Post on 07-Jun-2015
1
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS ECONOMICAS Y
ADMINISTRATIVAS I
FERNANDO BAQUERO ACERO
FUNDACION CENTRO DE INVESTIGACION DOCENCIA Y CONSULTORIA ADMINISTRATIVA CIDCA
FACULTAD DE ADMINISTRACION DE EMPRESASBOGOTA, 2008
DirectorGERNEY RIOS G.
DECANO FACULTAD DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS
Cartillas para el desarrollo de la materia Matemáticas aplicadas a las Ciencias
Económicas y administrativas I
INTRODUCCION
En la nueva modalidad por créditos que comienza a funcionar en las instituciones universitarias del país, se hace necesario la creación de ayudas para que el alumno entre en una nueva forma de aprender.
Lo anterior ha generado la creación de esta cartilla ó guía de trabajo que tiene como objetivo acompañar al alumno en su aprendizaje de una manera planeada aprovechando al máximo los tiempos de clase y su trabajo por fuera de ella, donde se busca un mayor compromiso del alumno en la media que el profesor apoyará su enseñanza en 1/3 parte, mientras el alumno trabajará en su aprendizaje 2/3 del tiempo.
Todo este proceso estará enmarcado dentro de las “competencias laborales”, es decir, preparar al estudiante pero de acuerdo a las necesidades laborales del país.
Señor estudiante su compromiso es contribuir a una cultura de más auto aprendizaje y reemplazar las viejas clases magistrales donde el alumno es pasivo y solo se dedica a recibir unos saberes. Bienvenido a construir su propio conocimiento.
UNIDADES DE APRENDIZAJE
2
Matemáticas básicas. La recta. Sistemas de ecuaciones simultaneas. Progresiones.
UNIDAD DE APRENDIZAJE 1:MATEMATICAS BASICAS
3
JUSTIFICACIÓN:
Las matemáticas son fundamentales y se aplican en cualquier campo profesional
en el que se vaya una persona a desempeñar. Pretendemos en esta unidad
trabajar temas que algunas veces consideramos muy elementales pero que a la
hora de aplicarlos los tenemos olvidados y nos pueden surgir complicaciones
cuando los vamos a trabajar; dichos temas tienen una aplicación importante en
áreas como Matemáticas Financieras, Estadística, Proyectos, Producción,
Mercados y serán muy útiles para los que quieran seguir avanzando en sus
estudios universitarios en el área de las Finanzas y de la Contabilidad.
OBJETIVOS GENERALES:
Calcular problemas de proporciones y reglas de tres simple y compuesta.
Resolver problemas sobre porcentajes.
Manejar en orden el despeje de signos de agrupación.
Entender la relación que existe entre la potenciación, radicación y los
logaritmos.
Despejar incógnitas en cualquier ecuación.
Resolver ecuaciones lineales con una incógnita.
Graficar funciones sencillas.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Manejar el concepto de proporciones, porcentaje y reglas de tres en la solución
de ejercicios y problemas.
Aplicar las propiedades de la potenciación y la radicación en la solución de
ejercicios.
Resolver ecuaciones aplicando los logaritmos y sus propiedades.
Resolver ecuaciones lineales con una incógnita.
Representar gráficamente algunas funciones reales.
MARCO REFERENCIAL:
4
El objeto de esta unidad es presentar conceptos básicos de matemáticas como:
proporción, reglas de tres, signos de agrupación, potenciación, radicación,
logaritmos, ecuaciones lineales, etc., que le permiten al estudiante adquirir las
herramientas indispensables para un desempeño eficiente en matemáticas más
avanzadas y en las aplicaciones correspondientes a su área profesional.
METODO Y ESTRUCTURA DE LA UNIDAD DE ANÁLISIS:
En esta unidad se trabajan los siguientes temas:
Proporciones y reglas de tres.
Porcentajes
Signos de agrupación
Potenciación
Radicación
Logaritmos
Funciones.
Gráficas de funciones.
El desarrollo de cada uno de los temas contiene:
Definición de conceptos fundamentales
Explicaciones por medio de ejercicios resueltos
Ejercicios de práctica
DESARROLLO DE LA ESTRUCTURA DE LA UNIDAD DE ANÁLISIS
1. PROPORCIONES:
Definición: Una razón es el cociente indicado de dos números.
5
Por ejemplo:
La razón entre 2 y 3 es: 2/3.
La razón entre 3 y 2 es 3/2.
Luego:
Si a y b son dos números cualesquiera, la razón entre a y b es: a/b, a/b es
diferente de b/a.
Si tenemos que a/b es una razón la leemos a es a b.
El número a se llama antecedente y el número b se llama consecuente.
Definición: Una proporción es la igualdad entre dos razones.
Sean las razones a/b y c/d, si tenemos que: a/b = c/d tenemos una proporción, la
cual se lee: a es a b como c es a d.
Propiedad fundamental de las proporciones: En toda proporción el producto de
los medios es igual al producto de los extremos.
En la proporción a/b = c/d, tenemos que: a* d = b* c.
Se llaman extremos los números a y d, se llaman medios los números b y c.
Sí x/y = z/w Extremos: x, w.
Medios: y, z.
Esta propiedad nos permite hallar el término desconocido en una proporción
cuando conocemos los otros tres.
Por ejemplo:
Si 8/m = 16/4, calcular m.
Por la propiedad anterior tenemos que: 8*4 = 16*m
32 = 16*m
32/16 = m
2 = m.
6
Vimos que una proporción es la igualdad entre dos razones, pero puede ocurrir
que tres o más razones sean iguales.
Por ejemplo: 9/12 = 6/8 = 15/ 20 = 21/28 = 3/4
Cuando hay más de dos razones iguales decimos que se tiene una serie de
razones iguales.
Tomemos ahora una serie de razones iguales.
15/20, 18/24, 6/8,3/4.
Sumemos los antecedentes: 15 + 18 + 6 + 3 = 42.
Sumemos los consecuentes: 20 + 24+ 8 + 4 = 56.
Formamos una nueva razón: suma de antecedentes/ suma de consecuentes = 42/
56.
Vemos que esta razón forma una proporción con cualquiera de las razones de la
serie.
Así: 42/56 = 15/20 ya que: 42*20 = 56*15
840 = 840
42/56 = 18/24 ya que 42*24 = 56*18
1008 = 1008
Esto es: En una serie de razones iguales, la razón entre la suma de los
antecedentes y la suma de los consecuentes forma una proporción con cualquiera
de las razones de la serie.
En general:
Si a/b = c/d = e/f = g/h, (a+c+e+g) / (b+d+f+h) = a/b = c/d = e/f = g/h.
Es de anotar que la serie de razones iguales puede tener cualquier número de
razones.
Ejemplos:
1. Si x/2 = y/3 = z/4 con x + y + z = 27, hallar x, y, z.
Como x/2 = y/3 = z/4, se tiene que (x + y +z) / (2 +3 +4) = x/2.
Ya que x + y + z = 27 se tiene que 27/9 = x/2.
Por propiedad fundamental: 27*2 = 9*x
54 = 9*x
54/9 = x
7
x = 6
Con el mismo procedimiento se llega a que y = 9, z = 12. Por favor, debe
comprobarlo.
2. Entre Martha, Inés y Esperanza inician una sociedad y al final del año
éstas produce una utilidad neta de $72´000.000. Martha aportó $1
´200.000, Inés $1´800.000 y Esperanza $1´500.000. ¿Cuánto le
corresponde a cada una?
La ganancia debe ser proporcional a lo aportado por cada una.
Si “x” es la ganancia de Marta, “y” la de Inés, “z” la de Esperanza, tenemos que:
x/1´200.000 = y/ 1´800.000 = z/1´500.000.
Entonces: (x + y +z) / (1´200.000 + 1´800.000 + 1´500.000) = x/1´200.000
Ya que x + y + z = 72´000.000
72´000000/4´500.000 = x/1´200.000
16 = x/1´200.000
16*1´200.000 = x
19´200.000 = x
Luego a Martha le corresponden $1´920.000.
Si y es la ganancia de Inés: 16 = y/1´800.000
16*1´800.000 = y
28´800.000 = y
Luego a Inés le corresponden $28´800.000.
Si z es la ganancia de Esperanza: 16 = z/1´500.000
16*1´500.000 = z
24´000.000 = z
Luego a Esperanza le corresponden $24´000.000.
Ejercicios de aplicación:
8
1. Demostrar si las siguientes proporciones son equivalentes , aplicando la
propiedad de las proporciones:
2. Encontrar el valor de la incógnita:
3. José y Carlos reciben entre ambos $1´800.000, después de realizar un
informe. Si José trabajó 4 días, Carlos 5 días y el sueldo es proporcional a
los días de trabajados, ¿Cuánto dinero corresponde a cada uno?
4. Entre tres socios compran un terreno de 12000 metros cuadrados para
construir una empresa. El primer socio compra 3000, el segundo 4000 y el
tercero 5000 metros cuadrados. Si el pago total fue $57´600000 por el
terreno ¿Cuánto pagó cada socio?
5. Entre dos vendedores alquilan un carro. El primero lo usa durante 12 días y
el segundo durante 16 días. Si el pago total fue $1´360000, ¿Cuánto pagó
cada uno?
6. Tres socios montan un negocio aportando los siguientes capitales: $100
´000000, $25´000000 y $30´000000. Al cabo de un año se han obtenido
ganancias por $100´000000. ¿Cómo se las reparten?
7. En una empresa de asesorias, los empleados se reparten los honorarios
proporcionalmente al número de años de servicio. Hay 3 empleados que
9
llevan 6 años de servicio, y los otros 2 empleados llevan 5 años de servicio.
Si los honorarios recibidos en una semana ascienden a $2´000.000,
¿Cuánto le corresponde a cada uno?
8. Si los aportes para salud en una empresa deben corresponder a un total del
13.5%. Si el sueldo base de una persona es de $800.000, ¿cuánto debe
aportar el empleado y cuanto el empleador, si cada uno debe aportar el 4%
y el 8.5% respectivamente? (Resolver el ejercicio aplicando proporciones).
9. Si en los aportes para pensión, le corresponde al empleador el 75% y al
empleado le corresponde el 25% calculado de una base del 13% del
sueldo, ¿cuánto debe aportar cada uno si el sueldo base del empleado es
de $900.000? (Resolver el ejercicio aplicando proporciones).
REGLA DE TRES
Es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción
cuando se conocen tres.
10
Clases de regla de tres: simple y compuesta.
Regla de tres simple: es cuando intervienen en ella 2 magnitudes.
Regla de tres compuesta: es cuando intervienen 3 ó más magnitudes.
Método practico de resolución para regla de tres
Regla:
Se escribe el supuesto(constituido por los datos que se conocen) y la
pregunta(datos del problema que contiene la incógnita). Luego se compara cada
dato contra la incógnita para saber si es directamente proporcional ó inversamente
proporcional. Si es directamente proporcional se coloca un signo (+) debajo del
dato y un signo (-) encima del dato. Si es inversamente proporcional se coloca un
signo (-) debajo del dato y un signo (+) encima del dato. El valor de la incógnita
será la multiplicación de los positivos dividida entre la multiplicación de los
negativos.
Ejemplos para regla de tres simple:
Si 4 libros cuestan $8 ¿cuánto costarán 15 libros?
Supuesto 4 libros $8
Pregunta 15 libros X
Las dos magnitudes libros y pesos, son directamente proporcionales por que a
más libros más pesos hay que invertir, entonces le colocamos un signo(+) debajo
del dato de libros y un signo(-) encima del dato de libros y al dato que va con la
incógnita le colocamos “siempre” signo(+):
(-) (+)
Supuesto 4 libros $8
Pregunta 15 libros $X
(+)
El valor de la incógnita será la multiplicación de los positivos dividida entre la
multiplicación de los negativos:
11
X= (15 x 8)/4= $30
Ejemplo
4 hombres hacen una obra en 12 días ¿en cuántos días podrían hacer la obra 7
hombres?
Supuesto 4 hombres 12 días
Pregunta 7 hombres X días
Las dos magnitudes hombres y días, son inversamente proporcionales por que a
más hombres menos días se necesitan para hacer la obra, entonces le colocamos
un signo(-) debajo del dato de hombres y un signo(+) encima del dato de hombres
y al dato que va con la incógnita le colocamos “siempre” signo(+):
(+) (+)
Supuesto 4 hombres 12 días
Pregunta 7 hombres X días
(-)
El valor de la incógnita será la multiplicación de los positivos dividida entre la
multiplicación de los negativos:
X= (4 x 12)/7= 6.85 días
Ejemplos para regla de tres compuesta:
3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10
días. ¿Cuántos días necesitaran 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer
60 metros de la misma obra?
Supuesto: 3 hombres 8 horas 80 metros 10 días
Supuesto: 5 hombres 6 horas 60 metros X días
A más hombres menos días luego son inversamente proporcionales.
A más horas menos días luego son inversamente proporcionales.
A más metros más días luego son directamente proporcionales.
Entonces
(+) (+) (-) (+)
Supuesto: 3 hombres 8 horas 80 metros 10 días
12
Supuesto: 5 hombres 6 horas 60 metros X días
(-) (-) (+)
El valor de la incógnita será la multiplicación de los positivos dividida entre la
multiplicación de los negativos:
X = (3x8x60x10)/(5x6x80) = 6 días
Ejemplo
Una guarnición de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3 raciones
diarias cada hombre. Si se refuerzan con más hombres hasta llegar a 2000
¿Cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma 2 raciones diarias?
Supuesto: 1600 hombres 10 días 3 raciones diarias
Supuesto: 2000 hombres X días 2 raciones diarias
A más hombres menos días duran los víveres luego son inversamente
proporcionales.
A más raciones menos días duran los víveres luego son inversamente
proporcionales.
Entonces
(+) (+) (+)
Supuesto: 1600 hombres 10 días 3 raciones diarias
Supuesto: 2000 hombres X días 2 raciones diarias
(-) (-) (-)
El valor de la incógnita será la multiplicación de los positivos dividida entre la
multiplicación de los negativos:
X = (1600x10x3)/(2000x2) = 12 días
13
14
Ejercicios de aplicación
1. Si 4 libros cuestan $20 dólares, ¿Cuánto costarán 3 docenas de libros?2. Si una vara de 2.15 metros de longitud da una sombra de 6.45 metros,
¿Cuál será la altura de una torre cuya sombra, a la misma hora es de 51 metros?
3. Una torre de 25.05 metros da una sombra de 33.40 metros, ¿Cuál será a la misma hora, la sombra de una persona cuya estatura es 1.80 metros?
4. Sí media docena de una mercancía cuestan14.50dolares¿Cuánto valdrán 5 docenas de la misma mercancía?
5. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros, ¿Cuál será la capacidad de los 3/8 del mismo tanque?
6. Los 3/7 de la capacidad de un estanque son 8136 litros. Hallar la capacidad del estanque.
7. Dos individuos arriendan una finca. El primero ocupa los 5/11 de la finca y paga 6000 dólares de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo?
8. Una casa es de dos hermanos. La parte del primero, que es los 5/13 de la casa, esta avaluada en 15300 dólares. Hallar el valor de la parte del otro hermano.
9. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Sí hubiera trabajado una hora menos al día, ¿En cuántos días habrían terminado la obra?
10.Nueve hombres pueden hacer una obra en 15 días. ¿Cuántos hombres más harían falta para hacer la obra en 1 día? ¿Cuántos hombres menos para hacerla en 15 días?
11.A la velocidad de 30 km. Por hora un automóvil emplea 8 ¼ horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido triple?
12.Una pieza de tela tiene 32.32 metros de largo y 75 centímetros de ancho, ¿Cuál será la longitud de otra pieza, de la misma superficie, cuyo ancho es de 80 centímetros?
13.Una mesa tiene 6 metros de largo y 1.50 metros de ancho, ¿Cuánto se debe disminuir la longitud, para que sin variar la superficie, el ancho sea de 2 metros?
14.Una persona debe 1500 dólares. Conviene con sus acreedores en pagar 0.75 de interés por cada dólar, ¿Cuánto tiene que pagar?
15.Ganando 3.15 dólares en cada metro de tela, ¿Cuántos metros se han vendido si la ganancia ha sido 945 dólares?
16.Dos piezas de paño de la misma calidad cuestan, una 450 dólares y la otra 300. Si la primera tiene 15 metros más que la segunda ¿Cuál es la longitud de cada pieza?
17.Una guarnición de 1300 hombres tiene víveres para 4 meses. Sí se quiere que los víveres duren 10 días más, ¿Cuántos hombres habrá que despedir de la guarnición?
15
18.Un obrero tarda 12 3/5 días en hacer 7/12 de una obra ¿Cuánto tiempo necesitará para terminar la obra?
19.Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias; ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si se quiere que los víveres duren 5 días más?
20.Dos números están en relación de 5 a 3. Sí el mayor es 655 ¿Cuál es el menor?
2. PORCENTAJES
Veamos las siguientes situaciones:
1. En una tienda ofrecen descuentos del 20%.
2. La evaluación de hoy vale el 25% del semestre.
3. En este país 12 de cada 100 deportistas tienen parásitos.
Otras formas de escribir e interpretar las anteriores situaciones son las siguientes:
20 por ciento es lo mismo que 20 de cada 100 = 20/100 = 0.20
25 por ciento es lo mismo que 25 de cada 100 = 25/100 = 0.25
12 por ciento es lo mismo que 12 de cada 100 = 12/100 = 0.12
Lo anterior lo expresamos así: 20%, 25%, 12%.
Luego: El porcentaje o tanto por ciento de un número dado es una o varias de
las 100 partes iguales en que puede dividirse el número. Se simboliza %.
Un porcentaje o tanto por ciento equivale a una fracción cuyo denominador es
100.
Ejemplos:
1. 38% se puede expresar de otras 2 formas: Como una fracción, 38/100 y
como un número decimal, 0.38
2. Expresar los siguientes porcentajes como un número decimal: 27%, 2%,
2.2%, 97%, 7.6%. Tenemos que: 27% = 0.27, 2% = 0.02, 2.2% = 0.022,
97% = 0.97 y 7.6% = 0.076
3. Escribir los siguientes porcentajes en forma de fracción: 45%, 56%, 9.8%,
3%, 69%. Tenemos que: 45% = 45/100, 56% = 56/100, 9.8% = 9.8/100, 3%
3/100, 69% = 69/100.
4. La forma decimal también se puede expresar como un porcentaje. Veamos:
0.87 = 87%, 0.04 = 4%. 0.90 = 90%, 0.036 = 3.6%.
5. En una tienda por cada artículo que compremos nos hacen un descuento
del 25%, ¿Cuánto vale un balón cuya etiqueta tiene un precio de $7500?
25% de 7500 = 25/100 de 7500
16
=( 25/100)*7500
= (25*7500)/100
= 1875
Observe que: 0.25*7500 = 1875
Por lo tanto, el costo del balón es: 7500 – 1875 = $5625.
17
18
Ejercicios de aplicación:
1. Completar el siguiente cuadro:
Forma corriente Forma decimal Porcentaje Forma fraccionaria
7 de cada 100
0.88
6.7%
16/100
0.087
59%
49 de cada 100
2. Calcular:
a. 50% de 38700
b. 36% de 457896
c. 1% de 98765
d. 10% de 173465
3. Evalúe:
e. ¿De qué número es 8 el 30%?
f. De qué número 17.92 es el 32%
g. Qué % de 54 es 9?
h. De qué número 34 es el 25%?
i. De qué número 800 es el 4%
j. Cuál es el 54% de 600?
k. Qué porcentaje de 1 es 0.2?
4. Carlos tiene que pagar una deuda de $900000. Si le rebajan el 5% de su deuda.
¿Cuánto tiene que pagar?
19
5. Luis tenía $800000. Si gasta el 20% y da a su hermano el 15% de lo que le
queda, ¿Cuánto dinero tiene ahora?
6. De los 80 libros que tenía un librero vendió el 45% a $12500 c/u; el 75% del
resto a $12000 c/u y el resto a $10000 c/u. ¿Cuál es el valor total de la venta?
7. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado $68000 para ganar el 15% de la
venta?
8. Comprando un vestido que me costó $105000 gasté el 25% de mi dinero.
¿Cuánto tengo ahora?
9. Tenía $350000 y me gané $500000 en un chance. ¿Lo que tengo ahora, qué %
es de lo que tenía al principio?
10. Cierto automóvil se vendió en 16.000 dólares hace 2 años. El mismo modelo se
vende éste año en 18.000. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio de
compra?
11. Ana obtiene en sus exámenes un total de 240 puntos de 320 posibles ¿ cuál es
su calificación porcentual?
12. El precio por libra de carne es 2.52 dólares en el año presente. Si el precio
correspondiente fue de 2.40 en el año pasado¿ Cuál es el porcentaje de aumento
del precio por libra?
13.Si se asignan 8.4 millones de barriles de petróleo diarios para el consumo de
cierto país y solamente se utilizan 6.3 millones ¿qué porcentaje de la asignación
no se consume?
14. Edith gasta 75 dólares a la semana en alimentos ¿Cuánto deberá gastar a la
semana sí su precio aumenta en 8 %?
15. Martín gana 2100 dólares al mes ¿Cuánto ganará mensualmente si su salario
se incrementa en 6%?
3. SIGNOS DE AGRUPACION
Los símbolos de agrupación como los paréntesis(), llaves{}, y corchetes[], se
utilizan para señalar, de una manera sencilla, más de una operación.
Los signos de agrupación se usan para asociar ó agrupar los números indicando
una operación. Cuando una operación se encierra en un paréntesis, ello indica
que dicha operación tiene que efectuarse primero y con el resultado de ella se
verifica la otra operación indicada. Se eliminan los símbolos de agrupación uno en
uno, empezando por el que este situado más adentro, siguiendo el orden propio
de las operaciones que hay que efectuar,es decir, despejar de adentro hacia fuera.
Cuando un símbolo de agrupación está precedido por un sigo positivo y se quiere
eliminar los términos que él contiene no cambian de signo. Cuando el símbolo de
agrupación esta precedido de un signo menos, al eliminar el paréntesis los
términos de que él contiene cambian de signo.
Ejemplo
(3 + 4)+6=7+6=13
Ejemplo
(2+5)+(6+4)=7+10=17
Ejemplo
100 – [18+(6-4)]=100-[18+(2)]=100-[18+2]=100-[20]=100-20=80
20
Ejemplo
(7-2)+(5+4)-(3-2)
=(5)+(9)-(1)
=5+9-1
=13
Ejemplo
350-(7-2+5)-(6+3)+(9+8-2)=350-(10)-(9)+(15)=350-10-9+15=346
Ejemplo
30+[84-(7-2)]=30+[84-(5)]=30+[84-5]=30+[79]=30+79=109
Ejemplo
800-[45+{(8-4)+(7-2)}]=800-[45+{(4)+(5)}]=800-[45+{4+5}]=800-[45+{9}]=800-[45+9]=800-[54]=800-54=746
21
22
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. 40+[25-(3+2)].2. 60+[(4+2)-5].3. 150-[(5-1)-(4-3)].4. 250+[(7-2)+(4-1)+(3-2)]5. 450-[6+{4-(3-1)}].6. 520+[8-3+{9-(4+2-1)}].7. (150-5)-{14+(9-6+3)}.8. 500-{6+[(14-6)-(7-2)+(4-1)]}.9. 500-{14-[7-(6-5+4)]}.10. 856+{19-3-[6+(5-3)-(2+1)+(5-3)]}.11. [8+(4-2)+[9-(3+1)].12. [(6-4)-(3-2)]-[(9-7)-(6-5)]13.8+[9-{6-(5-4)}]+14-{11-[7-(3-2)]}.14.250-[(6+4)-(3-1)+2]+{16-[(8+3)-(12-10)]}.15. (8-1)-(16-9)+4-1+9-6+(11-6)-(9-4).16.350-2-125+4-(31-30)-(7-1)-(5-4+1).17. (13-5+6)-(21+2-18)+(7-5)-(8-2+1).18. (15-7)+(6-1)-(9-6)+(19+8)-(3-1)+(4+5).19. (7-5)+(13-49-(17+39+(18-9).20.300(5-2)-(9-3)-(+5-4).21.20-(-18)+8(-2).22.3x4+5(-2)-6.23.12-2x8+2-(-9).24.3(-8)-6(-7)+(-20).25.9x7-6x10-7(-4).26.–11x3+8(-4)-2(-13).27.8+2(-4)-6(7-8).28.9(-8)-12(-5)-13(4-2).29.8x12-5(-4)+7(2-10).30.9(-4)-6(-6)-7(3-8).31.4-6(10-8)+6(4-15).32.3+2(-2-3)-7(1-5).33.8-3(-2-5)+8(-3+7).34.5-10(8-6)-3(2-17).35.2(-2-6)-7+4(8-1).36.6(-3-7)+3-8(3-5).37.9(-8+6)+9-4(7-3).38.7(3-10)-12+2(11-6).39.6x7(-1)-3x8(-2).40.7(-4)(8)-9x6(-2).
23
41. –20/4-6(-5).42. 9/3x2x2+7x8-3.43. 8/2x4-6/3x3.44. 12/4x3-8/4x2.45. 36/9x2-15/5x3.46. 27x3/9+2(6-4).47. 8x6/3-5(3-7).48. 24x5/12-10(6-3).49. 64/16x2-8(12-7).50. 7+3(8-5)-4/(-2).51. 2(7-9)-6/(4-10).52. 15-2(-5)-(20-4)/8.53. 4+3(-12)+(6-34)/(-7).54. (26+2)/(-4)-10(8-12).55. (5-21)/(-8)+3(9-1).56. (4-14)/(-2)-7(2-8).57. 36/(-6)x6-6x3-1.58. 8/(-4)x2-2x6-5.59. 20(-4)/10-6/(5-7).60.72/(-18)x4-(3-12)/8-9).
4. POTENCIACION
La potenciación ó elevación a potencias es una operación que tiene por objeto hallar las potencias de un número.Potencia de un número es el resultado de multiplicarlo dos ó más veces.32 = 3*3 = 9 33 = 3*3*3 = 27
24 = 2*2*2*2 = 16
El número que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia y el
número al cual esta elevado indicando el número de veces que se debe multiplicar
se llama exponente.
La primera potencia de un número es el mismo número(31= 3).
La segunda potencia de un número se llama cuadrado de este número(32).
La tercera potencia de un número se llama cubo de este número(33).
Signos de las potencias:
Si la base es negativa y el exponente es impar el resultado tiene signo negativo
Ejemplo:
(-2)3 = (-2)*(-2)*(-2) = -8
(-5)3 = (-5)*(-5)*(-5) = -125
Si la base es negativa y el exponente es par el resultado tiene signo positivo
Ejemplo
(-2)4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16
(-2)2 = (-2)*(-2) = 4
Si la base es positiva y el exponente es par o impar el resultado siempre será
positivo.
Ejemplo
53 = 5*5*5 = 125
34 = 3*3*3*3 = 81
24
Propiedades de la potenciación:
Si a, b Z y n, m N, tenemos:
Ejemplos:
23 x 25 =23+5 =28 (a+1)2 x (a+1)3 = (a+1)2+3 = (a+1)5
a2 x a4= a2+4=a6
-24 x 23 = 16x8 = 128
-3X3 x X2 = -3X3+2 = -3X5
X5 x X = X5+1 = X6
.
Ejemplos:
(32)4 = 32x4 =38
(a3)5 = a3x5 = a15
(-32)3 = –32x3 = -36
(-a3)2 = a3x2 = a 6
Ejemplos:
(3X)5 = 35 x X5
(3 x 7)2 = 32 x 72 = 9 x 49 = 441 ó (21)2= 441(5a2b)3 = (5)3(a2)3(b)3 = 53 a6b3 = 125a6b3
(-2a2b3)3 = (-2)3(a2)3(b3)3 = -8a6b9
(-3ab2)4 = (-3)4(a)4(b2)4 = 81a4b8
Ejemplos:
a0 = 1.50 = 1.(-2)0 =1X0 = 1.b0 = 1.
25
an x am = an+m.
(am)n = amxn
(axb)m = am x bm
a0 = 1, Sí a0
Ejemplos:
26/ 22 = 26 - 2 =24
54/54 = 1(a -1)4 / (a-1)3 = (a – 1)4 - 3 = (a – 1) 38 / 312 = 1/(312 – 8) = 1/34
Ejemplos:
(2/3)4 = 24/34
(2X4yz / 6xy2)3 = 23X4*3y3z3 / 63X3y2*3 = 8X12y3z3 / 216X3y6 = 1X9z3 / 27y3
Si a diferente de cero.
Ejemplos:
3-2 = 1/32 =1/9
-5-3 = - 1/53 = -1/125
26
am / an = am-n cuando m>nam / an = 1 cuando m=nam / an = 1/(an-m) cuando m<n
(a/b)m = am / bm
Ejercicios de aplicación
Efectuar aplicando las propiedades de la potenciación.
1. 22 x 23
2. 2 x 25
3. 23 x 23
4. –23 x 22
5. –2 x 23
6. –22 x 25
7. –24 x 22
8. –22 x 26
9. a x a4
10. a2 x a5
11. 7a x a5
12. 6a x a13. -3X x X3
14. –2X2 x X15. a2(-b4)16. –a3(-b)2
17. (X – 1)2(X – 1)18. (2X + 1)2(2X + 1 )4 19. (33)2
20. (-22)3
21. (3Xy2)3
22. (5X2y2)3
23. 25/224. 3/34
25. –214/27
26. (2b4 / b3 )3
27. (3a3 / a6 )4
28. (2a2 / a5)6
29. (a2b / ab2)2
30. (X3y2 / Xy3)4
31. resolver ejercicios de interés compuesto y cuotas.
a-n = 1/an
OPERACIONES INVERSAS DE LA POTENCIACION
En la potenciación, conociendo la base y el exponente, hallamos la potencia.
Ejemplo
Base = 2
Potencia = 16
Exponente =4
Ejemplo
Base = 3
27
24 = 16
Potencia = 9
Exponente = 2
Como la potenciación no es conmutativa, pues no se pude cambiar la base por el
exponente por que no da el mismo resultado(32 = 9 pero 23 = 8 entonces 3 no es
igual a 8).Para poder realizar este cambio se utilizan las operaciones inversas.
Las operaciones inversas de la potenciación son dos:
1) La radicación, que consiste, conociendo la potencia y el exponente, en hallar
la base.
Ejemplo
Base = 2
Potencia = 16
Exponente =4
Ejemplo
Base = 3
Potencia = 9
Exponente = 2
2) Los logaritmos, que consiste, conociendo la potencia y la base, en hallar el
exponente
Ejemplo
Base = 2
28
32 = 9
Potencia = 16
Exponente =4
Porque 24 = 16
Ejemplo
Base = 3
Potencia = 9
Exponente = 2
Porque 32 = 9
5. RADICACION
La radicación, que consiste, conociendo la potencia y el exponente, en hallar
la base.
En general
significa que bn = a donde a,n,b >0
Ejemplos
significa que 24 = 16
significa que 35 = 243
29
Log2 16 = 4
Log3 9 = 2
Como 52 =25, el número 5 que elevado al cuadrado da 25, es la raíz cuadrada de
25, lo que se expresa con la notación:
El signo se llama signo radical, 25 es la cantidad subradical, 5 es la raíz
cuadrada y el número 2 es el índice ó grado de la raíz ó exponente, el cual
indica que 5 elevado al cuadrado da 25.
Una raíz es exacta cuando elevada al exponente que indica el índice del radical
reproduce la cantidad subradical.
Ejemplo
3 es la raíz cuadrada exacta de 9 porque 32 = 9.
Porque 32 = 9.
Cuando no existe ningún número entero que elevado al exponente que indica el
índice del radical sea igual a la cantidad subradical, la raíz es inexacta ó entera.
Ejemplo
La raíz cuadrada de 38 es inexacta, porque no existe ningún número entero que
elevado al cuadrado de 38.
= inexacta porque no existe un número entero que elevado al cuadrado de 38.
Las raíces inexactas son llamadas radicales.
PROPIEDADES DE LA RADICACION
Cuando la cantidad subradical está elevada a un exponente igual que el índice de
la raíz, ambos se pueden cancelar ó simplificar.
Ejemplo
30
Ejemplo
= 2*3 = 6 ó también
= 6
Ejemplo
= 1*4*5 = 20 ó también
= 20
Ejemplo
= 2/3.
Ejemplo
= 1/2.
Ejemplo
= 24/2 = 22 = 4
Ejemplo
31
= 29/3 = 23 = 8
= 24/2 X 54/2 = 22 X 52 = 4 X 25 = 100
22/3 =
34/5 =
21/2 X 31/3 =
32
EJERCICIOS DE APLICACION
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. Si 8 es la raíz cúbica de un número, ¿cuál es ese número?
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
33
Efectuar las siguientes operaciones convirtiendo el radical en exponente ó
potencia:
25.
26.
27.
28.
29.
Efectuar las siguientes operaciones convirtiendo el exponente en radical:
1. 31/3
2. 22/5
3. 52/3
4. 23/4
5. 22/3 X 31/3
6. LOGARITMOS
Los logaritmos, que consiste, conociendo la potencia y la base, en hallar el
exponente.
Los logaritmos son una herramienta indispensable en el área de las finanzas. Es
necesario disponer de una buena calculadora para el manejo de los logaritmos.
Por medio de los logaritmos es posible convertir las operaciones producto y
cociente a sumas y diferencias que son más fáciles de calcular. En la misma forma
potenciación se reduce a un producto, que también es más fácil de calcular.
Definición: Sea a un número real positivo. El logaritmo en base a de otro número
real N, positivo, es otro número real (llamado x) tal que a elevado a dicho número
produce como resultado N.
Así: logaN = x ya que ax = N.
Por ejemplo: log28 = 3 ya que 23 = 8
Log101000 = 3 ya que 103 = 1000
Log525 = 2 porque 52 = 25.
Luego, de acuerdo a la definición anterior: x es el logaritmo en base a de N si
34
ax = N.
El número a se llama base del logaritmo, x es el logaritmo.
Luego un logaritmo lo podemos expresar en forma exponencial y una potencia la
podemos expresar como un logaritmo.
Por ejemplo:
1. Expresar en forma exponencial: logab = c ac = b
2. Expresar en forma de logaritmo: mn = p logmp = n
3. Expresar en forma de logaritmo: xy = z logxz = y
4. Expresar en forma exponencial: logde = f df = e.
35
Ejercicios de aplicación:
1. Escriba en forma exponencial equivalente:
log24 = 2
log66 = 1
log31 = 0
log51 = 0
log381 = 4
2. Escriba en forma logarítmica equivalente:
512 = 83
1 = 100
125 = 53
104 = 10000
26 = 64
3. Encontrar el valor de y en los siguientes casos:
y = log24
y = log4256
y = log381
y = log101
y = log5625
4. Encontrar el valor de x en los siguientes casos:
log4x = 3
log2x = 5
log5x = 3
log6x = 4
log7x = 3
5. Encontrar el valor de a en los siguientes casos:
loga27 = 3
loga64 = 2
loga64 = 8
loga64 = 4
loga1000 = 3
7. FUNCIONES
No vamos a entrar en un estudio profundo de funciones. Vamos a mirar lo esencial
para el curso, que es la parte referente a gráficas.
Definición: Una pareja ordenada son dos números en los cuales es importante el
orden en que aparecen escritos. Así en la pareja (2,5) decimos que 2 es la primera
componente y 5 la segunda; lo que es diferente a la pareja (5,2) en donde la
primera componente es 5 y la segunda es 2. Luego (2,5) (5,2).
Luego una pareja ordenada es una pareja de números (x,y) en donde: x: primera
componente o abscisa
Y: segunda componente u ordenada
En general (x,y) (y,x).
Un plano cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares, así:
36
En el plano cartesiano representamos las parejas ordenadas, teniendo en cuenta
que la abscisa se representa sobre el eje de la X y la ordenada sobre el eje de la
Y, y además verificando en que cuadrante se encuentra el punto de acuerdo con
el gráfico anterior. La pareja ordenada (x.y) se llama coordenadas del punto.
El punto de intersección de los ejes se llama origen y sus coordenadas son: (0,0).
Ejemplo: Representar en un plano cartesiano los puntos: (0,0), (1,3), (-2,4), (-2,-3)
y (4, -3).
37
Recordemos que una función real está dada en la forma y = f(x).
Por ejemplo: y = 2x-3
Y = 3x2 –5x+1
Y = 10x3
38
Ejercicios de aplicación:
Representar en un plano cartesiano los siguientes puntos: (0,5), (-2,2), (-3,6), (1,-5), (-3,3), (3,-3), (3,3), (-3,-3), (-2,0), (5,-4), (7,-3), (4,6).
Las funciones de la forma y = mx+b, con a,bR (Reales), se llaman funciones
lineales.
Las funciones de la forma y = ax2+bx+c, con a,b,cR, se llaman funciones
cuadráticas.
En cualquier función real podemos determinar la imagen (la y) teniendo la
definición de la función y dándole valores a algunos elementos del dominio (la x).
Si y = f(x) es una real tenemos que:
X se llama variable independiente ya que puede tomar cualquier valor.
Y se llama variable independiente ya que su valor depende del valor de x.
Por ejemplo:
1. Si y = 4x –1, hallar f(0), f(-1), f(3), f(-2), f(5)
F(0) significa que x = 0 y hay que obtener el valor de la y que le corresponde, lo
cual hacemos así:
F(x) = 4x –1 f(0) = 4*0 – 1 = 0 –1 = -1, luego si x = 0, y = -1, lo que representa
la pareja ordenada (0,-1). Lo que significa que
–1 es la imagen de 0 por medio de la función definida por y= 4x – 1.
F(-1) = 4*(-1) –1 = -4 – 1 = -5 (-1,-5)
F(3) = 4*3 – 1 = 12 –1 = 11 (3,11)
F(-2) = 4*(-2) –1 = -8 –1 = -9
F(5) = 4*5 – 1 = 20 – 1 = 19.
2. Si g(x) = x2 – 3x +2. hallar: g(4), g(0), g(-1), g(-2)
G(4) = 42 – 3*4 + 2 = 16 – 12 + 2 = 6
39
G(0) = 02 – 3*0 + 2 = 0 – 0 + 2 = 2
G(-1) = (-1)2 –3*(-1) +2 = 1 + 3 + 2 = 6
G(-2) = (-2)2 –3*(-2) +2 = 4 + 6 + 2 = 12.
8. GRAFICA DE FUNCIONES
Una función se representa gráficamente como lo muestra el siguiente ejemplo:
40
Ejercicios de aplicación:
1. Sí f(x) = 8x + 3,hallar: f(9), f(-3), f(10), f(-1), f(0), f(-5).
2. Si g(x) = 2x2 + 7x, hallar: g(0), g(-4), g(6), g(-2), g(-1).
3. Si h(x) = x3 –7, hallar: h(-3), h(0), h(5), h(-1), h(11), h(-
10)
4. Si i (x) = X, hallar: i(6), i(4), i(-16), i(0), i(-5), i(-8)
5. Si j(x) = -X, hallar j(-3), j(2), j(-20), j(17), j(-8).
Graficar: y = x2 +2x +2. Para una mejor representación gráfica se utiliza el papel
milimetrado.
El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales, el recorrido
no es muy obvio establecerlo. Es necesario hacer una tabla con algunos valores
(parejas de puntos), que al representarlos en el plano cartesiano nos dan una
aproximación de la gráfica de la función.
X -3 -2 -1 0 1
Y= f(x) 5 2 1 2 5
41
BIBLIOGRAFIA
Algebra elemental. Alfonse Gobran. Grupo editorial Iberoamérica.
42
Ejercicios de aplicación:
Representar gráficamente: (Utilice papel milimetrado)
1. y = x2 – x- 1
2. y = 3x + 8
3. y = x3 - 2
4. y = -x2
5. y = -5x +4
Aritmética de Baldor.
Fundamentos de matemáticas universitarias. Allendoerfer. Editorial Mc Graw Hill.
Tercera edición.
43