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7/26/2019 Mat 139 Cal Culo 320121
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PERESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
PRIMERA PRCTICA DE CLCULO 3Semestre acadmico 2012-1
Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores lquidos.
1.
a. Sea 1L la proyeccin ortogonal de la recta RttPL ,)1,5,2()3,1,2(: ,
sobre el plano . Hallar la ecuacin cartesiana del planoYZ que contiene a y
a la recta
1L
RtsL P ,)5,1,2()10,12,:2 2( .(2.5 pts.)
b. Hallar la ecuacin cartesiana de un plano M que contiene a la rectaRttPL ),1,1,0()1,0,1(: , y se sabe que la distancia del punto es
de 2 unidades.
Ma)2,1,1(
(1.5 pts.)
2. Dado los planos 286:y044: 21 czyxPdxyaxP . Encontrar las constantes
. Sabiendo que la distancia entre los planosRdba ,, 41esy 21 PP
| (4 pts.)
3.
i. Sea 0a y A una matriz cuadrada de orden n tal que IaA donde I es laA 73 2
matriz identidad. Probar que A es invertible y calcular en trminos de .1A ayA
(2 pts.)
ii. Sean las matrices
321
230
214
y
010
210
126
,
413
025
312
CBA
Determinar la matriz X tal que BCXA 32 (2 pts.)
1 de 2
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4. Sea la matriz
cba
ba
aA
1
10
100
1000
a) Demostrar que la matriz A tiene inversa para todos los valores reales de: a,b y c. (1pt.)
b) Hallar 1 A . (3 pts.)
5. Sabiendo que: nm xx
xx
x
x
A )1()3(
111111
111
111
a) Hallar el valor de m+n. (2.5pts.)
b) Si BA y son matrices invertibles de orden n , probar que11 BABABAAB (1.5 pts.)
San Miguel, 31 de marzo de 2012.
Preparado por los profesores del cursoCoordinadora: Olga Chamorro
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PERESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
SEGUNDA PRCTICA DE CLCULO 3Semestre acadmico 2012-1
Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores lquidos.
1. a).- Analizar el valor de verdadde los siguientes enunciados:
i , es el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a , es el
conjunto de polinomios de grado 2con coeficientes reales. Entonces, es un
subespacio de . (1 pto.)
nP n 2Q
2Q)(xp
nP
ii Sea, V un espacio vectorial real de dimensin nVdim . Si es unatransformacin lineal tal que
VVT :)Im()( TTNu , entonces es un nmero par.n
(1 pto.)
b) Sea , el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2. Sea2P Hun subespacio
de , donde2P }0)2()1(:)({ 2 ppPxpH . Hallar una base para H .
(2 pts.)
2. Sea una transformacin lineal definida por32: RRT
)2,0,4()1,2(;)0,1,2()0,1( TT
a) Hallar y su matriz asociada respecto a las bases cannicas.),( yxT TA
(2 pts.)
b) Identificar el conjunto imagen de T , y dar una base.)Im(T
(2 pts.)
3. Sea Eun subconjunto de , matrices de orden 2x2 , definido por22xM
Rcba
bca
baaAE ,,:
a) Demostrar que el conjunto Ees un sub-espacio de 22xM . (2 pts.)
b) Hallar una base del sub-espacio Ey dar su dimensin. (2 pts.)
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4. Sea definido por23: RRT )43,73(),,( zyxzyxzyxT
a) Demostrar que T es una transformacin lineal. (2 pts.)b) Hallar el ncleo de Ty una base para el ncleo. (1 pto.)c) Hallar la dimensin de la Imagen. (1 pto.)
5. Sean, 22M es el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2x2 y
es una transformacin lineal. Definida por
2222: MMT
10
11
donde,)( BABAT
a) Hallar el ncleo de T y la imagen de T . (3 pts.)b) Dar la dimensin del ncleo y de la imagen de T . (1 pts.)
San Miguel, 21 de abril 2012
Preparado por los profesores del curso
Coordinadora: Profa. Olga Chamorro
2 de 2
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
CALCULO 3
Practica N2
Semestre academico 2012-1
Elaborado por los profesores del curso.
1. Analice el valor de verdad de los siguientes enunciados:
a) i) Sea Pn el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a n. Si Q2
es el conjunto de polinomios p(x) de grado igual a 2 con coeficientes reales tal
que p(1) = 0 entonces Q2 es un subespacio de Pn. (1.0 pto.)
ii) SeaV un espacio vectorial real de dimension dimV =n >0. Si T :VV es
una transformacion lineal inyectiva entonces N u(T) =I m(T). (1.0 pto.)
b) SeaP2 el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2. Sea Hun subespaciode P2, donde H={p(x) P2: p(1) =p
(1) = 0}. Halle una base para H.
(2.0 ptos.)
2. SeaT : R2 R3 una transformacion lineal tal queT(0, 1) = (0, 1, 2),T(1, 2) = (2, 0, 4).
a) Halle la matriz asociada a T respecto a las bases canonicas. (2.0 ptos.)
b) Halle una base para Im(T). Ademas, encuentre la ecuacion del lugar geometrico
descrito por el conjunto Im(T). (2.0 ptos.)
3. Sea Eun subconjunto de M22, matrices de orden 2 2, definido por
E= {A=
a b
c d
: a + b + c + d= 0, a, b, c, d R}.
a) Pruebe que el conjunto Ees un subespacio de M22. (2.0 ptos.)
b) Halle una base del subespacioEy dar su dimension. (2.0 ptos.)
4. Sea T : R3 Rdefinida por T(x, y , z) = 3x + y 4z.
a) Pruebe que Tes una transfomacion lineal. (2.0 ptos.)
b) Halle el nucleo de Ty una base para el nucleo. (1.0 pto.)
c) Halle la dimension de la imagen de T. (1.0 pto.)
5. Sean M22 el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 2 y T : M22 M22
una transformacion lineal definida por T(X) =B XB1, donde B =
1 0
0 1
.
a) Halle el nucleo de Ty la imagen de T. (3.0 ptos.)
b) Halle la dimension del nucleo y de la imagen de T. (1.0 pto.)
San Miguel, 19 de mayo del 2012.
Elaborado por: Raul Chavez Aquino
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PERESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
TERCERA PRCTICA DE CLCULO 3Semestre acadmico 2012-1
Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores lquidos.
1.
a. Sea
))(,
)1(
1()( 22
22 attLn
at
attF
Hallar todos los valores reales de para los cuales existe. (2 pts.)a )(tFLimat
b. Analizar si la funcin definida por
0,,)1(
,
0,0,1,
)(
21
ttt
tLnet
tetsen
tF
t
t
Es continua en . (2 pts.)0t
2. La Hiprbola: 0;0;14
22
yzx
y , es la proyeccin ortogonal de una curva
que se encuentra en la superficie del cono .0,222 zyzx
a. Hallar una parametrizacin de la curva .y su dominio. (3 pts.)
b. Encontrar la ecuacin de la recta tangente a la curva , en el punto )4
3,
4
5,1(Q
(2 pts.)
3. a. Sea . Hallar el dominio de))tan(),1(,3()( 223 tArcttLnttt y el
valor de tpara lo cual (t) sea cero. (2 pts.)
b. Sean I un intervalo abierto y una funcin tal que es paralelo a
. Se define la funcin
3: RIF
tFtF
)('' tF
)(tF IttG todopara)(
t,
)(')(
I c
. Demostrar que la
funcin derivada siendo una constante.ctG )('
(2 pts.)
4. Analizar si es una parametrizacin regular en
el conjunto R.
))1tan(2),(,()( tArctttsentetF t
(3 pts.)
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5. Sea la curva definida por la interseccin de las superficies:
9
48)6()3(
222
222
zyx
zyx
Parametrizar la curva usando senos, cosenos y especificar su dominio
(4 pts.)
San Miguel, 26 de mayo 2012
Preparado por los profesores del curso
Coordinadora: Prof. Olga Chamorro
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CUARTA PRCTICA DE CLCULO 3Semestre acadmico 2012-1
Advertencia: No se permite el uso de apuntes, libros, calculadoras y correctores lquidos.
1. Dada la curva . EncontrarRttttttt ,)6,2,266()(: 332
a. La funcin longitud de arco (1 pto.)
b. La longitud de la curva desde 1a1 tt (1 pto.)c. Probar que la recta tangente a con la recta RssPL ,)1,1,1(: forma un ngulo
constante. (2 ptos.)
2. Sea Cla curva descrita por la parametrizacin 0,),2
3,()( 32 tttttF
a.
Hallar la ecuacin cartesiana del plano osculador en un punto CQ donde la
recta tangente es perpendicular al plano 046 zx . (3 ptos.)b. Hallar los vectores unitarios NT , y la curvatura de Cen el punto Q .
(3ptos.)
3. Dada la funcin
)0,0(),(,1
)0,0(),(,22
),( 22
yxA
yxyx
xy
yxf
a. Hallar el valor de tal que sea continua en el punto . (2 ptos.)A f )0,0(
b. Dada la funcinyx
eyxf ),( y sea la grfica de . Hallar y graficar:S f
i.- Las curvas de nivel (1 pto.)2
21 ypara ekekCk
ii.- Las trazas o intersecciones de con los planos coordenados. (1 pto.)S
4. Analizar la existencia de los siguientes lmites:
a.22
2
)0,0(),(
)cos()cos(
yx
xyyxyLimyx
(2 ptos.)
b.42
22
)0,0(),( 2
84
yx
xyyxLimyx
(2 ptos.)
1 de 2
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5. a. Sea una parametrizacin regular de modo queRtRRI 3: tt ,0)( .
Supongamos que hay un para el que la distancia del origen al punto alcanza un
valor mnimo. Pruebe que en ese punto la derivada es ortogonal a
Ito3R
ot
)(ot)(
'o
t . (2 ptos.)
San Miguel, 09 de junio 2012.
Preparado por los profesores del curso
Coordinadora: Prof. Olga Chamorro
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