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Turbomáquinas Térmicas. Prof. Dr. Miguel Alejandro ASUAJE TOVAR Pág 1 de 50
Material y Apuntes
TURBOMÁQUINAS TÉRMICAS
CT-3412
Prof. Dr. Miguel ASUAJE
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CONTENIDO CONTENIDO ............................................................................................................... 2 FIGURAS ..................................................................................................................... 3 1. ANÁLISIS DIMENSIONAL ................................................................................ 4 2. DEFINICIONES DE RENDIMIENTO O EFICIENCIA ................................... 10 2.1. TURBINA ........................................................................................................ 10 2.2. COMPRESOR ................................................................................................. 11 2.3. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA TOBERA .................................. 18 2.4. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UN DIFUSOR ................................... 19 3. FLUJO EN REJILLAS DE ALABES EN CASCADAS (flujo bidimensional) . 21 4. TURBINAS AXIALES (flujo bidimensional) .................................................... 26 4.1. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA ETAPA DE TURBINA ............ 31 4.2. PÉRDIDAS EN LA ETAPA ........................................................................... 32 4.3. Tipos de diseño de turbinas axiales ................................................................. 35 4.4. Grado de Reacción ........................................................................................... 36 5. COMPRESORES AXIALES (Flujo Bidimensional) .......................................... 41 5.1. Eficiencia de la etapa y Relación de Compresión ............................................ 43 5.2. Grado de Reacción ........................................................................................... 45 5.3. Factor o coeficiente de carga ........................................................................... 46 5.4. Características de funcionamiento fuera de diseño .......................................... 48 REFERENCIAS ......................................................................................................... 50
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FIGURAS
FIGURA N°1. Propiedad de Estancamiento .................................................................... 4 Figura N°2. Variación adiabática ideal de las condiciones de parada a lo largo de una turbomáquina .................................................................................................................... 6 Figura N°3. Curva característica de un compresor ........................................................... 9 Figura N°4. Curva característica de una turbina .............................................................. 9 Figura N°5. Proceso de Expansión en una turbina ......................................................... 10 Figura N°6. Proceso de Compresión .............................................................................. 12 Figura N°7. Proceso de compresión en pequeñas etapas ............................................... 13 Figura N°8. Proceso de compresión. Definición de rendimiento politrópico ................ 14 Figura N°8. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4) .............................. 15 Figura N°9. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4) .............................. 16 Figura N°10. Diagrama de Mollier mostrando el proceso de expansión dividido en un número de pequeños escalonamientos ............................................................................ 17 Figura N°11. Diagrama de Mollier para el proceso a través de una tobera .................... 18 Figura N°12. Diagrama de Mollier para el proceso a través de un difusor .................... 19 Figura N°13. Esquemas de difusores subsónicos ........................................................... 20 Figura N°14. Perfil aerodinámico ................................................................................... 21 Figura N°15. Rejilla de álabes. Definición de ángulos y parámetros geométricos ........ 22 Figura N°16. Fuerzas y triángulos de velocidades en una rejilla de álabes ................... 23 Figura N°17. Fuerza de sustentación y arrastre .............................................................. 25 Figura N°18. Proyecciones de las fuerzas ...................................................................... 25 Figura N°19. Diagramas de velocidad de una turbina axial ........................................... 26 Figura N°20. Línea de corriente y velocidades en una turbomáquina ........................... 27 Figura N°21. Diagramas de velocidad superpuestos de una etapa normal de una turbina axial ................................................................................................................................ 28 Figura N°22. Diagramas de velocidad adimensionales de una etapa normal de una turbina axial .................................................................................................................... 29 Figura N°23. Diagrama h-s de la etapa de una turbina ................................................... 30 Figura N°24. Distribución de presión en una rejilla de una etapa de una turbina axial . 33 Figura N°25. Correlación de Soderberg para los coeficientes de pérdidas en una turbina en función de la deflexión .............................................................................................. 34 Figura N°26. Esquema del canal interálabe ................................................................... 35
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1. ANÁLISIS DIMENSIONAL Máquinas de Flujo Compresible m& Flujo de masa c Velocidad del Fluido
TRa ⋅⋅= γ Velocidad del sonido
01a Velocidad del sonido de estancamiento en la entrada de la turbomáquina
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−+−=− 12
21
2212 2
1 zzgcchhmWQ &&&
Energía Energía Cero para un gas Estática Cinética
02222 2
1 hch =+ Entalpía Total, Estancamiento ó Parada
ppp C
cTTTCcTC22
20202222 2
121
+=⇒=+
FIGURA N°1. Propiedad de Estancamiento
sh0Δ Cambio de entalpía isentrópico
0=Q& Adiabático Isentrópico η Eficiencia P Potencia
ss hhhmW
00102 Δ=−=−&
&
),,,,,,( 010110 γρημ amDFh s &=Δ
),,,,,,( 01012 γρημη amDF &= ),,,,,,( 01013 γρημ amDFP &=
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Aplicando el Teorema π
Propiedad/Unidades M L T ρ01 M L-3
N (rpm) T-1
μ M L-1 T-1 a01 L T-1 m M T-1 Δh01 L2 T-2
P M L2 T-3 D L η γ
Se seleccionaron las siguientes variables independientes: ρ01, N y D (diámetro característico) y se aplico el teorema π Como ρ0 y a0 varían a través de una turbomáquina se toma el valor de estas variables en la entrada
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Δ γμ
ρρ
,,,01
201
301
1220
aNDND
NDmf
DNh s &
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= γ
μρ
ρη ,,,
01
201
301
2 aNDND
NDmf&
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= γ
μρ
ρρ,,,
01
201
301
35301 a
NDNDNDmf
DNP &
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Δ γμ
ρρρ
η ,,,,,01
201
301
5301
220
aNDND
NDmf
DNP
DNh s &
Tarea: Demostrar el resultado obtenido
Simplificación: φρ
ρρ
=≈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
0101
01
20101
301 Da
m
aNDDa
mNDm &&&
Coeficiente de Flujo
Se elimina este término porque ya está considerado en el análisis
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⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Δγ
μρ
ρρη ,,,,,
01
201
20101
5301
220
aNDND
Damf
DNP
DNh s &
Válido para cualquier gas
φ #Re #Mach Para una maquina que utiliza un gas perfecto se utiliza un conjunto diferente de relaciones funcionales Consideremos un compresor adiabático:
( ) [ ]010221
2212 2
1 hhmWQcchhmWQ −=−⇒⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−=− &&&&&&
Figura N°2. Variación adiabática ideal de las condiciones de parada a lo largo de una
turbomáquina
[ ]0102 hhmW −=− && Adiabático
[ ]0102 hhmW ss −=− && Isentrópico Si suponemos h=CpT se obtiene:
[ ]0102 TTCmW sps −=− &&
Nota: La relación 20 2
1 cPP ρ+= es una relación para flujo incompresible y por lo tanto
no se puede usar para el análisis de la turbomáquinas
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Gas ideal ó perfecto: RTP=
ρ
Procesos adiabático isentrópico: ctteP=γρ
01
01
02
02
01
02
ρ
ρρ P
P
TT
RPT s =⇒= y usando
ctteP
γ
ρ
1
=
γγ
γγ
γγ
γ
γ1
1
01
1
01
1
01
02
01
02
1
01
02
/101
01
/102
02
01
02
−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
PP
TT
PP
TT
PP
PP
PP
TT ss
Esta propiedad se puede aplicar entre dos temperaturas cualesquiera que se encuentren en la misma línea isentrópica
[ ] [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=Δ⇒−=−
−
11
1
01
0201
01
0201010200102
γγ
PP
TCTT
TCTTChTTCmW ps
pspssps &&
vp
v
p
CCRCC
−=
= γ
1−=
γγRC p
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Δ
−−−
11
11
1
1
01
02201
1
01
0201
1
01
02010
γγ
γγ
γγ
γγγ
PPa
PPRT
PP
TCh ps
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Δ⇒
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=Δ
−
01
0222
0
1
01
02201
0 11
1
PP
fDN
h
PP
ah
s
sγ
γ
γ
El parámetro adimensional obtenido anteriormente es función de la relación de presiones ya que:
201
0
2
0122
022
0
ah
aND
DNh
DNh sss Δ
≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ≈
Δ
Para el coeficiente de flujo:
γγρφ
012
012
0101
012
0101 PDRTm
DRTPRTm
Dam &&&
===
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Usando la ecuación de gas ideal y la ecuación de la velocidad del sonido Para la potencia
( )( )( )2201
053
01
ˆNDNDD
TCmDN
PP p
ρρΔ
==&
, VelocidadAream ⋅⋅= ρ&
Área Velocidad
( ) ( ) 01
0
01
02
0120
20 1ˆ
TT
RT
TR
aND
ND
TC
ND
TCP pp Δ
≈Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ≈
Δ=
γγγ
Finalmente se obtiene: Parámetros adimensionales para un gas perfecto
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
Δγ
γμρ
γη ,,,,,
01
201
012
01
01
0
01
02
RTNDND
PDRTm
fTT
PP &
Para una misma máquina que opera con #Re bajos y un mismo fluido se puede realizar una simplificación de los parámetros adimensionales:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
Δ
0101
01
01
0
01
02 ,,,T
NDP
Tmf
TT
PP &
η
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Figura N°3. Curva característica de un compresor
Figura N°4. Curva característica de una turbina
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2. DEFINICIONES DE RENDIMIENTO O EFICIENCIA
2.1. TURBINA Rendimiento o eficiencia global η0 = Energía Mecánica disipada acoplamiento eje / tiempo Máxima diferencia de energía disponible en el fluido/tiempo Rendimiento adiabático o hidráulico ηt = Energía Mecánica suministrada al rotor / tiempo Máxima diferencia de energía disponible en el fluido/tiempo
[ ][ ]
s
sos
realt
ss
real
hmejePotencia
hhhh
hh
WW
hmhhmW
hmhhmW
00
0201
02010
max
00201max
00201
_Δ
=
−−
=ΔΔ
==
Δ=−=
Δ=−=
&
&
&
&&&
&&&
η
η
Rendimiento Mecánico
tm η
ηη 0=
ηm = Energía Mecánica disipada acoplamiento eje / tiempo Energía Mecánica suministrada al rotor / tiempo 95% Maquinas pequeñas 99% Máquinas grandes y medianas
Figura N°5. Proceso de Expansión en una turbina
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Si se puede aprovechar la energía cinética en la salida de la turbina se define el rendimiento total a total ηtt
stt
ss
ssstt
hhhh
frecuenteescccccc
chch
chch
hhhh
21
21
21
2222
222
211
222
211
0201
0201
)_(
)21()2
1(
)21()2
1(
−−
=
=≅≈>
+−+
+−+=
−−
=
η
η
Si no se aprovecha la energía cinética del fluido en la salida de la turbina el rendimiento adiabático es total a estático ηts
2221
21
21
22
222
211
222
211
201
0201220201
0201
21
)_(2
1)21()2
1(
)21()2
1(
21
chhhh
frecuenteescc
cchch
chch
hhhh
chhhh
sts
ssssssts
+−
−=
=
++−+
+−+=
−−
=+−
−=
η
η
2.2. COMPRESOR Rendimiento o eficiencia global η0c = Energía mínima necesaria para comprimir de P1 a P2 / tiempo Energía suministrada en el acoplamiento / tiempo Rendimiento adiabático o hidráulico ηtc = Energía mínima necesaria para comprimir de P1 a P2 / tiempo Energía suministrada por el rotor al fluido / tiempo
[ ][ ]
0102
01020min
00102min
00102
hhhh
hh
WW
hmhhmW
hmhhmW
s
o
s
realtc
ss
real
−−
=ΔΔ
==
Δ=−=
Δ=−=
&
&
&&&
&&&
η
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Figura N°6. Proceso de Compresión
Si c1=c2
12
12211
222
211
222
0102
0102
)21()2
1(
)21()2
1(
hhhh
chch
chch
hhhh ssss
c −−
=+−+
+−+=
−−
=η
Rendimiento Mecánico
tc
cm η
ηη 0=
ηm = Energía suministrada por el rotor al fluido/ tiempo Energía suministrada al acoplamiento / tiempo Rendimiento Politrópico: infinito número de etapas muy pequeñas de igual rendimiento
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Figura N°7. Proceso de compresión en pequeñas etapas
Tds=dh-vdP Para un proceso a presión constante
Tsh
P
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
Sobre una línea isentrópica las pendientes de la líneas de Presión contaste van aumentando si nos movemos desde abajo hacia arriba.
.........1
1min =−−
=−−
=Δ
Δ=
hxhyhxhys
hhxhhxs
WW
p &
&η
Como todas las etapas tienen el mismo rendimiento
∑∑
Δ
Δ=
WW
p &
&minη
( ) ( )∑ −=+−+−=Δ 121 ....... hhhxhyhhxW&
( ) ( )12
1 .........hh
hxhyshhxsp −
+−+−=η
12
12
hhhh s
c −−
=η Para c1=c2
Debido a la divergencia de las líneas de presión constante (ver última figura) se cumple:
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( ) ( ) 121 ........ hhhxhyshhxs s −>+−+− Por lo tanto ηp > ηc
Para un proceso de compresión el rendimiento adiabático de la máquina es menor que el rendimiento del pequeño escalonamiento. Rendimiento del pequeño escalonamiento para un gas perfecto
Figura N°8. Proceso de compresión. Definición de rendimiento politrópico
( )
p
PP
TT
PPTTP
dPTdT
PdTRRTdP
dTRdTCdh
PRTdPdhis
PRTv
vdPdhisTdsdh
dhis
ppp
p
p
ηγγ
γηγ
γηγ
γγ
η
γγ
η
⋅−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
=−⇒−
=⇒
−
=
−==
=⇒=
−==
=
1
1
2
1
2
1212 lnln1lnln1
1
1
0
También se pueden aplicar condiciones de estancamiento en esta propiedad Si se utiliza una línea isentrópica ηp=1
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Ahora aplicamos esta propiedad a la definición de eficiencia del compresor
⇒−
−=
−−
=−−
=1
1
1
2
1
2
12
12
12
12
TTT
T
TTTT
hhhh
s
sscη
1
1
1
1
2
1
1
2
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
⋅−
−
p
PP
PP
c
ηγγ
γγ
η Se pueden usar condiciones estáticas o de estancamiento
Figura N°8. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un
pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4)
Como se observa en la gráfica si se aumenta la relación de presión en un compresor manteniendo el rendimiento politrópico constante la eficiencia del compresor disminuye Rendimiento politrópico de una turbina: De manera análoga al compresor se obtiene
( )γ
ηγ p
PP
TT
1
1
2
1
2
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
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( )
γγ
γηγ
η 1
1
2
1
1
2
1
1
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
PP
PP
p
c
Figura N°9. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un
pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4) Como se observa en la gráfica si se aumenta la relación de presión en una turbina manteniendo el rendimiento politrópico constante la eficiencia de la turbina aumenta Factor de Recalentamiento o Recuperación: Se aplica en la práctica de la turbinas de vapor como una medida de la ineficiencia de la expansión completa
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Figura N°10. Diagrama de Mollier mostrando el proceso de expansión dividido en un
número de pequeños escalonamientos
( ) ( )ss
h hhhis
hhhyshxhxshR
2121
1 .....−
Δ=
−+−+−
= ∑
1.03< Rh <1.08
hpss
t Rhhhis
hishh
hhhh
ηη =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ−
=−−
= ∑∑ 21
21
21
21 Eficiencia de una turbina
hpt Rηη =
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2.3. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA TOBERA
Figura N°11. Diagrama de Mollier para el proceso a través de una tobera
( ) ( )[ ]21
2212 2
1 cchhmWQ −+−=− &&&
Tobera: Q=0 y W=0
0201211
222 2
12
1 hhchch =⇒+=+
Eficiencia de una tobera
ssn hh
hhc
c
201
20122
22
21
21
−−
==η
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2.4. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UN DIFUSOR
Figura N°12. Diagrama de Mollier para el proceso a través de un difusor
( ) ( )[ ]21
2212 2
1 cchhmWQ −+−=− &&&
Difusor: Q=0 y W=0
0201211
222 2
12
1 hhchch =⇒+=+
Eficiencia de un difusor
22
21
22
21
1
122 cc
cchhhh ss
d−
−=
−−
=η
Diseño óptimo para un difusor recto
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Figura N°13. Esquemas de difusores subsónicos
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3. FLUJO EN REJILLAS DE ALABES EN CASCADAS (flujo bidimensional) Métodos matemáticos
- Flujo potencial - Transformación conforme
Métodos experimentales
- Túnel de viento → rejillas de alabes Métodos de simulación computacional
Figura N°14. Perfil aerodinámico
a , b puntos de máxima curvatura l = cuerda t = espesor La línea de centros o de curvatura puede ser circular, parabólica ó otro tipo de curva Tablas de perfiles normalizados → y/l, t/l en función de x/l
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Figura N°15. Rejilla de álabes. Definición de ángulos y parámetros geométricos
b cuerda axial l cuerda α1’ = ángulo tangente línea de centros en la entrada α2’ = ángulo tangente línea de centros en la salida α1 = ángulo del fluido en la entrada α2 = ángulo del fluido en la salida i = α1 - α1’ Incidencia S = Paso (distancia entre dos alabes) ε = α1 - α2 Deflexión θ = α1’ - α2’ Curvatura δ = α2 - α2’ Desviación Análisis de fuerzas en cascadas: En el siguiente análisis se supone que el fluido es incompresible y el flujo estacionario
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Figura N°16. Fuerzas y triángulos de velocidades en una rejilla de álabes
222
111
222
111
21
21
222111
22221111
tan
tancos
cos1
coscos
α
αα
α
ρρρρ
αραρ
cc
cccccc
SAA
cAcAmcAcAm
y
y
x
x
xx
=
===
×===
====
&
&
xxx ccc == 21 Fuerzas X y Y son las fuerzas que ejercen los alabes sobre el fluido
( )
( )( )21
2
21
12
tantan
1
ααρ
ρ
−=
−=
×−=
x
yyx
SCY
CCSCY
SPPX
Pérdidas de energía: Un fluido real que cruza la cascada experimenta una pérdida de presión total ΔP0 debido a la fricción superficial y a efectos afines
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( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )21210
21212
221
22
22
21
21
22
21
22
21
210
222
21100201
21
21
21
21
yyyy
yyyyyyxyxy
ccccS
XP
cccccccccccc
ccPPP
cPcPPPP
+−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Δ
+−=−=+−+=−
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=Δ=−
ρρ
ρρ
ρρ
Multiplica y divide por ρCxS
( ) ( )
( )
( )21
210
22
11
21210
tantan21tan
tantan2
1
tan
tan
211
ααα
ααρρρ
α
α
ρρρρ
+=
++−=Δ
=
=
−++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Δ
m
x
y
x
y
yyxyyx
YSS
XPcccc
ccScccScS
XP
( )mYX
SP
αρρ
tan10 +−=Δ
Coeficiente de pérdidas de Ptotal o de estancamiento
21
0
20
21
21
cP
cP
x
ρϖ
ρξ
Δ=
Δ=
Coeficiente de elevación de presión
2212
21
21
xxp Sc
XcPPC
ρρ=
−=
Coeficiente de fuerza tangencial
( )
ξα
ααρ
−=
−==
mfp
xf
CC
ScYC
tan
tantan22
1 212
Sustentación y Resistencia
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Figura N°17. Fuerza de sustentación y arrastre
L= Fuerza de sustentación ; D= Fuerza de Arrastre Fuerza Resultante L+D= Fuerza Resultante X +Y
Figura N°18. Proyecciones de las fuerzas
( )
( )( )
( ) mmx
mm
mmmm
mmm
mmm
mm
mm
senPSScL
senPSYLsenPSsenYL
YsenPSYL
PSXYD
XYsenDYXsenL
ααααρ
αααααα
ααα
ααα
αααα
0212
0
0
0
0
sectantan
seccostan
costan
costancos
coscos
Δ−+=
Δ−=Δ−+=
+Δ−=
Δ=−=
−=+=
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Coeficiente de sustentación
121 2 ×
=lc
LCm
Lρ
Coeficiente de arrastre
121 2 ×
=lc
DCm
Dρ
4. TURBINAS AXIALES (flujo bidimensional)
Figura N°19. Diagramas de velocidad de una turbina axial
Velocidad del alabe
602
60RNDNU ππ
==
Ecuación de continuidad
333222111 xxx CACACAm ρρρ ===& Para este curso → 32321 xxxxx wwccc ====
ctteAyoA === 332211 ρρρ
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Si 222 RTac γ== se alcanza la velocidad del sonido y el flujo se estrangula Tobera
( ) ( )[ ]2
12212 2
1 cchhmWQ −+−=− &&& Tobera: Q=0 y W=0
0201211
222 2
12
1 hhchch =⇒+=+ Se acelera el flujo
Rotor
[ ]0203 hhmWQ −=− &&& Rotor: Q=0
[ ]0302 hhmW −= && Como ⇒= 0201 hh [ ]0301 hhmW −= &&
Momento de la cantidad de movimiento Empleando la segunda ley de Newton aplicada a los momentos de las fuerzas
( )yA Rcdtdm=τ
Figura N°20. Línea de corriente y velocidades en una turbomáquina
Para un volumen de control de una turbomáquina genérica se puede obtener la ley del momento de la cantidad de movimiento. Para flujo estacionario unidimensional:
( )
( ) ( )33223322
3322
602
60yyyyA
yyA
cUcUmcRcRmPotencia
RRNDNU
cRcRm
−=−Ω=Ω=
Ω===
−=
&&
&
τ
ππ
τ
cy3 es usualmente negativo y en flujo bidimensional U2=U3=U
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( )32 yy ccUmW += &&
[ ] ( )
( )3203010
320301
yy
yy
ccUhhh
ccUmhhmW
+=−=Δ
+=−= &&&
Si 32321 xxxxx wwccc ==== y U2=U3=U se pueden acoplar los triángulos de velocidades de la siguiente manera:
Figura N°21. Diagramas de velocidad superpuestos de una etapa normal de una
turbina axial Coeficiente de flujo
UCx=φ
Análisis Dimensional
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Δ γμ
ρρρ
η ,,,,,01
201
301
5301
220
aNDND
NDmf
DNP
DNh s &
φρρ
ρρ==≈=
UC
UDCD
NDDm
NDm xx
201
201
201
301
&&
Coeficiente o factor de carga
2UWΔ
=ψ
Análisis Dimensional
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
Δγ
μρ
ρρη ,,,,,
01
201
301
5301
220
aNDND
NDmf
DNP
DNh s &
2220
UW
DNh s Δ
≈Δ
( ) ( ) 00301320301 TCpTTCpccUhhmWW yy Δ=−=+=−==Δ&
&
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( ) ( )
2032
232
UTCp
Ucc
U
ccU yyyy Δ=
+=
+=ψ
Triángulos unitarios: Dividiendo los triángulos anteriores entre U obtenemos:
Figura N°22. Diagramas de velocidad adimensionales de una etapa normal de una
turbina axial Rotor
[ ]0302 hhmW −= &&
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
( )( )
( ) 021
021
_
021
0221
02121
21
21
21
21
23
2232
323232
3232
33
22
323232
323232
32323232
322
32
232
32
322
3233
22
222
233
2220302
=−+−
=−++−
+=+
=+
=−
=+−−++−
=−−++−
=+−+++−
+=++−
=
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +=−
yy
yyyy
yyyy
yy
yy
yyyy
yyyy
yyyyyy
yyyy
xx
yyyxyx
wwhh
wwwwhh
wwcc
wUc
wUctriángulosVer
UcUccchh
Ucccchh
ccUcccchh
ccUcchh
cc
ccUcchcchchchhh
Sumo y resto 221
xw
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( ) 021 2
32232 =−+− wwhh
rr hh
whwh
0302
233
222 2
121
=
+=+ Entalpía de estancamiento relativa
Entonces Tobera: 0201 hh = Rotor: rr hh 0302 =
Figura N°23. Diagrama h-s de la etapa de una turbina
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4.1. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA ETAPA DE TURBINA ηtt= _______Trabajo real efectuado____________________ Trabajo real operando con los mismos niveles de presión
issstt W
Whhhh
ΔΔ
=−−
=0301
0301η
Etapa normal 31
31
αα == cc y se supone c3=c3ss
( ) ( ) ( )sssssstt hhhhhh
hhhhhh
normaletapa333331
31
31
31)_(−+−+−
−=
−−
=η
( )( )
( ) ( )
( )ssss
ssss
ss
ssssss
P
hhTT
hh
MollierdiagramaverssssssThh
ssThh
sThTshdP
vdPdhTds
222
333
2233
22222
33333
__
0
−=−
⇒−=−⎩⎨⎧
−=−−=−
Δ=Δ⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
⇒=
−=
( ) ( ) ( )ss
tthh
TT
hhhh
hhnormaletapa
222
33331
31)_(−+−+−
−=η
Toberas: Ns chh ξ2222 2
1=−
Rotor: Rs Whh ξ2333 2
1=−
ξ= Coeficiente de pérdidas Condiciones totales a totales
( ) ( )
1
31
232
22
3
2
322
2331
312
1
21
21
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+
+=++−
−=
hhT
TcW
TT
cWhh
hh NR
NR
tt
ξξ
ξξη
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Condiciones totales a estática
( )
1
31
23
232
22
3
2331
312
1
21
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+
+=+−
−=
hh
cTTcW
chh
hh NR
ss
ts
ξξη
4.2. PÉRDIDAS EN LA ETAPA - Generación de entropía
1) Fricción viscosa en capa límite por mezcla de chorros, por la estela del alabe
Pérdidas Subsónico (%) Supersónico (%) Capa límite 1/3 0.25
Estela 1/3 0.5 Paredes anulares 1/3 0.25
2) Transferencia de calor en diferencias de temperaturas finitas → flujo de refrigeración
3) Procesos en no equilibrio, ondas de choque, expansiones rápidas
- Por fuga de fluido en el extremo de los alabes Correlaciones de Soderberg y Zweifel Relación Paso-Cuerda S/b Optimo Pérdidas → Deflexión ε Relación aspecto del alabe H/b Relación Espesor alabe/ Cuerda perfil t/l #Re Queremos hallar ξN y ξR Se busca la relación S/b óptimo para que las pérdidas sean mínimas Zweifel: Distribución de presiones ideal para que no exista separación de flujo: lado de presión P0 y lado de succión P2
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Figura N°24. Distribución de presión en una rejilla de una etapa de una turbina axial
P= lado de presión S= lado de succión Coeficiente de carga tangencial
( )( )20
211
tantanPPbccSc
YY xxx
ideal
realt −⋅⋅
+==Ψ
ααρ
( ) 2220
2220
211
21
cbPPb
cPP
ρ
ρ
=−⋅⋅
+=
( )2122 tantancos2 ααα +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅=Ψ
Nt b
S Toberas
( )2122 tantancos2 βββ +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⋅=Ψ
Rt b
S Rotor
8,0_ =Ψ optimot Soderberg: Se cumple para: H/b = 3 #Re = 105 tmáx/ l =0,2 ε ≤ 120° Para i=0 (incidencia) → α1- α1’=0
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Figura N°25. Correlación de Soderberg para los coeficientes de pérdidas en una
turbina en función de la deflexión
2
*100
06,004,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
εξ Coeficiente de pérdidas
Tobera: 2
10006,004,0 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= N
Nεξ 21 ααε +=N
Rotor: 2
10006,004,0 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= R
Rεξ 32 ββε +=R
Si no conocemos la deflexión se puede asumir ε ≈ θ (curvatura)
'2
'1 ααθ +=N
'3
'2 ββθ +=R
Si H/b ≠ 3 Tobera
( )( )( )( ) 1/021,0993,01
/021,0993,011*
1
*1
−++=
++=+
Hb
Hb
NN
NN
ξξ
ξξ
Rotor
( )( )( )( ) 1/075,0975,01
/075,0975,011*
1
*1
−++=
++=+
Hb
Hb
RN
RR
ξξ
ξξ
Si #Re ≠ 105
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μρ 222Re hDc
= mojado
flujoh P
AD
4= ( )H
h SHSD
+=
2
2cos2
cos4α
α 141
5
2 Re10 ξξ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Figura N°26. Esquema del canal interálabe
Factor de corrección de pérdidas FCP FCP= Área alabes_____ Área alabes + holgura
ttcorregidott ηη =)( FCP
4.3. Tipos de diseño de turbinas axiales Consideremos el problema de seleccionar el diseño de una turbina axial para la cual se ha elegido de antemano la velocidad media del alabe U, el trabajo específico ΔW y la velocidad axial cx. El limite superior de la velocidad del alabe está fijado por tensiones mecánicas y la velocidad axial está limitada por consideraciones de la sección del flujo.
( ) 2332 yyyy cUWcccUW −
Δ=⇒+=Δ
Para diferentes valores de Cy2 se pueden construir los triángulos de velocidades, determinar los coeficientes de pérdidas y calcular ηts y ηtt. Stenning consideró una familia de turbinas donde cada turbina tenía un coeficiente de flujo Cx/U =0,4, una relación de aspecto de alabe H/b =3 y número de Reynolds =105 y cálculo ηts y ηtt para factores de carga del escalonamiento ΔW/U2 de 1, 2 y 3 utilizando la correlación de Soderberg. Los resultados de estos cálculos se muestran en la siguiente figura:
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4.4. Grado de Reacción R = Caída de entalpía estática en el rotor Caída de entalpía estática en la etapa
31
32
hhhhR
−−
=
Suponemos etapa normal 31
31
αα == cc y la velocidad axial constante a lo largo de la etapa
0301
32
hhhhR
−−
=
En el rotor
( )22
2332
233
222
0302
21
21
21
wwhh
whwh
hh rr
−=−
+=+
=
Recordando ( ) ( )323203010 yyyy wwUccUhhh +=+=−=Δ
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Entonces ( )32
22
23
0301
32
2 yy ccUww
hhhhR
+−
=−−
=
( ) ( ) ( )( )2323
222
223
22
23 yyyyxyxy wwwwwwwwww −+=+−+=−
( )( )
( )( ) ( )23
23
32
2323 tantan222
ββ −=−
=+
−+=
UC
Uww
wwUwwww
R xyy
yy
yyyy
( )23 tantan2
ββφ−=R
Ucx=φ
( )U
UccU
UcwU
wwR xxyyyy
2tantan
22232323 +−
=−−
=−
=αβ
( )
UcR x
2tantan
21 23 αβ −
+=
( ) ( )
Ucc
UUcUc
Uww
R yyyyyy
21
22232323 −
+=−−+
=−
=
( )
UcR x
2tantan1 23 αα −
+=
Grado de reacción cero
3231
32 0 hhhhhhR =⇒=
−−
=
32233
222
0302
21
21 wwwhwh
hh rr
=⇒+=+
=
( ) 2323 0tantan2
ββββφ=⇒=−=R
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Etapa de turbina de acción o de impulso Suponga una etapa con 0 caída de presión en el rotor
Negativo
hhhhR ⇒
−−
=31
32 Etapa de impulso→Admisión Parcial
3223233
222
0302
21
21 wwhhwhwh
hh rr
>⇒>⇒+=+
=
Son ineficientes pero se pueden regular muy bien, se usan casi siempre como primera etapa debido a la regulación. Grado de reacción 0,5 (50%)
( )23
23 5,02
tantan21 αβαβ
=⇒=−
+=U
cR x
322131
32 5,0 hhhhhhhhR −=−⇒=
−−
=
Los triángulos de velocidades son simétricos por los tanto los alabes en el rotor y en el estator son iguales. Sólo difieren en que el rotor gira y el estator está fijo. La mayoría de
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las turbinas comerciales tienen este grado de reacción debido a que es más económico construir el rotor y el estator con alabes iguales.
23
23
βααβ
==
23
33
wcwc
==
Grado de reacción 1 (100%)
( )23
23 12
tantan1 αααα=⇒=
−+=
UcR x
2131
32 1 hhhhhhR =⇒=
−−
=
2122
210201 2
121 cccchh =⇒=⇒= El estator no trabaja como tobera
Triángulo de velocidades relacionado con el grado de reacción
31
32
hhhhR
−−
= U
wwR yy
223 −
=
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φψβ 12
tan 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= R
φψα 112
tan 2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= R
φψβ 12
tan 3 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += R
φψα 112
tan 3 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= R
( ) ( )
Ucc
UUcUc
Uww
R yyyyyy
21
22232323 −
+=−−+
=−
=
( ) 2332 yyyy cUWcccUW −
Δ=⇒+=Δ
Uc
UWR y2
221 −
Δ+= → 2tan
21 αφψ
−+=R
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5. COMPRESORES AXIALES (Flujo Bidimensional)
Triángulo de velocidades
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Vamos a suponer en este curso → 21321 xxxxx wwccc ==== y etapa normal 31
31
αα == cc
Se obtiene en forma análoga a las turbinas axiales la ecuación de Euler:
[ ] ( )( )1201030
120103
yy
yy
ccUhhhccUmhhmW
−=−=Δ
−=−= &&&
Se puede demostrar Rotor
rr hh
whwh
0201
222
211 2
121
=
+=+
Difusor
( ) ( )[ ]2
22323 2
1 cchhmWQ −+−=− &&& Difusor: Q=0 y W=0
0302233
222 2
12
1 hhchch =⇒+=+ Se desacelera el flujo
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( )1201030 yy ccUhhh −=−=Δ
Triángulos 211222
11yyyy
yy
yy wwcccwU
cwU−=−
⎪⎭
⎪⎬⎫
=−
=−
( ) ( ) ( )21211201030 tantan ββ −=−=−=−=Δ xyyyy UCwwUccUhhh ( ) 0010301030 TCTTChhh pp Δ=−=−=Δ
( )210 tantan ββ −=Δp
x
CUCT
5.1. Eficiencia de la etapa y Relación de Compresión
etapa
ssssetapa T
TTT
TTTT
hhhh
0
01
0301
0103
0103
0103
0103
1
Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−−
=−−
=η
etapaetapa T
PPT
0
1
01
0301 1
Δ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−γ
γ
η
1
01
0
01
03 1−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
Δ+=
γγ
ηT
TPP etapa
etapa
Eficiencia de la etapa
( ) ( ) ( )0103
030303030103
0103
0103
hhhhhhhh
hhhh ssssss
etapa −−−−−−
=−−
=η
( )( )
( ) ( ) compresorMollierdiagramaverssssssThh
ssThh
sThTshdP
vdPdhTds
ssss
ss
ssssss
P
___
0
220303
22222
0303030303
⇒−=−⎩⎨⎧
−=−−=−
Δ=Δ⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
⇒=
−=
( )ssss hhTThh 22
2
030303 −=−
Turbomáquinas Térmicas. Prof. Dr. Miguel Alejandro ASUAJE TOVAR Pág 44 de 50
( )( )
( ) ( ) compresorMollierdiagramaverssssssThh
ssThh
ss
ss
ss
___330303
33333
0303030303
⇒−=−⎩⎨⎧
−=−−=−
( )ss hhTThh 33
3
030303 −=−
( ) ( ) ( )
0103
333
0322
2
030103
0103
0103
hh
hhTThh
TThh
hhhh ss
ssetapa −
−−−−−=
−−
=η Suponemos 1,3
03
2
03 ≈TT
TT
Se supone densidad constante para la etapa 20 2
1 cPP ρ+= Flujo incompresible
Difusor
233
2220302 2
12
1 chchhh +=+⇒=
( ) ( ) ( )[ ]ρ1
21
30320223
2223 PPPPcchh −−−=−=− (a)
ρρdPdhdPdhTds =⇒−==
10 → ρ
2323
PPhh s−
=− Ver diagrama (b)
Restando (a) y (b)
( ) ( ) ( )ρ
233032022323
PPPPPPhhhh s−−−−−
=+−− → ρρ
ESTATORs
PPPhh 0030233
Δ=
−=−
Rotor
rr hh 0201 = → 222
211 2
121 whwh +=+ y
2
2
0wPP r +=
( ) ( )[ ]202101121 PPPPhh rr −−−=−ρ
(a)
De forma análoga al caso anterior ρ
1212
PPhh s−
=− Ver diagrama (b)
Restando (a) y (b) ( )ρρrROTOR
rrsPPPhh 0
0201221 Δ
=−=−
Entonces ( )0103
00
0103
0103 1hhPP
hhhh ESTATORrROTORss
etapa −Δ+Δ
−=−−
=ρ
η
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5.2. Grado de Reacción R = Incremento de entropía estática en el rotor Incremento de entropía estática en la etapa
13
12
hhhhR
−−
=
Suponemos etapa normal 31
31
αα == cc y la velocidad axial constante a lo largo de la etapa
En el rotor
222
211
0201
21
21 whwh
hh rr
+=+
=
Como c1=c3 ( )123103010 yy ccUhhhhh −=−=−=Δ
( )( ) ( )
( )( )( )
( )12
2121
12
22
22
21
21
12
22
21
13
12
222 yy
yyyy
yy
xyxy
yy ccUwwww
ccUwwww
ccUww
hhhhR
−
−+=
−
+−+=
−−
=−−
=
Triángulos 211222
11yyyy
yy
yy wwcccwU
cwU−=−
⎪⎭
⎪⎬⎫
=−
=−
( )
mxyy
Uc
Uww
R αφββ tan2
tantan2
2121 =+
=+
=
2tantantan 21 ββα +
=m
También se puede escribir de la siguiente manera 11 yy cUw −=
( )1tantan22
122 2
2121 αβ −+=+−
=+
=Uc
UwcU
Uww
R xyyyy
Para R=0,5 se reparte la pérdida por igual en el rotor y en el difusor y resulta que la etapa es más eficiente. Para R=0,5 los triángulos son simétricos
12
12
βααβ
==
12
12
wccw
==
Para R diferente a 0,5 se muestra a continuación como varían los triángulos de velocidades
Turbomáquinas Térmicas. Prof. Dr. Miguel Alejandro ASUAJE TOVAR Pág 46 de 50
5.3. Factor o coeficiente de carga Coeficiente o factor de carga
2UWΔ
=ψ
( )120103 yy ccUhhmWW −=−==Δ&
&
( )
UccU
UcwU
Ucc
UccU xxyyyyyy 121212
212 tantan αβψ −−
=−−
=−
=−
=
( )
Ucx 12 tantan1 αβψ +
−=
( )12 tantan1 αβφψ +−=
Triangulo de velocidades unitario con R=0,5
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El factor de carga del escalonamiento se puede expresar también en función de los coeficientes de sustentación y resistencia para el rotor
Fuerza tangencial: mm DsenLY ββ += cos Fuerza axial: X
2tantantan 21 βββ +
=m
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += mm L
DLY ββ tan1cos
Coeficiente de sustentación Coeficiente de arrastre
121 2 ×
=lw
LCm
Lρ
12
1 2 ×=
lwDC
mD
ρ
D
L
CC
DL
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= m
L
DmLxm
L
DmLm C
ClCcCClCwY ββρββρ tan1sec
21tan1cos
21 22
( )mDLmx CClcY ββρ tansec21 2 +=
El trabajo realizado por cada alabe móvil pro segundo es YU y es transferido al fluido que evoluciona a través de un conducto de alabes durante dicho periodo. Potencia = Fuerza x Velocidad = YU
( ) ( )01030103 hhSChhmYU x −=−= ρ&
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( )mDLmx
x
CCUS
lcUSc
YUU
hh ββρ
ψ tan2sec
220103 +==
−=
( )mDLm CC
Sl ββφψ tan
2sec
+⋅⋅
= El rendimiento optimo se obtiene para LD
m
CC <<°≈ 45β
( )DLoptimo CCSl
+=2
φψ
5.4. Características de funcionamiento fuera de diseño Horlock ha considerado como se comporta la carga del escalonamiento con la variación del coeficiente de flujo φ y como resulta influenciada esta característica de funcionamiento fuera de diseño por la elección de condiciones de diseño. Los datos de cascadas sugieren que los ángulos de salida del fluido β2 (para el rotor) y α1 (=α3) para el estator no varían apreciablemente para una gama de incidencias, hasta que se alcanza el punto de desprendimiento. Se puede hacer la simplificación de que, para un escalonamiento dado:
cttet ==+ 21 tantan βα
( ) t⋅−=+−= φαβφψ 1tantan1 12
20103
Uhh −
=ψ
Para U constante si el flujo másico disminuye xAcm ρ=& , Cx disminuye, φ disminuye, ψ aumenta y por lo tanto 0103 hh − aumenta
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Para el punto de diseño d
ddd tt
φψφψ −
=⇒⋅−=11
t se fija sin tener en cuenta el grado de reacción y por lo tanto la variación de la carga del escalonamiento para condiciones fuera de diseño no depende de la elección del grado de reacción de diseño.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
d
d
dddd
d
ψψ
φφ
ψψψ
φψ
φψ1111
Cuando ψd≈0,33 pequeñas variaciones de φ producen grandes variaciones de ψ y este es el funcionamiento más eficiente.
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REFERENCIAS 1.- Apuntes Máquinas Térmicas. Profesor Pedro PIERETTI 2.- Apuntes Máquinas Térmicas. Profesor Miguel ASUAJE 3.- Termodinámica de las Turbomáquinas. S. L. Dixon. Editorial Dossat, S.A: 4.-Turbomachinery Performance Analisys. R. I. Lewis. Editorial Arnold