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CAPITULO I. LGICA Y LENGUAJE
Tradicionalmente se ha dicho que la lgica se ocupa del estudio del
razonamiento. Esto hoy en da puede considerarse desbordado por
la enorme extensin y diversidad que ha alcanzado esta disciplina,
pero puede servirnos como primera aproximacin a su contenido.
Un matemtico competente distingue sin dificultad una
demostracin correcta de una incorrecta, o mejor dicho, una
demostracin de otra cosa que aparenta serlo pero que no lo es.
Sin embargo, no le pregunt es qu es lo que entiende por
demostracin, pues a menos que adems sepa lgica no sabr
responder, ni falta que le hace. El matemtico se las arregla para
reconocer la validez de un argumento o sus defectos posibles de
una forma improvisada pero, al menos en principio, de total
fiabilidad. No necesita para su tarea contar con un concepto preciso
de demostracin. Eso es en cambio lo que ocupa al lgico: El
matemtico demuestra, el lgico estudia lo que hace el matemtico
cuando demuestra. Entonces el matemtico se las arregla solo sin
necesidad de que nadie le vigile los pasos, pero entonces, qu
hace ah el lgico? Posiblemente la mejor forma de justificar el
estudio de la lgica sea dar una visin, aunque breve, de las causas
histricas que han dado a la lgica actual tal grado de prosperidad.
Si observamos lo que hace un matemtico cuando demuestra,
vemos que no es sino escribir ordenadamente una afirmacin tras
otra, por lo que una demostracin ser una sucesin de
afirmaciones. Estas afirmaciones las hace cada matemtico en su
propia lengua, ya sea en castellano, francs, ingls, alemn o
japons, pero sucede que estos lenguajes son demasiado complejos
para ser analizados fructferamente a nivel terico. Por ello en
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primer lugar hemos de construirnos un lenguaje apropiado para
nuestro propsito, es decir, un lenguaje que, por una parte est
despojado de relativos, indefinidos, subjuntivos y tantas cosas que
tanto enriquecen nuestra lengua, pero que tanto la complican, y
que, al mismo tiempo, siga siendo capaz de expresar todo lo que un
matemtico necesita.
1.1. QU ES LGICA?
La lgica es una ciencia formal que estudia los principios de la
demostracin e inferencia vlida. La palabra deriva del griego
antiguo (logike), que significa dotado de razn, intelectual,
dialctico, argumentativo, que a su vez viene de (logos),
palabra, pensamiento, idea, argumento, razn o principio.
As como el objeto de estudio tradicional de la qumica es la
materia, y el de la biologa la vida, el de la lgica es la inferencia.
La inferencia es el proceso por el cual se derivan conclusiones a
partir de premisas.1 La lgica investiga los principios por los cuales
algunas inferencias son aceptables, y otras no. Cuando una
inferencia es aceptable, lo es por su estructura lgica, y no por el
contenido especfico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esta
razn la lgica se considera una ciencia formal, como la
matemtica, en vez de una ciencia emprica.
La lgica tradicionalmente se consider una rama de la
filosofa. Pero desde finales del siglo XIX, su formalizacin simblica
ha demostrado una ntima relacin con las matemticas, y dio lugar
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a la lgica matemtica. En el siglo XX la lgica ha pasado a ser
principalmente la lgica simblica, un clculo definido por smbolos
y reglas de inferencia, lo que ha permitido su aplicacin a la
informtica. Hasta el siglo XIX, la lgica aristotlica y estoica
mantuvieron siempre una relacin con los argumentos formulados
en lenguaje natural. Por eso aunque eran formales, no eran
formalistas.2 Hoy esa relacin se trata bajo un punto de vista
completamente diferente. La formalizacin estricta ha mostrado las
limitaciones de la lgica tradicional o aristotlica, que hoy se
interpreta como una parte pequea de la lgica de clases.
1.2. VERDAD Y VALIDEZ
Una verdad lgica es una frmula bien formada de un lenguaje
formal que es verdadera bajo todas las interpretaciones de los
componentes (distintos de las constantes lgicas) de ese lenguaje.
En algunos contextos, las verdades lgicas se conocen como
frmulas lgicamente vlidas (que tienen validez lgica). Dos
caractersticas generalmente aceptadas de las verdades lgicas son
que son formales y necesarias. Que sean formales implica que
cualquier instanciacin de una verdad lgica es tambin una verdad
lgica. Que sean necesarias significa que es imposible que sean
falsas, es decir que en todas las situaciones contrafcticas, las
verdades lgicas siguen siendo verdades lgicas.
A veces se confunde a las verdades lgicas con las
tautologas. Las tautologas son las verdades lgicas de la lgica
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proposicional. Si bien toda tautologa es una verdad lgica, no toda
verdad lgica es una tautologa.
Algunos ejemplos conocidos de verdades lgicas en la lgica
proposicional son:
P P
(P P)
En lgica, la validez es una propiedad que tienen los
argumentos cuando las premisas implican la conclusin. Si la
conclusin es una consecuencia lgica de las premisas, se dice que
el argumento es deductivamente vlido. Algunos consideran estas
dos nociones idnticas y usan ambos trminos indistintamente.
Otros, sin embargo, consideran que puede haber argumentos
vlidos que no sean deductivamente vlidos, como las inducciones.
En cualquier caso, de las inducciones a veces se dice que son
buenas o malas, en vez de vlidas o invlidas.
Ejemplos de argumentos deductivamente vlidos son los
siguientes:
1. Si est soleado, entonces es de da.
2. Est soleado.
3. Por lo tanto, es de da
1. Si es lunes, entonces es martes.
2. Es lunes.
3. Por lo tanto, es martes
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Ntese que para que un argumento sea deductivamente vlido, no
es necesario que las premisas o la conclusin sean verdaderas. Slo
se requiere que la conclusin sea una consecuencia lgica de las
premisas. La lgica formal establece nicamente una relacin
condicional entre las premisas y la conclusin. Esto es: que si las
premisas son verdaderas, entonces la conclusin tambin lo es
(esta es la caracterizacin semntica de la nocin de consecuencia
lgica); o alternativamente: que la conclusin sea deducible de las
premisas conforme a las reglas de un sistema lgico (esta es la
caracterizacin sintctica de la nocin de consecuencia lgica). Si
un argumento, adems de ser vlido, tiene premisas verdaderas,
entonces se dice que es slido.
No se debe confundir la validez (una propiedad de los
argumentos) con la validez lgica (una propiedad de las frmulas).
Se dice que una frmula tiene validez lgica, o que es lgicamente
vlida, cuando es verdadera bajo todas las interpretaciones posibles
del lenguaje al que pertenece. Por lo dems, el trmino validez
lgica est cayendo en desuso frente al trmino verdad lgica
para designar a estas frmulas.
1.3. FUNCIONES DE VERDAD Y TABLAS DE VERDAD
En lgica matemtica, una funcin de verdad es una funcin que
toma un conjunto de valores de verdad y devuelve un valor de
verdad. Clsicamente el dominio y el rango de una funcin de
verdad son {verdadero, falso}, pero en general pueden tener
cualquier nmero de valores de verdad, incluso una infinidad de
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ellos. Una sentencia conectiva (vase abajo) se llama "funcional de
verdad" si asigna o denota tal funcin.
Una sentencia se llama funcin de verdad si el valor de
verdad de la sentencia es una funcin del valor de verdad de sus
subsentencias. Una clase de sentencias se denomina funcional de
verdad si cada uno de sus miembros lo es. Por ejemplo, la
sentencia "Las manzanas son frutos y las lechugas son verduras" es
funcional de verdad puesto que es verdadero si lo son cada una de
sus subsentencias "la manzanas son frutas" y "las lechugas son
verduras", y es falso en caso contrario. No todas las sentencias de
un lenguaje natural, tal como el espaol, son funcionales de
verdad.
Sentencias de la forma "x cree que..." son ejemplos tpicos de
sentencias que no son funciones de verdad. Supongamos por
ejemplo que Mara cree errneamente que Mariano Rajoy gan las
elecciones del 14 de marzo de 2004 pero no cree que la luna est
hecha de queso verde. Entonces la sentencia
"Mara cree que Mariano Rajoy gan las elecciones del 14 de
marzo de 2004"
Es verdadera mientras que
"Mara cree que la luna est hecha de queso verde"
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Es falsa. En ambos casos, cada componente de la sentencia (es
decir "Mariano Rajoy gan las elecciones del 14 de marzo de 2004"
y "la luna est hecha de queso verde") es falsa, pero cada
componente de la sentencia formada antecediendo la frase "Mara
cree que" difiere en su valor de verdad. Esto es, el valor de verdad
de una sentencia de la forma "Mara cree que..." no est
determinado solamente por el valor de verdad de las sentencias de
que se compone, y as pues el conectivo (o simplemente operador)
no es una funcin de verdad.
En lgica clsica, la clase de sus frmulas (incluyendo las
sentencias) es una funcin de verdad puesto que cada conectivo
sentencial (por ejemplo, y, , etc.) usado en la construccin de
frmulas es funcin de verdad. Sus valores para varios valores de
verdad como argumento se dan usualmente mediante tablas de
verdad.
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una
tabla que muestra el valor de verdad de una proposicin
compuesta, para cada combinacin de valores de verdad que se
pueda asignar a sus componentes.
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los aos
1880, pero el formato ms popular es el que introdujo Ludwig
Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en
1921.
Ejemplo:
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La tabal de verdad de la funcin lgica Y Z = A&B
A B Z
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
TABLA 1.1. TABLA DE VERDAD DE LA FUNCIN LGICA Y.
1.4. PROPOSICIONES
Una proposicin o enunciado es una oracin que puede ser falsa o
verdadera pero no ambas a la vez. La proposicin es un elemento
fundamental de la lgica matemtica.
A continuacin se tienen algunos ejemplos de proposiciones
vlidas y no vlidas, y se explica por qu algunos enunciados no
son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una
letra minscula, dos puntos y la proposicin propiamente dicha.
Ejemplo.
p: La tierra es plana.
q: -17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia ser campen en la presente temporada de Futbol.
t: Hola como estas?
w: Lava el coche por favor.
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Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso
o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r
tambin es una proposicin valida, aunque el valor de falso o
verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en
determinado momento. La proposicin del inciso s tambin esta
perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera
se tendra que esperar a que terminara la temporada de futbol. Sin
embargo los enunciados t y w no son vlidos, ya que no pueden
tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el
otro es una orden.
1.5. LGICA Y LINGSTICA
El neopositivismo se hizo consciente de un hecho sencillo, pero
extraordinariamente fecundo: la nica manera que dispone
cualquier ciencia para expresar sus pensamientos, ya sean estos
fsicos, qumicos, matemticos, etc., es mediante el lenguaje. A
partir de entonces, quedara establecido que todos los problemas de
cualquier ciencia estn vinculados al lenguaje, de ahora y para
siempre. Ello nos explica porque hay trabajos en los cuales, se
vinculan la matemtica y la lingstica, la fsica y el lenguaje, etc., y
por qu se habla de una sintaxis matemtica, de una semntica
fsica, de un metalenguaje jurdico, etc. Bsicamente, todas las
ciencias se vincularon a la lingstica, a travs de la sintaxis, la
semntica y la pragmtica.
Con la sintaxis, porque ella brinda el conjunto de reglas en las
cuales se establecen las combinaciones de palabras permitidas y
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prohibidas. Si referimos la definicin anterior a cualquier realidad,
por ejemplo, al juego de ajedrez, la sintaxis est representada por
las reglas mediante las cuales se fijan los movimientos que puedan
tener cada una de las piezas, o nmero de jugadores, jugadas
permitidas, en fin, es su reglamento. Claramente podemos
comprender, por lo anterior que todos los juegos tiene una sintaxis,
por la simple razn tienen su sintaxis, por la simple razn de que
necesariamente tienen un reglamento. Las ciencias tambin tienen
su sintaxis, porque tienen su reglamento, un conjunto de
combinaciones fsicas, o matemticas, o qumicas, etc., admisibles
e inadmisibles.
La semntica, estudia las significaciones de las palabras
desde el punto de vista de las relaciones signo-objeto, entendiendo
el objeto como "imagen de la cosa". La semntica, como un hecho
universal, estudia las relaciones entre los conceptos y los signos de
las cosas. Por consiguiente, todas las ciencias tienen una
semntica, en la medida en que relacionan sus signos con los
conceptos propios de cada una de ellas.
Se ha dicho: el signo es una cosa que por naturaleza o
convencin, evoca el entendimiento la idea de otro objeto. Es una
evocacin asociada a un estmulo. En el ejemplo del ajedrez, la
semntica en el momento que asociamos los signos del juego con
sus conceptos; esto es, los signos son las piezas: Rey, pen, etc., y
los conceptos son las funciones que tienen dichas piezas.
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La pragmtica, estudia las relaciones signo-usuario, desde el
punto de vista de su utilizacin practica por parte de la comunidad.
en el juego comentado, se hace presente la pragmtica en la forma
como usan los jugadores todo el sistema de signos que componen
el ajedrez .
En conclusin, pensamos en la medida en que transcurren el
tiempo, se har ms importante la importante la relacin ciencia-
lenguaje. Los hombres de hoy estamos cientficamente ms
posibilitados para entender a San Juan que quienes nos han
precedido. En efecto, dice al comenzar su evangelio: "en el principio
era el verbo y por el fueron creadas todas las cosas." Si la palabra
creo todas las cosas el universo entero es el lenguaje, y al estudiar
cualquier proporcin de este, tal vez se podra de presente la
existencia de un lenguaje objetivado, de unas estructuras
lingsticas en todas las ciencias, en todos los objetos y en todos
los procesos.
1.6. REGLAS DE DEDUCCIN NATURAL
La deduccin natural es una aproximacin a la teora de la
demostracin en la que se busca capturar la manera en que las
personas razonan naturalmente al construir demostraciones
matemticas. En vez de contar con unos pocos axiomas a los que
se aplican unas pocas reglas de inferencia, la deduccin natural
propone vaciar la lista de axiomas y ampliar la de reglas de
inferencia, introduciendo dos reglas para cada constante lgica: una
para introducirla y otra para eliminarla.2 Una demostracin se
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construye partiendo de supuestos y aplicando las reglas para llegar
a la conclusin deseada.
Los problemas deductivos que se resolvern mediante
el mtodo de deduccin natural sern los siguientes:
Demostrar la validez de un razonamiento.
Demostrar que un enunciado es un caso de ley lgica.
Demostrar que un conjunto de enunciados es inconsistente.
Deducciones
Los contextos deductivos son argumentaciones en las que se
sostiene la verdad de un enunciado a partir de otros enunciados
que se suponen tambin verdaderos, de modo que aquel se deduce
(o se pretende deducir) de estos. Cuando analizamos estas
argumentaciones en sus aspectos puramente lgicos las llamamos
deducciones.
Una deduccin va a ser una serie o secuencia de enunciados
que se van obteniendo gracias a la aplicacin de reglas de
inferencia, que en las situaciones ms comunes estn implcitas.
Por lo tanto, las deducciones pueden verse como encadenamientos
de reglas de inferencia. A partir de enunciados que funcionan como
premisas en la deduccin se obtienen mediante reglas vlidas
otros enunciados que son todos ellos conclusin de las premisas.
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CAPITULO II. CONJUNTOS
DEFINICIONES BSICAS
Cualquier intento de definir el concepto de conjunto est condenado a
enumerar sinnimos como son coleccin, familia, agregado, agrupacin,
etc. Lo importante de la idea que asociamos al trmino conjunto es que
contiene elementos y debemos poder expresar si un elemento pertenece
o no a un conjunto: la pertenencia es el concepto sobre el que se
construye la teora de conjuntos, es el concepto primitivo (es decir, que
no se define). El smbolo que indica que x pertenece al conjunto A es x
A, y decimos que x es elemento de A, mientras que x A es su
negacin.
La teora de conjuntos tiene esencialmente dos actividades:
comparar conjuntos y construir nuevos conjuntos a partir de unos dados
(para, despus, comparar los nuevos con los originales). En cualquiera
de los dos casos, la teora usa conjuntos ya existentes, no puede crear
un conjunto de la nada. Por ello el primer axioma que enunciamos es el
que dice que, al menos, existe un conjunto de modo que toda la teora
no se quede vaca.
NOTACIN
A los conjuntos se les representa con letras maysculas A, B, C y a los
elementos con letras minsculas a, b, c...
Ejemplo
El conjunto A cuyos elementos son los nmeros en el lanzamiento
de un dado:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la
seleccin de una forma particular de expresin depende de la
conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:
Extensin: Cuando se describe a cada uno de los elementos.
A = {a, e, i, o, u}
Comprensin: Cuando se enuncian las propiedades que deben
tener sus elementos.
A = {x | x es una vocal}
Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el
smbolo de pertenencia o es elemento de, con el smbolo , en caso
contrario .
Ejemplos:
A = {1, 2, 3}
2 A; 5 A
TIPOS DE CONJUNTOS
Conjunto Vaci Nulo: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza
por { }.
Ejemplo:
A = {x2+1=0| x R}
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El conjunto A, es un conjunto vaco por que no hay ningn nmero
real que satisfaga a x2+1 = 0
Conjunto Universal: Es el conjunto de todos los elementos
considerados en una poblacin universo, en un problema en especial.
No es nico, depende de la situacin, denotado por U.
Relaciones entre conjuntos
Axioma (De existencia). Existe un conjunto. La primera tarea es, por
tanto, comparar conjuntos. La comparacin ms bsica es saber si dos
conjuntos son iguales o no, que es lo que resuelve el segundo axioma.
Axioma (De igualdad). Dos conjuntos son iguales si, y slo si,
contienen los mismos elementos. De manera simblica lo escribimos.
Lo que dice este axioma es que un conjunto queda completamente
caracterizado por los elementos que contiene, y no importa si los
elementos los guardamos en una caja o en una bolsa, si los ordenamos
o estn desordenados; slo importa cules son los elementos. Tambin
se llama axioma de extensin porque permite definir un conjunto
describiendo todos y cada uno de sus elementos, es decir, describiendo
su extensin.
Axioma (De la unin). Dada una familia de conjuntos F, existe
un conjunto que contiene los elementos de los elementos de F. Si
llamamos E a dicho conjunto, entonces podemos definir el conjunto
llamado unin de F utilizando el axioma de especificacin como sigue.
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Definicin. Dada una familia de conjuntos F, la unin de la familia
F es el conjunto formado exactamente por los elementos de los
conjuntos que estn en F:
{ |
Axioma (Del conjunto potencia). Dado un conjunto A, existe el
conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de A, llamado conjunto
potencia y denotado P(A).
2.1. OPERACIONES BSICAS
Hay una representacin grfica de los conjuntos que es particularmente
apropiada para visualizar las operaciones entre conjuntos: los diagramas
de Venn. Un diagrama de Venn representa al conjunto E por un
rectngulo, y cualquier subconjunto del mismo por una curva cerrada
dentro del rectngulo. Si es posible, los elementos del conjunto E se
marcan como puntos dentro del rectngulo y la curva que representa a
un subconjunto encierra sus elementos. Ejemplo:
Los conjuntos E = {a, b, c, d} y A = {a, b} E se muestran en la figura
n 2.1.
FIGURA N 2.1. EJEMPLO DE REPRESENTACIN GRFICA CON DIAGRAMAS DE
VENN.
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Debe quedar claro que los diagramas de Venn no sirven como
demostraciones de teoremas. Slo son ilustraciones de los mismos.
COMPLEMENTO
Definicin. El complemento de un subconjunto A del conjunto E es el
conjunto de todos los elementos de E que no estn en A. Se denota Ac y
se puede describir como
{ |
Graficamente lo vemos en la figura n 2.2.
Figura 2.2: Representacin grfica del complemento.
Ejemplo:
En el conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5}, el complemento del conjunto A
= {1, 2} es Ac = {3, 4, 5}.
UNIN
Definicin. La unin de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por
los elementos que estn en A estn en B. Se denota A u B.
{ |
En la figura n 2.3 se muestra esta definicin.
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FIGURA 2.3: REPRESENTACIN GRFICA DEL CONJUNTO A U B.
INTERSECCIN
Definicin. La interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por los elementos que estn en A y estn en B. Se denota A
B.
{ |
En la figura n 2.4 se muestra esta definicin.
Si dos conjuntos verifican A B = se dice que son disjuntos
porque no tiene elementos en comn.
FIGURA 2.4: REPRESENTACIN GRFICA DEL CONJUNTO A B.
DIFERENCIA
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Definicin. La diferencia del conjunto A menos el conjunto B es el
conjunto formado por los elementos que estn en A pero no en B. Se
denota A\B.
{ |
En la figura n 2.5 se muestra esta definicin.
FIGURA 2.5 REPRESENTACIN GRFICA DEL CONJUNTO A\B.
Ejemplo:
Las diferencias de los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3} son A \ B
= {1}, B \ A = {3}.
La diferencia de conjuntos, como en los nmeros, no es conmutativa;
en general A\B B\A. Sin embargo, la diferencia simtrica se construye
de forma que s lo es.
DIFERENCIA SIMTRICA
Definicin. La diferencia simtrica de dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por los elementos que estn en A o estn en B excepto los
comunes a ambos. Se denota A B y se puede escribir como:
En la figura n 2.6 se muestra esta definicin.
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FIGURA 2.6: REPRESENTACIN GRFICA DEL CONJUNTO AB.
Ejemplo:
La diferencia simtrica de los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3}
es AB = BA = {1, 3}.
Las leyes del algebra de conjuntos son las leyes del algebra de las
operaciones complemento, unin e interseccin. A continuacin se
enumeran algunas de tales leyes. No son todas, pues se pueden deducir
otras nuevas a partir de stas, tampoco son independientes entre ellas,
pues algunas de la lista se pueden deducir de otras. Es una eleccin
arbitraria de las ms tiles y habituales.
Teorema. Sea E un conjunto y A, B y C subconjuntos arbitrarios
de l. Entonces se cumple:
1. Ley del doble complemento
2. Ley de idempotencia
A A = A.
A A = A
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3. Ley conmutativas
A B = B A
A B = B A
4. Leyes asociativas
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
5. Elementos neutros de la unin y la interseccin: el vaco es neutro
de la unin y el conjunto E es neutro de la interseccin
A = A
A E = A
6. Elementos dominantes de la unin y la interseccin: el conjunto E
es dominante en la unin y el vaco lo es en la interseccin:
A E = E
A =
7. Leyes del complemento
A Ac = E
A Ac =
8. Leyes distributivas
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (AC)
9. Leyes de absorcin
A (A B) = A
A (A B) = A
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10. Leyes de De Morgan
(A B)c = Ac Bc
(A B)c = Ac Bc
2.2. CONJUNTOS FINITOS Y CONJUNTOS INFINITOS
En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se
pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos.
Conjuntos Finitos: Tienen un nmero conocido de elementos, es decir,
se encuentran determinados por su longitud o cantidad.
Ejemplo
El conjunto de das de la semana
Conjuntos Infinitos: Son aquellos en los cuales no podemos
determinar su longitud.
Ejemplo
El conjunto de los nmeros reales
2.3. SUBCONJUNTOS
Subconjunto. Un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A, y se
denota B A. si todo elemento de B es elemento de A. es decir,
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Para ver que la inclusin es una comparacin ms poderosa que la
igualdad, en el siguiente resultado se indica como verificar la igualdad
de conjunto usando la inclusin.
Teorema. Dos conjuntos son iguales si y solo si es un subconjunto
del otro, o bien,
2.4. PRODUCTO CARTESIANO
El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto formado por
parejas ordenadas, con un elemento de cada conjunto. Pero no hemos
definido qu es una pareja ordenada. Obsrvese que el smbolo {a, b}
denota el conjunto cuyos elementos son a y b; es una pareja. Pero no
es ordenada ya que, segn el axioma de igualdad, {a, b} = {b, a} pues
tienen los mismos elementos. Necesitamos definir el smbolo (a, b) en el
que, en general, (a, b) (b, a). Cmo hacerlo? Podemos usar el
smbolo {a, b} y aadir la informacin de cul de los dos elementos es
el primero. Una forma de hacerlo es la siguiente definicin.
Definicin. La pareja ordenada (a, b) es el conjunto {{a}, {b}}.
Es correcto llamar conjunto a (a, b) pues obsrvese que si a A y b B,
entonces {a, b} es un subconjunto de A B, es decir un elemento de
P(A B). Entonces (a, b) es subconjunto de P(A B) y, por tanto
elemento de P (P(A B)), todo ello apoyado en la existencia del conjunto
potencia que asegura el axioma del mismo nombre.
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Con el concepto de pareja ordenada, que es diferente del smbolo
{a, b} podemos definir el producto cartesiano como un subconjunto de
P (P(A B)).
Producto Cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A
y B, denotado A X B, es el conjunto formado por todas las parejas
ordenadas cuyo primer elemento es el conjunto A y cuyo segundo
elemento es el conjunto B.
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = {1, 2} y B = {a, b}. entonces su producto
cartesiano es el conjunto A X B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
Obsrvese que, puesto que las parejas son ordenadas, A X B no es
el mismo que B X A.
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CAPITULO III. LENGUAJE PREPOSICIONAL
3.1 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Una proposicin atmica simple es una proposicin completa sin
trmino de enlace. Por ejemplo:
1. Hoy es sbado
2. No hay clases
Una proposicin molecular compuesta es la unin de una
varias proposiciones atmicas con un termino de enlace. Por ejemplo:
Hoy es sbado y no hay clases.
Esta proposicin molecular se ha construido con dos proposiciones
atmicas y el termino de enlace . Cuando analizamos una
proposicin molecular las descomponemos en las ms pequeas
proposiciones atmicas completas. El ejemplo anterior la proposicin
molecular se puede descomponer en dos proposiciones atmicas. El
termino de enlace no forma parte de ninguna de las
proposiciones atmicas nicamente se ha aadido a las proposiciones
atmicas para construir una proposicin molecular.
3.2 TRMINOS DE ENLACE DE PROPOSICIONES
Las palabras de enlace de proposiciones forman proposiciones
moleculares a partir de proposiciones atmicas.
Los trminos de enlace mas comunes son las palabras ,
, , y . Los cuatro
trminos de enlace considerados, , ,
y se usan para enlazar dos proposiciones atmicas,
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pero la proposicin se agrega a una sola proposicin atmica
para formar una molecular. Se puede decir que este trmino cada vez
acta sobre una sola proposicin atmica y que los otros trminos de
enlace actan sobre dos preposiciones atmicas a la vez. El trmino de
enlace , es el nico que no conecta realmente dos
proposiciones. Cuando a una sola proposicin se le agrega se
forma una preposicin molecular. A continuacin se muestran unos
ejemplos de proposiciones moleculares que utilizan los trminos de
enlace considerados:
La luna no esta hecha de queso verde.
El viento arrastrara las nubes o llover hoy con seguridad.
Si estamos en diciembre entonces llegara pronto Navidad.
El terreno es muy rico y hay suficiente lluvia.
Usted puede votar si y solo si esta inscrito.
3.3 SIMBOLIZACIN DE PREPOSICIONES Y DE TRMINOS DE
ENLACE
Los smbolos que se utilizan para representar proposiciones atmicas,
son las letras maysculas tales como , , ,
, y . Un ejemplo de como usar estos smbolos
es el siguiente:
Consideremos la proposicin . Asignando una letra a cada proposicin atmica:
P=
Q=
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Se escribe la forma lgica de la proposicin haciendo uso de los
parntesis:
(La nieve es profunda) y (el tiempo es fro)
Ahora se utilizan los smbolos y para que la
proposicin quede simbolizada.
(P) y (Q).
Los trminos de enlace tambin se pueden simbolizar. Se
considera cada trmino de enlace por separado y se le asignara un
smbolo, tambin se dar un nombre a la proposicin molecular que se
forme utilizando cada uno de los trminos de enlace. En la tabla n 3.1
se muestran los trminos de enlace antes mencionados con sus
respectivos smbolos.
Tabla n 3.1. Smbolos de trminos de enlace.
Algunos ejemplos utilizando smbolos de proposiciones y smbolos
de enlace son:
(P) & (Q) se lee p y q.
(P) (Q) se lee si p entonces no q.
(R) V (P) r v.
Termino de enlace Smbolo
&
V
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3.4. TIPOS DE PREPOSICIONES
La unin de dos proposiciones atmicas con la palabra , se
denomina conjuncin de las dos preposiciones. Ejemplo:
Juana tiene trece y Rosa quince. (Preposicin de conjuncin).
La unin de dos proposiciones atmicas con la palabra , se
denomina disyuncin de las dos proposiciones.
Corrers en la maana o nadaras en la tarde. (Preposicin de
disyuncin).
Cuando a una proposicin se le aade el trmino de enlace
, el resultado se denomina la negacin de la preposicin. Una
negacin en una preposicin molecular que utiliza el trmino de enlace
. La diferencia con los otros trminos de enlace es que el
trmino usa una sola preposicin. Se considera el trmino de
enlace separado de la preposicin de la que acta, esto es necesario
para poder representar la negacin por un smbolo lgico. Ejemplo:
En el hemisferio Sur, Julio no es un mes de verano. (Negacin de
la preposicin)
El trmino de enlace , se puede llenar los
espacios con proposiciones atmicas con proposiciones moleculares.
La proposicin molecular formada por este trmino de enlace se llama
proposicin condicional. Ejemplo:
Si llueve hoy, entonces se suspende el picnic. (Preposicin
condicional).
29
La unin de dos proposiciones con la palabra , se
denomina bicondicionales equivalencias de las dos proposiciones.
Ejemplo:
Usted puede votar si y solo si esta inscrito. (Proposicin
bicondicional).
30
CAPITULO IV. FORMULAS LGICAS
4.1. VALORES DE CERTEZA
Cada proposicin tiene un valor de certeza, cada proposicin ha de ser
cierta o falsa. El valor de certeza de una proposicin cierta es cierto, y el
valor de certeza de una proposicin falsa es falso. Cada preposicin
atmica o molecular tiene uno de estos dos valores de certeza posibles.
Si se conocen los valores de certeza de las proposiciones atmicas
dentro de proposiciones moleculares, entonces es posible dar valores de
certeza de las proposiciones moleculares; pues los cinco trminos de
enlace que se han empleado para formar proposiciones moleculares son
trminos de enlace de certeza funcional. En consecuencia la certeza o
falsedad de una proposicin molecular depende completamente de la
certeza o falsedad de las preposiciones atmicas que la componen. Para
determinar la certeza o falsedad de cada proposicin molecular solo es
necesario conocer la certeza o falsedad de sus proposiciones atmicas y
los trminos de enlace que la ligan.
4.2. TABLAS DE VERDAD DE LAS PREPOSICIONES
TABLA DE VERDAD DE PROPOSICINES DE CONJUNCIN
Hay cuatro combinaciones posibles de valores de certeza para
proposiciones de la forma P y Q. Recordando que la certeza de
conjuncin P & Q depende de los valores de certeza de aquellas, se
trata de hallar las combinaciones para las que la conjuncin P & Q ser
una proposicin cierta.
La regla prctica para conjunciones es: la conjuncin de
proposiciones es cierta si y solo si ambas proposiciones son ciertas. Por
lo tanto la tabla de verdad para esta preposicin es la que se muestra
en la tabla n 4.1.
31
TABLA N 4.1. TABLA DE VERDAD DE PREPOSICINES DE CONJUNCIN.
TABLA DE VERDAD DE NEGACIN DE PROPOSICINES
Tratemos de la negacin P. la preposicin puede ser cierta o falsa. En
la tabla n 4.2 se muestra los posibles valores de certeza para la
negacin P.
P P
Cierta Falsa
Falsa Cierta
TABLA N 4.2. TABLA DE VERDAD DE NEGACIN DE PROPOSICINES.
TABLA DE VERDAD DE PROPOSICIONES DE DISYUNCIN
En cualquier proposicin de disyuncin una de las dos proposiciones es
cierta y quizs ambas. Lo que quiere decir es que por lo menos un
miembro sea cierto.
La regla prctica es: La disyuncin de dos proposiciones es cierta
si y solo si por lo menos una de las dos proposiciones es cierta.
Queda claro que para conocer la certeza o falsedad de la
proposicin P V Q se ha de conocer la certeza o falsedad de las
preposiciones P y Q.
P Q P & Q
Cierta Cierta Cierta
Cierta Falsa Falsa
Falsa Cierta Falsa
Falsa Falsa Falsa
32
Puesto que la disyuncin liga dos preposiciones, tambin se tienen
cuatro combinaciones posibles de certeza o falsedad, como se muestra
en la tabla n 4.3.
TABLA N 4.3. TABLA DE VERDAD DE PROPOSICINES DE DISYUNCIN.
TABLA DE VERDAD DE PROPOSICIONES CONDICIONALES
TABLA N 4.4. TABLA DE VERDAD DE PREPOSICIONES CONDICIONALES.
Para hallar la tabla de verdad de proposiciones condicionales la
regla prctica es: Una preposicin condicional es falsa si el antecedente
es cierto y el consecuente es falso; en todo otro caso la preposicin
condicional es cierta. Como en el caso de las otras preposiciones
moleculares que contienen ambas preposiciones P y Q, P Q tiene
cuatro posibilidades de certeza y falsedad, como se muestra en la tabla
n 4.4.
TABLA DE VERDAD DE PROPOSICIONES BICONDICIONALES
P Q P V Q
Cierta Cierta Cierta
Cierta Falsa Cierta
Falsa Cierta Cierta
Falsa Falsa Falsa
P Q P Q
Cierta Cierta Cierta
Cierta Falsa Falsa
Falsa Cierta Cierta
Falsa Falsa Cierta
33
Siempre que se tenga una proposicin bicondicional con un miembro
cierto y un miembro falso, entonces una de las implicaciones que
contiene tendr un antecedente cierto y un consecuente falso, por lo
que la proposicin completa, ser falsa.
La regla practica para equivalencias es: Una proposicin
condicional es cierta si y solo si sus dos miembros son ciertos o ambos
falsos.
Puesto que la proposicin bicondicional contiene dos miembros
que ambos pueden ser ciertos o falsos, hay cuatro combinaciones
posibles de certeza o falsedad, como se muestra en la tabla n 4.5.
TABLA N 4.5. TABLA DE VERDAD DE PREPOSICIONES BICONDICIONALES.
4.3. TAUTOLOGAS
Una proposicin molecular es una tautologa si es cierta, cualesquiera
que sean los valores de certeza de las preposiciones atmicas que la
componen. En una tautologa se pueden sustituir sus preposiciones
atmicas por otras preposiciones atmicas cualesquiera, ciertas o falsas
y la preposicin es tambin cierta.
En una tabla de certeza, si una proposicin es una tautologa,
entonces cada lnea ha de ser cierta, en la columna encabezada por ella,
P Q P Q
Cierta Cierta Cierta
Cierta Falsa Falsa
Falsa Cierta Falsa
Falsa Falsa Cierta
34
lo que indica que la preposicin es siempre cierta independientemente
de las combinaciones de los valores de certeza de sus preposiciones
atmicas. Una definicin formal de tautologa es:
Una proposicin es una tautologa si y solo si permanece cierta
para todas las combinaciones de asignaciones de certeza atribuidas a
cada una de sus distintas proposiciones atmicas.
Por ejemplo consideremos la formula P V (P & Q) probemos si
es una tautologa, en la tabla n 4.6 se muestra la tabla de verdad de la
formula P V (P & Q) y se comprueba que si es tautologa porque es
cierta para cualquier combinacin.
TABLA N 4.6. EJEMPLO DE UNA TAUTOLOGA.
4.4. CONTRADICCIN
Una preposicin es contradiccin si y solo si permanece falsa para todas
las combinaciones de asignaciones de certeza atribuidas a cada una de
sus distintas preposiciones atmicas. Una de las mas usadas y mas
sencilla es P & P. la tabla n 4.7 muestra su correspondiente tabla de
verdad.
P Q P & Q (P & Q) P V (P & Q)
C C C F C
C F F C C
F C F C C
F F F C C
35
TABLA N 4.7. TABLA DE VERDAD DE UNA CONTRADICCIN.
4.5. REGLAS DE INFERENCIA
Conocidas las formas de las proposiciones y teniendo los instrumentos
de simbolizacin a nuestro alcance, podemos dirigirnos ya hacia una
parte importante de la Lgica formal: inferencia y deduccin. Las reglas
de inferencia que rigen el uso de los trminos de enlace son muy
simples. Se pueden aprender estas reglas y su uso, como se aprende las
reglas de un juego. El juego se juega con preposiciones, o formulas
lgicas, nombre que se dar a las preposiciones simbolizadas. Se
empieza con conjuntos de formulas que se denominan premisas. El
objetivo del juego es utilizar las reglas de inferencia de manera que
conduzcan a otras formulas que se denominan conclusiones. El paso
lgico de las premisas a la conclusin es una deduccin. La conclusin
que se obtiene se dice que es una consecuencia lgica de las premisas si
cada paso que se da para llegar a la conclusin esta permitido por una
regla. La idea de inferencia se puede expresar de la siguiente manera:
de premisas verdaderas se obtienen solo conclusiones que son
verdaderas. Es decir, si las premisas son verdaderas, entonces las
conclusiones que se derivan de ella lgicamente, han de ser verdaderas.
MODUS PONENDO PONENS
La regla de inferencia modus ponendo ponens permite demostrar Q a
partir de P Q y P. permite pasar de dos premisas a la conclusin.
P P P & P
Cierta Falsa Falsa
Falsa Cierta Falsa
36
Decir que la conclusin es consecuencia lgica de las premisas, es decir,
que siempre que las premisas son ciertas, la conclusin es tambin
cierta. La regla de inferencia aprendida dice que si se tienen dos
proposiciones de la forma de P Q y P se puede deducir la conclusin
Q.
La regla se aplica a la forma de proposiciones, es decir, que
siempre que se de una proposicin condicional y se de precisamente el
antecedente de aquella condicional, se sigue precisamente el
consecuente. La misma regla se aplica tanto si el antecedente es una
proposicin atmica como si es una preposicin molecular y tanto si el
consecuente es una preposicin atmica como si es una preposicin
molecular.
El nombre modus ponendo ponens se puede explicar de la
siguiente manera: esta regla de inferencia es el mtodo (modus), que
afirma (ponens) el consecuente, afirmando (ponendo) el antecedente.
Ejemplos:
Premisa 1. Si l esta en el partido de futbol, entonces l est en el
estadio.
Premisa 2. l est en el partido de futbol.
Conclusin. l est en el estadio.
Sea
P = >
Q = >
Conclusin Q
37
DOBLE NEGACIN
La regla de doble negacin es una regla simple que permite pasar de
una premisa nica a la conclusin. La abreviatura para esta regla es DN.
Un ejemplo simple es el de una negacin de negacin, que brevemente
se denomina . Sea la preposicin
No ocurre que Ana no es un estudiante
Qu conclusin se puede sacar de esta premisa? Evidentemente,
se puede decir:
Ana es un estudiante
La regla de doble negacin tambin acta en sentido contrario. Por
ejemplo, de la preposicin:
Juan toma el autobs para ir la escuela.
Se puede concluir la negacin de su negacin:
No ocurre que juan no toma el autobs para ir a la escuela.
As la regla de doble negacin tiene dos formas simblicas:
(P) y (P)
(P) (P)
MODUS TOLLENDO TOLLENS
La regla de inferencia que tiene el nombre latino modus tollendo tollens
se aplica a las proposiciones condicionales. Pero en este caso, negando
38
(tollendo) el consecuente, se puede negar (tollens) el antecedente de la
condicional. La abreviatura del modus tollendo tollens es TT.
Cuando el antecedente o el consecuente es una proposicin
molecular, puede usarse el parntesis para mayor claridad:
(P) (Q)
(Q)
(P)
Por lo tanto, la regla modus tollendo tollen permite pasar de dos
premisas: (a) una preposicin condicional, y (b) una preposicin que
niega el consecuente, a una conclusin que niega el antecedente.
Ejemplo:
Premisa 1. Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella.
Premisa 2. El astro no es una estrella.
Conclusin. Por tanto no tiene luz propia.
Se simboliza el ejemplo de la manera siguiente:
Sea
P =
Q = >
P Q
Q
P
39
ADJUNCIN
Se suponen dadas dos proposiciones como premisas. Si ambas
proposiciones son verdaderas, entonces se podran juntar en una
preposicin molecular utilizando el termino de enlace y se
tendra una proposicin verdadera.
Si ambas premisas son ciertas, entonces la conclusin tendr que
ser cierta. La regla que permite pasar de las dos premisas a la
conclusin se denomina regla de adjuncin. Se indica abreviadamente
por A.
De manera simblica se puede ilustrar la regla as:
De las premisas (P)
(Q)
Se puede concluir (P) & (Q)
O se puede concluir (Q) & (P)
Los parntesis en la conclusin son necesarios solo si P o Q son
preposiciones moleculares que no sean negaciones. El orden de las
premisas es indiferente. Ejemplo:
Premisa 1. Jorge es adulto.
Premisa 2. Mara es adolecente.
Conclusin. Jorge es adulto y Mara es adolecente.
Conclusin. Mara es adolecente y Jorge es adulto.
SIMPLIFICACIN
Esta regla es la opuesta a la regla de adjuncin. Se tiene una premisa
en la que se pueden deducir dos conclusiones o preposiciones, si la
40
premisa es cierta, cada una de las conclusiones es cierta. La regla que
permite pasar de una conjuncin a cada una de las dos preposiciones
que estn unidad por & se denomina regla de simplificacin.
Esta regla se designa abreviadamente por S. en forma simblica es:
De la premisa (P) & (Q)
Se puede concluir (P)
O se puede concluir (Q)
Con los parntesis se hace resaltar que la premisa ha de ser una
conjuncin. La regla de simplificacin no se puede aplicar a P & Q R
cuyo significado es: (P & Q) R pero se puede aplicar a P & (Q R)
obteniendo P o Q R.
Premisa. El cumpleaos de Mara es el viernes y el mio el sbado.
Conclusin. El cumpleaos de Mara es el viernes.
Conclusin. El mio es el sbado.
41
CAPITULO V. RELACIONES
Introduccin
En la teora desarrollada hasta este punto la nica referencia que se ha
hecho a los elementos de un conjunto es la pertenencia a dicho
conjunto. No hay ninguna conexin entre los elementos de un conjunto
(aparte de la de pertenecer al mismo) y, mucho menos, entre elementos
de diferentes conjuntos. El papel de las relaciones y las funciones es,
precisamente, establecer dichas conexiones. Las relaciones son la forma
ms bsica (y por ello de ms alcance) de imponer una estructura en un
conjunto.
Las equivalencias son las que permiten clasificar los elementos de
un conjunto. El objetivo del estudio de las equivalencias es ver el
resultado de que toda equivalencia da lugar a una clasificacin de los
elementos del conjunto y viceversa, toda clasificacin ( particin) de un
conjunto procede de una relacin de equivalencia.
Definicin de relacin
A un subconjunto del producto cartesiano A x B se le llama relacin de
A en B. En general si A es un conjunto con n elementos y B un
conjunto con m elementos, entonces el nmero de relaciones de A a B
es igual a 2mn, incluyendo a la relacin vaca . Ejemplo:
Obtener cinco relaciones de A en B, si
A = {m, n, l}
B = {1, 0}
Solucin:
Paso 1.
42
Hay 26 = 64 relaciones de A en B
Paso 2.
Del producto anterior obtendremos las cinco relaciones pedidas.
R1= {(m, 1)}
R2= {(n, 1), (n, 1)}
R3= {(m, 0), (n, 1), (l, 1), (m, 1)}
R4= {(n, 1), (n, 0)}, {(n, 1), (l, 1)}, {(n, 1), (l, 0)}
R5= , etc.
5.1. RELACIN BINARIA.
Considere a un conjunto no vaco A, se le llama relacin binaria a todo
subconjunto de A x A.
Es necesario indicar el significado de los siguientes smbolos:
Suponga que R es una relacin binaria, definida sobre el producto
cartesiano A x A, y que (a, b) R, entonces a esta situacin la
denotamos con el smbolo a b, que significa: a est relacionada con
b, mediante R. En caso contrario, es decir si a no est relacionada con
b mediante R, escribimos a R b.
La notacin anterior cobra importancia en los siguientes ejemplos:
1. Definimos la relacin R sobre el conjunto A como (a, b) R, si a
b. Este subconjunto de axb es la relacin ordinaria menor o igual
que sobre el conjunto A. Por ejemplo est claro que 2R3, porque
2 3; sin embargo 5R3, porque 5>3. En tal sentido decimos que
(2,3) R, pero que (5,3) R.
2. Si A = {a, b, c}, obtener 3 relaciones binarias no vacas de A.
Solucin:
43
Primero obtenemos el producto cartesiano A x A:
A x A = A {a, b, c} x A {a, b, c}
= {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
R1 = {(a, a), (a, b)}
R2 = {(a, a), (a, b), (a, c)}
R3 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a)}
TIPOS DE RELACIONES
Dada una relacin R, puede o no tener la caracterstica de ser reflexiva,
simtrica y transitiva, entre otras. Hacer esta distincin es importante,
porque de el hecho que tengan estas propiedades depende de que
puedan introducir o no una particin o un orden parcial dentro de un
conjunto, lo cual es muy significativo en la ciencia de la computacin
para poder clasificar datos.
RELACIN REFLEXIVA
Una relacin sobre un conjunto A es una relacin reflexiva, si para todo
x R, implica que xRx.
RELACIN SIMETRICA
La relacin R sobre el conjunto A es simtrica, si dados(x, y) A y (x,
y) R, implica que (y, x) R.
RELACIN TRANSITIVA
R es una relacin transitiva sobre un conjunto A si dados (x, y, z) A y
adems se cumple que: xRy y yRz, implica que xRz.
Ejemplos de relaciones:
44
1. La relacin de parentesco ser descendiente de es una relacin
transitiva. Sin embargo, ser padre de no lo es.
2. Si A = {1, 2, 3, 4}, R = {(2, 1), (1, 2), (4, 3), (3, 4)}. Puede
verse que no es reflexiva, porque por ejemplo (2, 2) no es parte
de R. Tambin R es simtrica; pero no es transitiva, porque (2,1)
y (1,2) son parte de R, pero (2,2) no.
3. La relacin entre mercancas de una tienda de tener el mismo
precio es simtrica. Ser ms caro que, es una relacin
asimtrica.
4. La relacin vivir en la misma ciudad es reflexiva, ya que todo el
mundo vive en la misma ciudad que s mismo, mientras que ser
madre de, es irreflexiva, pues nadie es madre de s mismo. Por
otro lado, la relacin ser empleado de no es ni una ni otra, pues
algunos empresarios son empleados de s mismos, mientras que
muchos trabajadores son empleados de otra persona y no de ellos
mismos.
5.2. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Se le llama relacin de equivalencia aquella relacin R que tenga la
propiedad simtrica, reflexiva y transitiva (las tres juntas). Ejemplo:
1 Consideremos el conjunto de los polgonos regulares y la relacin
de semejanza, en la que un polgono se relaciona con otro si
tienen el mismo nmero de lados, sus ngulos respectivos son
iguales y sus lados proporcionales. Es una relacin reflexiva, pues
un polgono es semejante as mismo. Es simtrica, pues si un
polgono es semejante a otro, el otro lo es al uno ya que los
ngulos son iguales y los lados proporcionales con el factor de
proporcionalidad inverso del primero. Por ultimo, si un polgono es
45
semejante a un segundo y este a un tercero, el primero es
semejante al tercero, pues tienen el mismo nmero de lados,
ngulos iguales y lados proporcionales con factor el producto de
los dos factores originales.
2 Definamos una relacin R en el conjunto A mediante nRm si y solo
si nm 0. Es R una relacin de equivalencia?. Debemos verificar
las tres caractersticas de una relacin de equivalencia:
o Reflectividad: si a R, entonces aRa, debido a que a2 0.
o Simetra: Si (a,b) R y adems aRb, entonces es claro que
bRa, porque ba=ab 0.
o Transitividad: No lo es, porque por ejemplo (-3) (0) 0 y (0)
(5) 0, pero (-3)(5)
46
descomposicin de un conjunto en celdas, tales que todo elemento del
conjunto este en exactamente una de las celdas.
Teorema: sea A un conjunto no vaco y sea R una relacin entre
elementos de A que es reflexiva, simtrica y transitiva, entonces R
produce una particin natural de A, en donde { | es la celda
que contiene a todos los elementos x que son equivalentes a . Cada
celda en la particin natural es una clase de equivalencia.
Ejemplos:
1. Dar tres ejemplos de particiones del conjunto A = {1, 2, 3, 4,}.
Solucin:
P1= {{a, b, c, d}}
P2= {{a}, {b, c, d}}
P3= {{a, b}, {c, d}}
Todas ellas son particiones en donde todo elemento en
exactamente uno de los conjunto, y la unin de los conjunto de
cada clase de equivalencia es exactamente igual a A.
2. Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, las familias P1 = {{1,
2},{3, 4, 5}, {6}} y P2 = { ,A} son particiones de A, mientras
que P3 = {{1, 2, 3, 4},{4, 5, 6}} y P4 = {{1, 2}, {6}} no lo son.
47
CAPITULO VI. FUNCIONES
Conceptos bsicos
Funcin. Una funcin f del conjunto A al conjunto B es un subconjunto
del producto cartesiano AB en el que no hay dos parejas que tengan el
mismo primer elemento. El conjunto A se llama inicial, y el conjunto B,
final y se denotan con el smbolo f: A B. En la Figura n6.1 se muestra
la representacin grafica de una funcin. Ejemplo:
Sea A = {a, b, c} y consideremos los subconjuntos de A A, f =
{(a, a), (b, b), (b, c)}, g = {(a, b), (b, c), (c, a)}, h = {(a, a), (b,
a)}. Los tres conjuntos son relaciones en A, pero f no es una
funcin porque el elemento b aparece como primer elemento en
dos parejas. Sin embargo, g y h s son funciones.
Como en el caso de las relaciones, no se ha exigido en la definicin que
todo elemento del conjunto inicial est relacionado con alguno del final
ni que todo elemento del final reciba la relacin de alguno del inicial. Por
ello definimos los conceptos de dominio y contradominio de una funcin,
que tendrn mucha ms importancia que en el contexto de las
relaciones.
Dominio. El dominio de una funcin f: AB es el subconjunto de
A de elementos relacionados con algn elemento de B. lo denotamos
D(f).
{ |
Contradominio. El contradominio de una funcin f: AB es el
subconjunto de B de elementos con los que algn elemento de A esta
relacionado. Lo denotamos D(f).
{ |
48
FIGURA N 6.1. REPRESENTACIN GRAFICA DE UNA FUNCIN.
Merece la pena dedicar unas lneas a comentar cmo se define una
funcin (una en concreto, no el concepto de funcin). Lo que hay que
definir son las parejas de A B que la conforman. En la prctica esto se
lleva a cabo de dos formas que corresponden a las dos maneras de
definir conjuntos. Primera, por enumeracin de todos los elementos del
dominio indicando qu elemento del conjunto final le corresponde a cada
uno. Segunda, dando una regla o frmula que permita saber qu
elemento corresponde a cada uno.
Imagen de un subconjunto. Dada una funcin f: A B, la imagen
bajo f de un subconjunto X del dominio es el subconjunto del
contradominio formado por las imgenes de los elementos de X. Se
denota f(X). Es decir
{ |
Anlogamente se puede definir la preimagen de un conjunto, pero
cuidado, no se puede definir la preimagen de un elemento.
Preimagen de un conjunto. Dada una funcin f: A B, la
preimagen bajo f de un subconjunto Y de B es el subconjunto del
49
dominio de los elementos cuyas imgenes estn en Y. Se denota f-1(Y).
Esto es,
{ |
Funcin constante. Una funcin se llama funcin constante si su
dominio coincide con el conjunto inicial y su contradominio contiene un
nico elemento, es decir f: AB es constante si
{
Para algn elemento de B.
Funcin identidad. La funcin identidad de un conjunto A,
denotada idA es la funcin del conjunto A a si mismo, cuyo dominio es
todo el conjunto A y en la que la imagen de cada elemento es el mismo,
lo que podemos escribir como D(idA) = A y f(x) = x para todo elemento
x de A.
En la figura n 6.2 se muestra grficamente la funcin constante y
la funcin identidad.
FIGURA N5.2. UNA FUNCIN CONSTANTE Y UNA FUNCIN IDENTIDAD.
6.1. COMPOSICIN DE FUNCIONES
50
Definicin. Dadas las funciones f : A B y g : B C donde el
contradominio de f est incluido en el dominio de g, la composicin de f
con g es una funcin, denotada g f, que tiene por conjunto inicial a A,
por final a C y asocia a cada elemento de D(f) A el elemento de D(g)
C que es la imagen bajo g de su imagen bajo f. Es decir
( )
Existe una forma de representar la composicin de funciones
grficamente mediante los llamados diagramas conmutativos. El
diagrama que representa la composicin de f y g es la que se muestra a
continuacin.
FIGURA 6.3. REPRESENTACIN GRAFICA DE COMPOSICIN DE FUNCIONES.
Este diagrama ilustra los dos caminos para ir desde A hasta C; se
llama diagrama conmutativo porque ambos caminos tienen el mismo
resultado, que es lo que expresa la composicin.
Ejemplos:
1 Sean los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}, C = {X, Y } y
las funciones f: A B y g : B C dadas por
f (1) = a g(a) = X,
f (2) = b g (b) = Y,
g (c) = Y.
51
Entonces se cumplen las condiciones de la definicin, pues D(f) = {a,
b} D(g), y la funcin compuesta est definida para los elementos
de D(f) = {1,2} A.
(g f)(1) = g (f (1)) = g (a) = X
(g f)(2) = g (f(2)) = g(b) = Y
Graficamente.
FIGURA N 6.4. REPRESENTACIN GRAFICA DEL EJEMPLO 1.
f = {(2,3), (4,1), (3,5), (7,4), (6,8)}; g = {(2,5), (2,3), (3,0),
(7,2), (13,4)}. Obtener f g.
El dominio de la composicin de estas funciones, viene dado por el
conjunto { | { . Por lo tanto, en esos
nmeros tiene sentido hablar de tal composicin; la regla de
correspondencia resulta {
6.2. CLASES DE FUNCIONES
Dada una funcin f: A B, ya sabemos cmo es su dominio: un
subconjunto del conjunto inicial donde cada elemento tiene una imagen,
y slo una, en B. En esta seccin nos ocupamos del contradominio.
Segn sea la relacin entre el contradominio y el conjunto final tenemos
52
tres tipos de funciones especialmente interesantes: inyectivas,
suprayectivas y biyectivas. Estos tipos de funciones son fundamentales
pues veremos que toda funcin se puede escribir como la composicin
de una funcin inyectivas, una biyectivas y una suprayectivas.
6.3. INYECTIVAS
Una funcin es inyectiva si su dominio es todo el conjunto inicial y las
imgenes de elementos diferentes son diferentes, que lo expresamos
como
Para elementos x, y de A.
Ejemplos:
1. f = {(1,4), (3,1), (2,8), (5,4)}, es inyectiva ya que para cada
valor de x corresponde aun valor de y distinto.
2. f = {(1,3), (3,2), (2,3)}, no es inyectiva ya que para x=1, x = 2
le corresponden el mismo valor de y =3.
6.4. SUPRAYECTIVAS
Una funcin f: A B es suprayectiva si el contradominio coincide con el
conjunto final:
Ejemplo:
53
La funcin f: AB, con A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {a, b, c} cuya
regla de correspondencia es f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, a), (5,
b)}.
6.5. BIYECTIVAS
Una funcin es biyectivas si es inyectiva y suprayectiva. En otras
palabras, una funcin es inyectiva si el dominio es todo el conjunto
inicial y cada elemento del conjunto final es imagen de, a lo sumo, un
elemento del inicial. Es suprayectiva si todo elemento del conjunto final
es imagen de, al menos, un elemento del inicial. Es biyectiva si cada
elemento del final es imagen de exactamente un elemento del dominio
(que coincide con el inicial).
Ejemplo de las funciones inyectivas, biyectiva y suprayectivas:
Sean los siguientes conjuntos y funciones con dominio en A = {1,
2, 3}:
F1: A B1 donde B1 = {a, b, c, d}
F1 (1) = b
F1 (2) = c
F1 (3) = a
F2: A B2 donde B2= {a, b}
F2 (1) = a
F2 (2) = a
F2 (3) = b
F3: A B3 donde B3 = {a, b, c}
F3 (1) = c
F3 (2) = b
F3 (3) = a
F4: A B4 donde B4 = {a, b, c, d}
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F4 (1) = b
F4 (2) = b
F4 (3) = a
Entonces, la funcin f1 es inyectiva, pero no es suprayectiva. La
funcin f2 es suprayectiva, pero no es inyectiva. En tercer lugar, f3 es
biyectiva. Por ltimo, f4 no es ninguno de los tres tipos. Grficamente se
aprecia en la figura 6.5.
FIGURA N 6.5. REPRESENTACIN GRAFICA DE LAS FUNCIONES INYECTIVA,
BIYECTIVA Y SUPRAYECTIVA.
6.6. FUNCIONES INVERSAS
Dada una funcin f: A B, una funcin y: B A es inversa de f si la
composicin de f con g y la composicin de g con f son ambas funciones
identidad. Es decir, si
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Obsrvese que ambas composiciones son funciones diferentes,
pues g f: AA mientras que f g: BB. por ello es necesario exigir
las dos condiciones. De hecho se pueden distinguir los conceptos de
inversa derecha e inversa izquierda. Tambin hay que hacer notar que
la definicin exige D (f) = A y D (g) = B, pues de otro modo no se
consigue la funcin identidad en A la identidad en B.
Teorema. Si una funcin tiene inversa, entonces sta es nica.
Funcin invertible. Si una funcin f tiene inversa se dice que la
funcin f es invertible, y denotando por f-1 la nica funcin que es
inversa de f.
Teorema. Una funcin es invertible si y solo si, es biyectiva.
Ejemplos:
1. Si f (1) = 5, f(3) = 7 y f(8) = -10. Encuentre f-1(7), f-1(5) y f-1(-
10).
f-1 (7) = 3 porque f(3) = 7
f-1 (5) = 1 porque f(1) = 5
f-1 (-10) = 8 porque f(8) = -10
6.7. FUNCIONES LOCALIZADORAS
Una funcin localizadora es una expresin matemtica que contiene las
variables y parmetros del sistema x = f(x) y la cual es indispensable
para resolver el problema de localizacin de los conjuntos compactos
invariantes.
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Desafortunadamente no se cuenta con una metodologa apropiada
para encontrar una funcin localizadora de manera general. En este
caso, se recomienda estudiar la dinmica del sistema no lineal y
proponer funciones localizadoras las cuales contengan las variables de
estado de dicho sistema. Dichas funciones pueden parecer a las
ecuaciones de superficies geomtricas conocidas, como por ejemplo,
elipsoides, planos, esferas, etc.