Post on 27-Feb-2020
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[1]
LOGARITMOS
PROBLEMAS
SIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
1. 3 2 5log 27 log 48 log 25+ −
2. log 34
9log 816 3. log 34
3log 82
4. 5 5
5
log 15 2 log 7
4log 3
7 3
7E
++=
5. 2 3
2 3
1 log 3 1 log 2
1 log 3 1 log 2
+ ++− −
6. ( ) 63 2
log 5log 2 log 34 9×
7. log log log logn n
a a an an n
an n+ +
8. 15 155 5
512 216log 8 64 log 6 36E = +
9. 1 1 1
1 log 1 log 1 loga b ccb ac ab+ +
+ + +
10.
2 25 4 4
16 5
1 1
log 3 log 49 log 9 log 9
1
log 25 log 3
27 5 81 8
3 5 5
+ −
+ ×
11. 6 8
1 1
log 5 log 725 49+
12. 5 9 7
1 4
log 3 log 36 log 981 27 3+ +
13. 42 2log log 2−
14. 3 33 3log log 3−
15. 6 9log 5 log 361 log 236 10 3−+ −
16. 9
125 7
1 1log 4 log 8 log 24 281 25 49
− + ×
17. ( )65
2525
31log 3 2log 9
log 6log 781 37 125
409
+ −
18. 2 51284
11 111 15
log logloglog ...N NNNN N N N
× × × ×
19. ( )3254 272 49
1loglog log 1 4log 22 3 2 7 5 1
aa a aa+ − − ÷ − −
20. ( )2 3
2 2 21
62 2
log 1 log 1
log 1 log 1
a
a
aa
a a
a a
− × −
− × −
21. 2 2
1 1log log 1 log 1 log2b a b aa b a ba b a b ab
+ ++ +− +
22.
49 3
1 2
2log 25 2log 4 log 4 22 2 225 2log log log 4
1
aa a
a
− + −
−
23. ( ) ( )log log 2 log log log 1a b a ab bb a b b a+ + − −
24. ( )
31 log
log log 1 log
a
a b a
b
ab a
b
−
+ +
SIMPLIFICAR LAS EXPRESIONES
25.
( )100 100
2loglog log
log log
ab a ba b
a bb a
+
×
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[3]
26. ( )1
1 24 4 2log log 2 2 log logb a b aa b a b
+ + + − −
27. ( ) 1 22 2
3 log loglog log 12 2 4
2 2 4
1log 2 log log 2
2x
xx
x x x x−
++ ⋅ + +
28. 24
11 21
1 3log 22log 8 1xxx+
+ +
29. ( )3
4 6
3 12
log log
loglog log
a a
bb
a a
b b
b b
a bb b
−
−
÷−
30. ( )( )2
16 2 26 log log 1 log log logb a a aa
a b b b b−× + + + −
31. ( )20,5 log
2log log
log log log log
log log 1
b
b a
a
a aab a
b
a ab
b b b b
b b b
+ ××− −
32. log log 2 log loga b a b a b a bm m m m+ − + −+ − × si se
cumple 2 2 2m a b= −
33. 1 33
1log 2 log 3 log
3
−
34.
log
log
log
log
xabc
y
yabc
x
yx
xy
x
y
35. ( )2
1
2
11log lg 222
20.5 lg lg
lg 2 lg
lg 11 10
2lg
b
b
b b
b
b
−× ×
+ + −
36. ( )1
11 24 4 22 4 42log log log log loga a b a b
b ab ab ab
a b
+ − +
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[4]
37. ( )log log 2 log log logn p n np np n p p p+ + × − ×
38.
1 112 22 22
log 1 log 11 1 2 log
2log 2loga a
a
a a
b bb
b b
+ + − − +
39. ( )
( )
( ) ( )( )
21 2
12 2
11 log log
1 log log
a
a
aa
a ba b
a b a b
− + −−
− − + −
40. ( )1
1 24 4 2log log 2 2b aa
+ + −
Calcular
41. 1 log 1 log
log 5 log 551 log 1 log
a bb a
b a
b a
a ba b
+ + + + +
42. lg tan2º lg tan4º lg cot2º lg cot 4º+ + +
43. lg tan3º lg tan6º lg tan9º... lg tan87º× × ×
44. lg tan1º lg tan2º lg tan3º ... lg tan89º+ + + +
Demostraciones
45. Demostrar que
3 4 5 6 7 7
1log 2log 3 log 4 log 5 log 6 log 8
3=
46. Demostrar que
( ) ( )2 21
3
log cos cos cos2 cos2 0α β α β α β + + − − =
47. Demostrar que
2 2 2log cos 20 log cos 40 log cos 80 3+ + = −
48. Demostrar que log
1 loglog
aa
ab
xb
x= +
49. Demostrar que log log
log1 log
b bbn
b
a nan
n
+=+
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[5]
50. Demostrar que
2 3 4 5
1 1 1 1 115 log
log log log log log n
a a a a a
an n n n n
+ + + + =
51. ( ) ( ) ( ) 1 2
1 2
...1 11
1log
log log ... logn
n
a a a
a a a
xx x x
− −− =+ + +
52. log log log log log loga b b c c an n n n n n+ + =
log log log
loga b c
abc
n n n
n= i i
53. Demostrar que
( )1lg lg lg
3 2
a ba b
+ = + si 2 2 7a b ab+ =
54. Demostrar que
( )2 1lg lg lg
4 2
a ba b
+ = + si 2 24 12a b ab+ =
Calcular
55. 100log 40 si 2log 5 a=
56. 6
3log a si log 27a b= , 0, 0a a> ≠
57. logc ab si log ,log ,loga b cn p n q n r= = = , donde
a, b, c, n son números positivos distintos de 1
58. 3
logab
a
b si logab a n= , donde a, b son números
positivos, con la particularidad de que 1ab ≠
59. 49log 16 si 14log 28 a=
60. 12log 60 si 6log 30 a= , 15log 24 b=
61. Si 1log sin40 log tan40 log cos 40a a a b−+ + = ¿a
que será igual 1log sin50 log tan50 log cos 50a a a
−+ + ?
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[6]
62. Hallar 30log 8 , si se sabe que lg 5 a= y lg 3 b= 1
63. Si 2log 4b = , hallar “a” en: 2
2log 62
ba
=
64. Si 12log 3 b= , hallar 12log 8
65. Calcular 2 2x x−+ , si 4 4 23x x−+ =
1 lga logaritmo en base 10
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[7]
SOLUCIONES
1. Recordamos que log n
b b n=
Tenemos
3 2 5log 27 log 64 log 25+ − 3 6 23 2 5log 3 log 2 log 5= + −
3 2 53log 3 6log 2 2log 5 3 6 2 7= + − = + − =
2. Por propiedad de logaritmos tenemos log 34
9 4 9log 8 log 3 log 816 16=
Trabajando con 4 16log 3 log 9=
16 9 16log 9 log 8 log 816 16 8// = =
3. 3log 3 24 223 4 3 4
3log 2log 2log 8 log 3 log 8 log 8 22 2 2 2 2 2 2= = = = =
4. ( )5 5 5 5 5
5 5
log 3 5 log 7 log 5 log 3 log 72 2
4 4log 3 log 3
7 3 3 7 3 3
7 7E
× ++ × + ×= =
5 5 5 5
5 5
log 3 log 7 log 3 log 3
4 4log 3 log 3
7 7 9 3 7 7 9 7
7 7E
× + × × + ×= =
( ) 5
5
log 3
44log 3
7 9 716 2
7E
+= = =
5. Trabajando con el 1º monomio 2
2
1 log 3
1 log 3
+−
3
2 3 3 3
32 3
3 3
log 2 111
1 log 3 log 2 log 2 1 log 21 log 2 11 log 3 1 log 21
log 2 log 2
+++ += = = −−− −−
en la
expresión original 3
3
1 log 2
1 log 2
+−−
3
3
1 log 2
1 log 2
++−
0=
6. ( ) 63 2
log 5log 2 log 34 9× llevando a una raíz común
( ) ( )6 62 3 2 23 3
log 5 log 5log 3log 2 log 3 2log 3log 2 2log 24 9 2 3= =
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[8]
( ) ( )6 62 3 6 6log 5 log 5log 9 log 4 log 5 2log 52 3 9 4 36 6× = × = = =
6log 256 25=
7. log log log logn n
a a an an n
an n+ + =
( )log loglog log
n na an an n n
a aa n× + = ( )( )log log log
na an an n n
a a n× =
( )( ) ( )( )1 1log loglog log log loga ana a
n a nnn a nn
a aa n n a n×× × = × *
Recordando que ( ) ( )log loglog a an a n
an a n a× × = en *
( )( )1 1log loglog loga a
a a
n a nn a nn nna a a
×× = =
8. 15 15
5 55 5
512 216log 8 64 log 6 36E = +
1515 9 3
515 6 5 25
2 6log 2 2 log 6 6E = +
9 3
15 15
21 7
5 52 6
2 6
21 7
5 5log 2 log 6 log 2 log 69 3
15 15
E = + = +
21 15 7 157 7 14
5 9 5 3E
× ×= + = + =× ×
9. Recordamos que log log log 1a b ca b c= = =
1 1 1
1 log 1 log 1 loga b ccb ac ab+ + =
+ + +
1 1 1
log log log log log loga a b b c ca cb b ac c ab+ + =
+ + +
1 1 1
log log loga b cabc abc abc+ + =
Logaritmo inverso: 1
loglogu
v
vu
= para cada monomio
log log log log 1abc abc abc abca b c abc= + + = =
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[9]
10. Recordando que 1
loglog a
b
ba
= y loga ba b=
( ) ( )2222 23 5 9
225 5
log 3log 7log 2 log 4
log 4 log 3
27 5 81 8
3 5 5
+ −=
+ ×
( ) ( )23 5 9
5 5
log 3log 2 log 7 log 43 2 3
log 4 log 3
3 5 9 2
3 5 5
+ −=
+ ×
( ) ( ) ( ) ( )8 7 16 27 15 1111
3 4 3 15
+ − −= = = −
+ ×
11. Similar al ejemplo anterior
6 8 5 7
1 1
log 5 log 7 log 6 log 825 49 25 49+ = +
5 57 7log 6 log 36log 8 log 642 25 7 5 7= + = +
36 64 100 10= + = =
12. 5 9 7
1 4
log 3 log 36 log 981 27 3+ + 2
2 23 9 9 3 3 3log 6 4 log 7log 5 log 36 4log 7 log 54 381 27 3 3 3 3= + + = + +
2 4 3 22 23 3 3 3 3 3
log 6 4log 7log 5 log 5 log 6 log 74 33 3 3 3 3 3= + + = + + 4 3 25 6 7 890= + + =
13. 1
84 82 2 2 2 2 2log log 2 log log 2 log log 2− = − = −
32 2 2 2 2
1 1log log 2 log log 8 log 2
8 8 = − = − = =
23log 2 3= =
14. 1
3 33 3 93 3 3 3 3 3log log 3 log log 3 log log 3− = − = −
23 3 3 3 3
1 1log log 3 log log 9 log 3
9 9 = − = − = =
32log 3 2= =
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[10]
15. 2
26 9 6 3log 6log 5 log 36 log 51 log 2 2 log 236 10 3 6 10 10 3− −+ − = + × −
6 3log 25 log 6
log 2
10 106 3 25 6 24
10 2= + − = + − =
16. 9
125 7
1 1log 4 log 8 log 24 281 25 49
− + × =
( ) ( )2 3
2 33 5 7
1 12 log 2 2 log 2 2 log 24 29 5 7 −
= + ×
35 7
3
1 1log 2 log 4 log 42 2
log 2
19 5 7 9 4 4
9
− = + × = × + ×
3log 4
1 1 193 4 4 3 4 4 4 19
3 4 4 × + × = × + × = × =
17. ( )65
2525
31log 3 2log 9
log 6log 781 37 125
409
+ −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
29 325
25
3
3 3957
2log 5 3 log 6 1 3 log 6log 7
log 6log 25log 6log 25
23233
9 37 5
409
9 37 5
409
25 625 626 6
409 409625 216 409
1409 409
+ = −
+ = −
−+= − =
−= = =
18. 2 51284
11 111 15
log logloglog ...N NNNN N N N
× × × ×
( )1
log 2 log 4 log 8 log 512 15...N N N NN N N N= × × × ×
( )1
log 2 log 4 log 8 ... log 512 15N N N NN + + + +=
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[11]
( )2 3 91
log 2 log 2 log 2 ... log 2 15N N N NN + + + +=
( ) ( )2 3 91 1
log 2 2 2 ... 2 2 3 915 152 2 2 ... 2NN × × × ×= = × × × ×
( )( )
( )1
9 9 11 1151 2 3 ... 9 45 3215 152 2 2 2 8
++ + + +
= = = = =
19. ( )3254 272 49
1loglog log 1 4log 22 3 2 7 5 1
aa a aa+ − − ÷ − −
( ) ( )3 22 243 2 52 3 7
log 1 log loglog2 3 2 7 5 1a a aa a
+ = − − ÷ − −
( )( ) ( )4 2 21 2 1a a a a a= − + − ÷ − −
( ) ( ) ( )( ) ( )4 2 2 4 2 22 1 1 2 1 1a a a a a a a a a a− − − ÷ − − = − + + ÷ − −
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )24 2 2 2 21 1 1 1 1a a a a a a a a a a= − + ÷ − − = − + + + ÷ − −
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1a a a a a a a a= + + − − ÷ − − = + +
Analicemos ( )2 1a a− − que no debe ser 0
2 1 51 0
2a a a
+− − ≠ → ≠
20. ( )2 3
2 2 21
62 2
log 1 log 1
log 1 log 1
a
a
aa
a a
a a
− × −
− × −
( ) ( )2 22 2 2
2 2 2
log 1 log 1 log 1
log 1 log 1 log 1
a a a
a a a
a a a
a a a
− × − − −= =
− × − −
2log 1a a= −
21.
2 21 1
log log 1 log 1 log2b a b aa b a ba b a b ab+ +
+ +− + 2log log log 2log2a a b bb b a aa a b a a b b a b b= × × − × × × + × ×
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[12]
2 3 3 2 2 32 2b a b b a a b a b ab a b a b= × × − × × × × + × = − +
( ) ( )22 22ab b ab a ab b a= − + = −
22.
49 3
1 2
2log 25 2log 4 log 4 22 2 225 2log log log 4
1
aa a
a
− + −
−
2253
1log 49 log 4 2log 8 22
2 2 225 2log log log 4
1
aa a
a
− + −
=−
122
25 4log 49 log 32 22 2 225 2log log log 4 4
1
a
a
− + −
=−
( )1
4 22 22 2 2
2 2
1 149 2log log log 2 7 2log log 49 91 1
a a
a a
+ − + −
= =− −
( ) ( )2 2 22 2 2
1 17 2log log 2 7 2log 2
9 91 1
a a
a a
+ − + −= =
− −
( ) ( ) ( )2
21
7 2 1 119 11 1 1
a a aaa
a a a
+ − + −−= = = = +− − −
con 1a ≠
23. ( ) ( )log log 2 log log log 1a b a ab bb a b b a+ + − −
Si 1
log1 logab
b
ba
=+
y que log log 1u vv u× =
1log log log log log
1 loga a a b a
b
b b b a ba
= × − × + × +
1 1log 2 log 2 log
1 log 1 logb a b
b b
a b aa a
− × + × − × + +
11 log log log log log
1 logb a a b a
b
a b b a ba
− = × × − × ×+
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[13]
1log 1 log log 2 log log
1 logb b b b a
b
a a a a ba
+ × − × × + × ×+
1 12 log 1 1 log log
1 log 1 logb a b
b b
a b aa a
− × × − = × − ++ +
( )2log 2 log
2 1 1 log log 11 log 1 log
b ba b
b b
a ab a
a a
×− + × − − = + ++ +
( )21 2 log log
log log 11 log
b b
a b
b
a ab a
a
+ × +− = + +
+
( )21 log
log log 1 1 log log1 log
b
a b b a
b
ab a a b
a
+− = + + − − =
+
24. ( )
31 log
log log 1 log
a
a b a
b
ab a
b
−
+ +
( ) ( ) ( )
3 31 log 1 log
log log 1 1 log 1log 1 1 log
log
a a
a b a
a a
a
b b
b a bb b
b
− −= =+ + −
+ + −
( )
( )( ) ( )
33
22
log 1 log1 log
1 log log 1 log1 log log1 log
log
a aa
a a aa aa
a
b bb
b b bb bb
b
−−= = + + −+ + −
( )( )
3
3
log 1 loglog
1 log
a a
a
a
b bb
b
−= =
−
25.
( )100 100
2loglog log
log log
ab a ba b
a bb a
+
×
Trabajando con el exponente
100log 1 1 1
log log 100 log 2log 10 log 2a a
a
a a a= = =
× × al igual
que con 100log 1
log 2
b
b= en la expresión original
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[14]
( )
( ) ( ) ( )2log1 1
log2 2
ab
ab
a b
a bb a b a a b
++
× = × = +
26. ( )1
1 24 4 2log log 2 2 log logb a b aa b a b
+ + + − −
11 22
4
4
1log 2 2 log log
logb b a
b
a a ba
= + + + − −
11 2
8 4 2
4
log 2log 12 log log
logb b
b a
b
a aa b
a
+ + = + − −
( )1
1 22 24
4
log 12 log log
log
b
b a
b
aa b
a
+ = + − −
( )1
4 2
2
log 12 log log
log
b
b a
b
aa b
a
+ = + − −
14 2 2
2
log 2log 1log log
logb b
b a
b
a aa b
a
+ += − −
( )1
2 22
2
log 1log log
log
b
b a
b
aa b
a
+ = − −
2log 1 1log
log logb
b
b b
aa
a a
+= − −
2 2log 1 1 loglog log
log logb b
b b
b b
a aa a
a a
+ −= − = −
log log 0b ba a= − =
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[15]
27. ( ) 1 22 2
3log loglog log 12 2 4
2 2 4
1log 2 log log 2
2x
xx
x x x x−
++ + +i
( ) 2 23 log log2 22 2 2 2 2
1log 2 2log log log 1 log 2
2xx x x x= + + + + +
( )32 2log log2 22 2 2 21 2log log log 2log 2 x
x x x x= + + + + +
( )32 32 2 2 21 3 log 3 log log 1 logx x x x= + + + = +
28. 24
11 21
1 3log 22log 8 1xxx+
+ +
( )222
2
111 1 21 log 4 log loglog log 2 22 38 1 2 1
xx x
xxxx x
+ + = + + = + +
( ) ( ) ( )22
1 112loglog 2 22 222 1 2 1 1x xxx x x x = + + = + + = +
1x= +
29. ( )3
4 6
3 12
log log
loglog log
a a
bb
a a
b b
b b
a bb b
−
−
÷−
33 12
4 6
1log
loglog log
1 1
log log
a
b
b b
b b
ba
b a b
a a
b b
−
−
= ÷ +−
( )6
3
4 6
1log
loglog 12 log
1 1
log log
a
b
b b
b b
ba
b a b
a a
b b
−
= ÷ + −−
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[16]
63
4 6
1log
log loglog 12
1 1
log log log log
a
b bb
b b b b
ba b
a
a b a b
−−= ÷ −
−− −
1log
log 63 log 12
1 1
log 4 log 6
a
bb
b b
ba
a
a a
−−= ÷ −
−− −
( ) ( )( )
log log 6 log 1
log 63 log 4
log 6 log 4
log 4 log 6
a b a
bb
b b
b b
b a b
aa
a a
a a
× − −−= ÷ −− − +
− −
( )( )1 6log 1
3 log 42
log 4
ab
b
ba
a
− −= ÷ −−−
( ) ( )6 log log 43 log 4
2a b
b
b aa
− −= ÷ −
−
( ) ( )3log log 4 3 log 4 loga b b ab a a b= − ÷ − =
30. ( )( )2
16 2 26 log log 1 log log logb a a aa
a b b b b−× + + + −
( )1
221
6 log log 1 6 log log log2b a a a aa b b b b
= × + + − + −
( )1
221
6 1 6 log log log2 a a ab b b
= + + − + −
1
223
6 6log log log2 a a ab b b
= − + −
( ) ( )( )11
22 229 6 log log log 3 log loga a a a ab b b b b= − + − = − − *
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[17]
Analizando ( )( )1
2 23 log 3 loga ab b− = − 2
En * 3 log log 3 2loga a ab b b= − − = −
31. ( )20,5 log
2log log
log log log log
log log 1
b
b a
a
a aab a
b
a ab
b b b b
b b b
+ ××− −
( )( )2
log
log log
1loglog log log
1 1loglog
b
b a
a aa a b
b
a
b
bb b ab
bbab
×+= ×
−−
( )2
1log
log log log log1 log 1log
log log
a
a a b b
aa
b b
bb a a b
bba b
×+ += ×
−−+
( ) ( )
log
log 1 log 11 log 1 log 1log
log 1
a
a b
a aa
b
b
b a
b bba
+ += ×− +−
+
( ) ( )log1
log log log 1 log 1 log 1log 1
a
a b a b a
b
b
b a b a b
a
= ×× + − + −+
( ) ( )log 1 log
1 log 1 log 1 log 1b a
a b a
a b
b a b
+= × =+ − + −
( )log1 1
log log 1 log 1a
a a a
b
b b b= × =
− −
32. log log 2 log loga b a b a b a bm m m m+ − + −+ − ×
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
2log log log logm m m ma b a b a b a b
= + − ×+ − + −
2 Se considera 2a a= no contemplamos la raíz negativa
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[18]
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
log log 2
log log log logm m
m m m m
a b a b
a b a b a b a b
− + += −
+ − + −
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2log 2log 2
log log log log
mm
m m m m
a ba b a b
a b a b a b a b
− −− + −= =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )2log 2 2log 2
log log log logm m
m m m m
m m
a b a b a b a b
− −= =+ − + −
( ) ( )2 2
0log logm ma b a b
−= =+ −
33. 1 133 3
1 1log 2 log 3 log log 2 log
3 3
− = −
( )log 2 1 log1 0= − = =
34.
log log
loglog
log log
log log
x xabc abc
y y
xabcyabc
x x
y yx x
yxy y
x x
y y
=
1log log log
1 logloglog
y y x
yx
x
x x y
xyy
x x x y
xy yy
= = = =
35. ( )2
1
2
11log lg 222
20.5 lg lg
lg 2 lg
lg 11 10
2lg
b
b
b b
b
b
−× ×
+ + −
( )1
1 22
1
2
lg lg2
1lg lg
2lg
lg 1 2lg10
2lg
b
b bb
b b
b
× ×=
+ + −
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[19]
1
2
1 1lg lg
2lg 2lg
lg 1 1lg 1 1 lglg 22lg22lg
b bb b
bb bb bb
× ×= =
++ −−
1lg
2lg lglg
lg 1 lg1lg 1 2lg lg
22lg
bb b
bb b
b b b
b
×= = =
+ −+ −
36. ( )1
11 24 4 22 4 42log log log log loga a b a b
b ab ab ab
a b
+ − +
1 1
2 21 1 1 12 log log log log log
4 4 4 4a a b a b
b ab ab ab
a b
= + − +
( )1
1 22
1 12 log log log log log
2 2a a b a b
b ab ab ab
a b
= + − +
( )1
21
2 log log log log log2a a a b bb a b a b= + + +
( )1
2log log log loga a b bb a a b− − + −
( ) ( )1 1
2 2log 1 log log 1 log 1 log 1a a b a bb b a b a = + + + − − + −
1 1
2 21 1log 2 log log 2
log loga a a
a a
b b bb b
= + + − − +
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[20]
1 12 22 2log 2log 1 log 2log 1
loglog log
a a a aa
a a
b b b bb
b b
+ + − + = −
( ) ( )1 1
2 22 2log 1 log 1log
log loga a
a
a a
b bb
b b
+ − = −
log 1 log 1 log 1 log 1log log
log log loga a a a
a a
a a a
b b b bb b
b b b
+ − + − += − =
2log 2
loga
a
bb
= =
37. ( )log log 2 log log logn p n np np n p p p+ + × − ×
1 1 1log 2 log
log log logn n
n p p
p pp n np
= + + × − ×
2log 2log 1 1 1log
log log 1 logn n
n
n p p
p pp
p n n
+ += × − × +
( )1 log loglog 1
loglog 1 loglog
p pnn
p pn
n npp
n np
+ −+ = × × +
( ) ( ) ( ) log1log 1 log 1
1 loglog 1 logn
n n
pp p
pp p
nn n
= + = + ++
( ) ( )log loglog 1 log 1
1 log 11
log log
n nn n
n
n n
p pp p
p
p p
= + = + + +
2logn p=
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[21]
38.
1 112 22 22
log 1 log 11 1 2 log
2log 2loga a
a
a a
b bb
b b
+ + − − +
1 12 22 2log 1 2log log 1 2log
2 log2log 2log
a a a aa
a a
b b b bb
b b
+ − + + = −
log 1 log 12log
2log 2loga a
a
a a
b bb
b b
− += −
log 1 log 12log 2
2loga a
a
a
b bb
b
− − −= = −
39. ( )
( )
( ) ( )( )
21 2
12 2
11 log log
1 log log
a
a
aa
a ba b
a b a b
− + −−
− − + −
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1
2
2
1 log log
11 log log
1
2
a a
a a
a b a b
a b a b
− − + −=
− − + −
( ) ( )( ) ( )( )
2
12 2
1 2log log
1 2log log
a a
a a
a b a b
a b a b
− − + −=
− − + −
( )( )( )( )
( )2
2
1 log1 log
1 log
a
a
a
a ba b
a b
− −= = − −
− −
40. ( )
( )
( ) ( )( )
21 2
12 2
11 log log
1 log log
a
a
aa
a ba b
a b a b
− + −−
− − + −
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[22]
11 22
4
4
1log 2 2
logb
b
aa
= + + −
41. 1 log 1 log
log 5 log 551 log 1 log
a bb a
b a
b a
a ba b
+ + + + +
log log log loglog 5 log 55
log log log loga a b b
b ab b a a
a b b a
b a a ba b
+ + + + = + log log
log 5 log 55log log
a bb a
b a
ab ba
ba aba b
= +
lg lg
lg lglog 5 log 55
lg lg lg lg 5 lg lg 55
lg lg lg lg lg lg
b a
ab ab
a b
ab ab b a
b a a b b aa b a b
= + = + lg5 lg 55
log 5 log 55lg lg 5 55 60a ba ba b a b= + = + = + =
42. lg tan2º lg tan4º lg cot2º lg cot 4º+ + +
1 1lg tan2º lg tan4º lg lg
tan2º tan4º= + + +
tan2º tan4ºlg lg1 0
tan2º tan4º = = =
43. lg tan3º lg tan6º lg tan9º... lg tan87º× × ×
Analizando los ángulos, uno de ellos es 45º con lo que uno de estos múltiplos es lg tan45º lg1 0= = que es
igual a 0, por lo que
lg tan3º lg tan6º ...lg tan45º... lg tan87º× × ×
( )lg tan3º lg tan6º ... 0 ... lg tan87º 0= × × × =
44. lg tan1º lg tan2º lg tan3º ... lg tan89º+ + + +
lg tan1º lg tan2º lg tan3º lg tan4º lg tan5º ... lg tan45º= + + + + + +
... lg tan85º lg tan86º lg tan87º lg tan88º lg tan89º+ + + + + +
lg tan1º lg tan89º lg tan2º lg tan88º lg tan3º lg tan87º= + + + + +
lg tan4º lg tan86º ... lg tan45º+ + + +
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[23]
( ) ( ) ( )lg tan1º tan89º lg tan2º tan88º lg tan3º tan87º= × + × + ×
( )lg tan4º tan86º ... lg tan45º+ × + +
Se trata de ángulos suplementarios de la forma tan1º tan89º 1× = , tan2º tan88º 1× = , tan3º tan87º 1× =
lg1 lg1 lg1 ... lg1 0⇒ + + + + =
45. 3 4 5 6 7 7
1log 2log 3 log 4 log 5 log 6 log 8
3=
Escribiendo de adelante hacia atrás
8 7 6 5 4 3log 7 log 6 log 5 log 4 log 3 log 2 aplicando regla de
la cadena nos queda 38 22
1 1log 2 log 2 log 2
3 3lqqd
= = =
46. ( ) ( )2 21
3
log cos cos cos2 cos2 0α β α β α β + + − − =
( ) ( )2 21
3
log cos cos cos2 cos2α β α β α β + + − −
Completando cuadrados a ( ) ( )2 2cos cosα β α β+ + −
( ) ( ) ( ) ( )2 2cos cos 2cos cosα β α β α β α β→ + + − + + −
( ) ( ) ( ) ( )( )22cos cos cos cosα β α β α β α β− + − = + + −
( ) ( )2cos cosα β α β− + − *
Con las fórmulas de suma y producto
cos cos 2cos cos2 2
u v u vu v
+ − + =
Suma
( ) ( )cos cosα β α β→ + + −
2cos cos 2cos cos2 2
α β α β α β α β α β+ + − + − + = =
( ) ( )( )1cos cos cos cos
2u v u v u v= − + + Producto
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[24]
( ) ( )cos cosα β α β+ −
( ) ( )( )1cos cos
2α β α β α β α β= + − + + + + −
( )1cos2 cos 2
2β α= +
Remplazando en *
( ) ( )2 12cos cos 2 cos2 cos2 cos2 cos2
2α β β α α β→ − ⋅ + −
2 22cos 2cos cos2 cos2 cos2 cos 2α β β α α β= ⋅ − − −
Utilizando también 22cos 1 cos2u u= +
( ) ( )1 cos2 1 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2α β β α α β→ + + − − −
1 cos2 cos 2 cos2 cos 2 cos2 cos2β α α β β α= + + + − −
[ ]1
3
cos2 cos2 1 log 1 0lqqd
α β− = → =
47. 2 2 2log cos 20 log cos 40 log cos 80 3+ + = −
Con el lado izquierdo de la expresión
2 2 2log cos 20 log cos 40 log cos 80+ + *
2log cos 20 cos 40 cos 80= × × Trabajando solo con los
ángulos trigonométricos tenemos
8sin20 cos 20 cos 40 cos 80cos 20 cos 40 cos 80
8sin20
× × ×× × =
( )2 2 2 sin20 cos20 cos 40 cos80
8sin20
× × × × × ×=
( )2 2 sin40 cos 40 80 2 sin80 cos 80
8sin20 8sin20
× × × × × ×= =
( ) 3sin 180 20sin160 sin202
8sin20 8sin20 8sin20−−
= = = =
En * 32log 2 3
lqqd
− = −
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[25]
48. log
1 loglog
aa
ab
xb
x= +
Trabajando con el lado izquierdo de la expresión
1
log log log1log log
log
a x x
ab x
x
x a ab
x a
ab
= =
log log log log
log log logx x x x
x x x
a b a b
a a a
+= = +
log1 1 log
logx
a lqqdx
bb
a= + = +
49. log log
log1 log
b bbn
b
a nan
n
+=+
Trabajando con logbn an realizando un cambio de base
“b” a este, tenemos log log log
loglog log log
b b bbn
b b b
an a nan
bn b n
+= =+
log log
1 logb b
b lqqd
a n
n
+=+
50. 2 3 4 5
1 1 1 1 115 log
log log log log log n
a a a a a
an n n n n
+ + + + =
Recordando que 1
loglogu
v
vu
= tenemos
2 3 4 5
1 1 1 1 1
log log log log loga a a a an n n n n
+ + + +
2 3 4 5log log log log logn n n n na a a a a= + + + +
log 2log 3log 4log 5 logn n n n na a a a a= + + + +
15 logn lqqda=
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[26]
51. ( ) ( ) ( ) 1 2
1 2
...1 11
1log
log log ... logn
n
a a a
a a a
xx x x
− −− =+ + +
( ) ( ) ( )1 2
1 11
1
log log ... logna a ax x x
− −−+ + +
1 2
11 1 1
...log log log
na a ax x x
=+ + +
pero 1
loglog u
v
vu
=
1 2
1
log log ... logx x x na a a→
+ + +
1 2 ...
1 2
1log
log ... na a alqqd
x n
xa a a
= =× × ×
52. Trabajando con el lado izquierdo
log log log log log loga b b c c an n n n n n+ +
log log log
log log loga b c
n n n
n n n
b c a= + +
(1log log log
log log log a n n
n n n
n c ab c a
= i i
i i
)log log log log log logn b n n n cb n a b c n+ +i i i i
( )1 1 1log log log
log log log n n n
n n n
c a bb c a
= + +i i
( )log log log loga b c nn n n abc= i i
log log log
loga b c
abc lqqd
n n n
n= i i
53. Tenemos que demostrar que
( )1lg lg lg
3 2
a ba b
+ = + si 2 2 7a b ab+ =
Trabajando con la condición 2 2 7a b ab+ =
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[27]
2 22 9a ab b ab→ + + =
( )29a b ab→ + =
3a b ab→ + = en la expresión original
3lg lg lg
3 3
a b abab
+ = =
( )1 1lg lg lg
2 2lqqd
ab a b= = +
54. Trabajando con la condición 2 24 12a b ab+ = 2 24 4 16a ab b ab→ + + =
( )22 16a b ab→ + =
2 4a b ab→ + = en la expresión original tenemos
2 4lg lg lg
4 4
a b abab
+ = =
( )1 1lg lg lg
2 2lqqd
ab a b= = +
55. 2100
2
log 40lg 40 lg 40log 40
lg100 2 2log 10= = =
( )2 2 2
2 2 2
log 5 8 log 5 log 8
2log 5 2 2 log 5 log 2
× += =× + ( )
3
2 1
a
a
+=+
56. De la condición log 27a b=
log 27a b= haciendo operaciones en el lado izquierdo
3 627 3 3
1 1 1log log loga a a
b b b= → = → =
57. Trabajando con las condicionales
1log loga nn p a
p= → = (1)
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[28]
1log logb nn q b
q= → = (2)
1log logc nn r c
r= → = (3)
Realizando (1) (2)
(3)
+
1 1log log
1logn n
n
a b p q
c
r
++ =
log 1 1
logn
n
abr
c p q
→ = +
logc
q pab r
qp
+→ =
58. Trabajando con logab a n=
log log 1 1ab aba n a n= → − = −
log log 1ab aba ab n− = −
1log 1 log 1ab ab
an b n
ab
−= − → = −
log 1ab b n− = −
Reacondicionando las condicionales
3 33log log3ab ab
na n a= → = (1)
12log 1 log
2ab ab
nb n b
−− = − → − = (2)
Sumando (1) (2)+
3 1log log
3 2ab ab
n na b
−− = +
3 5 1log
6ab
a n
b
−=
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[29]
59. La expresión a calcular se puede escribir
49 7 749log 16 log 16 log 4 2log 2= = = Llamamos a
7log 2 x= , entonces 49log 16 2x=
Ahora en la condicional 2
7 714
7 7
log 28 log 2 7log 28
log 14 log 2 7
×= =×
27 7
7 7
log 2 log 7 2 1
log 2 log 7 1
xa
x
+ += = =+ +
1
2
ax
a
−→ =−
49
1log 16 2 2
2
ax
a
− ∴ = = −
60. Lo que buscamos es 12log 60 operando en ella
2 2 2 212
2 2 2
log 60 log 4 3 5 2 log 3 log 5log 60
log 12 log 4 3 2 log 3
× × + += = =
× +
Llamando a 2log 3 x= y 2log 5 y=
12
2log 60
2
x y
x
+ +→ =+
Con las condicionales tenemos
2 26
2 2
log 30 log 2 3 5log 30
log 6 log 2 3a
× ×= = =
×
2 2 2
2 2
log 2 log 3 log 5 1
log 2 log 3 1
x y
x
+ + + += =+ + +
22 2
15
2 2
log 24 log 2 3log 24
log 15 log 3 5b
×= = =
×
32 2
2 2
log 2 log 3 3
log 3 log 5
x
x y
+ += =+ +
Se crea un sistema de ecuaciones
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[30]
1
1
x ya
x
+ +=+
3 xb
x y
+=+
3 2 2,
1 1
b ab a b abx y
ab ab
+ − − − +→ = =− −
En la expresión que buscábamos
12
3 2 22
1 1log 603
21
b ab a b ab
ab abb ab
ab
+ − − − ++ +− −= + −+
−
12
2 2 1log 60
1
ab a
ab b
+ −=+ +
61. Operando en la condicional dada resulta 1log sin40 log tan40 log cos 40a a ab −= + +
log sin40 log tan40 log cos40a a a= + −
2sin40 tan40log log tan 40
cos 40a a= =
2log tan40ab→ =
Lo que nos piden calcular 1log sin50 log tan50 log cos 50a a a
−+ +
log sin50 log tan50 log cos50a a a= + −
2sin50 tan50log log tan 50
cos50a a= =
12log tan50 2log cot 40 2log
tan40a a a= = =
12log tan 40 2log tan40a a b−= = − = −
1log sin50 log tan50 log cos 50a a a b−∴ + + = −
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[31]
62. 30
103loglg 8 3lg 2 5log 8
lg 30 lg 3 10 log 3 lg10= = =
× +
1 11 12 2
8 42 24
4 4
log 2log 11log 2 2 2
log logb b
b
b b
a aa
a a
+ + = + + − = −
( )1
1 2 12 24 4 2
4 2
log 1 log 12 2
log log
b b
b b
a a
a a
+ + = − = −
14 2 22
2
log 2log 1 log 1
log logb b b
b b
a a a
a a
− + −= =
2log 1log log
log logb
b a
b b
aa b
a a= − = −
63. De la condición 42log 4 2 16b b= → = =
( )2
2 2
16log 6 log 128 6
2a a
= → =
6 1128 2 128 64
2a a a→ = → = → =
1
4a→ =
64. Dato 12 12log 3 log 8b x= ∧ = sumando
( )12 12 12 12log 24 log 12 2 log 12 log 2b x= + = × = +
121 log 2b x+ = + *, de la condición:
312 12 12log 8 log 2 3 log 2x = = =
12log 23
x→ = en * ( )31 1
3 2
xb x x b+ = + → = −
65. Llamemos 2 2x xE −= + elevando al cuadrado,
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[32]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2x x x x x xE − − −= + = + + 2 4 4 2x xE −= + + Sustituyendo 2 23 2 25 5E E= + = → =
BIBLIOGRAFIA
� Colección de problemas de matemáticas para entrar en las escuelas técnicas – I. M. Skanavi 7ma Ed. MIR PLUBLISHERS (en ruso) «Сборника задач по математике для поступающих во втузы»
� Matemática, Математика С. Ю. Кулабухова.
� Algebra - Carlos Torres Mattos UNICIENCIA
� Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS Algebra y Trigonometría - V. Litvinenko
� Problemas de Algebra y como resolverlos - Armando Tori Loza Colección RACSO
� PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES - V. LIDSKI