Lógica matemática

• La Lógica es el estudio de los métodos y principios que permiten distinguir el razonamiento correcto del incorrecto y de manera general se puede afirmar que la Lógica Matemática surge de aplicar a la Lógica los métodos de la Matemática.

2 + 2 = ?

Lógica matemática

RAZONAMIENTO LOGICO• Sin necesidad de conocimientos complicados

o difíciles, se puede determinar si algo que se oye o se lee, es verdad o es falso y se considera que se ha hecho un razonamiento lógico.

Ejemplos:

1.-Cuatro más dos es igual a seis. Verdadero.2.-Tres menos dos es cuatro. Falso.

PROPOSICION SIMPLE

• Es una oración que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez. Del ejemplo anterior son proposiciones simples las oraciones a), b), c) y f), las otras no son proposiciones, pues, no se pueden determinar si son verdaderas o falsas.

Observación. No toda oración puede ser proposición simple.

VALOR DE VERDAD

• Si se analiza una proposición se puede determinar si esta es verdadera o falsa, el resultado se conoce como valor de verdad.

Ejemplosa) Ecuador pertenece a la OTAN.

Esta proposición tiene como valor de verdad F.b) Ecuador no pertenece a la OTAN.

Esta proposición tiene como valor de verdad V.

Notación. Toda proposición simple se puede remplazar por las letras: , , , rqp

PROPOSICION COMPUESTA

• Es la unión de dos proposiciones simples mediante los operadores lógicos: y, o, si … entonces, si y sólo si.

Notación. Toda proposición compuesta se puede remplazar por las letras: , , , RQP

EjemploDeterminar cuales de las siguientes oraciones son proposiciones compuestasa) Dos más cuatro es seis o uno más uno es dos. Si.b) Quito está en Ecuador y en Europa. Si.c) ¿Quién eres y hacia dónde vas? No.d) Si cuatro es igual a cuatro entonces dos no es igual a uno. Si.

OPERADORES LOGICOS• Dadas dos proposiciones simples, se puede formar una proposición

compuesta uniéndolas con los operadores lógicos que se describen a continuación.

1.CONJUNCION ( )Sean proposiciones, la conjunción entre se representa por . Se lee: “ ”. Se pueden unir dos proposiciones simples usando la conjunción “y” EjemplosEstoy el la Politécnica y estudio lógica matemática.Hago deporte en Galápagos y trabajo en Pichincha.

qp y qp y

PROPIEDAD FUNDAMENTAL• Si ambas proposiciones son verdaderas, la proposición compuesta es

verdadera, en caso contrario es falsa. Así:

p q qpVV

V

V

VF F

FF

FF F

Ejemplos:Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas a)Quito esta en el Ecuador y en América del Sur

: Quito está en el Ecuador. V : Quito está en América del Sur. V

Si es verdad y es verdad, la proposición es verdadera de acuerdo a la ley fundamental. b)4-2=2 y 6+1=5

: 4-2=2. V : 6+1=5. F

Si es verdad y es falsa, la proposición es falsa de acuerdo a la ley fundamental.

p

p

q

q

p q

p q

2.DISYUNCION ( )

Sean proposiciones, la disyunción entre se representa por . Se lee: . Se pueden unir dos proposiciones simples usando la disyunción “o”.

qp qp y qp y qp o

Ejemplos

La Física es una ciencia o cero más uno es dos.Es democracia o es dictadura.El gato blanco o el gato negro.

Si ambas proposiciones son falsas, la proposición compuesta es falsa. Así:

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

p q qpVV

V

V

VF V

VF

FF F

EjemploDeterminar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas a) El hierro es gas o el oxígeno es metal

: El hierro es gas. F : El oxígeno es metal. FEl valor de verdad de es F

b) El sodio es un elemento químico o el helio es metal

: El sodio es un elemento químico. V : El helio es metal. FEl valor de verdad de es V.

Fe

3.DISYUNCION EXCLUSIVA ( ) Sean proposiciones, la disyunción exclusiva entre se representa por . Se lee: “ ”, Se pueden unir dos proposiciones simples usando la disyunción exclusiva. EjemplosO Saturno es un planeta o cero más uno es cero.O Napoleón fue emperador o Montalvo fue militar.

qp y qp y qop o

PROPIEDAD FUNDAMENTALSi ambas proposiciones son verdaderas o son falsas, la proposición compuesta es falsa. Así:

p q qpVV

V

V

FF V

VF

FF F

EjemploDeterminar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas a) O el hierro es metal o el oxígeno es gas.

: El hierro es metal. V : El oxígeno es gas. VEl valor de verdad de es F.

b)O el sodio es un elemento químico o el oxígeno es metal.

: El sodio es un elemento químico. V : El oxígeno es metal. FEl valor de verdad de es V.

Fe

pq

pq

4.NEGACION ( )Sea una proposición, la negación de se representa por . Se lee: “no ”. De toda proposición se puede formar otra que exprese todo lo contrario, constituyéndose en una negación. Así:

p pp p

FV

VF

p p

Solo hay dos posibilidades y no cuatro como en los casos anteriores.

OBSERVACIÓN. Se puede negar usando: “no”, “es falso que”, “no es verdad que”, “no es cierto que que”.

Ejemplo

Sea la proposición : 4+3=7. Escribir la negación de .

Solución:

a) 4+3 7b) Es falso que 4+3=7c) No es verdad que: 4+3=7d) No es cierto que: 4+3=7 El valor de verdad de p es V y el de a), b), c), d) es F puesto que niega lo que afirma p.

pppp

2 + 4 + 6 + 8 + 9 ≠ 23

5.CONJUNCION NEGATIVA ( )Sean proposiciones, la conjunción negativa entre se representa por . Se lee: “no y no ” PROPIEDAD FUNDAMENTALSi ambas proposiciones son falsas, la proposición compuesta es verdadera, en caso contrario es falsa. Así:

qp y qp y qp

p q qpVV

V

V

FF F

FV

FF F

6.CONDICIONAL ( )Sean proposiciones, el condicional entre se representa por . Se lee: “ implica ”, “Si entonces ”, “ solamente si ”, “ sólo si ”. En la proposición , es el antecedente, hipótesis o premisa; es el consecuente, conclusión o tesis.

EjemplosSi Einstein desarrolló la teoría de la relatividad entonces el hierro es magnético.La ley se aprueba sólo si hay mayoría en el congreso. PROPIEDAD FUNDAMENTALEl condicional de dos proposiciones es falso si es verdadera y es falsa, pues, una verdad no puede implicar una falsedad. Así: p q qp

VV

V

V

VF F

VV

FF F

qp y qp y

p q p q p q p qqp

EjemploDeterminar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas

a) R: 5=5 implica que 2+3=5

: 5=5. V : 2+3=5. V

R es verdadera.

b) R: Si 2=2, entonces 1=0

: 2=2. V : 1=0. F

R es falsa.

7.BICONDICIONAL ( )Sean proposiciones, el bicondicional entre se representa por . Se lee: “ si y sólo si ”, “ si y solamente si ”, “ cuando y sólo si ”. Ejemplos

El metano es gas si y sólo si la ballena es mamífero.Bolívar fue argentino si y solamente si Sucre fue presidente. Se debe notar que los ejemplos dados son proposiciones matemáticamente correctas, pero, en el lenguaje corriente pueden resultar un poco raras.

qp y qp y qpp q p q p q

CH4

p q qpVV

V

V

VF F

FV

FF F

PROPIEDAD FUNDAMENTALEl bicondicional de dos proposiciones es verdadero si las dos proposiciones son verdaderas o las dos son falsas Así:

Ejemplo

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas

a) R: 2+3=5 si y solo si 4-3=0

: 2+3=5. V : 4-3=0. F

R es falsa

b) R: 7+2=5 si y solo sí 1=0

: 7+2=5. F : 1=0. F

R es verdadera

TABLAS DE VERDADEs una forma concisa de determinar el valor de verdad de una proposición compuesta, en función de las variables , … y de los operadores. EjemploDesarrollar la tabla de verdad de .Debido a la existencia de dos variables proposicionales el número de posibilidades es , donde es el número de variables, es decir 4. Así:

p q pVV

V

V

FF F

VV

FF F

FVFV

FFFV

q p q

ORDEN DE LOS OPERADORES

Es necesario conocer el orden en que se desarrolla la tabla de verdad. Se

recomienda usar las siguientes reglas:

1.Si las proposiciones unidas por operadores están cerradas por paréntesis, hay

que desarrollar en valor de verdad de los paréntesis internos, como en Álgebra.

2.Si una proposición compuesta está unida por comas (,) se debe desarrollar

primero lo que está antes y después de la “coma” antes de unir las proposiciones

simples con el operador principal.

3.Si no hay paréntesis, se debe desarrollar la tabla de verdad en orden de acuerdo

a la jerarquía de los operadores, esto es, Puesto que la conjunción y la

disyunción tienen igual jerarquía, se deberá establecer cual va a predominar.

4.Si no hay “comas” ni paréntesis se debe especificar el operador que va a

predominar, con lo cual no entraría en vigencia la regla 3.

EjemploEncontrar el valor de verdad de la disyunción Solución:Usando paréntesis

)()( pqqp

p q (pVV

V

V

VF V

FV

FF F

VFFV

q) (pVFVV

VVFV

q)VVFV

V V

VV

F VFV

1.TAUTOLOGIA (V)Una proposición compuesta es una tautología si es verdad para cualquier proposición, es decir la última columna de su tabla de verdad es V. EjemploDemostrar que es una tautología

p q (pVV

V

V

VF V

FF

FF F

VFFF

q) (pVVFF

VVVF

q)VVFV

V V

VF

F FVF

)()( qpqp

2.CONTRADICCION (F)Una proposición compuesta es una contradicción si tiene solo F en la última columna de su tabla de verdad. EjemploDeterminar si es una contradicciónSolución:

pp

VF

FV

p pFF

La forma proposicional dada es una contradicción. Una proposición compuesta es una contingencia si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales.Observaciones1. La negación de una tautología es una contradicción.2. La negación de una contradicción es una tautología.

3.EQUIVALENCIA LOGICA ( )

Dos proposiciones son lógicamente equivalentes si es una tautología. EjemploDemostrar que Solución:Se desarrolla la tabla de verdad de

QP y QP

qpqp

)()( qpqp

p q (pVV

V

V

VF V

FF

FF F

VFFF

q) ( pVVFF

VVVF

q)VVFV

V V

VF

F FVF

Algunas equivalencias lógicas

pqqp

qpqp qpqp )()()( qpqpqp

)()( pqqpqp pqpp )(

)( qpqp

qpqp

pqpp )(

4.IMPLICACION LOGICA ( )Sean proposiciones, implica lógicamente a si es una tautología. EjemploDemostrar que Solución:Se desarrolla la tabla de verdad de

QP y P Q QP

qpqp

)()( qpqp

p q (pVV

V

V

VF V

FF

FF F

VFFF

q) (pVVFF

VVVF

q)VVVV

V V

VF

F FVF

LEYES DE LAS PROPOSICIONESLas siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes, se las considera como leyes y se las aplica para simplificar proposiciones grandes.

PPP PPP

Ley de Ídem potencia

)()( RQPRQP )()( RQPRQP

Leyes asociativas

PQQP PQQP

Leyes conmutativas

)()()( RPQPRQP )()()( RPQPRQP

Leyes distributivas

PFP VVP

FFP PVP

Leyes de identidad

VPP FPP

PP FV VF

Ley de Complemento

QPQP )(

QPQP )(

Leyes de Morgan

EjemploSimplificar )()( qpqp

)()( qpqp

)()( pqpq

)( ppq

Vq

q

Ley de Morgan

Ley conmutativa

Ley distributiva

Ley de complemento

Ley de identidad

1.- Determine si las siguientes frases son proposiciones. Justifique su respuesta. Esta haciendo fríoRealice su tarea7 + 3 = 12Quito es la capital del EcuadorCinco menos dos es igual a cuatroEl 13 de diciembre del 2001 fue viernesEl 5 en un número racional 2.- Decida cuál de las siguientes frases es una proposición compuesta 3+2=5 y 8-5=4Llueve y tengo fríoSi María esta feliz entonces su madre también lo esSimón Bolívar nació en Venezuela y José Martín nació en CubaEstudio matemáticas o voy a la fiesta

Deber #1

3.- Decida si cada una de las proposiciones siguientes que incluyen un cuantificador es verdadera o falsa a) Todos los números racionales son números irracionalesb) Cada número natural es un número cardinalc) Existe un número entero que no es número cardinald) Para todo x elemento de los números reales Existe un y elemento de los números reales tal que x + y = 0e) Existe un número irracional que es número entero 4.- Construya las siguientes tablas de verdad e identifique si representan una tautología, falacia o ninguna de ellas

a) b) c) d)

rprqqp

pqqppp

srsppq

prrpqp

5.- Utilizando las leyes del algebra de proposiciones simplificar a) b) c) d) e) 6.- Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones a) b) Si 2 < 5 entonces -5 > -2c) 10 – 4 = 5 o d) 5 + 5 = 25 si y solo si 6 – 3 = 3e) 62=36 si y solamente si 9 + 3 = 12

qqpqp

qpqp

pqq

pqqp

qppqpqp

2424 o

7.- Suponga que p y q representan proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas. Encuentre le valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) b) c) d) e)

qppsrp

sprq

psqr

qsqprq

psqqps