Post on 25-Jan-2016
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
LÍMITE
ACERCAMIENTO
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir:
Lf(x)limax
LÍMITES
Lf(x)
Lf(x)
f(x)lim
limlim
ax
ax
ax
Si L es finito y ambos límites laterales coinciden, se dice que el límite existe y vale L
REGLAS PARA CALCULAR LÍMITES
n
ax
n
ax
axax
axaxax
axaxax
axaxax
f(x)limf(x)lim
g(x)limKK.g(x)lim
g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)lim
g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)lim
g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim
EJERCICIO 1
Lim f(x) no existe
x 1
y
x1 5
2
1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
EJERCICIO 2
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) = L =2
x 1
y
x1 5
3
2
EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
x 1
x1
y
5
2
1
EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
33
55
-3-3
33
-2-2xx
ff(x)(x)
3.53.5
f(x)d)f(x)c)
f(x)b)f(x)a)
limlim
limlim
2x0x
3x3x
Encuentre:
PASOS A SEGUIR PARA EL PASOS A SEGUIR PARA EL
CÁLCULO DE LÍMITESCÁLCULO DE LÍMITES
# 1# 1:: Evaluar para saber si se trata de un límite directo o Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
estamos en presencia de una forma indeterminadaestamos en presencia de una forma indeterminada
# 2# 2:: INTENTAR desaparecer la indeterminación a través INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
de operaciones algebraicas: factorización, productos de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso...identidad trigonométrica ...si fuera el caso...
PROBLEMA 1
3xsi,1x1/
3 xsi2,xf(x)dondef(x);4)
2
3
2
3:Rpta;
3x4xx
2xx3)
1:Rpta,x
x1x12)
1/4:Rpta,x
24x1)
2
3x
1/31/3
23
2
1x
0x
0x
lim
lim
lim
lim
3
Evalúe los siguientes límites:
PROBLEMA 2
0x1,x
0x4,2xf(x)f(x);lim5)
x2
x4xlim4)
ba,ax
babxlim3)
x-4
2xlim2)
1-x1x
lim1)
0x
2
4x
22ax
22x
4
1x
Utilice las reglas para calcular límites para determinar:
PROBLEMA 3PROBLEMA 3
Utilice propiedades para hallar los Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:siguientes límites:
2)(x
2x3)(xlimb.
1x1)(x2x
lima.
2x
1x
LÍMITES INFINITOSLÍMITES INFINITOS
Utilice propiedades para hallar los Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:siguientes límites:
2)(x
2x3)(xlimb.
1x1)(x2x
lima.
2x
1x
PROBLEMA 4PROBLEMA 4
Con la información que aparece a Con la información que aparece a continuación, construya el gráfico de continuación, construya el gráfico de F(x):F(x):
12)3;F(F(3)
2F(x)lim4;F(x)lim3x3x
PROBLEMA 5PROBLEMA 5
Con la información que aparece a Con la información que aparece a continuación, construya el gráfico de continuación, construya el gráfico de F(x):F(x):
indefinida1;F(0)F(2)
0F(x)lim1;F(x)lim
1F(x)lim-1;F(x)lim
2x2x
0x0x
TEOREMA DEL SANDWICHTEOREMA DEL SANDWICH En caso de que se cumpla la siguiente En caso de que se cumpla la siguiente
relación (para toda x perteneciente a relación (para toda x perteneciente a algún intervalo abierto que contenga algún intervalo abierto que contenga a a cc):):
y además se cumple:y además se cumple:
Entonces:Entonces:
h(x)f(x)g(x)
Lh(x)limg(x)limcxcx
Lf(x)limcx
TEOREMA DEL SANDWICH TEOREMA DEL SANDWICH
h(x)h(x)
g(x)g(x)
f(x)f(x)
cc
LL
x
y
PROBLEMAPROBLEMA
11. Si. Si
22. Dada la función . Dada la función g(x)=xsen(1/x). g(x)=xsen(1/x). Estime : Estime :
(trabaje gráficamente)(trabaje gráficamente)
f(x)limHalle
xtodapara2cosx,f(x)x2
0x
2
g(x)lim0x
A partir de la gráfica de la función:
Estime, haciendo zoom en el origen, el valor de:
*Confirma tu resultado con una demostración
)x
1cos(xf(x) 32
f(x)lim0x
PROBLEMAPROBLEMA
PROBLEMAPROBLEMA
24)(x
5f(x)
24x
24x24x
4)(x
5lim
4)(x
5lim
4)(x
5lim
Analice el comportamiento de la función dadacerca de x = - 4
Esta función muestra un comportamiento consistente alrededor de x = - 4,
se puede decir que este límite vale
Gráficamente...
x
y
-8 -6 -4 -2 0 2 4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x
5/(x+4)^2