Post on 17-Nov-2015
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Universidad Tcnica Federico Santa Mara
Departamento de Matemtica
Mat 024 Matematica IV
Problemas de Sturm-Liouville
Prof. Jaime Figueroa
Problemas de Sturm-Louville.
La resolucin de este tipo de problemas es clave en la apli-
cacin del mtodo de separacin de variables.
En clase se vieron algunos casos. Es importante conocer el
resultado de los siguientes casos y sus justificaciones.
Problema 1.
En la ecuacin para el calor estacionario en un disco de radio
a, el mtodo de separacin de variables condujo al problema:
f ' Hq L = k fHq L ; fH0L = fH2 pL ; k constante.
Los casos k = 0 ; k < 0 dan solucin nula.
El caso k = l 2 > 0 . La ecuacin diferencial tiene como solu-
ciones independientes:
i L fHqL = senHl q L ; iiL fHqL = cosHl q LEn el primer caso, si se aplica la condicin se obtiene:
0 = senH l 2 pL, lo cual se logra con: l 2 p = m p ; m = 0, 1, 2, ..esto es l = m
2. En el caso ii) reemplazando estas dos condiciones se
logra: 1 = cosI m22 pM, esto es : 1 = cosHm p L = H-1Lm, lo cual
implica m par o cero.
Conclusin: existen soluciones no nulas para
ln = n , n = 0, 1, 2 .... y estas son del tipo:
fnHqL = an senH n qL + bn cosH n q L
Problema 2.
En la ecuacin para el calor estacionario en un sector circular
de un disco de radio a, comprendido entre los ngulos
q = 0 ; q = a ; 0 < a < 2 p el mtodo de separacin de variables
conduce al problema:
f ' Hq L = k fHq L ; fH0L = 0; fHaL = 0 ; k constante.
Los casos k = 0 ; k < 0 dan solucin nula.
El caso k = l 2 > 0 . La ecuacin diferencial tiene como solu-
ciones independientes:
i L fHqL = senHl q L ; iiL fHqL = cosHl q LEn el primer caso, si se aplica la condicin se obtiene:
0 = senH l aL, lo cual se logra con: l a = m p ; m = 0, 1, 2 ... estoes l = m p
a. En el caso ii) reemplazando estas dos condiciones se
logra: 0 = cosI m pa
aM, esto es : 0 = cosHm p L = H-1Lm, lo cual no
es posible.
Conclusin: existen soluciones no nulas para
ln =n pa
, n = 0, 1, 2 ... y estas son del tipo:
fnHqL = an senI n pa qM
Ejemplos
1) si a = p3entonces ln = 3 n , n = 0, 1, 2 ... ,
fnHqL = an senH 3 n qL2) si a = p
2entonces ln = 2 n , n = 0, 1, 2 ... ,
fnHqL = an senH 2 n qL
2 Mat 024 2 2013 Problemas Sturm-Louville.nb
Problema 3.
En la ecuacin de la vibracin de una viga empotrada en un
extremo y en el otro libre, el mtodo de separacin de variables con-
duce al problema:
X ' Hx L = k X HxL ; X H0L = 0; X ' HLL = 0 ; k constante.
Los casos k = 0 ; k < 0 dan solucin nula.
El caso k = l 2 > 0 . La ecuacin diferencial tiene como solu-
ciones independientes:
i L X HxL = senHl x L ; iiL X HxL = cosHl xLEn el primer caso, si se aplica la condicin se obtiene:
0 = l cosH l LL, lo cual se logra con: l L = H2m- 1L p2; m e esto
es l = H2m-1L p2 L
. En el caso ii) no se satisface la primera condicin.
Conclusin: existen soluciones no nulas para
ln =H2 n-1L p
2 L, n e y estas son del tipo:
XnHqL = an senIH2 n-1L p
2 LxM
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