadas inicial se transforma un su correspondiente
72 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
punto del sistema de coordenadas final. Bajo esta transformación de coordena-
das el Lagrangiano del sistema L(x, x, t ) se transforma en un nuevo lagrangiano
L′(x′, x′, t ), funcionalmente diferente del lagrangiano original, pero tal que en
cada punto correspondiente el valor es el mismo (es un escalar). Esto es,
L′(x′, x′, t )= L(x, x, t )
Ahora bien, si la transformación es una transformación de simetría, la forma
del lagrangiano es la misma, Esto es
L′(x′, x′, t )= L(x′, x′, t )
Como L′(x′, x′, t )= L(x, x, t ), se tendrá bajo una transformación de simetría que
L(x′, x′, t )= L(x, x, t )
esto es,
δL = L(x′, x′, t )−L(x, x, t )= 0
Esto significa que el lagrangiano en los puntos original y transformado no ha
cambiado y por tanto la dinámica que describe tampoco y el sistema por tanto
se ve de la misma manera por ambos observadores.
Veamos un ejemplo. Suponed una partícula en un campo central. El lagran-
giano viene dado por la expresión
L =1
2m(x2 + y2 + z2)+
k√
x2 + y2 + z2
Hagamos una transformación consistente en rotar el sistema de coordenadas un
ángulo φ en torno al eje z. Bajo esta transformación de coordenadas las nuevas
variables son
x ′ = x cosθ+ y sinθ
y ′ = −x sinθ+ y cosθ
z ′ = z
4.4 Simetrías y propiedades de conservación 73
Bajo esta transformación de coordenadas es fácil ver que el nuevo lagrangiano
vale
L′(x ′, x ′, t )=1
2m(x ′2 + y ′2 + z ′2)+
k√
x ′2 + y ′2 + z ′2
y por tanto L′(x ′, x, t )= L(x ′, x ′, t ). Veamos que sucede cuando hay simetrias por
traslación, rotación y traslación temporal.
Teorema 4.4.1 Considerar un sistema de N partículas de masas m(i ), posición
r(i ) y velocidad v(i ). Si el comportamiento del sistema está representado por
una función de Lagrange L(r(i ),v(i ), t ) que es invariante por translación en una
cierta la dirección, la componente de la cantidad∑
∂L(r,v, t )/∂v(i ) en la direc-
ción de translación es una constante del movimiento. Si además el potencial
generalizado no es función de las velocidades v(i ), entonces∑
∂L(r,v, t )/∂v(i ) =∑
m(i )v(i ) ≡P, siendo P el momento lineal total del sistema respecto del origen
del sistema.
DEMOSTRACIÓN
Considerar un desplazamiento virtual del sistema en el cual el sistema sufre una
translación uniforme infinitesimal ǫ. Entonces
δr(1) = δr(2) = ·· · = δr(N) = ǫ
δv(1) =δv(2) = ·· · =δv(N) = 0
Si el lagrangiano es invariante bajo esta translación, se tiene que 1
δL = L(r+δr,v+δv, t )−L(r,v, t ) = 0
por lo que,
δL =∑
i
∂L(r,v, t )
∂r(i )·δr(i )+
∑
i
∂L(r,v, t )
∂v(i )·δv(i ) = ǫ ·
∑
i
∂L(r,v, t )
∂r(i )= 0
1Emplearemos la siguiente notación, suponiendo que r = x1i1+x2i2+x3i3, ∂L/∂r= i1∂L/∂x1+i2∂L/∂x2 + i3∂L/∂x3, esto es el gradiente de L respecto de r.
74 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
Ahora bien de las ecuaciones de Lagrange
d
dt
(
∂L
∂v(i )
)
−∂L
∂r(i )= 0
y por tanto∂L
∂r(i )=
d
dt
(
∂L
∂v(i )
)
por lo que
ǫ ·d
dt
(
∑
i
∂L
∂v(i )
)
= 0
Esta igualdad se verificará cualquiera que sea la magnitud de ǫ, en particular se
verificará para un desplazamiento unidad
ǫ
ǫ·
d
dt
(
∑
i
∂L
∂v(i )
)
= 0
od
dt
(
ǫ
ǫ·∑
i
∂L
∂v(i )
)
= 0
lo que nos dice que la cantidad
(
ǫ
ǫ·∑
i
∂L
∂v(i )
)
es una integral primera del sistema. Ahora bien esta cantidad representa la pro-
yección en la dirección de translación de la cantidad∑
i ∂L/∂v(i ), con lo que
queda demostrado el teorema. Si además el potencial U no es función de las
velocidades, entonces
∑
i
∂L
∂v(i )=
∑
i
∂T
∂v(i )=
∑
i
∂
∂v(i )
1
2
∑
j
m( j )v( j ) ·v( j )
=∑
m(i )v(i ) ≡ P
lo que completa la demostración del teorema. Así pues vemos que si el lagran-
giano es invariante por translación en una cierta dirección la proyección del mo-
mento en la dirección de traslación es una constante del movimiento. Así pues
este teorema (y los que siguen) nos liga las propiedades de simetría del sistema
4.4 Simetrías y propiedades de conservación 75
con las propiedades de conservación. Si tenemos un sistema aislado, las pro-
piedades de homogeneidad del espacio, hace que el sistema sea invariante por
translación en cualquiera de las direcciones del espacio y por tanto la proyec-
ción momento lineal del sistema sobre cualquiera de las direcciones de trasla-
ción es constante y por tanto el momento total del sistema es una constante del
movimiento. Esto liga a una de las propiedades más importante de los sistemas
mecánicos, la conservación del momento, con la homogeneidad del espacio
Teorema 4.4.2 Considerar un sistema de N partículas de masas m(i ), posición
r(i ) y velocidad v(i ). Si el comportamiento del sistema está representado por
una función de Lagrange L(r(i ),v(i ), t ) que es invariante por rotación respecto
de un cierto eje que pasa por el origen de coordenadas, la componente de la
cantidad∑
r(i )×∂L(r,v, t )/∂v(i ) en la dirección del eje de rotación es una cons-
tante del movimiento. Si además el potencial generalizado no es función de las
velocidades v(i ), entonces∑
r(i )×∂L(r,v, t )/∂v(i ) =∑
r(i )×m(i )v(i ) ≡ H, siendo
H el momento angular total del sistema respecto del origen del sistema.
DEMOSTRACIÓN
Considerar un desplazamiento virtual del sistema que consiste en una rotación
infinitesimal ǫ en torno a un cierto eje que pasa por el origen de coordendas,
donde ǫ representa un vector cuya dirección es la del eje de rotación y cuya mag-
nitud coincide con el ángulo de rotación. Se verificara
δr(i ) = ǫ×r(i )
δv(i ) = ǫ×v(i ) =d
dt(ǫ×r(i ))
Si el lagrangiano es invariante por rotación
δL = L(r+δr,v+δv, t )−L(r,v, t ) = 0
76 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
Ahora bien,
δL =∑
i
∂L(r,v, t )
∂r(i )·δr(i )+
∑
i
∂L(r,v, t )
∂v(i )·δv(i )
=∑
i
∂L(r,v, t )
∂r(i )· [ǫ×r(i )]+
∑
i
∂L(r,v, t )
∂v(i )·
d
dt[ǫ×r(i )]
teniendo en cuenta las ecuaciones de Lagrange
∂L
∂r(i )=
d
dt
(
∂L
∂v(i )
)
de donde
δL =∑
i
d
dt
[
∂L(r,v, t )
∂v(i )
]
· [ǫ×r(i )]+∑
i
∂L(r,v, t )
∂v(i )·
d
dt[ǫ×r(i )]
=d
dt
∑
i
[
∂L(r,v, t )
∂v(i )
]
· [ǫ×r(i )]
=d
dt
∑
i
ǫ ·[
r(i )×∂L(r,v, t )
∂v(i )
]
= 0
La igualdad anterior es valida cualquiera que sea la magnitud de ǫ, en particular
para un desplazamiento unidad, por lo que
d
dt
∑
i
ǫ
ǫ·[
r(i )×∂L(r,v, t )
∂v(i )
]
= 0
de donde se sigue que la cantidad
∑
i
ǫ
ǫ·[
r(i )×∂L(r,v, t )
∂v(i )
]
es una constante de movimiento, por lo que la proyección de la cantidad
∑
i
[
r(i )×∂L(r,v, t )
∂v(i )
]
en la dirección del eje de rotación es una constante del movimiento, con lo que
hemos demostrado el teorema. El resto de la demostración es similar a la reali-
4.4 Simetrías y propiedades de conservación 77
zada en el teorema anterior, esto es
∂L(r,v, t )
∂v(i )= mi vi
por lo que∑
i
[
r(i )×∂L(r,v, t )
∂v(i )
]
=∑
i
r(i )×mi vi = H
siendo H el momento angular total del sistema, por lo que resulta que
ǫ ·H = ct e.
esto es la proyección del momento angular en la dirección de rotación es una
constante del movimiento. Así pues vemos que si el lagrangiano es invariante
por rotación en una cierta dirección la proyección del momento en la dirección
de rotación es una constante del movimiento. Si tenemos un sistema aislado,
las propiedades de isotropía del espacio, hace que el sistema sea invariante por
rotación en cualquiera de las direcciones del espacio y por tanto la proyección
momento angular del sistema sobre cualquiera de las direcciones de rotación es
constante y por tanto el momento angular total del sistema es una constante del
movimiento. Esto liga a una de las propiedades más importante de los sistemas
mecánicos, la conservación del momento angular , con la isotropía del espacio,
Teorema 4.4.3 Considerar un sistema mecánico con f grados de libertad cu-
ya configuración esta definida por f coordenadas q1, q2, . . . , q f . Si el compor-
tamiento dínamico del sistema está definido por un lagrangiano L(q, q) que es
independiente explicitamente del tiempo, la cantidad
H(q, q)=∑
i
∂L(q, q)
∂q iq i −L(q, q)
es una constante del movimiento. Si además el potencial generalizado U es una
función unívoca de q y la energía cinética solo contiene términos cuadráticos,
entonces H(q, q) =T (q, q)+U(q) = E la energía total del sistema.
DEMOSTRACIÓN
78 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
Derivando respecto del tiempo la cantidad H(q, q)
dH
dt=
∑
i
d
dt
[
∂L
∂q i
]
q i +∑
i
∂L
∂q iq i −
∑
i
∂L
∂q iq i −
∑
i
∂L
∂q iq i
=∑
i
d
dt
[
∂L
∂q i
]
−∂L
∂q i
q i
ahora bien por las ecuciones de Lagrange el termino entre llaves es nulo, por lo
que dH/dt = 0 y por tanto la cantidad H es una constante del movimiento o in-
tegral primera del sistema. H recibe el nombre de integral de Painlevé o integral
de Jacobi. Tal y como vimos antes, en general
T =1
2Ti j (q)q i q j +Ti (q)q i +
1
2T0(q) =
por lo que si el potencial U no depende de las velocidades, tenemos
H(q, q) = Ti j (q)q i q j +Ti (q)q i −L =
=1
2Ti j (q)q i q j −
1
2T0(q)+U(q)
Si la energía cinética es función cuadrática de la velocidades, el término T0 es
nulo, por lo que
H(q, q)=1
2Ti j (q)q i q j +U(q) = T (q, q)+U(q)
como queriamos demostrar. Este teorema constituye otro de los grandes teore-
mas de conservación, pues liga uno de los teoremas fundamentales de la física
clásica, la de la conservación de la energía, con una de las propiedades de sime-
tría fundamenteles, la homogeneidad del tiempo.
4.5. Teorema de Noether
Los teoremas anteriores se pueden obtener como consecuecia de un teore-
ma más general que recibe el nombre de teorema de Noether.
Teorema 4.5.1 Si la función de Lagrange L de un sistema dinámico es invariante
4.5 Teorema de Noether 79
a lo largo de una curva integral asociada a un campo vectorial ξ entonces
ξi ∂L
∂q i= ξi pi
es una constante del movimiento, esto es, es una función invariante a lo largo
de la trayectoria del sistema.
Para la demostración vamos a emplear las coordenadas naturales en las que una
de las líneas coordenadas es la curva integral asociada al campo vectorial ξ. En
este sistema
ξi ∂L
∂q i= 1
∂L
∂y1
la derivada de Lie de esta función a lo largo de la trayectoria del sistema es
L∆
(
1 ·∂L
∂y1
)
Si nos fijamos en la expresión de las ecuaciones de Lagrange obtenidas en el
capitulo anterior, obtenemos
L∆
(
∂L
∂y1
)
=∂L
∂y1
de donde
L∆
(
1 ·∂L
∂y1
)
=∂L
∂y1.
Ahora bien si si L es invariante a lo largo del campo ξ la derivada de Lie a lo largo
de este campo es nula
Lξ(L) =∂L
∂y1= 0
por lo que
L∆
(
1 ·∂L
∂y1
)
=∂L
∂y1= 0.
Puesto que
1 ·∂L
∂y1= ξi ·
∂L
∂q i
80 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
tenemos
L∆
(
ξi ·∂L
∂q i
)
= 0
y por tanto
ξi ·∂L
∂q i
es una constante del movimiento, como queriamos demostrar. Teniendo en cuen-
ta que∂L
∂q i= pi
son los momentos generalizados. Resulta por tanto que la proyección del mo-
mento generalizado a lo largo del campo ξ es una constante del movimiento, de
donde se pueden deducir los teoremas anteriores.
4.6. Leyes de conservación para lagrangianos gauge-variantes
En ls secciones anteriores se ha supuesto que las transformaciones de si-
metría tenían como consecuencia la invarianza del Lagrangiano, de tal forma
que δL = 0 en dichas transformaciones. Ahora bien, lo que importa es que en
las transformaciones de simetría lo que no cambie son las ecuaciones del movi-
miento, no tanto la función de Lagrange. Como hemos visto antes dos lagrangia-
nas que difieran en la diferencial respecto del tiempo de una función cualquiera
dan lugar a las mismas ecuaciones del movimiento, por tanto vamos a exigir que
en una transformación de simetría, δL no es cero si o que
δL = ǫdΛ
dt
Sunpóngase que se hace una transformación de simetría que produce una va-
riación en las coordenadas de la forma
δq = ǫ f (q, q, t )
4.6 Leyes de conservación para lagrangianos gauge-variantes 81
y que bajo esta transformación se verifica que
δL = ǫdΛ
dt
Teniendo en cuenta que,
δL =∂L
∂qδq +
∂L
∂qδq,
suponiendo que las operaciones δ y d/dt son independientes,
d
dtδq = δq
y las ecuaciones de Lagrange
∂L
∂q=
d
dt
(
∂L
∂q
)
se tiene
δL =d
dt
(
∂L
∂q
)
δq +∂L
∂q
d
dtδq
de donde,
δL =d
dt
(
∂L
∂q
)
δq
Teniendo en cuenta que
δL = ǫdΛ
dt
Obtenemosd
dt
(
∂L
∂qδq −ǫΛ
)
= 0
y puesto que δq = ǫ f (q, q, t ) se obtiene
d
dt
(
∂L
∂qf −ǫΛ
)
= 0
y por tanto∂L
∂qf −ǫΛ= cte (4.5)
es una constante del movimiento.
82 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
4.6.1. Conservación de la energía
Si nos fijamos en las demostraciones realizadas anteriormente, para la con-
servación del momento lineal y cinético hemos hecho uso de la invarianza del
lagrangiano, cosa que no hemos hecho para la energía, en este caso hemos ac-
tuado de forma diferente y es que en la transformación de traslación temporal,
si la energía se conserva (T+V = cte), no se conserva el lagrangiano (T-V), aho-
ra bien si se verifica la tranformacion gauge δL = ǫdΛ/dt . Para verlo, suponed
que el tiempo no esta en la función de Lagrange, esto es L = L(q, q), en estas
condicionesdL
dt=
∂L
∂qq +
∂L
Si hacemos una transformación de simetría que sea una traslación temporal δt ,
la variacion del lagrangiano sera
δL =∂L
∂qδq +
∂L
∂qδq,
ambas ecuaciones se verificaran simultaneamente si
δL =dL
dtδt
y δq = δt q. Tomando ǫ = δt podemos ver que f = q y que Λ = L, por lo que
utilizando el teorema de Noether ampliado se tiene
q∂L
∂q−L = ct e
Ahora bien, el lado izquierdo de la expresión anterior no es otra cosa que el ha-
miltoniano, por lo que
H = ct e
por lo que queda demostrado el teorema. Aconsejo al lector que lea el trabajo
de Jean Marc Levy Leblond (Conservation laws for gauge-variant lagrangians in
classical mechanics, American Journal Physics,vol 39, pp 502, mayo 1971), de
donde se ha sacado esta sección, donde aparecen algunos ejemplos adicionales
de aplicación de este teorema de Noether ampliado.
4.7 Introducción a los sistema dinámicos 83
4.7. Introducción a los sistema dinámicos
Antes de acabar el capítulo merece la pena discutir las propiedades del sis-
tema de ecuaciones diferenciales al que nos ha conducido las ecuaciones de
Lagrangedx
dt= f(x, t ) (4.6)
siendo x = (x1, x2, . . . , xn) y f = ( f 1, f 2, . . . , f n). Podemos considerar al conjunto
de funciones f i como un campo vectorial y a x(t ) la curva integral al cual es
tangente el campo f.
En primer lugar se demuestra que si las funciones f i (x, t ) son funciones con-
tinuas en su dominio de definición y si sus derivadas parciales ∂ f i /∂x j son tam-
bien continuas, es decir, f es de clase C 1, entonces el sistema 4.6 tiene solucción
y esta es única. Vamos a distinguir los sistemas dinámicos según que el tiempo
aparezca o no explicitamente en la definición de f. En el primer caso diremos
que el sistema es no autonomo y en el segundo sistema autonomo. Vamos a es-
tudiar en primer lugar el caso de sistemas no autonomos.
4.7.1. Sistemas no autonomos
Como acabamos de decir, en esta clase de sistemas el tiempo t no entra a
formar parte de la definición de las funciones f, de tal forma que tenemos el
sistema de ecuacionesdx
dt= f(x) (4.7)
Supongamos que la función f es de clase C 1 de tal forma que el sistema anterior
tenga solucción y esta sea única. Dada una condición inicial xi0 el sistema a cabo
del tiempo pasará por el punto
x = (t ,x0, t0) (4.8)
que es la solucción de la ecuacion diferencial que estamos buscando. Los siste-
mas autonomos tienen importantes propiedades, entre ellas resulta que si x(t )
es una solucción, x(t +a) es tambien una solucción. O sea los sistemas autono-
mos son invariantes por translación temporal. Por lo tanto si x(t ) es la solucción
84 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
que pasa por el punto x(0) = x0 en el instante t = 0, entonces x(t − t0) es la soluc-
ción del sistema para el cual x(t0) = x0. Esto significa que la solucción 4.8 es de
la forma
x = (t − t0,x0) (4.9)
Las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales se pueden represen-
tar en un espacio de n dimensiones en el que cada uno de los ejes representa
una variable x i . Este espacio recibe el nombre de espacio de las fases. Para cada
instante t el vector x1(t ), . . . , xn(t ) recibe el nombre de vector estado del sistema.
Podemos representar la solucción del sistema como un punto que se mueve en
el espacio de la fases. La tangente a esta curva en cada apunto coincide con el
campo vectorial f, esta propiedad permite visualizar como han de ser las trayec-
torias. Para ello basta visualizar el campo vectorial f, en cada punto del espacio
f es tangente a la curva integral que pasa por ese punto. Puesto que el tiempo
no aparece explicitamente en f, una trayectoria no debe de cortarse a si mismo
pues si lo hiciese, en el punto de corte, la tangente tomaría dos valores dife-
rentes y por tanto la función f tomaría también dos valores distintos en dicho
punto o cual no es posible. Esto no tiene porque suceder en el caso de sistema
no autonomos, pues la funciónf toma valores distintos en un mismo punto en
el transcurso del tiempo.
Se dice que el punto c es un punto crítico del sistema
dx
dt= f
si y solo si f(c) = 0, en cuyo caso x(t ) = c es una solucción del sistema. La órbita
que parte de este punto se reduce al propio punto. Este punto c corresponde
con el estado de equilibrio del sistema.
Ejemplo 4.2 Considerar la ecuación del oscilador armónico
θ+g
Lsenθ= 0
4.7 Introducción a los sistema dinámicos 85
haciendo x1 = θ y x2 = θ, la anterior ecuación de segundo orden se transforma
en el sistema
x1 = x2
x2 =−g
Lsen x1
cuyos puntos críticos son (nπ,0), n = 0,±1,±2, . . .
Ejemplo 4.3 Considerar el sistema lineal
x1 = −2x1
x2 = −3x2
que en forma matricial podemos poner
(
x1
x2
)
=(
−2 0
0 −3
)(
x1
x2
)
= A
(
x1
x2
)
Puesto que el determinante de A es distintio de cero, el único punto crítico es el
origen. La solucción del sistema es
(
x1
x2
)
=(
e−2t x10
e−3t x20
)
Podemos dibujar las diferentes trayectorias del sistema anterior que parten de
diferentes puntos iniciales. Estos grafos reciben el nombre de diagrama de fa-
ses del sistema. Como vemos de la anterior solucción las trayectorias convergen
hacia el origen, que es como hemos dicho antes el único punto crítico. Se dice
entonces que el sistema es asintóticamente estable. La figura 4.1 nos muestra el
diagrama de fases del sistema.
Sistemas bidimensionales
Dada su sencillez y facilidad de representación vamos a considerar los sis-
temas bidimensionales. Vamos a suponer así mismo que la función f se puede
86 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
-40 -20 20 40
-100
-50
50
100
Figura 4.1:
poner como
f(x)= Ax+g(x)
de tal forma que el determinante de la matriz A es distinto de cero y la función
g es de clase C 1 en un dominio d que contiene el origen. Supongamos tambien
que la función g es “pequeña”cuando x es “pequeño”. LLamaremos a g el ter-
mino perturbativo. Puesto que g es pequeño cerca del origen, podemos pensar
que el comportamiento del sistema cerca del origen viene dada por el sistema
x = Ax
que es más facil de analizar. Puesto que por hipotesis el determinante de A es
distinto de cero, el único punto crítico es el origen. Se puede demostar que la hi-
pótesis de que el comportamiento del sistema viene bien descrito por su parte
lineal es esencialmente cierta pero no completamente cierta. La parte no lineal
puede odificar notoriamente la parte lineal del sistema. Suponer que hacemo el
cambio de variable y = T x, siendo T no singular. En el nuevo sistema de coorde-
nadas el sistema toma la forma
y = (T −1 AT )y =By
siendo la nueva matriz coeficientes B equivalente a la matriz original A,
B = (T −1 AT )
4.7 Introducción a los sistema dinámicos 87
Puesto que por hipótesis el determinante de A es diferente de cero, esta matriz
no tiene autovalores nulos. La teoria de matrices nos dice que es posible encon-
trar una matriz T tal que la matriz B puede tomar las siguientes formas
1.(
λ 0
0 µ
)
con µ<λ< 0 o 0 <µ<λ
2.(
λ 0
0 λ
)
con λ> 0 o λ< 0
3.(
λ 0
0 µ
)
con µ< 0 <λ
4.(
λ 1
0 λ
)
con λ> 0 o λ< 0
5.(
σ ν
−ν σ
)
con σ,ν 6= 0, siendo σ> 0 o σ< 0.
6.(
0 ν
−ν 0
)
siendo ν 6= 0
Los casos 5,6 corresponden con autovalores complejos σ± iν y ±iν respectiva-
mente.
88 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
Vamos a representar los diagrama de fase de los anteriores modelos. Hemos
de recalcar que estas representaciones son válidas únicamente para el modelo
lineal, el modelo perturbado puede tener una comportamiento completamente
diferente, aunque nuestra esperanza es que para valores de x pequeños esto no
ocurra. Así mismo la representación que vamos mostrar es cierta en el sistema
de coordenadas rotado, en el sistema original puede ser diferente.
Caso 1 En este caso la solución es de la forma
(
x1(t )
x2(t )
)
=(
eλt x10
eµt x20
)
Si µ<λ< 0 entonces x → 0 cuanto t →∞. La figura 4.2 representa un caso
típico. El caso 0 < µ < λ se muestra en la figura 4.3. Las orbitas tienden a
Figura 4.2:Figura 4.3:
alejarse del origen al tender t →∞.
Caso 2 las solucciones en este caso son de la forma
(
x1(t )
x2(t )
)
=(
eλt x10
eλt x20
)
cuyos diagramas se representa en las figuras 4.4 y 4.5 En el primer caso las
4.7 Introducción a los sistema dinámicos 89
Figura 4.4: Figura 4.5:
orbitas convergen hacia el origen, en el segundo parten de él.
Caso 3 En este caso la solucciones son
(
x1(t )
x2(t )
)
=(
eλt x10
eµt x20
)
cuyo campo viene representado en la figura 4.6 En este caso la solucciones
Figura 4.6:Figura 4.7:
90 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
tienden a infinito a lo largo del eje x y a cero a lo largo del eje y , el origen
recibe el nombre de punto de ‘ensilladura”.
Caso 4 Las soluciones en este caso son
(
x1(t )
x2(t )
)
=(
eλt (x10 +x2
0 t )
eλt x20
)
cuyo campo se representa en la figura ??. Cuando λ< 0, el flujo converge
hacia el origen y cuando es positivo diverge.
Caso 5 Las soluciones son de la forma
(
x1(t )
x2(t )
)
= eσt
(
ρcos(νt −α)
ρsen(νt −α)
)
siendo ρ =√
(x10 )2 + (x2
0 )2 y tanα = x20 /x1
0 , cuyo campo da lugar a un es-
piral. Si sigma es positivo el flujo diverge y si el negativo el flujo converge
hacia el origen. Si sigma es cero, este campo da lugar a una circunferencia
que corresponde con el caso 6. Ver las figuras 4.8 y 4.9.
Figura 4.8: Figura 4.9:
4.7 Introducción a los sistema dinámicos 91
En todos los casos examinados, la órbitas convergen hacia el origen si y solo
si la parte real de los autovalores es negativa. Se dice entonces que el origen es
un atractor del sistema lineal. Se puede demostrar que el origen sigue siendo un
atractor cuando se añade la perturbación g. En el caso del punto de ensilladura
el origen deja de ser un atractor y es uno de los caso más complicados de analizar
cuando se añade el término perturbativo.
4.7.2. Estabilidad de los sistemas
La resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales para cualesquiera
que sean las condiciones iniciales es un problema muy complejo y sólo se han
obtenido soluciones explicitas en unos cuantos casos. Incluso si el sistema es
lineal existen importantes dificultades si el orden del sistema es muy grande.
No obstante podemos obtener información del tipo de solucción que se puede
obtener sin tener que resolver explicitamente.
Uno de los fenómenos cualitativos de gran interés es la noción de estabilidad
Definiciones de estabilidad
Considerar el sistema autonomo
x = f(x)
estando f definida en un cierto dominio D, donde supondremos que es de clase
C 1, lo que nos garantiza que existe una solucción y esta es única. Sea c un punto
crítico, por tanto f(c) = 0 por tanto x = c es una solucción del sistema. El punto
critico c es un punto de equilibrio o reposo dels sistema físico asociado. Suponer
que desplazamos el sistema de su posición de equilibrio c a un punto x0 cercano.
Nos preguntamos donde estará el sistema al cabo de un tiempo t , >se habrá
alejado mucho del punto c ?, >Convergerá hacia el punto c ?. Podemos dar las
siguientes definiciones
Definición 1 La solución de equilibrio c de un sistema dinámico autonomo se
dice que es estable si ∀ǫ> 0 podemos encontrar un δ (que depende de ǫ) tal que
92 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
si x(t ) es una solucción tal que ||x(t0)−c|| < δ entonces e ||x(t0)−c|| < ǫ para todo
t > t0 (ver figura 4.10)
δ
ε
x0
x(t)
Figura 4.10:
δ
x0
Figura 4.11:
Definición 2 La solución de equilibrio c se dice asintoticamente estable si y solo
si es estable y si existe un δ tal que si x(t ) es una solucción del sistema dinámico
tal que ||x(t0)−c|| < δ entonces lımt−>∞ = c (ver la figura 4.11)
Sistemas lineales
El caso más simple al cual aplicar la definición dada anteriormente es el de
un sistema lineal en el que el sistem dinámico viene descrito por la ecuación
diferencial
x = Ax
Teorema 4.7.1 Si todos los autovalores de A tiene partes reales no positivas y
todos los autovalores con parte real cero son simples, entonces la solución x = 0
es estable. Si y solo si todos los autovalores tienen parte real negativa, la so-
luccuón 0 es asintoticamente estable. De hecho en este caso, si Ψ(t , t0) deno-
ta la matriz fundamental, que se reduce a la identidad en el instante t = t0,
Ψ(t , t0) = exp(A(t − t0)) y existen constantes K y σ tales que
|Ψ(t , t0)| ≤K exp(−σ(t − t0))
4.7 Introducción a los sistema dinámicos 93
con σ> 0 en el caso que todos los autovalores de A tengan partes reales negati-
vas y σ = 0 si ellas son sencillas con parte real cero. Si una o mas de los autova-
lores de A tienen parte real positiva, la solucción cero es inestable.
4.7.3. Sistemas casi lineales
Supooner que tenemos un sistema dinámic autonomo descrito por el siste-
ma de ecuaciones
x = f(x)
con un punto crítico en xo . Pongamos a la solucción del sistema en la forma
x(t )= x0 +z(t )
Las nuevas variables z verifica la ecuación
z = f(x0 +z(t ))
que aplicando el teorema del valor medio podemos poner el sistema casi lineal
z = fx(x0)z+g(z)
siendo g(z) continua y tal que
lım|z|→0
|g(z)||z|
= 0
por lo que g(0) = 0. fx(x0) es una matriz constante cuyo elemento i , j vale ∂ fi /∂x j .
Claramente si z = 0 es un punto crítico estable o asintoticamente estable de este
sistema, x0 será un punto crítico estable del primero. Podemos considerar a la
anterior ecuación como la ecuación de un sistema perturbado respecto al siste-
ma lineal. así pues este tipo de problemas es bastante interesante.
Teorema 4.7.2 Considerar el sistema
x = Ax+ f(t ,x)
94 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
siendo la matriz A constante, f(t ,x) y (∂f/∂x j ) continuas en la región D = (t ,x)|0 ≤t <∞, |x| < k, donde k > 0 es una constante y f ‘pequeña’ en el sentido que
lım|x|→0
|f(t ,x)||x|
= 0
uniformemente en t . Si todos los autovalores de A tienen parte real negativa, la
solucción x = 0 es asintoticamente estable.
Así pues la adición de un termino no lineal ‘pequeño’ al sistema lineal no afecta
la estabilidad asintótica del sistema. Sin embargo la solucción cero no es global-
mente asintóticamente estable.
Es posible extender los anteriores resultados a sistemas de la forma
x = (A+B(t ))x+ f(t ,x)
siendo B(t ) una matriz, tal que lımt→∞ B(t )= 0
Ejemplo 4.4 Estudiar la estabilidad del pendulo simple amortiguado, cuya ecua-
ción diferencial viene dada por la expresión
θ+k
mθ+
g
Lsenθ= 0
SOLUCIÓN
Ejercicios
Ejercicio 4.1 Calcular la función de Routh de un trompo simétrico.
Capítulo 5
Dinámica hamiltoniana
Cuando uno estudia un sistema dinámico mediante las ecuaciones de La-
grange, se estudia el sistema mediante ecuaciones diferenciales en las que in-
tervienen las coordenadas generalizadas y sus velocidades. Vamos a pasar, me-
diante una transformación de Legendre, a estudiar el sistema en términos de
las coordenadas generalizadas y sus momentos generalizados. En dinámica de
Lagrange, los momentos generalizados son magnitudes derivadas a partir del
lagrangiano, las variables fundamentales son las coordenadas generalizadas. En
la dinámica de Hamilton, los momentos generalizados son unas coordenadas
más del problema. A cambio de introducir N coordenadas adicionales, vamos
a disminuir el orden de cada ecuación. En Lagrange tenemos N ecuaciones de
orden 2, en Hamilton vamos a tener 2N ecuaciones de orden 1.
5.1. Transformación de Legendre
Suponer que tenemos una función
y = y(x1, x2, . . . , xn ),
y queremos construir una nueva función g tal que hayamos sustituido alguna de
las variables xi por su correspondiente derivada parcial p = ∂y/∂x de tal forma
que la transformación sea uno a uno, lo cual significa que comenzando con la
96 Capítulo – 5. Dinámica hamiltoniana
función transformada podamos recuperar la función original de forma unívoca.
En otras palabras, es esencial que el contenido matematico y por tanto el conte-
nido físico sea conservado por la transformación. Para ilustrar el problema y su
solucción, considerar el ejemplo de una única variable, tenemos por tanto una
función de la forma
y = y(x) (5.1)
que respresenta una curva en el plano x, y . La pendiente de la curva en cada
punto viene dada por
p =d y
dx
podríamos eliminar a partir de esta ecuación x como función de p y sustituirla
en la ecuacion original con lo que obtendríamos una función
y = y(p)
Ahora bien si queremos reconstruir la función original a partir de esta última
se encuentra que no existe una solucción única, lo que es contrario a nuestro
requerimiento de que la solucción sea única. La razon formal para esto es que
la anterior ecuación, representa una ecuación diferencial cuya solucción repre-
senta una familia de curvas en el plano x, y .
La solución al problema, satisfaciendo nuestros requisitos, la podemos en-
contrar en el hecho que una curva en el plano x, y la podemos ver como el lugar
geométrico de los puntos que cumplen una cierta condición (y = y(x)), o como
la envolvente de la familia de tangentes a la curva y = y(x). Sea
ψ=ψ(p) (5.2)
esta familia de tangentes, en la que ψ representa la intersección con el eje y de
la tangente a la curva en el punto x.
La expresión de esta recta es
y −ψ= p(x −0)
5.1 Transformación de Legendre 97
ϕ
x
y
p
Figura 5.1:
o lo que es lo mismo
ψ= y −px (5.3)
eliminado y, x a partir de la ecuación original y = y(x) y de la ecuación d y/dx =p obtenemos la función
ψ=ψ(p)
Para que el proceso anterior se pueda realizar tenemos que despejar x de la ex-
presión d y/dx = p para lo cual, por el teorema de la función implicita, es nece-
sario y suficiente que ∂p/∂x sea distinto de cero. El proceso lo podemos invertir.
Derivando la ecuación (5.3)
dψ= d y −pdx −xdp =−xdp
donde se ha tenido en cuenta que d y = pdx. Por lo que
x =−dψ
dp(5.4)
eliminando ψ y p entre las ecuaciones (5.2) y (5.3) y teniendo en cuenta la ecua-
ción (5.4) obtenemos la ecuación original. El proceso de eliminación de varia-
bles es solo posible si p es función de x.
Podemos representar el proceso anterior esquemáticamente de la siguiente
98 Capítulo – 5. Dinámica hamiltoniana
maneray = y(x) ψ=ψ(p)
p = d y
dxx =−dψ
dp
ψ=−px + y y = xp+ψ
la eliminación de x, y da ψ(p), la eliminación de p,ψ nos da y(x).
La transformación de Legendre no resulta en asignar a cada punto del plano
x, y en un punto del plano p,ψ. Esta transformación asigna de manera única y
reversible un punto sobre la curva ψ(p) un punto sobre la curva y(x). La trans-
formación se puede extender a un caso de n variables de las cuales solo quere-
mos transformar un subgrupo de k varibles. El esquema es el siguiente
y = y(x1, x2, . . . , xk , . . . , xn) ψ=ψ(p1, . . . , pk , xk+1, . . . , xn)
pi =∂y
∂xi(i = 1, . . . , n)
xi =+ ∂ψ∂pi
(i = 1, . . . , k)
pi =− ∂ψ∂xi
(i = k +1, . . . , n)
d y =∑i=n
i=1 pi dxi dψ=+∑i=k
i=1 xi dpi −∑i=n
i=k+1 pi dxi
ψ=∑i=k
i=1 xi pi − y y =∑i=k
i=1 xi pi −ψ
La eliminación de y, x1, . . . , xk daψ(p1, . . . , pk , xk+1, . . . xn). La eliminación deψ, p1, . . . , pk
da y(x1, x2, . . . , xn). La eliminación de (x1, . . . , xk ) exige que el jacobiano (∂p1 , . . . ,∂pk )/(∂x1, . . . ,∂xk )
sea distinto de cero.
Ejemplo 5.1 Dada la función z(x, y) = 3x2 y , construir una nueva funciónψ(p, y)
tal que p = ∂z/∂x
SOLUCCIÓN
p =∂z
∂x= 6x y
de donde x = p/6y , y por tanto,
ψ= px − z(x, y)= p
(
p
6y
)
−3
(
p
6y
)2
y =p2
6y−3
p2
36y2y =
p2
12y
5.2 Ecuaciones de Hamilton 99
como podemos comprobar
∂ψ
∂p=
2p
12y=
2×6x y
12y= x
y
−∂ψ
∂y=
p2
12
1
y2=
(6x y)2
12
1
y2= 3x2 =
∂z
∂y
5.2. Ecuaciones de Hamilton
En el caso de que tengamos una funcion de Lagrange L(q, q, t ), queremos
sustituir la velocidad generalizada q por ∂L/∂q. De acuerdo con lo visto antes
H = q∂L
∂q−L
ahora bien ∂L/∂q es igual al momento generalizado p con lo que
H(p, q) = pq −L
donde ya H es una función de p, q. Como vimos antes
q =∂H
∂p
−∂H
∂q=
∂L
∂q
ahora bien de las ecuaciones de Lagrange
d
dt
(
∂L
∂q
)
= p =∂L
∂q
100 Capítulo – 5. Dinámica hamiltoniana
por lo que
q =∂H
∂p(5.5)
p = −∂H
∂q(5.6)
que constiuyen las ecuaciones de Hamilton.
En el caso de tener varias variables q, tenemos
H(pi , q i )=∑
i
pi q i −L.
Como antes
qi =∂H
∂pi(5.7)
pi = −∂H
∂q i(5.8)
que son las ecuaciones canónicas de Hamilton1. En el caso que la lagrangiana
sea función explícita del tiempo t , esta variable se comporta en la transforma-
ción de Legendre como si fuese una variable q i , por lo que
∂H
∂t=−
∂L
∂t
Como vemos ahora tenemos un sistema de 2N ecuaciones diferenciales de or-
den 1. Como vimos en el capitulo anterior, tambien es posible, en el caso de las
ecuaciones de Lagrange, obtener un conjunto de 2N ecuaciones diferenciales
de primer orden introduciendo N nuevas variables xi = q i . Ahora bien en este
caso, contrariamente a las ecuaciones de Hamilton, no existe en general ningu-
na funcion H tal que las derivadas temporales de xi se obtengan a partir de una
1Este importante sistema de ecuaciones aparece por primera vez en uno de los trabajos deLagrange(1809) sobre la teoria de perturbaciones en sistemas mecánicos. Lagrange no reconocióla conexión básica de estas ecuaciones con las ecuaciones del movimiento. Fué Cauchy el que ( enun trabajo no publicado de 1831) dió a estas ecuaciones sus verdadero significado. Hamilton hizode las mismas la base de sus trabajos sobre mecánica. La referencia a las .Ecuaciones canónicas deHamilton.está completamente justificada aunque el trabajo de Hamilton apareciera en 1835
5.2 Ecuaciones de Hamilton 101
función H . en dinámica de Hamilton, la función H caracteriza por completo el
conjunto entero de ecuaciones.
El proceso anterior de obtencioon de las ecuaciones y función de Hamil-
ton exige poder despejar las velocidades generalizadas de las expresiones pi =∂L/∂q i , lo cual solo es posible si las pi son independientes esto es si el determi-
nante Jacobiano ‖∂2L/∂q i∂q j‖ es distinto de cero.
Teorema 5.2.1 Demostrar que
dH
dt=−
∂H
∂t
DEMOSTRACION
dH
dt=
∑
i
∂H
∂pipi +
∑
i
∂H
∂qiq i +
∂H
∂t
de las ecuaciones de Hamilton
dH
dt=
∑
i
q i pi −∑
i
pi q i +∂H
∂t=
∂H
∂t=−
∂L
∂t
Si el tiempo, no aparece explicitamente en la lagrangiana,
−∂L
∂t= 0
por lo quedH
dt= 0
y H(p,q) es una integral primera del sistema, que como vimos antes recibe el
nombre de integral de Painleve o Jacobi. Esta constante H no es la energía total
del sistema, como ya vimos en el capítulo anterior únicamente cuando la ener-
gía cinética es una función cuadrática de las velocidades H es la energía total del
sistema.
102 Capítulo – 5. Dinámica hamiltoniana
5.2.1. Coordenadas ignorables en la formulación hamiltoniana
Vimos en el capítulo anterior, que si una coordenada no aparece en la la-
grangiana el momento generalizado era una constante del movimiento. Ahora
bien que no aparezca una coordenada no evita que aparezca su velocidad y por
tanto su aceleración, por lo que no disminuye el orden del sistema. Vimos no
obstante que con una transformación apropiada podiamos disminuir el orden
del sistema a integrar. Vamos a ver como ahora podemos ignorar directamente
dicha coordenada, por lo que el sistema se reduce a 2(n −1) ecuaciones de pri-
mer orden. Supongamos que la n-exima coordenada sea ciclíca. Si no aparece
en el lagrangiano tampoco debe de aparecer en el hamiltoniano, por lo que H
será una función de la forma
H = H(q1, q2, . . . , qn−1, p1, p2, . . . , pn )
ahora bien, si qn es cíclica su correspondiente momento generalizado es cons-
tante, por lo que
H = H(q1, q2, . . . , qn−1, p1, p2, . . . , pn−1,γn)
siendo γn la constante del movimiento. De esta expresión del hamiltoniano ve-
mos que el problema se ha reducido a un problema de orden 2(n-1)
q i =∂H
∂pi, i = 1,2, . . . , n −1
pi = −∂H
∂q i, i = 1,2, . . . , n −1
Una vez resuelto el problema para las n −1 primeras variables es posible resol-
verlo para la n-exima mediante la ecuación
qn =∫
∂H
∂γndt
5.2 Ecuaciones de Hamilton 103
Ejemplo 5.2 Calcular el hamiltoniano de una partícula cargada eléctricamente
sometida a un campo electromágnetico externo.
SOLUCCIÓN Como vimos en un capítulo anterior, el lagrangiano de una partícula
en un campo electromágnético viene dada por la expresión
L =1
2mv2 −qφ+
q
cA ·v
de donde el momento generalizado vale
p =∂L
∂v= mv+
q
cA
de donde
v =1
m(p−
q
cA)
por lo que
H =p ·v−L = mv2 +q
cA ·v−
1
2mv2 +qφ−
q
cA ·v =
1
2mv2 +qφ
sustituyendo el valor de v tenemos
H =1
2m(p−
q
cA)2 +qφ
A partir de la anterior expresión es facil deducir cual es el correspondiente ope-
rador hamiltoninao en mecánica cuántica, para ello basta sustituir p por −i~∇,
de donde
H =1
2m(−i~∇−
q
cA)2 +qφ=
1
2m
(
−~2∇2 + (
q
c)2A2 +
q
ci~∇·A+
q
ci~A ·∇
)
+qφ
Ejemplo 5.3 Evaluar el hamiltoniano de una partícula de masa m sometida a
un campo de fuerza central.
SOLUCCIÓN
104 Capítulo – 5. Dinámica hamiltoniana
Puesto que el campo de fuerzas es central, el potencial será una cierta función
de V (r) por lo que el lagrangiano será
L =1
2m(x2 + y2 + z2)−V (r)
pasando a polares esféricas,
x = r senθcosψ
y = r senθsenψ
z = r cosθ
tenemos
L =1
2m(r 2 + r 2θ2 + r 2 senθ2ψ2)−V (r)
teniendo en cuenta las definiciones de momentos generalizados tenemos
pr =∂L
∂r= mr
pθ =∂L
∂θ= mr 2θ
pψ =∂L
∂ψ= mr 2 senθ2ψ
de donde eliminando las velocidades generalizadas (r , θ,ψ) la función de Ha-
milton
H = v ·p−L
se escribe como
H =1
2
(
p2r
m+
p2θ
mr 2+
p2ψ
mr 2 senθ2
)
+V (r) (5.9)
5.3. Una introducción a la geometría simplética
Al igual que hicimos en la dinámica lagrangiana vamos a tratar de geometri-
zar la dinámica hamiltoniana con objeto de encontar una ecuación que repre-
5.3 Una introducción a la geometría simplética 105
sente las ecuaciones de Hamilton en forma independiente del sistema de coor-
denadas. En dinámica lagrangiana introdujimos el fibrado tangente (o espacio
de fases de velocidades) como la unión de todos los espacios tangentes a la va-
riedad de tal forma que un punto de este espacio en un sistema local de coorde-
nadas estuviese representado por las coordenadas q1, . . . , qn , q1, . . . qn. Ahora
vamos a introducir un nuevo espacio llamado figrado cotangente (o espacio de
las fases) en el que en un sistema de coordenadas locales cada punto viene re-
presentado por 2n coordenadas q1, . . . , qn , p1, . . . , pn, siendo pi las componen-
tes del momento generalizado que como sabemos viene definido mediante la
expresión
pi =∂L
∂q i
Mientras que q i tiene las propiedades de un vector del espacio tangente, esto
es se transforman de forma contravariante en una transformación de coorde-
nadas, pi se transforman como una 1-forma, esto es tiene unas propiedades de
transformación covariante. Esto hace que la variedad fibrado cotangente (union
de todos los espacios cotangentes a un punto dado) tenga unas propiedades
completamente diferente de las del fibrado tangente. En este espacio, el cam-
po vectorial dinámico ∆ cuyas componenentes en el espacio de fases era q i , q i ,
ahora tiene como expresión
∆H = q i ∂
∂q i+ pi
∂
∂pi
En este contexto de espacio fibrado tangente y espacio fibrado cotangente, la
transformación de Legendre no es sino una transformación de un espacio en
el otro. Nos envia un objeto geometrico de un espacio a otro, en particular del
campo vectorial ∆, en particular envia a la 1-forma
∂L
∂q idq i
en donde ∂L/∂q i depende de q i , q i en la 1-forma
pi dq i
106 Capítulo – 5. Dinámica hamiltoniana
donde las componentes dependen solo de pi
Vamos a introducir en esta variedad cotangenta, una estructura simplética.
De acuerdo con la definición (ver apéndice B), una estructura simplética es una
2-forma, ω (una forma bilineal antisimétrica) no singular y cerrada, esto es
dω= 0
Al igual que el tensor métrico (una forma bilinial simétrica) nos permitió
asociar a cada vector v i su correspondiente covector vi mediante la operación
de subir y bajar índices. La 2-forma ω nos permite asociar al vector v i la 1-forma
ωi j v j . O reciprocamente nos permite asociar a la 1-forma vi el vector v i =ωi j vi .
Vamos, en este sentido, a considerar la 1-forma dH(p, q), siendo H el hamilto-
niano cuya expresión en el sistema local de coordenadas q i , pi tiene como ex-
presión
dH =∂H
∂q idq i +
∂H
∂pidpi
y cuyas componentes son por tanto ∂H/∂q i ,∂H/∂pi . La cuestión ahora es >có-
mo ha de ser la expresión de la 2-forma ω tal que la 1-forma asociada al campo
vectorial dinámico ∆H coincida con la diferencial del hamiltoniano dH , esto es
ω(∆H ) = dH
La expresión general de ω será
ω=ωij dq j ∧dpi +
1
2(ai j dq i ∧dq j +b i j dpi ∧dp j )
Si aplicamos esta forma al campo ∆ tenemos
[
ωij dq j ∧dpi +
1
2(ai j dq i ∧dq j +b i j dpi ∧dp j )
](
qk ∂
∂qk+ pk
∂
∂pk
)
Teniendo en cuenta que
dq j ∧dpi = dq j dpi −dp j dq i
5.3 Una introducción a la geometría simplética 107
y que
dq i (∂
∂q j) = δi
j , dpi (∂
∂p j) = δi
j , dq i (∂
∂p j) = dpi (
∂
∂q j) = 0
tenemos
ω(∆) = qk[
ωik dpi +ak j dq j
]
− pk
[
ωkj dq j −bki dpi
]
para que esta expresión sea igual a dH , teniendo en cuenta las ecuaciones de
Hamilton vistas anteriormente se debe de cumplir
ω(∆) = qk[
ωik dpi +ak j dq j
]
− pk
[
ωkj dq j −bki dpi
]
= dH =−pk dqk + qk dpk
de donde necesariamente
ai j = b i j = 0
y
ωij = δi
j
y por tanto
ω= dq i ∧dpi
y la ecuación de Hamilton
ω(∆H )= dH (5.10)
que es la forma geométrica y por tanto independiente del sistema local de coor-
denadas. Nos queda por demostrar que ω es no singular y cerrada. La demostra-
ción de que es cerrada es sencilla pues ω es igual a la diferencial exterior de la
1-forma θ= pi dq i , pues
ω=−dθ=−d(pi dq i ) =−dpi ∧dq i = dq i ∧dpi
y se sabe que la diferencial de la diferencial de una 1-forma es nula, así pues
dω= d(dθ) = 0
por lo que ω es cerrada. Vamos a ver que es no singular. En primer lugar tenemos
si representamos por una matriz Ω a los coeficientes de la 2-forma se puede ver
108 Capítulo – 5. Dinámica hamiltoniana
que tiene la forma(
0 I
−I 0
)
siendo I la matriz identidad de dimensión n. Se puede ver fácilmente que
ΩΩ=−I
De tal forma que el determinante de Ω vale la unidad y esto nos garantiza la no
singularidad de Ω. Así mismo de la relación anterior
Ω−1 =−Ω
Ejemplo 5.4 Calcular la forma explicita de la 2-formaωpara un espacio de fases
tetradimensional
SOLUCCION
La forma general de una 2-forma tetradimensional es
ω= 0dq1dq1 +a1dq1dq2 +a2dq1dp1 +a3dq1dp2
−a1dq2dq1 +0dq2dq2 +a4dq2dp1 +a5dq2dp2
−a2dp1dq1 −a4dp1dq2 +0dp1dp1 +a6dp1dp2
−a3dp2dq1 −a5dp2dq2 −a6dp2dp1 +0dp2dp2
nuestra 2-forma ω tiene como expresión
ω= dq i ∧dpi
lo que significa que los coeficientes de los términos donde no aparece una q y
5.3 Una introducción a la geometría simplética 109
una p pertenecientes a la misma coordenada son cero y el resto 1 o -1 . Así pues
ω= 0dq1dq1 +0dq1dq2 +1dq1dp1 +0dq1dp2+
−0dq2dq1 +0dq2dq2 +0dq2dp1 +1dq2dp2+
−1dp1dq1 −0dp1dq2 +0dp1dp1 +0dp1dp2
−0dp2dq1 −1dp2dq2 −0dp2dp1 +0dp2dp2
de donde podemos ve que
Ω=
0 0 1 0
0 0 0 1
−1 0 0 0
0 −1 0 0
La no singularidad de ω nos garantiza que la operación de bajar y subir indices
es un isomorfismo. Así pues dado un Hamiltoniano H a la 1-forma dH sólo se le
asocia un único vector dinámico ∆, pues si existitese otro tendriamos
ω(∆1) = dH
ω(∆2) = dH
restando
ω(∆1 −∆2)= 0
y como ω es no singular ∆1 = ∆2. El reciproco no es cierto, en el sentido que
puede existirt más de un hamiltoniano asociado a un único camino ∆, pues si
ω(∆1) = dH1
ω(∆1) = dH2
necesariamente dH1 = dH2 de donde H1 = H2 +cte y por tanto H está definido
salvo una cosnstante reflejando la indeterminación que existe en la elección del
potencial.
110 Capítulo – 5. Dinámica hamiltoniana
Capítulo 6
Principios Variacionales
Los principios variacionales tienen su origen, tal y como los conocemos hoy,
en un problema que Jean Bernoulli propone en 1696 a la comunidad científica
de su época, y que se conoce como el problema de la braquistocrona (‘braquis-
tos’ : más corto, ‘cronos’: tiempo). El problema consistia en calcular la curva que
une dos puntos, no tituados en la misma vertical, de tal forma que una partícula
vaya de un punto a otro en un tiempo mínimo. El problema fué resulto por el
propio Jean Bernoulli y por Daniel Bernoulli, Leibnitz, l’Hopital, y Newton. Pa-
rece ser que este último lo hizo de forma anónima, sin embargo al leer el trabajo,
Jean Bernoulli reconoció el trabajo de Newton, proclamando que “uno reconoce
a un león por la huella de sus garras”
6.1. Principio de D’Alambert
Considerar un sistema de N partículas sometidas a un campo de fuerzas cu-
ya resultante sobre cada partícula viene dada por una fuerza f(i ), las ecuaciones
de Newton para cada partícula se expresan mediante la ecuación,
mi x i = fi , i = 1,3N
Este problema mecánico lo podemos tratar como un problema de estática sin
mas que introducir unas fuerzas ficticias o de inercia dadas por −mi x i de tal
112 Capítulo – 6. Principios Variacionales
forma que
fi −mi x i = 0
Bajo un desplazamiento virtual arbitrario, la anterior expresión toma la forma
∑
i
( fi −mi x i )δx i = 0
Viceversa, si se cumple la anterior ecuación bajo un desplazamiento virtual ar-
bitrario δx i , los coeficientes de la combinación lineal han de ser tambien nulos,
por lo que
( fi −mi x i ) = 0
Así pues las ecuaciones de Newton son equivalentes al hecho de que el trabajo
virtual relizado por las fuerzas reales y las de inercia es nulo. Este teorema será
válido en cualquier sistema de coordenadas, por lo que
∑
i
(Gi −ai )δg i = 0
siendo Gi la componente covariante o generalizada de la fuerza en el sistema de
coordenadas g i y ai1 la componente covariante de la aceleración. Tal y como vi-
mos en el capítulo 3, dicha componente covariante viene dada por la expresión
ai =d
dt
(
∂T
∂g i
)
−∂T
∂g i
por lo que∑
i
[
Gi −d
dt
(
∂T
∂g i
)
+∂T
∂g i
]
δg i = 0 (6.1)
que constituye la expresión del principio de D’Alambert en un sistema de coor-
denadas generalizadas. Puesto que los desplazamientos virtuales son arbitra-
rios, la anterior expresión equivale a que
Gi −d
dt
(
∂T
∂g i
)
+∂T
∂g i= 0
1Recordar que el movimiento del sistema mecánico lo podemos visualizar como el movimien-to de un punto de masa unidad en el espacio de las configuraciones con la métrica inducida porla energía cinética
6.2 Principio de Hamilton 113
que son las ecuaciones de Lagrange. Así pues el principio de D’Alambert equi-
vale a las ecuaciones de Lagrange. En el caso que tengamos fuerzas de ligadura,
las componentes Gi las vamos a dividir en componentes de fuerzas aplicadas o
conocidas y componentes de fuerzas de ligadura o desconocidas, por lo que el
principio de D’Alambert toma la forma
∑
i
[
Gi +Ri −d
dt
(
∂T
∂g i
)
+∂T
∂g i
]
δg i = 0 (6.2)
Supuesto que las fuerzas de ligadura sean perfectas, el trabajo de las fuerzas de
ligadura es nulo por lo que∑
i
Riδg i = 0
siendo los desplazamientos δg i compatibles con las ligaduras, por lo que
∑
i
[
Gi −d
dt
(
∂T
∂g i
)
+∂T
∂g i
]
δg i = 0 (6.3)
lo que sucede ahora es que ya no podemos hacer la expresión entre corchetes
igual cero pues los desplazamientos no son independientes, si no que deben de
ser compatibles con las ligaduras. Si ahora introducimos un nuevo sistema de
coordenadas q i , i = 1, . . . , f siendo f el número de grados de libertad, la anterior
expresión se puede poner como
∑
i
[
Qi −d
dt
(
∂T
∂q i
)
+∂T
∂q i
]
δq i = 0 (6.4)
estando la suma extendida al numero de grados de libertad. Ahora los despla-
zamientos δq i compatibles con las ligaduras son independientes por lo que la
expresión entre corchetes vale cero y obtenemos de nuevo la expresión de las
ecuaciones de Lagrange en coordenadas cualesquiera.
6.2. Principio de Hamilton
Podemos considerar el movimiento de un sistema mecánico como descrito
por el movimiento de un punto en un sistema de coordenadas de f dimensio-
114 Capítulo – 6. Principios Variacionales
nes. Consideremos una trayectoria de este punto, que pasa por el punto q i (t1)
en el instante t1 y por el punto q i (t 2) en el instante t2. Supongamos que el pun-
to puede ir de la posición inicial a la final a lo largo de diferentes trayectorias tal
que podemos obtener cualquier trayectoria a partir de una dada mediante des-
plazamientos virtuales compatibles con las ligaduras. Partiendo del principio de
D’Alambert, tendremos que en cada instante t
∑
i
[
Qi −d
dt
(
∂T
∂q i
)
+∂T
∂q i
]
δq i (t ) = 0
por lo que∫t2
t1
∑
i
[
Qi −d
dt
(
∂T
∂q i
)
+∂T
∂q i
]
δq i (t )dt = 0
que podemos poner como
∫t2
t1
[
δW −∑
i
d
dt
(
∂T
∂q iδq i
)
+∑
i
∂T
∂q i
d
dtδq i +
∂T
∂q iδq i
]
dt = 0. (6.5)
Según acabamos de decir, se toma una trayectoria cualquiera q i como camino
dado, y las trayectorias alternativas se toman a partir de esta sin mas que dar
un desplazamiento virtual δq i , este desplazamiento lo podemos poner de la
siguiente manera. Sea q i (t ) el camino dado y q i (t )+ ǫiη(q i (t )), siendo ǫi una
cantidad tan pequeña como queramos y η una función cualquiera, el camino
alternativo. Esta claro que δq i = ǫiη(q i (t )) y por tanto
d
dtδq i = ǫi d
dtη
Asimismo,
δdq i
dt=
d
dt
(
q i (t )+ǫiη(q i (t )))
−d
dtq i (t )) = ǫi d
dtη
Por lo que
δdq i
dt=
d
dtδq i
de donde vemos que podemos intercambiar los signos de derivada temporal
6.2 Principio de Hamilton 115
y desplazamiento virtual. Teniendo en cuenta esta intercambiabilidad entre las
dos derivadas, la integral 6.5 la podemos poner como
−∫t2
t1
∑
i
d
dt
(
∂T
∂q iδq i
)
dt +∫t2
t1
[
δW +∑
i
∂T
∂q iδq i +
∂T
∂q iδq i
]
dt = 0
integrando, y teniendo en cuenta que en un desplazamiento virtual (t fijo)
δT (q, q, t )=∑
i
∂T
∂q iδq i +
∂T
∂q iδq i
tenemos∑
i
(
∂T
∂q iδq i
)
∣
∣
∣
∣
∣
t2
t1
+∫t2
t1
(δW +δT )dt = 0
ahora bien puesto que en los puntos inicial y final δq i = 0, tenemos
∫t2
t1
(δW +δT )dt = 0 (6.6)
que constituye la expresión del principio de Hamilton, válida tanto para siste-
mas holónomos como anholónomos. En el caso de sistemas holónomos
δW =∑
i
Qiδq i
y en el caso de sistema anholónomos
δW =∑
i
Qiδq i +∑
i
∑
1≤k≤M
λ(k)δq i Ai (k)
siendo M el número de ligaduras.
En el caso de sistemas holónomos, en los que las fuerzas dependan de un
potencial generalizado
∫
∑
Qiδq i dt =∫
∑
[
d
dt
(
∂U
∂q i
)
−∂U
∂q i
]
δq i dt =
=∫[
d
dt
(
∂U
∂q iδq i
)
−∂U
∂q i
d
dtδq i −
∂U
∂q iδq i
]
dt =
116 Capítulo – 6. Principios Variacionales
=∑
i
(
∂U
∂q iδq i
)
∣
∣
∣
∣
∣
t2
t1
−∫[
∑ ∂U
∂q iδq i +
∂U
∂q iδq i
]
dt =
=−∫
δUdt
por lo que∫
(δW +δT )dt =∫
(δT −δU)dt =∫
δL = 0
ahora bien puesto que los instantes y puntos iniciales y finales son fijos
∫t2
t1
δLdt =δ
∫t2
t1
Ldt = 0 (6.7)
lo que significa que de todas las trayectorias posibles desde q i (t1) hasta q i (t2)
el sistema elige aquella para la cual la integral (6.7) toma valores estacionarios.
Hemos de recalcar que los punto inicial y final son fijos así como el tiempo que
tarda el sistema para ir desde el punto inicial al final, cualquiera que sea la tra-
yectoria elegida. Al funcional
S[q(t )]=∫t2
t1
L(q, q, t )dt (6.8)
se la denomina función principal de Hamilton o Acción (recordar, es un funcio-
nal) y el principio de Hamilton recibe el nombre de principio de minima acción.
Vamos a ver que este principio es equivalente a las ecuaciones de Lagrange.
Para ello supondremos que solo tenemos un grado de libertad q. Del principio
de Hamilton, tenemos
δ
∫t2
t1
L(q, q, t )dt =∫t2
t1
δLdt
pues los puntos inicial y final son fijos. La variación δL vale
δL =∂L
∂qδq +
∂L
∂qδq
pues al ser las δ′s variaciones virtuales no aparece el término derivada con res-
6.2 Principio de Hamilton 117
pecto al tiempo. Según vimos antes
δq =d
dtδq
sustituyendo
∫t2
t1
δLdt =∫t2
t1
∂L
∂qδq +
∂L
∂q
d
dtδq
dt
=∫t2
t1
∂L
∂qδq +
d
dt
[
∂L
∂qδq
]
−d
dt
(
∂L
∂q
)
δq
dt
=∂L
∂qδq
∣
∣
∣
∣
t2
t1
+∫t2
t1
∂L
∂q−
d
dt
(
∂L
∂q
)
δqdt
(6.9)
El primer término se anula pues en los límites las variaciones δq son nulas, por
lo que, en estas condiciones por el principio de Hamilton
∫t2
t1
∂L
∂q−
d
dt
(
∂L
∂q
)
δqdt = 0
Puesto que las variaciones δq son libres y las podemos elegir como queramos,
podemos tomar unas δq que son cero en toda la trayectoria de la partícula ex-
cepto en un cierto intervalo, tan pequeño como queramos, ∆t . En estas condi-
ciones la integral se puede aproximar mediante la expresión
∫t2
t1
∂L
∂q−
d
dt
(
∂L
∂q
)
δqdt =
∂L
∂q−
d
dt
(
∂L
∂q
)
δq∆t = 0
que nos lleva a que el término entre llaves es nulo. Eligiendo el intervalo tempo-
ral en el que no se anula las δq a lo largo de toda la trayectoria de la partícúla se
llega a que∂L
∂q−
d
dt
(
∂L
∂q
)
= 0
en todo instante. Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones de Euler-
Lagrange, pues fueron descubiertas independientmente por Euler y Lagrange
como solucción del problema variacional.
118 Capítulo – 6. Principios Variacionales
Ejemplo 6.1 Resolver el problema de la braquistocrona.
Como se expresó en la introducción, estamos interesados en encontrar la curva
que recorre una partícula que va de un punto A a otro B en el mínimo tiempo
posible bajo la acción de un campo gravitatorio, cuando A y B no están en la
misma vertical. Así pues debemos de minimizar la integral
∫B
Adt
De la definición de velocidad
dt =ds
v
Así pues debemos de mínimizar la integral
∫B
A
ds
v
El elemento de longitud ds se puede poner como
ds2 = dx2 +d y2
siendo x la coordenada vertical e y la horizontal (Consideraremos el problema
en el plano x, y). De donde
ds =√
1+ (d y/dx)2dx =√
1+ y ′(x)2dx
de donde∫B
A
ds
v=
∫B
A
1
v
√
1+ y ′(x)2dx
La velocidad v la podemos poner como función de x sin más que emplear el
teorema de conservación de la energía. Eligiendo la dirección positiva de x hacia
abajo, el potencial V vale
V =−mg x
y tendremos
E = 1/2mv2 −mg x
6.3 El principio de Hamilton para fuerzas que no proceden de unpotencial 119
de donde
v =√
2(E +mg x)/m
En el instante inicial E = 0 pues v = 0 y x = 0, así pues
v =√
2gp
x
de donde∫B
A
ds
v=
1√
2g
∫B
A
1p
x
√
1+ y ′(x)2dx
La función L(y(t ), y ′(t ), t ) tiene como expresión ahora
1p
x
√
1+ y ′(x)2
donde se ha sustituido la variable independiente t por la variable independiente
x. Así pues las ecuaciones de Euler-Lagrange resuta ser
d
dx
(
∂L
∂y ′
)
−∂L
∂x= 0
La solucción de esta ecuación diferencial es
y(x)=−√
x(2r −x)+2r arcsin( x
2r
)
siendo r una constante de integración.
6.3. El principio de Hamilton para fuerzas que no proce-
den de un potencial
La forma del principio de Hamilton que acabamos de exponer es válida para
sistemas en los que la fuerza procede de un potencial. Si parte de las fuerzas
no procede de un potencial debemos de emplear el principio de Hamilton dado
por la expresión 6.6∫t2
t1
(δW +δT )dt = 0
120 Capítulo – 6. Principios Variacionales
Si parte de las fuerzas aplicadas no proceden de un potencial, podemos poner
δW =−δU +δWnp =−δU +∑
Fiδq i
de tal forma que el principio de Hamilton toma la forma
∫t2
t1
(δW +δT )dt =∫t2
t1
(−δU +δT )dt +∫t2
t1
∑
Fiδq i dt
= δ
∫t2
t1
Ldt +∫t2
t1
∑
Fiδq i dt = 0 (6.10)
Un caso particular de este principio se da cuando las ligarduras son no holóno-
mas, en este caso vimos que
Ri (k) =λk Ak ,i
por lo que
= δ
∫t2
t1
Ldt +∫t2
t1
∑
λk Ak ,iδq i dt = 0 (6.11)
Haciendo el mismo tratramiento, para el primer término de la anterior expre-
sión, que hicimos en las sección anterior y que nos condujo a la ecuacion de
Euler-Lagrange, nos permite llegar a la expresión
∫t2
t1
1
dt
(
∂L
∂q i
)
−∂L
∂q i+
∑
λk Ak ,i
δq i dt = 0. (6.12)
Junto con esta ecuación tenemos las M ecuaciones de ligadura
Ak ,iδq i = 0, k = 1,2, · · · ,M
Esto hace que las δq i no sean libres, si no que tengamos f −M de ellas libres y M
ligadas, siendo f el número de grados de libertad total. Supongamos que las M
coordenadas ligadas son las M primeras coordenadas, entonces podemos elegir
los multiplicadores de Lagrange de tal forma que los M primeros corchetes son
cero identicamente. Respecto de los f −M corcchestes para los cuales los des-
plazamientos son libres, podemos seguir el mismo tratamiento que el seguido
para la dedución de las ecuaciones de Euler-Lagrande de un sistema holónomo
6.4 Obtención de las ecuaciones canónicas de Hamilton 121
y por tanto se tiene que todo los corchestes se anulan y por tanto,
1
dt
(
∂L
∂q i
)
−∂L
∂q i+
∑
λk Ak ,i = 0 (6.13)
que junto con el las ecuaciones de ligadura
Ak ,iδq i = 0, k = 1,2, · · · ,M
son las ecuaciones de Euler–Lagrange para sistemas no holónomos, deducidas
ya anteriormente.
6.4. Obtención de las ecuaciones canónicas de Hamilton
Vamos a ver como podemos obtener las ecuaciones canónicas de Hamilton
a partir del principio de Hamilton. Para ello, teniendo en cuenta que
L =∑
pi q i −H(q,p, t )
tenemos
0 = δ
∫t2
t1
Ldt = δ
∫t2
t1
∑
pi q i −H(q,p, t )
dt
Llamemos
I(q, q,p, p, t )=∑
pi q i −H(q,p, t )
por lo que
0 =δ
∫
Idt
aplicando la deducción anterior, obtenemos
d
dt
(
∂I
∂q i
)
−∂I
∂q i= 0
d
dt
(
∂I
∂pi
)
−∂I
∂pi= 0
122 Capítulo – 6. Principios Variacionales
ahora bien∂I
∂q i= pi ,
∂I
∂q i=−
∂H
∂q i
∂I
∂pi= 0 ,
∂I
∂pi= q i −
∂H
∂pi
por lo que
pi = −∂H
∂q i
q i =∂H
∂pi
que son las ecuaciones canónicas de Hamilton. La anterior deducción nos mues-
tra que no es necesario partir de una función de Lagrange y realizar una trans-
formación de Legendre para obtener las ecuaciones de Hamilton, si no que se
pueden deducir directamente de un principio variacional. La integral de acción
a partir de la cual hemos obtenido las ecuaciones de Hamilton,
∫t2
t1
∑
pi q i −H(q,p, t )
dt
tiene la forma de energía cinética menos energia portencial, puesto que el se-
gundo término del integrando es función únicamente de las coordenadas, que
ahora son (qi , pi ), y el primero depende de las velocidades. En este caso la .energía
cinética"deja de ser una función cuadrática de las velocidades convitiendose en
función lineal de las mismas,
p1q1 +p2q2 + . . . , pn qn
6.5. Expresión de la función principal de Hamilton
En la elaboración del principio de mínima acción demostrabamos que cuan-
do los límites se mantenian fijos la función principal de Hamilton
S[q(t )]=∫t2
t1
L(q, q, t )dt
6.5 Expresión de la función principal de Hamilton 123
se mantiene estacionaria cuando vamos del punto 1 al punto 2 a través de re-
corridos alternativos. Consideramos por tanto a S[q(t )] como un funcional, esto
es para diversos caminos q(t ), S toma diversos valores. En esta sección vamos a
considerar a S como una función, esto es vamos a tratar de evaluar cuanto va-
ría la función S cuando variamos los argumentos de los que depende. Para ello
vamos, en primer lugar, a analizar de que argumentos depende la función S.
En primer lugar, tenemos que para poder hacer la integral de la función de
Lagrange es necesario que sepamos como son q y q como función del tiempo
y de las condiciones iniciales (q1, q1, t1)2. Sustituyendo estas expresiones en la
definición de L e integrando llegaremos a una expresión S que será función de
(q1, q1, t1, t2). Puesto que se supone que conocemos la solucción del problema,
q2(t2) =q2(q1, q1, t2, t1)
eliminando de esta expresión las velocidades iniciales (supondremos que el Ja-
cobiano ∂(q2)/∂(q1) es distinto de cero),
q1 = q1(q2,q1, t2, t1)
sustituyendo en la expresión de S(q1, q1, t1, t2) llegamos a que S depende de
(q2,q1, t2, t1), esto es S depende de las posiciones iniciales y finales así como de
los instantes inicial y final.
Vayamos ya a resolver nuestro problema, de analizar cuanto varía S cuando
cambiamos q1,q2, t1, o t2 haremos la demostración suponiendo que solo tene-
mos un grado de libertad. De acuerdo con la expresión (6.9) obtenida anterior-
mente
δS = δ
∫t2
t1
L(q, q, t )dt =∂L
∂qδq
∣
∣
∣
∣
t2
t1
+∫t2
t1
∂L
∂q−
d
dt
(
∂L
∂q
)
δqdt
Suponer ahora que fijamos los tiempos de salida y llegada, que vamos del punto
1 al 2 mediante una trayectoria real y que únicamente hacemos variar el punto
final q(2) de llegada en el tiempo t2. Ver la figura 6.1. Puesto que la integral se
2Esto significa que necesitamos haber resuelto el problema mecánico. Veremos más adelantecomo evaluar S de forma independiente para que nos sirva para integrar el problema mecánico
124 Capítulo – 6. Principios Variacionales
t
q
q2
q1
q2+δq2
Figura 6.1:
hace a lo largo de un camino real, se han de cumplir las ecuaciones de Lagrange,
por lo que el integrando en la expresión anterior es nulo y por tanto
δS =∂L
∂qδq
∣
∣
∣
∣
t2
t1
= p(2)δq(2) = pδq
donde hemos puesto por definicion que ∂L/∂q = p y se ha tenido en cuenta que
en t1, δq = 0. Para un número cualquiera de grados de libertad
δS =∑
piδq i
por lo que
pi =∂S
∂q i(6.14)
De manera analoga vamos a ver la dependencia respecto del tiempo, para ello
tengamos en cuenta que
S =∫t2
t1
Ldt ′
6.5 Expresión de la función principal de Hamilton 125
suponiendo que dejamos variable el límite superior
S(t )=∫t
t1
Ldt ′
de dondedS(t )
dt= L
Así mismo, podemos escribir que
dS
dt=
∂S
∂t+
∑ ∂S
∂q iq i
teniendo en cuenta que ∂S/∂q i = pi , tenemos
L =dS
dt=
∂S
∂t+
∑
pi q i
por lo que teniendo en cuenta la espresión de la función de Hamilton H =∑
pi q i−L tenemos
∂S
∂t=−H (6.15)
por lo que
δS =∑
piδq i −Hδt (6.16)
Si variamos tanto el punto final como el inicial obtendríamos para la variación
de S la expresión
δS =∑
pi (2)δq i (2)−H(2)δt (2)−∑
pi (1)δq i (1)+H(1)δt (1) (6.17)
Esta relación muestra que cualquiera que sea la acción exterior a la que se some-
te al sistema durante su movimiento, su estado final no puede ser una función
arbitraria de su estado inicial: sólo son posibles aquellos movimientos para los
cuales la expresión (6.17) es una diferencial total exacta. Es importante tener en
cuenta las condiciones en las que se ha obtenido la expresión 6.17. Según hemos
desarrolado la sección, la variación δS es la diferencia entre dos funciones S(en
realidad, S es un funcional que depende de las trayectorias elegidas para calcu-
lar el lagrangiano L) evaluadas al ir desde el punto inicial al final a lo largo de
126 Capítulo – 6. Principios Variacionales
dos trayectorias reales diferentes. Esta varición δ es diferente de la variación δ
obtenida en el principio de Hamilton. En éste, δ representa una variación entre
la trayectoria real y la variada (no real), mientras que ahora δ representa, según
acamos de decir, la variación entre dos trayectorias reales. Es decir a lo largo
de cada trayectoria real, el sistema se mueve eligiendo aquel camino que hace
mínima la integral de acción, pero este mínimo varia dependiendo de las condi-
ciones impuestas, la expresión 6.17 nos dice como cambia al integral de acción
de trayectoria a trayectoria
De la definición de S,
S =∫
L(t ′)dt ′
teniendo en cuenta que L =∑
i pi q i −H , obtenemos que forma integral de la
función S toma la forma
S =∫
∑
pi dq i −Hdt
(6.18)
Ejemplo 6.2 Evaluar la función S para una partícula de masa unidad sometida
a un campo gravitatorio uniforme. Suponer que el movimiento es plano
SOLUCCIÓN
La función de Lagrange para este problema vale
L =1
2(x2 + y2)− g y
y las ecuaciones de Lagrange son
x = 0
y =−g
6.5 Expresión de la función principal de Hamilton 127
integrando
x = u0(t − t0)+x0
y = y0 +v0(t − t0)−1
2g (t − t0)2
siendo u0 y v0 las componentes de la velocidad inicial. Sustituyendo en la fun-
ción de Lagrange
L =1
2
(
u20 + [v0 − g (t − t0)]2)− g y0 − g v0(t − t0)+
1
2g 2(t − t0)2
de donde
S =∫
Ldt =1
2(u2
0 +v20 − g y0)(t1 − t0)− g v0(t1 − t0)2 +
1
3g 2(t1 − t0)3
eliminando u0, v0 de las soluciones de las ecuaciones del movimiento,
u0 =x1 −x0
t1 − t0
v0 =y1 − y0
t1 − t0+
1
2g (t1 − t0)
sustituyendo en la la expresión de S obtenida previamente obtenemos la fun-
ción principal de Hamilton como función de (x1, x0, y1, y0, t1, t0),
S =1
2(t1 − t0)
[
(x1 −x0)2 + (y1 − y0)2 −1
2g (t1 − t0)2(y1 + y0)−
1
24g 2(t1 − t0)3
]
derivando respecto de x0 e y0 obtenemos
u0 = −∂S
∂x0=
x1 −x0
t1 − t0
v0 = −∂S
∂y0=
y1 − y0
t1 − t0+
1
2g (t1− t0)
de donde podemos obtener las ecuciones del movimiento. Así pues si podemos
128 Capítulo – 6. Principios Variacionales
conocer la función principal de Hamilton S por otros medios, las expresiones
pi 0 =−∂S
∂q i0
nos permiten obtener las integrales de las ecuaciones del movimiento.
Ejemplo 6.3 Evaluar la función S para una oscilador armónico.
SOLUCCIÓN La ecuacion diferencial del oscilador vale
x +ω2x = 0
cuya solucion vale
x = x0 cos w(t − t0)+u0
ωsenω(t − t0)
Llevando la anterior expresión a la ecuación de S
S =∫
Ldt =∫
1
2(x2 −ω2x2)dt
se obtiene
S =1
2ω(x2
1 +x20 )cotω(t1 − t0)−
ωx1x0
senω(t1 − t0)
supuesto que ω(t1 − t0) no sea múltiplo entero de π. Como antes
−u0 =−∂S
∂x0=ωx0 cotω(t1 − t0)−
ωx1
senω(t1 − t0)
de donde despejando x1 obtenemos la solución del problema
x1 = x0 cos w(t − t0)+u0
ωsenω(t1 − t0)
6.6 Simetría y acción. El teorema de Noether 129
6.6. Simetría y acción. El teorema de Noether
En el capítulo cuatro obtuvimos que bajo una transformación de simetría la
forma del Lagrangiano no cambiaba, de tal forma que las ecuaciones del mo-
vimiento resultaban ser forma-invariantes. Esta forma-invariancia de las trans-
formaciones de simetría se traduce en una invariancia de la integral de acción.
Efectivamente bajo una transformación de simetría la forma en la que un obser-
vador ve el movimiento del sistema es la misma que la que dicho observador ve
antes de realizar la transformación de simetría. Por ejemplo si el sistema es in-
variante por traslación, las observaciones que realiza un observador en Madrid
deben de ser las mismas que las que realiza un observador en Londres, supuesto
que el sistema físico y sus condiciones frontera e iniciales sean las mismas.
En la sección anterior hemos visto como al cambiar las posiciones iniciales
y finales y los tiempos iniciales y finales, la integral de acción variaba en
∆S =−Hδt |2 +Hδt1 +∑
piδq i |2 −∑
piδq i |1
Si la transformación es una transformación de simetría, ∆S = 0, por lo que
−Hδt |2 +∑
piδq i |2 =−Hδt1 +∑
piδq i |1
o sea
−Hδt +∑
piδq i = cte (6.19)
Que es la expresión del teorema de Noether y que nos dice que si existe una
simetría del sistema, hay una cantidad que se conserva, la dada por la expresión
6.19.
Suponed por ejemplo que un sistema mecánico es invariante por traslación
temporal, esto es al hacer el cambio t = t +δt0 el sistema permanece invariable.
Suponiendo por tanto que δqi = 0 y δt0= cte. Se tiene
H = ct e
esto es el hamiltoniano se mantiene constante. Suponed que el sistema es in-
variante por traslación en una cierta dirección. Realizando una transformación
130 Capítulo – 6. Principios Variacionales
consistente en una traslación en dicha dirección, suponiendo que utilizamos
coordenadas cartesianas, tendremos
∑
pi x cosθxǫ+∑
pi y cosθyǫ+∑
pi z cosθzǫ= cte
siendo cosθx,y,z los cosenos directores de un vector unitario en la dirección de
traslación y ǫ su modulo. La anterior expresión no es otra cosa que la proyección
del momento en la dirección de traslación. Obtenemos por tanto los resultados
del capitulo cuatro. Supongase ahora que el sistema es invariante por rotación
a lo largo del eje z, en estas condiciones las variaciones de las coordenadas de
cada partícula viene dadas por
δxi = ri cos(θi +δθ)− ri cos(θi )
δyi = ri sen(θi +δθ)− ri sen(θi )
Teniendo en cuenta las expresiones para el coseno y el seno del ángulo suma, y
que para ángulos muy pequeños cosδθ≈ 1 y senδθ≈ δθ, tenemos
δxi = −yiδθ
δyi = xiδθ
Por lo tanto, suponiendo que hagamos una rotación a lo largo del eje z mante-
niendo fijo el tiempo, tendremos
∑
piδqi =∑
(−pxi yiδθ+py i xiδθ) = Lzδθ= cte
y por tanto Lz , la componente z del momento angular se mantiene constante,
esto es la proyección a lo largo del eje de rotación del momento angular se con-
serva. Obtenemos de nuevo los resultados del capítulo cuatro.
6.6.1. Invariancia gauge
Podemos generalizar los resultados obtenidos en esta sección y los del ca-
pitulo cuatro teniendo en cuenta que la simetría no está en que el Lagrangiano
6.7 Principio de Maupertuis 131
o la acción sean invariantes de la transformación de simetría sino en el hecho
que el movimiento del sistema permanezca invariable bajo la transformación
de simetría. Sabemos que dos lagrangianos que difieran en la diferencial de una
cierta función dan lugar a las mismas ecuaciones del movimiento, así pues ba-
jo una transformación de simetría se debe e verificar no que ∆L = 0 sino que
∆L = dF /dt . Como la integral de acción es la integral del Lagrangiano, dos fun-
ciones de acción que difieran en la integral de dF /dt darán lugar a las mismas
ecuaciones del movimiento,
S ′ = S +F (t2, q i2)−F (t1, q i
1)
Esto es bajo una transformación de simetría, ∆S no es cero si no vale
∆S = F (t2, q i2)−F (t1, q i
1)
como
∆S =−Hδt |2 +Hδt1 +∑
piδq i |2 −∑
piδq i |1
se tiene,
−Hδt |2 +Hδt1 +∑
piδq i |2 −∑
piδq i |1 = F2 −F1
de donde
−Hδt +∑
piδq i +F(t , q)= cte (6.20)
6.7. Principio de Maupertuis
Vamos a introducir en esta sección un nuevo principio variacional, similar,
pero diferente, al principio de Hamilton, el llamado principio de Maupertuis.
Para su demostración vamos a ser uso de los resultados obtenidos en la sección
anterior.
Consideremos el problema del movimiento de un sistema en el que el tiem-
po no interviene de forma explícita en la lagrangiana y por tanto tampoco en
la función de Hamilton. En estas condiciones hemos visto que el hamiltoniano
(o integral de Jacobi)H es una constante del movimiento, dH/dt = ∂H/∂t = 0.
Hagamos, H =E .
132 Capítulo – 6. Principios Variacionales
Vamos a suponer que tanto a lo largo de la trayectoria real como a lo largo de
las trayectorias variadas se verifica la constancia del hamiltoniano, eso significa
que los desplazamientos virtuales entre trayectoria y trayectoria no pueden ser
cualesquiera si no que deben de hacerse a lo largo de la hipersuperficie H =cte.
Por otra parte vamos a suponer que los tiempos de llegada y salida no son cons-
tante como en el principio de Hamilton si no que son libres, mientras que si se
mantienen fijas las posiciones iniciales y finales.
De acuerdo con lo visto en la sección anterior, cuando se varían las posicio-
nes iniciales y finales, así como los tiempos iniciales y finales, la variación de la
función principal de Hamilton S, no es nula, si no que vale vale
δS =∑
i
piδq i |2 −∑
i
piδq i |1 −Hδt |2 +Hδt |1
Supongamos que mantenemos fijas las posición inicial y final del sistema pe-
ro permitimos que los intantes de llegada puedan variar, en estas condiciones,
puesto que δq i (1) = δq i (2) = 0 resulta que
δS =∑
i
piδq i |2 −∑
i
piδq i |1 −Hδt |2 +Hδt |1 =−Hδt |2 +Hδt |1
de todos los desplazamiento virtuales, sólo vamos a considerar aquellos que son
compatibles con el hecho que la integral de Jacobi es una constante del movi-
miento, esto es, sólo consideraremos aquellas trayectorias que cumplan con es-
ta condición. Así pues H1 = H2 =E , y por tanto
δS =−H(δt2 −δt1) =−Eδ(t2 − t1) =−Eδt
de tal forma que
δ(S −E(t2 − t1)) = 0
por lo que ahora es la función S −E(t2 − t1) la que alcanza el valor estacionario.
Como sabemos
S =∫
Ldt =∫
(∑
pi dq i −Hdt )
6.7 Principio de Maupertuis 133
integrando en t puesto que H = E es constante, resulta que
S =∫
∑
pi dq i −E(t − t0)
Llamemos S0 a la expresión
S0 =∫
∑
pi dq i
que recibe el nombre de acción reducida. Teniendo en cuenta que ahora es la
función S −E(t2 − t1) la que alcanza el valor estacionario, tenemos
δS0 = δ(S −E(t − t0)) = δ
∫
∑
pi dq i = 0
que es el principio de Maupertuis3 o principio de mínima acción reducida. El
anterior principio nos indica que de todas las trayectorias posibles, compati-
bles con la conservación de la energía, esto es, de todas las trayectorias posibles
contenidas en la hipersuperficie H(p, q) = E , manteniendo fijas las posiciones
iniciales y finales, el sistema sigue aquella que hace mínima a la cantidad S0.
Hay que tener en cuenta que el uso del principio de Maupertuis, sólo nos per-
mite obtener las ecuaciones de la trayectoria no su ley horaria. Recuerdese, no
obstante que la variación δ ha de hacerse en todo caso a E =cte.
Para poder utilizar la ecuación anterior debemos de eliminar el tiempo. Va-
mos a ver como hacerlo. Supongamos que la lagrangiana toma la forma
L =1
2
∑
i , j
Ti j q i q j −U(q)
3Clasicamente el principio de Maupertuis ha recibido el nombre de minima acción y la canti-dad
∫∑
pi dqi ha recibido el nombre de acción. Siguiento la nomenglatura de los libros de Lan-dau y Goldstein (últimas ediciones) se ha dado el nombre de acción a la funcion principal deHamilton S =
∫
(∑
pi dqi −Hdt ) y de acción reducida S0 a la cantidad∫
∑
pi dqi . El principiode mínima acción reducida se atribuye usualmente a Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698–1759), cuyo ensayo Essai de Cosmologie apareció en 1751. Si embargo, su teoría, que apareció endicha memoria, era vaga, estaba basada en fundamentos metafísicos y no en hechos científicos.En realiada fue Euler quien la dedujo de forma científicamente satisfactoria
134 Capítulo – 6. Principios Variacionales
Los momentos generalizados toman la forma
pi =∂L
∂q i=
∑
j
Ti j q j
y la energía total ( dada la expresión de L en este caso la constante E coincide
con la energía total)
E = T +U =1
2
∑
i , j
Ti j q i q j +U(q)
De esta última expresión
dt =
√
∑
Ti j dq i dq j
2(E −U)
que llevado a la expresión
∑
i
pi dq i =∑
i , j
Ti , jdq j
dtdq i
nos da para la acción reducida la expresión
S0 =∫
∑
i , j Ti j dq j dq i
√
∑
Ti j dq i dq j
2(E−U)
=∫
√
2(E −U)∑
Ti j dq j dq i
Habiamos visto que podiamos definir una métrica en el espacio de las configu-
raciones a traves de la expresión
ds2 = 2T dt 2 =∑
Ti , j dq i dq j
de tal forma que
S0 =∫
√
2(E −U)ds
por lo que el principio de mínima acción toma la forma
δ
∫
√
2(E −U)ds = 0
6.7 Principio de Maupertuis 135
que es otra expresión del principio de Maupertuis4. Si el potencial es cero (no
existen fuerzas), como E es constante, el principio de Maupertuis toma la forma
δ
∫
ds = 0
esto es la trayectoria se realiza a lo largo del camino mas corto o, dicho de otra
forma, se realiza a lo largo de las geodésicas del espacio de las configuraciones.
Podemos ahora ligar la mecanica con la óptica. De acuerdo con el principio
de Fermat, los rayos siguen aquellas trayectorias que hacen mínima la expresión
∫
nds
siendo n el índice de refracción. Podemos por tanto identíficar al índice de re-
fracción del medio n con la cantidadp
2(E −U).
Una vez obtenida la ecuación de la trayectoria, podemos dar su ley horaria.
Para ello tengamos en cuenta que según obtuvimos antes
dt =
√
∑
Ti , j dq i dq j
2(E −U)
de donde
t − t0 =∫
√
∑
Ti , j dq i dq j
2(E −U)
Ejemplo 6.4 Siguiendo las directrices del principio de Maupertuis encontrar las
ecuaciones que rigen el movimiento de un sistema con coordenadas ignorables
SOLUCCIÓN Vamos a suponer que tenemos un sistema mecánico en el que exis-
4Nota: Podiamos haber tomado como métrica
ds =√
2(E −U)Ti j dqi dq j
, en cuyo caso S0 =∫
ds y el principio de Maupertuis toma la forma δ∫
ds = 0 de tal forma queel sistema mecánico sigue las trayectorias de distancia mínima, esto es sigue las geodésicas delespacio de las configuraciones dotado con la métrica anterior
136 Capítulo – 6. Principios Variacionales
te una coordenada que no a aparece en el lagrangiano. Como sabemos el co-
rrespondiente momento generalizado es una constante del movimiento. Sea qn
dicha coordenada, el momento generalizado pn = ∂L/∂qn es una constante del
movimiento. Restringamos nuestros desplazamientos virtuales a aquellos des-
plazamientos compatibles con este hecho a la vez que dejemos libres los des-
plazamientos correspondientes a la variable qn . En estas condiciones, δS no es
cero si no que vale
δS = pn(2)δqn (2)−pn (1)δqn (1) = pnδ(qn(2)−qn (1)) = pnδ
∫t2
t1
qdt = δ
∫t2
t1
pn qn dt
por lo que
δ(S −∫t2
t1
pn qdt )= δ(∫
Ldt −∫t2
t1
pn qn dt =δ
∫
(L−pn qn)dt = 0
Llamemos R a la función L−pn qn y utilicemos la ecución pn = ∂L/∂qn =βn=cte,
para eliminar qn , tenemos el problema variacional
δ
∫
R(q1, . . . , qn−1, q1, qn−1,βn , t )dt = 0
cuya solucción son las ecuaciones de Euler–Lagrange con lagragiana igual a R.
Ahora bien, R no es otra cosa que la función de Routh, por lo que hemos dedu-
cido las ecuaciones del método de Routh mediante un principio variacional.
Ejemplo 6.5 Partiendo del principio Maupertuis, encontrar la ecuación dife-
rencial de la trayectoria
SOLUCCIÓN
Según hemos visto el principio de Maupertuis se puede expresar como
δ
∫
nds = 0
siendo n =p
2(E −U) en mecánica y el índice de refracción en óptica. Introduc-
6.7 Principio de Maupertuis 137
ciendo el operador δ dentro de la integral tenemos
δ
∫
nds =∫
δnds +∫
nδds
que podemos expresar de la siguiente manera
∫
δnds =∫
∇nδrds
siendo δr = δq1q1 + . . .+δqn qn . Por otra parte
ds2 = dr ·dr
por lo que
2dsδds = 2dr ·δdr
ahora bien vimos antes que δdr = dδr por lo que
δds =dr
dsdδr
y por tanto∫
nδds =∫
ndr
dsdδr
integrando por partes
∫
nδds = ndr
dsδr
∣
∣
∣
∣
2
1−
∫
d
ndr
ds
δr
si tenemos en cuenta que en los puntos finales e iniciales δr = 0, tenemos
∫
nδds =−∫
d
ds
ndr
ds
dsδr
por lo que
δ
∫
nds =∫
∇nδrds −∫
d
ds
ndr
ds
dsδr =∫
∇n −d
ds
(
ndr
ds
)
δrds = 0
138 Capítulo – 6. Principios Variacionales
puesto que esta ecuación es válida para cuaquier δr, tenemos que
∇n −d
ds
(
ndr
ds
)
= 0 (6.21)
que es la ecuación diferencial del rayo o del punto en mecánica, el equivalen-
te a la ecuación de Euler–Lagrange obtenida a partir del principio de Hamiton.
Teniendo en cuenta quedn
ds=∇n ·
dr
ds
y que dr/ds es el vector tangente T a la trayectoria, tenemos
∇n − (∇n ·T)T−nd2r
ds2= 0
ahora bien1
ρN =
d2r
ds2(6.22)
nos da el radio de curvatura ρ y la normal a la trayectoria N, por lo que tenemos
∇n = (∇n ·T)T+n1
ρN (6.23)
que es la ecuación del rayo. En mecánica, n =p
2(E −U), por lo que teniendo en
cuenta que E es constante tenemos
∇√
2(E −U) =1
p2(E −U)
∇U =−1
p2(E −U)
F
sustituyendo tenemos
√
2(E −U)1
ρN =
1p
2(E −U)(F−F ·TT)
y teniendo en cuenta la ecuación de la normal (6.22), tenemos
d2r
ds2=
1
2(E −U)(F−F ·TT) (6.24)
La cantidad (F−F ·TT) es la componente normal de la fuerza FN . Por lo que la
6.7 Principio de Maupertuis 139
anterior ecuacion la podemos poner como
1
ρN =
1
2(E −U)FN
que teniendo en cuenta que 2(E −U) = 2T = v2, tenemos
1
ρv2N = FN (6.25)
Darse cuenta que sólo somos capaces de obtener la ecuación de la trayectoria.
La ley horaria dv/dt = Ft tendremos que obtenerla a partir de otros principios.
Si nos fijamos detenidamente en la forma en la que se ha obtenido la ecua-
ción diferencial de la trayectoria del rayo (o de la partícula), ecuacion 6.21, ve-
mos que es completamente diferente a la forma en la que se dedujo la ecuación
de Euler-Lagrange a partir del principio de Hamilton. En ambos casos se partió
de sendos principios variacionales,
δ
∫
Ldt = 0
en Hamilton y
δ
∫
nds = 0
en Maupertuis. Si embargo cuando se introduce el operador δ dentro de la inte-
gral, en el caso del principio de Hamilton el operador δ sólo afecta a al función
L, mientras que cuando se ha introducido dentro de la integral en el principio
de Maupertuis afecta tanto a n como a s. Esto se debe a que ambos operadores δ
son diferentes. En el caso del principio de Hamilton, este operador era indepen-
diente del parámetro t , parámetro empleado en describir la trayectoria. Según
nuestras hipétesis, el camino variado se obtiene mediante un desplazamiento
virtual, esto es a t cosntante. En el principio de Maupertuis, el desplazamiento
es entre aquella trayectorias posibles, cuyos origenes y destinos son iguales, pe-
ro que los realizan a diferente marcha. El sistema elige aquella cuya integral de
acción es un extremal. En este segundo caso, podemos introducir un parame-
tro τ para describir la trayectoria seguida por la partícula, de tal forma que este
parametro sea independiente del operador δ. En este caso tendremos que hacer
140 Capítulo – 6. Principios Variacionales
estacionaria la integral
δ
∫
nds = δ
∫
nds
dτdτ= 0
donde5
ds
dτ=
√
(
dx
dτ
)2
+(
d y
dτ
)2
+(
dz
dτ
)2
=√
x2 + y2 + z2
Sustituyendo
δ
∫
nds
dτdτ=δ
∫
n
√
x2 + y2 + z2dτ
expresión equivalente al principio de Hamilton con un lagrangiano dado por
L = n
√
x2 + y2 + z2
y cuya ecuación de Euler-Lagrange es (sólo voy a escribir la correspondiente a la
coordenada x),1
dτ
(
∂L
∂x
)
−∂L
∂x= 0 (6.26)
Teniendo en cuenta la expresión de L, tenemos que esta ecuación se transforma
en1
dτ
(
n(
x2 + y2 + z2)−1/2x)
−(
x2 + y2 + z2)1/2 ∂n
∂x= 0
Si tenemos en cuenta las correspondientes expresiones para el resto de las va-
riables, podemos escribir en forma vectorial
1
dτ
(
n(
x2 + y2 + z2)−1/2 dr
dτ
)
−(
x2 + y2 + z2)1/2∇n = 0
Hasta ahora el párametro τ utilizado para describir el movimiento del punto a
lo largo de su trayectoria queda sin especificar. >Qué pasa si lo hacemos igual al
elemento de longitud ds a lo largo de la trayectorial real de la partícula ?. En este
caso(
x2 + y2 + z2)1/2 = ds/dτ= 1
5Voy a utilizar por sencillez coordenadas cartesianas, en el caso más general ds =√
gi j dg i dg j
de tal forma que ds/dτ =√
gi j g i g j
6.7 Principio de Maupertuis 141
y por tanto1
ds
(
ndr
ds
)
−∇n = 0
que coincide con la ecuación 6.21 obtenida anteriormente.
Ejemplo 6.6 Aplicar el principio de mínima acción al caso de problema de Kep-
pler
SOLUCCIÓN
Vamos a aplicar en este ejemplo los resultados obtenidos en la segunda parte
del ejemplo anterior. Ahora n =p
2(E −V ) siendo
V (r) =–GMm
r=
−k2m
r
Supuesto que la órbita es plana (nos lo garantiza la conservación del momento
angular al ser un problema de fuerzas centrales), el elemento de longitud vale
ds =√
Ti j dq i dq j = m√
dr 2 + r 2dθ2
En esta ocasión, vamos a utilizar como párametro τ la variable θ de tal forma
que
ds =√
Ti j dq i dq j = m√
dr 2 + r 2dθ2 = m√
r ′2 + r 2dθ
siendo r ′ = dr/dθ por lo que el principio de Maupertuis toma la forma
δ
∫
√
2m(E +k2m
r)(r 2 + r ′2)dθ= δ
∫
L(r, r ′)dθ
siendo el lagrangiano L
L(r, r ′) =
√
2m(E +k2m
r)(r 2 + r ′2).
Como sabemos, la solucción del anterior problema variacional viene dada por
142 Capítulo – 6. Principios Variacionales
las ecuaciones de Euler–Lagrange
d
dθ
∂L
∂r ′−∂L
∂r= 0
Sin embargo, en vez de tratar de resolver esta ecuación diferencial directamente,
vamos a aprovechar la existencia de una integral primera del sistema. Puesto
que θ ha tomado el papel que jugaba el tiempo en el principio de Hamilton,
podemos definir un nuevo ’hamiltoniano’, mediante la expresión
h = r ′∂L
∂r ′−L
en la que r ′ desempeña el papel de velocidad generalida (similar al q) y ∂L/∂r ′
desempeña el papel de momento generalizado (similar al ∂L/∂q). Al igual que
pasa con el hamiltoniano usual, se verifica que
dh
dθ=
∂h
∂θ=−
∂L
∂θ
Ahora bien puesto que θ no aparece explicitamente en la función L, al igual que
sucede cuando t no está en el lagrangiano, h es una constante del movimiento
y por tanto, tenemos
r ′∂L
∂r ′−L =C
Sustituyendo√
2m(E +k2m/r)
r 2 + r ′2r 2 =−C .
Teniendo en cuenta que r = r ′θ, es posible demostrar que la constante −C es
igual al momento angular L . Reordenando
(
dr
dθ
)2
=2mr 2
C 2
(
Er 2 +k2mr −C 2
2m
)
que podemos poner como
θ=C
p2m
∫
dr
rp
Er 2 +k2mr −C 2/2m.
6.7 Principio de Maupertuis 143
Integrando, tomando como origen de coordenadas la posición del perigeo6
θ= sen−1(
k2mr −C 2/m
rp
k4m2 +2EC 2/m
)
−π
2
reordenanado se obtiene
r =C 2/k2m2
1+p
1+2EC 2/k4m3 cosθ.
Teniendo en cuenta que la ecuación polar de la elipse es
r =a(1− e2)
1+ e cos v
siendo a el semieje mayor, e la excentricidad y v la anomália verdadera (ángulo
medido a partir del perigeo), se tiene que la excentricidad e vale,
e =√
1+2EC 2/k4m3
y p = a(1− e2) =C 2/k2m2
Ejemplo 6.7 Calcular el hamiltoniano de una partícula de masa m sometida a
una fuerza conservativa referido a un sistema no inercial.
SOLUCCIÓN Considerar un sistema inercial O′ y un sistema no inercial O cuyo
origen se mueve con velocidad v0 respecto del sistema inercial a la vez que ro-
ta con velocidad ω respecto del mismo sistema. Considerar un punto de masa
m cuya posición viene dada por R en el sistema inercial y por r en el sistema
no inercial. Como es bien sabido las velocidades en el sistema inercial va y no
6En el perigeo y en el apogeo, la componente radial de la velocidad es nula, por lo que la energíatotal E vale
E =1
2mv2
θ −k2m
r=
1
2mr 2
0 θ20 −
k2m
r
lo que hace que el valor de la integral en el perigeo sea π/2
144 Capítulo – 6. Principios Variacionales
Figura 6.2:
inercial v del punto P están relacionadas mediante la expresión
va = va0 +v+ω×r
siendo va0 la velocidad en el sistema inercial del punto P y ω la velocidad angular
del sistema de referencia no inercial respecto del sistema de referencia inercial.
Se supone que las velociades va0 y ω son funciones conocidas del tiempo.
La lagrangiana del sistema en el sistema de referencia inercial viene dada
por la expresión
L =1
2m(va )2 −V (R)
Sustituyendo la expresión para va obtenemos
L =1
2m(va
0 +v+ω×r)2 −V (r)
elevando al cuadrado obtenemos,
L =1
2mv2 +
1
2m(va
0 )2 +1
2m(ω×r)2 +mv0 · (v+ω×r)+mv · (ω×r)−V (r)
El término (ω×r)2 = (ω×r) ·(ω×r) se puede considerar como el producto mixto
a · (b×c), siendo a = (ω×r), b =ω y c= r. Teniendo en cuanta que
a · (b×c) = c(a×b)
tenemos
(ω×r) · (ω×r) = r · (ω×r×ω) =−r · (ω× (ω×r))
6.7 Principio de Maupertuis 145
y el triple producto mixto lo podemos poner como
ω× (ω×r) =ω(ω ·r)−rω2
por lo que
(ω×r)2 =−r · (ω× (ω×r)) =−r · (ω(ω ·r)−rω2) = r 2ω2 − (ω ·r) · (r ·ω) =ωIω
siendo I= r 2I− rr el tensor de inercia del punto respecto del origen del sistema
no inercial. De acuerdo con la reglas del producto mixto, el término
mv · (ω×r)
lo podemos poner como
mω · (r×v) =ω ·L
siendo L el momento angular relativo.
Por otra parte tenemos,
v+ω× r =(
dr
dt
)
no inercial+ω× r =
(
dr
dt
)
inercial
por lo que el término
mv0 · (v+ω×r)
lo podemos poner como
mv0 · (v+ω×r) = mv0 ·(
dr
dt
)
inercial= m
(
dv0 ·r
dt
)
inercial−mr ·a0
siendo a0 = dv0/dt la aceleración del punto origen del sistema movil.
De todo lo anterior podemos poner para la lagrangiana
L =1
2mv2 +
1
2ωIω−mr ·a0 +mω ·L +
1
2mv2
0 +m
(
dv0 ·r
dt
)
inercial−V (r)
Ahora bien el término
v20
146 Capítulo – 6. Principios Variacionales
es una función conocida del tiempo, por lo que en principio se puede poner
como la derivada con respecto al tiempo de una cierta función F (t ), por lo que
L =1
2mv2 +
1
2ωIω−mr ·a0 +mω ·L +
1
2m
dF
dt+m
(
dv0 ·r
dt
)
inercial−V (r)
Ahora bien sabemos que dos lagrangianas que difieran únicamente en la de-
rivada respecto del tiempo de una cierta función son equivalentes, por lo que
podemos eliminar de la lagrangiana los términos
1
2m
dF
dt+m
(
dv0 ·r
dt
)
inercial
resultando entonces
L′ =1
2mv2 +
1
2ωIω−mr ·a0 +mω ·L −V (r) (6.27)
Vamos a considerar a esta expresión como lagrangiano referido al sistema mo-
vil. Partiendo del principio de Hamilton, el sistema se mueve a lo largo de una
trayectoria que hace estacionaria la función principal de Hamilton
∫
L(r,v, t )
independientemente del sistema de referencia elegido (una vez elegida de for-
ma conveniente la lagrangiana). Del principio de Hamilton, obtuvimos como
ecuaciones del movimiento
d
dt
(
∂L
∂v
)
−(
∂L
∂r
)
= 0
donde el operador d/dt está referido al sistema movil. Vamos a aplicar las ante-
riores ecuaciones a tres casos diferentes
a.- Supongamos que a0 = 0 y ω= 0, esto es el sistema movil se mueve en movi-
miento de translacion con velocidad uniforme, en estas condiciones
L′ =1
2mv2 −V (r)
6.7 Principio de Maupertuis 147
de donde vemos que la expresión del lagrangiano es el mismo que respec-
to del sistema inercial, y por tanto las ecuaciones que se obtiene de ellas
serán identicas a las obtenidas en el sistema inercial. Obtenemos pues el
principio de Galileo. Las ecuaciones del movimiento son identicas respec-
to de sistemas que esten moviendose uno respecto del otro en movimien-
to de translación unifome
b.- Suponer ahora que únicmante ω= 0, el sistema se mueve con movimiento
de translación no uniforme en este caso
L′ =1
2mv2 −mr ·a0 −V (r)
lo que equivale a sustituir el potencial V (r) por V ′(r) = r ·a0 +V (r) por lo
que las ecuciones del movimiento resultan
mdv
dt=−ma0 −∇V = F−ma0
esto es reproducimos las ecuaciones de Newton con una fuerza igual a la
fuerza aplicada menos la fuerza inercial.
c.- Supongamos que ω es constante, por lo que
L′ =1
2mv2 +
1
2ωIω−mr ·a0 +mω ·L −V (r)
teniendo en cuanta que mω ·L = mω · (r×v) = mv(ω×r), tenemos
∂L′
∂v= mv+m(ω×r)
yd
dt
∂L′
∂v= m
dv
dt+m(ω×v)
así mismo,∂L′
∂r=
1
2
∂
∂r(ωIω)−ma0 +m(v×ω)−∇V (r).
148 Capítulo – 6. Principios Variacionales
De la expresión del tensor de inercia
∂
∂r(ωIω) =
∂
∂rm[ω2rr− (ω ·r)(r ·ω)]
= m[2ω2r−ω(r ·ω)− (ω ·r)ω]
= 2m[ω2r−ω(ω ·r)]
= −2mω× (ω×r)
sustituyendo, tenemos
∂L′
∂r=−mω× (ω×r)−ma0 +m(v×ω)−∇V (r)
de donde las ecuaciones de Lagrange, resultan
mdv
dt+m(ω×v)+mω× (ω×r)+ma0 −m(v×ω)+∇V (r) = 0
esto es
mdv
dt=−∇V (r)−mω× (ω×r)−ma0 −2m(ω×v) (6.28)
que son las ecuaciones correspondientes al teorema de Coriolis para el
movimiento respecto de un sistema no inercial que se mueve con veloci-
dad angular constante.
De las anteriores ecuaciones se deduce que el momento generalizado vale
p =∂L′
∂v= mv+m(ω×r) (6.29)
La velocidad de la partícula respecto de un sistema que se mueve respecto del
sistema inercial en movimiento de translación vale
v′ = v+ω×r
por lo que el momento de la partícula respecto de este sistema vale
p′ = mv′ = mv+mω×r = p
6.7 Principio de Maupertuis 149
A partir de las ecuaciones que definen el hamiltoniano, tenemos
H = p ·v−L = mv2 +mv · (ω×r)−[
1
2mv2 +
1
2ωIω−mr ·a0 +mω ·L −V (r)
]
=
1
2mv2 −
1
2ωIω+mr ·a0 +V (r)
teniendo en cuenta que
v =1
m[p−m(ω×r)]
sustituyendo
H =1
2mp2 +
1
2(ω×r)2 −p · (ω×r)−
1
2ωIω+mr ·a0 +V (r)
teniendo en cuenta, según demostramos antes que
1
2(ω×r)2 =
1
2ωIω
llegamos a
H =1
2mp2 −p · (ω×r)+mr ·a0 +V (r)
Un observador en el sistema movil, que no conociese su estado de movimiento
escribiria para el hamiltoniano
H ′ =1
2mp2 +V (r)
debido al hecho que el sitema es no inercial, debemos de modificar el anterior
hamiltoniano para obtener el hamiltoniano correcto
H = H ′−p · (ω×r)+mr ·a0
teniendo en cuenta que
p · (ω×r) =ω(r×p) =ω ·L
tenemos
H = H ′+mr ·a0 −ω ·L (6.30)
150 Capítulo – 6. Principios Variacionales
si a0 = 0
H = H ′−ω ·L =1
2mp2 +V (r)−ω ·L (6.31)
Se puede considerar a este hamiltoniano, como el hamiltoniano en un sistema
de referencia inercial pero con un potencial efectivo dado por
V ′(r)= V (r)−ω ·L
así pues el hamiltoniano de una partícula material en un sistema de referencia
no inercial es el correspondiente al inercial solo que sometido a un potencial
efectivo dado por la expresión 6.7
Podemos aplicar la anterior ecuación al caso de una partícula cargada de
masa m sometida a un campo magnético B uniforme. Como vimos en secciones
anteriores el hamiltoniano de una partícula en un campo electromagnético vale,
H ′ =1
2m(p−
q
cA)2 +qφ(r)
por lo que en el sistema movil vale
H =1
2m(p−
q
cA)2 +qφ(r)−ω ·L
Para que B sea constante podemos elegir el potencial vector de la forma
A =−1
2(r×B)
por lo que
H =1
2m(p+
q
c
1
2(r×B))2+qφ(r)−ω·L =
1
2mp2+
1
2
q
2mc(r×B)2+
q
2mcp·(r×B)+qφ(r)−p·(ω×r) =
=1
2mp2 +
1
2
q
2mc(r×B)2 +qφ(r)+p ·
[ q
2mc(r×B)+ (r×ω)
]
elijamos ω de tal forma que
ωL =−q
2mcB
o sea que el sistema rotante tenga el eje de rotación a lo largo del campo unifor-
me y el sentido de giro se oponga al campo uniforme aplicado. Esta frecuencia
6.7 Principio de Maupertuis 151
recibe el nombre de frecuencia de LARMOR. En estas condiciones
H =1
2mp2 +qφ(r)+
1
2(r×ωL)2,
tomando como sistema de coordenadas uno en el que uno de los ejes vaya a lo
largo del campo B, tenemos
H =1
2mp2 +qφ(r)+
1
2ω2
Lr 2⊥
siendo r⊥ el radio vector perpendicular al tercer eje. Supuesto que ωL sea muy
pequeña, podemos despreciar el término cuadrático y por tanto
H =1
2mp2 +qφ(r)
donde ya no aparece el campo magnético B. Así pues podemos anular el cam-
po magnetico moviendonos con una velocidad angular de rotación dada por la
expresión
ωL =−q
2mcB
si q es negativo ωL tiene el mismo signo que el campo B.
Podemos imaginar que el campo magnético se lo aplicamos a un electrón
que gira en el campo eléctrico de un núcleo. Podemos suponer que el electrón
realiza una órbita circular. Según acabamos de ver podemos anular el efecto del
campo magnético moviendonos nosotros en un sistema de referencia que gira
con la frecuencia de Larmor en la dirección del campo magnético o lo que es
lo mismo, la órbita gira en sentido contrario respecto de nosotros. Así pues la
aplicación de un campo magnético tiene como resultado la precesión de la ór-
bita del electrón en sentido contrario a la del campo manético aplicado y cuya
frecuencia de precesión viene dada por la frecuencia de Larmor.
152 Capítulo – 6. Principios Variacionales
6.8. Una introducción a la mecánica lagrangiana para me-
dios continuos
Hasta el momento se ha considerado que en la definición de la acción, el La-
grangiano dependía de una sola variable independiente t . Se puede extender de
forma natural los resultados anteriores al caso de que el Lagrangiano depende
de varias variables independientes, esto es podemos tener un Lagrangiano de la
forma
L (q(x, t ),∂q
∂x,∂q
∂t, x, t )
En este caso, el principio de Hamilton se expresa de la siguiente manera,
δ
∫
L dxdt = 0 (6.32)
y la ecuación de Euler-Lagrange viene dada por la expresión
∂L
∂q−
∂
∂x
(
∂L
∂∂q
∂x
)
−∂
∂t
(
∂L
∂∂q
∂t
)
= 0 (6.33)
Una de las situaciones en las que aparece un Lagrangiano de este tipo es al es-
tudiar los medios continuos. En este caso pasamos de estudiar un problema de
n grados de libertad donde la configuración del mismo viene expresada por n
variables q1, q2, . . . , qn a estudiar un problema con infinitos grados de libertad en
donde la configuración del sistema viene expesada por una ecuación de la for-
ma q(x), siendo x un parámetro que nos etiqueta cada partícula del continuo.
En este caso, la lagrangiana se expresa como
L =∫
L dx
siendo L la densidad lagrangiana.
Ejemplo 6.8 Obtener las ecuaciones del movimiento mediante la aplicación del
principio de Hamilton, de un hilo extensible de longitud muy grande tensionado
6.8 Una introducción a la mecánica lagrangiana para medios continuos153
uniformemente entre dos puntos A,B situados a los largo del eje x. Suponed que
el hilo solo puede moverse a lo largo del eje y
SOLUCCIÓN
Vamos a considerar un hilo que en reposo está situado a lo largo del eje x entre
dos puntos A y B y que lo perturbamos deformandolo ligeramente, ver la figura
6.3 Soltamos el hilo y dejamos que se mueva suponiendo despreciable los efec-
A B
Figura 6.3:
tos de bordes al suponer que los punto A y B estan muy alejados uno del otro.
Como estamos suponiendo que el hilo se mueve en el eje vertical, la energía
cinética de un elemento de masa del hilo vale
∆T =1
2∆m
(
∂y
∂t
)2
y la energía cinética total
T =∫
1
2∆m
(
∂y
∂t
)2
Ahora aparece una derivada parcial porque para cada elemento del hilo la ve-
locidad vertical puede ser diferente. El cálculo de la energía potencial es algo
más complicado. Cada elemento del hilo se ve sometido a una tensión τ hacia
su derecha y una tensión τ hacia su izquierda (excepto obviamente en los ex-
tremos). Sea δs el incremento producido en el elemento del hilo a cuenta de
la tensión. Podemos suponer que cada tensión (que suppondremos uniforme)
produce una estiramiento δs/2. Así pues el trabajo realizado por la tensión del
hilo vale
∆W = 2τδs/2 = τδs
Veamos cuanto se ha estirado. Si inicialmente la longitud del elemento es ∆x,
154 Capítulo – 6. Principios Variacionales
cuando lo hayamos deformado su longitud será
∆s =√
∆x2 +∆y2 =
√
1+∆y2
∆x2∆x =
√
1+(
∂y
∂x
)2
∆x
Puesto que estamos suponiendo que la deformación es pequeña, la pendiente
de la curva que forma el hilo es pequeña y por tanto podemos desarrollar en
serie el término correspondiente a la raiz cuadrada, de tal forma que
∆s ≈ (1+1
2
(
∂y
∂x
)2
)∆x
y por tanto la deformación δs =∆s −∆x vale
δs =1
2
(
∂y
∂x
)2
δx
y el trabajo
∆W = τ1
2
(
∂y
∂x
)2
δx
Cuando consideremos el trabajo realizado sobre todo el hilo, este valdrá
W =∫
τ1
2
(
∂y
∂x
)2
dx (6.34)
Este trabajo se almacenerá en forma de energía potencial elástica y por tanto
V =∫
τ1
2
(
∂y
∂x
)2
dx
Una vez obtenida el potencial, el lagrangiano vale
L =∫
1
2∆m
(
∂y
∂t
)2
−∫
τ1
2
(
∂y
∂x
)2
dx
Puesto que la masa del hilo no cambia, podemos suponer que ∆m =λ∆x, sien-
do λ la densidad lineal de masa. Así pues,
L =1
2
∫[
λ
(
∂y
∂t
)2
−τ
(
∂y
∂x
)2]
dx
6.8 Una introducción a la mecánica lagrangiana para medios continuos155
y la acción
S =∫
L dxdt =1
2
∫∫[
λ
(
∂y
∂t
)2
−τ
(
∂y
∂x
)2]
dxdt
Así pues
L =[
λ
(
∂y
∂t
)2
−τ
(
∂y
∂x
)2]
De donde la ecuación de Euler–Lagrange es
λ∂2 y
∂t 2−τ
∂2 y
∂x2= 0
que no es otra cosa que la ecuación de ondas cuya velocidad de fase es
c2 =τ
λ
156 Capítulo – 6. Principios Variacionales
Capítulo 7
Teoría de transformaciones
7.1. Transformaciones de Contacto
El origen de las transformaciones de contacto se puede encontrar en una
celebre memoria sobre óptica que Hamilton presentó a la Royal Iris Academy
en 1824. Los principios que alli se introdujeron fueron luego transportados al
campo de la dinámica. Esta extensión de la óptica a la mecánica no debe de
extrañarnos pues según hemos visto en el capítulo anterior podemos conside-
rar que el comportamiento de un sistema dinámico viene caracterizado por el
movimiento de un punto en el espacio de las configuraciones cuya trayectoria
la podemos obtener a partir del principio de Maupertois. Así mismo en óptica,
la trayectoria seguida por un rayo se puede determinar a partir del principio de
Fermat. Vimos que podiamos identificar ambos principios haciendo correspon-
der el índice de refracción n(x, y, z) con la cantidadp
2(E −U).
En la época en la que Hamiltón presentó su memoria a la academia irlande-
sa este resultado no estrañó demasiado pues todavía tenia cierto peso la teoría
corpuscular de la luz. Ahora bien el principio de Fermat sigue siendo válido en
la teoría ondulatoria de la luz. En esta teoría podemos describir la propagación
de la luz bien como rayos luminosos bien como frentes de ondas siendo los pri-
meros ortogonales a los segundos en cada punto del espacio1. De acuerdo con
1En realidad una descripción de la luz en términos de rayos y frentes de ondas constituye unlímite para longitudes de onda muy cortas de la teoría más general definida por la ecuación de
158 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
la teoría introducida por Huygens y posteriormente ampliada por Fresnel pode-
mos considerar a los frentes de ondas como una perturbación del medio, que
en un instante determinado t forma una superficie σ. Cada elemento de está
superficie se puede considerar como centro emisor de ondas secundarias que
se propagan en el espacio, de tal forma que la perturbación que se originó en el
punto (x, y, z) se extenderá sobre una cierta superficie (ver la figura 7.1, nótese
que la notación usada en la figura es la inversa de la usada en el texto. En la fi-
gura V (xt , x0) da la posición del frente emanado desde el punto x0 al cabo de un
tiempo t. En el texto esta superficie aparece como V (x0, xt ), aparece primero el
punto de donde emanan las ondas y despues el punto donde llegan.)
x0
V(xs,x0)
V(xt,x0)
xs V(xt,xs)
Figura 7.1:
Para obtener la ecuación de esta superficie, debemos de observar que el
tiempo que tarda la luz en ir de un punto (x, y, z) a otro (x ′, y ′, z ′) depende úni-
camente de las seis cantidades (x, y, z, x ′, y ′, z ′), denominemos a esta cantidad
V (x, y, z, x ′, y ′, z ′) que fué llamada por Hamilton función característica2 Una per-
turbación que se origina en un punto (x, y, z) en un instante t se extenderá en
un instante t ′ posterior a lo largo de una superficie cuya expresión en terminos
ondas2De acuerdo con el principio de Fermat la luz va de un punto (x, y, z) a otro (x′, y ′, z′) de tal
forma que la integral∫x′,y ′,z′
x,y,zdt
sea mínima. Lo que significa que esta integral depende únicamente de los puntos inicial y finalno del camino seguido.
7.1 Transformaciones de Contacto 159
de (x ′, y ′, z ′) es
V (x, y, z, x ′, y ′, z ′) = t ′− t =∫x′,t ′
x,tdt ∼
∫x′,t ′
x,tnds (7.1)
Ahora bien, de acuerdo con el principio de Huygens–Fresnel, el frente ondas
que representa a la perturbación completa en el instante t ′ es la envolvente de
la onditas generadas a lo largo del frente de ondas en el instante t . Llamemos Σ
a este nuevo frente de ondas, caracterizado por la función V (x0, y0, z0, x ′, y ′, z ′),
siendo x0, y0, z0 el punto emisor del frente de ondas. Sean (l , m, n) los cosenos
directores de la normal al frente de ondas σ (caracterizado por la superficie
V (x0, y0, z0, x, y, z)) en el punto x, y, z, esto es los cosenos directores del rayo en
el punto (x, y, z)3. Sean (l ′, m′, n′) los cosenos directores de la normal al frente de
ondas Σ el punto (x ′, y ′, z ′) siendo el punto (x ′, y ′, z ′) el punto en que el frente Σ
es tangente a las ondistas generadas en (x, y, z), diremos entonces que los pun-
tos (x, y, z) e (x ′, y ′, z ′) son correspondientes. De la teoría general de envolventes,
puesto que Σ es la envolvente de las superficies V (x, y, z, x ′, y ′, z ′) generadas en
los puntos (x, y, z) de la superficie σ, se debe de verificar que,
∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)
∂xdx +
∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)
∂yd y +
∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)
∂zdz = 0
donde el vector desplazamiento dr de componentes dx, d y, dz se debe hacer a
lo largo de la superficie σ, en estas condiciones, se verifica también que
ldx+md y +ndz = 0
puesto que l , m, n son las componentes de un vector unitario ortogonal al fren-
te de ondas σ, esto es a la superficie V (x0, y0, z0, x, y, z) en (x, y, z). Para que se
cumplan a la vez las dos ecuaciones anteriores, se debe de verificar que
1
l
∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)
∂x=
1
m
∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)
∂y=
1
n
∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)
∂z(7.2)
3Por simplicidad supondremos que el medio en el que se propagan los rayos es isótropo, encuyo caso los rayos son normales a los frentes de ondas. En medios no isótropos esto no es cierto
160 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
Ademas en el punto (x ′, y ′, z ′) de contacto entre la ondita y el frente de onda el
rayo es normal a ambas superficies por lo que
1
l ′∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)
∂x ′ =1
m′∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)
∂y ′ =1
n′∂V (x, y, z, x ′, y ′, z ′)
∂z ′ (7.3)
Un rayo que pasa por el punto (x, y, z) en la dirección (l , m, n) en el instante t ,
pasa por el punto (x ′, y ′, z ′) en la dirección (l ′, m′, n′) en el instante t ′, estas 6
últimas cantidades se pueden obtener a partir de las ecuaciones 5 ecuaciones
(7.1) a (7.3) junto con la ecuación
l ′2 +m′2 +n′2 = 1 (7.4)
Así pues el comportamiento del rayo está completamente especificado por un
única función
V (x, y, z, x ′, y ′, z ′).
Podemos observar que las anteriores ecuaciones son ecuaciones algebráicas no
ecuaciones diferenciales, por lo que ellas dan, en forma integrada, los cambios
sufridos en una haz de rayos después de que haya transcurrido un intervalo fi-
nito de tiempo.
Desde el punto de vista matemático, podemos considerar al paso de las va-
riables (x, y, z, l , m, n) a las variables (x ′, y ′, z ′, l ′, m′, n′) o para expresarlo geo-
métricamente de las superficies σ a las superficies Σ, como una transformación.
La función V puede por tanto caracterizar la transformación de las superficies
σ en las superficies Σ o del conjunto de variables (x, y, z, l , m, n) en el conjun-
to de variables (x ′, y ′, z ′, l ′, m′, n′). Si dos superficies σ se tocan en un punto, las
superficies transformadas Σ se tocan en el punto correspondiente al punto de
contacto de las superficies σ. Por esta razón, Sophus Lie denominó a este tipo
de transformación transformaciones de contacto.
Siguiendo con el razonamiento de Hamilton, las ecuaciones (7.2) y (7.3) las
podemos poner como
∂V∂x
= kl ∂V∂y
= km ∂V∂z
= kn
∂V∂x ′ = k ′l ′ ∂V
∂y ′ = k ′m′ ∂V∂z ′ = k ′n′
7.1 Transformaciones de Contacto 161
donde k, k ′ son cantidades a determinar. De las anteriores ecuaciones
dV = k(ldx+md y +ndz)+k ′(l ′dx ′+m′d y ′+n′dz ′)
Si ahora si hacemos un cambio ds′ a lo largo del rayo en (x ′, y ′, z ′) incrementa-
mos V en el tiempo tomado por el rayo en recorrer ds′, esto es
dV = ds′/v =1
cµ′ds′ =
1
cµ′(l ′2 +m′2 +n′2)ds′ =
1
cµ′(l ′dx ′+m′d y ′+n′dz ′)
de donde se deduce que k ′ =µ′/c , siendo µ′ el índice de refracción del medio en
el punto (x ′, y ′, z ′). Lo mismo sucede ahora en el punto (x, y, z) solo que el tiem-
po se disminuirá en una cantidad similar, por lo que salvo el factor constante
1/c
dV =µ′(l ′dx ′+m′d y ′+n′dz ′)−µ(ldx +md y +ndz) (7.5)
Esta ecuación no muestra que el movimiento del rayo entre los punto (x, y, z)
y (x ′, y ′, z ′) se realiza de tal forma que la forma de Paff, dada por el miembro
de la derecha de la anterior ecuación es la diferencial exacta de una función.
Llamando
µl = ξ, µm = η, µn = ζ, µ′l ′ = ξ′, µ′m′ = η′, µ′n′ = ζ′
tenemos
dV = ξ′dx ′+η′d y ′+ζ′dz ′−ξdx −ηd y −ζdz. (7.6)
Considerar ahora el caso en que el tiempo t ′− t es muy pequeño, en cuyo
caso la transformación de contacto se llama transformación de contacto infini-
tesimal, en esa situación,
x ′ = x +α∆t y ′ = y +β∆t z ′ = z +γ∆t
ξ′ = ξ+u∆t η′ = η+v∆t ζ′ = ζ+w∆t
V = W∆t
de donde
dW = udx +vd y +wdz +ξdα+ηdβ+ζdγ
162 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
o
d(−W +ξα+ηβ+ζγ) =αdξ+βdη+γdζ−udx −vd y −wdz
llamando H = ξα+ηβ+ζγ−W llegamos a
dH =αdξ+βdη+γdζ−udx −vd y −wdz
en el límite cuando ∆t → 0 tenemos que α= dx/dt , etc., por lo que
dH =dx
dtdξ+
d y
dtdη+
dz
dtdζ−
dξ
dtdx −
dη
dtd y −
dζ
dtdz
y por tantodxdt = ∂H
∂ξd y
dt = ∂H∂η
dzdt = ∂H
∂ζ
dξdt
=−∂H∂x
dηdt
=−∂H∂y
dζdt
=−∂H∂ζ
(7.7)
que coincide con el sistema hamiltoniano de ecuaciones tal y como ocurre en di-
námica. Por lo tanto el anterior desarrollo muestra que el sistema hamiltoniano
se puede considerar que representa una transformación de contacto infinitesi-
mal, esto es el movimiento de un frente de ondas de una posición a otra infinita-
mente próxima. La integral de este sistema hamiltoniano viene dada por las ex-
presiones (7.1), (7.2),(7.3),(7.4) obtenidas anteriormente y que representan una
tranformación de contacto fínita. Vemos por tanto como Hamilton, empleando
la teoría ondulatoria de la luz, obtuvo una forma integrada de las ecuaciones de
la dinámica que depende de una única función, la la función caracteristica de
Hamilton V (x, y, z, x ′, y ′, z ′), que hemos visto que podemos poner como
V =∫
nds
y dada la similitud entre dinámica y óptica equivale a la acción reducida
S0 =∫
∑
i
pi dq i
así mismo puesto que ξi = ∂V /∂x ′ i y pi = ∂S0/∂q i podemos identificar a ξi con
los momentos pi .
7.1 Transformaciones de Contacto 163
7.1.1. Transformaciones de contacto para un número cualquiera de
dimensiones
Las anteriores demostraciones se han hecho en un espacio de tres dimen-
siones. Vamos a extender los anteriores conceptos, en particular la expresión
7.6, a un espacio de n dimensiones. Para ello consideremos un espacio de 2n di-
mensiones. Sean (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn ) un conjunto de 2n variables y sean
(Q1,Q2, . . . ,Qn ,P1,P2, . . . ,Pn ) otro conjunto de 2n variables definidas en térmi-
nos del conjunto inicial. Si las ecuaciones que conectan los dos conjunto de va-
riables son tales que la forma diferencial
P1dQ1 +P2dQ2 + . . .+Pn dQn −p1dq1 −p2dq2 −pn dqn
es, cuando se expresen en terminos de (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn)y sus diferen-
ciales, la diferencial exacta de una función de (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn ), se di-
ce entonces que la transformación entre (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn) y (Q1,Q2, . . . ,Qn ,P1,P2, . . . ,Pn )
es una transformación de contacto. Si las n variables (Q1,Q2, . . . ,Qn) dependen
únicamente del conjunto (q1, q2, . . . , qn) la transformación de contacto es lla-
mada una transformación puntual extendida y las ecuaciones que conectan las
Q’s y las q’s es llamada una transformación puntual. A la vista del origen de
las transformaciones de contacto, (propagación del frente de ondas) podemos
considerar que la transformación que nos lleva de unas condiciones iniciales
(q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn)0 a una posición cualquiera (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn )
en un instante t se puede hacer mediante una transformación de contacto por
lo que
dV = (∑
i
pi dq i )t − (∑
i
pi dq i )t 0 = dS0
Está claro que dos transformaciones de contacto sucesivas es una transforma-
ción de contacto, que existe la transformación de contacto neutra y que existe
la transformación de contacto inversa, por lo que el conjunto de transforma-
ciones de contacto constituyen un grupo. A la vista de la forma en la que se
ha definido la transformación de contacto, transformación del conjunto de va-
riables (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn) en (Q1,Q2, . . . ,Qn ,P1,P2, . . . ,Pn ), el tiempo no
interviene de forma explicita, por lo que a partir de esta transformación, sola-
164 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
mente podemos obtener la ecuación de la trayectoria. Podemos considerar una
transformación algo más general que nos lleve de (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn , t )
a (Q1,Q2, . . . ,Qn ,P1,P2, . . . ,Pn ), en cuyo caso para que sea una transformación de
contacto se debe de verificar que
∑
i
Pi dQi −∑
i
pi dq i = dV +Udt
7.2. Formulas explicitas para las transformaciones de con-
tacto
Consideremos una transformación de las variables
q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn
a las variables
Q1,Q2, . . . ,Qn ,P1,P2, . . . ,Pn
definidas por un conjunto de funciones
Qr = ϕr (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn , t ), r = 1, . . . , n (7.8)
Pr = ϕn+r (q1, q2, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn , t ), r = 1, . . . , n (7.9)
siendo ϕ de clase C 2. Para cada t , el conjunto anterior de ecuaciones representa
una aplicación de una dominio D sobre un dominio Et . Puesto que la transfor-
mación es reversible es posible despejar las variables (q, p) en términos de las
variables (Q,P),
qr = ψr (Q,P, t )
pr = ψn+r (Q,P, t )
Suponer que las transformaciones anteriores son de contacto, en estas condi-
ciones∑
r
Pr dQr −∑
r
pr dqr = dV (q,p, t )+Udt (7.10)
7.2 Formulas explicitas para las transformaciones de contacto 165
dada nuestras hipótesis, las funciones U y V dependen de (q,p, t ). Vamos a su-
poner diferentes casos
Suponed que el conjunto de variables Q, q son independientes, en estas
condiciones, si queremos pasar de las variables p, q a la variables Q, q, el
jacobiano
∂(Q1,Q2, . . . ,Qn , q1, q2, . . . , qn)
∂(q1, . . . , qn , p1, p2, . . . , pn)=−(1)n ∂(Q1,Q2, . . . ,Qn)
∂(p1, p2, . . . , pn)(7.11)
debe de ser diferente de cero. El hecho de que el jacobiano del miembro de
la derecha sea distinto de cero permite que en el grupo de ecuaciones (7.8)
podemos despejar las pr en términos de qr ,Qr , t , siendo las variables qr y
Qr independientes4. Este tipo de transformaciones de contacto se llaman
transformaciones de contacto libres. Sustituyendo en la definición de las
Pr , obtenemos que la forma de Paff (7.10) toma la forma
∑
r
Pr dQr −∑
r
pr dqr = dW 1(q,Q, t )+Udt (7.12)
siendo W 1(q,Q, t ) = V (q,p, t ) de donde, dada la independencia entre q y
Q, tenemos
pr = −∂W 1(q,Q, t )
∂qrr = 1, . . . , n (7.13)
Pr =∂W 1(q,Q, t )
∂Qrr = 1, . . . , n (7.14)
U = −∂W 1(q,Q, t )
∂t(7.15)
a partir del conjunto de ecuaciones (7.13) podemos despejar las variables
Qr , para lo cual debemos de suponer que el Hessiano
∂2W 1(q,Q, t )
∂qr∂Qs
es distinto de cero, como función de (qr , pr , t ). Sustituyendo en las expre-
4Hemos de notar que el conjunto de varialbes no cosntituyen un sistema de coordenadas delespacio de fases, si no del producto cartesiano Rn
q ×RnQ
166 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
siones ( 7.14) obtenemos las expresiones para Pr . Así pues si conociese-
mos la expresion de W 1(q,Q, t ) conoceriamos las ecuaciones de transfor-
mación. A la funcion W 1(q,Q, t ) se la denomina función generadora de la
transformación de contacto.
Reciprocamente, suponer que tenemos una función W 1(q,Q, t ), el con-
junto anterior de ecuaciones 7.13 – 7.16 definen una transformación de
contacto suponiendo que la matriz
(
∂2W 1(q,Q, t )
∂qr∂Qs
)
sea no singular. Efectivamente, en estas condiciones podemos despejar
las Qr del conjunto de ecuaciones (7.13) en términos de (q, p, t ) y susti-
tuirlas en (7.14) para obtener las Pr también en términos de (q, p, t ). Es
obvio que, de las definiciones 7.13 – 7.16, tenemos
∑
r
Pr dQr −∑
r
pr dqr =∑
r
∂W 1(q,Q, t )
∂QrdQr +
∂W 1(q,Q, t )
∂qrdqr =
= dW 1(q,Q, t )−∂W 1(q,Q, t )
∂tdt = dW 1(q,Q, t )+Udt
que cuando sustituyamos Qr como función de q, p, t nos dará una diferen-
cial exacta de una cierta función de (p, q, t ) por lo que la transformación
es de contacto. Para veer que es libre, si sustituimos la definición de Qr en
las ecuciones (7.13) estas se verificarán identicamente, por lo que
∂pr
∂ps|(q,p,t ) = δr
s =∂
∂ps
(
∂W 1(q,Q(q, p, t ), t )
∂qr
)
(q,p,t )=
∂
∂qr
(
∂W 1(q,Q(q, p, t ), t )
∂ps
)
(q,p,t )=
=∂
∂qr
(
∂W 1(q,Q(q, p, t ), t )
∂Qm
∣
∣
∣
∣
q
(
∂Qm
∂ps
)
(q,p,t )
)
=(
∂2W 1(q,Q(q, p, t ), t )
∂Qm∂qr
)
q,Q l ,t )
∂Qm
∂ps
puesto que de acuerdo con nuestras hipótesis la matriz
(
∂2W 1(q,Q, t )
∂qr∂Qm
)
7.2 Formulas explicitas para las transformaciones de contacto 167
es no sigular, la ecuacion anterior nos indica que la matriz
∂Qm
∂ps
es no signular lo que nos asegura que las ecuaciones (7.13–7.14) definen
una transformación de contacto libre.
Suponer que el Jacobiano (7.11) es cero, pero que al menos existe un me-
nor de orden n −k distinto de cero, esto significa que existen k funciones
que ligan las variables q,Q,
Ωs (q1, . . . , qn ,Q1,Q2, . . . ,Qn , t )= 0, s = 1, . . . , k (7.16)
en estas condiciones, de la ecuación (7.10) no se pueden obtener las ecua-
ciones (7.13–7.14) pues las q y Q no son independientes. Ahora bien deri-
vando en las Ω′s,
∂Ωs
∂q1dq1+. . .+
∂Ωs
∂qndqn+
∂Ωs
∂Q1dQ1+. . .+
∂Ωs
∂QndQn+
∂Ωs
∂tdt = 0, , s = 1, k
podemos multiplicar estas k ecuaciones por ciertos mutiplicadoresλ1 , . . . ,λk
y sumarlas a la ecuación que define la transformación de contacto (7.10),
obteniendo
∑
r
(
Pr +∑
s
λs∂Ωs
∂Qr
)
dQr −∑
r
(
pr −∑
s
λs∂Ωs
∂qr
)
dqr =
=∑
r
∂W 1
∂QrdQr +
∑
r
∂W 1
∂qrdqr +
(
U +∑
s
λs∂Ωs
∂t
)
dt (7.17)
eligiendo los λs de tal forma que los primeros k parentesis en dQr y dqr
se anulen identicamente obtenemos
pr = −∂W 1
∂qr−
∑
s
λs∂Ωs
∂qr(7.18)
Pr =∂W 1
∂Qr+
∑
s
λs∂Ωs
∂Qr(7.19)
U = −∂W 1
∂t−
∑
s
λs∂Ωs
∂t(7.20)
168 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
El anterior conjunto de (2n+1) ecuaciones junto con las k ecuaciones (7.19)
nos permiten obtener los k coeficientes λs junto con las 2n+1 funciones
Pr ,Qr y U.
7.3. Solucciones alternativas
En la sección anterior vimo como obtener una ecuación explicita de las trans-
formaciones de contacto cuando el jacobiano (7.11) es cero, ahora bien puede
que no sea cero el Jacobiano
∂(ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn )
∂(q1, q2, . . . , qn)(7.21)
por lo que la transformación de contacto
∑
r
PdQr −∑
r
pr dqr = dW 1+Udt
la podemos poner como
∑
r
Pr dQr −∑
r
d(pqr )+∑
r
qr dpr = dW 1+Udt
de donde∑
r
Pr dQr +∑
r
qr dpr = dW 2+Udt (7.22)
siendo W 2 = W 1+∑
r pr qr la nueva función generadora de la transformación de
contacto. Despejando las qr ,Pr en términos de las Qr , pr llegamos a que
Pr =∂W 2(Q,p, t )
∂Qr(7.23)
qr =∂W 2(Q,p, t )
∂pr(7.24)
U = −∂W 2(Q,p, t )
∂t(7.25)
La anterior transformación se puede considerar como una transformación de
Legendre que nos permite pasar de la función W 1(q,Q, t ) a W 2(p,Q, t ). Pode-
7.3 Solucciones alternativas 169
mos pensar también en una transformación de Legendre que nos permita pasar
a una nueva función generadora W 3(q,P, t ) = W 1(q,Q, t )−∑
r PrQr , para ello
basta que pongamos la transformación de contacto en la forma
d(∑
PrQr )−∑
r
Qr dPr −∑
r
pr dqr = dW 1+Udt
por lo que
−∑
r
Qr dPr −∑
r
pr dqr = dW 3(q,P, t )+Udt (7.26)
y
Qr = −∂W 3(q,P, t )
∂Pr(7.27)
pr = −∂W 3(q,P, t )
∂qr(7.28)
U = −∂W 3(q,P, t )
∂t(7.29)
por último, podemos hacer una transformación de Legendre que afecto tanto a
la Q′s como a las q′s pasando a una nueva función generadora de la transfor-
mación de contacto W 4(p,P, t ) =W 1(q,Q, t )−∑
r PrQr +∑
r pr qr . En este caso la
transformación de contacto viene definida por la expresión
−∑
r
Qr dPr +∑
r
qr dpr = dW 4(p,P, t )+Udt (7.30)
y la forma explícita viene dada por la expresión
Qr = −∂W 4(p,P, t )
∂Pr(7.31)
qr =∂W 4(p,P, t )
∂pr(7.32)
U = −∂W 4(p,P, t )
∂t(7.33)
170 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
7.4. Relaciones entre las derivadas parciales de los dos con-
juntos de variables
Las diferentes relaciones anteriores que nos determinan si una transforma-
ción es de contacto las podemos resumir en
∑
r
Pr dQr −∑
s
ps dqs = dW 1(q,Q, t )+Udt
∑
r
Pr dQr +∑
s
qs dps = dW 2(p,Q, t )+Udt
−∑
r
Qr dPr −∑
s
ps dqs = dW 3(q,P, t )+Udt
−∑
r
Qr dPr +∑
s
qs dps = dW 4(p,P, t )+Udt
Para t fijo, los miembros de la derecha son diferenciales exactas, por lo que se
ha de verificar
∂Pr
∂qs=−
∂ps
∂Qr
∂Pr
∂ps=
∂qs
∂Qr(7.34)
∂Qr
∂qs=
∂ps
∂Pr
∂Qr
∂ps=−
∂qs
∂Pr(7.35)
Así mismo considerando la transformación W 1 como función de P,Q, tene-
mos
∑
r
Pr dQr−∑
s
ps
(
∑
r
∂qs
∂QrdQr +
∂qs
∂PrdPr
)
=∑
r
(
Pr −∑
s
ps∂qs
∂Qr
)
dQr−∑
r
(
∑
s
ps∂qs
∂Pr
)
dPr =
= dW 1(Q,P, t )+Udt
al igual que antes para t fijo, puesto que el término de la derecha es una diferen-
7.4 Relaciones entre las derivadas parciales de los dos conjuntos devariables 171
cial exacta, tenemos que se debe de verificar que
∂
∂Qs
(
∑
i
pi∂q i
∂Qr−Pr
)
=∂
∂Qr
(
∑
i
pi∂q i
∂Qs−Ps
)
∂
∂Ps
(
∑
i
pi∂q i
∂Pr
)
=∂
∂Pr
(
∑
i
pi∂q i
∂Ps
)
∂
∂Ps
(
∑
i
pi∂q i
∂Qr−Pr
)
=∂
∂Qr
(
∑
i
pi∂q i
∂Ps
)
de donde
∑
i
(
∂pi
∂Qs
∂q i
∂Qr−
∂pi
∂Qr
∂q i
∂Qs
)
= 0
∑
i
(
∂pi
∂Ps
∂q i
∂Pr−
∂pi
∂Pr
∂q i
∂Ps
)
= 0
∑
i
(
∂pi
∂Ps
∂q i
∂Qr−
∂pi
∂Qr
∂q i
∂Ps
)
= δrs
las anteriores expresiones definen los llamados paréntesis de Lagrange funda-
mentales, que podemos poner como
(Pr ,Ps )(p,q) =∑
i
(
∂pi
∂Ps
∂q i
∂Pr−∂pi
∂Pr
∂q i
∂Ps
)
(Qr ,Qs )(p,q) =∑
i
(
∂pi
∂Qs
∂q i
∂Qr−
∂pi
∂Qr
∂q i
∂Qs
)
(Pr ,Qs )(p,q) =∑
i
(
∂pi
∂Ps
∂q i
∂Qr−
∂pi
∂Qr
∂q i
∂Ps
)
y por tanto tenemos
(Pr ,Ps )(p,q) = 0 (7.36)
(Qr ,Qs )(p,q) = 0 (7.37)
(Pr ,Qs )(p,q) = δsr (7.38)
172 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
7.5. Algunos ejemplos de transformaciones de contacto
7.5.1. Transformación puntual
Considerar una transformación de contacto definida mediante una función
generadora de la forma
W 2(p,Q, t ) =∑
r
pr F r (Q)
siendo F r (Q) una función cualquiera de las Q’s. De las ecuaciones explícitas de
la transformación de contacto, tenemos
qs =∂W 2(Q,p, t )
∂ps= F s (Q)
lo que nos dice que la funcion generadora W 2, así definida, define una transfor-
mación puntual extendida, lo que corresponde en el lenguaje lagrangiano con
una transformación puntual. El resto de las variables las obtenemos a partir de
la expresión
Ps =∂W 2(Q,p, t )
∂Qs=
∑
r
pr∂F r
∂Qs
lo que nos dice que los nuevos momentos son una transformación covariante
de los antiguos.
7.5.2. Transformación identidad
Un caso interesante viene dada por la transformación cuya función genera-
dora viene dada por la expresión
W 3(q,P, t ) =−∑
r
qr Pr
en este caso, tenemos
pi = −∂W 3
∂q i= Pi
Qi = −∂W 3
∂Pi= q i
7.5 Algunos ejemplos de transformaciones de contacto 173
de donde vemos que W 3 es la función generadora de la transformación de con-
tacto identidad. Si hubiesemos tomado como función generadora la función W 3
más general
W 3 =−∑
r
F r (q, t )Pr
tendríamos para las ecuaciones explícitas
pi = −∂W 3
∂q i=
∑
r
∂F r
∂q iPr
Qi = −∂W 3
∂Pi= F r (q, t )
que constituye la ecuación de transformación puntual extendida que vimos en
la sección anterior.
7.5.3. Transformación de permutación
Otro caso interesante es aquel en el que
W 1(q,Q, t ) =∑
r
qrQr
en este caso
pi = −∂W 1
∂q i=−Qi
Pi =∂W 1
∂Qi= q i
en este caso vemos que se cambia el papel de las p’s y la q’s. Como veremos más
adelante las transformacines de contacto conservan invariante las ecuaciones
de Hamilton, esto es, las P’s y Q’s verificarán tambien las ecuaciones de Hamil-
ton. Vemos de la transformación de contacto anterior que los nuevos momentos
coinciden con las antiguas coordenadas y las nueva coordenadas coinciden con
los antiguos momentos por lo que la división entre coordenadas y momentos
deja de tener sentido en las ecuaciones de Hamilton.
174 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
7.5.4. Transformación de contacto infinitesimal
Considerar la función generadora W 3 obtenida a partir de la transformación
identidad
W 3(q,P, t )=−∑
qr Pr −M(q,P, t )
de donde tenemos
pi = −∂W 3
∂q i= Pi +
∂M
∂q i
Qi = −∂W 3
∂Pi= q i +
∂M
∂Pi
esto es
Pi = pi −∂M
∂q i
Qi = qi +∂M
∂Pi
Suponer que M(q,P, t ) lo podemos poner comoµϕ(q,P, t ) siendoµuna can-
tidad muy pequeña. En estas condiciones
Pi = pi −µ∂ϕ
∂q i
Qi = q i +µ∂ϕ
∂Pi
por lo que las P’s y las Q’s difieren en una cantidad muy pequeña respecto de las
p’s y q’s. En estas condiciones, despreciando términos de segundo orden en µ,
podemos considerar que
∂ϕ(q,P, t )
∂Pi=ψ(q,P, t ) =ψ(q, p +µϕ′, t )≈ψ(q, p, t )+µ
∂ψ
∂p
de donde
µ∂ϕ(q,P, t )
∂Pi=µψ(q, p, t )+µ2 ∂ψ
∂p
7.6 Teorema de Liouville 175
por lo que en primer orden,
µ∂ϕ(q,P, t )
∂Pi=µψ(q, p, t )=µ
∂ϕ(q,p, t )
∂pi
por lo que
Pi = pi −µ∂ϕ(q,p, t )
∂q i(7.39)
Qi = q i +µ∂ϕ(q,p, t )
∂pi(7.40)
que constituyen las ecuaciones de una transformación de contacto infinitesi-
mal. La función ϕ recibe el nombre de función generadora de la transformación
de contacto infinitesimal. Si µ = dt y ϕ = H(p,q, t ), podemos considerar que la
anterior ecuación representa la evolución del sistema dinámico en el espacio de
las fases, por lo que se puede considerar que el hamiltoniano es la función ge-
neradora de una transformación de contacto infinitesimal que nos va dando la
descripción del sistema en el espacio de las fases.
7.6. Teorema de Liouville
Las transformaciones de contacto son isócoras. Considerar la transforma-
ción de contacto
Qi = Qi (q,p, t )
Pi = Pi (q,p, t )
cuyo jacobiano ∂(Q,P)/∂(q,p) sea distinto de cero. Vamos a probar que este ja-
cobiano no solo es distinto de cero si no que vale la unidad, para ello fijemonos
en que∂(Q,P)
∂(q,p)=
∂(Q,P)
∂(q,Q)/∂(q,p)
∂(q,Q)= (−1)n ∂(P)
∂(q)/∂(p)
∂(Q)
176 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
Ahora bien, puesto que las nuevas variables están relacionadas con las antiguas
mediante una transformación de contacto
Pi = −∂W
∂Qi
pi =∂W
∂q i
por lo que
(−1)n ∂(P)
∂(q)/∂(p)
∂(Q)=
∂( ∂W∂Qi )
∂(q)/∂(∂W
∂q i )
∂(Q)= 1
lo que demuestra que las transformaciones de contacto son isócoras pues
V =∫
dQ1 . . . dPn =∫
∂(Q,P)
∂(q,p)dq1 . . . dpn =
∫
dq1 . . . dpn = v
7.7. Teorema de equivalencia
Restrinjamos nuestro dominio de actuación a aquellas variables p, q que ve-
rifiquen las ecuaciones de Hamilton. De acuerdo con lo visto en el capítulo an-
terior, la función principal de Hamilton S(q,q0, t ) tiene la propiedad
dS =∑
r
pr dqr −∑
r
pr0 dqr0 −Hdt
siendo H(p,q, t ) el hamiltoniano. Si en las anteriores expresiones sustituimos las
q por su valor en función de q0,p0 y t , obtendremos una función ψ(q0,p0, t ) tal
que
S(q,q0, t )=ψ(q0,p0, t )
al sustituir en dS, obtendremos
∑
r
pr dqr −Hdt = dψ(q0,p0, t )+∑
r
pr0dqr0
por lo que el Paffiano∑
r pr dqr −Hdt expresado en terminos de q0,p0, t es igual
a la suma de la diferencial exacta de una función ψ y el paffiano∑
r pr0dqr0. Más
generalmente, si en vez de utilizar como condiciones iniciales las q0,p0 emplea-
7.7 Teorema de equivalencia 177
mos un conjunto cualquiera de valores iniciales γs , s = 1, . . . ,2n en vez de q0,p0,
tendremos∑
r
pr dqr −Hdt = dψ+∑
s
Ks dγs (7.41)
donde ψ =ψ(γ, t ) y K son funciones de las γs . La forma∑
s Ks dγs5 sustituye a
la forma∑
r pr0dqr0 cuando hagamos el cambio de variables (q0, p0) a γs . Debe-
mos de hacer notar que la suma en r va hasta n, mientras que la suma en s va
hasta 2n.
Está claro por el camino seguido, que si las q(γ, t ), p(γ, t ) verifican las ecua-
ciones de Hamilton se debe de verificar la ecuación (7.41). Al fin y al cabo para
llegar a la expresión de la S hemos supuesto que las funciones q, p verificaban
las ecuaciones de Hamilton. Vamos a demostrar el reciproco esto es,
Teorema 7.7.1 Si el Paffiano∑
r pr dqr −Hdt cuando se exprese en términos de
las variables γ y el tiempo t es tal que
∑
r
pr dqr −Hdt = dψ(γs , t )+∑
s
Ks (γ)dγs
siendo ψ y Ks sendas funciones dependientes de γs , t y γs respectivamente, en-
tonces la funciones q = q(γs , t ), p = p(γs , t ) verifican las ecuaciones de Hamil-
ton
∂qr
∂t=
∂H
∂pr(7.42)
∂pr
∂t= −
∂H
∂qr(7.43)
5De acuerdo con el primer teorema de Paff, la forma diferencial∑s=2n
s=1 K (γs )dγs se puede po-ner como
∑r=nr=1 αr dβr siendo αr y βr independientes, de talr forma que
∑
rpr0dqr0 =
∑
rαr dβr .
La anterior ecuacion nos muestra que el conjunto de variables (pr0, qr0) y (αr ,βr ) estan ligadospor una transformación de contacto en la que dV = 0 y U = 0. Tal transformación de contac-to recibe el nombre de transformación de contacto homogénea o de Matieu. De esta forma, losteoremas que siguen son váidos cuando tenemos una expresión de la forma
∑
rpr dqr −Hdt = dψ+
∑
rαr dβr
178 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
DEMOSTRACIÓN
Puesto que por hipótesis
∑
pr dqr −Hdt = dψ+∑
s
Ks dγs
y
dqr (γs,t ) =∑
s
∂qr
∂γsdγs +
∂qr
∂tdt
dψ(γs,t ) =∑
s
∂ψ
∂γsdγs +
∂ψ
∂tdt ,
sustituyendo, se debe de verificar
∑
r
pr
(
∂qr
∂t
)
γ
−H =(
∂ψ
∂t
)
γ
∑
r
pr
(
∂qr
∂γs
)
t
=(
∂ψ
∂γs
)
t
+Ks
de donde, derivando la primera por γs y la segunda por t , restando
∂
∂t
(
∑
r
pr∂qr
∂γs
)
−∂
∂γs
(
∑
r
pr∂qr
∂t
)
=−∂H
∂γs=−
∑
r
(
∂H
∂qr
∂qr
∂γs+
∂H
∂pr
∂pr
∂γs
)
donde hemos tenido en cuenta que
∂2ψ
∂t∂γs=
∂2ψ
∂γs∂t
Así mismo dado que∂2qr
∂t∂γs=
∂2qr
∂γs∂t
tenemos∑
r
∂qr
∂γs
(
∂pr
∂t+
∂H
∂qr
)
+∂pr
∂γs
(
−∂qr
∂t+
∂H
∂pr
)
= 0
Ahora bien el determinante del anterior sistema de ecuaciones coincide con el
7.7 Teorema de equivalencia 179
el Jacobiano∂(q1, . . . qn , p1, . . . , pn)
∂(γ1, . . . ,γ2s)
que por hipótesis es distinto de cero, por lo tanto se han de hacer cero los térmi-
nos entre paréntesis que son las ecuaciones de Hamilton
∂qr
∂t=
∂H
∂pr
∂pr
∂t= −
∂H
∂qr
que es lo que queriamos demostrar.
Teorema 7.7.2 Las transformaciones de contacto dejan invariante las ecuacio-
nes de Hamilton.
Consideremos un sistema dinámico cuya función hamiltoniana es H(q1 , . . . , qn , p1, . . . , pn , t )
y cuyas ecuaciones del movimiento son
dqr
dt=
∂H
∂pr
dpr
dt= −
∂H
∂qr
Vamos a suponer que hacemos una transformación de contacto a un conjunto
de nuevas variables Qr (q1, . . . qn , p1, . . . , pn , t ), Pr (q1, . . . qn , p1, . . . , pn , t ) tal que
∑
r
Pr dQr −∑
r
pr dqr = dW +Udt
tenemos que demostrar que el nuevo conjunto de variables Q,P tambien veri-
fica las ecuaciones de Hamilton. De acuerdo con el principio de equivalencia
demostrado anteriormente, si las variables (q, p) son soluciones de las ecuacio-
nes de Hamilton, se verifica que
∑
r
pr dqr −Hdt = dψ+∑
s
Ks dγs
y reciprocamente si se verifica la anterior ecuación se verifican las ecuaciones
180 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
de Hamilton. Podemos expresar las funciones (Q,P) a través de las (q, p) en tér-
mino de las constantes γ. Sustituyendo la anterior expresión en la ecuación de
la transformación de contacto, tenemos
∑
r
Pr dQr − (H +U) = d(ψ+W )+∑
s
Ks dγs = dψ′+∑
s
Ks dγs
Ahora bien, de acuerdo con el teorema de equivalencia se ha de verificar que
dQr
dt=
∂K
∂Pr(7.44)
dPr
dt= −
∂K
∂Qr(7.45)
K = H −∂W
∂t(7.46)
donde hemos utilizado el hecho que U = −∂W /∂t . Vemos por tanto que las
(Q,P) verifican las ecuaciones de Hamilton, con un nuevo hamiltoniano dado
por K
Ejemplo 7.1 Considerar una partícula que se mueve en el plano sometida a una
fuerza central caracterizada por un potencial V(r). Calcular cual es el nuevo ha-
miltonianao cuando se realiza una transformación de contacto dada por la fun-
ción generadora
W (q,P) =−PX (x cosωt + y senωt )−PY (y cosωt −x senωt )
SOLUCCIÓN La función generadora de la transformación de contacto es de la
forma W 3, por lo que
Qr = −∂W 3(q,P, t )
∂Pr
pr = −∂W 3(q,P, t )
∂qr
U = −∂W 3(q,P, t )
∂t
7.7 Teorema de equivalencia 181
de tal forma que
X = (x cosωt + y senωt )
Y = (y cosωt −x senωt )
px = PX cosωt −PY senωt
py = PY senωt +Py cosωt
U = PXω(−x senωt + y cosωt )−PY ω(y senω+x cosωt )
esto es
U =ω(PX Y −PY X )=−ω ·L
siendo L el momento angular. Por tanto
K =H −ω ·L =1
2(P2
X +P2Y )+V (X ,Y )−ω ·L
ahora bien, de los resultados obtenidos en el capitulo anterior, vemos que el ha-
miltoniano K es el hamiltoniano de una partícula sometida a un campo central
respecto de un sistema de referencia movil que se mueve respecto de un sistema
de referencia inercial con velocidad angular ω
Ejercicios
Ejercicio 7.1 Demostrar que la transformación definida por las ecuaciones
Q = (2q)1/2ek cos p
P = (2q)1/2e−k sen p
es de contacto. Encontrar cual es la función generadora.
Ejercicio 7.2 Demostrar que la transformación definida por las ecuaciones
Q = ln(1+q1/2 cos p)
P = 2(1+q1/2 cos p)q1/2 sen p
es de contacto encontrando cual es una función generadora de la forma W(p,Q,t).
182 Capítulo – 7. Teoría de transformaciones
Ejercicio 7.3 Considerar la transformacion
p = f (P)cosQ
q =f (P)
mωsenQ
Demostrar que es de contacto encontrando una función generadora de la trans-
formación. Aplicar dicha transformación al problema del oscilador armónico
donde
H =1
2mp2 +
1
2mω2q2
encontrando un nuevo Hamiltoniano. Resolver las ecuaciones de Hamilton en
la nuevas variables y de sus solucciones encontrar las solucciones del problema
original.
Capítulo 8
Corchetes de Poisson
Dada la importancia teórica de los corchetes de Poisson vamos a dedicar un
capítulo a su estudio.
8.1. Corchetes de Poisson
Considerar un par de variables u(q,p, t ) y v(q,p, t ), se define el corchete de
Poisson de estas variables como
[u, v]p,q =∑
r
∂u
∂qr
∂v
∂pr−
∂u
∂pr
∂v
∂qr
tenemos una serie de corchetes de Poisson especiales,
[q i , q j ] = 0, [pi , p j ] = 0, [q i , p j ] =δij
Para demostrarlo, basta sustituir las funciones q i , p j en lugar de las u, v y
tener en cuenta que las variables p, q son independientes.
Teorema 8.1.1 Si tenemos una tranformación de contacto
Qi = Qi (q,p, t )
Pi = Pi (q,p, t )
184 Capítulo – 8. Corchetes de Poisson
entonces se verifica que
[Pi ,P j ]p,q = 0 [Qi ,Q j ]p,q = 0 [Pi ,Q j ]p,q = δj
i(8.1)
DEMOSTRACIÓN
De acuerdo con la definición
[Pi ,P j ]p,q =∑
r
(
∂Pi
∂qr
∂P j
∂pr−
∂Pi
∂pr
∂P j
∂qr
)
teniendo en cuenta las relaciones entre las derivadas parciales de las transfor-
maciones de contacto obtenidas previamente (ecuaciones 7.34 y 7.35) tenemos
∑
r
(
∂Pi
∂qr
∂P j
∂pr−
∂Pi
∂pr
∂P j
∂qr
)
=∑
r
(
−∂qr
∂Qi
∂pr
∂Q j+∂pr
∂Qi
∂qr
∂Q j
)
= (Qi ,Q j )
por lo que
[Pi ,P j ]p,q = (Qi ,Q j )p,q = 0 (8.2)
siendo (Qi ,Q j )p,q uno de los paréntesis de Lagrange fundamentales que como
vimos en el capítulo anterior es nulo. Así mismo se demuestra que
[Qi ,Q j ] = (Pi ,P j ) = 0 (8.3)
y
[Qi ,P j ] = δj
i(8.4)
Los anteriores parantesis de Poisson caracterizan a una transformación de con-
tacto, esto es una transformación es de contacto si los paréntesis de Poisson
fundamentales cumplen las anteriores propiedades.
Teorema 8.1.2 Los paréntesis de Poisson son invariantes de una transforma-
ción de contacto.
DEMOSTRACIÓN
Considerar dos funciones u(q,p, t ) y v(q,p, t ). Considerar que bajo una trans-
formación de contacto estas dos funciones se transforman en el nuevo sistema
de coordenadas en U(Q,P, t ) y V (Q,P, t ). De acuerdo con el enterior teorema
8.1 Corchetes de Poisson 185
debemos de demostrar que
[u, v]p,q = [U,V ]P,Q
partiendo de la definición de corchete de Poisson
[u, v]=∑
r
∂u
∂qr
∂v
∂pr−
∂u
∂pr
∂v
∂qr
pasando a las nuevas coordenadas tenemos (utilizando la notación de Einstein
de suma en índices repetidos)
[u, v]=(
∂U
∂Qs
∂Qs
∂qr+
∂U
∂Ps
∂Ps
∂qr
)(
∂V
∂Qt
∂Qt
∂pr+
∂V
∂Pt
∂Pt
∂pr
)
−(
∂U
∂Qs
∂Qs
∂pr+
∂U
∂Ps
∂Ps
∂pr
)(
∂V
∂Qt
∂Qt
∂qr+
∂V
∂Pt
∂Pt
∂qr
)
=
=∂U
∂Qs
∂V
∂Qt[Qt ,Qs ]+
∂U
∂Qs
∂V
∂P t[Qs ,Pt ]+
∂U
∂Ps
∂V
∂Qt[Ps ,Qt ]+
∂U
∂Ps
∂V
∂Pt[Qs ,Qt ] =
= [U,V ]Q,P
donde hemos tenido en cuenta que [Pt ,Qs ] =−[Qt ,Ps ]
8.1.1. Algunas propiedades de los corchetes de Poisson
A partir de la definición del corchete de Poisson se verifica fácilmente que
[u, u]= 0
[u, v]=−[v, u]
[u, c]= 0, siendo c una constante
[u1+u2, v]= [u1, v]+ [u2, v]
[u, vw]= [u, v]w +v[u, w]
∂
∂r[u, v]= [
∂u
∂r, v]+ [u,
∂u
∂r]
, siendo r igual a t , q o p
186 Capítulo – 8. Corchetes de Poisson
[u, [v, w]]+[w, [u, v]]+[v, [w, u]]= 0 (identidad de Jacobi, Teorema de Pois-
son). Para demostrar este teorema consideremos los corchetes primero y
tercero que podemos poner como [u, [v, w]]− [v, [u, w]]. Cabe considerar
el corchete de Poisson como un operador diferencial definido por
[v, w] =∑
r
(
∂v
∂qr
∂
∂pr−
∂v
∂pr
∂
∂qr
)
w = Dv w
que podemos expresar como
Dv =∑
i
αi∂
∂ξi
teniendo en cuenta la anterior expresión
[u, [v, w]]−[v, [u, w]]= (DuDv−Dv Du)w =∑
i
∑
j
βi∂
∂ηi
(
α j∂w
∂ξ j
)
−αi∂
∂ξi
(
β j∂w
∂η j
)
De la expresión anterior, los únicos términos donde aparecen derivadas
segundas de w son
∑
i
∑
j
βiα j
(
∂2w
∂ηi∂ξ j
)
−αiβ j
(
∂2w
∂ξi∂η j
)
que se anulan idénticamente, por lo que solo nos va a aparecer derivadas
primeras de w, que podemos poner como
[u, [v, w]]− [v, [u, w]]=∑
k
Ak∂w
∂pk+Bk
∂w
∂qk
donde las funciones Ak , Bk son funciones de u, v pero no de w. Hagamos
w igual a p j , tendremos
[u, [v, p j ]]− [v, [u, p j ]] =∑
k
Ak
∂p j
∂pk
= A j
Ahora bien,
[v, p j ] =∑
r
∂v
∂qr
∂p j
∂pr−
∂v
∂pr
∂p j
∂qr=
∂v
∂q j
8.1 Corchetes de Poisson 187
de donde
[u, [v, p j ]]− [v, [u, p j ]] = [u,∂v
∂q j]− [v,
∂u
∂q j] =
∂
∂q j[u, v]= A j
Así mismo, hagamos w = q j , al igual que antes tendremos
[u, [v, q j ]]− [v, [u, q j ]] =∑
k
Bk∂q j
∂qk=B j
Desarrollando, como hicimos antes, el término de la izquierda de la ante-
rior expresión llegamos a que
−∂
∂p j[u, v]= B j
sustituyendo
[u, [v, w]]− [v, [u, w]]=∑
k
∂[u, v]
∂qk
∂w
∂pk
−∂[u, v]
∂p j
∂w
∂qk
= [[u, v], w]
de donde se sigue la igualdad de Jacobi.
8.1.2. Las ecuaciones del movimiento en término de los corchetes de
Poisson
Suponer que tenemos una función f (q1, . . . , qn , p1, . . . , pn , t ) que depende de
un conjunto de variables que verifican las ecuaciones de Hamilton,
q i =∂H
∂pi
pi = −∂H
∂q i
entonces la derivada respecto del tiempo f la podemos poner como
d f
dt=
∂ f
∂t+
∑
r
(
∂ f
∂qrqr +
∂ f
∂prpr
)
188 Capítulo – 8. Corchetes de Poisson
teniendo en cuenta las ecuaciones de Hamilton
d f
dt=
∂ f
∂t+
∑
r
(
∂ f
∂qr
∂H
∂pr−
∂ f
∂pr
∂H
∂qr
)
=∂ f
∂t+ [ f ,H]
de tal forma que si f no depende explícitamente del tiempo, f es una constante
del movimiento si y solo si su corchete de Poisson con el hamiltoniano es cero.
La anterior expresión no sirve para escribir las ecuaciones del movimiento en
términos de los corchetes de Poisson,
dq i
dt= [q i ,H]
dpi
dt= [pi ,H]
Asi mismo, puesto que [H ,H]= 0, tendremos que
dH
dt=
∂H
∂t
Teorema 8.1.3 El corchete de Poisson de dos constantes del movimiento, es una
constante del movimiento.
DEMOSTRACION Sean u, v dos constantes del movimiento, según vimos antes
∂u
∂t= −[u,H]
∂v
∂t= −[v,H]
Formemos el corchete de Poisson de u, v, tendremos
∂[u, v]
∂t= [
∂u
∂t, v]+ [u,
∂v
∂t]
teniendo en cuenta que u, v son constantes del movimiento y la igualdad de
Jacobi, tenemos
∂[u, v]
∂t=−[[u,H], v]− [u, [v,H]]=+[H , [u, v]]=−[[u, v],H]
8.1 Corchetes de Poisson 189
donde vemos que w = [u, v] es una constante del movimiento. Así pues los cor-
chetes de Poisson nos pueden servir para formar constantes del movimiento.
Vimos en un capítulo anterior que dado un sistema de N ecuaciones de orden
uno, podiamos hacer la integración del sistema si conociesemos N constantes
del movimiento o integrales primeras del sistema. Así pues a priori es posible
emplear el metodo de corchetes de Poisson para generar las N constantes del
movimiento. Localizamos dos de ellas y por aplicación del corchete de Poisson
vamos generando el resto. La dificultad estriba en que en la mayor parte de las
veces, el corchete de Poisson generado a partir de dos constantes del movimein-
to no representa una nueva constante del movimiento independiente de las an-
teriores.
8.1.3. Corchetes de Poisson y Transformaciones de contacto infinite-
simales
Suponer que estmos en el espacio de las fases, en un punto (q,p). Suponer
que tenemos una función escalar u(q,p). Suponer que hacemos una transfor-
mación de contacto a un nuevo sistema (Q,P), la función u se habrá transfor-
mado en la U(Q,P). Ahora bien el valor en el punto (Q,P) transformado del (q,p)
tendrá el mismo valor que u en el punto (q,p). Suponer ahora que calculamos
no U(Q,P) si no u(Q,P), esto es mantenemos la forma de la función original. Su-
poner que el paso de las coordenadas (q,p) a las (Q,P) se ha realiado mediante
una transformación de contacto infinitesimal, según vimos antes
Qi = q i +ǫ∂G
∂pi
Pi = pi −ǫ∂G
∂q i
siendo G(q,p) la función generadora de la transformación de contacto infinite-
simal. Así pues debemos de evaluar la función u(q i + ǫ∂G/∂pi , pi − ǫ∂G/∂q i ) lo
que equivale a evaluar u en un punto infinitamente próximo. Desarrolando en
190 Capítulo – 8. Corchetes de Poisson
serie
u(q i+ǫ∂G/∂pi , pi−ǫ∂G/∂q i ) = u(q i , pi )+∑
i
(
ǫ∂u
∂q i
∂G
∂pi−ǫ
∂u
∂pi
∂G
∂q i
)
+·· · = u(q i , pi )+ǫ[u,G]
por lo que
δu = ǫ[u,G]
en particular si u = H
δH = ǫ[H ,G]
por lo que si G es una constante del movimiento, δH = 0, esto es las constan-
tes del movimiento son funciones generadoras de transformaciones de contacto
infinitesimales que dejan invariante la hamiltoniana.
Los teorema de conservación del momento lineal y del momento cinético
aparecen ahora como casos particulares del anterior resultado. Si una coorde-
nada qr es cíclica, entonces no aparece en la expresión de la hamiltoniana, por
lo que cualquier cualquier transformación infinitesimal que implique única-
mente una variación de dicha coordenada no afectará a la hamiltoniana, esto
es δH = 0 y por tanto la función generadora de tal transformación de contacto
es una constante del movimiento. Así mismo el momento conjungado tampoco
varía.
Vamos a imaginar una transformación de contacto en la que únicamente
variamos la coordenada cíclica qi , de acuerdo con las ecuaciones de la transfor-
mación de contacto infinitesimales
δq i = ǫ∂G
∂pi
δpi = −ǫ∂G
∂q i
Puesto que δpi = 0(la variable qi es cíclica), G = G(p1, . . . , pn , t ) y como única-
mante varia una q i , tendremos que G(pi , t ), tomando δq i = ǫ, tendremos
ǫ= ǫdG
dpi
8.2 Corchetes de Poisson cuánticos 191
de donde G = pi . Por lo tanto si q es una coordenada cíclica, su momento conju-
gado es la función generadora de una transformacion de contacto infinitesimal
que deja invariante la hamiltoniana.
8.2. Corchetes de Poisson cuánticos
Como es bien sabido del formalismo de la mecánica cuántica, a cada ob-
servable o variable dinámica de la mecánica clásica (posición, momento lineal,
momento angular, etc.) le corresponde un operador en la mecánica cuántica
(imagen de Heisenberg). Estos operadores no tiene por qué conmutar, por lo
que el algebra de las variables dinámicas en mecánica cuántica es diferente del
algebra de dichas variables en mecánica clásica. Existen no obstante en mecá-
nica clasica y en mecánica cuántica objetos que sigen el mismo álgebra. Nos
referimos a los cochetes de Poisson y a los comutadores, de tal forma que, salvo
una constante, dadas un par de variables dinámicas u, v cuyos operadores en
mecánica cuántica sean u, v, el operador comutación uv − v u es proporcional
al operador corchete de Poisson [uv]
u v − v u = i~[u, v]
Para verlo explicitamtente, vamos a suponer que tenemos 4 operadores u1 , u2, v1, v2,
formemos el corchete de [u1u2, v1v2] que vamos a desarrollar siguiendo las mis-
mas reglas dadas para los corchetes de Poisson clásicos, pero manteniendo el
orden de los operadores. Así tenemos
[u1u2, v1v2] = [u1, v1v2]u2 + u1[u2, v1v2]
= [u1, v1]v2u2 + v1[u1, v2]u2 + u1[u2, v1]v2 + u1 v1[u2, v2]
asi mismo
[u1u2, v1v2] = [u1u2, v1]v2 + v1[u1u2, v2]
= [u1, v1]u2v2 + u1[u2, v1]v2 + v1[u1, v2]u2 + u1 v1[u2, v2]
192 Capítulo – 8. Corchetes de Poisson
Igualando, obtenemos
[u1, v1](u2v2 − v2u2)= (u1 v1 − v1u1)[u2, v2] (8.5)
puesto que estos resultados han de verificarse cualesquiera que sean u1 , u2, v1, v2,
se debe verificar que
u1v1 − v1u1 = i~[u1, v1]
u2v2 − v2u2 = i~[u2, v2]
siendo ~ una constante con dimensiones de acción e igual a la constante de
Planck h/2π.
En orden a obtener las reglas de conmutación, la subsiguiente hipótesis es
la de suponer que los corchetes de Poisson cuánticos tienen el mismo valor que
los corchetes de Poisson clásicos. Así por ejemplo hemos visto que
[qr , qs ] = 0, [pr , ps ] = 0, [qr , ps ] = δrs
de tal forma que
[qr , qs ] = 0, [pr , ps ] = 0, [qr , ps ] = δrs
y por tanto
qr qs − qs qr = 0
pr ps − ps pr = 0
qr ps − ps qr = i~δrs
que son las condiciones cuánticas fundamentales de Heisenberg.
Ejemplo 8.1 Evaluar los corchetes de Poisson del momento angular [Li ,L j ].
SOLUCCIÓN
Vamos a calcular primero cuanto vale [Lz , x], [Lz , y], [Lz , z] así como [Lz , px ], [Lz , py ], [Lz , pz ],
8.2 Corchetes de Poisson cuánticos 193
para ello tengamos en cuenta la definicición de Lz = xpy − y px por lo que
[Lz , x] = [xpy−y px , x] = [xpy , x]−[y px , x] = x[py , x]+[x, x]py−y[px , x]−[y, x]px =+[x, px ]y = y
Haciendo de la misma forma
[Lz , y] = [xpy−y px , y]= [xpy , y]−[y px , y]= x[py , y]+[x, y]py−y[px , y]−[y, y]px =−x[y, py ] =−x
y
[Lz , z] = [xpy−y px , z] = [xpy , z]−[y px , z] = x[py , z]+[x, z]py−y[px , z]−[y, z]px = 0
Así mismo
[Lz , px ] = [xpy − y px , px ] = [xpy , px ]− [y px , px ] =
= x[py , px ]+ [x, px ]py − y[px , px ]− [y, px ]px = py
[Lz , py ] = [xpy − y px , py ] = [xpy , py ]− [y px , py ]
= x[py , py ]+ [x, py ]py − y[px , py ]− [y, py ]px =−px
[Lz , pz ] = [xpy − y px , pz ] = [xpy , pz ]− [y px , pz ]
= x[py , pz ]+ [x, pz ]py − y[px , pz ]− [y, pz ]px = 0
por lo que
[Ly ,Lz ] = [zpx −xpz ,Lz ] = [zpx ,Lz ]− [xpz ,Lz ]
= z[px ,Lz ]+ [z,Lz ]px −x[pz ,Lz ]− [x,Lz ]pz =−zpy + y pz
= Lx
y de la misma forma se calculan los otros dos. Puesto que hemos quedado que
en mecánica los corchetes de Poisson valen lo mismo que en mecánica clásica
tenemos
Ly Lz − Lz Ly = i~[Ly , Lz ] = i~Lx
Considerar una función escalar u que depende de r, p. Vamos a demostrar
que conmuta con Lz . Para ello devemos de hacer notar que u debe depender de
194 Capítulo – 8. Corchetes de Poisson
r, p en forma de r2,p2,ó,r ·p de tal forma que
[Lz , u] = [xpy − y px , u]= [x, u]py +x[py , u]− [y, u]px − y[px , u]
calculemos cuanto vale [x,u]
[x, u]=∂x
∂x
∂u
∂p−∂x
∂p
∂u
∂x
puesto que x, p son independientes ∂x∂p = 0, así mismo, ∂x
∂x = δxi , por lo que
[x, u]=∂u
∂px
de la misma forma
[px , u] =−∂u
∂x
por lo que
[Lz , u]=∂u
∂pxpy −
∂u
∂pypx + y
∂u
∂x−x
∂u
∂y
que podemos poner como
[Lz , u] = k ·
∇p u ×p+∇r u ×r
teniendo en cuenta que
∇r u =∂u
∂(r2)2r+
∂u
∂(rp)p
y que
∇p u =∂u
∂(p2)2p+
∂u
∂(rp)r
tenemos
[Lz , u] = k ·
∂u
∂(rp)2(r×p)+
∂u
∂(rp)2(p×r)
= 0
Así pues las componentes del momento angular conmutan con cualquier esca-
lar formado a partir de momentos y posiciones. En particular podemos formar
el escalar L2, por lo que
[Lx ,L2] = [Ly ,L2] = [Lz ,L2] = 0 (8.6)
8.2 Corchetes de Poisson cuánticos 195
o bien el hamiltoniano
[Lx ,H] = [Ly ,H]= [Lz ,H]= 0 (8.7)
Por otra parte, dada una función vectorial de u de r, p, esta debe ser de la forma
u = u1(r, p)r+u2(r, p)p+u3(r, p)(r×p)
Teniendo en cuenta las reglas vistas hasta ahora de como son los corchetes de
Poisson de Lz con x, y, z, px , py , pz , Lx , Ly , Lz asi como teniendo en cuenta que
los corchetes de Poisson con funciones escalares son nulas, podemos ver que
[Lz ,u] = k×u
y en general
[L ·n,u] = [Ln ,u] = n×u (8.8)
Considerar ahora un sistema y que hacemos rotar al sistema un ángulo δθ en-
torno a un eje n. Dada una función vectorial u función de posiciones y momen-
tos, la variación que sufre esta función al variar el ángulo es
δu =u× (δθn)
por lo que teniendo en cuenta los resultados anteriores
δu =−δθ[L ·n,u] = δθ[u,L ·n]
Obtuvimos antes, que la variación sufrida por una función u bajo una transfor-
mación de contacto infinitesimal era en general
δu = ǫ[u,G]
siendo G la función generadora de la transformación de contacto infinitesimal.
Vemos por tanto que L ·n es la función generadora de la transformación de con-
tacto infinitesimal consisten en girar un cierto ángulo. En este caso ǫ = δθ. Así
196 Capítulo – 8. Corchetes de Poisson
pues si el sistema es invariante en una transformación de contacto que consiste
en un giro, (esto es existe simetría de rotación) el hamiltoniano no varia, con lo
que la función generadora de la transformación de contacto es una constante
del movimiento, esto es la proyección del momento angular a lo largo del eje de
rotación permanece constante.
Capítulo 9
El método Hamilton - Jacobi
9.1. Introduction
El método de Hamilton-Jacobi tiene como objetivo la integración de las ecua-
ciones de Hamilton. Sin embargo en vez de tratar de hacerlo de forma directa,
esto es, integrando el conjunto de 2n ecuaciones diferenciales que constituyen
el conjunto de ecuaciones de Hamilton trata de hacerlo mediante una transfor-
mación de contacto. Ya vimos en el tema dedicado a las transformaciones de
contacto, como Hamilton trata de resolver las ecuaciones del rayo (trayectoria
más corta de la propagación de la luz o trayectoria de los fotones) mediante la in-
troducción de una función caracteristica a partir de la cual y mediante métodos
algebraicos resolver el problema del cáculo de la trayectoria de los rayos. Según
vimos, esta función caracteristica es la función generadora de una transforma-
ción de contacto. En el método de Hamilton-Jacobi vamos a tratar de buscar una
función caracteristica, una transformación de contacto, que nos sirva para algo,
la integración de las ecuaciones de Hamilton.
9.2. La ecuación de Hamilton-Jacobi
En el capítulo anterior hemos visto que por medio de una transformación de
contacto es posible transformar nuestro problema en otro en el que la nuevas
variables sigan verificando las ecuaciones de Hamilton con un nuevo hamilto-
198 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
niano dado por
K = H +∂W
∂t
siendo W la función generadora de la transformación de contacto1. En el nuevo
sistema tendremos que
Qi =∂K
∂Pi
Pi = −∂K
∂Qi
Ahora bien, podemos elegir la transformación de contacto de tal forma que, K =0 por lo que en el nuevo sistema
Qi = −βi = ct e
Pi = αi = ct e
(hemos elegido el signo menos en las constantes βi por conveniencia) por lo
que la solución de las ecuaciones en el nuevo sistema es trivial. Si elegimos una
función generadora de la forma W (q,P, t ) para hacer la transformación de con-
tacto, tenemos que
pi =∂W (q,P, t )
∂q i
Qi =∂W (q,P, t )
∂P i
ahora bien como las nuevas variables se reducen a constantes, tenemos
pi =∂W (q,α, t )
∂q i
−βi =∂W (q,α, t )
∂αi
Del segundo grupo de ecuaciones podemos despejar, suponiendo que el Hes-
siano ‖∂2W /∂q∂α‖ sea distinto de cero, la q’s como función de α,β y el tiempo
y sustituyendo en la primera obtenemos los momentos, por lo que queda re-
1Hemos cambiado de signo a la función generadora
9.2 La ecuación de Hamilton-Jacobi 199
suelto nuestro problema de la integración de la ecuación de Hamilton. Así pues,
al igual que sucedía en Óptica, podemos integrar las ecuaciones del movimien-
to por métodos algebraicos, a partir del conocimiento de la función W . ¿ Que
condiciones debe de cumplir la función generadora para que se anule idéntica-
mente el nuevo hamiltoniano?. Pues que
H(q,p, t )+∂W (q,P, t )
∂t= 0.
Puesto que bajo la transformación de contacto W (q,P, t )
pi =∂W
∂q i
tenemos2
H(q,∂W
∂q, t )+
∂W (q,P, t )
∂t= 0
y puesto que P i =αi tenemos
H(q,∂W
∂q, t )+
∂W (q,α, t )
∂t= 0 (9.1)
que es la ecuación de Hamilton – Jacobi.
Diremos que hemos obtenido una integral completa de una ecuación dife-
rencial de primer orden y n derivadas parciales cuando obtengamos una solu-
ción con n constantes. La ecuación de Hamilton-Jacobi es de orden n+1, ahora
bien, puesto que en la ecuación de Hamilton–Jacobi, la función W entra única-
mente en forma diferencial, las soluciones de dicha ecuación contendrán una
constante aditiva que no tiene ninguna importancia, diremos entonces que he-
mos obtenido una integral completa de la ecuación de Hamilton – Jacobi cuan-
do hayamos obtenido una solución de la forma
W (q1, . . . , qn ,α1, . . . ,αn , t )
en la que ninguna de las α’s aparece como constante aditiva.
Dada una ecuación diferencial en derivadas parciales existen en principio
2Con (∂W /∂q) queremos indicar ∂W /∂qi , i = 1,2, . . . , n
200 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
una gran variedad de integrales completas de dicha ecuación en derivadas par-
ciales, la pregunta es ¿Cualquier integral completa de dicha ecuación sirve para
resolver las ecuaciones de Hamilton a partir del sistema
pi =∂W (q,α, t )
∂q i
βi = −∂W (q,α, t )
∂αi?
La respuesta es afirmativa. De acuerdo con nuestras hipótesis la función W es
un integral completa de la ecuación de Hamilton–Jacobi y por tanto contiene n
constantes no aditivas a la vez que el Hessiano es distinto de cero, por lo que
del anterior grupo de ecuaciones podemos despejar q, p en función de α,β y el
tiempo t .
q i = q i (α,β, t )
pi = pi (α,β, t )
tenemos que demostrar que estas funciones son soluciones de las ecuaciones
de Hamilton. Para ello vamos a formar el Paffiano∑
r pr dqr −Hdt . Puesto que
por nuestras hipótesis
pi =∂W (q,α, t )
∂q i
y
H =−∂W (q,α, t )
∂t
tenemos
∑
r
pr dqr −Hdt =∑
r
∂W (q,α, t )
∂qrdqr +
∂W (q,α, t )
∂tdt
= dW (q,α, t )−∑
r
∂W (q,α, t )
∂αrdαr
= dψ(α,β, t )+∑
r
βr dαr
9.2 La ecuación de Hamilton-Jacobi 201
donde hemos substituido las q’s como función de α,β y hemos hecho uso de
βr =−∂W
∂αr
Ahora bien del teorema de equivalencia, las funciones
qr = qr (α,β, t )
pr = pr (α,β, t )
son soluciones de las ecuaciones de Hamilton.
Así pues una vez encontrada una integral completa de la ecuación de Hamil-
ton – Jacobi tenemos resuelto nuestro problema de integración de las ecuacio-
nes diferenciales de Hamilton. Ahora bien el problema de encontrar soluciones
de la ecuaciones en derivadas parciales no es trivial. Estudiaremos bajo que con-
diciones es relativamente fácil encontrar soluciones de dicha ecuación.
De todas las integrales completas que se pueden obtener a partir de la ecua-
ción de Hamilton–Jacobi hay una de particular interés, aquella en la que las
constantes de integración se reducen a las posiciones y momentos iniciales. Por
lo que, según lo deducido anteriormente,
∑
r
pr dqr −Hdt = dψ−∑
r
pr0dqr0
ahora bien de las ecuaciones deducidas en el capítulo dedicado a los métodos
variacionales, vemos que salvo una constante sin importancia
ψ= S =∫
Ldt
esto es, la integral completa coincide con la función principal de Hamilton.
202 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
9.3. Sistemas autónomos
En el caso de que el sistema sea autónomo, el tiempo t no esta en el hamil-
toniano por lo que la integral de Jacobi es una constante del movimiento
H(q,p) = h
En este caso la ecuación de Hamilton–Jacobi resulta ser
h = H(q,∂W
∂q) =−
∂W
∂t
por lo que podemos tomar
W (q,α, t )=−ht +W∗(q, h,α2, . . . ,αn )
(hemos elegido a h como la primera constante de integración ) y la ecuación de
Hamilton toma la forma
H(q,∂W∗(q, h,α2, . . . ,αn )
∂q) = h
Las integrales de las ecuaciones del movimiento quedan
β1 =−∂W
∂α1=−
∂(−ht +W∗(q, h,α2, . . . ,αn)
∂h= t −
∂W∗(q, h,α2, . . . ,αn)
∂h
tomando β1 = t0 tenemos
t − t0 =∂W∗(q, h,α2, . . . ,αn)
∂h(9.2)
que nos da la ley horaria. El resto de las ecuaciones quedan
−βr =∂W∗
∂αr, r = 2, . . . , n (9.3)
pr =∂W∗
∂qr, r = 1, . . . , n (9.4)
9.3 Sistemas autónomos 203
que nos dan la ecuación de la trayectoria. La función W∗ recibe el nombre de
función característica de Hamilton.
En el párrafo anterior hemos visto que si el tiempo no está en el hamilto-
niano, la integral de Jacobi es una constante del movimiento y podemos separar
la función W en dos partes, una que incluye solo el tiempo (en la que apare-
ce el tiempo y su variable conjugada la integral de Jacobi) y otra independiente
de él. En el caso en que exista alguna coordenada ignorable , por ejemplo qn ,
sabemos que su momento generalizado γn es una constante del movimiento,
podemos así mismo separar la función característica en la forma
W = W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)+γqn −ht
siendo γ el momento generalizado asociado a la coordenada qn . Llevando la
anterior expresión a las ecuaciones que definen la trayectoria del sistema y su
ley horaria tendremos
t − t0 =∂W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)
∂h(9.5)
−βi =∂W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)
∂αi, i = 2, . . . , n −1 (9.6)
−qn0 =∂W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)
∂γ+qn (9.7)
pi =∂W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)
∂q i, , i = 1, . . . , n −1 (9.8)
pn = γ. (9.9)
donde hemos tomadoβn = qn0. Ahora la función W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)
será solución de la ecuación de Hamilton
H(q1, . . . , qn−1,∂W∗(q1, . . . , qn−1, h,α2, . . . ,αn−1,γ)
∂q i)= h (9.10)
Ejemplo 9.1 Resolver por el método de la ecuación de Hamilton-Jacobi el pro-
204 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
blema del oscilador armónico unidimensional.
SOLUCIÓN Como es bien sabido, el hamiltoniano de un oscilador armónico vie-
ne dado por la expresión
H =1
2mp2 +
1
2kq2
Como el hamiltoniano no depende del tiempo podemos separar la función W
en dos partes
W (q, h, t )= W∗(q, h)−ht
de tal forma que la ecuación de Hamilton–Jacobi resulta
H(q,∂W
∂q) =
1
2kq2 +
1
2m
(
∂W∗
∂q
)2
= h
de donde∂W∗
∂q=
√
2mh −kmq2
integrando
W∗ =p
km
∫
√
2h
k−q2dq
por lo que
W =p
km
∫
dq
√
2h
k−q2 −ht
La integración no es necesario realizarla, pues nos interesa la derivada de la fun-
ción W respecto de las constantes de integración. La ley horaria se obtiene fácil-
mente de la ecuación
t − t0 =∂W∗
∂h=
√
m
k
∫
dq1
√
2hk−q2
integrando
t − t0 =√
m
k
arcsin q
√
k
2h−φ
9.3 Sistemas autónomos 205
tomado ω=p
k/m nos queda
q =
√
2h
ksen(ω(t − t0)+φ)
que es la ecuación del movimiento. Los momentos lo podemos deducir a partir
de la expresión
p =∂W
∂q=p
mk
√
2h
k−q2
que, teniendo en cuenta la expresión de q, obtenemos
p =p
2hm cos(ω(t − t0)+φ)
Suponiendo que en el instante inicial t = t0, p0 = 0, q = q0, tenemos
p0 = 0 =p
2hm cos(φ)
de donde
φ=π
2
y por tanto
q0 =
√
2h
ksen(π/2)
esto es la energía total vale
h =1
2kq2
0
por lo que la expresión de q queda
q = q0 sen(ω(t − t0)+π/2) = q0 cos(ω(t − t0))
Si en vez de tomar p(t0) = 0, q(t0) = q0 hubiésemos tomado p(t0) = p0, q(t0) = 0,
tendríamos que φ= 0, por lo que
p0 =p
mkp
2h/k =p
2hm
206 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
y p2h/k =
p0pmk
de donde
p = p0 cosω(t − t0)
q =p0pmk
senω(t − t0)
Ejemplo 9.2 Resolver las ecuaciones del movimiento mediante el método de
Hamilton–Jacobi para el problema de una partícula que se mueve en un plano
sometida a una fuerza central.
SOLUCIÓN
Poniendo la expresión de la energía cinética en polares se llega a
T =1
2m(r 2 + r 2θ2)
por lo que la lagrangiana vale
L =1
2m(r 2 + r 2θ2)−V (r)
los momentos generalizados son
pr =∂L
∂r= mr
pθ =∂L
∂θ= mr 2θ
de donde
r =1
mpr
θ =1
mr 2pθ
9.3 Sistemas autónomos 207
por lo que el hamiltoniano vale
H = pr r +pθθ−L =1
2m
(
p2r +
p2θ
r 2
)
+V (r)
Como el tiempo no esta en el hamiltoniano y θ es una variable ignorable, tene-
mos
W =W∗(r, h,γ)+γθ−ht
de donde la ecuación de Hamilton - Jacobi
H(q,∂W
∂q)+
∂W
∂t= 0
resulta ser1
2m
[(
∂W∗
∂r
)2
+γ2
r 2
]
+V (r) = h
de donde∂W∗(r, h,γ)
∂r=
√
2m(h −V (r))−γ
r 2
por lo que
W =∫
dr
√
2m(h −V (r))−γ
r 2+γθ−ht
y las ecuaciones del movimiento las podemos obtener del sistema
t − t0 =∂W∗(r, h,γ)
∂h=
∫
mdr√
2m(h −V )− γ2
r2
que nos da la ley horaria. El resto de las ecuaciones quedan
−β=∂W∗
∂γ=−
∫
γdr
r 2√
2m(h −V )− γ2
r2
+θ
que nos da la ecuación de la trayectoria.
208 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
9.4. Variables separables
Considerar el caso en que dado un sistema dinámico, la función caracterís-
tica de Hamilton
W∗(q1, . . . , qn ,α1, . . . ,αn−1, h)
solución de la ecuación en derivadas parciales
H(q,∂W∗
∂q)=αn
se puede separar de la siguiente manera
W∗(q1, . . . , qn ,α1, . . . ,αn ) =∑
i
W∗i (q i ,α1, . . . ,αn )
de tal forma que separe la ecuación en derivadas parciales de Hamilton – Jacobi
en n ecuaciones de la forma
Hi (qi ,∂W∗
i
∂q i,α1, . . . ,αn) =αi
en las que en cada ecuación solo se hace referencia a una q i . Estas ecuaciones
diferenciales en general se pueden integrar por cuadraturas. Como hemos visto
antes, siempre que existan coordenadas ignorables podemos separar la función
característica, pero en general no existe una regla que nos permita decir cuando
un sistema es separable o no. Así mismo la separabilidad del sistema depen-
de del tipo de coordenadas elegidas. Así por ejemplo, el caso de una partícula
sometida a un campo central es de variables separables en polares pero no en
cartesianas. Existe un teorema debido a Liouville, que no vamos a demostrar,
que nos dice que si la energía cinética se puede poner como
T =1
2(X1 +X2 + . . .+Xn)
(
q21
P1+
q22
P2+ . . .+
qn1
Pn
)
y el potencial V vale
V =ξ1 +ξ2 + . . . ,ξr
X1 +X2 + . . .+Xn
9.4 Variables separables 209
donde Xr ,Pr ,ξr son funciones de qr . El sistema es de variables separables.
Ejemplo 9.3 Resolver por el método de la ecuación de Hamilton-Jacobi el pro-
blema de Kepler en tres dimensiones
SOLUCIÓN Consideremos el problema de una partícula sometida a una fuerza
central definida por un potencial V (r) = −k2/r . La energía cinética de la partí-
cula vale3
T =1
2(r 2 + r 2θ2 + r 2 cos2θφ2)
siendo θ el ángulo polar del cuerpo respecto del plano de referencia. Los mo-
mentos generalizados valen pr = r , pθ = r 2θ, pφ = r 2 cos2θφ, de donde podemos
obtener las velocidades generalizadas, r , θ, φ y el hamiltoniano H = T +V ,
H =1
2
(
p2r +
p2θ
r 2+
p2φ
r 2 cos2θ
)
+−k2
r
Puesto que el tiempo no está en el hamiltoniano,
W (r,θ,φ, h,α2,α3, t )=W∗(r,θ,φ, h,α2,α3)−ht
(done hemos puesto α1 = h) y como φ no aparece en el hamiltoniano, su mo-
mento conjugado γ es una constante del movimiento y por tanto podemos to-
mar W como
W∗(r,θ,φ, h,α2,γ)= W∗(r,θ, h,α2,γ)+γφ
por lo que
W (r,θ,φ,α1,α2,α3, t )= W∗(r,θ, h,α2,γ)+γφ−ht
(donde hemos llamado γ a la constante α3). La ecuación de Hamilton–Jacobi
3En el problema de Kepler, se puede considerar que la partícula tiene masa unidad y la cons-tante k2 que aparece en el potencial vale k2 = G(m1 + m2), siendo m1 y m2 las masas de loscuerpos
210 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
H(q, ∂W∂q ) = h se expresa como
1
2
((
∂W∗
∂r
)2
+1
r 2
(
∂W∗
∂θ
)2
+γ2
r 2 cos2θ
)
−k2
r= h
Busquemos una solución de la forma,
W∗ = R(r)+Θ(θ)
Sustituyendo
r 2(
R′2 −2k2
r−2h
)
=−(
Θ′2 +
γ2
cos2θ
)
El miembro de la derecha solo depende de θ y el de la izquierda de r , para que
sean iguales debe de ser iguales a una constante, y por tanto
(
Θ′2 +
γ2
cos2θ
)
=α22 r 2
(
R′2 −2k2
r−2h
)
=−α22
y por tanto
Θ′2 =α2
2 −γ2
cos2θR′2 = 2h +
2k2
r−α2
2
r 2
En ambas ecuaciones, para que los miembros de la izquierda sea positivos, r
y θ tienen que tener limitados su valores y por tanto los movimientos en estas
coordenadas son libraciones. Para que Θ′2 ≥ 0 se necesita que α2 > γ. Vamos a
quedarnos con aquellos movimientos para los que la energía h es negativa y que
como se sabe son aquellos que dan lugar a órbitas elípticas. En estas condiciones
la forma cuadrática 2hr 2 + 2k2r −α22 tiene dos raíces reales r1, r2, (r1 < r2) que
corresponden con el perigeo y apogeo de la órbita elíptica.
Integrando y sustituyendo en la definición, tenemos
W (r,θ,φ, h,α2,γ, t )=∫r
r1
√
2h +2k2
r−α2
2
r 2dr +
∫θ
0
√
α22 −
γ2
cos2θdθ+γφ−ht
9.4 Variables separables 211
De donde las ecuaciones del movimiento resultan ser:
t − t0 =∫r
r1
dr√
2h + 2k2
r− α2
2r2
−β2 = −∫r
r1
α2dr/r 2
√
2h + 2k2
r − α22
r2
+∫θ
0
α2dθ√
α22 −
γ2
cos2 θ
−β3 = −∫θ
0
γdθ/cos2θ√
α22 −
γ2
cos2 θ
+φ
Vamos a analizar la interpretación de las diferentes constantes. Para ello la
última ecuación la podemos poner como (teniendo en cuenta que d(tanθ) =1/cos2θ)
φ+β3 =∫θ
0
d(tanθ)√
(
α22
γ2 −1)
− tan2θ
De donde,
tanθ=
√
√
√
√
(
α22
γ2−1
)
sen(φ+β3)
Lo que nos índica que la órbita es plana, pues implica una relación lineal en-
tre los cosenos directores(cosθcosφ,cosθsenφ, senθ). La ’planitud’ de la órbita
se obtiene asimismo de la constancia del momento angular (que es normal al
plano de la órbita), al ser la fuerza una fuerza central. Sea Ω la longitud del nodo
ascendente e i el ángulo de inclinación del plano de la órbita (ver la figura 9.1.
De las relaciones de geometría de triángulos esféricos se verifica que
tanθ= tan i sen(φ−Ω)
de donde Ω = −β3 y por tanto β3 representa la longitud del nodo ascendente.
Así mismo
cos i =γ
α2
Respecto de la segunda de las ecuaciones del movimiento vamos a llamar a
212 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
Figura 9.1: Coordenadas de la órbita respecto del equinoccio vernal
ψ a la integral
ψ=∫r
r1
α2dr/r 2
√
2h + 2k2
r− α2
2r2
que en términos de los radios r1, r2 anteriormente definidos, se puede poner
como
ψ=∫r
r1
dr/r 2
√
(
1r1− 1
r
)(
1r− 1
r2
)
integrando,1
r=
1
2
(
1
r1+
1
r2
)
+1
2
(
1
r1−
1
r2
)
cosψ (9.11)
que es una de las formas polares de la elipse. Es fácil de ver que para ψ= 0, r = r1
estamos en el perigeo y para ψ = π, r = r2 estamos en el apogeo. En la segunda
integral de dicha ecuación,∫θ
0
α2dθ√
α22 −
γ2
cos2 θ
Se puede demostrar utilizando la trigonometría esférica que
senθ= sen i sen u
siendo u =ω+ν el desplazamiento angular a partir del nodo ascendente, donde
9.4 Variables separables 213
ω es el argumento del perigeo y ν la anomalía verdadera, se tiene
∫θ
0
α2dθ√
α22 −
γ2
cos2 θ
=∫θ
0
cosθdθp
cos2θ−cos2 i
donde hemos tenido en cuenta que cos i = γ/α2. Puesto que i es constante,
cosθdθ= sen i cos udu y por tanto
∫θ
0
cosθdθp
cos2θ−cos2 i=
∫u
0
sen i cos udup
sen2 i −sen2θ= u
Así pues
ψ= u +β2
y puesto que ψ= 0 para r = r1, esto es en el perigeo, tenemos
β2 =−u0 =−ω
La ecuación de la órbita resulta
1
r=
1
2
(
1
r1+
1
r2
)
+1
2
(
1
r1−
1
r2
)
cos(u −u0) =1
2
(
1
r1+
1
r2
)
+1
2
(
1
r1−
1
r2
)
cos(ν)
Introduciendo como constantes el semieje mayor de la elipse a y la excentri-
cidad e, se tiene r1 = a(1− e) y r2 = a(1+ e) y como r1 y r2 son los ceros de la
ecuación cuadrática 2hr 2 +2k2r −α22 se tiene
−k2
h= r1 + r2 = 2a, r1r2 =−
α22
2h1= a2(1− e2)
de donde
h =−k2
2a
y por tanto la energía total inicial determina el semieje mayor de la elipse. Así
mismo,
α2 =√
k2p
214 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
siendo p = a(1− e2) y por tanto
γ=√
k2p cos i
Para deducir la ley horaria, debemos de tener en cuenta la ecuación para-
métrica de la elipse
x = a cosE
y = b senE
siendo E la anomalía excéntrica, de donde es posible deducir que
r = a(1− e cos E)
y que a = (1/2)(r1 + r2); e = (r2 − r1)/(r2 + r1). Por lo que
r = r1 cos2 1
2E + r2 sen2 1
2E
Teniendo en cuenta esta expresión la expresión de la ley horaria de la órbita,
t−t0 =∫r
r1
dr√
2h + 2k2
r − α22
r2
=∫r
r1
rdrp−2h
p(r2 − r)(r − r1)
=√
a
k2
∫r
r1
rdrp
(r2 − r)(r − r1)
la podemos poner como
t − t0 =√
a
k2
∫E
0rdE =
√
a3
k2(E − e senE)
que es la llamada ecuación de Kepler. LLamando
n =
√
k2
a3
se tiene
E −senE = n(t − t 0)
9.5 El método de variación de las constantes 215
de tal forma que para t = t0, E = 0: estamos en el perigeo (El ángulo E se mide
desde el centro de la elipse a partir del perigeo), para E = 2π hemos dado la
vuelta completa y por tanto
2π= nT
por lo que
n =2π
T
o
T =2π
n= 2π
√
a3
k2
de donde se deduce que
a3 = k2(
T
2π
)2
esto es, los cubos del semieje mayor de la elipse es proporcional al cuadrado del
periodo. Segunda ley de Kepler. Con esto tenemos resuelto completamente el
problema. Pues tenemos la ley horaria y la ecuación de la trayectoria e identifi-
cado las constantes del movimiento que vamos a resumir
h = −k2
2a
α2 =√
k2p
γ =√
k2p cos i
β1 = t0 (instante de paso por el perigeo)
β2 = ω (argumento el perigeo)
β3 = −ψ0 (longitud del nodo ascendente)
9.5. El método de variación de las constantes
Considerar que tenemos un problema mecánico cuyo hamiltoniano lo po-
demos poner como H = H0 +H1. Suponed que el problema mecánico cuyo ha-
miltoniano es H0 lo hemos resuelto mediante el método de Hamilton-Jacobi.
216 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
Esto es hemos encontrado una transformación de contacto W que nos lleva a
una nuevas variables α,β, donde le hamiltoniano se anula idénticamente y por
tanto las nuevas variables son constantes del movimiento. Según acabamos de
ver
pi =∂W (q,α, t )
∂q i
βi = −∂W (q,α, t )
∂αi?
Ahora bien, una transformación que es de contacto para un hamiltoniano es de
contacto para todo hamiltoniano y por tanto podemos aplicar esta trasforma-
ción de contacto al hamiltoniano H = H0 +H1, lo que nos permite pasar de las
variables q, p a las variables α,β y en estas nuevas variables las ecuaciones de
Hamilton se escriben
βi =∂K
∂αi
αi = −∂K
∂βi
siendo el nuevo hamiltoniano igual al antiguo menos la derivada parcial respec-
to del tiempo de la función generadora de la transformación de contacto reali-
zada, esto es
K = H −∂W
∂t= H0 +H1 −
∂W
∂t
Ahora bien,
H0 −∂W
∂t= 0
y por tanto
K = H1
escrito obviamente en términos de las nuevas variables. Así pues tenemos
βi =∂H1
∂αi
αi = −∂H1
∂βi
9.5 El método de variación de las constantes 217
y por tanto las coordenadas α,β verifican las ecuaciones de Hamilton, con el
hamiltoniano original H1 escrito en términos de las constanteα,β del problema
de Hamilton-Jacobi del hamiltoniano H0
Ejemplo 9.4 Resolver por el método de variación de las constantes el caso de
una partícula sometida al campo gravitatorio producido por un cuerpo con for-
ma de esferoide.
SOLUCIÓN En el caso de un cuerpo con forma de esferoide, caso de una Tierra
ideal (homogénea y sin relive), el potencial gravitatorio se puede poner como
suma de el potencial gravitatorio de la Tierra supuesta esférica mas un término
perturbativo. De tal forma que el Hamiltoniano de una partícula de masa m so-
metida al campo gravitatorio terrestre se puede poner como suma del hamilto-
niano asociado a la tierra esférica más el asociado al término perturbativo. El
problema de una tierra esférica es el mismo que el de una masa puntual situada
en el origen y por tanto que resolvimos anteriormente. Vamos a aplicar el mé-
todo de variación de las constantes para ver como varían los parámetros de la
órbita en función del término perturbativo.
Vamos a llamar H1 al término perturbativo, tendremos, según acabamos de
demostrar, seis ecuaciones (3 para las α’s y 3 para la β’s )
βi =∂H1
∂αi
αi = −∂H1
∂βi
que podemos poner en términos de los parámetros de la órbita
αi = αi (a, e, i , t0,Ω,ω)
βi = βi (a, e, i , t0,Ω,ω)
Llamemos λi a cada uno de estos seis parámetros. Invirtiendo las anteriores
ecuaciones tendremos seis ecuaciones del tipo λi = λi (αi ,βi ), derivando res-
pecto del tiempo (utilizando la notacion de Einstein de suma en el índice repe-
218 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
tido)
λi =∂λi
∂α jα j +
∂λi
∂β jβ j
puesto que α j y β j verifican las ecuaciones de Hamilton
λi =−∂λi
∂α j
(
∂H1
∂β j
)
+∂λi
∂β j
(
∂H1
∂α j
)
que en términos de las λ’s queda
λi =−∂λi
∂α j
(
∂H1
∂λk
∂λk
∂β j
)
+∂λi
∂β j
(
∂H1
∂λk
∂λk
∂α j
)
De la resolución del problema de Kepler obtuvimos que
h = −k2
2a
α2 =√
k2a(1− e2)
γ =√
k2a(1− e2)cos i
β1 = t0 (instante de paso por el perigeo)
β2 = −ω (argumento el perigeo)
β3 = −Ω (longitud del nodo ascendente)
de donde
a = −k2
2h
e2 = 1+α2
2h
k4
cos i =γ
α2
t0 = β1
ω = −β2
Ω = −β3
9.5 El método de variación de las constantes 219
Derivando respecto del tiempo, tenemos para la primera ecuación
a =k2
2h2h =−
k2
2(k2/2a)2h =
2a2
k2h
Teniendo en cuenta las ecuaciones de Hamilton que acabamos de obtener para
las constantes, llegamos a
a =2a2
k2
∂H1
∂β1=
2a2
k2
∑
k
∂H1
∂λk
∂λk
∂β1
Puesto que β1 solo depende de t0 tendremos
a =−2a2
k2
∂H1(a, e, i ,Ω,ω, t0)
∂t0
teniendo en cuenta que k2 = n2a3 tenemos
a =−2
n2a
∂H1(a, e, i ,Ω,ω, t0)
∂t0
Llamando M = n(t − t0), que recibe el nombre de anomalía media (ángulo reco-
rrido por un cuerpo que se mueve con velocidad angular uniforme n), tenemos
a =−2
n2a
∂H1(a, e, i ,Ω,ω, t0)
∂M
∂M
∂t0=
2
na
∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)
∂M(9.12)
Haciendo lo mismo con el resto de ecuaciones y teniendo en cuenta que de la
definición de MdM
dt= n(1−
dt0
dt) = n −n
dt0
dt
220 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
se obtiene
e =(1− e2)
na2e
∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)
∂M−p
1− e2
nea2
∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)
∂ω(9.13)
di
dt=
cot i
na2p
1− e2
∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)
∂ω−
1
na2 sen ip
1− e2
∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)
∂Ω(9.14)
M = n −2
na
∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)
∂a−p
1− e2
na2e
∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)
∂e(9.15)
ω =1− e2
na2e
∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)
∂e−
cot i
na2p
1− e2
∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)
∂i(9.16)
Ω =1
sen i
1
na2p
1− e2
∂H1(a, e, i ,Ω,ω,M)
∂i(9.17)
Nos queda por evaluar H1 y esto obviamente depende del problema a tratar.
En este caso vamos a considerar el campo gravitatorio creado por una Tierra
elíptica. Para ello debemos de considerar que el potencial gravitatorio creado
en el punto r por una masa δm situada en el punto ρ vale
δV (r) =−Gδm
|r−ρ|
y el campo gravitatorio V vale
V (r) =−∫
Gδm
|r−ρ|=
El denominador de las anteriores expresiones se puede poner como
|r−ρ| =√
(r−ρ) · (r−ρ) =√
r 2 +ρ2 −2rρcosψ
siendo ψ el ángulo entre los vectores r y ρ. Teniendo en cuenta los cosenos di-
rectores de ambos vectores este coseno lo podemos poner como
cosψ= senθsenθ′+cosθcosθ′ cos(φ−φ′)
De tal forma que el potencial elemental vale
δV =−Gdm
√
r 2 +ρ2 −2rρcosψ
9.5 El método de variación de las constantes 221
que se puede expandir en términos de los polinomios de Legendre de la siguien-
te manera
δV =−Gdm
√
r 2 +ρ2 −2rρcosψ=−
Gdm
r
∞∑
n=0
(ρ
r
)nPn (cosψ)
Existen un teorema de expansión de los polinomios de Legendre que nos mues-
tra que
Pn(cosψ) =Pn (senθsenθ′+cosθcosθ′ cos(φ−φ′)) =n∑
p=0αnp P
(p)n (senθ)P
(p)n (senθ′)cos(p(φ−φ′))
donde
αnp =
1 n = 0(n−p)!(n+p)! n 6= 0
Así pues sustituyendo
δV =−Gdm
r
∞∑
n=0
n∑
p=0αnp
(ρ
n
)nP
(p)n (senθ)P
(p)n (senθ′)cos(p(φ−φ′)) =
Integrando a la masa de la Tierra
V =−G
r
∞∑
n=0
n∑
p=0αnp
P(p)n (senθ)
r n
[
cos pφ
∫
P(p)n (senθ′)ρn cos pφ′dm +sen pφ
∫
P(p)n (senθ′)ρn sen pφ′dm
]
Sean
anp =∫
P(p)n (senθ′)ρn cos pφ′dm bnp =
∫
P(p)n (senθ′)ρn sen pφ′dm
Vamos a calcular estos coeficientes para los primeros valores de n
n = 0, p = 0
a00 =∫
dm = M , b00 = 0
222 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
n=1, p=0,1
a10 =∫
ρsenθ′dm =∫
zdm = mZG (9.18)
a11 =∫
ρcosθ′ cosφ′dm =∫
xdm = mXG (9.19)
b11 =∫
ρcosθ′ senφ′dm =∫
ydm = mYG (9.20)
n=2, p=0,1,2
a2,0 =∫
ρ2(3
2sen2θ′−
1
2)dm =
3
2
∫
z2dm−1
2
∫
(x2 + y2 + z2)dm
(9.21)
a2,1 =∫
ρ2(3senθ′ cosθ′)cosφ′dm = 3∫
xzdm (9.22)
a2,2 =∫
ρ2(3cos2θ′)(2cos2φ′−1)dm = 6∫
x2dm−3∫
(x2 + y2)dm
(9.23)
b2,1 =∫
ρ2(3senθcosθ)senφ′dm = 3∫
y zdm (9.24)
b2,2 =∫
ρ2(3cos2θ′)(2senφ′cosφ′)dm = 6∫
x ydm (9.25)
Teniendo en cuenta la definición de los momentos de inercia
A =∫
(y2 + z2)dm,B =∫
(x2 + z2)dm,C =∫
(x2 + y2)dm
y de los productos de inercia
E =∫
y zdm,F =∫
xzdm,G =∫
y zdm
se tiene que
a20 =1
2(A+B)−C , a21 = 3E , a22 = 3(B − A)
b21 = 3D, b22 = 6F
9.5 El método de variación de las constantes 223
Sustituyendo se tiene
V =−GM
r−
GM
r 2(Xg cosθcosφ+YG cosθsenφ+ZG senθ)−
GM
r 3
[(
A+B
2−C
)(
3
2sen2θ−
1
2
)
+
3senθcosθ(E cosφ+F senφ)+
3cos2θ
(
B − A
4cos 2φ+
1
2F sen2φ
)]
−
....
(9.26)
Supuesto que la Tierra tenga la forma de un elipsoide de revolución, entonces
E = F = 0 y A = B y suponiendo que el origen está en el centro de masas (XG =YG =ZG = 0) se tiene
V =−GM
r−
GM
r 3(A−C )
(
3
2sen2θ−
1
2
)
−·· ·
Ecuación que puede expresarse en forma de serie de la siguiente manera
V =−GM
r
[
1+R2
r 2J2P2(cosθ)+
R4
r 4J4P4(cosθ)+·· ·
]
(9.27)
siendo
J2 =A−C
MR2
y R el radio ecuatorial. Para la Tierra J2 = 0,001082625 y J4 = 0,000001623, por lo
que el tercer término de la expansion en serie es muy pequeño frente al segundo
y en muchas de las aplicaciones se puede despreciar, por lo que
V =−GM
r
(
1+R2
r 2J2P2(cosθ)
)
(9.28)
El segundo término se puede considerar como el termino perturbativo del ha-
miltoniano
H1 =−k2R2
r 3J2P2(cosθ) =
k2R2
2r 3J2(1−3sen2θ) (9.29)
224 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
que utilizando la expresión
senθ= sen i sen u = sen i sen(ω+v)
siendo i el ángulo de inclinación de la órbita, ω el argumento del perigeo y v la
anomalía verdadera, podemos poner como
H1 =k2R2
2r 3J2(1−3sen2 i sen2(ω+v)) =
k2R2
2r 3J2
(
1
3−
1
2sen2 i +
1
2sen2 i cos 2(ω+v)
)
(9.30)
donde hemos hecho uso de la fórmula sen2 x = (1/2)(1−cos 2x)
En general los elementos de la órbita sufrirán variaciones que podemos agru-
par en: variaciones seculares, variaciones periódicas de periodo corto y varia-
ciones periódicas de periodo largo. Las variaciones seculares implican una cre-
cimiento continuo con el tiempo, mientras que las otras como su nombre indica
son funciones periódicas de este. Las variaciones seculares de primer orden (en
J2) se obtienen integrando la perturbación H1 a lo largo de una giro completo
esto es
H1 =∫2π
0H1dM
Se puede ver que
H1=3
2
k2R2
a3 J2(1− e2)−3/2
(
1
3−
1
2sen2 i
)
de donde podemos obtener la variación (secular) de los parámetros orbitales,
Ωs = −3
2
J2R2
a2(1− e2)2n cos i (9.31)
ωs =3
2
J2R2
a2(1− e2)2n
(
2−5
2sen2 i
)
(9.32)
Ms = n +3
2
J2R2
a2(1− e2)3/2n
(
1−3
2sen2 i
)
(9.33)
Ecuaciones que nos permiten obtener, en primera aproximación las variaciones
seculares de la órbita. La primera de ella nos da la tasa a la cual precesiona el no-
do ascendente de la órbita. La segunda la velocidad a la que varía el argumento
9.6 Relación entre la teoría de Hamilton – Jacobi y la mecánicacuántica 225
del perigeo y la tercera la variación de la velocidad angular media con la que se
recorre la órbita. En el caso de un satélite de órbita polar pura i =π/2, la veloci-
dad de precesión es nula y por tanto se mantiene el plano de la órbita. Podemos
emplear este conjunto de ecuaciones para ver que inclinación se tiene que dar a
un satélite para que tenga una velocidad de precesión conocida. Así por ejemplo
en Meteorología se requiere que el satélite precesione a la misma velocidad que
el Sol, que es de 2π en 365.2419 días, de donde es posible evaluar la inclinación
de la órbita. Esta resulta ser de unos 110.
9.6. Relación entre la teoría de Hamilton – Jacobi y la me-
cánica cuántica
Hemos visto como podemos resolver las ecuaciones del movimiento me-
diante una función generadora de una transformación de contacto que verifica
la ecuación de Hamilton – Jacobi.
H(q,∂W
∂q, t )=−
∂W
∂t
Según hemos visto, podemos tomar como función generadora a la función prin-
cipal de Hamilton
S =∫
Ldt
que en el caso en que el tiempo no esté en el hamiltoniano, podemos separar en
S = W∗−Et =∫
∑
i
pi dq i −Et
de tal forma que
W∗ =∫
∑
i
pi dq i
que podemos poner como
W∗ =∫
√
2(E −V )ds =∫p
2T ds
226 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
siendo ds2 =∑
Ti j dq i dq j . De la anterior ecuación se deduce que
dW∗
ds=p
2T .
Así mismo, hemos visto que
pi =∂W∗
∂q i
que en forma vectorial toma la forma,
p =∇W∗
puesto que el momento es tangente a la trayectoria de la partícula en el espa-
cio de la configuración, la anterior ecuación nos dice que la partícula se mueve
normal a las superficies W∗ constante.
Así mismo en óptica geométrica, el principio variacional de Fermat cuya for-
ma matemática viene dada por
δ
∫
nds = 0
nos dice que el rayo viaja a lo largo de trayectorias de tiempo mínimo. LLaman-
do
L =∫
nds
El principio de Fermat, nos garantiza que la anterior integral no depende del
camino elegido y por tanto,dL
ds= n
podemos identificar a la función L de la óptica geométrica con la función W∗ de
la mecánica. Como vimos en el capítulo anterior, la función L (que allí llamamos
V) nos permitía el cálculo de la trayectoria de los rayos en la óptica geométrica al
igual que W∗ nos permite el cálculo de la trayectoria en mecánica clásica. Ahora
bien, la óptica geométrica es el límite, cuando la longitud de onda se hace muy
pequeña, de la óptica ondulatoria.
Vamos a ver ahora que significado tiene la función L en el dominio de la
óptica ondulatoria obteniendo los anteriores resultados a partir de principios
9.6 Relación entre la teoría de Hamilton – Jacobi y la mecánicacuántica 227
ondulatorios cuando la longitud de onda se hace muy pequeña. La ecuación
fundamental de la óptica ondulatoria es
∇2ψ−n2
c2
∂2ψ
∂t 2= 0
Suponiendo que tenemos ondas monocromáticas
∇2ψ+k2ψ= 0
Si n es constante, una solución de la ecuación anterior es una onda plana
ψ=ψ0e i (kr−ωt )
siendo φ= (kr−ωt ) la fase. Las superficies de igual fase, en un instante t0 son
kr−ωt0 = ct e
que son planos ortogonales al vector k. La velocidad de fase viene dada por la
expresión
kdr
dt=ω−→ ku =ω
de donde
u =ω
k2k, u =
ω
k
En el caso que n sea función de la posición ya no es válida la solución anterior.
Vamos a suponer que las soluciones son de la forma
ψ(r, t )= A(r)exp i k0(L(r)− ct )
siendo L(r) la superficie de igual fase y recibe el nombre de eikonal (del grie-
go imagen). Substituyendo en la ecuación de ondas, llegamos a que se debe de
verificar
∇2 A+ (∇A)2 +k0(
n2 − (∇L)2)
= 0
lo que nos dice, que si la longitud de onda tiende a cero, k0 → ∞, para que la
228 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
anterior ecuación siga siendo válida se debe de verificar que
n2 = (∇L)2
En estas condiciones, el vector unitario normal a la superficie de igual fase L(r)
viene dada por
s =∇L
|∇L|y por tanto
∇L = ns
Como el rotor del gradiente es cero ∇× (ns) = 0 por lo que por el teorema de
Stokes∮
nsdr=∫∫
∇× (ns)dσ= 0
por lo que la integral∫
nsdr
es independiente del camino y dado que ns=∇L, tenemos que se verifica que
L =∫
∇Ldr =∫
nsdr=∫
nds
y por tanto la eikonal coincide con el camino óptico.
La fase completa de la onda viene dada por φ = kL−ωt , en el dominio de
la óptica geométrica, L coincide con el camino óptico. En mecánica clásica te-
nemos que S = W −Et , por lo que vemos que el papel de la fase lo cumple la
función principal de Hamilton y el papel de la eikonal lo desempeña la función
característica de Hamilton. Podemos por tanto calcular cual es la velocidad de
fase en mecánica. En óptica hacemos
dφ
dt= 0
en mecánicadS
dt=
dW
dt−E = 0
9.6 Relación entre la teoría de Hamilton – Jacobi y la mecánicacuántica 229
por lo quedW
dt= E
teniendo en cuenta que dW /ds =p
2T , tenemos
dW
dt=
dW
ds
ds
dt=p
2T u = E
de donde
u =E
p2T
que nos da a que velocidad se mueven los frentes de onda en el espacio de las
fases. No nos da la velocidad de la partícula, que esp
2T . Cual sería la longitud
de onda asignada a la partícula. Para ello identifiquemos las fases en óptica y en
mecánica, teniendo en cuenta que la fase óptica no tiene dimensiones y la de
mecánica tiene dimensiones de acción tenemos
W −Et = ~(k0L−ωt )
de donde
E = ~ω= hν
que es la relación de De Broglie para la energía asociada a una partícula. La lon-
gitud de onda la podemos evaluar como
λ= uT =u
ν=
E/p
2T
ν=
hp
2T
ahora bienp
2T = p el momento de la partícula, por lo que
λ=h
p
La ecuación de ondas en óptica ondulatoria es
∇2ψ+k2ψ= 0
cual es la correspondiente ecuación en mecánica. Pues la misma, con tal de em-
230 Capítulo – 9. El método Hamilton - Jacobi
plear la correspondiente longitud de onda
∇2ψ+(
2πp
2T
h
)2
ψ= 0
que reordenando
~2∇2ψ+ (E −V )ψ= 0
que es la ecuación de Schrodinger. La idea ahora es la siguiente, hemos identi-
ficado la mecánica clásica con la óptica geométrica, siendo esta el límite de la
óptica ondulatoria, cerrando el círculo podemos considerar a la mecánica clási-
ca como el límite de la mecánica cuántica cuando la longitud de onda asociada a
la partícula se hace muy pequeña. Como la longitud de onda asociada a la partí-
cula es proporcional a la constante de Planck, el límite λ→ 0 se alcanza cuando
h → 0.
Ejercicios
Ejercicio 9.1 Obtener las ecuaciones del movimiento de un péndulo esférico de
masa m y longitud l en un campo gravitatorio mediante el método de Hamilton
– Jacobi.
Ejercicio 9.2 Calcular las ecuaciones del movimiento de un trompo simétrico
mediante el método de Hamilton - Jacobi.
Ejercicio 9.3 Calcular el movimiento de un partícula en un campo de fuerzas
de la forma F = At mediante el método de Hamilton – Jacobi
Ejercicio 9.4 Encontrar las ecuaciones del movimiento de una barra que se mue-
ve a lo largo de una superficie la cual rota en torno a un eje horizontal.
Capítulo 10
Variables acción – ángulo
La teoría de Hamilton-Jacobi nos proporciona una función generatriz de una
transformación de contacto que nos transforma el par de variables canonicas
p,q en otro par P,Q que son constantes del movimiento. En este capítulo vamos
a considerar otra transformación que nos pasa a un nuevo sistema de variables
que ya no tienen por qué ser constantes del movimiento pero que permiten ob-
tener información muy interesante de la solucción del problema dinámico en
ciertos tipos de sistemas.
10.1. Sistemas ciclicos
Considerar un sistema dinámico caracterizado por un conjunto de variables
canónicas q1, q2, . . . , qn , p1, p2 . . . , pn . Según evoluciona con el tiempo el sistema
mecánico, el punto representativo en el espacio de las fases describe una órbita.
La proyección de este movimiento sobre cada plano q i , pi , dará lugar a un órbita
en dicho plano. En general esta órbita vendrá dada por una ecuación del tipo
q i = q i (pi ). Vamos a suponer que esta órbita puede ser de dos tipos
libración, en este caso la órbita q i = q i (pi ) es una curva cerrada, lo que
significa que tanto la posición q i como el momento pi son funciones pe-
riódicas, en el sentido que al cabo de un cierto tiempo la proyección del
punto en este plano vuelve a ocupar la misma posición y tiene el mismo
232 Capítulo – 10. Variables acción – ángulo
momento, aunque no lo haga en identicos periodos de tiempo. Ejemplo
típico de este movimiento es el del pendulo
rotación, en este caso la órbita es tal que el momento pi es una función pe-
riódica de q i , mientras que la variable q i aumenta indefinidamente con el
tiempo. Un movimiento típico obsiamente es la rotación de un sólido al-
rededor de un eje. En este caso, el ángulo de rotación aumenta continua-
mente con el tiempo, mientras que el momento vuelve a tener el mismo
valor al cabo de un periodo.
Si cada órbita en cada plano q i , pi es de cualquiera de los dos tipos anteriores,
diremos entonces que el sistema es cíclico. Aunque en cada plano el sistema
puede ser cíclico, no necesariamente el movimiento en el espacio de las fases
tiene por que volver a ocupar idénticas posiciones. Un mismo sistema mecánico
puede realizar una libración o una rotación. Cosiderar por ejemplo el caso de
un péndulo. La energía total vale (z se toma positiva hacia abajo y θ es el ángulo
respecto de la vertical)
E =1
2mv2 −mg z =
1
2ml2p2θ −mg l cosθ
de donde
pθ =√
2ml2(E +mg l cosθ)
si E > mg l , θ puede tomar culaquier valor y por tanto el movimiento es una
rotación. Si E < mg l , el movimiento está restringido a aquellos ángulos que ve-
rifican |θ| ≤ θ0, siendo
cosθ0 =−E
mg l
En estas condiciones el péndulo oscila entre −θ0 y +θ0, el movimiento es una
libración.
10.2. Variables acción ángulo
Considerar un sistema cíclico con n grados de libertad, cuyo estado dinámi-
co esta caracterizado por un conjunto de variables canónicas (q,p). Sea H(q,p)
10.2 Variables acción ángulo 233
el hamiltoniano del sistema y sea
W (q,α) =∑
i
Wi (qi ,α)
la función característica de Hamilton solucción completa de la ecuación en de-
rivadas parciales de Hamilton – Jacobi
H(q,∂W
q) = h.
Sean J = J1, J2, . . . , Jn un conjunto de constantes definidas por las ecuaciones
Ji (α)=∮
∂Wi (qi ,α)
∂qidqi (10.1)
donde la integral está extendida a un ciclo completo de la variable qi . Supuesto
que el Jacobiano de las J’s respecto de lasα’s es distinto de cero, podemos utilizar
como función generadora, la función
W (q,J) =∑
i
Wi (qi ,α(J)) =∑
i
Wi (qi ,J) (10.2)
que nos lleva del conjunto original de variables (q,p) a un nuevo conjunto (w,J)
definido de forma explícita mediante las ecuaciones de transformación
pi =∂W (q,J)
∂q i=
∂Wi (qi ,J)
∂q i(10.3)
wi =∂W (q,J)
∂Ji. (10.4)
Las variables wi reciben el nombre de variables ángulo y las variables Ji reciben
el nombre de variables acción1
Puesto que
pi =∂W (q,J)
∂q i=
∂Wi (qi ,α)
∂q i
1Al fín y al cabo las Ji tienen dimensiones de acción
234 Capítulo – 10. Variables acción – ángulo
podemos poner como definición de las variables de acción
Ji (α) =∮
pi (qi ,α)dqi (10.5)
La ecuación pi = pi (qi ,α) es la ecuación de la proyección de la órbita p = p(q)
sobre al plano pi , qi , de tal forma que la integral en la expresión (10.5) es la inte-
gral a lo largo de la proyección de la orbita en el plano (qi , pi ), que por hipótesis
es cerrada. Así pues Ji representa el área encerrada por dicha proyección. Este
área depende de las constantes α, esto es depende de las condiciones iniciales.
Históricamente el paso de la mecánica clásica a la cuántica consistió en suponer
que estas áreas debían de ser un múltiplo entero de ~.
10.3. El movimiento del sistema en términos de las varia-
bles acción–ángulo
Teorema 10.3.1 Considerar un sistema cíclico de n grados de libertad cuyo es-
tado dinámico está definido por 2n variables canónicas (q,p) y cuyo comporta-
miento está regido por un hamiltoniano H(p,q). Si hacemos un cambio de va-
riables, mediante una transformación de contacto a las variables acción–angulo
(w,J), en estas nuevas variables el kamiltoniano solo depende de (J), esto es
K = K (J). El movimiento del sistema en esta situación viene descrito por las ex-
presiones
Ji = γi (10.6)
wi = νi t +φi (10.7)
donde las γi y φi son constantes que dependen de las condiciones iniciales y νi
son las frecuencias del sistema definidas por las relaciones
νi =(
∂H(J)
Ji
)
J=γ(10.8)
DEMOSTRACIÓN
Dado que la tranformación de contacto de las variables iniciales a finales no
10.3 El movimiento del sistema en términos de las variablesacción–ángulo 235
depende del tiempo,
K (w,J) = H(q,p)
por lo que
K (w,J) = H(q(w,J),p(wJ))
= H
(
q(w,J),∂W (q,J)
∂q
)
= H
(
q(w,J),∂W (q,α(J))
∂q
)
= h (10.9)
Puesto que hemos supuesto que somos capaces de obtener las constantes α’s
en terminos de las J, en particular la energía total h será una cierta función de
las constantes J, esto es
h = h(J)
por lo que
K (w,J) = h(J) (10.10)
como queriamos desmostrar.
Las ecuaciones de Hamilton en las nuevas variables se esriben
Ji = −∂K
∂wi= 0 (10.11)
wi =∂K
∂Ji(10.12)
que son facilmente integrables
Ji = γi (10.13)
y
wi =∫(
∂K
∂Ji
)
J=γdt = νi t +φi (10.14)
siendo
νi =(
∂K
∂Ji
)
J=γ
con lo que queda demostrado el teorema.
Teorema 10.3.2 Si consideramos un movimiento del sistetam que consiste en
236 Capítulo – 10. Variables acción – ángulo
que todas las coordenadas q j se mantienen constantes excepto la coordenada
qi , entonces en el paso de qi a lo largo de un ciclo, todas las coordenadas w j
vuelven a sus valores originales excepto la wi que cambia en una unidad. Re-
ciprocamente si todas las w j se mantienen constantes excepto wi que varía en
una unidad, las coordenadas q j se mantienen constantes y la qi recorrerá un
ciclo constante.
DEMOSTRACIÓN
De las ecuaciones (10.4) que nos dan la transformación de forma explícita
wi =∂W (q,J)
Ji
puesto que la coordenadas Ji se mantienen constantes a lo largo del sistema
dw j =∑
k
∂
∂qk
(
∂W (q,J)
J j
)
dqk =∂
∂J j
∑
k
∂W (q,J)
qkdqk
si todas las q’s se mantiene fijas excepto la q i , tenemos
dw j =∂
∂J j
∂W (q,J)
q idq i
integrando a un ciclo completo
∆w j =∮
∂
∂J j
∂W (q,J)
q idq i =
∂
∂J j
∮
∂W (q,J)
q idq i
de la definición de las variables J
Ji =∮
∂W (q,α)
q i=
∮
∂W (q,α(J))
q i=
∮
∂W (q,J)
q i
de donde
∆w j =∂
∂J j(Ji ) =δi j
esto es ∆w j vale 1 si i = j y vale cero en cualqueir otro caso, como queriamos
demostrar. El recíproco también es cierto. Si todos las w j las mantenemos cons-
tantes excepto la i − exi ma que la variamos en una unidad, todas las qi vuel-
10.3 El movimiento del sistema en términos de las variablesacción–ángulo 237
ven a su valor original. Para demostrarlo debemos de hacer notar que para que
W (q,J) sea una función generadora de la transformación de contacto válida es
necesario que el hessiano∣
∣
∣
∣
∣
∂2W (q,J)
∂q i∂J j
∣
∣
∣
∣
∣
sea distinto de cero. Teniendo en cuenta la definición de las wi esta condición
nos lleva a que∣
∣
∣
∣
∂w j (q,J)
∂q i
∣
∣
∣
∣
6= 0
lo que significa del teorema de la implícita que podemos despejar las variables
q como función de w y J,
q =q(w,J)
de tal forma que si dado un valor de q genera un valor de w , cada valor de w
debe de corresponder con este valor de q.
Corolario
Cualquier función F de las variables qi tiene las siguientes propiedades
1. F es una función multiplemente periódica del conjunto de coordenadas
(w1, w2, . . . , wn) con periodos fundamentales (1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1).
2. F se puede expandir en series de Fourier de la forma
F =∑
n1
∑
n2
∑
nn
An1,n2,...,nnsen[2π(n1w1 +n2w2 + . . . , nn wn)]+
+Bn1,n2,...,nncos[2π(n1w1 +n2w2 + . . . , nn wn)]
o bien
F =∑
n1
∑
n2
∑
nn
Cn1 ,n2,...,nnsen[2π(n1ν1 +n2ν2 + . . . , nnνn)t ]+
+Dn1,n2,...,nncos[2π(n1ν1 +n2ν2 + . . . , nnνn)t ]
donde A,B,C ,D son constantes.
3. Si F , cuando se expresa en términos de las variables acción – ángulo, es
238 Capítulo – 10. Variables acción – ángulo
función de las variables de acción y de algún subconjunto de las variables
ángulo (w1, w2, . . . , wr ) donde r < n, entonces F será una función periódi-
ca del tiempo si las recíprocas de las frecuencias (ν1,ν2, . . . ,νr ) tienen un
factor común, esto es, si
k1
ν1=
k2
ν2= ·· · =
kr
νr
Ejemplo 10.1 El hamiltoniano de un oscilador armónico simple viene dado por
H(q, p)=1
2mp2 +
1
2kq2
demostrar que la frecuencia ν es igual a
1
2π
(
k
m
)1/2
DEMOSTRACIÓN
Puesto que H es una constante de movimiento la órbita en el el espacio de las
fases viene dada por la elipse
h =1
2mp2 +
1
2kq2
de semiejes (2mh)1/2 y (2h/k)1/2 . De acuerdo con la definición de variables de
acción como el área encerrada por la trayectoria, tenemos
J =π(2mh)1/2(2h/k)1/2 = 2π(m
k
)1/2h
por lo que
h = H(J) =1
2π
(
k
m
)1/2
J
y la frecuencia
ν=∂H(J)
∂J=
1
2π
(
k
m
)1/2
Ejemplo 10.2 Usar las variables acción–ángulo para analizar el movimiento de
10.3 El movimiento del sistema en términos de las variablesacción–ángulo 239
una partícula que se mueve en un plano bajo la acción de una fuerza central
procedente de un potencial definido por la expresión
V (r) =−k
r−
β
r 2
siendo k,β constantes y β<< kr sobre el rango de r exhibido por la partícula en
su movimiento.
DEMOSTRACIÓN
Como hemos visto anteriormente el hamiltoniano en polares toma la forma
H(r,ψ, pr , pψ) =1
2mp2
r +1
2mr 2p2ψ−
k
r−
β
r 2
Puesto que el tiempo no esta en el hamiltoniano y ψ es una coordenada ignora-
ble tenemos
W = W∗(r, pψ, h)+pψψ−ht
de donde la ecuación de Hamilton–Jacobi resulta,
1
2m
(
∂W∗
∂r
)2
+1
2mr 2p2ψ−
k
r−
β
r 2= h
despejando e integrando, obtenemos
W∗(r, pψ, h)= (2m)1/2∫(
h +k
r+
β
r 2−
1
2mr 2p2ψ
)1/2
dr
las órbitas en el subespacio de las fases (r, pr ) y (ψ, pp si ) las podemos obtener a
partir de las ecuaciones
pr =∂W
∂r= (2m)1/2
(
h +k
r+
β
r 2−
1
2mr 2p2ψ
)
pp si =∂W
∂ψ= γ
siendo γ una constante.
240 Capítulo – 10. Variables acción – ángulo
Si suponemos quemk2
4mβ−2p2ψ
< h < 0
la orbita pr = pr (r) es cerrada y simétrica alrdedor del eje r . estando los valores
de r restringidos al rango r1, r2 dado por las raices de la ecuación
h +k
r+
β
r 2−
1
2mr 2p2ψ = 0
La orbita en el plano (pψ,ψ) es tambien cerrada, reduciendose a una línea rec-
ta. El sistema es por lo tanto cíclico. Como es de variables separables podemos
definir las variables acción–ángulo.
Jr =∮
pr dr =∮
(2m)1/2(
h +k
r+
β
r 2−
1
2mr 2p2ψ
)
dr =
= (2m)1/22∫r2
r1
(
h +k
r+
β
r 2−
1
2mr 2p2ψ
)
=−2π(p2ψ−2mβ)1/2 + (−
2m
h)1/2πk
y
Jψ =∮
pψdψ= 2πpψ
despejando h y pψ en terminos de Jr y Jψ,
h =2mπ2k2
[
J2r +
(
J2ψ−8π2mβ
)1/2]2
y
pψ =Jψ
2π
de donde
H(Jr , Jψ) = h =2mπ2k2
[
J2r +
(
J2ψ−8π2mβ
)1/2]2
10.3 El movimiento del sistema en términos de las variablesacción–ángulo 241
por lo que las frecuencias vienen dadas por las expresiones
νr =∂H
∂Jr=
4mπ2k2
[
J2r +
(
J2ψ−8π2mβ
)1/2]3
=(−2mh)3/2
2m2πk
νψ =∂H
∂Jψ=
Jψ(
J2ψ−8π2mβ
)1/2νr .
De la definición de las variables ángulo
wr =∂W
∂Jr=
∂W
∂h
∂h
∂Jr+
∂W
∂pψ
∂pψ
∂Jr=
=∂W∗(r, h, pψ)
hνr = νr F (r)
siendo
F (r) =(m
2
)1/2∫(
h +k
r+
β
r 2−
h2
2mr 2
)−1/2
dr
de la misma manera
wψ = νψF (r)−G(r)+ψ
2π
siendo
G(r) =1
2π
(m
2
)1/2∫(
h +k
r+
β
r 2−
h2
2mr 2
)−1/2 (
h
mr 2
)
dr.
De la ecuacion que nos define wr podemos despejar r = r(wr ). La cantidad
r es una función periódica de wr con periodo unidad. Puesto que wr cambia en
una unidad en un tiempo τr = 1/νr , se deduce que r es una función periodica
del tiempo con periodo 1/νr . De la ecuación que nos da wψ obtenemos que
ψ=ψ(wr , wψ)
El ángulo ψ es una función doblemente periódica de (wr , wψ) con frecuencias
fundamentales (1,0), (0,1). Puesto que wr cambia en una unidad en un tiempo
1/νr y wψ cambia en una unidad en un tiempo 1/νψ, el ángulo ψ no será una
función periódica del tiempo a no ser que νr /νψ sea un número racional. Una
vez que conozcamos r(wr ) y ψ(wr , wψ) podemos encontrar r(t ) y ψ(t ) sin más
242 Capítulo – 10. Variables acción – ángulo
que tener en cuenta que
wr = νr t +λr
wψ = νψt +λψ
Si β = 0, el problema se reduce al movimiento de una partícula bajo una
fuerza central función inversa de la distancia al cuadrado. En este caso
νψ = νr = ν=(−2mh)3/2
2m2πk
que coincide con la ley de Kepler de que el periodo al cuadrado es proporcional
al cubo del semieje mayor de la órbita. La órbita en el espacio es cerrada y se
puede demostrar que es una elipse.
Si β es pequeña, per no cero, la órbita, aunque no cerrada, es prácticamente
una elipse y el pericentro ( punto mas cercano al centro de fuerzas) precesiona
ligeramente alrededor del centro de fuerzas, cuya velocidad se puede deducir
sin tener en cuenta las expresiones explícitas de r(t ) y ψ(t ). De la expresión para
wψ, despejando ψ
ψ= 2πνψt −2πνψF (r)+2πG(r)+2πλψ
Puesto que r(t ) es función periodica de periodo τr = 1/νr , durante este periodo,
las funciones F (r) y G(r) no cambian por lo que el cambio en ψ será
∆ψ= 2πνψτr = 2π
(
νψ
νr
)
si νψ =νr entonces ∆ψ= 2π y no hay avance en el pericentro. Si ambas frecuen-
cias son diferentes entonces el pericentro avanza un cantidad que vale 2π(νψ/νr )−2π. La velocidad de avance del pericentro viene dada por
R =2π(νψ/νr )−2π
τr= 2π(νr −νψ)
10.3 El movimiento del sistema en términos de las variablesacción–ángulo 243
teniendo en cuenta que
νψ =Jψ
(Jψ−8π2mβ)1/2νr
para β pequeño, podemos desarrollar en serie por lo que
νψ =(
1+4π2mβ
J2ψ
)
νr
Sustituyendo
R =8π3mβ
J2ψ
νr
teniendo en cuenta que Jψ = 2πh,
R =2πmβ
h2νr
244 Capítulo – 10. Variables acción – ángulo
Capítulo 11
Mecánica de medios continuos
11.1. Introduction
Aunque la mecánica de medios continuos no tiene porque ceñirse a la me-
cánica de fluidos, si que podemos considerar a la mecánica de fluidos como un
ejemplo típico de mecánica de medios continuos. Por esta razón vamos a utili-
zar la mecánica de fluidos como un medio para estudiar la mecánica de medios
continuos.
11.2. Noción del continuo
Esta hoy en día perfectamente asumido que la materia es discreta, esto es
está formada por átomos, los cuales a su vez están compuestos por núcleos y
electrones "girando.entorno a sus núcleos. Estos a su vez estan compuesto por
otras partículas los cuales a su vez estan compuesto por otras partículas, etc. No
obstante podemos todavia en ciertos problemas considerar a la materia como
continua esto es con propiedades macroscópicas que son función continua de
la posición en el seno de la materia. Para analizar en que condiciones podemos
considerar a la materia como un continuo. Considerar el concepto de densidad
ρ. Para definir la densidad en un punto, devemos de tomar un volumen muy pe-
queño entorno a dicho punto y calcular la densidad como la suma de las masas
246 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
de las partículas contenidas en dicho volumen y lo dividiremos por el volumen
ρ(δVx ) =∑
i m(i )
δVx
Si el volumen es muy pequeño el anterior valor fluctuará fuermente cuando va-
yamos de un punto a otro, aunque sea próximo, pues el valor de la densidad de-
penderá de si hemos cogido alguna partícula o no dentro de nuestro volumen
elemental, con lo que la idea de un valor de la densidad función continua de la
posición no es posible. Así mismo si cambiamos el tamaño de nuestro volumen
la densidad cambiará fuertemente pues como antes es psoible que el numero de
partículas contenidas en el interior del volumen varíe fuertemente y por tanto
nuestra definición de densidad dependerá enormemente del volumen elegido
para definirla. Si vamos aumentando nuestro volumen, poco a poco se irá esta-
bilizando el valor de la densidad hasta que este apenas varie pues la inclusión
de nuevas partículas no va alterar el valor de la densidad. Sea V0 el valor para el
cual esto ocurre. Si dicho valor es muy pequeño frente al tamaño macroscópico
del problema que nos ocupa, podemos considerar a la densidad definida en ese
volumen como un valor local, en realidad la vamos a tomar como la densidad
en el punto origen de dicho volumen, esto es
ρ(x)= ρ(δV0)
El problema surge cuando dicho volumen es grande comparado con el tamaño
del problema de tal forma que no lo podemos considerar como local. En estas
condiciones debemos de acudir a otra teoría como puede ser la teoría cinética
de gases. Lo mismos que hemos hecho para la densidad se puede hacer para
otras propiedades macroscopicas como son la velocidad, la temperatura, la pre-
sión etc. En cualquier casos vamos a suponer que todas estas propiedades son
función continua de la posición, salvo en un conjunto de medida nula.
11.3 Concepto de flujo 247
11.3. Concepto de flujo
En los problemas de sistemas de partículas, se supone que tenemos resuel-
to nuestro problema cuando conocemos la treyectoria de cada una de las par-
tículas, esto es cuando tenemos funciones de la forma xi = xi (xi 0, t ) que nos
permiten conocer la posición de la partícula en cada instante como función de
la posición inicial. En el caso de mecanica de medios continuos vamos a tener
una infinitud no numerable de partículas y en vez de tener un índice que nos las
cuente tendremos un numero (o numeros) real (reales). Sea ξ el parámetro que
nos designa las partículas del medio continuo, Este parámetro puede ser por
ejemplo la posición en un instante inicial. Como antes supondremos que existe
un mapa o aplicación que nos lleva cada partícula ξ en un instante dado a la
posición en un instante posterior. Esto es supondremos que existe una función
ψ tal que
x =ψt (ξ)= x(ξ, t )
Vamos a suponer que se verifican las siguientes propiedades
1. La aplicación ψt (ξ) es una aplicación uno a uno y la inversa es tambien
uno a uno. Esto significa que una partícula no se puede dividir en dos y
que dos partículas no se pueden juntar y dar lugar a una nueva partícula.
2. La aplicación ψt (ξ) es una función continua y con derivada continua de
la posición ξ, de tal forma que el fluido se puede deformar todo cuanto
queremos sin llegar a romperse. La aplicación inversa verifica tambien es-
tas propiedades. En estas condiciones diremos que la aplicación ψ es un
difeomorfismo
3. La aplicaciónψt tiene las propiedades de un grupo, de tal forma queψt+s =ψtψs , ψ0 es la identidad y ψ−t es el elemento inverso de ψt . Este grupo re-
cibe el nombre de grupo uniparamétrico.
248 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
11.4. Imagenes euleriana y lagrangiana
El estudio de los fluidos se puede abordar desde dos imagenes o visiones
diferentes. En primer lugar podemos fijarnos en cada una de las partículas que
componen el fluido1 y analizar que ocurre con cada una de ellas en el curso del
tiempo. Esto constituye la imagen lagrangiana del fluido. O bien en vez de ver
que le ocurre a cada partícula podemos ver que pasa en cada punto del espacio
en cada instante de tiempo. En este caso hablaremos de imagen euleriana. La
imagen euleriana equivale a una teoría de campos. >Que relación existe entre
una y la otra ?. Para ello imaginemos una propiedad de una partícula ξ que en el
instante t se encuentra en el punto x. Obviamente dicha propiedad coincidirá
con la propiedad del punto x en dicho instante. Así pues
P (ξ, t )=P (x(ξ, t ), t )
La anterior ecuación nos dice, que la propiedad P que tiene la partícula ξ en
el instante t , coincide con el valor de la propiedad P en el punto x en el cual
está la partícula ξ en el instante t . Así mismo la propiedad P en el punto x en el
instante t coincidirá con la propiedad de la partícula que este en ese instante en
dicho punto
P (x(ξ, t ), t )=P (ξ, t ) (11.1)
11.5. Derivada másica
Es interesante poder relacionar las variaciones temporales que tiene una
propiedad P en las dos imagenes de Lagrange y Euler. Esta cuestión es funda-
menteal pues las leyes de la mecánica y la termodinámica son leyes que se apli-
can a un sistema mecánico o termico fijado de antemano. Cuando aplicamos la
leyes de Newton, lo primero que hacemos es fijar el sistema mecánico y luego
anlaizamos cuales su evolución en el tiempo. Esto significa cuando apliquemos
estas misma leyes en mecánica de fluido que debemos de fijar a que partícu-
1La idea de partícula aquí, no es el mismo que en la mecánica de sistemas, pues estamos su-poniendo que el medio es continuo. Una partícula aquí es un pequeño volumen en torno a unpunto dado.
11.5 Derivada másica 249
las se las debemos de aplicar esto es debemos de utilizar la imagen lagrangiana
para poder aplicar las leyes de Newton. Lo mismo sucede con las leyes termo-
dinámicas. Ahora bien es normal que conozcamos las propiedades espaciales y
por tanto tengamos un conocimiento euleriano del sistema. >como relacionar
las variaciones temporales en una imagen y otra ?. La respuesta está en las ecua-
ciones dadas en la sección anterior. Partiendo de la expresión (11.1) y derivando
respecto del tiempo, manteniendo ξ constante,
DP
Dt=
∂P (x(ξ, t ), t )
∂t
∣
∣
∣
∣
x+∂P (x(ξ, t ), t )
∂x
∂x(ξ, t )
∂t
∣
∣
∣
∣
ξ
Ahora bien∂x(ξ, t )
∂t
∣
∣
∣
∣
ξ
no es otra cosa que la velocidad de la partícula ξ en el instante t que por la mis-
ma ecuacion (11.1) es la velocidad en el punto x ocupado en ese instante por la
partícula ξ, por lo tanto tenemos
DP
Dt=
∂P (x(ξ, t ), t )
∂t
∣
∣
∣
∣
x+v(x, t ) ·
∂P (x(ξ, t ), t )
∂x(11.2)
La cantidad∂P (x(ξ, t ), t )
∂t
∣
∣
∣
∣
x
recibe el nombre de variación local de la proiedad P y
v ·∂P (x(ξ, t ), t )
∂x= v ·GRADP
recibe el nombre de advección de la propiedad P . Podemos poner por tanto
DP
Dt=
∂P
∂t
∣
∣
∣
∣
x+v ·GRADP . (11.3)
Podemos aplicar la anterior ecuación para calcular la aceleración de una partí-
cula del fluido a partir del campo de velocidades. En este caso P = v y por tanto
a =Dv
Dt=
∂v
∂t
∣
∣
∣
∣
x+v ·GRADv (11.4)
250 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
Respecto de la anterior ecuación debemos de decir que mientras Dv/Dt es una
verdadera aceleración la cantidad ∂v/∂t no es una aceleración si no la variación
local de la velocidad. Mientras que Dv/Dt es la propiedad de una burbuja deter-
minada, ∂v/∂t afecta a burbujas diferentes y por tanto no se puede considerar
como propiedad de una partícula determinada. Vamos a ver un ejemplo que
nos permita ver la diferencia entre ambos términos. Para ello considerar que
estais en una plácida tarde de verano bajo la sombra de una magnífica encina
observando la marcha de un rio en la cercania de a unos rápidos del mismo.
Supuesto que el flujo es estacionario, observais que los pequeños troncos y ra-
mas que transporta el rio al pasar por delante de vosotros mantienen la misma
velocidad, pero que, según se acercan a los rápidos estos van aumentando de
velocidad. >Que es lo que sucede ?. Pues que, cuando nosotros observamos que
todos los troncos que pasan delante de nuestros ojos tienen la misma velocidad,
estamos evaluando la variación local de velocidad, como todos lo troncos tienen
la misma, este término es nulo. Ahora bien cuando nos fijamos en uno de ellos,
vemos que se acelera cuando se acerca a los rapidos. >Cual es la aceleración de
uno de estos troncos? . Pues obviamente la diferencia de velocidades dividido
por la diferencia de tiempos∆v
∆t
ahora bien ∆t =∆x/v, por lo que la aceleración vale
v∆v
∆x
en el límite cuando ∆x tiende a cero obtenemos
v∂v
∂x
La cantidad v ·GRADv recibe el nombre de advención de velocidad. Desde un
punto de vista puramente matématico esta cantidad constituye la derivada de
Lie del campo vectorial v a lo largo del campo integral del propio campo v. El
operador GRAD no es otra cosa que la derivada covariante. Empleando el sim-
bolo ∇ en vez del GRAD para designa al gradiente del campo de velocidades, el
11.5 Derivada másica 251
término adventivo lo podemos poner como
v∇v
En un lenguaje de diadas podemos considerar al gradiente de velocidades como
la diada ∇v y la anterior expresión como la aplicación a la izquierda de la diada
∇v, por tanto tenemos
(v ·∇)v
término que en coordenadas cartesianas eulerianas toma la forma,
[(v ·∇)v]i =(
vα∂
∂xα
)
vi
donde con el subindice α repetido queremos indicar una suma en α.
Ejemplo 11.1 Considerar el fujo definido por el conjunto de ecuaciones
x = ξt
y = η(1+ t 2)
z = ζ(1+ t )2
Calcular la velocidad y aceleración del anterior flujo tanto en la imagen lagran-
giana como en la imagen euleriana.
SOLUCCION
De acuerdo con la definición la velocidad lagrangiana viene dada por la expre-
sión v = (∂x/∂t )ξ, por lo que derivando las anteriores ecuaciones respecto a t
manteniendo constantes ξ,η,ζ, tenemos
vx (ξ,η,ζ, t ) = ξ
vy (ξ,η,ζ, t ) = 2ηt
vz (ξ,η,ζ, t ) = 2ζ(1+ t )
252 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
Para caclcular la imagen euleriana debemos de utilizar las ecuaciones del flujo
para eliminar ξ,η,ζ, resultando
vx (x, y, z, t ) =x
t
vy (x, y, z, t ) = 2yt
1+ t 2
vz (x, y, z, t ) = 2z1
(1+ t )
Para calcular la aceleración partiendo de la expresión de la velocidad en la ima-
gen lagrangiana, solo debemos de derivar respecto del tiempo, por lo que
ax (ξ,η,ζ, t ) = 0
ay (ξ,η,ζ, t ) = 2η
az (ξ,η,ζ, t ) = 2ζ
que utilizando las ecuaciones del flujo podemos escribir en la imagen euleriana
ax (x, y, z, t ) = 0
ay (x, y, z, t ) = 2y1
1+ t 2
az (x, y, z, t ) = 2z1
(1+ t )2
Ahora bien si partimos de la expresión euleriana de la velocidad para calcular
la aceleración debemos de emplear la expresión Dv/Dt para calcular la acelera-
ción
ax (x, y, z, t ) =∂vx
∂t+ (vα
∂
∂xα)vx = 0
ay (x, y, z, t ) =∂vy
∂t+ (vα
∂
∂xα)vy = 2y
1
1+ t 2
ay (x, y, z, t ) =∂vz
∂t+ (vα
∂
∂xα)vz = 2z
1
(1+ t )2
siendo(
vα∂
∂xα
)
= vx∂
∂x+vy
∂
∂y+vz
∂
∂z
11.5 Derivada másica 253
obteniendo los mismos resultados que a través de la imagen lagrangiana. Ob-
servesé que cuando calculamos la aceleración a partir de la imagen euleriana
obtenemos la aceleración tambien en la imagen euleriana.
Ejemplo 11.2 Calcular la expresión de la diada (∇v) en coordenadas cilíndricas.
SOLUCCIÓN
El operador ∇ en cilíndricas vale
∇= r∂
∂r+θ
1
r
∂
∂θ+k
∂
∂z
y
v = vr r+vθθ+vz k
siendo (vr , vθ, vz ) las componentes físicas de la velocidad en cilíndricas (vr =r , vθ = r θ, vz = z). Aplicando el operador ∇ a la velocidad v, obtenemos
∇v = rr∂vr
∂r+rθ
∂vθ
∂r+rk
∂vz
∂r+
θr1
r
∂vr
∂θ+θθ
1
r
∂vθ
∂θ+θk
1
r
∂vz
∂θ+
kr∂vr
∂z+kθ
∂vθ
∂z+kk
∂vz
∂z+
vr
rθ∂r
∂θ+
vθ
rθ∂θ
∂θ
donde hemos tenido en cuenta que la derivada de los vectores base respecto de
r y z vale cero. Dado que∂r
∂θ= θ
y que∂θ
∂θ=−r
254 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
obtenemos
∇v = rr∂vr
∂r+rθ
∂vθ
∂r+rk
∂vz
∂r+
θr(−vθ
r+
1
r
∂vr
∂θ)+θθ(
vr
r+
1
r
∂vθ
∂θ)+θk
1
r
∂vz
∂θ+
kr∂vr
∂z+kθ
∂vθ
∂z+kk
∂vz
∂z
Si aplicamos el anterior operador al vector v por la izquierda, obtenemos
v ·∇v = vr
(
r∂vr
∂r+θ
∂vθ
∂r+k
∂vz
∂r
)
+
vθ
(
r(−vθ
r+
1
r
∂vr
∂θ)+θ(
vr
r+
1
r
∂vθ
∂θ)+k
1
r
∂vz
∂θ
)
+
vz
(
r∂vr
∂z+θ
∂vθ
∂z+k
∂vz
∂z
)
que reordenando
v ·∇v = r
(
vr∂vr
∂r+
vθ
r
∂vr
∂θ+vz
∂vr
∂z−
v2θ
r
)
+
θ
(
vr∂vθ
∂r+vθ(
vr
r+
1
r
∂vθ
∂θ)+vz
∂vθ
∂z
)
+
k
(
vr∂vz
∂r+vθ
1
r
∂vz
∂θ+vz
∂vz
∂z
)
La traza del tensor ∇v = ∂vα/∂xα constituye la divergencia del campo, por lo que
∇·v =∂vr
∂r+
1
r
∂vθ
∂θ+∂vz
∂z+
vr
r
11.6. Líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión
11.6.1. Líneas de corriente
Se define una línea de corriente como aquella curva en el espacio que en
un instante determinado t es tangente al campo de velocidades en cada punto
11.6 Líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión 255
del espacio. Es como una imagen instantanea del campo de velocidades del flui-
do. La ecuación de la línea de corriente vendrá dada por una expresión del tipo
x = x(s) siendo s un cierto parámetro. En coordenadas cartesianas eulerianas, el
vector tangente a la curva tiene por componentes (dx/ds, d y/ds, dz/ds) Puesto
que este campo es tangente al campo de velocidades, sus componentes han de
ser proporcionales, por lo que
dx/ds
vx (x, y, z, t )=
d y/ds
vy (x, y, z, t )=
dz/ds
vz (x, y, z, t )
que podemos poner de diferentes formas. Eliminando ds
dx
vx (x, y, z, t )=
d y
vy (x, y, z, t )=
dz
vz (x, y, z, t )(11.5)
que nos permite obtener un par de superficies cuya intersección nos da la línea
buscada. Podemos tambien utilizar como ecuación de las líneas de corriente las
expresiones
dx
ds= vx (x, y, z, t )
d y
ds= vy (x, y, z, t ) (11.6)
dz
ds= vx (x, y, z, t )
que nos permite obtener las ecuaciones paramétricas. En todas las expresiones
anteriores el tiempo juega el papel de parámetro y denota el instante en el que
estamos calculando la línea de corriente. Las ecuaciones y por tanto lás líneas de
corriente cambian de un instante a otro excepto si el tiempo no está presente en
la expresión del campo de velocidades. En esta asituación diremos que el flujo
es estacionario
256 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
11.6.2. Trayectorias
Como en la mecánica de sistemas, la trayectoria es la curva integral del cam-
po de velocidades, esto es
dx
dt= vx (x, y, z, t )
d y
dt= vy (x, y, z, t ) (11.7)
dz
dt= vx (x, y, z, t )
En este caso el tiempo juega el papel de variable independiente y no de simple
parámetro como sucedía en el caso de las líneas de corriente. En el caso en que
flujo sea estacionario el tiempo no está presente en la expresión de campo de
velocidades por lo que formalmente las expresiones para las líneas de corriente
y las trayectorias son identicas por lo que ambas curvas coinciden.
11.6.3. Líneas de emisión
Son las curvas más facilmente obtenibles de forma experimental, basta in-
yectar un colorante, por ejemplo mediante una aguja hipodérmica, en el seno
del fluido. Todos los punto de la curva cumplen la condición de haber pasado
en un instante determinado por el punto de emisión del colorante. Así pues lla-
maremos curva de emisión la curva que une equellos puntos materiales que han
pasado en un cierto instante po una posición dada en el seno del fluido. Para ver
las ecuaciones de las curvas de emisión consideremos la definición de flujo
x = x(ξ, t )
Vamos a evaluar a partir de la anterior expresión que partículas han pasado por
un cierto punto y en el instante s tal que 0 ≤ s ≤ t . Puesto que la anterior expre-
sión es invertible, estas partículas vendran dadas por la expresión
ξ= ξ(y, s)
11.6 Líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión 257
una vez que conocemos las partículas, vamos a ver que posición ocupan en un
cierto instante t , sustituyendo la anterior extresión en la ecuación del flujo
x = x(ξ(y, s), t ) (11.8)
En la anterior expresión, s juega el papel de parámetro que nos describe la cur-
va y t el instant en el que consideramos la curva. La línea de emisión al igual
que la línea de corriente está formada por diferentes partículas, mientras que
la trayectoria se refiere a la curva descrita por una única partícula. En el caso
de flujo estacionario, la línea de emisión coincide con la líneas de corriente y la
trayectoria.
ç
Ejemplo 11.3 Considerar el campo de velocidades vx = x/(1+ t ), vy = y, vz = 0.
Calcular las expresiones de las líneas de corriente, trayectorias y lineas de emi-
sión.
SOLUCCIÓN
Para el cálculo de las líneras de corriente emplearemos la expresión
dx
vx=
d y
vy=
dz
vz
que en nuestro caso partícular toma la forma
dx
x/(1+ t )=
d y
y=
0
dz
Está claro que las líneas de corriente deben de obtenerse a lo largo de los planos
z = constante. Integrando la primera igualdad
(1+ t ) log(x
x0) = log(
y
y0)
de dondey
y0=
(
x
x0
)1+t
258 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
siendo t un parámetro. Por ejemplo para t = 0 serán rectas, mientras que para
t = 1 serán parábolas.
Para el cálculo de la trayectoria, tenemos
dx
dt=
x
1+ td y
dt= y
dz
dt= 0
integrando, obtenemos
x
x0= 1+ t
y
y0= exp(t )
z = constante
eliminando t , obtenemos
y = y0 exp
(
x
x0−1
)
Para el cálculo de las líneas de emisión, transformamos la ecuación de la
trayectoria en una ecuación para el flujo, llmando ξ= x0 y η= y0, obtenemos
y = ηe t
x = ξ(1+ t )
>Que partículas han pasado por el punto (a, b) en un cierto instante s? Basta
eliminar de las expresiones del flujo (ξ,η),
ξ =a
1+ sη = be−s
sustotiyendo en la expresión del flujo para evaluar en que posición se encuen-
11.7 Estudio de la deformabilidad del continuo 259
tran las partículas en el instante t obtenemos
y = be(t−s)
x =a
1+ s(1+ t )
11.7. Estudio de la deformabilidad del continuo
Una de las propiedades del continuo es su capacidad de sufrir deformacio-
nes sin romperse, pues según nuestras hipótesis le fluido no se rompe, salvo en
un conjunto de medida nula.
11.7.1. Deformación del vector desplazamiento, vector superficie y vo-
lumen
Vector desplazamiento
Vamos a considerar que tenemos dos partículas próximas cuya posición re-
lativa en un instante inicial viene dada por el vector δξ. En el curso del tiempo
las partículas cambian de posición de tal forma que en un cierto instante t la po-
sición relativa viene dada por el vector δx. Supuesto que no haya transcurrido
un intervalo de tiempo muy grande y dada nuestra hipótesis de que dos partícu-
las muy próximas van a parmanece proximas, podemos suponer que existe una
relación líneal entre ambos vectores, esto es supondremos que
δx i =∂x i
δξ jδξ j
Expresada en forma vectoria la anterior relación, tenemos
δx = GRADξx ·δξ
Esta ecuación nos dice como se deforman los vectores desplazamientos.
260 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
Vector superficie
Vamos a ver como se deforman los elementos de superficie. Como sabemos
la ecuación paremetríca de una superficie viene dada por una expresión de la
forma
x = x(u, v)
estando los parámetros (u, v) definidos en un cierto dominio de R2. El elemento
de superficie se puede expresar como
δσ= δx×δy
siendo δx y δy sendos vectores a lo largo de las líneas coordenadas v = cte y u =cte respectivamente. En coordenadas cartesianas eulerianas las componentes
las podemeos poner como
δσi = ǫi j kδx jδy k
ahora bien de acuerdo a las expresiones para la deformación de los desplaza-
mientos, δx i = ∂x i /∂ξ jδξ j , podemos poner
δσi = ǫi j k∂x i
∂ξp
∂xk
∂ξqδξpδηq
multiplicando por ∂x i /∂ξr , tenemos
∂x i
∂ξrδσi = ǫi j k
∂x i
∂ξr
∂x i
∂ξp
∂xk
∂ξqδξpδηq
de la definición de Jacobiano,
∂x i
∂ξrδσi = ǫpqr Jδξpδηq
ahora bien puesto que
ǫpqrδξpδηq = δΣr
11.7 Estudio de la deformabilidad del continuo 261
siendo δΣr el elemento de superficie en el instante inicial, tenemos
∂x i
∂ξrδσi = JδΣr
que en forma vectorial podemos poner
GRADξx ·δσ(x) = Jδσ(ξ)
que no dice como se deforman los elementos de superficie.
Volumen
Mutiplicando a la izquierda y a la derecha por δξr , obtenemos
δξr ∂x i
∂ξrδσi = JδΣrδξ
r
ahora bien, la cantidad
δΣrδξr = δV (ξ)
representa el elemento de volumen en el instante inicial, minetras que
δξr ∂x i
∂ξrδσi = δx iδσi = δV (x)
representa el elemento de volumen en el instante t , por lo que podemos escribir,
δV (x) = JδV (ξ)
que nos dice como se deforman los elementos de volumen. Podemos invertir las
ecuaciones que nos dan las deformaciones y escribir
δξ = GRADxξ ·δx
GRADxξ ·δσ(ξ) = jδσ(x)
δV (ξ) = jδV (x)
siendo j el inverso del jacobiano J.
262 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
Nos interesa ahora en analizar como se deforma no las componentes de los
vectores si no sus valores absolutos, para ello consideremos que
ds2 = dx i dx i =∂x i
∂ξ j
∂x i
∂ξkδξ jδξk
LLamemos C al tensor
C| j k =∂x i
∂ξ j
∂x i
∂ξk
tendremos
ds =
√
δξ
|δξ|C
δξ
|δξ||δξ|
puesto que δξ/|δξ| = M es un vector unitario, la cantidad
λ=dsx
dsξ=p
MCM
nos da la tasa de extensión o estiramiento,
11.8. Velocidad de deformacion de los elementos de lon-
gitud, superficie y volumen
En la sección anterior nos hemos preocupado de estudiar como se defor-
man los elementos de longitud, superficie y volumen, vamos a analizar en esta
sección a que velocidad lo hacen. Para ello vamos a considerar en primer lugar
la velocidad de deformación del vector desplazamiento elemental,
D
Dt(δx i ) =
∂
∂tξ(δx i ) =
pasando a coordenadas lagrangianas
=∂
∂tξ
(
∂x i
∂ξ jδξ j
)
=∂
∂tξ
(
∂x i
∂ξ j
)
δξ j =∂
∂ξ j
(
∂x i
∂t
)
δξ j =∂v i
∂ξ jδξ j
11.8 Velocidad de deformacion de los elementos de longitud, superficiey volumen 263
volviendo otra vez a las coordenadas eulerianas,
D
Dt(δx i ) =
∂v i
∂ξ jδξ j =
∂v i
∂xk
∂xk
∂ξ jδξ j =
∂v i
∂xkδxk = δv i
en forma vectorial podemos escribir la anterior expresión como
D
Dt(δx) =δv = GRADv ·δx
Multiplicando por δx,
δx ·D
Dt(δx) = δx ·GRADv ·δx
Teniendo en cuenta que δs2 = δx ·δx es por lo que
δsDδs
Dt= δx ·
D
Dt(δx)
y por tanto
δsDδs
Dt=δx ·GRADv ·δx
dividiendo por δs2
1
δs
Dδs
Dt= M ·GRADv ·M (11.9)
siendo M el vector unitario
M =δx
δs
En cuanto a la variación temporal del elemento de superficie tenemos,
D
Dt
(
∂x i
∂ξ jδσi
)
=∂
∂tξ(JδΣ j ) =
∂J
∂tξδΣ j
puesto que el jacobiano J tiene por expresión
J =1
3!ǫi j kǫ
pqr ∂x i
∂ξp
∂x j
∂ξq
∂xk
∂ξr
tenemos∂J
∂tξ= 3
1
3!ǫi j kǫ
pqr ∂
∂tξ
(
∂x i
∂ξp
)
∂x j
∂ξq
∂xk
∂ξr=
264 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
= 31
3!ǫi j kǫ
pqr
(
∂v i
∂ξp
)
∂x j
∂ξq
∂xk
∂ξr= 3
1
3!ǫi j kǫ
pqr
(
∂v i
∂x l
∂x l
∂∂ξp
)
∂x j
∂ξq
∂xk
∂ξr=
= 3∂v i
∂x l
1
3!ǫi j kǫ
pqr ∂x l
∂∂ξp
∂x j
∂ξq
∂xk
∂ξr= 3
∂v i
∂x l
1
3!ǫi j kǫ
l j k J
Ahora bien puesto que
ǫi j kǫl j k = 2δl
i
tenemos∂J
∂tξ= 6
1
3!
∂v i
∂x lδl
i J =∂v i
∂x iJ = DIVvJ
Así pues hemos obtenido el importante resultado que
D
DtJ = J DIVv (11.10)
sustituyendo,∂
∂tξ
(
∂x i
∂ξ jδσi
)
= DIVvJδΣ j
desarrollando el miembro de la izquierda
∂
∂tξ
(
∂x i
∂ξ jδσi
)
=∂
∂tξ
(
∂x i
∂ξ j
)
δσi +∂
∂tξ(δσi )
∂x i
∂ξ j
puesto que∂
∂tξ
(
∂x i
∂ξ j
)
=∂v i
∂ξ j
tenemos∂
∂tξ
(
∂x i
∂ξ jδσi
)
=∂v i
∂ξ jδσi +
∂x i
∂ξ j
∂
∂tξ(δσi ) = DIVvJδΣ j
despejando,
∂x i
∂ξ j
∂
∂tξ(δσi ) = DIVvJδΣ j −
∂v i
∂ξ jδσi = DIVvJδΣ j −
∂v i
∂xk
∂xk
∂ξ jδσi
intercambiando los índices i y k en el último término del segundo miembro,
∂x i
∂ξ j
∂
∂tξ(δσi )= DIVvJδΣ j −
∂vk
∂x i
∂x i
∂ξ jδσk
11.8 Velocidad de deformacion de los elementos de longitud, superficiey volumen 265
teneiendo en cuenta que
JδΣJ =∂x i
∂ξ jδσi
tenemos∂x i
∂ξ j
∂
∂tξ(δσi ) = DIVv
∂x i
∂ξ jδσi −
∂vk
∂x i
∂x i
∂ξ jδσk
sacando factor común a (∂x i /∂ξ j ) y anulando, tenemos
D
Dtδσi = DIVvδσi −
∂vk
∂x iδσk
que en forma vectorial resulta
D
Dtδσ= DIVvδσ−GRADv ·δσ (11.11)
multiplicando por δσ
δσD
Dtδσ= DIVvδσ ·δσ−δσ ·GRADv ·δσ
teniendo en cuenta que
δσD
Dtδσ=
1
2
D
Dt|δσ|2
obtenemos1
2
D
Dt|δσ|2 = DIVv|δσ|2 −N ·GRADv ·N|δσ|2
siendo N el vector unitario
N =δσ
|δσ|
diviendiendo por |δσ|2 tenemos
1
|δσ|D
Dt|δσ| = DIVv−N ·GRADv ·N (11.12)
que nos da la tasa de expansión del valor absoluto del elemento de superficie.
En cuanto a la tasa de expansión del elemento de volumen, tenemos
D
DtVx =
∂
∂tξ(JVξ) =
∂J
∂tξVξ = DIVvJVξ = DIVvVx
266 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
donde hemos tenido en cuenta que Vx = JVξ y que D J/Dt = DIVvJ, así pues
1
Vx
D
DtVx = DIVv (11.13)
que nos da la tasa de expansión relativa del elemento de volumen.
11.9. Teorema de conservación de la masa
Consideremos una porción de materia que no pierde su individualidad en el
curso del tiempo, o sea, está compuesto por las mismas partículas. En el curso
del tiempo esta porción de materia se deformará cuanto quiera pero siempre
tendrá la misma masa pues esta compuesto simpre de las mismas partículas,
así pues δMξ = δMx y por tanto ρξδVξ = ρxδVx . Vimos antes que
Vx = JVξ
y por tanto
ρξ = Jρx (11.14)
de donde se deduce que la densidad no es una magnitud escalar si no una densi-
dad tensorial de peso uno. Tomando la derivada másica (las partículas que com-
ponen la porción del fluido son siempre las mismas)
D Jρx
Dt=
Dρξ
Dt=
∂
∂tξρξ = 0
ahora bienD Jρx
Dt= J
Dρx
Dt+ρx
D J
Dt
y puesto queD J
Dt= J DIVv
tenemos
JDρx
Dt+ρx J DIVv = 0
11.10 Tensor velocidad de deformación 267
y puesto que el jacobiano es distinto de cero, resulta
Dρx
Dt+ρx DIVv = 0 (11.15)
que es la ecuación de continuidad. Teniendo en cuenta que
Dρx
Dt=
∂
∂tρx +GRADρx
la ecuación de continuidad la podemos escribir en coordendas eulerianas como
∂
∂tρx +DIV(ρx v) = 0 (11.16)
La cantidad (ρx v) expresa el flujo de masa a través de una superficie y la diver-
gencia de esta cantidad espresa cuanta masa se ha ganado o perdido a través de
una superficie cerrada fija en el espacio y por tanto expresa la variación de la
densidad, pues el volumen encerrado por la superficie es el mismo.
11.10. Tensor velocidad de deformación
Tanto en el estudio de la velocidad de deformación de los elementos de linea
y superficie aparece el tensor GRADv, vamos a a analizar con mayor profundidad
este tensor. En coordenadas cartesianas eulerianas este tensor tienes por expre-
sión∂vi
∂x j
que podemos descomponer en su parte simétrica y antisimétrica de la siguiente
manera∂vi
∂x j=
1
2
(
∂vi
∂x j+∂v j
∂x i
)
+1
2
(
∂vi
∂x j−∂v j
∂x i
)
Designemos por
ei j =1
2
(
∂vi
∂x j+∂v j
∂x i
)
a la parte simétrica y
Ωi j =1
2
(
∂vi
∂x j−∂v j
∂x i
)
268 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
a la parte antisimétrica. Utilizando estos nuevos tensores, la tasa de deforma-
ción del elemento de longitud resulta ser
1
δs
D
Dtδs =
δx i
δs(ei j +Ωi j )
δx j
δs
Se tiene por otra parte que el producto contraido de un tensor simétrico y otro
antisimétrico es nulo, por lo que en la anterior expresión resulta que
δx i
δsΩi j
δx j
δs=Ωi j
δx i
δs
δx j
δs= 0
pues Ωi j es antisimetrico por construcción y
δx i
δs
δx j
δs
es simétrico. Así pues1
δs
D
Dtδs =M ·E ·M
siendo E la parte simétrica del tensor GRADv. Este tensor recibe el nombre de
Tensor velocidad de deformación. Vamos a ver el significado de sus elemen-
tos. Para ello consideremos un vector desplazamiento elemental que tiene como
componentes (δx1,0,0), esto es un vector de longitud δs =δx1 situado a lo largo
del eje 1, la tasa de deformación de este vector vale
1
δs
D
Dtδs =
1
δx1
D
Dtδx1 = Mi ei j M j =δi
1ei jδj1 = e11 =
∂v1
∂x1
Así pues e11 representa la tasa de extensión relativa de un vector situado a lo lar-
go del eje 1, lo mismo sucederá cono el eje 2 y eje 3. Podemos concluir por tanto
que los elementos de la diagonal del tensor velocidad de deformación represen-
tan la tasa de extensión de sendos vectores situados a lo largo de cada eje. La
traza del tensor viene dada por
∂v1
∂x1+∂v2
∂x2+∂v3
∂x3
11.10 Tensor velocidad de deformación 269
que la divergencia del tensor y como vimos antes representa la tasa de cambio
del elemento de volumen. Para ver que representan los elementos fuera de la
diagonal, considerar dos vectores desplazamiento que forman un cierto ángulo
entre ellos El coseno del angulo podemos calcularmo como el producto escalar
Θ
δx
δy
Figura 11.1:
entre los dos vectores
δx ·δy =δsδs′ cosΘ= δx iδy i
siendo δs y δs′ la longitud de los vectores. Derivanda en ambos miembros tene-
mosD
Dt(δsδs′ cosΘ) =
D
Dt(δx iδy i )
expandiendo las derivadas,
D
Dt(δs)δs′ cosΘ+δs
D
Dt(δs′)−δsδs′ senΘ
D
DtΘ= δv i
xδy i +δv iyδx i
tomando Θ=π/2,
−δsδs′D
DtΘ|90 = δv i
xδy i +δv iyδx i =
∂v i
∂xkδxkδy i +
∂v i
∂xkδx iδy k
cambiando los indices repetidos del último témino del segundo miembro,
−δsδs′D
DtΘ|90 =
∂v i
∂xkδxkδy i+
∂vk
∂x iδxkδy i =
(
∂v i
∂xk+∂vk
∂x i
)
δxkδy i =−2ei kδxkδy i
270 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
dividieno por δsδs′, tenemos
D
DtΘ|90 =−2M i ei j M
′ j
siendo M i , M′i sendo vectores unitarios en la dirección de los vectores δx, δy
Suponer ahora que tomamos los dos vectores a lo largo de dos vectores base de
una base ortogonal, por ejemplo uno a lo largo del eje x y el otro el eje y , en este
caso M i = δi1 y M
′i =δi2 por tanto
D
DtΘ|90 =−2δi
1ei jδj
2 =−2e12
Así pues e12 representa la velocidad a la que dos vectores situados a lo largo del
los ejes 1,2 se estan acercando o alejando. Para ilustrar de forma gráfica lo que
acabamos de demostrar, considerar un punto en un fluido cuyas coordenadas
son (0,0), considerar un sistema de referencia ortogonal con origen en el an-
terior punto. Considerar otro dos puntos con coordenadas (δx,0) y (0,δy). La
[0, (∂v /∂x )δx ]
δα
δβ
[(∂u /∂y )δy , 0]
[0,0]
1
2∆x
∆y
Figura 11.2:
velocidad relativa de estos dos punto relativo al origen será, para el punto 1
δu =∂u
∂xδx +
∂u
∂yδy =
∂u
∂xδx
δv =∂v
∂xδx +
∂v
∂yδy =
∂v
∂xδx
11.10 Tensor velocidad de deformación 271
y para el punto 2
δu =∂u
∂xδx +
∂u
∂yδy =
∂u
∂yδy
δv =∂v
∂xδx +
∂v
∂yδy =
∂v
∂yδy
Consideremos únicamente el efecto transversal sobre cada punto, pues los efec-
tos longitudinales (δu para el punto 1 y δv para el punto 2) lo que hacen es sepa-
rar a ambos puntos respecto del origen. Debido a estos efectos transversales, la
recta unida al punto 1 barre un angulo δα y la recta unida al punto 2 barre un án-
gulo δβ. Considerando ángulos muy pequeños en los que podamos aproximar
el angulo por su seno o su tangente, tenemos
δα=∆y
δx=
1
δx
(
∂v
∂xδxδt
)
=∂v
∂xδt
y
δβ=∆x
δy=
1
δy
(
∂u
∂yδyδt
)
=∂u
∂yδt
y por tanto
dα
dt=
∂v
∂xdβ
dt=
∂u
∂y
La velocidad con la que el angulo de 90 grados va diminuyendo será
D
Dt(Θ) =−
(
dα
dt+
dβ
dt
)
=−(
∂v
∂x+∂u
∂y
)
=−2ex y
qjue es el resultado que obtuvimos antes de forma más rigurosa.
Según hemos visto en las secciones anteriores, e11, e22 y e33 representan la
tasa de extensión de sendos vectores situados a lo largo de los ejes (1,2,3). Obvia-
mente estas tasas de expansión dependeran de como hayamos elejido el sistema
de referencia. La pregunta que nos hacemos es >Cual es el sistema de referencia,
si existe, para el cual e11, e22 y e33 representen las máximas tasas de extensión ?.
272 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
Para contestar a esta pregunta recordemos que la tasa de extensión relativa vie-
ne dada por1
ds
D
Dtδs = mi ei j m j
siendo mi las componentes del vector unitario que nos marcan la dirección del
vector cuya tasa de extensión estamos analizando. Derivando respecto a mi e
gualando a cero. Teniendo en cuenta que los vectores son unitarios y por tan-
to mi mi −1 = 0 por lo que debemos de emplear un multipilczado de lagrange
tenemos∂
∂mk
(mi ei j m j +µ(1−mi mi )) = 0, k = 1,2,3
derivando
δi k ei j m j +mi ei jδ j k −2µδi k mi = 0
de donde
ek j m j +mi ei k −2µmk = 0
llamando i al indice mudo j en el primer término y dada la simetria de ei j tene-
mos
mi ei k −µmk = 0
que en forma de matriz
[E][M]=µ[M]
que es una ecuación en valores propios, cuyos autovalores son los multiplicado-
res de lagrange y los vectores propios son la direcciones que estamos buscando.
Como el tensor E es simétrico esta ecuación siempre tiene solucciones, asi pues
la base donde el tensor E es diagonal nos marca las direcciones en las que las ta-
sas de expansión son máximas y sus autovalores nos marcan cuales son las tasas
de expansión, pues en esta nueva base
[E]=
µ1 0 0
0 µ2 0
0 0 µ3
Como en esta nueva base los elementos fuera de la diagonal son ceros, sólo se
11.10 Tensor velocidad de deformación 273
estan produciendo estiramientos o contracciones a lo largo de los vectores base.
Volvamos a nuestro tensor gradiente de velocidades y analicemos su parte
antisimétrica
Ωi j =1
2
(
∂u i
∂x j−∂u j
∂x i
)
Este tensor tiene únicamente tres elementos distintos y le podemos asociar un
vector de tres componentes2 de la siguiente manera. De la definición de Ωi j
Ωi j =1
2
(
∂u i
∂x j−∂u j
∂x i
)
teniendo en cuenta que
δi jpq Apq = Ai j − A j i
tenemos que
Ωi j =1
2δ
pq
i j
∂vp
∂xq=
1
2ǫkpqǫki j
∂vp
∂xq=−
1
2ǫkqpǫki j
∂vp
∂xq
Ahora bien
ǫkqp ∂vp
∂xq= (∇×v)k = ξk
y por tanto
Ωi j =−1
2ǫki jξk =−
1
2ǫki j (∇×v)k
Multiplicando en ambos miembros por ǫli j tenemos
ǫli jΩi j =−1
2ǫli j ǫki jξk =−δk
l ξk =−ξl =−(∇×v)l
Así pues vemos que la parte antisimétrica del tensor gradiente de velocidades
coincide con el rotacional de dicho campo. >Que significado físico podemos
asociar al tensor Ωi j . Para ello fijemonos en la figura ??. La velocidad rotacio-
nal media vendra dada por
ω=1
2
(
dα
dt−
dβ
dt
)
2Este proceso de asociar un vector a un tensor antisimétrico de segundo orden solo es posibleen R
3
274 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
pues las variaciones de los angulos α y β son de signo contrario, perso según
vimo antes
dα
dt=
∂v
∂xdβ
dt=
∂u
∂y
de donde
ω=1
2
(
∂v
∂x−∂u
∂y
)
=1
2(∇×v)z
así pues el un medio del rotor nos da la velocidad angular de rotación media.
Hay que tener en cuenta que el fluido no es un sólido rígido y por tanto solo
podemos hablar de una velocidad angular media. Resumiendo, hemos visto que
la deformación relativa en el entorno de un punto viene dada por la diferencia
de velocidades entre un punto cualquiera de entorno y otro punto que tomamos
como origen, esto es por
δv i =∂v i
∂x jδx j
separando en las partes simetrica y antisimétrica tenemos
δv i = ei jδx j+Ωi jδx j = ei jδx j−1
2ǫki jξkδx j = ei jδx j+
1
2ǫi k jξkδx j = ei jδx j+(ω×δx)i
la primera parte mide la deformación mientras que la segunda parte mide la
rotación.
Ejemplo 11.4 Analizar el flujo bidimensional cuyo campo de velocidades viene
dado por la expresión
v = u(y)i
Este tipo de flujo rcibe el nombre de cizalla.
SOLUCCIÓN
11.10 Tensor velocidad de deformación 275
El tensor gradiente de velocidades viene dada por la expresión
GRADv =
∂u∂x
∂u∂y
∂u∂z
∂v∂x
∂v∂y
∂v∂z
∂w∂x
∂w∂y
∂w∂z
=
0 2β 0
0 0 0
0 0 0
siendo 2β= ∂u/∂y . Puesto que la traza del tensor es cero, la divergencia es cero
y por tanto el flujo es isócoro. La parte simétrica y antisimetrica valen
E=
0 β 0
β 0 0
0 0 0
, Ω=
0 β 0
−β 0 0
0 0 0
Puesto que los elementos de la diagonal del tensor E valen cero, no exisaten es-
tiramientoy contracciones en las direciones (i, j,k). Así mismo los ejes (x, y) se
estan acercando con una velocidad dada por β. Para ver en que dirección se
producen los máximos estiramientos diagonalizamos la matriz anterior. Como
en el eje z no existe flujo, vamos a preocuparnos únicamente de lo que pasa en
el plano (x, y). La diagonalización de la matriz
(
0 β
β 0
)
conduce a un par de autovalores, µ=±β y dos autovectores
v1 =1p
2(i+ j)
v2 =1p
2(−i+ j)
De acuerdo con lo dicho anteriormente el flujo prodeuce un estiramiento en las
direcciones dadas por los dos vectores anterioes. Supongamos que β> 0, como
µ=±β una de las direciones marcará un estiramiento y la otra una contracción.
Supongamos que el estiramiento se produce en la dirección v1 y la contracción
en la dirección v2. >Como son las lineas de corriente en torno a un punto dado
que tomamos como origen y con velocidad cero supuesto que el flujo única-
276 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
mente tenga en cuenta al tensor E ?. el campo de velocidades en torno a dicho
punto será
δv = Eδx
En la base (v1,v2)
δv =(
β 0
0 −β
)
δx
Un punto situado en el eje 1 tendrá como velocidad relativa
δv =(
β 0
0 −β
)(
δx1
0
)
=(
βδx1
0
)
y por tanto se estará elejando del origen tanto para punto s tomados en el semi-
eje positivo δx1 > 0 como el semieje negativo. Lo contario sucede para un punto
situado a lo largo del eje 2
δv =(
β 0
0 −β
)(
0
δx2
)
=(
0
−βδx2
)
Ahora los puntos situados en la parte positiva del eje se estan acercando al ori-
gen y los de la parte negativa también. >Que pasa para punto situados en los
antiguos ejes (x, y)
El punto de coordenadas δx(p
2,0) en la base antigua, tiene como coorde-
nadas δx(1,−1) en la base nueva y por tanto su velocidad será
δv =(
β 0
0 −β
)(
δx
−δx
)
=(
βδx
βδx
)
que es un vector dirigido en la dirección del eje +y original. Si consideramos
que el punto esta en δx(−1,1), esto es en la parte negativa del eje x de la base
antigua, ahora
δv =(
β 0
0 −β
)(
−δx
δx
)
=(
−βδx
−βδx
)
que es un vector dirigido hacia el eje −y de la base original. Si tomamos nuestro
punto en el eje +y de la base original, en la base nueva tiene por coordenadas
11.10 Tensor velocidad de deformación 277
δy(1,1) y por tanto
δv =(
β 0
0 −β
)(
δy
δy
)
=(
βδy
−βδy
)
que es un vector dirigido a lo largo del eje +x de la base original. Por el contrario
si el punto esta en el eje −y , en la base nueva tiene por coordenadas −δy(1,1) y
su velocidad relativa será
δv =(
β 0
0 −β
)(
−δy
−δy
)
=(
−βδy
+βδy
)
que es un vector dirigido a lo largo del eje −x de la base original. Podemos ex-
presar mediante la figura 11.3 todo lo dicho anteriormente. que constituye un
vv12
Figura 11.3:
movimiento de deformación pura sin cambio de volumen, pues su divergencia
es cero.
>Que pasa con la parte antisimétrica ?. En este caso según vimos antes
δv = ω×δx
siendo ω = 12∇× v. Teniendo en cuenta que en el caso que nos ocupa ∇× v =
278 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
−∂u/∂y k =−2βk, tenemos, ω=−βk, por lo que
δv =−βk×δx =(
βδy
−βδx
)
Si representamos este movimiento obtendremos una rotación en torno al ori-
gen, ver figura 11.4. Si superponemos los dos movimientos, vemos que en los
vv12
Figura 11.4:
vv12
Figura 11.5:
puntos a lo largo del eje x se anulan ambos flujos resultando una cizalla a lo lar-
go del eje y , ver la figura 11.5. Vemos pues que una cizalla es en realidad suma
de una rotación y una deformación pura sin cambio de volumen. Este resultado
es importante pues cerca de superficies sólidas donde se producen las cizallas
más importantes el flujo va a ser rotacional. Que una cizalla da lugar a un flujo
rotacional lo podemo visualizar poniendo en el seno de la cizalla un molinete y
ver que efectivamente este molinete gira. Otro punto a destacar es el hecho que
no tenemos que tener un giros para que el rotor del campo sea distinto de cero.
11.10 Tensor velocidad de deformación 279
11.10.1. Tensor de Cauchy y Green–Venant
En la teoría de la elasticidad no importa tanto la velocidad con la que se
deforma el continuo si no cuanto lo hace. Suponer que tenemos un par de punto
(A,B) separados por un vector δξ. Suponer que a cuenta de la deformación el
punto A ha pasado a ocupar la posición A′ y el B la posición B′ formando con los
puntos originales dos vectores u y u′. El segmento original AB tiene una longitud
al cuadrado dada por la cantidad
δs20 =δ j kδξ
jδξk
y el segmento A′B′ resultante de la deformación tiene como cuadrado de la lon-
gitud la cantidad
δs2 = δx iδx i =∂x i
∂ξ j
∂x i
∂ξkδξ jδξk
la variación sufrida vendrá dada por
δs2 −δs20 =
(
∂x i
∂ξ j
∂x i
∂ξk−δ j k
)
δξ jδξk
La cantidad entre corchetes recibe el nombre de tensor de Green–Venant. En
imagen euleriana la anterior expresión toma la forma
δs2 −δs20 =
(
δ j k −∂ξi
∂x j
∂ξi
∂xk
)
δx jδxk
La cantidad entre corchetes recibe el nombre de tensor de Cauchy
Nos interesa poner los anteriores tensores en términos de los desplazamien-
to u sufridos por cada partícula. Llamando u i = x i −ξi , tenemos
∂ξi
∂x j=
∂x i
∂x j−∂u i
∂x j= δi
j −∂u i
∂x j
Calculando a partir de esta expresión el tensor de Cauchy, tenemos
δs2−δs20 =
[
δ j k −(
δij −
∂u i
∂x j
)(
δik −
∂u i
∂xk
)]
δx jδxk =[
∂u i
∂x j+
∂u i
∂xk−∂u i
∂x j
∂u i
∂xk
]
δx jδxk
280 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
despreciando términos de segundo orden,
δs2 −δs20 = (δs −δs0)(δs +δs0) =
(
∂u i
∂x j+∂u i
∂xk
)
δx jδxk
supuesto que δs ≈δs0, tenemos δs +δs0 ≈ 2δs, por lo que
1
δs(δs −δs0) =
1
2
(
∂u i
∂x j+
∂u i
∂xk
)
δx j
δs
δxk
δs
expresión análoga a la encontrada para fluidos en las que se ha sustituido el
vector velocidad por el vector desplazamiento en la definición del tensor de de-
formación.
11.11. Teorema de Reynolds
Diremos que un volumen del fluido es un volumen del sistema, si este volu-
men esta siempre compuesto por las mismas partículas. Considerar un volumen
del sistema V (t ), se verifica que
D
Dt
∫
V (t )φ(x, y, z, t )δV =
∫
V (t )
[
Dφ
dt+φ(DIVv)
]
δV (11.17)
Para su demostración, pasemos a hacer la integral en términos de imagen la-
grangiana ξ,D
Dt
∫
V (t )φ(x, y, z, t )δV =
∂
∂tξ
∫
Vξ
φJδVξ
puesto que las partículas son simpre las mismas, podemos introducir el tiempo
dentro de la integral por lo que
∂
∂tξ
∫
Vξ
φJδVξ =∫
Vξ
∂
∂tξ(φJ)δVx =
∫
Vξ
(
J∂
∂tξφ+φ
∂
∂tξJ
)
δVξ
teniendo en cuenta la expresión obtenida previamente para la variación del ja-
cobiano con el tiempo tenemos,
∂
∂tξ
∫
Vξ
φJδVξ =∫
Vξ
(
∂
∂tξφ+φDIVv
)
JδVξ
11.11 Teorema de Reynolds 281
volviendo otra vez a la imagen euleriana
D
Dt
∫
V
φ=∫
Vξ
(
D
Dtφ+φDIVv
)
δV
como queriamos demostrar.
Resulta especialmente interesante el caso en el que φ se puede poner como
ρ f siendo ρ la densidad y f una propiedad cualqueira del fluido. En este caso
D
Dt
∫
V (t )ρ f δV =
∫
V (t )
[
D(ρ f )
Dt+ρ f DIVv
]
δV =∫
V (t )
ρD f
Dt+ f
[
ρDIVv+Dρ
Dt
]
δV
Ahora bien habida cuenta de la ecuación de continuidad el término entre cor-
chetes se anula, por lo que resulta
D
Dt
∫
V (t )ρ f δV =
∫
V (t )ρ
D f
DtδV
Se puede reformular la forma del teorema de Reynolds en términos del lla-
mado volumen de control. Contrariamente al volumen del sistema que se mue-
ve con el fluido de tal forma que siempre está compuesto de las mismas partícu-
las, el volumen de control está fijo en el espacio y las partículas de fluido entran
y salen de él. Para deducir esta nueva forma del teorema de Reynolds volvamos
a la expresión general
D
Dt
∫
V (t )φ(x, y, z, t )δV =
∫
V (t )
[
Dφ
dt+φ(DIVv)
]
δV
desarrolando la derivada másica del interior de la integral tenemos
D
Dt
∫
V (t )φ(x, y, z, t )δV =
∫
V (t )
[
∂φ
∂tx+v ·GRADφ+φ(DIVv)
]
δV
ahora bien
v ·GRADφ+φ(DIVv) = DIV(φv)
por lo que
D
Dt
∫
V (t )φ(x, y, z, t )δV =
∫
V (t )
∂φ
∂txδV +
∫
V (t )DIV(φv)δV
282 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
y empleando el teorema de Ostrogradsky–Gauss
D
Dt
∫
V (t )φ(x, y, z, t )δV =
∫
V (t )
∂φ
∂txδV +
∫
∂V
φv ·δΣ
siendo ∂V la superficie cerrada que rodea al volumen. Como en la integral de
volumen del término de la derecha aparece la derivada local, podemos consi-
derar a dicho volumen como un volumen fijo que en un instante dado coincide
con el volumen del sistema que en ese instante ocupa dicha posicion, así pues
D
Dt
∫
V (t )φ(x, y, z, t )δV =
∫
V (x)
∂φ
∂txδV +
∫
∂V (x)φv ·δΣ (11.18)
Podemos analizar varios ejemplos. Suponiendo que φ sea la densidad ρ,
D
Dt
∫
V (t )ρ(x, y, z, t )δV =
∫
V (x)
∂ρ
∂txδV +
∫
∂V (x)ρv ·δΣ
ahora bien el término de la derecha es cero, pues representa la derivada másica
de la masa del volumen del sistema, por lo que
∫
V (x)
∂ρ
∂txδV +
∫
∂V (x)ρv ·δΣ= 0
o lo que es lo mismo
∂
∂tx
∫
V (x)ρδV +
∫
∂V (x)ρv ·δΣ= 0
que es otra expresion de la ecuación de continuidad. La cantidad
∫
∂V (x)ρv ·δΣ=
∫
∂V (x)ρ(v ·n)δΣ
donde hemos puesto que el elemento de superficie δΣ= nδΣ, representa el flujo
de masa a través de la superficie, mientras que
∂
∂tx
∫
V (x)ρδV
representa la variación local de la masa. Podemos por tanto decir a la luz de las
11.11 Teorema de Reynolds 283
anteriores expresiones que la variación de masa en un volumen de control es
igual al flujo de masa a través de su superficie.
Otro caso interesante es aquel en el que φ= ρv, por lo que
D
Dt
∫
V (t )ρvδV =
∫
V (x)
∂(ρv)
∂txδV +
∫
∂V
ρv(v·n)δΣ=∫
V (x)
∂(ρv)
∂txδV +
∫
∂V
ρ(vv)nδΣ
Como antes, la integral de superficie representa el flujo de momento mientras
que la variación temporal de la integral extendida al volumen de control repre-
senta la variación local del momento. Al igual que el flujo local de masa lo po-
demos poner como el vector ρv, el flujo local de momento lo podemos expresar
como el tensor ρvv.
Ejercicio 11.1 Calcular cuanto vale la variación temporal de la integral de línea
∫
C (t )φδr
siendo C (t ) un circuito compuesto siempre por las mismas partículas.
SOLUCCIÓN
Debemos de evaluarla expresión
D
Dt
∫
C (t )φδr
Para poder introducir dentro del signo integral la derivada temporal al igual que
en el caso del teorema de Reynolds vamo a pasar a la imagen lagrangiana
D
Dt
∫
C (t )φδr =
∂
∂tξ
∫
C (ξ)φ(ξ, t )
∂x
∂ξδξ
donde con∂x
∂ξ
queremos denotar al tensor ∂x i /∂ξ j . Introduciendo ahora la derivad temporal
dentro de la integral tenemos
D
Dt
∫
C (t )φδr =
∫
C (ξ)
∂φ(ξ, t )
∂tξ
∂x
∂ξδξ+
∫
C (ξ)φ(ξ, t )
∂
∂tξ(∂x
∂ξ)δξ
284 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
puesto que la derivada respecto de t y ξ conmutan
∂
∂tξ(∂x
∂ξ) =
∂v
∂ξ
sustituyendo, tenemos
D
Dt
∫
C (t )φδr =
∫
C (ξ)
∂φ(ξ, t )
∂tξ
∂x
∂ξδξ+
∫
C (ξ)φ(ξ, t )(
∂v
∂ξ)δξ=
=∫
C (ξ)
∂φ(ξ, t )
∂tξδr+
∫
C (ξ)φ(ξ, t )δv
pasando de nuevo a la imagen euleriana
D
Dt
∫
C (t )φδr =
∫
C (t )
Dφ(x, t )
Dtδr+
∫
C (t )φ(x, t )GRADvδr
que es la expresión que andabamos buscando. Se propone al lector que calcule
cual es la variación temporal de la integral de superficie cuando esta está com-
puesta simepre por las mismas partículas.
11.12. Dinámica de fluidos
En las anteriores secciones hemos hablado del movimiento del fluido sin
tener en cuenta las causas que lo producen, vamos a introducir en esta sección
el tipo de fuerzas a las que esta sometido el fluido para acabar con las ecuaciones
del movimiento que nos permite estudiar de forma completa el movimiento del
fluido.
Consideremos una porción del fluido que tomaremos como nuestro sistema
mecánico, fuerzas que afectan esta porción del fluido las podemos dividir en dos
clases
Fuerzas de Volumen Son aquellas que afectan a todas las partículas que for-
man el sistema por igual. Ejemplo de este tipo de fuerzas son el campo
gravitatorio, el campo electromagnético, fuerzas inerciales, etc.
Fuerzas de Superficie Son fuerzas de corto alcance afectando únicamente a la
11.12 Dinámica de fluidos 285
superficie que separa a nuestro sistema del resto del fluido. Obviamente
las fuerzas no afectan a superficies si no a volumenes, ahora bien el expe-
sor de la capa afectada por las fuerzas superficiales es mucho menor que
la extensión de la superficie y desde luego mucho menor que el tamaño
típico del sistema mecánico que estamos considerando. El origen de estas
fuerzas es molecular. Un ejemplo clásico para comprender este tipo de
fuerzas es el siguiente. Considerar una superficie imaginaria que separa
nuestro sistema mecánico del resto del fluido. Suponer que las velocida-
des de las moleculas son diferentes a un lado y otro de la superficie. Al
atraversar la superficie las moleculas llevan consigo el momento de la re-
gión origen, este momento es entregado a la región destino haciendo que
las regiones se aceleren o se frenen induciendo por tanto una fuerza. Po-
demo imaginar este proceso como un par de trenes que viajan por dos vias
paralelas con velocidades diferentes que representan el estado del fluido
a un lado y otro de la superficie que los separa. Imaginar que unos obre-
ros lanzan sacos terreros de un tren a otro (las moléculas que atraviesan
la superficie). Los sacos terreros que salen del tren rapido cuando llegen
al tren lento le comunicaran su momento y este tenderá a acelerarse, por
el contrario los saco que salgan del tre lento cuando lleguen al tren rapido
adquiriran momento en la dirección de marcha del tren tendiendo este a
frenarse. Como resultado de este intercamio un tren se acelera y otro se
frena, se produce por tanto una fuerza. Este fuerza tiene un alcance muy
limitado, el del recorrido libre medio. Como en mecanica del continuo no
sabemos nada de moleculas ni de sacos terreros, vamos a parametrizar
estas fuerzas superficiales mediante un vector t(x,n) que depende de la
posición xy de la orientación de la superfice n de tal forma que t(x,n)δΣ
representa la fuerza que ejerce la región hacia donde apunta n sobre la re-
gión desde donde emerge n
Considerando por tanto ambos tipos de fuerzas la fuerza total ejercida sobre
nuestro sistema mecánico vale,
F =∫
V
ρfδV +∫
∂V
t(x,n)δΣ
286 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
t(x,n)
dΣ
Figura 11.6:
siendo f la fuerza volúmica por unidad de masa.
Teorema 11.12.1 Las fuerzas de superficie están localmente en equilibrio.
Consideremos un sistema mecánico que consiste en una porción del fluido,
de acuerdo con las leyes de Newton se debe de verificar que la variación tempoe-
ral de la cantidad de momento ha de ser igual a la suma de las fuerzas exteriores
jeercidas sobre el sistema,
D
Dt
∫
V
ρvδV =∫
V
ρfδV +∫
∂V
t(x,n)δΣ
siendo V un volumen del sistema. De acuerdo con el teorema de Reynolds re-
sultq queD
Dt
∫
V
ρvδV =∫
V
ρD
DtvδV =
∫
V
ρaδV
por lo que∫
V
ρaδV =∫
V
ρfδV +∫
∂V
t(x,n)δΣ
Si hacemos tender el volumen a cero, la anterior expresión toma la forma
aδV = ρfδV + t(x,n)δΣ
Si nos fijamos en esta expresión vemos que el término de la izaquierda tiend
a cero como r 3, siendo r el radio del pequeño elemento de volumen. De los
miembros del término de la derecha, el primero tiende a cero tambien como r 3
minetras que el segundo tiende a cero como r 2 por lo que para que se mantenga
la igualdad hemos de anular identicvamente este termino esto es cuando δV
11.13 tensor de esfuerzos 287
tiende acero necesariamente∫
∂V
t(x,n)δΣ
ha de hacerse cero. Esto significa que las fuerzas superficiales han de estar en
equilibrio mecánico localmente.
11.13. tensor de esfuerzos
Vamos a aprobechar el teorema anterior para poner de forma explícita la
dependencia del vector de fuerzas superficiales t(x,n) respecto de la normal n.
Para ello considerar el tetraedro que se muestra en la figura 11.7 De acuerdo con
a
b
c
dΣ(n)
dΣ(-c)
dΣ(- b)dΣ(- a)
Figura 11.7:
el teorema anterior se debe de verificar que
t(x,n)δΣ(n)+ t(x,−a)δΣ(−a)+ t(x,−b)δΣ(−b)+ t(x,−c)δΣ(−c) = 0
cuando el volumen del sistema tiende a cero. Según el principio de acción y
reacción
t(x,−c) =−t(x,c)
por lo que
t(x,n)δΣ(n)− t(x,a)δΣ(−a)− t(x,b)δΣ(−b)− t(x,c)δΣ(−c) = 0
Ahora bien resulta que las áreas laterales son la proyección del area transversal
esto es
δΣ(−a) = δΣ(n)a ·n
288 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
sustituyendo, tenemos
t(x,n)δΣ(n)− (t(x,a)a− t(x,b)b− t(x,c)c) ·nδΣ(n) = 0
por lo que
t(x,n) = (t(x,a)a− t(x,b)b− t(x,c)c) ·n
La cantidad entre parentesis no depende de n, lo llamaremos tensor de esfuerzos
y lo representaremos por T por lo que
t(x,n) =Tn (11.19)
donde vemos que hemos separado la dependencia de n. Dado que hemos em-
pleado una base genérica la anterior ecuación es una ecuación tensorial, esto
es, es valida cualquiera que sea la base elegida. En terminos de componentes la
ecuación anterior se escribe
ti (x,n) = Ti j (x)n j
Para ver el significado de cada elemento del tensor Ti j , consideremos un parale-
lepipedo. Sea n = (1,0,0) un vector unitario en la dirección del eje 1 (eje x), o sea
es un vector unitario normal a la superficie (zy). La fuerza superficial aplicada a
esta cara tendrá como componentes (T11,T21,T31). Por tanto vemos que T11 es
la componente normal a la cara 1, T21 representa la componente a lo largo del
eje 2 (y) de la fuerza ejercida sobra la cara 1 y T31 representa la componente 3(z)
de la fuerza ejercida sobra la cara 1. Identico significado tendran para el resto
de las caras. Así pues el primer indice representa la componente y el segundo la
cara sobre la que se ejerce la fuerza.
Ejercicio 11.2 Demostrar basandose en el hecho que las fuerzas superficiales
estan localmente en equilibrio el principio de acción y reacción
SOLUCCIÓN
11.13 tensor de esfuerzos 289
Considerar una esfera de volumen tan pequeño como queramos, de acuerdo
con el teorema anterior, los esfuerzos superficiales aplicados a la esfera se anu-
lan identicamente cuando hacemos tender el volumen a cero. Suponer ahora
que dividimos mentalmente a la esfera en dos semiesferas, de acuerdo con el
anterior teorema la distribución de esfuerzos sobre cada semiesfera es nula,
t(n)dΣ(c11)+ t(n)dΣ(c12) = 0
t(n)dΣ(c21)+ t(n)dΣ(c22) = 0
siendo c11, c12 la cara externa e interna de la semiesfera uno y c21, c22 la cara
externa e interna de la semiesfera dos. Sumando ambas ecuaciones
t(n)dΣ(c11)+ t(n)dΣ(c21)+ t(n)dΣ(c12)+ t(n)dΣ(c22) = 0
Ahora bien las caras c11, c21 reproducen la superficie exterior de la esfera y por
tanto según dejimos al principio estan en equilibrio por lo que
t(n)dΣ(c12)+ t(n)dΣ(c22) = 0
ahora bien las normales a las dos caras son iguales salvo el signo, de donde re-
sulta que,
t(n)dΣ(c12)− t(−n)dΣ(c12) = 0
y por tanto
t(n) =−t(−n)
como queriamos demostrar. Podiamos haber pensado el teorema de forma in-
versa, esto es para que se siga verficando el principio de acción y reacción es ne-
cesario que se verifique que las fuerzas superficiales estén localmente en equi-
librio.
Teorema 11.13.1 El Tensor de esfuerzos es simétrico
DEMOSTRACIÓN
290 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
Para la demostración del anterior teorema vamos a partir del teorema de con-
servación del momento angular
DL
Dt= N
siendo L el momento angular y N el momento de las fuerza exteriores. Teniendo
en cuenta que
L =∫
V (t )ρ(r×v)δV
tenemosD
Dt
∫
V (t )ρ(r×v)δV = N
aplicando el teorema de tranporte de Reynolds
∫
V (t )ρ
D
Dt(r×v)δV = N
ahora bien
D
Dt(r×v) =
Dr
Dt×v+r×
Dv
Dt= v×v+r×
Dv
Dt= r×a
por lo que∫
V (t )ρr×a =N
El momento de las fuerzas exteriores procede tanto de las fuerzas de volumen
como de suoperficie, tedremos
N =∫
V (t )ρ(r× f)δV +
∫
∂V
[r× t(x,n)]δΣ
sustituyendo tenemos
∫
V (t )ρr×a =
∫
V (t )ρ(r× f)δV +
∫
∂V
[r× t(x,n)]δΣ
utilizando el teorema de la divergencia podemos pasar de la integra de super-
ficie a una de volumen resultando que la anterior expresión la podemos poner
11.13 tensor de esfuerzos 291
como∫
V (t )ρr×a =
∫
V (t )ρ(r× f)δV +
∫
V (t )DIV[r× t(x,n)]δV
en forma de componentes, teniendo en cuenta que
t(x,n) =Tn
tenemos
∫
V (t )ρǫi j k r j ak =
∫
V (t )ρǫi j k r j fkδV +
∫
V (t )
∂
∂x l(ǫi j k r j Tkl )δV
Derivando en el segundo termino del miembro de la derecha,
∂
∂x l(ǫi j k r j Tkl ) = ǫi j k
∂r j
∂x lTkl+ǫi j k r j
∂Tkl
∂x l= δ j l Tkl+ǫi j k r j
∂Tkl
∂x l= ǫi j k Tk j+ǫi j k r j
∂Tkl
∂x l
sustituyendo
∫
V (t )ρǫi j k r j ak =
∫
V (t )ρǫi j k r j fk +
∫
V (t )ǫi j k r j
∂Tkl
∂x lδV +
∫
V (t )ǫi j k Tk jδV
Haciendo ahora que el volumen del sistema tienda a cero, vemos que los tres
primeros términso tienden a cero como r 4 mientras que el último término tien-
de a cero como r 3 por lo tanto para que la igualdad se mantenga es necesario
que
ǫi j k Tk j = 0
y por tanto dado que
ǫ123T32 +ǫ132T23 = 0
ǫ312T21 +ǫ321T12 = 0
ǫ231T13 +ǫ213T31 = 0
teniendo en cuenta que ǫi j k vale uno si (i j k) es una permitación par de (123) y
292 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
menos uno si es impar tendremos
T32 −T23 = 0
T21 −T12 = 0
T13 −T31 = 0
y por tanto el tensor T es simétrico3. Debido a esta simetría siempre es posible
encontar una base en la que el tensor es diagonal. En esta base dado un para-
lelepipedo con aristas paralelas a los ejes coordenados, los esfuerzo ejercidos
sobre sus caras son ortogonales a ellas, esto es solo tenemos esfuerzos normales
no tangenciales. Es facil ver que la componente normal del esfuerzo vale
tn = n · t = n ·T ·n = ni Ti j n j
si el tensor es diagonal
tn = T11n21 +T12n2
2 +T13n23
sobre la cara 1 del paralelepipedo (n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0) por lo que
tn(1) = T11
y lo mismo sucede con el resto de las caras. La componente tangencial viene
dada por la expresión (teorema de Pitágoras)
tt =√
ti ti − t 2n =
√
(Ti j n j )2 − (ni Ti j n j )2
El tensor de esfuerzos lo vamos a separar en dos partes, una de ellas isótropa
y el resto que llamaremos desviatoria
Ti j =1
3Ti iδi j +Di j
3Aunque no lo hemos dicho explicitamente se ha supuesto que el fluido no es polar y por tantono existe momentos intrisecos internos
11.13 tensor de esfuerzos 293
siendo Ti i = T11 +T22 +T33 y por tanto
1
3Ti i
representa el valor medio de los esfuerzos normales. En forma matricial la ante-
rior separación la podemos representar mediante la ecuación
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
=1
3
Ti i 0 0
0 Ti i 0
0 0 Ti i
+
T11 − 13 Ti i T12 T13
T21 T22 − 13 Ti i T23
T31 T32 T33 − 13 Ti i
Teorema 11.13.2 La parte desviatoria del tensor de esfuerzos es nula cuando el
fluido está en reposo
DEMOSTRACIÓN
Por hipótesis un fluido es incapaz de soportar aquellos esfuerzos que tiendan a
deformarlo sin cambiar de volumen. Llamemos presión p a la cantidad−(1/3)Ti i
de tal forma que p en general es una cantidad positiva. La fuerza ejercida por la
parte isótropa vale,
ti =−pδi j n j =−pni
esto es
t(n) =−pn
la fuerza solo tiene componente normal y puesto que p > 0 esta fuerza des una
compresión isótropa. Supuesto que nuestro pequeño volumen sea una esfdra la
fuerza va a ser igual en todas la direcciones y la esfera va a tender a disminuir de
tamaño, y por tanto el fluido se va a oponer a nuestra tension exterior, esto es si
queremos seguir deformando la esfera debemos de continuar aumenta nuestra
fuerza. En cuanto a la fuerza ejercida por la parte desviatoria será
ti = Ti j n j
tal que la suma de las furzas a lo largo de los ejes coordenadossea cero. Esto
significa que habra compresiones y expansiones , estas compresiones y expan-
294 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
siones derorman a la esfera sin que esta tenga que cambiar de volumen, como el
fluido es incapazar de soportar esfuerzos externos que no cambien el volumen,
la esfera se deformará continuamente y por tanto su estado de movimiento se
hace incompatible con el reposo. Se tiene por tanto que en situación de equili-
brio únicamente es distinto de cero la parte isótropa y por tanto,
t(x,n) =−p(x)n (11.20)
Puesto que estamos en equilibrio la suma de las fuerzas exteriores será nula y
por tanto
0 =∫
V
ρfδV −∫
∂V
pnδΣ
apliando el teorema de la divergencia
0 =∫
V
(ρf−GRADp)δV
y como la anterior ecuación es válida para cualquier volumen
0 = ρf−GRADp (11.21)
que es la ecuación general de la hidrostática. Si las fuerzas de volumen depen-
den de un potencial f =−GRADΩ y por tanto
GRADp =−ρGRADΩ
que es otra forma de la ecuación general de la hidrostática para el caso de fuer-
zas de volumen que dependan de un potencial. La anterior expresión no mues-
tra que los vectores gradientes de p y Ω son paralelos y por tanto las superficies
de p constantec coincidcen con las superficies de Omeg a constante. Tomando
el rotacional en la anterior expresión nos lleva a la ecuación
0 = GRADρ×GRADΩ
y por tanto vemos que las supercies equipotenciales son paralelas a las superfi-
cies de densidad constante y deducimos tambien que las superficies de densi-
11.13 tensor de esfuerzos 295
dad constante son tambien superficies de presión constante. De la ecuación de
estado vemos tambien que estas superficies coinciden con superficies de tem-
peratura constante.
Teorema 11.13.3 Un sólido sumergído en un fluido sufre un empuje igual al
volumen del fluido que desaloja (Arquimedes)
Considerar un sólido sumergido en el seno de un fluido en equilbrio hidrotático.
La fuerza de pfresión ejercida por el fluido sobre el sólido será
∫
∂V
−pnδΣ
siendo n la normal exterior al sólido. Nuestra idea es sustituir la anterior expre-
sión por una integral de volumen. Para ello suponer que sustituimos nuestro
sólido por una porción de fluido con tal que esta porción de fluido esté en equi-
librio hidrostático con el fluido que rodea al sólido. Como el area que rodea al
solido no varia cuando lo sustituyo por el fluido la anterior integral no cambia.
Ahora bien como esmos suponiendo que el fluido que introduzco está en equli-
brio con el fluido exterior podemos aplicar la ecuación hidrostática y por tanto
∫
∂V
−pnδΣ=−∫
V
ρfδV
supuesto que la fuerza exterior sea el camo gravitatorio tenemos que f = −g y
por tanto las fuerzas de superficie valen
∫
∂V
−pnδΣ=∫
V
ρgδV
esto es coinciden con el peso del volumen de fluido desalojado como queriamos
demostrar.
296 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
11.14. Fluidos newtonianos
Volvamos a nuestro problema general de la dínamica y planteemos las ecua-
ciones del movimiento, del teorema de conservación del momento
D
Dt
∫
V (t )ρvδV =
∫
V (t )ρfδV +
∫
∂V
TnδΣ
aplicando el teorema de la divergencia al último termino
D
Dt
∫
V (t )ρvδV =
∫
V (t )ρfδV +
∫
V
DIVTδV
Aplicando el teroma del transporte de Reynolds y llevano todas las inetrales a un
mismo miembro obtenemos
∫
V (t )
(
ρDv
Dt−ρf−DIVT
)
δV = 0.
Puesto que la anterior integral se anula para cualquier volumen, el argumento
debe de ser identicamente cero y por tanto
ρDv
Dt= ρf+DIVT
que es la ecuación del movimiento. Separando el tensor de esfuerzos en la parte
ísotropa y desviatoria y manteniendo el nombre de presión p para −(1/3)Ti i4
tenemos
ρDv
Dt= ρf−GRADp +DIVD (11.22)
Esta ecuación no la podemos resolver hasta que tengamos una expresión para
la parte desviatoria del tensor de esfuerzos. Siguiendo la ley de Hook de que los
esfuerzos son proporcionales a las deformaciones vamos a suponer que
D= f (V)
4Hemos de hacer constar que esta definición de la presión es la mimsa que para el caso estáticoaunque su valor no coincida con el de la presión hidrostática cuando estemos fuera del equilibrio
11.14 Fluidos newtonianos 297
siendo V el tensor gradiente de velocidad
V|i j =∂v i
x j
y f una función lineal. Bajo la hipótesis que el fluido es isótropo, la anterior
expresión toma la forma
D=A ·V
siendo A un tensor isótropo de cuarto orden. Se sabe del algebra que el tensor
de cuarto orden isótropo se puede poner como
Ai j kl =λδi jδkl +µδi kδ j l +µ′δi lδ j k
siendo λ,µ,µ′ constantes. Sustituyendo
Di j =(
λδi jδkl +µδi kδ j l +µ′δi lδ j k
)
vkl
puesto que Di j es simétrico tenemos
Di j = D j i =(
λδ j iδkl +µδ j kδi l +µ′δ j lδi k
)
vkl
de donde
(
λδi jδkl +µδi kδ j l +µ′δi lδ j k
)
vkl =(
λδ j iδkl +µδ j kδi l +µ′δ j lδi k
)
vkl
operando llegamos a
λvi iδi j +µvi j +µ′v j i =λvi iδi j +µv j i +µ′vi j
de donde
(µ−µ′)vi j = (µ−µ′)v j i
Puesto que en general vi j 6= v j i se debe de verificar que µ=µ′. Por lo que
Di j =λδi j vi i +µ(vi j +v j i )
298 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
ahora bien, vi i = ei i y vi j +v j i = 2ei j siendo ei j el tensor velocidad de deforma-
ción, resultando por tanto
Di j =λei iδi j +2µei j
puesto que ei i = DIVv, resulta que
Di j =λDIVvδi j +2µei j
Tal y como hemos definido el tensor desviatorio D resulta que su traza Di i es
nula, por lo que
Di i = 3λei i +2µei i = 0
de donde resulta que
3λ=−2µ
que constituye la relacion de Stokes5. Tenemos por tanto
Di j = 2µ(ei j −1
3ei iδi j ) (11.23)
El coeficiente µ recibe el nombre de coeficiente de viscosidad dinámico. LLevan-
do la anterior expresión a la ecuación que define el tensor de esfuerzos tenemos
Ti j =−pδi j +2µ(ei j −1
3ei iδi j )
Si huviesemos utilizado la presión termodinámica hubiesemos obtenido la ecua-
ción
Ti j =−pT δi j +2µei j +λei iδi j
Calculando la traza e igualando tenemos
pT −p =(
2
3µ+λ
)
ei i
5Este resultado se ha obtenido por el hecho de haber definido la presión p como −(1/3)Ti i ,definición que no depende del estado de equilibrio en que se encuentre el fluido. Existen algunoslibros que definen a la presión p como la presión termodinámica pT (presión que solo tiene sen-tido en equilibrio) en cuyo caso Di i 6= 0 y por tanto no se verifica la relación de Stokes y aparecen2 coeficientes en la definición de Di j
11.14 Fluidos newtonianos 299
llamaremos k al coeficiente
k =2
3µ+λ
que recibe le nombre de coeficiente de segunda viscosidad. Resulta por tanto
Ti j =−pT δi j +2µ(ei j −1
3ei iδi j )+kei iδi j
El coeficiente de segunda viscosidad es muy pequeño y solo es importante cuan-
do tenemos ondas sononoras intensas en el seno del fluido. En general se toma
como cero (hipótesis de Stokes) y por tanto
Ti j =−pT δi j +2µ(ei j −1
3ei iδi j )
LLevando esta expresión a la ecuación del movimiento obtenemos
ρDvi
Dt= ρ fi +
∂
∂x j
(
−pδi j +2µ(ei j −1
3ei iδi j )
)
operando, se obtiene
ρDvi
Dt= ρ fi −
∂p
∂x i+2µ
(
∂ei j
∂x j−
1
3
∂ei i
∂x i
)
teniendo en cuenta que
ei j =1
2
(
∂v i
∂x j+∂v j
∂x i
)
se llega a
ρDvi
Dt= ρ fi −
∂p
∂x i+µ
∂2v i
∂x j∂x j+
1
3µ
∂
∂x i
∂v j
∂x j
que en forma vectorial toma la forma
ρDv
Dt= ρf−GRADp +µ∇2v+
1
3µGRAD(DIVv) (11.24)
ecuación que recibe el nombre de Navier–Stokes y constituye la expresión de
conservación del momento.
300 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
11.15. Principio de conservación de la energía
Hasta el momento hemos analizado el principio de conservación de la masa
que dío lugar a la ecuación de continuidad, a continuación hemos analizado el
principio de conservación del momento que dió lugar a la ecuación de Navier–
Stokes. Si nos fijamos en estas ecuaciones descubrimos que tenemos 5 variables,
la densidad, la presión, y las tres componentes de la velocidad, se supone que la
viscosidad es una propiedad del fluido y es conocida de antemano. El numero
de ecuaciones presentes son 4, la ecuación de continuidad y las 3 ecuaciones a
que da lugar la ecuación vectorial de conservación del momento. Así pues te-
nemos un sistema no resoluble, necesitamos una ecuación más. Una ecuación
que tenemos a manao es la ecuación de estado
f (ρ, p,T )= 0
que nos da una relación entre la densidad ρ, la presión p y la temperatura T , per
nos introduce en el sistema una nueva variable, la temperatura, necesitamos por
tanto una nueva ecuación. Esta nueva ecuación nos la va a dar el primero ó el
segundo principio.
Como es bien conocido el primer principio establece que la variación de la
energía interna de un sistema termodinámico es igual al calor dado al sistema
menos el trabajo realizado por el mismo. Consideremos una porción finita del
fluido como nuestro sistema termodinámico, supuesta válida la ley de Fick, el
flujo de calor (cantidad de energía for unidad de tiempo) dado al sistema viene
dado por la expresión∫
∂V
kGRADTδΣ
siendo k la conductividad. En cuanto al trabajo realizado por el sistema, la velo-
cidad a la realizan trabajo las fuerzas exteriores vale,
∫
V
ρf ·vδV +∫
∂V
t ·vδV
siendo v la velocidad, f la fuerza por unidad de masa y t el vector de Cauchy que
representa la distribución de esfuerzos superficiales. Teniendo en cuenta que
11.15 Principio de conservación de la energía 301
t =T ·n y aplicando el teorema de Ostrogradsky–Gauss a la integral de superficie
se obtiene para la velocidad a la que se realiza trabajo la expresión
∫
V
ρf ·vδV +∫
V
DIV(Tv)δV
que en componentes cartesianas eulerianas vale
∫
V
ρ fi v iδV +∫
V
∂
∂x j(Ti j v i )δV
operando en el segundo término y reorganizando tenemos
∫
V
(
ρ fi +∂Ti j
∂x j
)
v iδV +∫
V
Ti j∂v i
∂x jδV
Teniendo en cuenta la ecuación del movimiento
ρDv i
Dt= ρ fi +
∂Ti j
∂x j
la primera integral vale
∫
V
ρDv i
Dtv iδV =
D
Dt
∫
V
1
2v2δV
esto es representa la variación de energía cinética. En cuanto a la segunda inte-
gral∫
V
Ti j∂v i
∂x jδV
teniendo en cuenta que Ti j es un tensor simétrico, separando ∂v i /∂x j en su par-
te simétrica ei j y antisimetrica Ωi j y considerando que el producto contraido de
un tensor simétrico por otro antisimétrico vale cero, tenemos que esta segunda
integral vale∫
V
Ti j ei jδV
que representa la variación de energía interna a cuenta del trabajo de las fuerzas
exteriores. Así pues teniendo en cuenta la anterior expresión así como la expre-
sión obtenida para el flujo de calor, podemos escribir para el primer principio la
302 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
expresiónD
Dt
∫
V
ρuδV =∫
V
Ti j ei jδV +∫
∂V
kGRADTδΣ
siendo u la energía interna por unidad de masa. Puesto que Ti j =−pδi j+2µ(ei j−(1/3)ei iδi j ) y aplicando el teorema de Ostrogradski–Gauss a la integral de super-
ficie llegamos a
D
Dt
∫
V
ρuδV =∫
V
[
−pei i +2µ(ei j −1
3ei iδi j )ei j
]
δV +∫
V
∂
∂x j
(
k∂T
∂x j
)
δV
Es facil de demostrar que
(ei j −1
3ei iδi j )ei j = (ei j −
1
3ei iδi j )2
por lo que
D
Dt
∫
V
ρuδV =∫
V
[
−pei i +2µ(ei j −1
3ei iδi j )2
]
δV +∫
V
∂
∂x j
(
k∂T
∂x j
)
δV
aplicando el teorema del transporte al primer miembro, llevando todo a una sola
integal y anulando el argumento de esta y teniendo en cuenta que ei i = DIVv, se
obtiene
ρDu
Dt=−pDIVv+2µ(ei j −
1
3DIVvδi j )2 +
∂
∂x j
(
k∂T
∂x j
)
(11.25)
que es la expresión en forma diferencial del primer principio. De los tres térmi-
nos de la derecha, el primero representa el trabajo de expansión/compresión,
puede ser positivo o negativo de acuerdo con el hecho que sea una compresion
(DIVv < 0) o una expansión (DIVv > 0 ) respectivamente. El segundo término que
es siempre positivo representa la tasa de disipación viscosa de energía cinéti-
ca. Puesto que es positivo representa siempre un incremento de enegía interna.
El tercer término representa el flujo de calor a través de la superficie y puede ser
positivo o negativo. La presión que aparece en la expresión anterior es la presión
dinámica, teniendo en cuenta que
pT −p = kDIVv
11.15 Principio de conservación de la energía 303
obtenemos
ρDu
Dt=−pT DIVv+k(DIVv)2 +2µ(ei j −
1
3DIVvδi j )2 +
∂
∂x j
(
k∂T
∂x j
)
(11.26)
Teniendo en cuenta que
ρDu
Dt+pT DIVv =ρT
Ds
Dt
siendo s la entropia especifica, obtenemos
ρTDs
Dt= k(DIVv)2 +2µ(ei j −
1
3DIVvδi j )2 +
∂
∂x j
(
k∂T
∂x j
)
(11.27)
que es la expresión del segundo principio. En un sistema adiabático el último
término es nulo por lo que
ρTDs
Dt= k(DIVv)2 +2µ(ei j −
1
3DIVvδi j )2
puesto que por el segundo principio, en un sistema adiabatico la entropía solo
puede crecer, por lo que
ρTDs
Dt= k(DIVv)2 +2µ(ei j −
1
3DIVvδi j )2 > 0
la anterior ecuación nos dice que necesariamente los coeficientes de viscosidad
µ y segunda viscosidad k han de ser positivos. La termodinámica nos dice que
ρTDs
Dt= cp
DT
Dt−β
DpT
Dt
de donde
cpDT
Dt=β
DpT
Dt+k(DIVv)2 +2µ(ei j −
1
3DIVvδi j )2 +
∂
∂x j
(
k∂T
∂x j
)
que constituye la ecuación de evolución de la temperatura. Es la sexta ecuación
que andabamos buscando y que cierra el sistema de ecuaciones.
304 Capítulo – 11. Mecánica de medios continuos
11.15.1. Ecuacion de Bernoulli
Necesitamos en primer lugar evaluar encontrar cual es la ecuación de evolu-
ción de la energía cinética. Para ello partiremos de la ecuación de conservación
del momento,
ρDv
Dt=−GRADp +ρf+DIVD
siendo D la parte desviatoria del tensor de esfuerzos,
Di j = 2µ(ei j −1
3ei iδi j )
Multiplicando la ecuación del conservación del momento escalarmente por v,
obtenemos la expresión
ρv ·Dv
Dt=−v ·GRADp +ρv · f+v ·DIVD
teniendo en cuenta que
v ·Dv
Dt=
1
2
Dv2
Dt=
DEc
Dt
siendo Ec la energía cinética por unidad de masa, llegamos a
ρDEc
Dt=−v ·GRAD p+ρv · f+v ·DIVD (11.28)
Combinando la anterior ecuación junto con la ecuación del primer principio
(11.25) obtenemos la expresión
ρDEc
Dt+ρ
Du
Dt=−v ·GRADp +ρv · f−pDIVv+2µ(ei j −
1
3DIVvδi j )2 +
∂
∂x j
(
k∂T
∂x j
)
Apéndice A
Elementos de cinemática y
dinámica del sólido rígido
A.1. Ecuaciones del movimiento relativo
Considerar dos sistemas de referencia (O,R) y (O′,R′) de origenes O y O′ res-
pectivamente, el primero de ellos inercial (aunque esto no es necesario) y el se-
gundo en movimiento rototranslacional respecto del primero. Sea P un punto
material y OP y O′P los radios vectores que marcan la posición de dicho punto
en las referencias R y R′ respectivamente. Estos radios vectores están relaciona-
dos mediante la expresión
OP = OO′+O′P
derivando respecto del tiempo en la referencia R,
R dOP
dt=
R dOO′
dt+
R dO′P
dt
SeaRvP =
R dOP
dt
la velocidad del punto P respecto del sistema R. La anterior expresión la pode-
mos poner como
RvP =R vO ′ +R dO′P
dt(A.1)
306 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
Teniendo en cuenta que en el sistema de referencia primado,
O′P = x ′i′+ y ′j′+ z ′k′
siendo (i′, j′,k′) una base euclídea ortonormal. Derivando
R dO′P
dt=
R dx ′
dti′+
R d y ′
dtj′+
R dz ′
dtk′+x ′
R di′
dt+ y ′
R dj′
dt+ z ′
R dk′
dt
los tres primero términos del miembro de la derecha representa la velocidad re-
lativa del punto P respecto del sistema primado. Hay que tener en cuenta que
la derivada de un escalar (como son las coordenadas individuales) en R y la de-
rivada en R′ son iguales. Podemos pensar también que durante esta parte del
proceso de derivación la base primada se mantiene fija, esto es, las referencias
R y R′ se mueven una respecto de la otra con un movimiento de traslación y por
tanto las derivadas en un referencial y otro son equivalentes, así pues
R dO′P
dt=
R ′dx ′
dti′+
R ′d y ′
dtj′+
R ′dz ′
dtk′+x ′
R di′
dt+y ′
R dj′
dt+z ′
R di′
dt=R ′
vP+x ′R di′
dt+y ′
R dj′
dt+z ′
R di′
dt.
Es posible demostrar queR di′
dt=ω(R′/R)× i′
siendo ω(R′/R) la velocidad de rotación del sistema primado R′ respecto del sis-
tema R. Sustituyendo (Para no complicar la notación ω≡ω(R′/R)),
R dO′P
dt=R ′
vP +ω× (x ′i′+ y ′j′+ z ′k′)=R ′vP +ω×O′P (A.2)
Esta expresión nos muestra que dado un vector A, la derivada temporal en un
sistema R′ esta relacionada con la derivada en un sistema R, respecto del cual
está rotando por la expresión
R dA
dt=
R ′dA
dt+ω×A (A.3)
A.1 Ecuaciones del movimiento relativo 307
llevando la expresión (A.2) a la expresión (A.1) obtenemos
RvP =R vO ′ +R ′vP +ω×O′P (A.4)
Podemos interpretar la anterior ecuación de la siguiente forma. La velocidad
en el sistema R, RvP es suma de la velocidad relativa R ′vP , esto es la velocidad
del punto P ignorando el estado de movimiento del sistema primado, más la
velocidad de arrastre RvO ′ +ω×O′P que es la velocidad del punto P como si
estuviese fijo (R ′vP = 0) en el sistema primado. Así mismo podemos interpretar
la expresión A.4 como la suma de la velocidad del punto O’ respecto del sistema
R más la velocidad del punto P respecto de un sistema con origen en O′ y que se
mueve con movimiento de translación respecto de R
Ejercicio A.1 Demostrar que en un movimiento de rotación puro,
di
dt=ω× i
SOLUCCIÓN Considerar un sistema de referencia i′, j′,k′, con respecto del cual el
vector i esté rotando. Sea ω el vector velocidad de rotación y supongamos por
simplicidad que ω esté en la dirección k′. En este sistema el vector i tiene como
expresión
i = senθcosφi′+senθsenφj′+cosθk′
Derivando respecto del tiempo, teniendo en cuenta que el vector i esta rotando
respecto del eje k′ y por tanto en su movimiento solo varía el ángulo φ, tenemos
di
dt=−φsenθsenφi′+φsenθcosφj′ = φsenθ(−senφi′+cosφj′) =ωsenθ(−senφi′+cosφj′)
en donde hemos tenido en cuenta que φ=ω. Por otra parte
ω× i =ωk′× (senθcosφi′+senθsenφj′+cosθk′) =ωsenθ(−senφi′+cosφj′)
y por tanto,di
dt=ω× i
308 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
como queríiamos demostrar.
Figura A.1:
Una demostración alternativa, aunque menos analíti-
ca, la podemos hacer fijándonos en la figura A.1 donde po-
demos observar un vector B que rota alrededor de un eje
Q con velocidad angular ω. La derivada temporal del vec-
tor B la calcularemos como el límite cuando el incremento
temporal tiende a cero del vector
B = lım∆t→0
∆B
∆t
sustituyendo el arco por la cuerda,
∆B = B senθω∆t n
siendo n un vector unitario en la dirección ortogonal a B. Sustituyendo
∆B
∆t= B senθωn
Ahora bien por la definición del producto vectorial,
ω×B =ωB senθn
y por tanto
B =ω×B
como queríamos demostrar.
A.2. Teorema de Coriolis
Vamos a suponer que queremos relacionar la aceleración del punto P en los
sistemas R y R′. Para ello basta derivar con respecto al tiempo en la expresión
(A.4)R d
dt(R vP ) =
R d
dt(R vO ′)+
R d
dt(R ′
vP )+R d
dt(ω×O′P).
A.2 Teorema de Coriolis 309
El términoR d
dt(R vO ′)
representa la aceleracion del punto O′. Teniendo en cuenta la ecuación (A.3)
que nos relaciona la derivada temporal en sistemas de referencia en movimiento
relativo tenemos
R d
dt(R ′
vP ) =R ′
d
dt(R ′
vP )+ω×v′p =R ′aP +ω×v′p
siendo R ′aP la aceleración relativa. Así mismo
R d
dt(ω×O′P) = (
R d
dtω)×O′P+ω× (
R d
dtO′P) =
= (R d
dtω)×O′P+ω× (
R ′d
dtO′P+ω×O′P) =
teniendo en cuenta queR ′
d
dtO′P =R ′
vP
es la velocidad relativa, tenemos
R d
dt(ω×O′P) = (
R dω
dt×O′P+ω×R ′
vP +ω× (ω×O′P)
recolectando términos, resulta que
RaP =R ′aP +R aO ′ +2ω×R ′
vP +R dω
dt+ω× (ω×O′P) (A.5)
que nos dice que la aceleración en un sistema de referencia inercial es igual a la
aceleración relativa R ′aP más la aceleración de arrastre
RaO ′ +R dω
dt+ω× (ω×O′P)
más la aceleración de Coriolis
2ω×R ′vP .
310 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
El término
ω× (ω×O′P)
recibe el nombrre de aceleración centrífuga.
A.3. Momentos cinético y lineal
Consideremos un sólido rígido, se define el momento lineal y el momento
cinético del sólido con referencia a un sistema de referencia R y a un punto fijo
del mismo que podemos considerar como origen mediante las ecuaciones
R P =∫
D
Rvdm
R LO =∫
D(r×R v)dm; r =
−→OAi , Ai ∈ D
por definición del centro de masas tenemos
RP =∫
D
Rvdm =MRvG
siendo RvG la velocidad del centro de masas y M la masa total del sólido. Te-
ner en cuenta que cuando se habla del momento cinético hemos de tener en
cuenta tanto el sistema de referencia que estemos empleando para dar la ve-
locidad como el punto de referencia empleado para el cálculo del momento.
Así por ejemplo podemos calcular el momento cinético respecto del centro de
masas del sólido, aunque la velocidad la sigamos referenciando al sistema de
referencia original R, en este caso tendremos
R LG =∫
DrRG ×Rvdm
siendo rRG el radio vector de cualquier punto del sólido respecto del centro de
masas. Supuesto que en G colocamos un sistema RG que se mueve con movi-
miento de traslación pura respecto del sistem R situado en O, la velocidad vR
valeR v = RG v+RvG
A.3 Momentos cinético y lineal 311
por lo que
RLG =∫
DrRG×Rvdm =
∫
DrRG×RG vdm+
∫
DrRG×RvG dm = L
RG
G+
(∫
DrRG dm
)
×RvG = RG LG
pues la integral∫
D rRG dm es nula, por la definición del centro de masas.
A.3.1. Teorema de Koenigs relativo al momento cinético
Teorema A.3.1 El momento cinético en O de un sistema material es igual al mo-
mento cinético del sistema en el centro de masas G más el momento respecto
de O del momento lineal total aplicado en el centro de masas
RLO = RG LG +OG×RP (A.6)
De acuerdo con la definición del momento cinético
RLO =∫
D
R r×Rvdm =∫
D
RG r×R vdm +∫
DOG×R vdm
donde hemos puesto que el radio vector Rr = OG+RG r. La segunda integral del
segundo miembro vale
∫
DOG×Rvdm = OG×
∫
D
Rvdm =OG×R P
y la primera integral del segundo miembro es igual al momento cinético en G
RLG =∫
D
RG r×R vdm
que como vimos antes es igual a LRG
G por lo que
RLO = RG LG +OG×RP
Recordar que las referencias R y RG están en movimiento de translación pura
una respecto de la otra . Este teorema es válido tambien para un sistema de
partículas. Vamos a aplicar los anteriores teoremas a tres casos particulares
312 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
Movimiento de translación
Si el sólido está en movimiento de translación todos sus punto tienen la mis-
ma velocidad por lo que la cantidad de movimento o momento lineal total vale
RP = MRvG = Mv
y el momento cinético, puesto que la velocidad relativa respecto del centro ma-
sas es cero, RG LG = 0 , de acuerdo con el teorema de Koenigs
RLO = OG×R P
Movimiento de rotación respecto de un punto fijo
En este caso la velocidad de un punto del sólido respecto del punto fijo O
donde hemos situado el sistema de referencia, vale
Rv =ω×r
El momento lineal al igual que en los casos anteriores vale
RP =∫
D
Rvdm =MRvG = Mω×OG
En cuanto al momento cinético,
RLO =∫
D
R r×R vdm =∫
D
Rr× (ω×Rr)dm
de acuerdo con las reglas del cálculo vectorial (por simplicidad r = Rr)
r× (ω×r) = r 2ω−r(r ·ω)
de acuerdo con la definición de una diada (o tensor), la cantidad r(r ·ω) la po-
demos poner como la diada (rr) aplicada al vector ω. De donde el momento
cinético valeRLO =
∫
D(r 2I−rr)ωdm = IOω (A.7)
A.4 Energía cinética 313
La cantidad
I=∫
D(r 2I−rr)dm
recibe el nombre de tensor de inercia, siendo I la diada identidad. La ecuación
(A.7) nos dice que en general el momento cinético no es colineal con la velocidad
de rotación instantanea de sólido. Para que esto fuese así, se debería de producir
Iω=λω
esto es ω debe de ser un vector propio del tensor de inercia. Puesto que el tensor
de inercia es simétrico, siempre es diagonalizable, esto es podemos encontrar
una base donde el tensor de inercia es diagonal. Los vectores base de esta nueva
base reciben el nombre de ejes principales de inercia. Así pues para que el vector
rotación instantanea sea paralelo al momento cinético, debe ser colineal con un
eje principal de inercía.
Estamos ya en condiciones de expresar el teorema de Koenigs para el mo-
mento cinético en términos del tensor de inercia. De la ecuación (A.6) vemos
que el momento cinético en G lo podemos poner como
RG LG = IGω
de tal forma que el teorema de Koenigs se expresa como
RLO = IGω+rG ×R P (A.8)
No olvidar que las referencias en R y RG estan en movimiento de translación
pura una respecto de la otra.
A.4. Energía cinética
Como ya sabemos la energía cinética de un sólido respecto de un sistema de
referencia R valeREc =
1
2
∫
D(R v)2dm
siendo R v la velocidad del elemento de masa dm respecto de la referencia R.
314 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
A.4.1. Teorema de Koenigs relativo a la energía cinética
Teorema A.4.1 La energía cinética de un sistema material respecto de un siste-
ma de referencia R es igual a la suma de la energía cinética del sistema respecto
de un sistema de referencia RG en movimiento de translación pura respecto de
R, situado en el centro de masas, más la energía cinética de toda la masa del
sistema concentrada en el centro de masas respecto del sistema referencia R.
DEMOSTRACIÓN
Puesto que las referencias R y RG están en movimiento de translación pura,
la velocidad de un punto A del sólido la podemos poner como
R vA = RvG +RG vA
de donde
(RvA)2 = (R vG +RG vA)2 = (R vG )2 + (RG vA)2 +2R vG ·RG vA
de tal forma que la energía cinética vale
R Ec =1
2M(R vG )2 +
1
2
∫
D(RG vA)2dm+R vG ·
∫
D
RG vAdm
puesto que estamos en el centro de masas
∫
D
RG vAdm = 0
por lo que
REc =1
2M(RvG )2 +
1
2
∫
D(RG vA)2dm =
1
2M(R vG )2 +RG Ec .
Como en el caso de momento cinético, vamos a calcular la energía cinética para
diversos movimientos particulares del sólido.
A.4 Energía cinética 315
Movimiento de translación
En este caso todos los puntos del sólido viajan con la misma velocidad por
lo queREc =
1
2Mv2
G =1
2Mv2
Movimiento de rotación pura
En este casoREc =
1
2
∫
D(R v)2dm
puesto que R nt v =ω×r, tenemos
REc =1
2
∫
D
Rv ·R vdm =1
2
∫
D(ω×r) ·R vdm
que de acuerdo con las leyes del producto mixto podemos poner como
R Ec =1
2
∫
Dω · (r×R v)dm
puesto que la velocidad angular no depende de m y teniendo en cuenta la defi-
nición del momento angular, obtenemos
REc =1
2ω ·R LO (A.9)
o bien, puesto que RLO = IOω, resulta
REc =1
2ωIOω (A.10)
La velocidad de rotación instantanea ω la podemos poner como ωeu , siendo eu
un vector unitario en la dirección del eje instantaneo de rotación, por lo que
R Ec =1
2ω2eu IOeu =
1
2ω2Iu
siendo Iu la proyección del tensor de inercia sobre el eje instantaneo de rotación
y es el momento de inercia respecto de dicho eje.
316 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
Movimiento cualquiera
En el caso del movimiento cualquiera, de acuerdo con el teorema de Koe-
nigs, la energía cinética la hemos separado en energía cinética del centro de
masas con toda la masa concentrada allí y energía cinética respecto del centro
de masas. Esta última, de acuerdo con lo visto en la sección anterior, se puede
poner comoRG Ec =
1
2ωIGω
por lo queREc =
1
2Mv2
G +1
2ωIGω
A.5. Teorema de Steiner generalizado
Hemos visto antes que tanto la energía cinética como el momento angular
son funciones del tensor de inercia
IO =∫
D(r 2I−rr)dm
siendo r = OA el radio vector respecto del punto O de un elemento A del sólido
de masa dm. Podemos separar el tensor de inercia, al igual que hemos hecho
con la energía cinética y el momento angular, en un tensor de inercia respecto
del centro de masas más otro que representa el tensor de inercia de toda la masa
respecto de O. Para verlo tengamos en cuenta que
OA = OG+GA
por lo que
∫
D(r 2I−rr)dm =
∫
D[(OG+GA)2I− (OG+GA)(OG+GA)]dm
teniendo en cuenta que por ser G el centro de masas se cumple que
∫
DGAdm = 0
A.5 Teorema de Steiner generalizado 317
de donde
∫
D(r 2I−rr)dm = (OG2I−OGOG)M +
∫
D(GA2I−GAGA)dm
llamando R al radio vector del centro masas y r el radio vector respecto del cen-
tro de masas, tenemos
IO = (R2I−RR)M +∫
D(r2I−rr)dm = (R2I−RR)M + IG (A.11)
A.5.1. Cambio de base
Dado un vector v y una base cualquiera (que supondremos en general euclí-
dea y ortonormal) en un espacio vectorial dotado de producto escalar, lo pode-
mos poner como
v = v i ei
(usaremos la notación de Einstein, en la cual un índice repetido indica una suma
en el índice). Las componentes v i reciben el nombre de componentes covarian-
tes del vector v. A la proyección del vector v sobre el j−eximo vector base biene
dado por
vi = v ·ei
y reciben el nombre de componentes covariantes. De la definición del vector v
en término de los vectores base ei tenemos
vi = v ·ei = vk (ek ·ei )= vkδki = vk
de donde vemos que las componentes cotravariantes y covariantes coinciden
en una base ortonormal. Si la base no fuese ortonormal tendriamos en general
que
ei ·e j = gi j 6= δi j
y las componente covariantes y contravariantes no coinciden. Es fácil ver que
en este caso
vi = gi j v j
318 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
Dado un tensor cualquiera T, lo podemos expresar como
T= t i j ei e j
en la base ei . Al igual que antes, las componentes covariantes del tensor ti j son
la proyección del tensor sobre los vectores base
tkl = ekTel = ek (t i j ei e j )el = t i j (ek ·ei )(e j ·el )= t i jδkiδ j l = t kl
Al igual que en el caso de un vector referido a una base ortonormal, las compo-
nentes contravariantes y covariantes coinciden. Esto no es así en bases cuales-
quiera en los que ei ·e j = gi j . En este caso, basta sustituir en la formula anterior
los simbolos δ por los g y tendríamos
tkl = gki t i j g j l
Si hacemos un cambio de base (supondremos que todas nuestras bases son
cartesianas ortonormales), los vectores de la nueva base base se pueden poner
como
Ei = aj
ie j
siendo aj
ila matriz de cambio de base. De la misma forma
ei =αj
iE j
Sustituyendo el vector e en términos de su definición, tenemos
Ei = aj
iαk
j Ek
de donde
aj
iαk
j =δi j
esto es las matrices A= a ij
y α=αkj
son la inversa una de la otra.
En la nueva base, un vector v, cuya expresión en la base antigua es
v = v j e j
A.5 Teorema de Steiner generalizado 319
lo podemos como
v = V i Ei
y por tanto
V i Ei = v j e j
Teniendo en cuenta la expresión de los vectores de la base antigua como función
de los vectores de la base nueva, tenemos
V i Ei = v j e j = v jαkj Ek
de donde
V k =αkj v j
de donde vemos que la forma de transformarse las componentes de los vecto-
res es diferente de la forma en la que se transforman los vectores base. De aqui
que las componentes de un vector las hayamos llamado contravariantes Habia-
mos llamado componentes covariantes a las proyecciones del vector v sobre las
correspondientes bases, por lo que tendremos
Vi = v ·Ei = v ·aj
ie j = a
j
iv ·e j = a
j
iv j
y por tanto las componentes vi se transforman como los vectores bases. De aquí
el nombre de covariante.
Si las bases son ortonormales se tiene que
δi j = Ei ·E j = ap
iep ·a
q
jeq = a
p
ia
q
jep ·eq = a
p
ia
q
jδpq = a
q
ia
q
j
Esta ecuación se puede poner en forma matricial como
AAt = I
siendo At la matriz traspuesta de A, que es la relación de ortonormalidad de las
bases. Esto significa que
At =A
−1
320 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
y puesto que la matrizα era la inversa de la matrizA se tiene que la matrizα=At
y por tanto
V =At v (A.12)
Para el caso de un tensor tenemos
T= T i j Ei E j = t pq ep eq
Teniendo en cuenta que
ep =αmp Em
se tiene que
T i j =αip t pqα
jq
que teniendo en cuenta la matriz α=At se tiene que
T′ =A
tTA
esto es válido para cualquier tensor por lo que será válido también para el tensor
de inercia.
A.6. Movimiento de dos sólidos en contacto
Figura A.2:
Vamos a considerar en esta
sección el movimiento relativo de
dos sólidos S1 y S2 en contac-
to. Para analizar el movimiento
nos fijaremos en la figura A.2. De
acuerdo con esta figura, sean A y
B sendos puntos de los sólidos S1
y S2, respectivamente, que en un
instante dado están en contacto.
Sea C el punto del espacio que
en ese instante coincide con los
A.6 Movimiento de dos sólidos en contacto 321
puntos A,B. Sea C/1 la trayectoria
que sobre el sólido S1 realiza el punto C , esto es C/1 es el lugar geométrico de
los puntos del sólido S1 que han estado o estarán en contacto con el sólido S2.
Análogamente podemos decir de la curva C/2.
La velocidad del punto C respecto de un sistema de referencia íntimamente
unido al sólido S2 valeR2 vC =R1 vC +R2 vC1
siendo R1 vC la velocidad relativa de C respecto del sólido S1 y R2 vC1 la velocidad
de arrastre, esto es la velocidad de C íntimimente unido al sólido S1 respecto del
sólido S2. Obviamente esta velocidad vale R2 vA. Sustituyendo,
R2 vA =R2 vC −R1 vC
De la misma manera, considerando el movimiento de C respecto del sólido S1 a
través del sólido S2 se llega a que
R1 vB =R1 vC −R2 vC
Así puesR2 vA =−R1 vB =R2 vC −R1 vC (A.13)
Se dice que ambos sólidos ruedan sin deslizar si
R2 vA =−R1 vB = 0 (A.14)
y por tantoR2 vC =R1 vC
Sean RvA y RvB las velocidades de los puntos A y B en un sistema de referencia
R. TendremosRvA =R2 vA +R vA2
siendo R2 vA la velocidad relativa del punto A respecto del sólido S2 y RvA2 la
velocidad de arrastre del punto A respecto del referencial R, que como sabemos
es igual a la velocidad del punto A unido al solido S2 respecto de R, es por tanto
322 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
igual a la velocidad del punto B respecto de R, así pues
RvA =R2 vA +R vB
y por tantoR2 vA =R vA −R vB
De la misma maneraR1 vB =R vB −R vA
Si los sólidos ruedan sin deslizar hemos visto que R2 vA =R1 vB = 0 por lo que
RvB =R vA
Si uno de lo sólidos está fijo en el sistema R, por ejemplo el sólido S2, entonces
RvB = 0
por lo que la condición de rodadura sin deslizamiento equivale a que
RvA = 0
A.7. Teoremas generales de la mecánica del sólido rígido
Existen dos grandes teoremas que son válidos tanto para sistemas de puntos
materiales como para el sólido rígido y que corresponden con la conservación
del momento lineal y la conservación del momento angular.
La conservación del momento lineal nos dice que la variación temporal del
momento lineal respecto de una referencia galileana R es igual a la suma de las
fuerzas exteriores aplicadas al sistema
dRP
dt= Fext (A.15)
La conservación del momento angular nos dice que la variación temporal del
momento angular respecto de un punto fijo en un sistema galileano R es igual
A.7 Teoremas generales de la mecánica del sólido rígido 323
al momento de las fuerzas exteriores respecto de dicho punto
dRLO
dt= MO(Fext) (A.16)
Vamos a suponer que en vez de tomar como referencia para calcular el momen-
to el punto O origen del sistema tomamo un punto Q, en este caso el teorema
anterior se escribedRLQ
dt= MQ(Fext) (A.17)
siendoR LQ =
∫
DQA×Rvdm
donde A es un punto del sólido de masa dm y MQ(Fext) es el momento de las
fuerzas exteriores en Q. >Que sucede si el punto Q se mueve ?. Vamos a ver en
primer lugar como se transforman las derivadas del momento cinético. En pri-
mer lugar de acuerdo con el teorema del transporte de momentos
RLQ = RLO +QO×RP
si derivamos en esta expresión respecto del tiempo
(
dRLQ
dt
)
Qmovil
=dRLO
dt+QO×
dRP
dt+
dQO
dt×RP =
(
dRLQ
dt
)
Qfijo
+R P×R vQ
ahora bien puesto que por el teorema de conservación del momento cinético
(
dRLQ
dt
)
Qfijo
= MQ(Fext)
de donde(
dRLQ
dt
)
Qmovil
= MQ(Fext)+R P×R vQ (A.18)
>Que pasa si el punto Q coincide con G?, en este caso
R P×R vQ = R P×R vG
324 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
ahora bienR P =MRvG
por lo queRP×RvG = 0
y por tanto(
dRLG
dt
)
Gmovil= MG (Fext). (A.19)
Ahora bien vimos antes que RLG = RG LG , por lo que
(
dRG LG
dt
)
Gmovil=MG (Fext) (A.20)
estando el sistema de referencia RG en movimiento de translación respecto de
la referencia galileana R. La ecuación anterior es la expresión de la conservación
del momento cinético en el centro de masas. Como vimos anteriormente
RG LG = IGω
por lo que la ecuación de conservación del momento cinético en G resulta ser
[
d(IGω)
dt
]
RG
= MG (Fext) (A.21)
Si escogiesemos una base R′G que estuviese unida al cuerpo (RG está en movi-
miento de translación) la derivada en la base RG y R′G están conectadas por la
expresión(
d
dt
)
RG
=(
d
dt
)
R ′G
+ω×
por lo que[
d(IGω)
dt
]
RG
=[
d(IGω)
dt
]
R ′G
+ω× IGω= MG (Fext) (A.22)
puesto que en la base unida al cuerpo el tensor de inercia no varía, tenemos
IGdω
dt+ω× IGω= MG (Fext) (A.23)
A.7 Teoremas generales de la mecánica del sólido rígido 325
que constituyen las ecuaciones de Euler, donde se ha tenido en cuenta que
(
dω
dt
)
RG
=(
dω
dt
)
R ′G
.
Si utilizamos como base unida al cuerpo la base en la que el tensor de inercia
es diagonal la ecuación vectorial de Euler toma la forma
I1dω1
dt+ (I3 − I2)ω3ω2 = M1
I2dω2
dt+ (I1 − I3)ω1ω3 = M1
I3dω1
dt+ (I2 − I1)ω2ω1 = M1
siendo I1, I2, I3 los momentos principales de inercia y ω1,ω2,ω3 las componen-
tes de la velocidad angular respecto de los ejes principales de inercia, lo mismo
sucede para M1,M2,M3.
A.7.1. Trabajo de las fuerzas exteriores
Considerar que tenemos un conjunto de fuerzas Fi aplicadas en sendos pun-
tos Ai , el trabajo elemental realizado por este conjunto de fuerzas es
dW =∑
i
Fi ·R vAi dt
Puesto que la velocidad de cualquier punto del sólido se puede poner como
RvAi = RvG +ωR ′/R ×GAi
tenemos
dW /dt = RvG ·∑
i
Fi +ωR ′/R ·∑
i
(GAi ×Fi ) = RvG ·∑
i
Fi +ωR ′/R ·MG (Fext) (A.24)
326 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
donde hemos aplicado la invariancia del producto mixto a una rotación de sus
factores. Ahora bien por las ley de conservación del momento lineal y cinético
∑
i
Fi =dRP
dt= M
dRvG
dty MG (Fext)=
[
d(IGω)
dt
]
RG
sustituyendo
dW /dt = MRvG ·dRvG
dt+ωR ′/R
[
d(IGωR ′/R)
dt
]
RG
teniendo en cuenta que
[
d(IGω)
dt
]
RG
=[
d(IGω)
dt
]
R ′G
+(
ωR ′G /R × IGωR ′
G /R
)
tenemos
dW /dt = MRvG ·dRvG
dt+ωR ′
G /R ·[
d(IGω)
dt
]
R ′G
+ωR ′G /R ·
(
ωR ′G /R × IGωR ′
G /R
)
Ahora bien, en la anterior expresión el término entre paréntesis es ortogonal al
término fuera del mismo y por tanto el producto escalar es cero, por lo que
dW /dt = MRvG ·dRvG
dt+ωR ′
G/R ·
[
d(IGω)
dt
]
R ′G
Como IG en la referencia R′G es constante tenemos
ωR ′G
/R ·[
d(IGω)
dt
]
R ′G
=ωR ′G
/R IG
[
dω
dt
]
R ′G
=R ′
G d
dt
[
1
2ωR ′
G/R IGωR ′
G/R
]
Ahora bien, el término entre corchete es la energía cinética de rotación evaluada
en el sistema de referencia unida al sólido. Como la energía cinética es un esca-
lar y la variación temporal de un escalar vale lo mismo en cualquier sistema de
referencia podemos poner
ωR ′G /R ·
[
d(IGω)
dt
]
R ′G
=d
dt
[
1
2ωR ′
G /R IGωR ′G /R
]
A.8 Angulos de Euler 327
y por tanto
dW /dt =d
dt
[
1
2M(RvG )2 +
1
2ωIGω
]
=dEc
dt
así pues el trabajo realizado sobre el sistema se emplea en variar la energía ciné-
tica del mismo.
A.8. Angulos de Euler
Para describir dinámicamente un sólido rígido necesitamos dar sus coorde-
nadas. En general se emplean las tres coordenadas del centro de masas del siste-
ma, que nos dan la posición del sólido en el espacio, y tres ángulos que nos per-
mitan dar su orientación. Esta orientación se puede hacer con tres ángulos cua-
lesquiera, dado que, mediante tres rotaciones independientes siempre podemos
llevar cualquier base unida al cuerpo a coincidir con la base en movimiento de
traslación situada en el centro de masas. De todas estas posibles rotaciones, es
muy frecuente utilizar el llamado conjunto de Euler. Para verlo consideremos
un sistema de referencia inicial, para llevar a este sistema a coincidir con un sis-
tema unido al cuerpo consideremos un primera rotación respecto del eje z de
angulo φ. Sean i, j, k los vectores de la base original e i′, j′, k′ los vectores de
Figura A.3: Ángulos de Euler
la nueva base que estaran relacionados por la ecuación matricial
i′
j′
k′
=
cosφ senφ 0
−senφ cosφ 0
0 0 1
i
j
k
328 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
Hagamos ahora una nueva rotación de ángulo θ en torno a eje i′, la nueva base
i′′, j′′, k′′ toma la forma
i′′
j′′
k′′
=
1 0 0
0 cosθ senθ
0 −senθ cosθ
i′
j′
k′
Por último hagamos un giro de ángulo ψ en torno al eje z ′′ hasta llevar al nuevo
sistema a coincidir con la base unida el cuerpo. Sean ξ, η, ζ los vectores uni-
tarios de la base unida al cuerpo que estará relacionada con la base i′′, j′′, k′′
mediante la ecuación
ξ
η
ζ
=
cosψ senψ 0
−senψ cosψ 0
0 0 1
i′′
j′′
k′′
Para obtener los vectores base finales en función de los iniciales tenemos que
multiplicar las tres matrices de rotación
ξ
η
ζ
=
cosψcosφ−cosθsenφsenψ cosψsenφ+cosθcosφsenψ senψsenθ
−senψcosφ−cosθsenφcosψ −senψsenφ+cosθcosφcosψ cosψsenθ
senθsenφ −senθcosφ cosθ
i
j
k
y mediante la transpuesta podemos obtener la base fija i, j, k como función de
la movil ξ, η, ζ. La velocidad angular de la base unida al cuerpo respecto de la
base fija será suma de las tres rotaciones realizadas
ω= φk+ θi′+ ψζ
teniendo en cuenta la relación existente entre las diferentes bases, la velocidad
angular ω en la base fija vale
ω= (θcosφ+ ψsenθsenφ)i+ (θsenφ− ψsenθcosφ)j+ (ψcosθ+ φ)k (A.25)
A.8 Angulos de Euler 329
y en la base unida al cuerpo
ω= (φsenθsenψ+ θcosψ)ξ+ (φsenθcosψ− θsenψ)η+ (φcosθ+ ψ)ζ (A.26)
Ejercicios
Ejercicio A.2 Suponed que teneis tres sistemas de referencia en movimiento re-
lativo R1,R2,R3 con orígenes O1,O2,O3 cuyo movimiento viene dado por las velo-
cidades R1 vO2 y R2 vO3 y R2/R1ω y R3/R2ω. Expresar en término de estas velocidades
la velocidad de un punto P que se mueve con velocidad relativa R3 VP respecto
del sistema R3
Ejercicio A.3 Suponed que teneis tres sistemas de referencia en movimiento re-
lativo R1,R2,R3 con orígenes en el mimo punto O1, velocidades angulares R2/R1ω
y R3/R2ω y aceleraciones angulares.R2/R1α y R3/R2α. Calculad la aceleración angu-
lar absoluta
Ejercicio A.4 Calcular el momento de inercia de un cono homogeneo de altura
h y radio de la base a respecto de una generatriz
Ejercicio A.5 Calcular el tensor de inercia respecto del sistema de referencia
(x, y, z) de tres discos de radio a situados como se muestra en la figura A.4
Figura A.4:
330 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
Ejercicio A.6 Suponer que tenemos un punto movil Q, podemos definir el mo-
mento cinético en Q respecto de un sistema de referencia RQ que se mueve con
movimiento de tranlación respecto de un sistema de referencia inercia R de la
siguiente forma,RQ LQ =
∫
QA×RQ vAdm
siend A un punto cualquiera del sólido. Desmostrar que la ecuación de conser-
vación del momento cinético utilizando RQ LQ se expresa de la siguiente forma
dRQ LQ
dt= MQ(Fexteriores)−QG×R aQ
siendo R aQ la aceleración del punto Q. El momento RQ LQ se puede expresar en
téminos del momento de inercia como
RQ LQ = IQ
Ejercicio A.7 Un punto material A de masa m está restringido a moverse sobre
un disco circular homogéneo de masa M y radio R. Sea O’ el centro del disco y
R′O ′ =O′x ′y ′z ′ una referencia ligada a D tal que O′x ′y ′ se confunde con el plano
del disco. Sea S el sistem material constituido por el disco y el punto material
y supondremos que S esté aislado. Se quiere estudiar el movimiento de S con
referencia a un referencial galileano R =Ox y z cuando se imprime al punto A de
coordenadas (x ′, y ′,0) en R′O ′ el movimiento definido por las expresiones x ′(t ) =
α(t ), y ′(t ) = β(t ), z ′ = 0. Las condiciones iniciales del movimiento son en t=0:RvO ′ = 0,R vA,ωD/R = 0.
1. Expresar el tensor de inercia en O’ del disco D
2. Sea G el centro de masas del sistema S. Demostrar que
a) G es fijo en RO
b) El momento cinético de S en O′ respecto de RO es nulo
3. Sea ω=ωx ′ i′+ωy ′ j′+ωz ′k′ el vector de rotación instantáneo de D respecto
de RO . A partir de 2a determinar la forma vectorial de R VO ′ en función deR ′
vA,ω y O′A.
A.8 Angulos de Euler 331
4. Determinar las componentes de LO ′(S) sobre los ejes R′O ′. Deducir de 2b
los valores de ωx ′ y ωy ′
5. Establecer la relación que liga a ωz ′ con dθ/dt siendo θ el ángulo polar
representando a A en RO ′ (α(t ) =ρcosθ,β(t ) =ρsenθ)
Ejercicio A.8 En un instante determinado las velocidades de tres puntos, A(0,0,0),
B(0,9,0) y C(3p
3,9,0) de un sólido rígido referido a un sistema cartesiano orto-
gonal son respectivamente
vA = −3p
3i+3j+3k
vB = 0i +λj+3k
vC = µi+νj+3k
Determinar λ,µ,ν. Determinar la velocidad angular del sólido.
Ejercicio A.9 La varilla de 7 cm de longitud que muestra la figura A.5 está arti-
culada al disco por medio de una rótula y al collar B por medio de una horquilla.
El disco gira en el plano OY Z con una velocidad angular constante ω= 12 rad/s,
mientras que el collar puede desplazarse libremente a lo largo de la varilla hori-
zontal CD. Para θ = 0 calcular: La velocidad del collar y la velocidad angular de
la varilla AB.
Figura A.5:
Ejercicio A.10 La plataforma que se muestra en la figura A.6 rota con una ve-
locidad angular constante ω= 0.2 rad/s. Sobre dicha plataforma pivota un tubo
cuya velocidad angular viene dada por la expresión θ(t ) = π/6sen 2t rad. Una
332 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
partícula de masa m se mueve sin deslizar sobre el tubo. La partícula esta uni-
da al final del tubo mediante un muelle de constante k y a un amortiguador de
constante c. Encontrar la velocidad de la partícula en t = 3,6 s, en cuyo momento
la posición de la partícula relativo al tubo es y = 40 cm y y =−30 cm/s. Encontrar
la aceleración de la partícula.
Figura A.6:
Ejercicio A.11 Considerar el robot que se muestra en la figura A.7.El brazo del
robot está unido al eje vertical del robot. Con un movimiento telescópico un se-
gundo brazo avanza o retrocede a lo largo del primero. Suponiendo que las leyes
horarias de los ángulos θ y φ son θ(t ) = 0,2t rad y φ(t ) =π/4(1+senπt )rad y que
el segundo brazo se extiende de acuerdo con la relación r(t ) = 3t . Encontrar la
velociadd y aceleración angular del brazo. Encontrar la velocidad y aceleración
del extremo del brazo tedlescópico.
Figura A.7:
A.8 Angulos de Euler 333
Ejercicio A.12 Un aeroplano, mostrado en la figura A.8 se mueve con una velo-
cidad de 420 mph. Un asistente de vuelo que pesa 120 lb se encuentra 15 ft desde
el centro de masas. Para evitar una zona de turbulenencia, el piloto realiza una
maniobra de emergencia. El aeroplano empieza a cabecear (pitch) hacia arri-
ba con una velocidad angular constante de 0.1 rad/s y comienza a virar hacia
la izquierda describiendo una curva cuyo radio de curvatura vale 30 000 ft. La
velocidad (escalar) del centro de masas no cambia durante la maniobra. Encon-
trar la fuerza ejercida sobre el pie del asistente si este pretende moverse hacia
adelante con una velocidad de 2 ft/s.
Figura A.8:
334 Capítulo – A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido
Apéndice B
Algunos conceptos de geometría
diferencial
B.1. Concepto de espacio topológico
Sea X un conjunto, se dice que se tiene una topología sobre X si
a) El conjunto entero X y el vacio son abiertos
b) La unión de una familia numerable o no de conjuntos abiertos es un abierto
y la intersección de una familia finita de abiertos es un abierto.
Un conjunto X dotado de un topología es un espacio topológico.
B.2. Concepto de aplicación continua
Sea f : X −−→ Y una aplicación de un espacio topológico X en un espa-
cio topológico Y . La aplicación f se dice que es continua en x0 ∈ X si para to-
do abierto V conteniendo a f (x0) existe un abierto U conteniendo a x0 tal que
f (U) ⊂ V
336 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
B.3. Concepto de homeomorfismo
Considerar dos espacios topológicos M1 y M2, Considerar una aplicación
continua de M1 en M2 que es biyectiva y tal que la inversa f −1 es tambien con-
tinua. En estas condiciones se dice que la aplicación f es un homeomorfismo y
los espacios M1 y M2 son homeomorfos. El homeomorfismo, no solo establece
una correspondencia entre los conjunto en sí, si no tambien entre las topologías
definidas sobre los conjuntos.
B.4. Concepto de carta
Sea x0 un punto de un espacio topológico M . Se define una carta (U,ϕ) en
x0 como un homeomorfismo de un subconjunto abierto U ⊂ M que contiene a
x0 en un abierto V contenido en el espacio Euclidiano Rn .
B.5. Concepto de variedad topológica
Se dice que un espacio topológico M es una variedad topológica n-dimensional
si para todo elemento x ∈ M existe una carta (U,ϕ) en x. Por tanto si M es una
variedad podemos encontar una familia de abiertos Ui numerable o no y una
familia de homeomorfismos ϕi de Ui → Vi ⊂Rn tal que M =∪Ui
Suponer que podemos definir en Rn un sistema de coordenadas cartesiano
(x1, . . . , xn), entonces para cada P ∈Ui , las coordenadas cartesianas deϕi (P) ∈ Vi
se pueden considerar como la parametrización numérica de P. Al homeomorfis-
mo ϕi se le denomina homeomorfismo coordenado y las coordenadas cartesia-
nas (x1, . . . , xn) son las coordenadas locales de P y se denotan por xk = xk (P). Al
conjunto de funciones xk = xk (P) definidas sobre el abierto Ui conteniendo a P
se le denomina sistema de coordenadas locales. El abierto U junto con el sistema
de coordenadas locales recibe el nombre de carta de la variedad M . Al conjunto
de cartas que recubre la variedad M recibe el nombre de Atlas. Un punto P ∈ M
puede pertenecer a varias cartas (Ui ,ϕi ).
Ejemplo B.1 Un ejemplo de cartas y Atlas lo constituyen los mapas empleados
en Geografía. Cuando se hace un mapa, lo que se está haciendo en realidad es
B.5 Concepto de variedad topológica 337
U1
U2
U3
U4
Figura B.1: La variedad S1 con cuatro cartasa definidas sobre ella
un aplicación (proyección) de una parte del globo terraqueo sobre R2, con algún
tipo propiedad dependiendo del tipo de proyecciones (las hay que conservan
areas, que conservan ángulos). Cada uno de los mapas constituye una carta y
el conjunto de todos los mapas constituye un atlas. No se puede dar un único
mapa que nos proyecte la Tierra sobre R2, es necesario al menos dos mapas,
esto es dos cartas.
Ejemplo B.2 Considerar el conjunto S1 consistente en el círculo
x2 + y2 = 1
en R2. Puesto que (x, y) están relacionados por la anterior ecuación basta con
dar una coordenada para tener descrito el círculo. Podemos definir 4 cartas tal y
como se muestran en la figura B.1 definidas mediante los abiertos
U1 = (x, y) ∈ S1 : y > 0 U2 = (x, y) ∈ S1 : y < 0
U3 = (x, y) ∈ S1 : x > 0 U4 = (x, y) ∈ S1 : x < 0
y los homemorfismos (se puede demostrar que las aplicaciones inversas son
continuas)
ϕ1(x, y)y>0 = x ϕ2(x, y)y<0 = x
ϕ3(x, y)x>0 = y ϕ2(x,−y)x<0 = y
que nos llevan a los conjunto Ui sobre los abiertos Vi que coincide con el inter-
valo (-1,1) ∈R1. Está claro que la unión de los abiertos Ui recubren S1 y por tanto
S1 es una variedad topológica.
338 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
Otra forma de recubrir S1 lo podemos hacer mediante las cartas definidas
por el homeomorfismo que nos lleva a cada punto (x, y) al valor del ángulo que
forma dicho punto cualquiera con el eje x. El problema es que tenemos que res-
tringir el dominio de variación del ángulo al abierto (0,2π), con lo que el punto
de cooordenadas cartesianas (1,0) se queda sin imagen y por tanto con una sola
carta no podemos recubrir S1. Tenemos que recubrir S1 con al menos dos cartas.
Sea p0 el punto (1,0) y q0 el punto (0,1). Sea U2 = S1\p0 y U2 = S1\q0 para todo
p ∈U1 designemos por ϕ1(p) el ángulo en (−π,π) que forma el radio vector de p
con el semieje x positivo y ϕ2(q) el ángulo en (−π,π) que forma el radio vector
de q con el semieje x negativo. Desde luego las aplicaciones ϕ1 y ϕ2 son home-
morfismos y por tanto los pares (U1,ϕ1) y (U2,ϕ2) son dos cartas que recubren
S1 que es por tanto una variedad
B.6. Concepto de transformación de coordenadas
Considerar una variedad M , una función continua f : M −→Rdefinida en un
entorno de un punto P ∈ M la podemos identificar con una función h(x1, . . . , xn)
de n variables reales (x1, . . . , xn) definida en un dominio de Rn . Para ello basta
considerar una carta (U,ϕ) que nos lleve del punto P ∈ M al punto (x1(P), . . . , xn(P)) ∈R
n . Podemos poner h(x1, . . . , xn) ≡ f (ϕ−1(x)), siendo x el vector x = (x1(P), . . . , xn(P)).
Reciprocamente dada una función h(x1, . . . , xn) definida sobre un dominio V
de Rn , podemos asociar con h una funcion f : U ⊂ M −→ R tal que f (P) =
h(x1(P), . . . , xn(P)). Si cambiamos el sistema de coordenadas utilizado la función
h asociada a la funcion f tambien cambiará. >Cual será la forma en la que se
modifica h?. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que tenemos la mis-
ma carta (U,ϕ). Sean h y h′ funciones de coordenadas (x1, . . . , xn) y (y1, . . . , y n)
respectivamente que representan a f , tenemos
f (P) = h(x1, . . . , xn) = h′(y1, . . . , y n)
puesto que las coordenadas y1, . . . , y n son funciones continuas en U (recordar
que las hemos obtenido a partir de un homeomorfismo de U en V ), las podemos
B.6 Concepto de transformación de coordenadas 339
U1
U2
φ1
φ2
V1
V2M R
V11
V21
U12 (φ1) φ2(−1)
Figura B.2:
representar como funciones independientes de x1, . . . , xn ,
y1(P) = y1(x1(P), . . . xn(P))...
...
y n(P) = y n(x1(P), . . . xn(P))
donde hemos empleado el mismo simbolo y k para el punto como para la fun-
ción. Sustituyendo en la anterior ecuación obtenemos
h(x1, . . . , xn) = h′(y1(x1(P), . . . xn(P)), . . . , y n(x1(P), . . . xn(P)))
Las funciones y k ((x1(P), . . . xn(P)) representan las funciones transformación de
coordenadas. Podemos por tanto dar la siguiente
Definición 3 Sea M una variedad n-dimensional,
Ui ,ϕi
uno de sus atlas y
xki
un sistemas local de coordenadas, en cada interserccion de dos cartas Ui j =Ui ∩U j dos sistemas de coordenadas son validos
xki
y
xkj
tal que xki
(P) =xk
j(x1
i(P), . . . , xn
i(P)), P ∈Ui j . Las funciones xk
i= xk
j(x1
i, . . . , xn
i) se las denomina
funciones transformación de coordenadas o funciones de transición.
Las funciones de transición no tienen porque estar definidas en el dominio en-
tero V j solo sobre la parte Vi j =ϕ j (Ui j ). La figura B.2 nos muestra un diagrama
de un cambio de coordenadas. Si nos fijamos en dicha figura, ϕ1 nos lleva del
340 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
abierto U1 perteneciente a la variedad M en el abierto V1 ∈ Rn . Lo mismo su-
cede con ϕ2. Puesto que ambas aplicaciones son homeomorfismos, podemos
considerar sobra la imagen V12 de la intersección de los abiertos U1 y U2 la apli-
cación ϕ−11 ϕ2, que es tambien un homeomorfismo, que nos mapea V12 ∈ R
n
sobre V21 ∈Rn . Estas funciones son las funciones de transformación de coorde-
nadas.
Definición 4 Una variedad lisa n-dimensional, es una variedad n-dimensional
M con un atlas Ui ,ϕi teniendo un sistema de coordenadas locales xki
tales
que las funciones de transición xki= xk
i(x1
j, . . . , xn
j) son funciones continuamen-
te diferenciables (diferenciables con derivadas parciales continuas) para cual-
quier par de cartas (Ui ,ϕi ) y (U j ,ϕ j ) en el dominio entero de su definición.
El hecho de que las funciones de transición sean de este tipo particular, conti-
nuamente diferenciables, nos garantiza que si tenemos una función f definida
sobre una variedad M cuya expresión en un sistema local de coordenadas es
h(x1, . . . , xn) es diferenciable con continuidad lo sea tambien su expresión en
otro sistema de coordenadas locales.
Definición 5 Una función f : M −→ R definida sobre una variedad lisa M es
llamada continuamente diferenciable en un punto P0 ∈ M si en cualquier siste-
ma de coordenadas locales (x1i
, . . . xni
) la función f puede ser representada por
una función h(x1i
, . . . , xni
) continuamente diferenciable en un entorno del punto
(x1i
(P0), . . . xni
(P0))
Podemos restringir aún más nuestra clase de funciones a aquellas funciones
h(x1, . . . , xn) que tienen derivadas parciales continuas hasta el orden r que a su
vez son continuas. Las llamaremos de clase C r
Definición 6 Una variedad n-dimensional diferenciable de clase C r , es una va-
riedad lisa n-dimensional M con un atlas Ui ,ϕi teniendo un sistema de coor-
denadas locales xki
tales que las funciones de transición xki= xk
i(x1
j, . . . , xn
j) son
funciones de clase C r para cualquier par de cartas (Ui ,ϕi ) y (U j ,ϕ j ) en el domi-
nio entero de su definición.
B.7 Variedades lisas. Difeomorfismos 341
Definición 7 Una función f : M −→ R definida sobre una variedad de clase C r
M es de clase C s , s ≤ r en un punto P0 ∈ M si en cualquier sistema de coorde-
nadas locales (x1i
, . . . xni
) la función f puede ser representada por una función
h(x1i
, . . . , xni
) de clase C s en un entorno del punto (x1i
(P0), . . . xni
(P0))
B.7. Variedades lisas. Difeomorfismos
Definición 8 Una aplicacion f : M1 −→ M2 de variedades lisas es de clase C r si
para cada sistema de coordenadas locales (x1, . . . , xn) en el entorno de un pun-
to P0 ∈ M1 y (y1, . . . , y m) en el entorno de un punto Q0 = f (P0) ∈ M2 la repre-
sentacion de f como función vectorial y = (y k ) = (hk (x1, . . . , xn)) = h(x) es una
función vector de clase C r
Suponer ahora que f es un homeomorfismo de clase C r y que su inversa
tambien es un homeomorfismo de clase C r , se dice entonces que f es un difeo-
morfismo de clase C r . Cualquier propiedad de variedades lisas, funciones lisas
o aplicaciones sobre variedades pueden ser transferidas a cualquier variedad di-
feomorfa. No se distinguirá por tanto entre variedades difeomorfas. Es posible
demostrar por ejemplo que dos variedades difeomorfas tiene la misma dimen-
sión.
Está claro de la definición de difeomorfismo que las funciones de transición
en una variedad C r diferenciable son difeomorfismos de Rn −→R
n
B.8. Algunos ejemplos de variedades
Teorema B.8.1 Sea f = f (x1, . . . , xn) una funcion de clase C∞ definida en el es-
pacio Euclidiano Rn . Sea Mc el conjunto Mc = (x1, . . . , xn) : f (x1, . . . xn) = c. Si el
gradiente de f es diferente de cero en este conjunto, se tiene entonces que Mc
es una variedad n−1 dimensional de clase C∞ y podemos elegir un sistema car-
tesiano de dimension n−1 del espacio ambiente Rn como sistema de coordenas
locales en un entorno de cualquier punto P0 ∈ Mc
342 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
B.9. Vectores tangentes
Antes de dar el concepto de vector tangente a una variedad, vamos a ana-
lizar algunos ejemplos sencillos para entender su significado. Considerar para
ello un curva lisa en R3, cuya ecuación paramétrica viene dada por la expre-
sión x = x(t )= (x1(t ), x2(t ), x3(t )) siendo t un parámetro. Para un valor fijo de t0,
desarrollemos el vector x(t ) en torno a t0,
x(t0 +∆t )= x(t0)+dx
dt(t0)∆t +O(∆t 2)
Los dos primeros términos del miembro de la derecha representan, por una lado
una aproximación de la curva x(t ) en el entorno del punto t0 y por otro repre-
senta la ecuacion de un recta en R3 que pasa a través del punto P0. Además entre
todas las lineas rectas que pasan por P0 es la que mejor se aproxima a la curva
x(t ) en P0.
Considerar ahora una superficie en R3 definida de forma paramétrica me-
diante la ecuación x = x(u, v) siendo (u, v) un par de parámetros independien-
tes. Vamos a suponer que la superficie x(u, v) es no degenerada, lo que significa
que los vectores ∂x∂u
y ∂x∂v
son independientes. O lo que es lo mismo la matriz
(
∂x∂u
∂y
∂u∂z∂u
∂x∂v
∂y
∂v∂z∂v
)
tiene un menor de orden 2.
Desarrollemos x(u, v) en serie en el entorno de (u0, v0)
x(u0 +∆u, v0 +∆v)= x(u0, v0)+∂x
∂u(u0, v0)∆u +
∂x
∂v(u0, v0)∆v +O(∆u2 +∆v2)
la parte lineal del anterior desarrollo en serie define las ecuaciones de un plano,
que es tangente a la superficie en (u0, v0). Podemos decir que todo vector con
origen en P0 y que está contenido en el anterior plano es un vector tangente a
las superficie en P0. La representación paramétrica del plano tangente tiene la
B.9 Vectores tangentes 343
forma
x(u0 +∆u, v0+∆v) = x(u0, v0)+∂x
∂u(u0, v0)∆u +
∂x
∂v(u0, v0)∆v
por lo que todo vector tangente ξ puede ser puesto como una combinación li-
neal de los vectores ∂x∂u (u0, v0) y ∂x
∂v (u0, v0)
ξ=∂x
∂u(u0, v0)∆u +
∂x
∂v(u0, v0)∆v
eligiendo convenientemente los valores de (∆u, ∆v).
Dibujemos ahora una curva en la superficie a través del punto P0, puesto
que la curva está en la superficie, tendrá como ecuaciones paramétricas
x = x(u(t ), v(t ))
en otras palabras, las funciones (u(t ), v(t )) definen paramétricamente una cur-
va en un sistema de coordenadas locales (u, v) sobre la superficie M . El vector
tangente a la curva en el punto P0 viene dada por la expresión
dx
dt(t0)=
dx(u(t ), v(t ))
dt(t0) =
∂x
∂u(u0, v0)
du
dt(t0)+
∂x
∂v(u0, v0)
dv
dt(t0)
por lo tanto un vector tangente a una curva sobre una superficie está en el plano
tangente y tiene como coordendas (du/dt , dv/dt ).
Definición 9 Sea ξ= ∂x∂u (u0, v0)ξ1+ ∂x
∂v (u0, v0)ξ2 un vector tangente a la superficie
en un punto P0. Los números (ξ1,ξ2) son las coordenadas del vector tangente ξ
a M en el punto P0 en un sistema de coordenadas locales (u, v).
Todas las definiciones anteriores son válidas, independientemente del sistema
de coordenadas utilizado. Si tenemos un nuevo sistema de coordendas locales
(u′, v ′), es facil demostrar que las componentes del vector tangente a una curva
en el antiguo y nuevo sistema de coordenadas locales están relacionados por las
344 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
expresiones
∂u
∂t(t0) =
∂u
∂u′∂u′
∂t(t0)+
∂u
∂v ′∂v ′
∂t(t0)
∂v
∂t(t0) =
∂v
∂u′∂u′
∂t(t0)+
∂v
∂v ′∂v ′
∂t(t0)
La anterior definición de vector tangente a una curva sobre una superficie M es
una definición conveniente en el sentido que las coordenadas del vector depen-
de solo del sistema de coordenadas locales (u, v) utilizado para definir M y no
de la forma en que la superficie M está embebida en R3
B.10. Una definición de vector tangente
Los ejemplos anteriores nos muesta que es más coveniente definir las pro-
piedades infinitesimales de una curva en una variedad usando un sistema de
coordenadas locales. Son de particular importancia el concepto de vector tan-
gente y espacio tangente a una variedad lisa en completa analogía con los co-
rrespondientes conceptos de superficies en R3.
Definición 10 Sea M una variedad lisa n-dimensional y P0 un punto arbitrario.
Un vector tangente ξ en P0 a la variedad M es una correspondencia que asocia
con cualquier carta (U, h) definida por un abierto U y un sistema de coorde-
nadas locales (x1i
, . . . , xni
) un conjunto de números (ξ1i, . . . ,ξn
i) ∈R
n satisfaciendo
para cada par de cartas (U, h), (U ′, h′) la siguiente relación
ξki =
∑
l
∂xki
∂x lj
(P0)ξlj
La matriz
∂x1i
∂x1j
. . .∂x1
i
∂xni
.... . .
...∂xn
i
∂x1j
. . .∂xn
i
∂xnj
recibe el nombre de matriz de Jacobi y su determinante el Jacobiano.
B.11 El espacio Tangente TP0 345
Los números (ξ1i, . . . ,ξn
i) son llamados las coordenadas del vector tangente
ξ ∈ Rn en el sistema de coordenadas locales (x1
i, . . . , xn
i). La anterior ecuación
define una ley tensorial de transformación de coordenadas.
Proposición 1 Sea M una variedad lisa y γ : (−1,1) −→ M una aplicación conti-
nua del intervalo (-1,1) en M . La correspondencia que asocia con cada sistema
de coordenadas locales (x1, . . . , xn ) en un entorno del punto P0 el conjunto de
números (dx1/dt (γ(t )), . . . , dxn(t )/dt (γ(t )) es un vector tangente en el sentido
de la definición general anterior.
Para demostrarlo, tenemos que ver como se transforman los números que
definen el vector tangente cuando cambiamos el conjunto de coordendas loca-
les. Llamemos
ξkj =
dxkj
dt(γ(t ))|t=0
siendo (xkj
) un sistema de coordenadas locales en el entorno de P0. Para otro
sistema de coordendas locales (xki
) tendremos
ξki =
dxki
dt(γ(t ))|t=0 =
d
dtxk
i (x1j (γ(t )), . . . , xn
j (γ(t )))|0 =∑
l
∂xki
∂x lj
(γ(t ))d
dtx l
j (γ(t ))|t=0 =∑
l
∂xki
∂x lj
(P0)ξlj
por lo que vemos que cumple la ley de tensorial definida anteriormente.
Es por tanto natural llamar a la correspondencia usada en la proposición
anterior un vector tangente a una curva γ o vector velocidad de una curva γ.
B.11. El espacio Tangente TP0
El conjunto de todos los vectores tangente a una variedad M en un punto
P0 ∈ M es llamado el espacio tangente a la variedad M en el punto P0, este con-
junto es llamado TP0 Cada vector tangente ξ ∈ TP0 está definido de forma única
por sus componentes en un sistema de coordenadas fijo.
Suponer que tenemos un conjunto de números (ηq , . . . ,ηn),o sea un elemen-
to del espacio vectorial aritméticoRn , suponer que estos n números constituyen
las componentes de un vector tangente en un cierto sistema de coordenadas lo-
346 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
cales dado (x1i0
, . . . , xni0
), esto es ηk = ξki0
. Para a definir un vector tangente debe-
mos de hallar sus coordenadas en cualquier otro sistema de coordenadas locales
(x1i
, . . . , xni
). Pongamos
ξki =
∑
l
∂xki
∂x li0
(P0)ηl
las nueva coordenadas deben de verificar la ley de tensorialidad cuando se pase
a un nuevo sistema de coordenadas locales xkj
. Para demostrarlo basta sustituir
la definición anterior de ξi en la formula tensorial.
∑
l
∂xki
∂x li0
(P0)ηl =∑
s
∂xki
∂xsj
∑
l
∂xsj
∂x li0
(P0)ηl =
=∑
l
∑
s
∂xki
∂xsj
∂xsj
∂x li0
(P0)ηl
lo cual es una identidad pues,
∂xki
∂x li0
(P0) =∂xk
i
∂xsj
∂xsj
∂x li0
(P0)
Vemos por tanto que el conjunto de todos vectores tangentes a una variedad M
en un punto P0 está determinado de forma única por el conjunto de coordena-
das en un sistema de coordenadas locales fijo. Podemos por tanto identificar el
espacio tangente TP0 con el espacio vectorial aritmético Rn . Para ello basta con
tomar como vector ηl definido anteriormente un vector de Rn . Es facil de ver
que la anterior ley de transformación
ξki =
∑
s
∂xki
∂xsj
ξsj
confiere al espacio tangente una estructura de espacio vectorial de tal forma que
entonces podemos considerar a TP0 isomorfo al espacio vectorial aritmético Rn .
B.12 Derivada direccional de una función. Otra definición de vectortangente 347
B.12. Derivada direccional de una función. Otra definición
de vector tangente
Existe una forma más de representar un vector tangente. Para verlo, comen-
zaremos con un ejemplo. Consideremos una función lisa f (x, y) de R2 en R.
Considerar un punto P = (x0, y0) y un vector ξ = (ξ1,ξ2) en el plano R2. Como
es bien conocido se define la derivada de la función f a lo largo del vector ξ
como una aplicación que nos lleva a la función f en R, de tal forma que
ξ( f ) =∂ f
∂x(x0, y0)ξ1 +
∂ f
∂y(x0, y0)ξ2
estando las derivadas evaluadas en el punto P0. Esta derivada también es posible
hacerla en términos de una curva lisa γ(t ) que pasa por el punto P0. En este caso
suponiendo que el vector ξ coincide con la tangente a la curva en P0, se tiene
que
ξ( f ) =d
dtf (γ(t ))|t0 , γ(t0) =P0
Efectivamente, Podemos ver que es posible obtener a partir de ésta la primera
definición, pues
d
dtf (γ(t ))|t0 =
d
dtf (x(t ), y(t ))|t0 =
∂ f
∂x|t0
dx(t )
dt|t0 +
∂ f
∂y|t0
d y(t )
dt|t0
y teniendo en cuenta la igualdad entre el vector ξ y la tangente a la curva γ en el
punto t0, tenemos
d
dtf (γ(t ))|t0 =
∂ f
∂x|t0ξ
1 +∂ f
∂y|t0ξ
2 = ξ( f )
Veamos como trasladar esta definición al caso de una variedad
Definición 11 Sea P0 un punto de una variedad lisa M , ξ un vector pertenecien-
te al espacio tangente TP0 (M) y γ(t ) una curva lisa (esto es una aplicación de R
en la variedad M) que pasa por el punto P0 para t = t0 y tal que γ(t0) = ξ y sea f
348 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
una función lisa de M en R. La derivada
d
dtf (γ(t ))|t0 = ξ( f ) (B.1)
se denomina derivada de la función f respecto de vector tangente ξ.
Tenemos que señalar que puesto que la definición del vector ξ es independiente
de la curva γ(t ) que se utilice (con tal que pertenezca a la misma clase, esto es
tengan la misma tangente en P0) la definición anterior es independiente de la
curva γ elegida para caracterizar al vector tangente.
Teorema B.12.1 Sea (x1, x2, . . . , xn) un sistema de coordenadas local en el en-
torno de un punto P0 = (x10 , x2
0 , . . . , xn0 ) de una variedad M y sea ξ= (ξ1,ξ2, . . . ,ξn)
un vector tangente a la a la variedad M en P0. Sea f (x1, x2, . . . , xn) una función
lisa en el entorno del punto P0 representada como una función de las coordena-
das locales (x1, x2, . . . , xn ), se tiene que
ξ( f ) =∑
i
∂ f
∂x i(x1
0 , x20 , . . . , xn
0 )ξi (B.2)
Así mismo se verifica que
ξ( f g )= ξ( f )g (x10 , x2
0 , . . . , xn0 )+ f (x1
0 , x20 , . . . , xn
0 )ξ(g ) (B.3)
La demostración de la primera parte del teorema es similar a la realizada en
el ejemplo sobre R2 dado al principio de esta sección. La segunda parte de la
demostración se sigue de la definición de derivada direccional y de la definición
de derivada parcial en Rn .
Es fácil de ver que esta definición de derivada verifica que la derivada de una
constante es cero y que la derivada
ξ(λ f +µg )=λξ( f )+µξ(g )
Definición 12 La operación A que asocia a cada función f ∈C∞ sobre una va-
B.12 Derivada direccional de una función. Otra definición de vectortangente 349
riedad M en un número A(f) que verifica las anteriores propiedades ( la derivada
de una constante es cero y la linealidad de la operacion derivada) junto con la
regla de Leibniz se llama una diferenciación en el punto P0 ∈ M .
Resulta obvio que la derivada direccional respecto de un cierto vector ξ es un
caso particular de diferenciación. Podemos asociar para cada diferenciación A
un vector tangente ξ con respecto al cual la función es diferenciada. Es posible
demostrar el siguiente
Teorema B.12.2 Sea M una variedad lisa y P0 ∈ M un punto arbitrario y sea A
una diferenciación en el sentido de la definición anterior. Existe entonces un
único vector tangente ξ en P0 tal que A( f ) = ξ( f ) para cualquier función lisa
f en un entorno de P0
Este teorema nos permite asociar de forma única vectores y derivaciones en
cada punto P0 ∈ M , se pude formular otra definición de vector tangente como
un operador de diferenciación aplicado a una función lisa en un entorno del
punto P0 ∈ M . Esta definición es completamente independiente del sistema de
coordenadas elegido.
Es posible demostrar que el conjunto de derivaciones es un espacio vectorial
si mas que definir que si A y B son dos diferenciaciones entonces
(A+B) f = A( f )+B( f )
y
(λA) =λA( f )
asi como
0( f )= 0
Si utilizamos un cierto sistema de coordenadas (x1, x2, . . . , xn), la derivada
parcial a lo largo de la i-exima coordenada ∂/∂x i la podemos considerar como
el vector ξ de componentes (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) donde 1 es la i-exima coordenada.
Se puede demostrar que los vectores ∂/∂x i son independientes y forman una
base del espacio tangente de tal forma que cualquier vector ξ se puede poner
como
350 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
ξ= ξ1 ∂
∂x1+ . . .+ξn ∂
∂xn(B.4)
Teniendo en cuenta esta expresión si suponemos otro sistema de coordenadas,
yi el vector ξ tiene como componentes
ξ= η1 ∂
∂y1+ . . .+ηn ∂
∂y n(B.5)
>Como se relacionan las componentes ξi y η j ?. Empleando la regla de la cadena
es fácil de ver que
ηk =∂y k
∂x jξ j
por lo tanto verifican las reglas de transformación dadas en la definición primera
de vector tangente. Así pues ξ es un vector del espacio tangente.
B.13. El fibrado tangente
Considerar la variedad S1 descrita anteriormente. En un punto dado, el es-
pacio tangente a la variedad es una recta que pasa por dicho punto. Todos los
vectores tangentes a la variedad en el punto considerado están a lo largo de esta
recta.
Podemos representar esta recta como una recta ortogonal al círculo. Si esto
lo hacemos para cada punto, habremos generado un cilindro. Cada una de las
"fibras"del cilindro es una espacio tangente en sí mismo. Se puede definir so-
bre este cilindro una topología y por tanto generar una nueva variedad. A esta
variedad se la conoce como fibrado tangente. Para variedades mas complejas
esta visión es mucho más compleja. Así pues vamos a considerar como fibrado
tangente a la variedad generada por la union de todos los espacios tangentes en
cada uno de sus puntos. La denominaremos por T M . En este caso, los conjuntos
de coordenadas serán de la forma (x1, . . . , xn , x1, . . . xn) y por tanto la dimensión
del fibrado tangente es el doble de la dimension de la variedad sobre la que está
definido. Veremos más adelante que las lagrangianas viven en este fibrado tan-
gente.
B.14 Diferencial de una función 351
B.14. Diferencial de una función
Definición 13 Sea f : M1 −→ M2 una función lisa entre dos variedades lisas. La
diferencial de la funcion f en un punto P0 y que denotaremos por d fP0 se define
como una aplicación lineal del espacio tangente TP0 a la variedad M1 en P0 en el
espacio tangente TQ0 a la variedad M2 en el punto Q0 imagen por f de P0
Sea (U, x1, . . . , xn) una carta de la variedad M1 en el entorno de P0 e (V, y1, . . . , y n)
una carta de la variedad M2 en el entorno de Q0 = f (P0). La aplicacion f se
puede representar mediante el conjunto de funciones y k = f k (x1, . . . xn), k =1,2, . . . , m. TP0 (M1) y TQ0 (M2) se pueden representar como espacios vectoriales
Rn y R
m respectivamente. Sea ξ ∈ TP0 (M1) y η ∈ TQ0 (M2) dos vectores cuyas com-
ponentes son (ξ1, . . . ,ξn) y (η1, . . . ,ηm). Si η= d fP0 (ξ) se tiene que
η1
...
ηm
=
∂ f 1
∂x1 (P0) . . . ∂ f 1
∂xn (P0)...
. . ....
∂ f m
∂x1 (P0) . . . ∂ f m
∂xn (P0)
ξ1
...
ξn
Aunque para dar la anterior definición hemos necesitado de una carta tanto en
M1 como en M2 se puede demostrar que la anterior definición es independiente
de la carta empleada. Para ello basta tomar la ley tensorial de transformación
de las componentes de un vector al pasar de un sistema de coordenadas a otro.
Sea (U ′, h′) = (U, x ′1, . . . , x ′n) y (V ′, k ′) = (V ′, y ′1, . . . , y ′n) dos nuevos sistemas de
cartas sobre M1, M2 respectivamente tales que P0 ∈U ′ y Q0 ∈ V ′, ver la figura B.3.
En las nuevas bases la función f toma la forma
y ′k = f ′k (x ′1, . . . , x ′n) =
Sea d f ′P0
la aplicación d fP0 construida con la ayuda de las dos nuevas cartas.
Sean (ξ′1, . . . ,ξ′n) y (η′1, . . . ,η′n) las componentes en las nuevas cartas de sendos
vectores de los espacios tangentes TP0 (M1) y TQ0 (M2) tal que
η′ j =∑
l
∂ f ′ j
∂x ′l ξ′l
352 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
x x' y y'
f f'
φ φ'
M1 M2
F
y' . F = f'(x') y . F = f(x)
Figura B.3: M1 y M2 representan dos variedades, x, x′, y, y′ sendas cartas defi-nidas en dichas variedades. f y f′ la expresión en las cartas x y x′ de una ciertafunción F entre ambas variedades
tenemos que demostrar que efectivamente η′ son las componentes de un vec-
tor en la nueva base, esto es que los conjuntos de componentes (η′1, . . . ,η′n ) y
(η1, . . . ,ηn) están relacionados mediante la expresión
η′ j =∑
l
∂y ′ j
∂y lηl
Las funciones f k y f ′k estan relacionadas por expresiones de la forma
f′(x′) = y′(y) = y′(f(x(x′)))
que podemos deducir a partir de las definiciones de f en los dos sistemas
y′ = f′(x′)
y = f(x)
B.14 Diferencial de una función 353
De la regla de la cadena se deduce que
(
∂ f ′ j
∂x ′k
)
P0
=∑
r,s
(
∂y ′ j
∂y r
)
Q0
(
∂ f r
∂xs
)
P0
(
∂xs
∂x ′k
)
P0
de donde
η′ j =∑
l
∂ f ′
∂x ′l ξ′l =
∑
l
∑
r,s
(
∂y ′ j
∂y r
)
Q0
(
∂ f r
∂xs
)
P0
(
∂xs
∂x ′l
)
P0
ξ′l
teniendo en cuenta que
ξl =∑
k
∂x l
∂x ′k ξk
tenemos
η′ j =∑
r,s
(
∂y ′ j
∂y r
)
Q0
(
∂ f r
∂xs
)
P0
ξs
y de la definición de η
η′ j =∑
r
(
∂y ′ j
∂y r
)
Q0
ηr
por lo tanto η′r y ηr son las componentes en las cartas de (V ′, k ′) y (V, k) de un
mismo vector tangente como queriamos demostrar.
Ejemplo B.3 Considerar una funcion f : M −→ R diferenciable definida en la
carta (U, x1, . . . , xn) por la expresión y = f (x1, . . . , xn). De la definición de dife-
rencial, d fP0 es una aplicación del espacio tangente de M en el espacio tangente
a R, que se identifica con R, esto es nos lleva al vector ξ1, . . .ξn en un número. De
la definición
d fP0 (ξ)= η1 =∑
k
(
∂ f
∂xk
)
P0
ξk
donde con d fP0 (ξ) queremos decir la aplicacion d fP0 aplicada a ξ.
Puesto que η1 ∈R, tenemos que la diferencial de una función es un operador
que nos lleva a un elemento de un espacio vectorial en un numero. La diferen-
cial es por tanto un elemento del espacio dual ( que denotaremos por T ∗P0
) del
espacio tangente TP0 (M), pues a todo elemento del espacio tangente ξ nos lo
lleva a R. Los elementos del espacio dual reciben el nombre de covectores.
354 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
La cantidad anterior,∑
k
(
∂ f
∂xk
)
P0
ξk ,
coincide con la llamada derivada direccional de la funcion f a lo largo del vector
ξ y la denotaremos por ξ( f ), de tal forma que
ξ( f ) = d fP0 (ξ)
(hemos empleado el mismo símbolo para denotar la derivada y el vector, pues
como veremos más adelante se pueden identificar).
Volvamos a la definición de diferencial
d fP0 (ξ) =∑
k
(
∂ f
∂xk
)
P0
ξk
>que pasa si la funcion f (x1, x2, . . . , xn)= x1 ?. Tenemos
dx1P0
(ξ)=∑
k
(
∂x1
∂xk
)
P0
ξk = ξ1
y lo mismo para el resto de los índices, por lo que sustituyendo ξ j por dxj
P0(ξ)
tenemos
d fP0 (ξ) =∑
k
(
∂ f
∂xk
)
P0
dxkP0
(ξ)
y como la anterior expresión es válida para cualquier vector ξ, tenemos
d fP0 =∑
k
(
∂ f
∂xk
)
P0
dxkP0
.
Esta expresión nos muestra que(
(∂ f /∂x1)P0 , . . . , (∂ f /∂xn )P0
)
, son las componen-
tes de la diferencial en la base dxkP0
. Podemos interpretar a dxkP0
como k-eximo
elemento de la base del espacio dual y la anterior expresión como expansión en
dicha base de la diferencial.
Ejemplo B.4 Calcular cual es el resultado de aplicar los los vectores base de la
diferencial a los vectores de la base canónica del espacio tangente correspon-
B.14 Diferencial de una función 355
diente a un sistema de coordenadas xi
De acuerdo a lo visto antes, el resultado de aplicar la diferencial dxkP0
a un vector
del espacio tangente vale
dxkP0
(ξ) = ξk
si ξ es el j-eximo vector base, tiene por componentes
(0,0,j
1,0,0)
por lo que
dxkP0
(ξ j ) = dxkP0
(
∂
∂x j
)
= δkj (B.6)
Ejemplo B.5 Evaluar la matriz de Jacobi en polares.
Antes de ceñirnos al caso particular que nos ocupa, vamos a relacionar las ma-
trices de Jacobi de una transformación de coordenadas y su inversa.
Suponer que tenemos una transformación de coordenadas dada por el sis-
tema de ecuaciones
y k = y k (x1, . . . , xn )
de acuerdo con nuestra definición de matriz de Jacobi
Jy =∂y k
∂x j=
∂y 1
∂x1 . . . ∂y 1
∂xn
.... . .
...∂y n
∂x1 . . . , ∂y n
∂xn
La matriz de Jacobi de la transformacion inversa vale
Jy−1 =∂xk
∂y j=
∂x1
∂y 1 . . . ∂x1
∂y n
.... . .
...∂xn
∂y 1 . . . , ∂xn
∂y n
356 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
Teniendo en cuenta que
δj
k=
∂y j
∂y k=
∑
l
∂y j
∂x l
∂x l
∂y k= Jy Jy−1
Así pues
Jy−1 = J−1y
En el caso de paso de coordenadas cartesianas euclidianas a polares la matriz de
Jacobi viene dada por la expresión
Jy =(
∂r∂x
∂r∂y
∂θ∂x
∂θ∂y
)
de acuerdo con el resultado anterior, esta matriz es inversa de la matriz
Jy−1 =(
∂x∂r
∂x∂θ
∂y∂r
∂y∂θ
)
y puesto que las ecuaciones de transformación son
x = r cosθ
y = r senθ,
tenemos
Jy−1 =(
cosθ −r senθ
senθ r cosθ
)
La matriz inversa vale,
Jy = (Jy−1 )−1 =
cosθ senθ
−1
rsenθ
1
rcosθ
Ejemplo B.6 Calcular las ecuaciones de transformacion de los vectores base del
espacio tangente TP0 y cotangente (o dual) T ∗P0
para el caso de coordenadas po-
lares planas y cartesianas euclidianas rectangulares.
B.14 Diferencial de una función 357
Las funciones de transformacion de coordenadas polares planas y cartesianas
euclidianas rectangulares son
x = r cosθ
y = r senθ
De la definición, los vectores base en polares son (∂/∂r) y (∂/∂θ), por lo que de
acuerdo con la regla de la cadena
∂
∂r=
∂
∂x
∂x
∂r+
∂
∂y
∂y
∂r
∂
∂θ=
∂
∂x
∂x
∂θ+
∂
∂y
∂y
∂θ
como∂x∂r = cosθ ∂y
∂r = senθ∂x∂θ =−r senθ
∂y
∂θ = r cosθ
tenemos
∂
∂r=
∂
∂xcosθ+
∂
∂ysenθ
∂
∂θ=
∂
∂x− r senθ+
∂
∂yr cosθ
que en forma matricial podemos poner como
(
∂∂r∂∂θ
)
=(
cosθ senθ
−r senθ r cosθ
)(
∂∂x∂∂y
)
Para el caso de los vectores base del espacio dual, teniendo en cuenta que
r 2 = x2 + y2 y tanθ=y
x
derivando, tenemos
dr =x
rdx +
y
rd y = cosθdx +senθd y
358 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
y
dθ=−senθ
rdx +
cosθ
rd y
que en forma matricial resulta
(
dr
dθ
)
=(
cosθ senθ
− senθr
cosθr
)(
dx
d y
)
Ejemplo B.7 Calcular las componentes del vector velocidad en coordenadas car-
tesinas rectangulares en R2 supuesto que sus componentes en coordenas pola-
res planas son r , θ.
SOLUCCIÓN En coordenadas polares el vector tiene como expresion
u = r∂
∂r+ θ
∂
∂θ
teniendo en cuenta la expresión obtenida anteriormente para el cambio de base,
u = r
(
cosθ∂
∂x+senθ
∂
∂y
)
+ θ
(
−r senθ∂
∂x+ r cosθ
∂
∂y
)
reordenando
u =(
cosθr − r θsenθ) ∂
∂x+
(
senθr + r θcosθ) ∂
∂y
así pues
ux = cosθr − r θsenθ
uy = senθr + r θcosθ
llamando ur = r y uθ = r θ
ux = cosθur −uθ senθ
uy = senθur +uθ cosθ
B.15 Notacion de Einstein 359
B.15. Notacion de Einstein
Para evitar tener que poner demasidos sumatorios, vamos a dar la siguiente
regla. Dado un monomio que tiene variables con subíndices y superíndices, un
índice repetido indica (salvo que se diga lo contrario) una sumatorio en el índice.
Así por ejemplo
xi y i =∑
i
xi y i
o
xki y i =
∑
i
xki y i
Los índices que se repiten son mudos, en el sentido que nos da lo mismo utilizar
un índice u otro, por ejemplo
xi y i = xk y k =∑
l
xl y l
En una expresión el índice que queda libre nos marca el tipo de objeto que te-
nemos. Si no nos queda ningún índice libre tenemos un escalar, si nos queda un
índice libre tenemos un vector, si nos quedan dos índices libres un tensor y así
sucesivamente.
Cuando tengamos fracciones (por ejemplo cuando tomemos parciales), un
superíndice libre en el denominador en el miembro de la derecha se transforma
en un subíndice en el miembro de la izquierda. Por ejemplo
ξi =∂y l
∂x iηl
B.16. Vectores covariantes y contravariantes. El espacio de
formas lineales
Definimos antes a un vector del espacio tangente como una corresponden-
cia que nos lleva a un punto de una variedad en un conjunto de n cantidades
tales que al hacer un cambio de un sistema de coordenadas x j a un sistema de
360 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
coordenadas y j estas se transforman de la siguiente forma
ηk =∑
l
∂y k
∂x lξl =
∂y k
∂x lξl
que en forma matricial podemos poner como
[η] = Jy [ξ]
siendo [η] y [ξ] las matrices columna que representan a los vectores en la base
nueva y antigua y Jy la matriz de Jacobi de la transformación. A esta forma de
comportamiento la llamaremos contravariancia y los "vectores"que la verifican
se denominan contravariantes. Así pues las componentes de un vector del es-
pacio tangente se transforman de forma contravariante. Podemos recordar esta
forma de comportamiento, por el comportamiento de las diferenciales. Si tene-
mos una transformación de coordenadas y = y(x), siendo y las nuevas y x las
antiguas tenemos
d y =∂y
∂xdx
Consideremos ahora el conjunto de las aplicaciones lineales del espacio tan-
gente TP0 (M) en R
l : ξ−→ l(ξ) ∈R
tal que
l : (ξ+η) = l(ξ)+ l(η)
l : (λ) =λl(ξ)
Este conjunto tiene una estructura de espacio vectorial sin más que definir la
suma de funciones y la multiplicación por un número
(l+m) : ξ−→ l(ξ)+m(ξ)
(λl) : ξ−→λl(ξ)
Este espacio vectorial se denomina espacio dual
Elijamos unas aplicaciones lineales particulares, tales que aplicadas a los
B.16 Vectores covariantes y contravariantes. El espacio de formaslineales 361
vectores base del espacio tangente en P0 nos dan deltas de Kronecker,
lm(∂
∂xk= δkm
Es fácil ver que
lm(ξ) = lm(ξk ∂
∂xk) = ξm
Este conjunto de aplicaciones lineales forman una base del espacio dual y por
tanto
l =λm lm
Vimos también, en secciones anteriores, como la diferencial dxm aplicada al
vector ξ nos daba ξm de tal forma que podemos tomar lm = dxm y por tanto
l =λm dxm
Las aplicaciones l reciben también el nombre de 1-formas diferenciales.
>Como se transforman las 1-formas cuando cambiamos de sistema de coor-
denadas ?. Sea y j un nuevo sistema de coordenadas en el entorno de P0. En este
sistema
l = ηm d y m
como en el sistema x i la 1-forma se expresa como λk dxk , tendremos
ηm d y m =λk dxk
Ahora bien, dxk = ∂xk /∂y m d y m , y por tanto
ηm d y m =∂xk
∂y mλk d y m
y por tanto
ηm =∂xk
∂y mλk
que en forma matricial podemos poner como
[η] = (Jy−1 )T [ξ] = (J−1y )T [ξ].
362 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
Vemos que ahora la forma de transformarse los vectores del espacio dual son
diferentes, pues la matriz de transformacion es la transpuesta de la inversa de
la matriz de Jacobi. A esta forma de comportamiento lo llamaremos covarian-
za y los vectores cuyas componentes en diferentes sistemas se transforman de
esta manera se llaman covectores o vectores covariantes. Así pues las 1-formas
diferenciales son covectores
Como vimos a la hora de definir la diferencial, d f , ésta se comporta como
una aplicación lineal y es por tanto un covector cuyas componentes son ∂ f /∂x i
B.17. Espacios euclídeo
Considerar que tenemos un variedad lisa M y que hemos elegido una carta
(U, x1, . . . , xn). Si la distancia entre dos puntos de la variedad M de coordenadas
xj1 y x
j2 viene dada por la expresion
ρ(x1, x2) =√
(x12 −x1
1 )2 + . . .+ (xn2 −xn
1 )2
diremos que las coordenadas x j son coordenadas cartesianas euclídeas y que
la variedad M es euclídea La anterior definición cumple con las condiciones de
una distancia y proveé a la variedad de una métrica, llamada métrica euclídea.
Si tenemos dos punto muy "proximos"la distancia al cuadrado entre ellos la po-
demos poner como
ds2 =∑
k
dxk dxk
siendo dxk = xk2 −xk
1 .
Aproximando la cuerda por el arco, la longitud de segmento de una curva
(x j (t )) viene dada por la expresión
l =∫
√
(dx1)2 + . . .+ (dxn)2
que podemos poner como
l =∫
√
(
dx1
dt
)2
+ . . .+(
dxn
dt
)2
dt
B.17 Espacios euclídeo 363
si el arco de curva es "muy pequeño"
dl2 =
(
dx1
dt
)2
+ . . .+(
dxn
dt
)2
dt 2
de donde, dividiento por dt 2
(
dl
dt
)2
=(
dx1
dt
)2
+ . . .+(
dxn
dt
)2
teniendo en cuenta el concepto de velocidad, v = dl/dt , tenemos
v2 =(
dx1
dt
)2
+ . . .+(
dxn
dt
)2
.
Dada nuestra interpretación de un vector del espacio tangente TP0 como vec-
tor tangente a una curva cuyas componentes son dx j /dt , podemos definir la
longitud de un vector de coordenadas ξk en el sistema de coordenadas eucídeas
|ξ|2 =∑
k
(ξk )2
Suponer ahora que hacemos una transformación de coordenadas
y j = y j (x1, . . . , xn)
la longitud elemental entre dos punto muy próximos vale
dl2 =∑
k
dxk dxk =∑
k
∂xk
∂y i
∂xk
∂y jd y i d y j
que podemos poner como
dl2 = gi j d y i d y j
siendo
gi j =∑
k
∂xk
∂y i
∂xk
∂y j
364 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
el llamado tensor métrico. La anterior expresión la podemos poner como
gi j =∂xk
∂y i
∂x l
∂y jδkl
siendo δkl la delta de Kronecker y que representa al tensor métrico en coordena-
das euclídeas. En la anterior expresión hemos empleado la notación de Einstein
dada anteriormente de suma en índices repetidos. De la definición de la matriz
de Jacobi de una transformación de coordenadas, el tensor métrico gi j repre-
sentando por una matriz G , toma la forma
G = JTy−1 I Jy−1
siendo Ii j = δi j la matriz identidad. Puesto que según hemos demotrado las
matrices de Jacobi verifican la ecuación
Jy−1 = J−1y
tenemos
G = JTy−1 I Jy−1 = (J−1
y )T I J−1y
De la misma manera que en el caso anterior, si hacemos una transforma-
ción de coordenadas ecuclídeas x i a otro sistema de coordenadas z i , el tensor
métrico en este nuevo sistema viene dada por la expresión
hi j (z) =∂xk
∂z i
∂x l
∂z jδkl
Se puede demostrar que los tensores métricos en los sistemas de coordenadas
y j y z j estan relacionados mediante la expresión.
hi j (z)=∂y k
∂z i
∂y l
∂z jgkl (y).
Esta forma de comportamiento define al tensor métrico como un tensor de se-
gundo orden covariante. En forma matricial la anterior expresión la podemos
B.17 Espacios euclídeo 365
poner como
H = JTz−1G Jz−1 = (J−1
z )T G J−1z
De la misma manera que la expresion de la longitud de un arco elemental
al pasar de coordenadas cartesianeas euclídeas a un sistema de coordenadas
cualquiera pasa de ser
dl2 = dxk dxk
a
dl2 = gi j d y i d y j
la longitud de un vector del espacio tangente TP0 pasa de ser
|ξ|2 = ξixξ
jx
en coordenadas cartesianas euclídeas x i a
|ξ|2 = gi jξiyξ
jy
en coordenadas cualesquiera y j . Obviamente las componentes del tensor mé-
trico han de evaluarse en P0.
Podemos definir el producto escalar entre dos vectores ξ, η del espacio tan-
gente TP0 como
ξ ·η= gi j (P0)ξiη j
de tal forma que la longitud de un vector se puede poner como
|ξ|2 = ξ ·ξ.
Así mismo se define el ángulo entre dos vectores del espacio tangente TP0 como
cosθ=ξ ·η|ξ||η|
=gi j (P0)ξiη j
√
gi j (P0)ξiξ j√
gi j (P0)ηiη j
Ejemplo B.8 Calcular el producto escalar de dos vectores base.
366 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
Sean g(i ) y g( j ) dos vectores base, su producto escalar será
g(i ) ·g( j ) = gkl g k(i )g l
( j )
ahora bien g k(i ) =δk
iy g l
( j ) = δlj
por lo que
g(i ) ·g( j ) = gklδki δ
lj = gi j
Si gi j es cero para los elementos de fuera de la diagonal, diremos que la base g(i )
es ortogonal, pues el producto escalar de los vectores base representa el ángulo
entre ellos.
En particular podemos calcular la longitud de los vectores base ∂∂y k del es-
pacio tangente que denotaremos como gk . De la definicion
|gk |2 = gi j g ik g
j
k
ahora bien la componente i-exima k-eximo vector base vale
gik = (0,0, . . . ,
i1, . . . ,0,0)k
esto es
gik = δi
k
y por tanto
|gk |2 = gi j g ik g
j
k= gi jδ
ikδ
j
k= gkk
Podemos definir un vector base unitario mediante la expresión
ek =gkpgkk
por lo que dado un vector ξ del espacio tangente TP0 , su expresión en esta base
unitaria la podemos poner como
ξ= ξ j g j =√
g j jξj e j
B.17 Espacios euclídeo 367
las componentes
ξ j ( f i s)=√
g j jξj
reciben el nombre de componentes físicas de un vector ξ
Ejemplo
Calcular los vectores base en cilíndricas
x = r cosθ
y = r senθ
z = z
los vectores base vienen definidos por
gr =∂
∂r= cosθ
∂
∂x+senθ
∂
∂y
gθ =∂
∂θ=−r senθ
∂
∂x+ r cosθ
∂
∂y
gz =∂
∂z=
∂
∂z
El tensor métrico gi j toma la forma
gi j =
1 0 0
0 r 2 0
0 0 1
de donde vemos que la base cilíndrica es diagonal. El determinanate del tensor
métrico vale g = r 2.
368 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
Los vectores base unitarios valen
er = gr = cosθ∂
∂x+senθ
∂
∂y
eθ =gθ
r=−senθ
∂
∂x+cosθ
∂
∂y
ez = gz =∂
∂z
Las componentes de un vector en la base natural valen
F = F r gr +Fθgθ+F z gz
y en la base unitaria
F = f r er + f θeθ+ f z gz
por lo que la relacion entre las componentes físicas y generalizadas vale
f 2 = F r
f θ = rFθ
f z = F z
B.17.1. Subir y bajar indices
Suponer que tenemos un espacio euclídeo y un sistema de coordenadas y j
donde el tensor métrico toma la forma G = gi j . Definimos el "tensorrecíproco
como
G =G−1
y cuyas componentes denotaremos como g i j . Obviamente de la definición
g i j g j k = δik
Suponer que hacemos un cambio de coordenadas a otro sistema de coordena-
das z i en el que el tensor métrico vale H = hkl . En el nuevo sistema tendremos
B.17 Espacios euclídeo 369
igualmente
H = H−1
>Como se relacionan H y G ?. Puesto que H y G son tensores métricos
H = (J−1z )T G J−1
z
sustituyendo
H =(
(J−1z )T G J−1
z
)−1 = JzG−1(Jz )T = JzG(Jz )T
que en forma de componentes
h i j (z)=∂z i
∂y pg pq (y)
∂z j
∂y q=
∂z i
∂y p
∂z j
∂y qg pq (y)
Esta forma de comportamiento nos dice que el "tensorrecíproco es un tensor
contravariante de segundo orden. Suponer ahora que tenemos un vector en el
espacio tangente TP0 que supondremos euclideo, vamos a asociar a cada vector
de este espacio A una 1-forma diferencial ω de la siguiente manera
ωA(ξ) = A ·ξ
esto es la 1-forma asociada ωA(ξ) aplicada a un vector ξ nos da el producto es-
calar de A con ξ. En terminos de componentes
ω jξj = gi j Aiξ j
de donde
ω j = g j i Ai
Este proceso recibe tambien el nombre de bajar índices. Multiplicando la ante-
rior expresión por el tensor recíproco,
g k jω j = g k j g j i Ai =δki Ai = Ak
de donde deducimos la expresión de las componentes del vector asociado a la
1-forma. De esta forma dado un vector le asociamos una una forma y al revés.
370 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
En el caso de tener una base ortogonal se verifica que
ω j = g j j A j (No suma en j)
o
A j =1
g j jω j (No suma en j)
Si tenemos las componentes físicas a j del vector A, se verifica que
a j =√
g j j A j =√
g j j1
g j jω j =
1p
g j jω j (No suma en j)
Supongamos ahora que las componentes de la 1–forma ωi sean las componen-
tes de la diferencial de una cierta funcion de Rn −→R,
wi =∂ f
∂x i
en estas condiciones el vector asociado toma la forma
Ak = g ki ∂ f
∂x i
que recibe el nombre de vector gradiente. Las componentes en una base orto-
gonal valen
Ak =1
gkk
∂ f
∂xkNo suma en k
y las componentes físicas
ak =1
pgkk
∂ f
∂xkNo suma en k
Así por ejemplo en cilíndricas vale
ar =∂ f
∂r, aθ =
1
r
∂ f
∂θ, az ∂ f
∂z
B.18 Tensores 371
B.18. Tensores
Hemo visto en los apartado anteriores como se transforman los vectores y
ciertos tensores de segundo orden cuando cambiamos de coordenadas, vamo a
dar ahor al definición de un tensor de orden cualqueira
Definición 14 Un tensor del tipo p veces contravariante y q veces covariante,
denotado como (p,q), es, relativo a un sistema de coordenadas y j , una familia
de números Ti1,...,ip
j1,..., jqtal que cuando pasamos a otro sistema de coordendas zk se
transforman de la siguiente manera
Ti1,...,ip
j1,..., jq(z)=
∂z i1
∂y k1· · ·
∂z ip
∂y kp
∂y l1
∂z j1· · ·
∂y lq
∂z jqT
k1,...,kp
l1,...,lq(y)
Al igual que los vectores los expresamos en sus correspondientes bases como
a = a i gi
o bien si es un covector como
a = ai gi
los tensores de segundo orden contravariantes los podemos poner como
T= T i j gi ⊗g j
donde gi ⊗g j representa el producto tensorial de vectores base (una especie de
producto cartesiano con ciertas propiedades de linealidad). Los tensores cova-
riantes se representan como
T= Ti j gi ⊗g j
y los de tipo general
T= Tk1,...,kp
l1,...,lqgk1 ⊗ . . .⊗gkp
⊗gl1 ⊗ . . .⊗glq
372 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
B.19. Tensores covariantes antisimétricos
Dada su importancia en la física, vamos a analizar el comportamiento de
los tensores covariantes antisimétricos. Se dice que un tensor covariante cuyas
componentes son Ti1,...,iqes antisimétrico si al cambiar un par índices de una
componente cambia el signo de la componente. Por ejemplo, si tenemos un ten-
sor de segundo orden covariante antisimétrico
T= Ti j gi ⊗g j
se verifica que
T j i =−Ti j
por lo que podemos escribir
T= Ti j (gi ⊗g j −g j ⊗gi ) (i < j )
llamando gi ∧g j = gi ⊗g j −g j ⊗gi , tenemos
T= Ti j gi ∧g j (i < j )
teniendo en cuenta que los vectores base del espacio cotangente son las dife-
renciales, podemos escribir
T= Ti j dx i ∧dx j (i < j )
la cantidad anterior recibe el nombre de forma diferencial de segundo orden o
2-forma . Esta claro de la definición que
dx i ∧dx j =−dx j ∧dx i
Es posible demostrar que el conjunto C n2 elementos
gi ∧g j = gi ⊗g j −g j ⊗gi
B.19 Tensores covariantes antisimétricos 373
forman una base de dimensión C n2 , de tal forma que los tensores antisimétricos
de segundo orden forman un subespacio del conjunto de tensores del orden 2.
Si denominamos a
T(i j ) = Ti j , i < j
la 2-forma se puede expresar como
T=T(i j )dx i ∧dx j
de tal forma que en un cambio de base, los elementos T(i j ) se transforman como
T ′(i j ) =T(kl)
∂xk
∂y i∂x l
∂y i
∂xk
∂y j∂x l
∂y j
Al igual que sucede con las 1-forma, el resultado de aplicar una 2-forma a un
par de vectores ξ,η es un numero real
T : (ξ,η) = Ti jξiη j
esto es la 2-forma es una forma bilinial. Puesto que por definición Ti j =−T j i se
verifica que
T : (ξ,η) =−T : (η,ξ)
y por tanto es una forma bilinial antisimétrica.
Definición 15 Se dice que una 2-forma es no singular si el determimante de la
la matriz Ti j es diferente de cero. Esto equivale a decir que si
T : (ξ,η) = 0
para todo vector η, necesariamente ξ= 0
Definición 16 Sean M2n una variedad par dimensional y una 2-forma no sin-
gular T definida sobre ella se define el producto escalar antisimétrico de dos
vectores pertenecientes al espacio tangente TP en un punto P de la variedad
374 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
como
T : (ξ,η)= Ti jξiη j
Los tensores antisimétricos de orden q, satisfacen la siguiente ecuación
Tσ(i1,...,iq ) = (sgnσ)T(i1,...,iq )
siendo σ(i1, . . . , iq ) una permutación cualquiera de los índices, (i1, . . . , iq ) y (sgn)
el signo de la permutación, +1 si es par y -1 si es impar. Extendiendo al caso
de orden q la definición dada anteriormente para el caso de segundo orden del
producto ∧, se tiene
dx i1 ∧·· ·∧dx iq =∑
σ∈Sk
(sgnσ)gσ(i1) ⊗·· ·⊗gσ(iq )
donde la suma está estendida a todas las permutaciones de los índices (i1 , . . . , in).
Ahora
dxσ(i1) ∧·· ·∧dxσ(iq ) = (sgnσ)dx i1 ∧·· ·∧dx iq
y el tensor T lo podemos poner como
T= Ti1,...,iqdx i1 ∧·· ·∧dx iq .
Estos tensores reciben el nombre de formas diferenciales de orden q
El caso en que el orden del tensor coincida con la dimension del espacio
es interesante. En este caso solo existe una componente independiente, el resto
se obtiene a partir de esta componente independiente. Por facilidad elegimos
como componente independiente a la componente T1,...,n , de acuerdo con las
ecuaciones anteriores
Tσ(i1,...,in ) = (sgnσ)T1,...,n
Por ejemplo en 3 dimensiones tendremos
T = T123g1 ⊗g2 ⊗g3 +T312g3 ⊗g1 ⊗g2 +T231g2 ⊗g3 ⊗g1 +
T213g2 ⊗g1 ⊗g3 +T321g3 ⊗g2 ⊗g1 +T132g1 ⊗g3 ⊗g2
B.19 Tensores covariantes antisimétricos 375
de la definición, Ti j k = (sgnσ)T123, esto es, Ti j k =+T123 si (i j k) es una permu-
tación par de 123 y Ti j k =−T123 si (i j k) es una permutación impar, por lo que
T= T123(g1⊗g2⊗g3+g3⊗g1⊗g2+g2⊗g3⊗g1−g2⊗g1⊗g3−g3⊗g2⊗g1−g1⊗g3⊗g2)
a lo que esta entre parentesis lo llamamos g1 ∧g2 ∧g3, por lo que
T= T123g1 ∧g2 ∧g3
que en terminos de las diferenciales
T= T123dx1 ∧dx2 ∧dx3
Es costumbre en física introducir el llamado tensor de Levi-Civita, definido de
las siguiente forma, ǫi j k = +1 si (i j k) es una permutacion par de 123 y -1 si es
una permutación impar, esto es ǫi j k = (sgnσ), por lo que las anteriores expre-
siones toman la forma
T= T123g1 ∧g2 ∧g3 = T123ǫi j k gi g j gk = T123ǫi j k dx i dx j dxk
Una definición similar es válida para cualquier dimensión. Podemos por tanto
considerar a los ǫ como las componentes del tensor cuando T123 = 1.
>Cual es el comportamiento de ǫi j k ?. Para ello consideremos la transfor-
mación de coordenadas g 1, . . . , g N → h1, . . . , hN . Desarrollando el inverso del
jacobiano de la transformación obtenemos
Jh−1 = ǫi j k∂g i
∂h1
∂g j
∂h2
∂g k
∂h3
La anterior expresión la podemos poner como
ǫpqr Jh−1 = ǫi j k∂g i
∂hp
∂g j
∂hq
∂g k
∂hr=
376 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
ahora bien puesto que Jh−1 = J−1h
, tenemos
ǫpqr = Jhǫi j k∂g i
∂hp
∂g j
∂hq
∂g k
∂hr
lo que muestra que los simbolos ǫi j k se tranforman ‘casi’ como un tensor antisi-
métrico de tercer orden pues aparece el Jacobiano en el miembro de la derecha.
A esta clase de objetos se les denomina densidades tensoriales de peso 1 (el ex-
ponente del jacobiano parca el orden del peso). A partir de la relación anterior
es facil de ver que los elementos principales de los tensores completamente an-
tisimétricos T123 se transforman mediante la relación
T123(h)Jh =T123(g )
bajo una transformación de coordenadas h j = h j (g k ). De la definición de tensor
covariante,
Tpqr (h) =Ti j k (g )∂g i
∂hp
∂g j
∂hq
∂g k
∂hr
puesto que Tpqr (h)= T123(h)ǫpqr y Ti j k (g )= T123(g )ǫi j k sustituyendo
T123(h)ǫpqr (h)= T123(g )ǫi j k∂g i
∂hp
∂g j
∂hq
∂g k
∂hr
teniendo en cuenta la trasnformacion de los ǫpqr , tenemos
T123(h)Jhǫi j k∂g i
∂hp
∂g j
∂hq
∂g k
∂hr=T123(g )ǫi j k
∂g i
∂hp
∂g j
∂hq
∂g k
∂hr
de donde
T123(h)Jh =T123(g )
Supongamos ahora que tenemos una métrica, vimos anteriormente que los
tensore métricos en los sistemas h y g estan relacionados por la expresión
H = (J−1)T G J−1
B.19 Tensores covariantes antisimétricos 377
por lo que el determinante vale
Det(H) = h = Det((J−1)T G J−1) = Det(J−1)2Det(G) =1
J2Det(G) =
1
J2g
por lo que, supuesto J > 0,
J =p
gp
h
sustituyendo en la expresión del determinante, obtenemos
ǫpqr =(p
gp
h
)
ǫi j k∂h i
∂g p
∂h j
∂g q
∂hk
∂g r
que reordenandop
hǫpqr =p
gǫi j k ∂h i
∂g p
∂h j
∂g q
∂hk
∂g r
lo que demuestra que
εi j k =pgǫi j k
son las componentes de un tensor antisimétrico de tercer orden. Puesto que en
cartesianas g = 1, este tensor en cartesianas coincide con los simbolos ǫ.
Expresión del elemento de volumen
Vamos a hacerlo para el caso de 3 dimensiones y se extiende de forma natu-
ral a otras dimensiones. Como vimos antes εi j k =pgǫi j k constituyen las com-
ponentes de un tensor covariante completamente antisimétrico, esto es es una
forma diferencial de tercer orden. >Cual es el resultado de aplicar esta forma a
tres vectores del espacio tangente ?. Sean (a, b, c) tres vectores del espacio tan-
gente y ω=√
g (x)ǫi j k dx i dx j dxk . Aplicando la forma diferencial a los anterio-
res vectores tenemos
ω(a,b,c) =√
g (x)ǫi j k dx i dx j dxk (a,b,c) =√
g (x)ǫi j k dx i (a)dx j (b)dxk (c)
Teniendo en cuenta que de acuerdo con el concepto de diferencial dxk (a) = ak
tenemos
ω(a,b,c) =√
g (x)ǫi j k a i b j ck
378 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
que desarrollando
ω(a,b,c) =√
g (x)(a1b2c3 +a3b1c2 +a2b3c1 −a2b1c3 −a1b3c2 −a3b2c1)
podeis comprobar que el término entre parentesis es el determinante de la ma-
triz
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
esto es
ω(a,b,c) =√
g (x)Det(a,b,c)
En coordenadas carsesianas euclídeas, g = 1 y como sabemos del algebra, el
anterior determinanate representa el producto mixto de los tres vectores y por
tanto el volumen abarcado por ellos supuesto que tengan un origen común. Si
suponemos que los tres vectores son pequeños "vectores"tangentes a las líneas
coordenadas. La anterior expresión representa el volumen elemental y por tanto
podemos considerar a la forma diferencial
ω=pgǫi j k dx i dx j dxk =p
g dx i ∧dx j ∧dxk
como el elemento de volumen (en realidad su aplicación a tres vectores tangen-
tes a las líneas coordenadas).
Ejemplo B.9 Calcular el elemento de volumen en esféricas
Como hemo visto antes
dV =pg dx1 ∧dx2 ∧dx3
aplicando la anterio forma diferencial a los vectores dr = (dr,0,0), dθ= (0, dθ,0), dφ=(0,0,φ)), obtenemos
dV =pg
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
dr 0 0
0 dθ 0
0 0 dφ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=pg drdθdφ
B.20 Derivada Covariante 379
Teniendo en cuenta que en esféricas
gi j =
1 0 0
0 r 2 0
0 0 r 2 sen2θ
tenemos quep
g = r 2 senθ, por lo que
dV = r 2 senθdrdθdφ
B.20. Derivada Covariante
Para calcular la derivada de un campo vectorial (un tensor) debemos de cal-
cular la diferencia de dos vectores en puntos "próximos", dividir por la distan-
cia entre los puntos y calcular el límite cuando tendemos a cero la distancia
entre ellos. Ahora bien resulta que en cada punto tenemos espacios vectoria-
les tangentes diferentes y por tanto bases diferentes. Recordar que los espacios
tangentes son locales. En coordenadas cartesianas euclídeas, esto no representa
ningun problema pues las bases son en todos los puntos las mismas, pero esto
no es cierto en un sistema de coordenadas cualesquiera. Para restar los vectores
debemos primero llevarlos a una misma base.
Vamos a suponer que tenemos un vector a cuyas componentes en una base
cualquiera gi en los puntos P y P ′ de coordenadas (y1, . . . , y n) y (y1+d y1, . . . , y n+d y n) vienen dada por la expresión
a(P) = a i (P)gi (P)
a(P ′) = a i (P ′)gi (P ′)
Antes de poder restar los vectores necesitamos ponerlos en la misma base, para
ello desarrollemos en serie hasta primer orden la segunda ecuación,
a(P ′) =(
a i (P)+∂a i
∂y jd y j
)
×(
gi (P)+∂gi
∂y jd y j
)
380 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
que salvo términos de segundo orden podemos poner como
a(P ′)= a i (P)gi +a i (P)∂gi
∂y jd y j +
∂a i
∂y jd y j gi = a(P)+
∂a i
∂y jd y j gi +a i (P)
∂gi
∂y jd y j
Necesitamos por último expresar en la base gi (P) el último término. Vamos a
suponer que existen un conjunto de 3n funciones Γki , j
, tales que
∂gi
∂y j=
(
∂gi
∂y j
)k
gk = Γki j gk
de donde, restando a(P) en ambos miembros
da(P) =∂a i
∂y jd y j gi +a i (P)Γk
i j d y j gk
En esta expresión, en el segundo término del miembro de la izquierda, aparece
una suma en i y en k podemos intercambiar el nombre de los índices puesto
que esto son mudos y poner
da(P) =∂a i
∂y jd y j gi +ak (P)Γi
k j d y j gi
de donde, sacando factor común
da(P) =(
∂a i
∂g j+ak (P)Γi
k j
)
d y j gi (B.7)
que representa la diferencial del vector. El término entre paréntesis lo designa-
remos como a i , j de tal forma que
da(P) = a i , j d y j gi
así pues a i , j d y j representa la componente en la base gi del vector diferencial.
Puesto que d y j son las componentes de un covector y a i , j d y j son tambien
las componentes de un vector, de acuerdo con nuestro criterio de tensorialidad
anterior, a i , j representa las componentes de un tensor y recibe le nombre de
B.20 Derivada Covariante 381
tensor derivada covariante . De acuerdo con nuestra definición
a i , j =∂a i
∂y j+ak
Γik j
a la cantidad Γik j
que representa la i-exima componente de la derivada respecto
de la j-exima coordenada y j del k-eximo vector base gk se la denomina símbolo
de Christoffel de segundo orden y se les representa por
Γij k =
i
j k
=(
∂gk
∂y j
)i
(B.8)
de tal forma que
a i , j (P) =∂a i
∂y j+Γ
ij k ak (P) (B.9)
y el vector diferencial
da(P) = a i , j (P)d y j gi (P)
y la derivada total respecto del tiempo
da
dt= a i , j (P)y j gi (P) (B.10)
así pues la i-exima componente de la derivada todal vale
(
da
dt
)i
= a i , j (P)y j (B.11)
o bien en términos de los símbolos de Christoffel
(
da
dt
)i
=∂a i
∂y jy j +Γ
ij k ak (P)y j =
da i
dt+Γ
ij k ak (P)y j (B.12)
donde hemos tenido en cuenta que
da i
dt=
∂a i
∂y jy j
382 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
Así por ejemplo las componentes contravariantes de la aceleración serán
a i (P) =(
dv
dt
)i
=dv i
dt+Γ
ij k vk (P)v i (P)
Es posible demostrar, si la variedad esta dotada de una métrica, que los símbolos
de Christoffel se pueden deducir del tensor métrico gi j mediante la ecuación
Γki j =
1
2g kh
(
∂gi h
∂y j+∂g j h
∂y i−∂gi j
∂y h
)
(B.13)
A las cantidades
Γi j ,h =1
2
(
∂gi h
∂y j+∂g j h
∂y i−∂gi j
∂y h
)
(B.14)
se las denomina simbolos de Christoffel de primer orden.
Los símbolos de Christoffel no son las componentes de un tensor (más ade-
lante se dará la definición general de tensor) y se transforman de la siguiente
forma cuando se pasa de un sistema de coordenadas a otro
Γnlm (z) =
∂y p
∂z l
∂y q
∂zm
∂zn
∂y rΓ
rpq (y)+
∂2 y p
∂z l∂zm
∂zn
∂y p
Es posible demostrar que la derivada covariante de las componentes cova-
riantes se pueden calcular mediante la expresión
vi , j =∂vi
∂x j−Γ
ki j vk
Para ello considerar el producto escalar w · v siendo w un campo homogéneo.
Derivando
w ·dv = w i dvi +dw i vi
ahora bien como el campo w es homogéneo
dw = dw i +Γij k wk d y j = 0
de donde
dw i =−Γij k wk d y j
B.20 Derivada Covariante 383
sustituyendo
w ·dv = w i dvi −Γij k wk d y j vi
intercambiando los índices i y k en el primer término del segundo miembro
w ·dv= wk (dvk −Γij k d y j vi )
de donde
(dv)k = dvk −Γij k d y j vi =
(
∂vk
∂y j−Γ
ij k vi
)
d y j
y por tanto
vk , j =∂vk
∂y j−Γ
ij k vi (B.15)
Ejercicio B.1 Demostrar que en coordenadas cualesquiera (y j ),
Γki j =
∂2xp
∂y j∂y i
∂y k
∂xp
siendo x j coordenadas cartesianas euclídeas.
SOLUCCIÓN
De la definición de vectores base
∂
∂y i=
∂
∂xk
∂xk
∂y i
derivando respecto a y j
∂
∂y j
(
∂
∂y i
)
=∂
∂y j
(
∂
∂xk
∂xk
∂y i
)
=∂
∂y j
(
∂xk
∂y i
)
∂
∂xk=
∂2xk
∂y j∂y i
∂
∂xk
donde hemos hecho uso de que las bases cartesianas euclideas no cambian. Vol-
viendo al sistema de coordenadas inicial
∂
∂xk=
∂y l
∂xk
∂
∂y l
384 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
sustituyendo∂
∂y j
(
∂
∂y i
)
=∂2xk
∂y j∂y i
∂
∂xk=
∂2xk
∂y j∂y i
∂y l
∂xk
∂
∂y l
por lo que la componente l de la anterior expresión, que no es otra cosa que
la componente l de la derivada respecto de la j-exima coordenada del i-eximo
vector base, esto es Γl i j , vale
Γli j =
∂2xk
∂y j∂y i
∂y l
∂xk
como queriamos demostrar.
B.20.1. Definición divergencia y rotacional
Se define el rotacional de un vector
roti j v = vi , j −v j ,i (B.16)
siendo vi , j la derivada covariante de las componentes covariante de v. Habida
cuenta de la expresión de la derivada covariente y de las simetría de los símbolos
de Christoffel respecto de los indice inferiores se obtiene
roti j v =∂vi
∂g j−∂v j
∂g i(B.17)
A este tensor se le asocia un vector mediante la ecuación
rotk v = εi j k roti j v =1p
gǫi j k roti j v (B.18)
donde los simbolos εi j k y ǫi j k se definiran más adelante.
Se define la divergencia de un vector, al escalar
divv = v i , i
esto es, la divergencia de un vector v coincide con la traza del tensor derivada
B.20 Derivada Covariante 385
covariante v i , j . Puesto que
v i , j =∂v i
∂g j+Γ
ij k vk
se tiene que
divv =∂v i
∂g i+Γ
ii k vk .
Se pude demostrar tras largas manipulaciones que
divv =1p
g
∂
∂g i(p
g v i ) (B.19)
Ejemplo B.10 Calcular la derivada covariante del tensor εi j k
La derivada covariante del tensor E = ε vale
εi j k , l =∂
∂g lεi j k +Γ
iqlε
q j k +Γj
qlεi qk +Γ
kqlε
i j q
Ahora bien la derivada covariante del tensor E en cartesianas es cero, por lo tan-
to será cero en cualquier sistema de coordenadas
0 =∂
∂g lεi j k +Γ
iqlε
q j k +Γj
qlεi qk +Γ
kqlε
i j q
teniendo en cuenta la expresión de εi j k = ǫi j k /p
g , obtenemos
1p
g
∂p
g
∂g lεi j k = Γ
iqlε
q j k +Γj
qlεi qk +Γ
kqlε
i j q
en la que se ha tenido en cuenta que
∂
∂gi
1p
g=−
1
g
∂p
g
∂gi
386 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
y la definición de ε. Multiplicando por ǫi j k y teniendo en cuenta que
ǫi j kǫi j k = 3!
ǫi j kǫi j p = 2δkp
se tiene
1p
g
∂p
g
∂g l3!/g 2 = (2Γi
qlδq
i+2Γ
j
qlδ
q
j+2Γk
qlδq
k)/g 2 = (2Γi
i l+2Γj
j l+2Γk
kl )/g 2 = 3!Γkkl /g 2
de donde1p
g
∂p
g
∂g l= Γ
kkl
que es la expresión que queriamos obtener.
B.21. Diferencial exterior de una forma diferencial
Puesto que nuestro interés se va a centrar en estudiar 1-formas y 2-formas
definiremos la diferencial exterior utilizando como ejemplos este tipo de ten-
sores aunque la forma de extender la definición a q-formas es inmediata. En
primer lugar debemos de decir que la diferencial exterior de una forma diferen-
cial de orden q nos da una forma diferencial de orden q+1. Así, si tenemos una
función f que en el sistema de coordenadas x i toma la forma f (x i , . . . , xn) la
diferencial exterior es la 1-forma
T= Ti dx i =∂ f
∂x idx i
esto es coincide con el gradiente de la función. Si tenemos una 1-forma
T=Ti (x1, . . . , xn)dx i
la diferencial exterior vale
dT= dTi (x1, . . . , xn)∧dx i
B.22 Estructuras simpléticas sobre variedades 387
teniendo en cuenta la definición de la diferencial,
dT=∂Ti
∂x jdx j ∧dx i
En particular si Ti = ∂ f /∂x i , esto es si T es la diferencial de una función, en este
caso se puede ver que dT= d2 f = 0.
Si tuviesemos una 2-forma
T= Ti j dx i ∧dx j
la diferencial valdría
dT= dTi j ∧dx i ∧dx j
Definición 17 Se dice que una forma diferencial es cerrada si su diferencial ex-
terior es nula
B.22. Estructuras simpléticas sobre variedades
Sea M2n una variedad par dimensional. Una estructura simplética sobre M
es una 2-forma diferencial no singular y cerrada sobre M2n :
dT= 0;
al par M ,T se denomina variedad simpletica. La estructura simpletica permite,
al igual que la métrica riemmaniana, asociar vectores y 1-formas. Sea ξ un vec-
tor perteneciente al espacio tangente a la variedad par dimensional M2n en un
punto P perteneciente a dicha variedad, podemos asociar al vector ξ la 1-forma
ωξ mediante la expresión
ωξ(η) =T : (ξ,η)
Denominemos con I el isomorfismo establecido entre el espacio tangente TP y
el dual T ∗P establecido por la estructura simplética y sea H una función definida
sobre la variedad M . Como sabemos dH es una 1-forma diferencial sobre dicha
388 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
variedad. En cada punto de la variedad existe un un vector tangente definido
mediante la expresión IdH. El campo así definido se denomina campo vectorial
hamiltoniano.
B.23. El sistema de coordenadas naturales
Vamos a considerar ahora un sistema de cooordenadas un poco especial. Pa-
ra ello considerar una partícula que se mueve en el espacio (puede ser el espacio
euclideo R3, o Rn), en el curso del tiempo esta partícula describe una curva que
consideraremos lo suficientemente suave (esto es tiene derivadas con continui-
dad hasta el orden requerido). Vamos a considerar un sistema de coordenadas
en el cual una de las curvas coordenadas es la propia curva descrita por la partí-
cula. Sea x = x(t ) la ecuación paramétrica de la curva. Por simplicidad podemos
pensar que t representa el tiempo. En este sistema de coordenadas el vector ve-
locidad v = dx/dt solo tiene una componente. Pongamos el vector velocidad de
la partícula como
v = vτ
siendo v el módulo de v. De la definición anterior esta claro que el vector τ es un
vector unitario tangente a la curva. Sea ds el elemento de longitud de arco de la
curva, esto es
ds =p
dx ·dx =
√
dx
dt·
dx
dtdt =
pv ·vdt = vdt
Puesto que ds/dt = v > 0, podemos utilizar como parámetro para definir la cur-
va a s en lugar de t . Sea x(s) la expresión de la curva en términos del parametro
s. La velocdidad de la particula la podemos expresar como
v =dx
dt=
dx
ds
ds
dt
puesto que ds/dt = v,
v =dx
dt= v
dx
ds
B.23 El sistema de coordenadas naturales 389
y por tanto el vector unitario tangente a la curva τ viene dado por
τ=dx
ds
Puesto quedx
ds=
dx
dg i
dg i
ds=
dg i
dsgi
siendo gi el vector base en el sistema de coordenadas g i , las componentes del
vector unitario tangente en el sistemas de coordenadas g i , tiene por expresión
τi =dg i
ds
El vector velocidad lo podemos poner como
v = vτ= vdx
ds= v
dx
dg i
dg i
ds= v
dg i
dsgi
así pues, la relación entre las componentes de la velocidad en el sistemas de
coordenadas natural v y el sistema de coordenadas g es
v i = g i = vdg i
ds
Obviamente de la definición de v como el módulo de la velocidad se tiene
v =√
gi j g i g j
Calculemos ahora la aceleración. Como sabemos
a =dv
dt=
d
dtvτ=
dv
dtτ+v
dτ
dt=
dv
dtτ+v
dτ
ds
ds
dt=
dv
dtτ+v2 dτ
ds
Puesto que τ es un vector unitario, dτ/ds es un vector normal a τ y como 1/ds
tiene dimensiones de longitud a la menos 1, podemos poner
dτ
ds= kn
390 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
siendo k un coeficiente con dimensiones de longitud a la menos 1 y n es un
vector unitario normal al τ. k recibe el nombre de curvatura y ρ = 1/k radio de
curvatura. Así pues,
a =dv
dtτ+v2kn
Así pues el vector aceleración tiene dos componentes una a lo largo de la tan-
gente a la trayectoria y recibe el nombre de aceleración tangencial y otra normal
a la trayectoria y recibe el nombre de aceleración normal. Puesto que según he-
mos demostrado antes
τ=dg i
dsgi
tenemos para la parte tangencial de la aceleración
a(t ) =dv
dt
dg i
dsgi
y por tanto la i-exima componente de la aceleración tangencial en el sistema g i
vale
a i(t ) =
dv
dt
dg i
ds. (B.20)
Puesto que as = dv/dt , tenemos
a i(t ) = as dg i
ds(B.21)
que corresponden con las leyes de transformación de un vector contravariante.
Respecto de la componente normal
a(n) = v2kn
De la definición del vector normal tenemos
kn=dτ
ds
Dada la expresión obtenida antes para la derivada total de un vector, llamando
τk a la componente k del vector τ en el sistema de coodenadas g , esto es τk =
B.23 El sistema de coordenadas naturales 391
dg k/ds, tenemos(
dτ
ds
)k
=dτk
ds+τpτq
Γkpq
siendo Γkpq los simbolos de Kristoffel en el sistema g , así pues
kn=dτ
ds=
(
dτk
ds+τpτq
Γkpq
)
gk
esto es
kn =dτ
ds=
(
d2g k
ds2+
dg p
ds
dg q
dsΓ
kpq
)
gk
LLamemos k i al coeficiente de gi , esto es
k i =(
d2g i
ds2+
dg p
ds
dg q
dsΓ
ipq
)
(B.22)
Tenemos,
kn= k i gi
puesto que n es unitario por construcción, k tiene por expresión al módulo de
la anterior expresión, esto es
k =√
gi j k i k j (B.23)
La expresión en el sistema g i del vector unitario n será
n i =1
kk i (B.24)
y la parte normal de la aceleración tendrá como expresión
a(n) = v2kn = v2k i gi
de donde
a i(n) = v2k i = v2
(
d2g i
ds2+
dg p
ds
dg q
dsΓ
ipq
)
(B.25)
392 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
nos da la expresión en el sistema de coordenadas g i de la aceleración normal.
Hay que tener en cuenta que estas son las componentes canonicas si queremos
las componentes físicas debemos de multiplicar por la correspondientep
gi i .
Lo mismo sucede para la parte tangencial de la aceleracion, esto es
a i(t )( f i s) = p
gi idv
dt
dg i
ds(B.26)
a i(n)( f i s) = p
gi i v2(
d2g i
ds2+
dg p
ds
dg q
dsΓ
ipq
)
(B.27)
LLegados a este punto podemos escribir las ecuaciones de Newton. Para ello
desconpongamos la fuerza aplicada en sus componentes tangencial y normal
F =F(t ) +F(n)
la parte tangencial la podemos poner como
F(t ) = (F ·τ)τ
Teniendo en cuenta la definición de producto escalar dado anteriormente, en el
sistema g i tendremos
F ·τ= gi j F iτ j = F jτj
de tal forma que la componente i del vector fuerza tangente será
(F(t ))i = (F jτ
j )τi
y teniendo en cuenta la expresión de τi , tenemos
(F(t ))i = (F j
dg j
ds)
dg i
ds
De acuerdo con las leyes de Newton, esta componente ha de ser igual a la com-
ponente i de la masa por la aceleración tangencial, esto es
mdv
dt
dg i
ds= (F j
dg j
ds)
dg i
ds
B.23 El sistema de coordenadas naturales 393
y por tanto
mdv
dt= F j
dg j
ds= Fs (B.28)
siendo Fs la componente generalizada de la fuerza en la dirección tangencial.
Esta ecuación nos permite obtener la ley horaria, puesto que v = ds/dt , obte-
nemos a patir de ella como es s(t ). Necesitamos por tanto obtener la ecuación
de la trayectoria, esto es obtener g i (s). Para ello utilizaremos la componente
normal de la fuerza, que viene dada mediante la expresión
F(n) = F−F(t )
que en el sistema de coordenadas g i se expresa como
F(n) = F i gi − (F ·τ)dg i
dsgi =
(
F i − (F ·τ)dg i
ds
)
gi
donde se ha tenido en cuenta que τ = dg i
ds gi .Teniendo en cuenta la expresión
para la componente tangencial de la fuerza obtenida anteriormente, tenemos
F(n) =(
F i −F jdg j
ds
dg i
ds
)
gi =(
g i j F j −F jdg j
ds
dg i
ds
)
gi
y por tanto igualando a la componente normal de la aceleración multiplicada
por la correspondiente masa,
ma i(n) = mv2
(
d2g i
ds2+
dg p
ds
dg q
dsΓ
ipq
)
=(
g i j F j −F jdg j
ds
dg i
ds
)
(B.29)
Este conjunto de n ecuaciones diferenciales de segundo orden (una por cada i ),
nos da lugar al calculo de las n ecuaciones g i (s) que nos expresa de forma pa-
ramétrica la ecuación de la trayectoria. Si la fuerza aplicada es nula, la ecuación
resultante es(
d2g i
ds2+
dg p
ds
dg q
dsΓ
ipq
)
= 0 (B.30)
que es la ecuación paramétrica de una recta en coordenadas cualesquiera g i
394 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
B.24. Campos de vectores. Derivada de Lie
Sea (U, x1, . . . , xn) un sistema de coordenadas de una variedad diferencial M .
Con cada campo vectorial ξi (x1, . . . , xn), esto es la aplicación que asocia a cada
punto de la variedad con un vector de su espacio tangente, existe el siguiente
sistema de ecuaciones diferenciales
x i (t )= ξi (x1(t ), . . . , xn(t ))
Las soluciones del anterior sistema x i = x i (t ) de denominan curvas integrales
del campo vectorial ξi . De la teoría de las ecuaciones diferenciales, bajo la hi-
pótesis de que los campos ξi son lisos, existe una solución y solo una de las
anteriores ecuaciones diferenciales con la condición que
x i (t = 0) = x i0
La curva integral de un campo vectorial se puede considerar como la tra-
yectoria de una partícula cuyo campo de velocidades es ξi y cuya posición en el
instante inicial es x i0
Sea F it (x1
0 , . . . , xn0 ) la aplicación , dependiente del parametro t , que nos lleva
a la ‘partícula’ desde su posición inicial en t = 0 a su posición en el instante t ,
F it (x1
0 , . . . , xn0 ) = x i (t , x1
0 , . . . , xn0 ).
La teoría de las ecuaciones diferenciales nos garantiza que la aplicación F it , para
t suficientemente pequeño, en un entorno del punto x i0 es un difeomorfismo,
esto es, la aplicación F it , es biyectiva, continua y derivada continua y su inversa
es continua y derivada continua. Si consideramos que F0 es la identidad y que
para valores suficientemente pequeños del parámetro t las funciones Ft son di-
feomorfismos que satisfacen las relaciones
Fs+t = Fs Ft , F−t = (Ft )−1
vemos que Ft define un grupo de transformaciones, llamado el grupo local. de
esta manera nuestro campo vectorial inicial ξi genera un grupo local de trans-
B.24 Campos de vectores. Derivada de Lie 395
formaciones.
Para valores de t suficientemente pequeño las curvas integrales las podemos
desarrollar en serie por lo que las aplicaciones Ft toman la forma explicita
x i (t , x10 , . . . , xn
0 ) = x i0 + tξi (x1
0 , . . . , xn0 )+o(t 2) (B.31)
de donde, la matriz de Jacobi de la transformación toma la forma,
∂x i (t )
∂xj0
=δij + t
∂ξi (0)
∂xj0
y la matriz de Jacobi de la transformación inversa toma la forma
∂x i0
∂x j=δi
j − t∂ξi
∂x j
donde hemos hecho uso de que (Ft )−1 = F−t para t pequeño.
La construción anterior se puede hacer al reves, dada la curva integral F it
podemos definir el campo vectorial
ξi =(
d
dtF i
)
t=0
que es una de la formas en las que definimos el espacio tangente.
Dado que F it es una familia de difeomorfismos, podemos considerar a las ex-
presiones (B.31) como las ecuaciones de transformación de coordenadas. Sean
T ij
las componentes de un tensor una vez covariante y una vez contravariante1,
bajo la transformacón de coordenadas dadas por la curva integral, si T kl
son las
componetes del tensor en el instante t , las componentes en la base x i0 valen
(Ft T )ij = T k
l
∂x l
∂xj
0
∂x i0
∂xk
1 Vamos a hacer las cuentas para el caso de un tensor del tipo (1,1), los mismo resultados seobtienen para uno del tipo (p,q)
396 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
Definición 18 Se define la derivada de Lie2 de un tensor T ij
a lo largo del campo
vectorial ξ como el tensor
LξT ij =
(
d
dt(Ft T )i
j
)
0= lım
t→0
[(T )ij(t )]∗− [(T )i
j(0)]
t
en donde [(T )ij(t )]∗ representa las componentes del tensor en el punto t retro-
traidas al punto t=0, de tal forma que al hacer la resta, ambos tensores están
definidas en el mismo punto t=0.
Por lo tanto si Ft mide la deformación del espacio subyacente, como función
del parámetro t , la derivada de Lie mide la tasa de cambio del tensor a cuenta de
esta deformación. De la definición está claro que la derivada de Lie es un tensor
del mismo tipo del que se parte. Teniendo en cuenta la forma de las matrices de
Jacobi, tenemos (darse cuenta que para poder restar los vectores en la definición
de la derivada debemos de expresar ambos en la misma base, elegimos la base
x i0)
[T (t )ij ]∗ =T k
l (t )∂x l
∂xj
0
∂x i0
∂xk=T k
l (t )(δlj+t
∂ξl
∂xj
0
)(δik−t
∂ξi
∂xk) = T k
l (t )(δljδ
ik+tδi
k
∂ξl
∂xj
0
−tδlj
∂ξi
∂xk) =
= T ij (t )+ t T i
l
∂ξl
∂xj0
− t T kj
∂ξi
∂xk
Teniendo en cuenta que
T ij (t ) =T i
j (xk (t )) = T ij (xk
0 + tξk ) = T ij (0)+ t
∂T ij
∂xkξk
Llevando esta expresión a la definición de deriva de Lie, se tiene
(
d
dt(Ft T )i
j
)
0= lım
t→0
T ij
(0)+ t∂T i
j
∂xk ξk + t T i
l∂ξl
∂xj0
− t T kj
∂ξi
∂xk −T ij
(0)]
t
2La derivada de Lie, en Mecánica de Fluidos recibe tambien el nombre de derivada convectivao derivada másica
B.24 Campos de vectores. Derivada de Lie 397
de donde,
LξT ij =
∂T ij
∂xkξk +T i
l
∂ξl
∂xj
0
−T kj
∂ξi
∂xk(B.32)
Vamos a aplicar los anteriores resultados en diferentes casos
Ejemplo B.11 Considerar que el tensor T se reduce a una función, en este caso
Lξ f = ξk ∂ f
∂xk= ∂ξ f
por lo que la derivada de Lie se reduce a la derivada direccional de la función.
Puesto que
ξk =dxk
dt
se tiene
Lξ f =dxk
dt
∂ f
∂xk=
d f
dt
esto es la derivada de Lie coincide con la derivada de la función a lo largo de la
curva integral asociada al campo vectorial ξ. Si Lξ f = 0 la función f es constante
a lo largo de la curva integral del campo vectorial es por tanto una integral del
campo, lo que en física se conoce como una integral primera del sistema.
Ejemplo B.12 Vamos a suponer que el tensor se reduce a un tensor del tipo (1,0)
esto a a un vector. Sea η= (η j ) otro campo vectorial, de la definición de derivada
de Lie (B.32)
Lξηj = ξk ∂η j
∂xk−ηk ∂ξ j
∂xk
y por tanto
Lξ(η) =−Lη(ξ)
la anterior expresión conduce a la siguiente definición
Definición 19 Sean ξ y η dos campos vectoriales, al campo vectorial Lξη=−Lηξ
recibe el nombre de conmutador de ξ con η y lo designaremos por [ξ,η]. De
forma similar el conmutador de [∂ξ,∂η] de derivadas direccionales a lo largo de
398 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
los campos vectoriales ξ y η viene dado por
[∂ξ,∂η] f = ∂ξ(∂η f )−∂η(∂ξ f )
Teorema B.24.1 Dados dos campos vectoriales ξ y η, se tiene que
∂Lξη f = ∂[ξ,η] f = [∂ξ,∂η] f
DEMOSTRACIÓN
De la definición
[∂ξ,∂η] f = (∂ξ∂η−∂η∂ξ)( f ) = ∂ξ(ηk ∂ f
∂xk)−∂η(ξ j ∂ f
∂x j)= ξi ∂
∂x i(ηk ∂ f
∂xk)−ηi ∂
∂x i(ξ j ∂ f
∂x j) =
= ξi ∂ηk
∂x i
∂ f
∂xk−ηi ∂ξ
j
∂x i
∂ f
∂x j+ξiηk ∂2
∂x i∂xk−ηi ξ j ∂2
∂x j∂x i
puesto que los índices j , k son mudos podemos tomarlos idénticos, por lo que
al anterior expresión vale
=(
ξi ∂ηj
∂x i−ηi ∂ξ
j
∂x i
)
∂ f
∂x j+ (ξiη j −ηi ξ j )
∂2 f
∂x j∂x i
El segundo término de la anterior expresión se anula indénticamente por lo que
[∂ξ,∂η] f =(
ξi ∂ηj
∂x i−ηi ∂ξ
j
∂x i
)
∂ f
∂x j= ∂[ξ,η] f = ∂Lξη f (B.33)
como queriamos demostrar. Vemos que el conmutador de dos derivadas de Lie,
es una derivada de Lie del mismo orden que tienen los elementos que compo-
nen el conmutador.
Ejemplo B.13 Vamos a suponer ahora que el tensor es de la forma (0,1), esto es
el tensor es una 1-forma. De acuerdo con la definición
(LξT )i =∂Ti
∂xkξk +Tl
∂ξl
∂x i
B.24 Campos de vectores. Derivada de Lie 399
por lo que la expresión de la nueva 1-forma resulta ser
LξT =∂Ti
∂xkξk dx i +Tl
∂ξl
∂x idx i
Si consideramos las componentes Ti y ξl como funciones se tiene que
∂Ti
∂xkξk = LξTi
y∂ξl
∂x idx i = dξl
por lo que
LξT = LξTi dx i +Tl dξl (B.34)
En el caso en que el tensor sea la diferencial de una función, esto es Ti =∂ f /∂xi , tenemos
(Lξd f )i =∂2 f
∂xk∂x iξk +
∂ f
∂x l
∂ξl
∂x i
puesto que la derivada de Lie de una función es una nueva función, podemos
evaluar la diferencial de esta nueva función
d(Lξ f ) j =∂
∂x j(Lξ f ) =
∂
∂x j
(
ξk ∂ f
∂xk
)
=∂ξk
∂x j
∂ f
∂xk+ξk ∂2 f
∂x j∂xk
de donde vemos que
Lξ(d f ) = d(Lξ f ) (B.35)
las diferenciales y la derivada de Lie conmutan. Esto es válido para cualquier
orden de la forma diferencial.
Ejemplo B.14 Calcular la derivada de Lie del tensor métrico.
Dado que el tensor métrico es un tensor del tipo (0,2), de la expresión general
Lξgi j = ξs∂gi j
∂xs+ gk j
∂ξk
∂x i+ gi k
∂ξk
∂x j= ui j
El tensor ui j recibe el nombre de tensor de deformaciones, describe como la
400 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
métrica cambia bajo la pequeña deformación Ft definida por el campo ξ. En el
caso en que el espacio sea Euclideo, gi j = δi j , por lo que
ui j =∂ξ j
∂x i+∂ξi
x j
teniendo en cuenta que ξ lo podemos tomar como el vector velocidad, el ante-
rior tensor no es otra cosa que tensor velocidad de deformación que aparece en
Mecánica de Fluidos.
Ejemplo B.15 Calcular la derivada de Lie del elemento de volumen.
Como hemos visto antes,
dV =√
|g |dx1 ∧dx2 ∧dx3 =√
|g |ǫi j k dx i dx j dxk
por lo que la derivada de Lie, vale
Lξ(√
|g |ǫi j k ) = ξk ∂√
|g |∂xk
ǫi j k +√
|g |(
ǫp j k∂ξp
∂x i+ǫi qk
∂ξq
∂x j+ǫi j r
∂ξr
∂xk
)
Es posible demostrar que
(
ǫp j k∂ξp
∂x i+ǫi qk
∂ξq
∂x j+ǫi j r
∂ξr
∂xk
)
= ǫi j k∂ξs
∂xs
siendo ∂ξs /∂xs la traza de la matriz ∂ξi /∂x j . Subsituyendo tenemos
Lξ(√
|g |ǫi j k ) = ξs ∂√
|g |∂xs
ǫi j k +√
|g |ǫi j k∂ξs
∂xs
que podemos poner como
Lξ(√
|g |ǫi j k ) = ǫi j k∂
∂xs
(
ξs√
|g |)
Teniendo en cuenta que la expresión de la divergencia de un campo vectorial
vista anteriormente
divv =1
√
|g |∂
∂x i
(
√
|g |v i)
B.24 Campos de vectores. Derivada de Lie 401
tenemos
Lξ(√
|g |ǫi j k )=√
|g |ǫi j k divξ (B.36)
De donde podemos decir que
1
δVLξ(δV ) =divξ (B.37)
esto es la derivada relativa de Lie del elemento de volumen coincide con la di-
vergencia del campo.
Ejercicio B.2 Demostrar que
(
ǫp j k∂ξp
∂x i+ǫi qk
∂ξq
∂x j+ǫi j r
∂ξr
∂xk
)
= ǫi j k∂ξs
∂xs
En la expresión anterior quedan como indices libres (i , j , k), supongamos que
λǫi j k =(
ǫp j k∂ξp
∂x i+ǫi qk
∂ξq
∂x j+ǫi j r
∂ξr
∂xk
)
multiplicando por ǫi j k y teniendo en cuenta que
ǫi j kǫi j k = 3!, ǫi j kǫp j k = 2δip
tenemos
3!λ= 2δip
∂ξp
∂x i+2δ j
q
∂ξq
∂x j+2δk
r
∂ξr
∂xk= 2
∂ξp
∂xp+2
∂ξq
∂xq+2
∂ξr
∂xr= 6
∂ξs
∂xs
y por tanto
λ=∂ξs
∂xs
como queriamos demostrar.
402 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
B.25. Expresión del campo vectorial en el fibrado tangen-
te
Según hemos visto en la sección anterior, la derivada de Lie de una función
asociada a un campo vectorial ξ viene dada por la expresión
Lξ f =d f
dτ
∣
∣
∣
∣
τ=0=
∂ f
∂x i
dx i (τ)
dτ
∣
∣
∣
∣
τ=0=
∂ f
∂x iξi
siendo x i (τ) la ecuación de la curva integral del campo ξ. Vamos a extender estos
conceptos al caso en el que la función f esté definida sobre el fibrado tangente,
esto es f es una función de x y x. De la definición
Lξ f (x, x) =d f (x, x)
dτ
∣
∣
∣
∣
τ=0=
∂ f
∂x i
dx i
dτ
∣
∣
∣
∣
τ=0+
∂ f
∂x i
dx i
dτ
∣
∣
∣
∣
τ=0
Puesto que ξi = dx i /dτ|τ=0,
Lξ f (x, x) =∂ f
∂x iξi +
∂ f
∂x i
dx i
dτ
∣
∣
∣
∣
τ=0.
Para poder continuar tenemos que analizar cuanto vale,
dx i
dτ
∣
∣
∣
∣
τ=0
Vimos antes que las curvas integrales nos generan una transformación de coor-
denadas de tal forma que
x i (τ) = x j (0)∂x i (τ)
∂x j (0)
derivando respecto de τ y teniendo en cuenta que podemos permutar las deri-
vadas parciales respecto de x j y la derivada respecto de τ, llegamos a
dx i
dτ
∣
∣
∣
∣
τ=0= x j (0)
∂
∂x j
dx i (τ)
dτ
∣
∣
∣
∣
τ=0= x j ∂ξ
i
∂x j= ξi ,
B.26 Expresión en coordenadas naturales de la derivada de Lie 403
sustituyendo,
Lξ f (x, x) =∂ f
∂x iξi +
∂ f
∂x ix j ∂ξ
i
∂x j=
[
ξi ∂
∂x i+ ξi ∂
∂x i
]
f
Comparando esta expresión con la correspondiente expresión de la derivada de
Lie en la variedad,
Lξ( f ) = ξ j∂ f
∂x j
podemos deducir que el correspondiente campo vectorial ξ en el fibrado tan-
gente tiene por componentes (ξi , ξi ) y los vectores bases serán (∂/∂x i ,∂/∂x i ).
Asi mismo de la definición de la diferencial de una función en la variedad
d f (ξ) = ξi ∂ f
∂x i= Lξ( f )
tenemos para el caso del fibrado tangente que
d f =∂ f
∂x idx i +
∂ f
∂x idx i
de tal forma que
dx i (∂
∂x j) =δi
j dx i (∂
∂x j) = 0
dx i (∂
∂x j) = 0 dx i (
∂
∂x j) = δi
j
para que
d f (ξ) = ξi ∂ f
∂x i+ ξi ∂ f
∂x i= ξ( f )
donde con ξ( f ) queremos indicar la la derivada direccional de f a lo largo de ξ
en el fibrado tangente.
B.26. Expresión en coordenadas naturales de la derivada
de Lie
Dado un campo vectorial ξ, la teoría de las ecuaciones diferenciales nos ga-
rantiza que bajo condiciones muy generales del campo vectorial, existe soluc-
404 Capítulo – B. Algunos conceptos de geometría diferencial
ción del sistema de ecuaciones diferenciales
dx i
dτ= ξi
Esto nos garantiza que es posible encontrar un sistema de coordenadas, llamado
sistema de coordenadas naturales, en el que el campo ξ tiene por coordenadas
(1,0, . . . ,0) y por tanto las curvas integrales verifican las siguientes ecuaciones
diferencialesd y1
dτ= 1,
d y i
dτ= 0, i = 2, . . . , n
que integrando
y1 = y10 +τ, y i = y i
0 , i = 2, . . . , n
esto es la curva integral es una recta en este sistema de coordenadas. La derivada
de Lie a lo largo del campo ξ en el fibrado tangente vale
Lξ( f ) = ξi ∂ f
∂y i+ ξi ∂ f
∂y i
dada la expresión de ξ en el sistema de coordenadas y i , tenemos
Lξ( f ) =∂ f
∂y1= (d f )1
y por tanto si f es una constante del movimiento a lo largo del campo ξ
Lξ( f ) =∂ f
∂y1= (d f )1 = 0
lo que significa que f no debe de depender de la coordenada y1, o lo que es lo
mismo f debe de ser invariante por translación a lo largo de y1.