Post on 06-Feb-2021
FUNGSI-FUNGSI INVERSLogaritma, Eksponen, Trigonometri Invers
Departemen MatematikaFMIPA IPB
Bogor, 2012
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 49
Topik Bahasan
1 Fungsi Satu ke Satu
2 Fungsi Invers
3 Fungsi Logaritma Natural
4 Fungsi Eksponen Natural
5 Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum
6 Fungsi Trigonometri Invers
7 Telaah Konsep
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 2 / 49
Beberapa Terapan Fungsi Invers
Fungsi logaritma:
Penentuan besaran skala gempa bumi (dalam skala Richter).Penentuan kekerasan suara (dalam desibel, dB).
Fungsi eksponen:
Pertumbuhan populasi bakteri, populasi penduduk yang bergantungpada daya dukung lingkungan.Perhitungan banyaknya tabungan dengan bunga majemuk kontinu.Penentuan kandungan bahan radioaktif.Penentuan kapasisitas penyimpanan muatan listrik pada kapasitor blitzkamera.
Fungsi trigonometri invers:
Posisi tempat duduk terbaik ketika menonton film di bioskop.Masalah-masalah nyata yang terkait pengukuran sudut.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 3 / 49
Fungsi Satu ke Satu
Fungsi Satu ke Satu
Definisi
Fungsi f dikatakan fungsi satu ke satu (1-1) pada daerah fungsi Df jika
x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)
atauf (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2
untuk setiap x1, x2 ∈ Df .
Uji garis datar akan memotong fungsi 1-1 tepat pada satu titik.Jika f naik ataukah turun pada interval I, maka f fungsi 1-1 pada I.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 4 / 49
Fungsi Satu ke Satu
( ) 3f x x=( )f x x=
Fungsi 1-1
0
0
Contoh (Fungsi 1-1)
1 f (x) = x3 fungsi 1-1 pada Df = R2 f (x) =
√x fungsi 1-1 pada Df = [0, ∞)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 5 / 49
Fungsi Satu ke Satu
( ) 2f x x=( ) sinf x x=
0f Bukan Fungsi 1-1
Contoh (Fungsi 1-1)
1 f (x) = x2 bukan fungsi 1-1 pada (−∞, ∞), tetapi fungsi 1-1 pada[0, ∞)
2 f (x) = sin x bukan fungsi 1-1 pada R, tetapi fungsi 1-1 pada[−π/2, π/2]
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 6 / 49
Fungsi Satu ke Satu
Soal (Identifikasi Fungsi 1-1)
Manakah di antara fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi 1-1?Jelaskan!
1 f (x) = |x|2 f (x) = 3x2 + 5x− 43 f (x) = 3x+ cos x
4x 0 1 2 3 4
f (x) 1 0 1 4 9
5 f (t) adalah tinggi badan seseorang pada saat berumur t tahun.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 7 / 49
Fungsi Invers
Fungsi Invers
Definisi
Misalkan f fungsi 1-1 dengan daerah asal Df dan daerah hasil (wilayah)Wf . Fungsi invers f adalah f−1 yang bersifat
y = f (x)⇔ x = f−1 (y) (1)
dengan Df−1 = Wf , Wf−1 = Df .
f
f- -1
( ) ( )1y f x x f y−= ⇔ =
x• y•
1f fD W −= 1f fW D −=
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 8 / 49
Fungsi Invers
Grafik fungsi f−1 merupakan pencerminan grafik fungsi f terhadapgaris y = x.
y
y = f(x)
y = f -1(x)
y = x•
•
x
(a, b)
(b, a)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 9 / 49
Fungsi Invers
Penentuan Fungsi Invers
Ilustrasi Geometris
fD
fW 1fD −
1fW −
1fD −
1fW −
1fD −
1fW −
(a) (b)
(c) (d)
Langkah Aljabar
Misalkan f fungsi 1-1,dengan y = f (x) .Untuk memperoleh f−1:
1 Tuliskan y = f (x) ,Gambar (a), (b).
2 Nyatakan x dalamy (x = f−1 (y)),Gambar (c).
3 Tukar x dan ysehingga diperolehy = f−1 (x) ,Gambar (d).
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 10 / 49
Fungsi Invers
( ) 2 2f x x= −
1 1( ) 12
f x x− = +
2( ) , 0f x x x= ≥
1( ) , 0f x x x− = ≥
ContohTentukan fungsi invers bagi fungsi 1-1 berikut.
1 y = f (x) = 2x− 2⇒ x = f−1 (y) = y/2+ 1⇒ f−1 (x) = x/2+ 1.2 y = f (x) = x2, x ≥ 0⇒ x = f−1 (y) = √y⇒ f−1 (x) =
√x.
3 y = f (x) =x
x+ 1
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 11 / 49
Fungsi Invers
Suatu Fungsi dengan Inversnya Saling Membatalkan
y = f (x)⇔ f−1 (y) = xy = f−1 (x)⇔ f (y) = xKarenanya berlaku sifat pembatalan:
f−1 (f (x)) = x, x ∈ Df
f(f−1 (x)
)= x, x ∈ Wf
(2)
Contoh
1 y = f (x) = 2x⇔ f−1 (x) = x/2⇒ f−1 (f (x)) = f(f−1 (x)
)= x.
2 y = f (x) = x2, x ≥ 0⇔ f−1 (x) = x1/2 ⇒ f−1 (f (x)) =f(f−1 (x)
)= x.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 12 / 49
Fungsi Invers
Turunan Fungsi Invers
Misalkan y = f (x)⇔ x = f−1 (y) . Ody/dx = f ′ (x) , dx/dy =
(f−1)′(y) =
(f−1)′(f (x))
Dengan penurunan implisit terhadap y pada f (x) = y:
f ′ (x)dxdy
= 1
dxdy
=1
f ′ (x)=
1dy/dx
, atau(f−1)′(y) =
1f ′ (x)
=1
f ′ (f−1 (y))
dxdy
=1
dy/dx(f−1)′(y) =
1f ′ (x)
=1
f ′ (f−1 (y))
(3)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 13 / 49
Fungsi Invers
Ilustrasi Geometris Gradien Fungsi dan Inversnya
(f−1)′(y) =
1f ′ (x)
=1
f ′ (f−1 (y))
y y
y = f(x)
xy = f -1(x)
y = x•
•(a, b)
(b, a)
•
•
•
•(c, d)
(d, c)
(a, b)
(b, a)l1
l2
l1
l2 y = x
21
1c amd b m
−= =−
( ) ( ) ( )1 1'
'f b
f a− =
1dxdydydx
=
x
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 14 / 49
Fungsi Invers
Gradien Fungsi dan Inversnya
2( ) , 0f x x x= ≥
1 '(2) 2(2) 4m f= = =
( )121
1 1' (4)4
m fm
−= = =
3( ) 2f x x= −
21 '(2) 3(2) 12m f= = =
( )121
1 1' (6)12
m fm
−= = =
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 15 / 49
Fungsi Invers
Soal (Turunan Fungsi 1-1)
1 Misalkan g adalah fungsi invers dari f dan f (4) = 5, f ′ (4) = 2/3.Hitung g′ (5).
2 Jika f (x) = 3x+ cos x, tentukana f−1 (1)b(f−1)′(1) .
3 Jika f (x) = x+√
x, tentukan(f−1)′(6) .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 16 / 49
Fungsi Logaritma Natural
Fungsi Logaritma Natural
DefinisiFungsi logaritma natural
ln x =∫ x
1
1t
dt , x > 0 (4)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 17 / 49
Fungsi Logaritma Natural
Grafik Fungsi Logaritma Natural
f (x) = ln (x) =∫ x
11t dt, x > 0⇒
1 f ′ (x) = 1/x (berdasarkan TDK1) ⇒ f fungsi naik padaDf = (0, ∞).
2 f ′′ (x) = −1/x2 < 0⇒ fcekung ke bawah padaDf = (0, ∞).
3 ln(x) =∫ x
1
1t
dt =< 0 , 0 < x < 1
0 , x = 1
> 0 , x > 1
Grafik ln x
( ) lnf x x=
10
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 18 / 49
Fungsi Logaritma Natural
Turunan Fungsi Logaritma Natural
Dx ln x =1x
Dx ln u =1u
Dxu(5)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 19 / 49
Fungsi Logaritma Natural
SoalTentukan turunan fungsi berikut
1 f (x) = ln |x|2 f (x) = sin
(ln√
x2 + 1)
Solusi
f (x) = ln |x| =
ln x , x > 0ln (−x) , x < 0 (perhatikan x 6= 0)f ′ (x) = Dx ln |x| =
1/x , x > 0
1−x (−1) = 1/x , x < 0
=1x
∴Dx ln |x| =
1x
, x 6= 0 (6)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 20 / 49
Fungsi Logaritma Natural
Sifat-sifat Logaritma Natural
TeoremaJika x, y bilangan positif, dan r bilangan rasional, maka
1. ln 1 = 0
2. ln (x y) = ln x+ ln y
3. ln (x/y) = ln x− ln y
4. ln xr = r ln x
(7)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 21 / 49
Fungsi Logaritma Natural
Contoh (Sifat Logaritma)
Gunakan turunan untuk menunjukkan ln (x a) = ln x+ ln a
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 22 / 49
Fungsi Logaritma Natural
Integral Terkait Fungsi Logaritma
Dx ln |x| =1x
, x 6= 0∫ 1x
dx = ln |x|+ C, x 6= 0(8)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 23 / 49
Fungsi Logaritma Natural
SoalTentukan integral berikut
1∫ dx
x ln x, jawab: ln |ln x|+ C
2∫ 1
04x3
1+ x4dx, jawab: ln 2
3∫
tan x dx, jawab: ln |sec x|+ C
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 24 / 49
Fungsi Logaritma Natural
Teknik Penurunan Logaritmik
Teknik penurunan logaritmik efisien dalam menentukan turunan fungsibernilai positif yang melibatkan:
pangkat berupa variabel (misal: xx, xln x),perkalian/pembagian/pangkat beberapa suku.
Teknik:Untuk menurunkan y = f (x) dengan teknik penurunan logaritmik,
1 Logaritmakan kedua sisi ⇒ ln y = ln f (x). O
2 Turunkan masing-masing sisi terhadap x⇒ y′
y= Dx [ln f (x)] .
3 y′ = y Dx [ln f (x)] = f (x) Dx [ln f (x)] . �
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 25 / 49
Fungsi Logaritma Natural
Soal
Gunakan teknik penurunan logaritmik untuk menentukan y′ darifungsi-fungsi berikut.
1 y = xx, x > 0(y′ 6= x xx−1!!
)2 y =
(x2 + 3
)√2x+ 1
x− 5 , x > 5
3 y = xn, n : bilangan real (dengan definisi turunan dan turunanimplisit, baru diturunkan untuk n bilangan rasional)
4 xy = yx, x, y > 0, y 6= e, jawab: y2 (ln x− 1)
x2 (ln y− 1)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 26 / 49
Fungsi Eksponen Natural
Fungsi Eksponen Natural
Fungsi logaritma natural, ln, merupakan fungsi 1-1. Karenanya lnmempunyai fungsi invers dan disebut fungsi eksponen natural.Untuk setiap bilangan real x, fungsi eksponen natural
ex = exp (x) = ln−1 x (9)
Hubungan ln dengan exp
y = ex ⇔ x = ln y
Bilangan Euler e bersifat ln e = 1 , e = 2.71828... (bilanganirasional, tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 27 / 49
Fungsi Eksponen Natural
Grafik Fungsi Eksponen Natural
Karena ex merupakan invers dari ln x, grafik fungsi ex merupakanpencerminan ln x terhadap garis y = x.f (x) = ln x⇔ f−1 (x) = ex:Df−1 = Wf = (−∞, ∞) , Wf−1 = Df = (0, ∞)
lny x=
1ln xy x e−= =
1
1
ey x=
e
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 28 / 49
Fungsi Eksponen Natural
Karena ex merupakan invers dari ln x, maka berdasarkan sifat pembatalanfungsi terhadap inversnya pada pers. (2), berlaku:
eln x = x, x > 0
ln ex = x, x ∈ R(10)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 29 / 49
Fungsi Eksponen Natural
Sifat-sifat Eksponen Natural
TeoremaJika x, y adalah bilangan real, maka
1. ex+y = exey
2. ex−y = ex/ey
3. (ex)y = ex y
(11)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 30 / 49
Fungsi Eksponen Natural
Contoh (Sifat Eksponen)
Gunakan sifat logaritma (7) dan sifat pembatalan (10) untukmenunjukkan ex+y = exey.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 31 / 49
Fungsi Eksponen Natural
Turunan Fungsi Eksponen Natural
y = ex,dydx= · · ·?
Kedua ruas dilogaritmakan: ln y = ln (ex) = xCara I: turunkan langsung terhadap x:
ln y = x1y
dydx= 1⇒ dy
dx= y = ex.
Cara II: turunkan terhadap y, gunakan turunan fungsi invers (3):x = ln ydxdy=
1y
dydx=
1dx/dy
= y = ex.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 32 / 49
Fungsi Eksponen Natural
Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Natural
Dxex = ex
Dxeu = euDxu(12)
∫exdx = ex + C (13)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 33 / 49
Fungsi Eksponen Natural
SoalHitung
1 ddx
(e2x+1 ln x
)2 ddx
[eln(2x+1)/ (2x+ 1)
]3 ddx (x
x) dengan membuat xx = eln xx= ex ln x dan tunjukkan hasilnya
sama dengan menggunakan penurunan logaritmik
4∫
xe−x2+1dx, jawab: − 12 e1−x
2+ C.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 34 / 49
Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum
Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum
DefinisiFungsi eksponen umum dengan basis a ∈ R
f (x) = ax
Fungsi logaritma umum dengan basis a adalah invers dari ax, a > 0, a 6= 1
f−1 (x) = loga x
Kaitan:
y = ax ⇔ x = loga y
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 35 / 49
Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 36 / 49
Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum
Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Umum
Berdasarkan persamaan ax = eln ax= ex ln a, diperoleh
ddx
ax = ax ln a
ddx
au = au ln adudx
(14)
∫axdx =
ax
ln a+ C (15)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 37 / 49
Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum
Kaitan Logaritma Umum dan Logaritma Natural
y = loga x⇔ x = ay
x = ay ⇔ ln x = y ln a⇔ y = ln xln a
y = loga x⇔ln xln a
(16)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 38 / 49
Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum
Turunan dan Integral Fungsi Logaritma Umum
y = loga x =ln xln a⇒ dy
dx=
1x ln a
Dx loga x =1
x ln a
Dx loga u =1
u ln aDxu
(17)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 39 / 49
Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum
Perlukah Basis Selain e?
Pada uraian sebelumnya, terungkap 2 fakta penting:
1. ax = eln ax= ex ln a, a > 0
2. loga x =ln xln a
, a > 0, a 6= 1
Kedua persamaan tersebut menunjukkan bahwa semua fungsilogaritma umum dan eksponsial umum dengan basis a dapatdinyatakan dengan basis natural e.Semua perhitungan, termasuk turunan dan integral dengan basisumum a dapat dinyatakan dengan basis natural e.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 40 / 49
Fungsi Trigonometri Invers
Fungsi Trigonometri InversLandasan
( ) sinf x x=
1 1( ) sinf x x− −=y = x
•
•
•
•
Fungsi trigonometri tidakbersifat 1-1 pada daerahfungsinya.
Dengan membatasi daerahfungsi, fungsi-fungsitrigonometri dapat dibuat 1-1,sehingga memiliki fungsi invers.
Contoh perhitungan:
sin x = 1⇔ x = sin−1 (1) =12 π.cos x = 12 ⇔ x =cos−1
(12
)= 13 π.
tan x = 1⇔ x = tan−1 (1) =14 π.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 41 / 49
Fungsi Trigonometri Invers
Fungsi Trigonometri Invers
Definisi
1 y = sin−1 x⇔ x = sin y, y ∈ [−π/2, π/2]2 y = cos−1 x⇔ x = cos y, y ∈ [0, π]3 y = tan−1 x⇔ x = tan y, y ∈ (−π/2, π/2)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 42 / 49
Fungsi Trigonometri Invers
Menurunkan Fungsi Trigonometri Invers
Contoh
Tentukan turunan y = tan−1 x
Solusi Oy = tan−1 x⇔ tan y = x
sec2 y (dy/dx) = 1
dy/dx =1
sec2 y= cos2 y =
(1√
1+ x2
)2=
11+ x2
�
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 43 / 49
Fungsi Trigonometri Invers
Turunan Fungsi Trigonometri Invers
Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan
Dx sin−1 x =1√
1− x2, |x| < 1
Dx cos−1 x = −1√
1− x2, |x| < 1
Dx tan−1 x =1
1+ x2
Dx cot−1 x = −1
1+ x2
Dx sec−1 x =1
|x|√
x2 − 1, |x| > 1
Dx csc−1 x = −1
|x|√
x2 − 1, |x| > 1
(18)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 44 / 49
Fungsi Trigonometri Invers
Integral Terkait Fungsi Trigonometri Invers
Setiap rumus pada tabel formula (18) menghasilkan sebuah rumusintegral. Dua yang terpenting:
∫ 1√1− x2
dx = sin−1 x+ C∫ 11+ x2
dx = tan−1 x+ C(19)
Formula (19) dapat diperumum menjadi∫ 1√a2 − x2
dx = sin−1(x
a
)+ C, a > 0∫ 1
a2 + x2dx =
1a
tan−1(x
a
)+ C, a 6= 0
(20)
(lihat soal).(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 45 / 49
Fungsi Trigonometri Invers
SoalHitung integral berikut:
1∫ π/2
0sin x
1+ cos2 xdx, jawab: 14 π
2
∫ 1√a2 − x2
dx, a > 0, jawab: sin−1(x
a
)+ C
3
∫ 1a2 + x2
dx,
4∫ x+ 4
x2 + 4dx, jawab: 12 ln
(x2 + 4
)+ 2 tan−1
(x2
)+ C
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 46 / 49
Telaah Konsep
Telaah Konsep IKuis Benar-Salah
1 Fungsi f (x) = sin x, x ∈ [0, π] fungsi 1-1.2 ln x2 = 2 ln x, x 6= 0.3 π
√2 = e
√2 ln π.
4 Jika a < b, maka ea < eb.5 Jika x > 0, maka (ln x)4 = 4 ln x.6 ln
(2ex+1
)− ln (2ex) = 1, x ∈ R.
7 ln(310)> 10.
8 Fungsi invers dari y = 1+ ex adalah y = ln (x− 1) .
9 sin−1 x =1
sin x.
10 ddx (5x) = x 5x−1.
11 ddx (xe) = xe.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 47 / 49
Telaah Konsep
Telaah Konsep IIKuis Benar-Salah
12 ddx (ln π) =1π
.
13
∫ 1x
dx = ln 2 |x|+ C.
14
∫ e21
1x
dx = 2.
15 ln 110 = −∫ 10
1
1x
dx = 1.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 48 / 49
Telaah Konsep
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)
Versi: 2012 (sejak 2009)
Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 49 / 49
Fungsi Satu ke SatuFungsi InversFungsi Logaritma NaturalFungsi Eksponen NaturalFungsi Logaritma dan Eksponen UmumFungsi Trigonometri InversTelaah Konsep