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Ecuaciones Diferenciales
Manuel Valenzuela Rendón
Centro de Sistemas InteligentesTecnológico de Monterrey, Campus Monterrey
Octubre 2007
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 1 / 24
Ecuaciones DiferencialesMétodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
1 EulerEulerEuler Modificado
2 Runge-KuttaRunge-Kutta de cuarto orden
3 Ejemplo: RLCRLC serieSolución analítica
4 Variables de estadoDefiniciónCircuito RLC serieEspacio de estadoEcuaciones de Lotka-VolterraBanda de Rössler
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 2 / 24
Euler
Dada una ecuación diferencial ordinaria de la forma
d y
d t= y ′ = f (t , y),
se hace la aproximaciónΔy
Δt≈ d y
d t.
De donde se tiene queΔy = f (t , y)Δt .
Tomando h ≡ Δt se obtiene la regla recursiva del método de Euler:
y ← y + h · f (t , y)
Se requiere una condición inicial y(t 0) = y0.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 3 / 24
Euler
Dada una ecuación diferencial ordinaria de la forma
d y
d t= y ′ = f (t , y),
se hace la aproximaciónΔy
Δt≈ d y
d t.
De donde se tiene queΔy = f (t , y)Δt .
Tomando h ≡ Δt se obtiene la regla recursiva del método de Euler:
y ← y + h · f (t , y)
Se requiere una condición inicial y(t 0) = y0.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 3 / 24
Euler Modificado
Escribiendo la fórmula de Euler como una ecuación en términos de la iteración ktenemos que:
yk+1 = yk + h · f (tk , yk )
El valor yk+1 anterior es una aproximación del valor real de y(t k+1), por lo tanto,llamémosle yk+1:
yk+1 = yk + h · f (tk , yk )
Ahora, apliquemos la misma idea de la regla recursiva de Euler, pero tomemos elpromedio de f (tk , yk ) y f (tk+1, yk+1):
yk+1 = yk + hf (tk , yk ) + f (tk+1, yk+1)
2
Escribiendo esto como una regla recursiva queda:
y ← y + h · f (t , y)
y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y)
2
o lo que es lo mismo
y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y + h f (t , y))
2
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 4 / 24
Euler Modificado
Escribiendo la fórmula de Euler como una ecuación en términos de la iteración ktenemos que:
yk+1 = yk + h · f (tk , yk )
El valor yk+1 anterior es una aproximación del valor real de y(t k+1), por lo tanto,llamémosle yk+1:
yk+1 = yk + h · f (tk , yk )
Ahora, apliquemos la misma idea de la regla recursiva de Euler, pero tomemos elpromedio de f (tk , yk ) y f (tk+1, yk+1):
yk+1 = yk + hf (tk , yk ) + f (tk+1, yk+1)
2
Escribiendo esto como una regla recursiva queda:
y ← y + h · f (t , y)
y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y)
2
o lo que es lo mismo
y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y + h f (t , y))
2
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 4 / 24
Euler Modificado
Escribiendo la fórmula de Euler como una ecuación en términos de la iteración ktenemos que:
yk+1 = yk + h · f (tk , yk )
El valor yk+1 anterior es una aproximación del valor real de y(t k+1), por lo tanto,llamémosle yk+1:
yk+1 = yk + h · f (tk , yk )
Ahora, apliquemos la misma idea de la regla recursiva de Euler, pero tomemos elpromedio de f (tk , yk ) y f (tk+1, yk+1):
yk+1 = yk + hf (tk , yk ) + f (tk+1, yk+1)
2
Escribiendo esto como una regla recursiva queda:
y ← y + h · f (t , y)
y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y)
2
o lo que es lo mismo
y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y + h f (t , y))
2
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 4 / 24
Euler Modificado
Escribiendo la fórmula de Euler como una ecuación en términos de la iteración ktenemos que:
yk+1 = yk + h · f (tk , yk )
El valor yk+1 anterior es una aproximación del valor real de y(t k+1), por lo tanto,llamémosle yk+1:
yk+1 = yk + h · f (tk , yk )
Ahora, apliquemos la misma idea de la regla recursiva de Euler, pero tomemos elpromedio de f (tk , yk ) y f (tk+1, yk+1):
yk+1 = yk + hf (tk , yk ) + f (tk+1, yk+1)
2
Escribiendo esto como una regla recursiva queda:
y ← y + h · f (t , y)
y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y)
2
o lo que es lo mismo
y ← y + hf (t , y) + f (t + h, y + h f (t , y))
2
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 4 / 24
que se puede escribir como:
k1 ← h f (t , y)
k2 ← h f (t + h, y + k1)
y ← y +12
(k1 + k2)
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 5 / 24
Runge-Kutta de cuarto orden
k1 ← h f (t , y)
k2 ← h f
(t +
12
h, y +1
2k1
)
k3 ← h f
(t +
12
h, y +1
2k2
)
k4 ← h f (t + h, y + k3)
y ← y +16
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 6 / 24
RLC serie
−+vi (t)
R L
C
Haciendo una ecuación de malla se obtiene:
vi(t) = i(t)R + Ld i(t)
d t+
1
C
∫ t
t=t0
i(t) dt
La corriente en el capacitor es
i(t) = Cd vc(t)
d t
pause Sustituyendo en la primera ecuación ponemos todo en términos del voltaje en elcapacitor, vc(t):
vi(t) = RCd vc(t)
d t+ LC
d2vc(t)
d2t+ vc(t)
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 7 / 24
RLC serie
−+vi (t)
R L
C
Haciendo una ecuación de malla se obtiene:
vi(t) = i(t)R + Ld i(t)
d t+
1
C
∫ t
t=t0
i(t) dt
La corriente en el capacitor es
i(t) = Cd vc(t)
d t
pause Sustituyendo en la primera ecuación ponemos todo en términos del voltaje en elcapacitor, vc(t):
vi(t) = RCd vc(t)
d t+ LC
d2vc(t)
d2t+ vc(t)
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 7 / 24
Solución analítica
Para
R = 1
L = 10
C = 0.5
vi(t) = 0
y condiciones iniciales de vc(0) = 1 yd vc(0)
d t= 0, la ecuación diferencial tiene la
siguiente solución analítica:
vc(t) = e−0.05t (0.112508sen(0.444410t) + cos(0.444410t))
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 8 / 24
Variables de estado
Las variables de estado de un sistema se definen como el conjunto mínimo devariables, x1(t), x2(t), . . . , xn(t) tal que el conocimiento de estas variables paracualquier tiempo t0, más la información de la entrada aplicada al sistema a partirdel tiempo t0 es suficiente para determinar el estado del sistema para cualquiertiempo t > t0.
Las variables de estado no se deben confundir con las salidas de un sistema. Unasalida es una variable que puede ser medida, en cambio una variable de estado amenudo no puede ser medida. Sin embargo, usualmente la salida de un sistemase define como función de las variables de estado.
Las variables de estado no son únicas.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 9 / 24
Variables de estado
Las variables de estado de un sistema se definen como el conjunto mínimo devariables, x1(t), x2(t), . . . , xn(t) tal que el conocimiento de estas variables paracualquier tiempo t0, más la información de la entrada aplicada al sistema a partirdel tiempo t0 es suficiente para determinar el estado del sistema para cualquiertiempo t > t0.
Las variables de estado no se deben confundir con las salidas de un sistema. Unasalida es una variable que puede ser medida, en cambio una variable de estado amenudo no puede ser medida. Sin embargo, usualmente la salida de un sistemase define como función de las variables de estado.
Las variables de estado no son únicas.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 9 / 24
Variables de estado
Las variables de estado de un sistema se definen como el conjunto mínimo devariables, x1(t), x2(t), . . . , xn(t) tal que el conocimiento de estas variables paracualquier tiempo t0, más la información de la entrada aplicada al sistema a partirdel tiempo t0 es suficiente para determinar el estado del sistema para cualquiertiempo t > t0.
Las variables de estado no se deben confundir con las salidas de un sistema. Unasalida es una variable que puede ser medida, en cambio una variable de estado amenudo no puede ser medida. Sin embargo, usualmente la salida de un sistemase define como función de las variables de estado.
Las variables de estado no son únicas.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 9 / 24
Variables de estado para el circuito RLC
Definimos las siguientes variables de estado:
x1 = vc(t)
x2 =◦x1
Por lo tantovi(t) = RCx2 + LC
◦x2 + x1
y despejando◦x2 tenemos que
◦x2 = − 1
LCx1 −
R
Lx2 +
1
LCvi(t)
Podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial:[ ◦x1◦x2
]=
[0 1
−1/LC −R/L
] [x1
x2
]+
[0
1/LC
]vi(t)
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 10 / 24
Variables de estado para el circuito RLC
Definimos las siguientes variables de estado:
x1 = vc(t)
x2 =◦x1
Por lo tantovi(t) = RCx2 + LC
◦x2 + x1
y despejando◦x2 tenemos que
◦x2 = − 1
LCx1 −
R
Lx2 +
1
LCvi(t)
Podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial:[ ◦x1◦x2
]=
[0 1
−1/LC −R/L
] [x1
x2
]+
[0
1/LC
]vi(t)
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 10 / 24
Variables de estado para el circuito RLC
Definimos las siguientes variables de estado:
x1 = vc(t)
x2 =◦x1
Por lo tantovi(t) = RCx2 + LC
◦x2 + x1
y despejando◦x2 tenemos que
◦x2 = − 1
LCx1 −
R
Lx2 +
1
LCvi(t)
Podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial:[ ◦x1◦x2
]=
[0 1
−1/LC −R/L
] [x1
x2
]+
[0
1/LC
]vi(t)
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 10 / 24
Variables de estado para el circuito RLC
Definimos las siguientes variables de estado:
x1 = vc(t)
x2 =◦x1
Por lo tantovi(t) = RCx2 + LC
◦x2 + x1
y despejando◦x2 tenemos que
◦x2 = − 1
LCx1 −
R
Lx2 +
1
LCvi(t)
Podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial:[ ◦x1◦x2
]=
[0 1
−1/LC −R/L
] [x1
x2
]+
[0
1/LC
]vi(t)
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 10 / 24
Un ejemplo
Tomando R = 1, L = 10, y C = 0.5 se tiene que[ ◦x1◦x2
]=
[0 1−0.2 −0.1
] [x1
x2
]+
[0
0.2
]vi(t)
Los valores característicos (eigenvalores) de la matriz[0 1−0.2 −0.1
]
son λ1,2 = −0.05± j0.4444, estos valores pueden verse en la solución analítica de laecuación diferencial.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 11 / 24
Un ejemplo
Tomando R = 1, L = 10, y C = 0.5 se tiene que[ ◦x1◦x2
]=
[0 1−0.2 −0.1
] [x1
x2
]+
[0
0.2
]vi(t)
Los valores característicos (eigenvalores) de la matriz[0 1−0.2 −0.1
]
son λ1,2 = −0.05± j0.4444, estos valores pueden verse en la solución analítica de laecuación diferencial.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 11 / 24
Comportamiento de un sistema
El comportamiento de un sistema mediante variables de estado puede observarse enel tiempo, es decir x1(t), x2(t), . . . , xn(t), o en el espacio estado, es decir x1 vs. x2 . . . xn.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 12 / 24
Solución para R = 1, L = 10, y C = 0.5
Para vi(t) = 0, y condiciones iniciales de x1(0) = 1 y x2(0) = 0.
0 20 40 60 80 100−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
x1x2
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 13 / 24
Espacio de estado para circuito RLC
−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
x1
x 2
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 14 / 24
Otro circuito RLC más complejo
−+
vi(t)
R1 L1
C
L2
R2
Escribiendo dos ecuaciones de malla se obtiene que:
vi(t) = i1(t)R1 + L1d i1(t)
d t+
1
C
∫ t
t0
(i1(t)− i2(t)) dt
0 =1
C
∫ t
t0
(i2(t)− i1(t)) dt + L2d i2(t)
d t+ i2(t)R2
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 15 / 24
Recordando que la corriente en el capacitor es
ic(t) = i1(t)− i2(t) = Cd vc(t)
d t
y sustituyendo en las ecuaciones anteriores:
vi(t) = i1(t)R1 + L1d i1(t)
d t+ vc(t)
0 = −vc(t) + L2d i2(t)
d t+ i2(t)R2
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 16 / 24
Definimos como variables de estado las corrientes en las inductancias y el voltaje en elcapacitor:
x1 = i1(t)
x2 = i2(t)
x3 = vc(t)
de donde las ecuaciones de estado en forma matricial son las siguientes:⎡⎢⎣
◦x1◦x2◦x3
⎤⎥⎦ =
⎡⎣ −R1/L1 0 −1/L1
0 −R2/L2 1/L2
1/C 1/C 0
⎤⎦⎡⎣ x1
x2
x3
⎤⎦ +
⎡⎣ 1/L1
00
⎤⎦ vi(t)
Si la salida del sistema es el voltaje de la restencia R 2, la ecuación de salida es
y =[
0 R2 0] ⎡⎣ x1
x2
x3
⎤⎦
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 17 / 24
Definimos como variables de estado las corrientes en las inductancias y el voltaje en elcapacitor:
x1 = i1(t)
x2 = i2(t)
x3 = vc(t)
de donde las ecuaciones de estado en forma matricial son las siguientes:⎡⎢⎣
◦x1◦x2◦x3
⎤⎥⎦ =
⎡⎣ −R1/L1 0 −1/L1
0 −R2/L2 1/L2
1/C 1/C 0
⎤⎦⎡⎣ x1
x2
x3
⎤⎦ +
⎡⎣ 1/L1
00
⎤⎦ vi(t)
Si la salida del sistema es el voltaje de la restencia R 2, la ecuación de salida es
y =[
0 R2 0] ⎡⎣ x1
x2
x3
⎤⎦
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 17 / 24
Solución en el tiempox1(0) = x2(0) = x3(0) = 0, R1 = 0.1, R2 = 0.2, L1 = 5, L2 = 10, C = 1, vi (t) = sin(0.2πt)
0 20 40 60 80 100−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
x
1
x2
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 18 / 24
Solución en espacio de estadox1(0) = x2(0) = x3(0) = 0, R1 = 0.1, R2 = 0.2, L1 = 5, L2 = 10, C = 1, vi (t) = sin(0.2πt)
−2−1
01
2
−1
−0.5
0
0.5
1−4
−2
0
2
4
x1
x2
x 3
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 19 / 24
Otros conjuntos de variables de estado para el circuito RLC
Existen muchos conjuntos de varialbles de estado. Para este caso, entre otros muchosconjuntos tenemos los siguientes:
Los voltajes en R1, R2 y C
Los voltajes en L1, L2, y R2
Los voltajes de nodo
etc.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 20 / 24
Ecuaciones de Lotka-Volterra
La relación entre una población de presas X y una población de depredores Y sepuede modelar como:
d X
d t= K1AX − K2XY
d Y
d t= K2XY − K3BY
definiendo a = K1A, b = K3B, y k = K3, y las variables de estado x1 = X y x2 = Y :
◦x1 = ax1 − kx1x2◦x2 = kx1x2 − bx2
Este sistema de ecuaciones diferenciales no lineales tiene un comportamientoperiódico para a = b = k = 1.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 21 / 24
Ecuaciones de Lotka-Volterra
La relación entre una población de presas X y una población de depredores Y sepuede modelar como:
d X
d t= K1AX − K2XY
d Y
d t= K2XY − K3BY
definiendo a = K1A, b = K3B, y k = K3, y las variables de estado x1 = X y x2 = Y :
◦x1 = ax1 − kx1x2◦x2 = kx1x2 − bx2
Este sistema de ecuaciones diferenciales no lineales tiene un comportamientoperiódico para a = b = k = 1.
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 21 / 24
Solución de las ecuaciones de Lotka-Volterra
Resolviendo para los valores anteriores para diferentes condiciones iniciales seobtiene la siguiente gráfica:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
X
Y
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 22 / 24
Banda de Rössler
El siguiente sistema de ecuaciones
◦x = −y − z◦y = x + ay◦z = b + z(x − c)
produce comportamiento caótico para a = 0.398, b = 2, y c = 4. Definiendo lasvariables de estado x1 = x , x2 = y , y x3 = z:
◦x1 = −x2 − x3◦x2 = x1 + ax2◦x3 = b + x3(x1 − c)
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 23 / 24
Banda de Rössler
El siguiente sistema de ecuaciones
◦x = −y − z◦y = x + ay◦z = b + z(x − c)
produce comportamiento caótico para a = 0.398, b = 2, y c = 4. Definiendo lasvariables de estado x1 = x , x2 = y , y x3 = z:
◦x1 = −x2 − x3◦x2 = x1 + ax2◦x3 = b + x3(x1 − c)
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 23 / 24
CaosResolviendo las ecuaciones anteriores para condiciones inciales igual a cero se obtiene la siguiente gráfica
−4−2
02
46
−10
−5
0
50
1
2
3
4
5
6
xy
z
M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes) Ecuaciones Diferenciales Octubre 2007 24 / 24