Post on 14-Nov-2015
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MATRICIALTRUCTURAS
V
INTRODUCCIN
Los primeros artculos sobre el inlisis de estructuras por mtodos matriciales fueronpublicados a finales del siglo pasado. Fue necesario que transcurrieran ms de 50 aos paraque se convirtiera este mtodo en '.a herramienta ms poderosa para el ingeniero calculista,su desarrollo ha sido de tal magnitud, que los mtodos tradicionales como el de HardyCross o el de G. Kani pueden con; iderarse como arcaicos.
El desarrollo de los mtodos matriciales para el anlisis de estructuras se debe al auge queha tomado en la poca los computadores digitales, de all que su enseanza en la ingenieratoma importancia fundamental en la poca moderna y es este el objetivo fundamental delpresente texto.
Los primeros cuatro captulos se dedican a la presentacin analtica del mtodo para lo cualse parte de lo general a lo particukr facilitando con ello una concepcin clara del problemadel anlisis estructural, el enfoque analtico tiene un claro objetivo hacia la sistematizacinhasta llegar a dominarlo en el capl ulo quinto con aplicaciones en el software que hace parteintegral del presente texto,
Una de las grandes preocupaciones del autor era realizar un texto de anlisis cuyo alcancesuperara con creces la parte operativa y profundizara en la parte conceptual, lo cual sepretende al tratar con todo el rigor r matemtico y analtico temas como: el efecto que sobre lasestructuras aporticadas tiene la mtmposteria de arcilla; se presenta, analiza y discute losprincipios bsicos del sistema dual, deduciendo rigurosamente la matriz de rigidez queinvolucra todas sus variables; se explica el sistema de condensacin esttico de la matriz derigidez; se analizan los efectos d>; segundo orden y se trata con todo rigor un ejemplomatemtico hasta llegar a resultado 3 de diseo y por ltimo en el captulo dcimo se analizay discute la filosofa del diseo ssnco a la luz del CCCSR,
CONTENIDO
y T-
Ci
1. FUNDA3VCNTOS DEL AT 'ALJSIS ESTRUCTURAL' t ; ' -
1.1 Objetivo del anlisis ...,.'. !.,. 1,11.2 Sistemas estructurales ,.,.....,,....;..: ........,......>,..... 1,21.3 Modelacin de estructuras .!,.'...., 1.21.4 Clases de anlisis ..;? ' 1.3
Ecuaciones de equilibrio y convencin de signos ,.,;.;....... ';2,2
j 4^13 Energa de^efriaieib por torsin '...-!/!;; .'....>';.., .;....;.,.,. '"2.3i2.1,4 Energa de deformaoi(>n por cortante ,,,,.,,,..;,,;,,,:,.,,,.;, 2.5,2.1.5 E?cpresin general de: a energa de deformacin , 2,5
2.2 A^atriz de rigidez ','. 2.52.2.1 Anlisis del desplazaidiento axial, u j ,..,. 2.62.2.2 Anlisis del desplazar oiento normal, u2 y u3 2.72.2.3 Anlisis de la flexin, u3 y u6 . 2,92.2.4 Anlisis de la torsin, u4 2.102.2.5 Matriz de rigidez de u i elemento tridimensional 2.112.2.6 Matriz de rigidez de U1 lelemente de prticos planos 2.142.2.7 Matriz de rigidez de ui i elemento de entramados 2,152.2.8 Matriz de rigidez de ui i elemento de cerchas planaa , 2,162.2.9 Matriz de rigidez de un elemento de cerchas espaciales ,..,..,,,.,......,. 2.16
2.3 Ejemplos , ., 2,17
-r
-si
m *3. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES
3.1 Sistemas de coordenadas 313.2 Matriz de transformacin de coordenadas , i 3^
3.2.1 Cerchas espaciales 3',23.2.2 Cerchas planas - 3.33.2.3 Entramados 3,43.2.4 Prticos planos , ,,,,,..,. .,, ' , , , 3,53.2.5 Prticos espaciales , 3,63.2.6 Propiedades de la matriz ...^.......v,,...;,.;,...;/ 3.7
3.3 Matriz de rigidez en coordenadas globales .:/......'....i:...,....,;..' 3,73.3.1 Introduccin i.;........;;...'.,.,;...;, 3,7,
3.4 Matrices de rigidez . ' . . , - . , . . . , . . , , . . ' 3 , 83.4.1 Cerchas espaciales , , . . , , . . , ...
1
0 6.4 Propiedades mecnicas di la mnlpostetia;:de!arcilla ..,....'......;...!.. '......-.'' 6.4 I j 6,4.1 Mdulo de elasticidad .,..;....... 6.4
I fJ !,. 6.4.2 Mdulo de corte;yj8aGn,dePoissori'-''H-\?^;.;,'ili!!.,K.....,.^' ;....;. 6.5(!_ ( / - i ; 6.4.3 Resistencia a Ja conipregin, fm ., '.;'..',....'...' .,! 6.5
i 6.4.4 Deformaciones unitarias ltimas '. 6.69 6,5-,: Ejemplo , ..'......'.:.'.,.. 6.6
6,6:i Conclusiones . . , ,> . . , !> , , ;,.';;,.;,. ..'.,.'.,,.,......,*. 6.96r7.ii Problemas propuestos ..'...'.[;'..t.'.,l.......,,,,..... .'.. ' 6.11
M7, ANLISIS DEL SISTEMA, DUAL
E " , . ' " , ; ."? ' : -" '!'
3 7. 1 o (Aspectos generales . ....,.,,...,'..,,, .'.'.'.'.(...'..' 7,17i2ii Filosofa del sistema dual ..,,,,'. 7.17.3 Idealizacin de los muros, mtodo de la columna ancha 7,37.4 Consideracin del efecto < le la deformacin por cortante 7.57.5 Consideracin del efecto (te la deformacin por cortante y
de la rigidez de los nudos 7.8
n 7.6 Ejemplos , 7,157.7 Problemas propuestos 7.188. CONDENSACIN ESTA1ICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
. _
8.1 Consideraciones de carcter general 8.18.2 Proceso operativo de la ca idensacin matricial 8.2
8.2.1 Deformaciones axiales en las columnas 8.2^J8.2.2 Deformaciones axiales en las vigas 8.38.2.3 Condensacin de tos grados no cargados 8.3
8.3 Ejemplos . . . 8.4M:/ i_ 9. EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN
'! Vv 9.1 Generalidades 9.1ir-^ 9.2 Efectos de segundo orden ] jara carga vertical sola 9.2$ |, 9,2.1 Efectos locales de segundo orden (Pandeo local) 9.2
9.2.2 Efectos globales de s egundo orden (Efecto P-Delta) 9.69.3 Efectos de segundo orden j >ara cargas horizontales solas
9.3.1 Efectos locales de se$undo'orden (Pandeo local) 9,79.3.2 Efectos globales de ! egundo orden (Efecto P-Delta) 9,7
H 9.4 Ejemplo 9,10|r,
1*
10. CRITERIOS DE DISEO SSMICO ' ; ; *i-,.. . .];,;Ai. ; ! : , ' : . ' : :j;
10.1 Requisitos que deben seguirse en estructuras-en zonas ssmicas ..;:...;..,.'..., "10.110.1.1 Estructuracin Y....... .;......; ...': .,..... : 10.110.1.2 Diseo ;.;.;;,.; ..,...;... 10.210.1.3 Ductilidad ; i.:..;;i ' 10.2
10.2 Comportamiento de estructuras hiperestticas ......,.....1;.:1' 10.210.3 Algunos conceptos de diseo plstico ..,;...v...i.1.;......;'...: 10.8 '
10.3.1 Cortante en vigas '. 10.810.3.2 Momento en columnas , 10.11 , J-"10.3.3 Cortante en columnas .,....;...:,.;...........: .; ;.;;./;: ' 10.1210.3.4 Uniones viga-columna ,r 10.1210.3.5 Problemas de adherencia ,...,.;..'...,;' ., " 10,13 ^10.3.6 Estructuracin '. .,;;:...;,..
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I) IV
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1, FUNDAMENTOS DEL ANLISIS ESTRUCTURAL
1.1 OBJETIVO DEL ANALI!US:,'* 'V1*'1"' '
Proporcionar una seguridad idecud a las estructuras ante la aparicin de estadoslimites de falla para las acciones ms desfavorables que puedan presentarse durante la vidal y procurar que en las cdndic raes normales de operacin no sobrepasen los Lmites deservicio (flechas, fisuras, vibracin ;s, etc.)
Por acciones generalmente identif camos las cargas pero puede definirse como toda accinexterna que induce en la estructura fuerzas internas, esfuerzos y deformaciones, as definido,entendemos por accin adettis (le las cargas, los asentamientos, las contracciones delhormign; los'cambios de terhperai ur,;ett! : '
'
ACCIONES
Viento Sismo.'' Asentamientos
Oretia VibracionesFlechas, .. Derivas,, - - : ' . ' . ' . . . - ' .;
ESTADOS DE SERVICIO: \ l ' - ' - - Y - - ' "'.!, "',! > '" , . :
Anlisis Mafricial de Estructuras
En este texto nos dedicaremos al anlisis de las .estructuras reticulares pero losprincipios bsicos del anlisis y los procedimientos ce:iputacionales pueden extendersepara el anlisis de las estructuras'laminares.
1.3 MODELACIN DE LAS ESTRUCTURAS: ;
."P'
Otros de los estados lmites se relacionan con situacic aes, que sin poner en juego la __,.seguridad de la estructura, afectan su correcto funci namiento. Estos se denominanESTADOS LIMITES DE SERVICIO.
Los estados de servicio son: Flechas t ^ Derivas Grietas
'interconectan entre si y con los elementos de la frontera. _* -
l ( ; ; ' / . ' . ' . ' . , . - . ! . : ' . ':* ; ' < .I.':' :' .,! ' , : ' . i .,.J:.-v *-'';-. i |
Una,.vez idealizada la estructura se .aplica al. modelo ,el ^procedimiento,de/ anlisis, para.-*determinar loa desplazamientos de la estructujra;y las fueiva en IQS elementos. - ,! . ,-.,>, >j r^
Lr; , ' ' . ! . ' .
Idealizaciones geomtricas: f- , ;.;:,., h
e Los elementos de la estructura, se:representan por lineas rectas que siguen latriayecoria del centroide de la.seccin transversal del elemento. r#
Roberto Rochel Awad^fcij fl
AMIiss Matricial de Estnictun s
H:
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7P, ,.-;i!,;i:ff;Laiseecin.transversal d u element e constante, es decir, las dimensiones de laseccin transversai,no cal tibian y Su inerciay;el>re permanecen constantes.
La idealizacin de los si temas de unin de los elementos se har posteriormentepara .cadaiuna; de -las esto oteas-'reticulares-'aMlJJzadas. , ' ! ; ; , ' ! '.;''
Idealizaciones .del; material;,-i; , " . ' ;qulibrio, luego debe haber.comomnimo seis reacciones independientes para restringir el inovimientoa,.ui> nmero menor ds.restricciones conduce a una inestabilidad de la estructura.
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r i;Roberto Roche! Awad
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Anlisis Matricial de Estructura i
1.8 INDETERMINACIN ESTTICA|f.'.-.i'ti!.,:-vr,
El grado de indeterminacin ie define como la diferencia entre el nmero de fuerzasdesconocidas y el nmero d@leae',ones:\dispQnibles..Estas: fuerzas adicionales se denominanredundantes. Las fuerzas degconoc:ds
-Anlisis Matricial de Estructuras
Nmero de incgnitas ==' 2 * NB + NR': i '- ;! ;.'.' ,''"' ' , i:?V; " ' ' : ' . ' ' ; :.l'''.!t'L :U ; Ufj '
Nmero d i ecuaciones = 2 * NN + 1 * NB
GI^WB/tr * JGI = Grado de indeterminaci a a * ir f / c ;:.>*',i.v.
1.8.1.2 CERCHAS ESPACIALES. , . , . , , . . ..,.,,,lt)-., , - -,. - " =
El anlisis,de cercriaa.espaciales es:rn,uysirmlar.al/ie.oerebas.planas,puesto que lasacciones sobre las barras son las mismas, excepto el nmer i de ecuaciones que proporcionacada nudo que en este caso sern: Ux = O, ZFy s,0, ..^Ps-.^Oj-y en. cada .barra'.hay unaecuacin: las fuerzas axiales deben ser de igual magnitud y $ sntido contrario.
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A Y
ecuaciones por barril V .'
Nn i ero 'det eciuciones por ludo " 3 , ,'
FIGURA 1.7 Cerch espacial z, , . ; ,, . . . . . . i ' , . i . ' . - . '
Nmero de incgnitas = 2 * NB + NR Nmero de ecuaciones = 3* NN + 1 * NB
GI = (2 * NB + NR) - (3 * NN + 1 * NB)GI = NB + N R - 3 * N N (1.2)
1.8.2 PRTICOS PLANOS Y ESPACIALESAdems de las idealizaciones, del numeral 1.3 que son i le carcter general, para el caso
particular de los prticos deben considerarse las siguientes:
Rpboro Rocho! Awad
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AMlisb Matriei'de Estructura
rv
Loa nudos se consideran rgidos e indeformables, es decir conservan su forma ante'la accin de las caigas,
V,
., * 'C'Los prticos planos tienon uiplattg dejsmetria sobrej.el cul estn aplicadas lascargas, implica estb que tanto l prtico oomo las1 cargas estn en el mismo plano.
Consecuente con la anterior 'tnode I acin los elementos de un prtico estn en capacidad detrabajar a traccin, compresin, fi I don y corte,
0;
rt
1.8,2,1 PRTICOS PLANOS
Cada nudo y cada barra de un prtico plano.tienen tres ecuaciones: Fx = O,Fy - O, ZMz = O
.,...-, .Nmero, de.incgnitas por barra,,=| 6 , .,,Nmero de ecuaciones por burra ^3,
FIGURA 1.8 Prtico plano Nmero de ecuaciones por nudo = 3
Nmero de.incgnitas .= 6 * NB,L Nl:' ' Nmero de ecuaciones = 3 *NN.+ 3 * NB
GI ^ (6 H NB +NR)'- (3 * NN + 3 * NB)i - 3 , * N N - . . (1-3)
En el caso de rtulas y de apoyos de primero o segundo, grado; el ;nmero de incgnitas' porbarra se reduce athacerse loa morr entos en dichos puntos iguales a cero, la misma reduccindebe hacerse en las ecuaciones de os nudos.
M 1.8,2.2 PRTICOS ESPACLOJESCada nudo y cada barra d s un prtico espacial tienen iseis, ecuaciones:
O, Fz = 0,,t 2Mx = O,,: ,, 2 My = O, ZMz = O O,
Roberto Roche! Awad
-
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Anlisis Matricial de Estructuras
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FIGURA 1.9 Pitlco espacial
1 '.; Ntoiro de jnogottipor barra =,1? . N aro d.qeusdiQnes por barra=> 6 ' .
Nro ero de ecuaciones ppr nudo =
Nmero de incgnitas = 12 * NB + NR Nmero de^ecuacione^ 6 * NN + 6 * NB'GI = (12*NB+NR). ( 6
1.8.3 ENTRAMADOS
Adems de las idealizaciones del numeral 1.3 que sea de carcter general, para el casoparticular de los entramados deben considerarse las sguiei es:
Los nudos se1 consideran rgidos V indeformables, es decir conservan su forma antela accin de las cargas:
En los entramados las cargas son, normales:,al plano de la estructura, todos .los*elementos tienen :dos planos' ortogonales de'smietra'sobre'los cuales ocurren laflexin y la torsin, esto hacen que cada una de i illas sea independiente de la otra.
Consecuente con la anterior modelacin los' elementos de un entramado estn en capacidadde trabajar a cortante, flexin y torsin. Los elemente.s de un entramado no trabajanxMmente como se demostrar'ms adelante. : ' " ' ' ! \ ' ' ; .
-^
FIGURA 1.10 JCntramurto
Nmero de incgnitas = 6 * NB + 'NR
GI = (6 * NB +
Nmero da incgnitas por barra = 6Nunero do ecuaciones por barra = 3
Nmero da ecuaciones por nudo => 3
Nmero du ecuaciones = 3 * NN + 3 * NB
(1.5). (3 * ^ H . 3
3 *NI'
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Robera Kociiel Awxd
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Anlisis Matricial de Estructurs s
i"**, is
l.^JNDETERMmACION/CtNE^^ICA^..^,^; , , . . . , , , , ;" . , ,.
Se denomina grad'de 'libertad d'una estructura al nmero minimo de parmetros quees necesario definir para describir i iu-geometra deformada. Usualmente estos parmetros sonlos desplazamientos y, rotaciones (le los nudos, .obtenidos, estos-.desplazamientos a partir deellos pueden obtenerse los desplaz unientes de todos los puntos del elemento.
Con la denominacion.de grados do libertad se identifican todos los movimientos posibles delos nudos de (una estructura._ Algunos de estos movimientos estn limitados por lascondiciones de ;frontera y s les cenofninan grados restringidos, mientras que los otros seconocen como grados libres y representan el grado de indeterminacin cinemtica de laestructura,
Los grados de libertad de una esta ictura pueden seleccionarse como incgnitas a determinarpor cualquier procedimiento analt ;co, una vez. resuelto el problema de determinar los gradosde libertad se calculan las fuerzas i ;n los elementos. Este procedimiento se denomina mtodode rigidez y es el que analizar c on detalle en este texto pues es el ms empleado en losprogramas de computadora y, el mi ,s eficiente.
En el caso de prticos y de entrai nados con rtulas, las barras que concurren a ella tienencada una giros independientes pero iguales desplazamientos, de all que la .existencia de ,rtulas incrementa el grado ,qie ind< iterrninaoin cinemtica.
-N-\\>
^v
'^\1 CERCHAS PLAN4S Y ]ESPACIALES:
:i Las cerchas representan un tipo muy; especial de estructuras., en el., que nicamenteexisten, fuerzas axiales,., al no', exis tirl defprmaiones por flexin, los elementos permanecenrectos, Todas las barras qu llegan a un,mismo,nudo:tienen los,:fnismoS desplazamientos,dos en el caso de cerchas piaras y fres para espacales.
x
Orndos libres = 7Grados restringidos = 3Orados de libertad = 10
FIGURA 1.11 Grados de libertad en cerch i planas
Orados libres = 6Z L Orados restringidos = 12
Orados de libertad - 18
FIGURA 1,12 Grados de libertad en cerchas espaciales
Roberto Rochel Awad
-..
V--
Anlisis Ma(ricial de Estructuras
1.9.2 PRTICOS PLANOS Y ESPACIALES..;,,' . ; ' ' : ; , . ' ; . -:.. ' ' : : ' i ! ' '-'. i
En el caso de prticos planos cada nudo tiene libertad de moverse en dos direccionesortogonales y girar en el plano del prtico, es decir tiene tres f prados1: de libertad por nudo. :
Los nudos de los prticos espacales'-''tienen'^
i . i ' ; i
. - ' { : ' . : '
1 i .
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FIGURA 1.13 Grados de libertad en perdeos planos y esparl*les CQiuiderando axiales' ' ' ' ' ' - ' ' ' . .' ; i.. -.
j -. . . . . . , . , ; , , , . . ! ',. : i. , ! . ' . - ' . ".'.'' IAlgunas idealizaciones pueden utilizarse; sin afectar la precinin^e loa resultados,,entre las,.nMms frecuentes tienen que ver con el efecto de las'deformaciones axiales tanto en vigas comoen columnas.
Las 'vigas de una estructura.no..gon..elementos aislados -sino !q'iie hacen parte de un'sistema de'entrepiso, el cual tiene una rigidez axial muy alta comparada con la, rigidez axial de la viga,en consecuencia, una viga no' puede'modificar su' longitud s;;'modificar la del entrepiso,,de ,,...,,all que puede considerarse que l.a'deformach':axial de la -v:;ga es: nula,',luego con un solo;! .grado de libertad se-indioa 'el 4!3plazarnento de la viga. t , , , . ,
y \ ,-- i ; ' ' " ''" ' ' ' '^Para edificios poco esbleltos con H/B S 3 el efecto de las deformaciones axiales en lascolumnas no incida en la precisin de los resultados y puede despreciarse, no as paraestructuras esbeltas en las cuales las deformaciones axiales un las>columnas si afectan los'resultados y es un grave error,el no considerarlas.
Si en las estructuras de la.figura N" 1,13 se desprecia el efeclo de las deformaciones axialesen las columnas y en las vigas los grados de libertad se reduce;! a:
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Rbarto Rochel Awad
f**iIK ;
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Anlisis Matricial de Estructuras 1-13
A
Orados libres
^t\//
a
= 4
///
H
4-"/77T777777
Grados libres = 1/S/ss
FIGURA 1.14 Grados de l rtad en prticos planos y espdales despreciando dales
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1.1 0 EJEMPLOS
EJEMPLO 1,1
Determinar el grado de indeterminacin esttico de la siguiente estructura.
rA
a
11S
D
E
@rED
ST
A
d
E
Solucin N 1:
En el nudo 7 hay dos ecuaciones de condicin: la reaccin horizontal y el momento en esteapoyo deben ser nulos.
Incgnitas:
Ecuaciones:
6 * N de barras = 6 * 8 = 483 * N de apoyos = 3 * 3 = 9 TOTAL = 57
3 * N de barras = 3 * 8 = 243 * N de nudos = 3 * 8 = 24De condicin = 2 TOTAL = 50
El {.rado de indeterminacin esttico es de 7.
Solucin N 2
En esta solucin se trabaja con el nmero de incgnitas real que tienen las barras y losapoyos:
Roberto Rochel Awad
Anlisis Matricial de Estructuras 144
Incgnitas:
Ecuaciones:
7 barras con 6 incgnitas = 421 barra con 4 incgnitas (7) = 4 de reacciones = 7 TOTAL = 53
3 * N de barras = 3 * 8 = 247 nudos con 3 ecuaciones = 211 nudo con 1 ecuacin (7) = 1 TOTAL = 46
El grado de indeterminacin esltico es de 7.
*
EJEMPLO L2
Determinar el grado de indeterminacin esttico de la siguiente estructura.
rA
Solucin N 1:
Incgnitas:
Ecuaciones:
Solucin N 2
Incgnitas:
Ecuaciones:
rtula
Roberto Rochel Awad
(D
f^
3
~L
1
a>
aE
~0
orE
t -(7) d
6 * N de barras = 6 * 8 = 183 * N de apoyos = 3 * 3 = 9 TOTAL = 57
3 * N de barras = 3 * 8 ' = M3 * N de nudos = 3 * 8 = 24De condicin = '3 TOTAL = 51
El grado de indeterminacin esttico es de 6.
6 barras con 6 incgnitas = 56i 1 barra con 5 incgnitas = 5
1 barra con 4 incgnitas = 4ND de reacciones = 7 TOTAL = 52
3 * N de barras = 3 * 8 = 141 nudos con 3 ecuaciones = 11
r 1
*Lt'i6"; ^
Anlisis Matricial de Estructuras 1-15
tn.
1 ni ido con 1 ecuacin = 1 TOTAL = 46
El $rado de indeterminacin esttico es de 6.
T-
EJEMPLO 1.3
Determinar el grado de indetem nacin esttico de la siguiente estructura.
YA
rtula a
[2
1
m
r 0 S
A
[5
E*
3)
Hr!! 'V Incgnitas:
Ecuaciones:
4 be rras con 6 incgnitas = 243 ba rra con 5 incgnitas = 151 ba rra con 4 incgnitas = 4Nc.e reacciones = 7 TOTAL = 50
3 *:T de barras = 3 * 8 - 246 n dos con 3 ecuaciones = 181 n do con 2 ecuaciones = 21 iii do con 1 ecuacin = 1 TOTAL = 45
El grado de indeterminacin esttico es de 5.
D EJEMPLO L4Determinar el grado de indetem dnacin esttico y cinemtico de la siguiente estructura,en este ltimo caso considerando: a) Deformaciones fociales ano en vigas como encolumnas, b) Deformaciones abtales sola en vigas, c) Deformaciones axiales solo encolumnas y d) Despreciando el efecto de las deformaciones axiales tanto en vigas comoen columnas..
[jr 1 ;Roberto Rothel Awad
Anlisis Mafricial de Estructuras
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: ' rINDETERMINACIN ESTTICA: |pSolucin N 1:
Incgnitas: 12 * N r- 3 de barras = 12 * 9= 108
Ecuaciones:
Solucin N 2
Incgnitas:
Ecuaciones:
6 * N de apoyos = 6 * 4 = 24
6 * N de barras = 6 * 9 = 546 * N de nudos = 6 * 8 = 48De condicin = 7
TOTAL =132
TOTAL = 109
El grado de indeterminacin es tico es de 23.
7 barras con 12 incgnitas 841 barra con 9 incgnitas = 91 barra con 8 incgnitas = 8N de reacciones = 17
6 *N de barras ' = 6 * 9 = 546 nudos con 6 ecuaciones = 361 nudo con 3 ecuaciones = 31 nudo con 2 ecuacin = 2
TOTAL = 118
TOTAL = 95
i
ii
r.El grado de indeterminacin esttico es de 23.
^DETERMINACIN CINEMTICA:
a) Considerando el efecto de las deformaciones axiales unto en las vigas como en lascolumnas:
Roberto Rochel Awad
Hihj1 }
3n
V
p;
Anlisis Matricial de Estructur s
Nmero total de grados de libertad = 6 * NN = 48Nmero de grados libres =31Nmero de grados restringidos = 17
Irados Ubres
b) Considerando el efecto de las d< formaciones axiales solo en vigas:
Nmero total de grados de libertad = 6 * NN = 48Nmero de grados libres = 27Nmero de grados restringidos = 21
(irados Ubres in alales en columnas
c) Considerando el efecto de las de Formaciones axiales solo en columnas:
Nmero total de gradas de libeitad = 6 * NM = 48Nmero de gradea libres = 27Nmero de grados restringidos = 21
,@r- Grados llbnsS Ir. axiales en vigas
d) Despreciando el efecto de las dei brmaciones axiales tanto en vigas como en columnas
w
Nmero total de grados de libertad = 6 * NN.= 48
Nmero de grados libres = 23Nmero, de grados restringidos = 25
libressin ailales
Rtrferto' Rochel Awad
Anlisis Matricial de Estructuras i-is
1,11 PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMAS 1.1 A 1.3
Determinar: a) Grado de indeterminacin esttico, b) Grado de indeterminacin cinemtico
titinnui njv
j '"ti
PROBLEMA 1.1Resp. ) 0
b)9
K NA ' A'"llir/fl WTTTJ
PROBLEMA 1.2Resp, a) 3
b)18
i N)kT^
PROBLEMA 1.3Kejp. a)l '
b)24
PROBLEMAS 1.4 A 1.7 <
Determinai',1 a) Grado de indetenninacin esttico. Grado de i idetenninacin cinemticoconsiderando: b) Axiales en \igas y columnas, c) Axiales solo en vigas, d) Axiales solo encolumnas, e) Despreciando axiales tanto en vigas como en columnas.
;,.if. -rrrr~ r
-
L
i
*
? i^ 4d ^>r^ -T desplazamientos
^ permitidos )
/3
4
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ILir
PROBLEMA 1.4Resp. a) 9 b) 42
c) 33 d) 34e) 25
Pl tOBLEMA 1.5Resp, a) (SO b) 102
c) 91 d) 87e) 7(5
Roberto Rochel Awa
I"
TfJ\
^!|
il-n
Anlisis Matricial de Estructuras 1-19
rtula
n
17
t desplazamientospermitidos
I PROBLEMA 1,6Resp, a) 48 b) 102
c) 91 d) 88e) 77
PROBLEMA 1.7Resp, a) 60 b) 102
c) 91 d) 87e) 76
PROBLEMAS 1.8 A 1.10
Determinar; a) Grado de indeterm nacin esttico, b) Grado de indeterminacin cinemtico
PROBLEMA 1.8Resp. a) 4
b) 17
PROBLEMA 1.9Uesp. a) 16
b) 26
PROBLEMA 1.10Resp. a) 6
b) 21
fv.
Roberto Roche! Awad
V) '
irfr4rf
I:'?
'-It
4
.
4-T
rj
n
h
r
2. MATRIZ DE RGIDEZ DE UN ELEMENTO ENCOORDENADAS LOCALES
2.1 ENERGA DE DEFORMACIN:Este mtodo es til para determinar la respuesta de estructuras ante cargas estticas y
dinmicas, es el criterio para el iliseo sismo-resistente. Para un slido tridimensional setiene:
fy
mz JJGX*"^ mx
feFIGURA 2,1 Elemento prismtico tridimensional
fx ~ Fuerza axialY 4 = Fuerzas cortantes
mx = Momento torsormy y rrtj = Momentos flectores
El material se considera elstico, luego es aplicable el principio de superposicin, enconsecuencia, la respuesta de la es tructura ante un conjunto de cargas es igual a la suma delas respuestas para cada una de las cargas consideradas en forma individual.
2.1.1 ENERGA DE DEFORMACIN POR FUERZA AXIALSi la carga es aplicada de lina manera gradual (carga esttica) desde cero hasta su
valor mximo fx, a medida que se aplica la carga la barra se deforma axialmente hastaalcanzar su mxima deformacin x.
fie
dffi
AdA
FIGURA 2,2 Relacin Carga axial - deformacin para un material elstico
LRobei-to Roche! Awad
Anlisis Matricial de Estructuras 2-2
Sea TI un valor cualquiera de la carga f entre "O" y "fe" para el cual la deformacincorrespondiente se denomina A. Un incremento en el valor de la carga df produce unincremento en la deformacin dA, luego el trabajo realizado por la La derivada de la energa respecto a la carga es igual a la deformacin de la barra en ladireccin de la carga.
I f i
u
r;-
r-2.1. 2 ENERGA, DE DEFORMACIN PORFLEX1ONAnalizamos la flexin en "z", para la flexin en "y" se proc&le de manera similar,
* y
/ Y777777
Flexin pura
L
FIGURA 2.3 Elstica de una viga sometida 1 1 flexin pora
Roberto Rochel Awad
r -
n
T
Anlisis IVLttricial de Estructuras
En el caso de flexin pura el mom snto flector es constante a lo largo de la viga y esta torna lade forma de un arco de circuferenc ia de curvatura: 1 / p = m^/ EIZ,. .
i- .
Para curvas elsticas planas: arco L,
arco = p * z, EV , _ mz*L~ ~
m.
m
W =2EI:
FIGURA 2.4 Energa de di ilbnnacin elstica de ana viga sometida a flexin pura
t:r^1ii
~-> Existe una relacin lineal enb e 4>z y m,,., para Iz constante, luego cuando el momento seaplica gradualmente desde "O" hasta m^ tf> aumenta desde "O" hasta z.
Cuando hay flexin pura y no S3 considera el efecto de la fuerza cortante se analiza unelemento diferencial de longitud dx, en el cual el momento flector mz puede considerarsecomo constante, reemplazando L por dx se obtiene:
Dr '
*dx 2EIZ (2.2)
= k^liEl,
r> La derivada de la energa respecto a la carga es igual a la deformacin de la barra en ladireccin de la carga.
2.1.3 ENERGA DE DEFORMACIN POR TORSINEl efecto de la torsin sobre el ulemento diferencial de la figura representa un estado detensin cortante pura.
De la figura 2.5 se deduce que la fuerza cortante que acta sobre las caras del elementodiferencial en estudio es: V = t * dy * dz, esta fuerza cortante ocasiona una distorsinangular de las caras del elemento.
MUK_U
Roberto Roche! Awad
Anlisis Matricial de Estructuras 2-4
fl dyII
la U1 h A 'dx
FIGURA 2.5 Anlisis de la torsin en elemeni os circulare
5 = y * dx, U = ^ ' * 5 / 2
Ii
i:
i*dz)(y *dx) dx*dy*dz
Pero;
= dx*dy*dz, = (ly*dz
De la Resistencia de Materiales: T = 2GI
*dx*dAx
2GLr2*dA +dx = m. *L23IX
(2.3) r9U m. *L
GIX
Para secciones circulares; Ix = K * d4 / 64
Roberto KocJieJ Awad
Anlisis Matricial de Estructunis
2.1.4 ENERGA DE DEFORIylACION POR CORTANTEEl anlisis de la torsin conduce a un anlisis de estado de tensin cortante pura, basados enesa consideracin para este caso tenemos;
ln
De la Resistencia de Materiales:
2GI2b2au-J v2 .2GA' I2 *J b2-*dA *dx
ALlamando factor de forma al trmi no : f f = -y * j -j- * dAI i b
TT fu=f
(2.4)
Para secciones rectangulares el factor de forma es 1,2
t 2.1.5 EXPRESIN GENERAL DE LA ENERGA DE DEFORMACIN:Para el caso de inters, material elstico y elementos de seccin transversal constante yrectangular, la energa de deformaoin total de un elemento tridimensional es la siguiente:
n
fx 2*]- f m 2 * d x r m 2 *c lx , m2*dxu + r y -i. i z + f * + 1U ^ A T - I ^ ' ' 1 ' r i >2AE ) 2EI J 2EI J 2GIi y ) t , x
T + ( ]__, ^^ + 1 2* f ZJ 2GA ' -1 2GAi i
(2.5)
2.2 MATRIZ DE RIGIDEZ
Ea necesario definir el sistema de inordenadas del elemento, este sistema de .coordenadas sedenomina sistema local de coordenadas, se selecciona de modo que la direccin del eje xcoincida con el eje del elemento, para seleccionar la direccin del eje x se elije uno de susextremos como nudo inicial, por defecto el otro ser el nudo final, el eje x se orienta del nudoinicial al final, la nomenclatura utilizada ser en letras minsculas pues se refierre al sistemade coordenadas del elemento y esta es variable segn su inclinacin, por comodidad se tomaun elemento horizontal.
Roberto Roche! Atvad
Anlisis Matricial de Estructuras 2-6
2A
FIGURA 2.^ Grados de Ebei-tad d un elemeni o tridimensional
Cada uno de los extremos del elemento tiene tres posibles d ssplazamientos y tres giros, si sedesea que a barra asuma una posicin deformada hay nucesidad de aplicar una serie decargas en sus extremos, la magnitud y direccin de estas fuerzas depende de la posicindeformada. Aplicando el principio de superposicin se puecen calcular las fuerzas necesariaspara producir cada uno de los desplazamientos en forma separada. Al analizar undesplazamiento los otros deben mantenerse nulos.
Las fuerzas que se aplican en los extremos de los elemento!! se clasifican en: fuerzas axiales,fuerzas cortantes, momentos flectores y momentos torsores, analizaremos uno a uno estosefectos:
r ff|,cF-
r
2.2.1 ANLISIS DEL DESPLAZAMIENTO AXIAL, u^
3^ 10
FIGURA 2,7 Anlisis de la deformacin asial de un e (emento tridimensional
fj es positiva pues su sentido coincide con el sentido posivo del eje x, mientras que f7 esnegativa. La relacin entre esta? cargas, y el desplazamiento impuesto lia sido deducida ypuede consultarse en cualquier texto de Resistencia de Materiales, por lo elemental no sededuce en este texto:
f ^ = * U^ 17 ~ ~~T~ ^ ul-Lj -L'
Estas son las nicas fuerzas que hay que aplicar en los extraaos de la barra para producir eldesplazamiento u t
r
Roberto Rochel Awad
l i -
DNi I
Anlisis Matrcial de Estructura *
2.2.2 ANLISIS DEL DESPLAZAMIENTO NORMAL, u2 Y u3:
Para el anlisis de los di aplazamientos normales al elemento estudiaremos porcomodidad el siguiente caso esquentico:
Mi
MfVii x . i
Vf
Mx = Vi * x - Mi
ViL2
(Vi*x-Mi)*ic-ir -**
Despejando de O el valor de Mi y reemplazando en se obtiene:
Vi = 12EI^-3_*u
Por equilibrio esttico se determinen las fuerzas en el extremo final de la barra.
2.2.2.1 ANLISIS DEL DES! LATAMIENTO NORMAL u2:Con base a los resultados anteriores se obtiene que para producir el desplazamiento
u2 hay que aplicar en los extremos de la barra las siguientes fuerzas, los signos sernpositivos cuando su sentido coincida con el sentido del sistema de coordenadas:
Roberto Rochel Awad
_________________________ _________ _
Las cargas fuerzas para obtener u
f 12EZ2 ~ !
LJ
6EJz
2.2.2.2 ANLISIS DEL DESPLAZAMIENTO NOlMAL U3:Con base a los resultados anteriores se obtiene quu para producir el desplazamiento
u3 hay que aplicar en los extremos de la barra las sigentes fuerzas, los signos sernpositivos cuando su sentido coincida con el sentido del sistema de coordenadas:
pf tm__/'Ti
C-
L":F--
i:rf
l Anlisis Matricial de Estructur is
n
n
2.2.3 ANLISIS DE LA FLI XIN , u5 Y u:Para el anlisis de los giros de la elstica estudiaremos, por comodidad, el siguiente casoesquemtico:
Vi
Mx = Vi * x - Mi
aMi EI O
n:-(Vi*x-Mi)*x
_ _ _ ____
Vi*L3 Mi*L2
*-
Despejando de el valor de Mi y reemplazando en O se obtiene:
.. 6EI
Por equilibrio esttico se obtiene para el nudo final:
^ v.i-. 2EI
Roberto Roch'el Awad
Anlisis Matricial de Estructuras 2-10
2.2.3.1 ANLISIS DE LA FLEXIN SOBRE EL EJE Y, Uj:, 4EIyf5=-f "5
yn
Anlisis Matricial de Estructura s !:;: W-V-it/;'T ,2'*
2.2.5 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO TRD3IMENSIONAL
Para formular la matriz de igidez es necesario continuar con el anlisis del efecto delas deformaciones en el nudo final, se deja al lector esta labor como parte del desarrollo deasimilacin del conocimiento. Las acciones finales, en los nudos, se obtienen aplicando elprincipio de superposicin, para lo; desplazamientos analizados se obtiene:
'l = (AE/L)*u+f 2 = (12EIz/L3)*u2 + + (6EIz/L2)*u6 +f 3 = (12i;iy/L3)*u3+ + (-6EIy/L2)+u5 +f 4 = (GIx/L)*u4 +fj = (-6EIy/L2)*u3 + + (4EIy/L)*u5 +f s = (6EIarL2)*u2 + + (4EIz/L)*u6 +f-, = (-AE/L)+U[ +
Mo =MI'
(-12 ly/L3)*u3 + + (6EIy/L2)*u5 +(-
Anlisis Matricial de Estructuras
(D 10Elemento tridimensions 1
U) f / lJ& U? l/V' J>( J,* ^-'3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
AEL
~"5"L
I/
6EIZ[j!
~n2EIz"l_li
6EIZL2
12EIYL3
5EIYL3
12EIY
L3
..?E~
GIXL
~~L~
6EIYL2
4EIYL
6EIYL2
_JC
"~
U"
4E!ZL
T"6EI7
L2
2E!ZL 2 "
L3'
6E1Zi}
'12Elf'T,3
6E!ZL1
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6EIy
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6EIYir
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GIXL
6EIY
L2
2EIYL
6E3YI2
L
6EIZ
2HZL2
6EIZ3
Mn
n
nM(1nMnn
Anlisis Matrcial de Estructuras
2.2.5.1 LIMITACIONES DI! ESTA MATRIZ DE RIGIDEZ :; ,:
El material es perfecta: nente elstico y existe una relacin lineal entre las cargas ylas deformaciones.
Las deformaciones sor. pequeas, es decir, todos los clculos se hacen con lasdimensiones iniciales de la estructura.
El efecto de las fuerzas axiales en la flexin es despreciable,
Para que sea aplicable el principio de superposicin es necesario que se cumplantodas las limitantes anteriores.
Las cargas se aplican 3n los nudos de manera gradual y proporcional, es decir,inicialmente todas las cargas valen cero y se incrementan en tales proporcionesque todas llegan a sus valores mximos simultneamente.
No se considera el efeci o de las deformaciones causadas por las fuerzas cortantes.
No se considera la rigicez de los nudos.
Los elementos no se pa idean por efecto de la carga axial y de la torsin
Los planos XY y XZ son planos principales de flexin y en ellos actan lascargas.
El centro de cortante y el centro de torsin se asume que coinciden, de ulli que latorsin y la flexin sean independientes.
El elemento estructural tiene sus dos extremos restringidos.
En el caso de prticos tno de los planos de simetra debe coincidir con el plano decarga
M
2.2.5.2 PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
La matriz de rigidez es una matriz simtrica.
Esta matriz de rigides, es singular, no tiene inversa pues las ecuaciones sonlinealmente dependiente, obsrvese por ejemplo las filas 1 y 7.
Todos los trminos do la diagonal son positivos y tienden a ser los mayoresvalores de cada una de las filas.
Roberto Roche] Awad
Anlisis Matricial de Estructuras
/2
2.2.6 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PRTICOS PLANOSp
-* Elemento tridimensional Itlemento de Prticos planos
7
w-
AZL
;MT" L
-p1
l ' JHv12
Tirr
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L1
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1 *
r
La matriz de rigidez de un elemento de un prtico plano solo contiene las columnascorrespondientes a los grados de libertad 1, 2, 6, 7, 8 y 12, suprimiendo de la matriz delelemento tridimensional aquellas columnas de los grados di libertad que no corresponden aun elemento de un prtico plano se obtiene:
[*h
AEL
AEL
12EIZL3
6EIZL2
12EIZL3
6EIZL2
AE
6EIZL2
4EIZL
' E"L .
6EIZL2
2EIZL
12EI7L3
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6EIZL2
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Roberto Roehol Awad
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* J 2.2.7 MAT
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8 9 10 11 12
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La matriz de rigidez de un elemento de un entramado solo contiene las columnascorrespondientes a los grados de libertad 2, 4, 6, 8, 10 y 12, suprimiendo de la matriz delelemento tridimensional aquellas i jolumnas de los grados de libertad que no corresponden aun elemento de un entramado se obtiene:
[ir]-
2
12EIZL3
6EI.,.L2
12EIZL3
6EIZL2
''
iilxL
ijlxL
6
6EIZL2
4EIZL
6EIZL2
2EIZL
8
12EIZL3
6EIZL2
r 12EIZL3
6EIrL2
10
01 f.L -
Glx
L
12
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^^^~^
2EIZL
?EIZL2
4EIZL
3=-*
?
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Roberto Rochel Awad
Anlisis Matriciai de Estructuras 2.16 i
2.2.8 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CERCHA PLANA
ti1 MElemento tridimensional I lleniGiito do Cercha Plana
Las cerchas son elementos estructurales muy particulares, en ellas solo la accin deldesplazamiento horizontal de los nudos afecta la tensin de las barras, bajo el principio delas deformaciones pequeas los desplazamientos de los nudos en las direcciones 2 y 8 noafectan la deformacin de la barra, por lo que estas columms y filas en la matriz de rigidezse llenan con ceros, no asi la 1 y la 7 que se toman del eleme nto tridimensional.
I
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0
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0 '
0:
2.2.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CERCHA ESPACIAL
Elemento rldtmenaional Elemento de Cercha Espacial
Solo las deformaciones en la direccin de los grados 1 y 7 afectan el elemento de la cercha,los otros, bajo el principio de las deformaciones pequea no lo afectan y en la matriz sellenan estas casillas con ceros.
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Roberto Kochel Awad
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Anlisis Matricial de Estructur s
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9
0
0
0
0
0
0
2.3 EJEMPLOS
EJEMPLO 2,1
Determinar el valor del factor de forma para una seccin rectangular
A ~ b h, c = h/2
2-17
>
f
De la seccin 2. 1.3: T
nr-rr
rr
tr
r
r?
n
3. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO ENCOORDENADAS GLOBALES
3.1 SISTEMA DE COORDENADAS:\s ecuaciones de equilibrio desarrolladas en el capitulo anterior se han deducido para
el sistema de coordenadas del elemento, en el cual el eje X coincide con el eje del elemento,como la. orientacin de los elomentos vara en el espacio habr tantos sistemas decoordenadas como inclinaciones (ferentes tengan los elementos.
Htiiiiiiit J^ fin imiFIGURA 3.1 Sistema] locales de cooi denadas FIGURA 3.2 Sistema de coordenadas de la estructura
Trabajar simultneamente con tintos sistemas de coordenadas no es imposible pero si escomplicado y laborioso, para faci litar el anlisis de la estructura es conveniente referir tantolas fuerzas como las deformacit mes a un sistema nico de coordenadas conocido comosistema de coordenadas de la eslructura o sistema global de coordenadas, para lograr esteobjetivo debe establecerse un pro :edimiento de anlisis que permita establecer una relacinentre las fuerzas de extremo del el emento de un sistema de coordenadas a otro.
Tanto las fuerzas como los desplazamientos son cantidades vectoriales, la relacin entre lossistemas, de coordenadas se plant ia con carcter general y luego se aplica al caso particularde fuerzas y desplazamientos.
Se adopta la siguiente convencin:
Los sistemas locales de c oordenadas se identifican con lneas continuas
El sistema global de coordenadas se identifica con lineas a trazos
Con letras maysculas se identifican las fuerzas y desplazamientos cuando serefieren al sistema global de coordenadas y con minsculas las referidas al sistemalocal, tal como se hizo er. el captulo precedente. f
Roberto R0chel Awad
Anlisis Matricial de Estructuras 3-2
3.2 MATRIZ DE TRANSFORMACIN DE COORDENADAS
Iru
3.2.1 CERCHAS ESPACIALES
.
FIGURA 3.3 Elemento de una cercha < spaclal
Las cerchas son estructuras especiales en las cuales los elerlentos solo trabajan axialmente,es decir, en el elemento indicado en la figura 3.3 las fuerzas
>1Anlisis Matricial de Estructura j
ri Al ordenar las fuerzas en el aislennecesariamente el mismo orden qi
1 J rigidez, para este caso y expand enmatricial:
1JJM-,
* I [FI] [GX!F^ CY
, F czM F7 - o rFS 'o ;
K orii \~n ^ \
En esta expresin [T] representa la ttespacial. Los trminos que se han c
n q u e son l o s coeficientes de l a s fuerza
L ] 3.2.2 CERCHAS PLANAS
Ms 1 j
'-h i
FIGURA Ji, ]
El anlisis de la transformacin di' ;similar al anlisis realizado para ccn
n e s decir, suprimir l a s f i l a s y columi l a
n 'Fh &ri
. .-^""'ii'^o.?^' ^:sSar^sM:/;fe5iiii
oa de coordenadas de la estructura ;debi 'Conservrse-le se ha seguido para la organizacin de la matriz dedo el anlisis al nudo inicial se obtiene en notacin
. \2 3 7 8 9 ..-
*.' * 0 O f l ] r-* * 0 0 0 f 2* * 0 0 0 ito ' o CX * * iTo o CY * * F7o o CZ * * ...J [17
\ ' |"1>
{F} = [T]*{f}| (3.1)
Latrz de transformacin de coordenadas para una cerchaolocado con asteriscos no tienen inters prctico puestos f2, f3, fs y fg que son nulas para el caso de cerchas,
f 81 ) X tf
r"" f\L.'' (T) (?) T^7
.5 Elemento de una cercha plana
berzas en el caso de cerchas planas se hace, de manera:has espaciales, basta con eliminar la tercera dimensin,s correspondientes a los grados de libertad 3 y 9
1 2 7 8
rcx \ in f, 1CY 4 0 Q * fjo oA ] ex i r; '
P.
Roberto Rochcl AwadV iU
Anlisis Maricial de Estructuras 3-4
3.2.3 ENTRAMADOS
2
6 \ 4
zX^x
s0 - p 2xrf (
FIGURA 3,6 Elemento de un entr nado
10 f >
Los entramados son estructuras .planas localizadas en el p, ano XZ, al cambiar la orientacinde sus elementos en este plano el eje Y no sufre ninguna modificacin, luego las fuerzas f2 yfg son las mismas tanto en el sistema de coordenadas globi il como en el local.
El ngulo que forman entre s los dos sistemas de coordenadas se representa por a y se midedel sistema local al sistema global de coordenadas, este ser su sentido positivo si esantihorario, Analizando el nudo inicial se tiene;
C
:rrr-
FIGURA 3.7 Transformacin dol sistema de coordenadas para un entramado
F2 " *2F4 = f4 * Cos o. f * Sea aF6 = f4 * Sen a + f * Cos a
Anlisis Matrcial de Estructur s
;i
10 12
100000
03X.CZ000
0-CZex
000
000100
0000
exCZ
0000
-CZex
TT17
n
in
3.2.4 PRTICOS PLANOS
12
FTGUR13.8 Elemento de un prtico plano
Los prticos planos son estructura 3 localizadas en el plano XY, al cambiar la orientacin desus elementos en este plano el eje Z no sufre ninguna modificacin, luego las fuerzas f6 y f12son las mismas tanto en el sistema de coordenadas global como en el local. Analizando elnudo inicial;
O
FIGURA 3.9 TrnrufornuM Ion del sistema de coordenada para un prtico plano
, ,\
Anlisis Matricial de Estructuras 3-6
En estas expresiones: Cos a = CX y Sen a = CY. E>:pandiendo para el nudo final yexpresando en forma matricial se obtiene:
T7
1
rcxCY0000
2
-CYCX00
1 0
6 7
0 00 , 01 ' ' 0o tlCX Ho CYo ! 0
8
000
-CY1CX0
12
000001
fFFTT
3.2.5 PRTICOS ESPACIALESY
3m
3 mX
3m
3m
5m
Ni
_5_in , 5_m ,172 ,172
Prtico en eje A
Nf
:,,A
Planta estructura espacial
FIGURA 3.10 Transformacin del sistema do coorrtensdas para un prtico espacial
Consideremos la estructura tridimensional de la figura 3. 10, en la planta de la estructura eleje Z es normal al plano XY y va dirigido hacia el lector. Se desea determinar para elelemento "n" la matriz de transformacin de coordenadas, para ello debe seguirse elsiguiente procedimiento:
Definir el nudo inicial y final del elemento para con el) o determinar el vector unitario x
Calcular el vector unitario x:
t
r
L_i
r(
i
Definir y calcular un vector auxiliar unitario x1 no paralelo a x
Roberto Rochel Awad
pnsJi Anlisis Matricial de Estructuri ts Realizar el producto vectoria. de x y x' condicionando, de acuerdo con k regla de lamano derecha, que el vector resultante est dirigido hacia el lector, para el caso 'enestudio esta condicin se cumple de la manera siguiente: z = x * x'.
Obtenidos los vectores x y J i se calcula el vector y realizando el siguiente productovectorial: y = z * .x
Se ensambla la matriz de transformacin de coordenadas y se expande paradesplazamiento y giros en los dos extremos.
Este procedimiento es tambi n vlido para el caso de prticos planos.
l
UuflijllJfll
3.2.6 PROPIEDADES DE U, MATRIZ
Una propiedad importante de esta matriz es que su transpuesta y su inversa soniguales, se deja al lector la demos xacin de esta propiedad
(3.2)
3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES
3.3.1 INTRODUCCINLa matriz de rigidez deducida en el captulo 2 relaciona las fuerzas con los
desplazamientos en los extremos ie los elementos en coordenadas locales, ({f} = [k] * {u}),para clculos computacionales es poco prctico y esta relacin es conveniente obtenerla en elsistema de coordenadas de la estructura ({F} = [K]*{u}). /*
En la seccin 3.2.1 y en las posteriores se ha demostrado: {F} = [T]*{f}
La expresin anterior es general } puede ser aplicada a cualquier cantidad vectorial, aplicada'axlos desplazamientos ae obtiene:
{U} =Premultiplicando por [T] :
{F} = [T]*{fJ -
Roberto Rochel Awad
-
Anlisis Matricial de Estructuras 3-8
{F} . [T].{f} .. M[kHTf-{U}
{F} = [T]*[k]*[T]T.{u} . [K]*[U]
Se denomina matriz de rigidez de un elemento, en coorden idas globales, al siguiente tripleproducto matricial:
M-J5H (3.3)Las matrices de transformacin de coordenadas, [T], y las de rigideces en coordenadas delelemento, [k], han sido deducidas en este texto para las difitrentes estructuras reticulares, seprocede ahora a realizar el triple producto matiicial de la licuacin (3.3) para cada una deellas.
3.4 MATRICES DE RIGIDEZ:
uFI"rFr;r
3.4.1 CERCHAS ESPACIALES
Dlas secciones 3.2.1 y2.2.9:
[TI -
1
'CXCYCZ
000
2
+
*
*
00
0
3 7
* 0
* 0
+ 0
o CXo CYo CZ
8
0
0
0+
*
*
9
0 "
00+
*
#
[Tf =
1'ex:
+
0
00
2
CY*
*
0
0 '
0
3 7
CZ 0+ 0
* 0
0 CX0 ' +
o ! *
8
000
CY* !
*
9
000
CZ+
*
[k] = AE'100-10
0
00000
0
0 - 10 00 00 10 00 0
0
00000
0 '
00
000
I'IP
^r;r-;
Roberto Rochel Avrad
i"u
J Anlisis Matricial de Esructi iras>]
11
MnnI;n i
Al realizar el producto matricill obsrvese la necesidad de tener ordenados en el mismoorden los grados de libertad en 1 as matrices [T] y [k]
7
AE
rcxCYcz-ex-cv-cz
000000
0 -CX0 -CY0 -CZV CX~0 CY0 CZ
000000
00000
AE^L
1
CX2CX*CYCX + CZ-CX2
-CX+CY_ -CX + CZ
2
CX + CYCY2
CY+CZ-CX+CY
-CY2-CY*CZ
3
CY*CZCZ2
-CX+CZ-CY+CZ
-CZ2
7
-CX2-CX+CY-CX+CZ
CX2CX + CYCX*CZ
8
-CX*CY-CY2
-CY+CZCX*CY
CY2CY+CZ
9
-CX+CZ-CY+CZ
-CZ2CX + CZCY + CZ
CZ2
(3.4)
3.4.2 CERCHAS PLANAS:
Eliminando en la expresin anterior la-columnas y filas correspondientes a losgrados de libertad 3 y 9 se obtiene la matriz de un elemento de una cercha plana encoordenadas globales:
AEL
CX2CX'"CY
-CX2-CX*CY
CX*CYCY2
-CX*CY-CY2
-CX2-CX*CY
CX2CX*CY
-CX*CY-CY2
CX*CYCY2
(3.5)
3.4.3 ENTRAMADOS:
De las secciones 3.2.3 y i,2.7:
Roberto Rochel Awad
Anlisis Maricial de Estructuras 3-10
m_
2
r i00000
4
0excz ;000
6
0-czex000
8
00o
00
10
0000
excz
12
0 1000
-CZcxj
mT -
2
" 10000
4
0ex-cz
000
6
0czex
000
8
000100
10
0000
ex-cz
12
0000ezCXj
[k].
2
12EI,
L3
6EI,T?TiEr;L3
lIIIl
nl
Anlisis Matricial de Estructuras ' . : . . - . ^^^MjA^^i.rSi'^!
2 4
' 12EI, fiHL3 L2
Anlisis Matricial de Estructuras 3-12
M[k] =
1
L XAEL
n
AEL "
AEL0
112EI
L312EI2
L36EIZ
L212EIi rv
L312EI*r"r
L36EIZ
L2
6
6EI,L2
6EIZ ^ vL2 '4EIZ
L6EIL26EIZL22EIZ
L
7
LAEL
' ^c?"LAE mL
o
8
12EI'CYL3 CY
Z pv
L36EIZ
L212EIi rv
L3
z f'VL36EIZ
L2
12
L2 CY
6EIzcxL22EIZ
L6EIz CYL2
O El 7
L2 ,4EIZ
L
1
La matriz [K] = [T]k][T]T, para un elemento de un prtico plano es la siguiente:
AH-5EI7 CY
12EI7
I 1L 3
AEL
^CY^-
AE
AE
irniCX
6E1Z CY
"TETTL
6 El.'"i
AE 1 12E3'
'(X-CYT1T7 CY
l2EI7CY-'
AP. 1*M
^=.^i -C;:-CY~STrr
12EI,
AE CY' + .CX''
TErr
12
TErrL
1;C
I
3.5 EJEMPLOS
EJEMPLO 3.1
Calcular la matriz, de transformacin de coordenadas dti elemento "n" indicado en elsiguiente prtico plano
c
Roberto Rochel Awad
ni
un
u
Anlisis Matricial de Estructu as &WA^>ttirt 3-13
Y
Nf
3m
4m
_L_ ....:;, X
Ni
4m 5m
Procedimiento de acuerdo al anlisis de la seccin 3.2.4:
Se selecciona uno cualquiera de ] os extremos de la barra como nudo inicial, i, y se calculanlas coordenadas de los nudos, 1 longitud del elemento y los cosenos directores, para losnudos seleccionados se tiene:
Coordenadas de los nudos;
Longitud del elemento:
Cosenos directores:
Ni (400, 400), Nf(900, 700)L = ^/(900~400)2 + (700-400)2 = 583,095cm
Xf-Xj 900-400
CY = L
583,095
700-400583,095'
= 0,857
,"
r exCY0000
-CYCX0000
0 | 00 01 tljT0 CX0 ! CY0 0
( 1I II I
-CYCX.
( I
0 100001 J
[0,8370,514
0"-O" '
0L
-0,3140,857"
0(J00
o : o0 ! 01 i. "o ;V 0.83T0 ! 0,5140 0
000
.^.Jl0,857
0
000V01
Procedimiento de acuerdo al anilisis de la seccin 3.2.5:
a) El vector unitario x se ha calculado como: x = 0,857 i + 0,514 j + O kb) Se define un vector auxiliar x' y se calcula similarmente al vector x:
Coordenadas de los nudos: Ni (900, 0), Nf(400, 400)
Roberto Rocbel Trad
Anlisis Matricial de Estructuras 3-14
Longitud del elemento: L = ^ (400 - 900)2 + (400-O)2 =640,312cm
Cosenos directores:
El vector unitario x' se ha calculado como: x = -0,781 i + 0,625 j + O k
c) Se calcula el vector z, para el caso z. x * x'
i J k0,857 0,514 O-0,781 0,625 O
Normalizando el vector z:
(0,85''* 0,625 +0,781 * 05514)*kz =.0*i + 0*J+ 0,937 *k
z = 0*i + 0*j + l,0*kI r
c) Se calcula el vector y, para el caso y = z * x
Ji j k0 0 1
0,857 0,514 Oz = (0-1*0,514)*! - (C-l*0,857)*j + (0)*kz = -0,514*i + 0,857* j + 0*k
d) Obtenidos los vectores x, y y z se ensambla la matriz de transformacin de coordenadas:
Ci-
0,8570,514
0
-0,5140,857
0
001
hr(y
Verifiqese que se cumple la reclacin: [T] = [T]
Roberto Rochel Awad
1ri
Anlisis Matricial de Estruchu as
EJEMPLO 3,2
Calcular la matriz de transforn \acion de coordenadas del elemento "n" indicado en elsiguiente prtico espacial
>, Y' t -Z
3m
3m
3m
3m
5mNi
5m 5 m
X& L/2 ,L/2
Nf
A
Prtico en ej APlanta estructura espacial
Procedimiento:
a) Se calcula el vector unitario x
Coordenadas de los nudos: Ni (500, 300, 500), Nf (1,000, 600, 800)Longitud del elemento: L = ^ 1000 - 500)2 + (600 - 300)2 + (800 - 500)2 = 655,744 cm
X f-X 1000-500 n^,0Cosenos directores: CX = *-=L = ,,.,,. =0,762L 655,744j
Y f-Y 600-300^~L~ "6557T44"
cz = 800-500
El vector unitario x es:
L 655,744
x = 0,762 i + 0,457 j + 0,457 k
= 0,457
b) Se define un vector auxiliar x' y se calcula similarmente al vector x:
Coordenadas de los nudos: Nf (500, 300,500), Ni (750, 450,0)
Longitud del elemento:L =
Anlisis Matricial de Estructuras
/i(Cosenos d /TV ^ jirprtnrpq * i A H Wl_ LWi. &D , V^/x ~ ~~
PV -^ L
C7 -\-ri-t
El vector unitario x' es: x = -0,432
c) Se calcula
i0,762 0-0,432 -0
el vector z, para el caso z = x *
j k,457 0,457,259 0,864
Normalizando el vector z:
c) Se calcula
i0,514 -00,762 0
el vector y, para el caso y = z *
j k,858 0,457 0,457
3,16
: f -X i 5GO-750i i 0 / 1 1 ^L 578,792 '
f-Y 300-450 _L 578,792 '
f - Z 503-0L 5751,792
i - 0,259 j + 0,864 ki
x'
z = (0,457=10,864+0,259*0,457) i -(0,76210,86440,432*0,457) J 4(0,762 -0,259 + 0,432*0,457)*k
z = 0,513*i-0,856*j + 0*kz = 0,514*i-0,858*j + 0*k
x
y- (-0,858*0,457+0)i-(0,5 1410,45740) j +(0,51410,457 +0,858*0,762)*k
1mjt
r-y1^i_j
Fr
_
r-Fr*' ,rr>r
'
d) Obtenidos los vectores x, y y z se ensambla la matriz de ransformacin de coordenadas: r-
Expandiendo esta matriz:
0,7620,4570,457
-0,392-0,2350,889
0,514 "-0,858
0
rf -f i^*i
Roberto Roche! Awad
- "X
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a.o50
Rls_
8-Ec.a
o2-
i
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c
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n
4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
4.1 INTRODUCCINEn el anlisis de la rigidez los grados de libertad se localizan en los nudos, a las fuerzas
Kij se les conoce tambin1 como rigidez nodal, representa la fuerza en el grado de libertad icausada por un desplazamienta unitario impuesto al grado de libertad j. EL objetivosiguiente es idear una manera eficiente y automtica para generar la matriz.
Todos los trminos de una columna de la matriz de rigidez son fuerzas aplicadas en losnudos producidas por un despkzamiento nodal unitario. Considrese la estructura reticularde la figura 4.1 en la cuallos gi'ados de libertad ya han sido numerados y se desea calcularlos elementos de la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura, para ello, seaplica una deformacin unitiria al .grado de libertad 1, manteniendo los demsdesplazamientos nulos.
>^K,t
11
1210>l i l i l !
K 41
I/til/I
FIGURA 4.1 Coefllcle ites de Influencia da rigidez, estructura reticular plana
:3i
\L
Los trminos Kn, K21 y K3i son las fuerzas correspondientes a los grados de libertad 1, 2 y 3respectivamente, causados por u n desplazamiento unitario aplicado al grado de libertad 1.
Examinando el clculo del trrtino Kn se concluye que el trmino Ku para la barra Nlrepresenta la fuerza axial neceiaria para producir un alargamiento unitario y es igual a:K,=AE/L. La barra N 3 se traslada lateralmente en uno de sus extremos una distanciaunitaria, con las rotaciones de los extremos restringidas, para esta barra de acuerdo a loestudiado en la seccin 2.2.2- se concluye que: Kn=12EI/L3. Resumiendo: Cada trmino dela matriz de rigidez se puede ca] cular directamente examinando los extremos de las barras ysumando las rigideces con que contribuye cada uno de ellos.
Roberto Rochel Awad
Anlisis Matricial de Estructuras 4-2
4.2 GENERACIN DE LA MATRIZUna vez determinadas las matrices de rigidez de todos lo 5 elementos de la estructura, en
coordenadas globales, debe procederse a ensamblar k mat; total, su orden corresponde altotal del nmero de grados de libertad,
La manera de ensamblar la matriz de rigidez de una estructu ra se explica fcilmente con unejemplo, el procedimiento a seguir es el siguiente:
Numerar los nudos y los elementos,
Definir el sistema de cooordenadas local para cada elemento y global para kestructura; para definir el sistema local no importa el orden con el cual seseleccionen los nudos inicial y final de cada barra.
Definir los grados de libertad de la estructura y nitmerarlos, es conveniente paraclculos manuales numerar primero los grados libros y dejar de ltimo los gradosrestringidos o lo .contrario, lo que no debe hacerse es mezclar su numeracin,: .
Ensamblarlas matrices de rigidez de todos los elementos en coordenadas'globales eidentificar en ellas el nmero de los grados de liberta d a que corresponden cada unode sus trminos,
Ensamblar la matriz de rigidez total trasladando ino a uno los .trminos de lasmatrices de rigidez de los elementos.
Se seguirn los pasos anteriores en el siguiente ejemplo numrico:
niiiit6 m
ilinii
E = 200 kg/crA
Vigii:4 m
b = 30 cmh = 30 cm
Col'irruas: b = 30 cmh = 40 cm
FIGURA 4,2 Estructura reticular correspondiente u un prtico plano
Procedimiento:
a) Se numeran los nudos y los elementos'Se define el sistema global de coordenadas y el local par, cada elementoSe definen y numeran los grados de libertad, se numeran primero los libres
I"t
f
r
i:/i t
Roberto Rochel Awad
3']nin
n
n
nI >ti
Anlisis Matricial.de Estructur is
m
m
Grado. dbMtad
Coonlenda lcale
i 1
Coordenada glol ialm
FIGl JRA 4.3 Sistemas de coordenadasGrados de libertad restringidos: 9, 10, 11 y 12.
b) Se calcula la matriz de rigidei, en tn/cm, para cada elemento en coordenadas globales
&sV
Gradosde libertadNudo inicial Nudo fi lal
9 10 1 2^ 3 4
Grados de libertadNudo inicial Nudo final2 . 3 4 5 6 7
"600
-120U^00
_-i2oq
60000
-6000C
-1200 -600\ L200
1200j 600!I
1600 L20q
-6000)
6000(1
-1201
16001200
3200
\o
V.V>
4
[%] =
' 30.000
-3.O~00
.
7525
-75225
225900
-225450
-30,000
307000"
-75-225
75-225
"
225450
-225900_
11q
'^
Grados de libertadNudo inicial Nudo..final
5 6 7 11 12 8
N=
'600
1200-600
1200
60000
-60000
1200] -600i
3200J-1200-12001 600
i1600-l200
-6QOOO
60000
1200
1600-1200
3,200_
$
Anlisis Matricial de Estructuras 4-4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
'ki\\
23456789101112
Grados de libertadno restringidos
Grados de libertadrestringidos
klo i i 3 4
FIGURA 4.4 Traslado del trmino K,, 10 de lo matriz del elemei ito 1 a la matriz de 1 estructum
[K].
13,200
1.200
1.600
-1.200
2
1.20060030.000
1.200
-30.000
-600
3
60.00075
225
-75
225
~o.oc:T
4
1.600
1,200
225
3.200900
-225
450
-1200
5
-30.000
30.000600
1.200
1.200
-600
t
-75
-225
7560.000
-225
-60. 000
7
225
450
1,200
-225
9003.2001,600
-1.200
8 9
-1.200
-600
-1.200
1.2(0
1.6(03.2(10
600
-1.2001
10
-60,000
60.000
11
-600
-1.200
-1.200
600
12
-60.000
6.OOO
Esta matriz es una matriz simtrica, diagonalmente dominante y positiva, para una adecuadanumeracin de los grados de libertad es una matriz baldeada, en los trminos dondecontribuyen ms de una rigidez estas se suman algebraicamente.
tr-
F;4.3 SISTEMA DE NUMERACIN DE LOS NUDOS
Analizado el procedimiento para ensamblar la matriz de rigidez de una estructura, esconveniente estudiar un sistema adecuado de numeracin di i los grados de Libertad con el finde concentrar sus trminos sobre la diagonal principal y aprovechar sus caracterstica de
fRoberto Rochl Awad
! iJ5
Anlisis Matricial de Estructuras
I
pv-
'
matriz bandeada. Segn el procedimiento de solucin que se desee seguir existen lossiguientes dos criterios:
a) Solucin por expansin de la matriz
Para facilitar la expansin d; la matriz deben numerarse primero los grados de libertadlibres y despus los restring dos o lo contrario, lo que no se debe hacer es mezclarlos.Este procedimiento se utilizar en los ejemplos de este texto pero no es el procedimientoadecuado para estructuras de alguna consideracin
b) Solucin dilecta del sistema de ecuaciones lineales
Los problemas de ingeniera involucran una gran cantidad de incgnitas y el sistema desolucin por expansin es imprctico, en este caso la numeracin de los grados delibertad va asociada a la nun .eracin de los nudos, el procedimiento ms apropiado paranumerar los nudos consiste ;n obtener que la mxima diferencia entre los nmeros delos nudos que conecta una b irra cualquiera sea la menor posible, con esto se logra quelos trminos de la matriz de rigidez se concentren sobre la diagonal principal y puedeaprovecharse sua caractersticas de simetra y de banda con el consiguiente ahorro dememoria de computador en e 1 proceso de solucin
14 17
15
11
2322
0
(51 0MximaDiferencia=6.
irrrn
Grados libresA
Restringidos
K=
20
aM,
m |i:
> MB
19rrrrn
MB = 21
FIGURA 4.5 Slsteina di i numeradn de los nudoa y d los grados de libertad
De acuerdo a la numeracin de los nudos se han asignado los grados de libertad, si as seprocede el ancho de la semibancia media banda (MB) se puede calcular de la siguientemanera:
MB = (Max. diferencia +1) * N Orados de libertad por nudo
Roberto Rochel Awad
Anlisis Matricial de Estructuras 4-6
14
20
X)
0
MximaDiferencia=2
jJ^-Mo17
23
Gn doa librea
as
Rcatringido
MB =9
FIGURA 4.6 Sistema de numerudn ptimo de los nudos) de los grados de libertad
MB
4.4 ANLISIS DE CARGAS APLICADAS EN LAS LUCES:En las secciones anteriores se analiza el mtodo de la rijtidez enfocndolo a obtener los
desplazamientos de los nudos por medio de la resolucin de las ecuaciones de equilibrio delos nudos, {F} = [K] * {U}. El vector {F} representa las cargas aplicadas en los nudos.
Cmo se plantea el quilibrio de una estructura que tiene caigas aplicadas en las luces?, lasolucin se plantea organizando dos vectores de cargas, uno que represente las cargas en losnudos, {N}, y otro vector de cargas efectivas, {L}, que provoque el mismo desplazamientode las cargas aplicadas en las luces, el vector resultante sera: [F} = {N}-{L}.
i 4 i i i 4 Q i 4- 1->--+->->-*->->->A^n n 7
rrrn rrrn rrn mn
FIGUR4 4,7
El objeto de este anlisis es determinar las cargas, que aplicadas sobre los nudos, producenel mismo desplazamiento que las cargas aplicadas en las luces. La estructura puedeconsiderarse como la superposicin de dos casos: el caso 1 consiste en las cargas realesaplicadas sobre las luces y una serie de cargas restrictivas aplicadas sobre los nudos queimpiden que los estos giren y se desplacen. Ahora se aplican unas serie de cargas de igualmagnitud pero de sentido contrario a este conjunto de cargas p ara constituir el caso 2.'La superposicin de los casos 1 y 2 es estticamente equivalente a la estructura real pues lascargas restrictivas se cancelan. Puesto que la superposicin de los casos 1 y 2 constituyen un
EP *
Robarlo Rochel Avvad
,1
^ e X 3 M1' o tto^/ , *
w Mtricial de Estructuras
n
n
sistema estticamente equival nte, tambin produce un sistema cinemticamenteequivalente, esto quiere decir qu; la suma de los desplazamientos de los casos 1 y 2 soniguales a los de la estructura real, debido a que el caso 1 no produce desplazamientos;;de losnudos los desplazamientos del cano .2 son exactamente iguales a los de la estructura real,
Las cargas del caso 2 son las cargas equivalentes a las cargas de las luces, {L}, y su valor sedetermina a partir de las acciones de extremo fijo, sobre los extremos del elemento y sepasan a los nudos cambindoles su signo, luego el vector de cargas en los nudos (F) ser:
.- , ~ ft . :
{F} = Vector total de cargas(N) = Vector de cargas aplicadas en los nudos{L} = Vector equivalente de cargis en las luces
4.5 PROCEDIMIENTO GENERAL DE ANLISIS: Numerar las barras y le a nudos de acuerdo a lo explicado en el numeral 4,3
Definir los sistemas de coordenadas locales y global para la estructura
Calcular la matriz de ri gidez de cada elemento en coordenadas globales
Ensamblar la matriz de rigidez total de la estructura, [K]
Definir el vector de car jas en los nudos, {F}, y el vector de desplazamientos, {U}
Resolver el sistema: {F} = [K] * {U}, para clculos computacionales se empleael mtodo de Oauss o c e Cholesky empleando un algoritmo para resolver la matrizbandeada, Para calculo u manuales se procede de la siguiente forma: Al separar losgrados de libertad libres de los restringidos se puede realizar la siguiente particinmatricial:
ol K O K ,U
{F0} = Vector de cargas aplicadas en los grados libres, conocido{Fj} = Vector de cargas aplicadas en los grados restringidos (reacciones), esconocido{U0} = Vector de desplazamien is en los grados libres, desconocido
= Vector de desplazamientos en los grados restringidos, conocido-
Pora desplazamientos:Para reacciones:
{U } = [KJ-i * ( {F0} - [Ko] * {U0} ){F,}=[KJ-*{U0} + tK3]*{U,}
(4.1)(4.2)
Robarte Rochel Awad
Anlisis Matricial de Estructuras 4-8
4.6 EJEMPLOS
EJEMPLO 4.1
Analizar el siguiente entramado considerando:fj = 0,25.
,, Y 10 tu
i
S.OOO cm4, E = 10.000 tn/cm3 y
Procedimiento: Unidades de trabajo; tn y cm.
a) Numerar 'as barras y los nudos, definir los sistemas locales de coordenadas. El sistemaglobal se indica en la figura superior,
b) Se calcula la matriz de los elementos en coordenadas globales y se ensambla la matrizde rigidez de la estructura:
Barra N" 1 Ni (0,0,0), Nf (100,0,0), CX = 1,OC, CZ = 0,00Grados de libertad
STud) f inal3
Nudo inicial4 5 6
Nud) f i na l1 2
120
-1206,000
6.000
40.000
-40,000
6,000
400.000-6.000
200.000
-120
'-6.000120
-6.000
-40.000
4d.OOO
6.000
200.000-6.000
400.000_
lC;O
r
r
ror;r-
Roberto Rocha! Awad
Anlisis Matricial de Estructuras
Barra N 2 Ni (100,0,0). Nf (200,0,75), CX = 0,30, CZ = 0,60
[Ka]-
Grados de libertadNud o inicial Nudo final
1 2 3 7 8
' 61,44-2.3043.072-61.44-2.3043.072
-2,304135.680
-138.2402,30437.120
-92.160
3.072 -61.44-138.240 | 2.304216.320 _j -3. 072-3.072 61.44-92,160 2.30490,880 i -3,072
-2. 30437, 120-92.1602.304
135,680-138.240
3.072-92,16090.880-3.072
-138,240216,320
f 3
'181,44-2.304-2.928-120
-6.000-61.44-2,3043.072
-2,304175.680
-138.240
-40,000
2,30437,120
-92.160
-2.92S -120-138.240616.3IO 6.000
6.00(1 120
200.000 6.000-3.071-92,1(090,883 \0
40, 000
-6,000
200.0006,000
400.000
-61.442,304-3.072
61.442.304
-3.072
-2.30437.120-92,160
2.304135,680
-138.240
3.072-92.16090:880
-3,072-138.240256,320
c) Se ensambla el vector de carga; :
Cargas en IBS luces
Barra N 1
1 V
200tn-cmW= 0,24 tn/cm
iOOtn-cm
> ^ vj/ si/ si/ '
-tL 100 an ,1 >VZ
L 3 - 200 In-cmfe
';> X
Ban-a N 2
Roberto Rochel Avfad^
Anlisis Matricial de Estructuras 4-10
312,5tn-cm 201*1 312,5 tn-cm62,5 cm
Ni125 cm
Nf
L,-187,3 ta-on
10ta~L,
-b.a
12O
loo'
-200
510
-187,50
10187,50-250
tn,tn-cm
Cargas en los nudos y vector total de cargas
N,N2NT7N57N7
-100
1000R7"
R
R9
tn,tn-cm
r1-Lj 22-187,50
12
10187,50
tn, tn-cm
-32187,5-1.050
R6 - 200R7-10
Rg-187,5R9 4-250
tn, tn-cm
1, _ rt
r** I
rn-'iir4
J
d) Se ensambla el vector de deformaciones:
UHiUfiU7HaIJ9
_i3JL_o__o__o_JL
o
cm,radial es
r
rr.
Roberto Rochei Awad
u;1
r
']
>
Anlisis Matricial de Estructuras
e) Solucin para desplazamientos:U
Por ser {U(} = {0}, se obtiene:
181,44-2.304-2,928
-2,304175.680
-138,240
-2.928 1-138.240 *616.320 j-
U,
U
U, '-0,3550751Uo > = \\cm,n
[U 3 j (-0,0050949 J
) Acciones en los extremos de las 1 (arras en globales
Barra N 1 : Acciones en tn y tn-cm
NIF1NI"
122_0012~
-200
' 120
-1206.000
6.000
40,000
-40.000
6.030 | -1201
400. )00 1 -6.000"-6". 000 f 120
I1
200, )00 -6.000
-40,000
40,000
6.000 "
200.000-6.000
400.000
Barra N 2: Acciones en tn y tn-cm
t .
10-187,5735$T.T8775"
' 61,44-2.3043,072-61, 44"-2.3043.072
-2.304135.680
-138.2402.30437.120
-92.160
3,072 1-61,44-1:8.2401 2.30421i>.320 1-3,072-3.072 61,44-92,160 2.3049C.880 -3.072
-2,30437.120-92,1602.304
135.680-138,240
3.072-92.16090.880-3,072
-138.240216.320
o00
-0,355075-0,0075985-0,0050949
24,04303,941,311,47-0,04-303,94
^ -107,51
-0,355075-0,00759853), 0050949
-9,96
"27,9S"'1.193,08"^TI3^
1
l
' 1L lia..
Nj- 301,94^ ~?i Y NJ"303'9'( -
HF ". vu
La solucin presenta equilibrio, cbservese que si se suman las acciones en el nudo 1, seobtienen las cargas aplicadas en < iicho punto, mientras que las acciones en los nudos 2 y3 corresponden a las reacciones e a coordenadas globales.
Roberto Rochel Awad t '
Anlisis Matricial de Estructuras 4-12
g) Acciones en los extremos de las barras en locales
En la barra N 1 dado que los sistemas de coordena das local y global coinciden no haynecesidad de transformar las fuerzas en sus extremos. Para la barra N 2 se procede asi: :
= [T]T*{F}
1717S
100000
00,8-0,6
000
00,60,8000
000100
0000
0,8-0,6
0000
0,60,8j
-',963C3.94-8,96
1.1)3,08-1.103,54
-9,96-292,35-896,3629,96292,34
-1.598,68
tn, tn-cm
r-n,- 24,M
-303,54 L_
a" 1311.47 ,. .--'(2) U
n,,M
n,-303,94 ,f * '< ~
nj- 107^1n" 8X5,34
nrl58,iS8 nfi
Cada una de las barras se encuentra en equilibric, la solucin es correcta y puedsprecederse al trazado de ios respectivos diagramas.
303,M
t.311,47 A24,04
Vta
24,CM
M tn-cm
0,24 tn/cm
L-100 on
EJEMPLOS.
303,94
10,04\|/
0,04.',Xm
107,51
20 tu0,5.
29Z15 ,_
S*
>L-125 on
f1 29,94
8M,31* -/fe
1- \'>1 j
200,000 tn ""' ' i ' J. -n '3 tn - m
a , . . . . , . . , . , ..,,>..! .... ... ,K , . . . . 1 , ...(,;,,
10 cm
i- .A B
W ,; ^3m
, ) 4 tn /m,[\L, i i I GG
c ^ : : ' '
6m;v..-,; .-.v!^Vf ..,., ,.;,..,.
. TY(D
"f4' ' :10 cm
"*~~
(g). v . Q
ffl
I! 1_ .?- -^5
3m
H ^
X. 6 m
.
'. .; i.
' ' ' ' - 1 ' i 'X' " . '0* D
' ' 41" 2 m V
. . ; . " . i v , - > . ' :,>: ^n1
) 131^^ .- .. .-0 , . ' -
@
xt2m
~t |1
w 710
^ cm
Propiedades de las barras:
Barrai23
"4 '"; 5 a 7 v '
fe cm10,00010.000
1010E7
* 30' ' ' !i''
hcm0,0000150,000020
4.182,00921410E-5
1 : 30
Etn/cm2200200
1200200
fe kg/cm2236,68639236,68639
0,005917161236,68639236,68639
Coordenadas y desplazamientos .de los nudos:
Roberto Rochel Awd
Anlisis Matricial de Estructuras I"Nudo
12345678
Xcm0
300 '900 ""'-1100 i
100011000
3001100
Ycm10 ,
'" "O1010 ' '10 , - . . ; ' . ;"...) '.,,v..-.,v,'v.J;'...'i :;.
DESPLAZAMIENTO DE LOS NUDOS, cmNTjEDO
1z3
V;': ' ' t i - , ; .0,1416 , : y0,13760,0204
-Uy-"0,0513
^ -0,04950,0085
Obtenido los desplazamientos; se^ferifca que .la .resulante.'del desplazamiento del apoyo derodillo coincida con la direccin ddl plano de desplazamiento: . .
5 712 = 0,0085/0,0204 = 0,4167, .-=> La solucin es correcta' ' v
Tensiones en las > barras (-+ traccin ): - . . - ;
Anlisis Matrcial de Estructuras
EJEMPLO 5,3 .:: , ,,, . . - , - , . ^ \wi' : -.-. : . , . ' . : ' ' ' :/, ''". . - .1: !
Anlisis Matricial de.EstiucUF as ,-'-'- - ' - - ' - - ' ' ! ' - ' - ' - '
5.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
5.1' Resolver la siguiente viga empleando el programa "de^computador. y revisar, en lasolucin, las condiciones generales de equilibrio, Para todas las barras tomar b = h =30 cm y E = 200 ta/cm2 Modelar los apoyos de resorte cmo barras de efectosestructurales equivalentes,.
2taIra
O4tn
b) 0,451 tn/m
5.3 Resolver.kvsigmente.icercfej'empleandoNeL1 programa de computador y calcular la,tensin en k barra Nl. Pari todas las barras tomar A = 2 'cm2-.yrE'.-. 2.100. tn/om2,' (Modelar los apoyos de rodillb como barras, de efectos estructurales equivalentes.
Roberto Rochel Awsd
Anlisis Matricial de Estructuras
20 ta
10 In
3tn '" : s
PROBLEMA 5.3Resp. 1,97 tn (Comp.)
PROBLEMA 5,4.:iFip. 2,01 tn (Comp)
5.4 Resolver la siguiente cercha 'empleando el''programado computador y calcular la 'tensin en la barra Nl. Para todas la barras tomar;, = SO^crn2 y E = 2.100'tn/cm2.Modelar los apoyos de1 rodillo cm'brras de efectos estructurales equivalentes.
y ' : < < . , ; , ; - , _ . . ' ; , . ;,"'/, i U'.ii',. - : ' - j / i j.-i1' l:.l;. ' ?' - . ' ! ' .'> ' '>'\5 Se va a utilizar un gato hidrulico para levantar la viga ABC. Si despus d'pliar la
carga de 2,50 tn la flecha en C debe ser de 0,236 otn 4. Considerando E = 2.039to/cm2, b = 4 c m y h = 9om calcular: ,, - - , , ; ;. t , .//
a) Canto7deba levan^seietiJtntBj!.... b)'Reaccin e^.p4esp'iuea^' aplicar la carga'
"?ROB1/B,MA 5.5Resp. a) 2,03 cm
b)5,10cm
PROBLEMA 5.6Resp. 2" ,53 tn (Trac.)
Robarlo Rochel Awad
Anlisis Matrcial de Estructuras
5.6 Calcular las tensiones que i IB presentan en los cables de la estructura compuesta de lafigura. Para el acero; E = 2.039 tn/cm2 y para la madera E = 100 tn/cm2.
5.7 Determinar la tensin en las barras 2, 6 y 10. Considerando: E = 2,039 tn/cm2, Ag =12 cm2, A] a A5 - 6 cto2, A7 = Aj0 ~ 18 cm2, calcular el incremento deldesplazamiento vertical del nudo A si la viga de acero se reemplaza por una de madera(E = 1000 tn/cm2) con la misma seccin transversal,
Viga de acero35x35 cm
4,30 ra
4,50 m
PROBLEMA 5.7
Resp. a) T2 = 24,60 ta (Q, T6 = 5,24 ta (T), To = 6,35 ta (C) ''b) SeincrenWnta 58,7%
5.8 Calcular la tensin qu se piesenta en la barra Nl ..considerando que los nudos bajo lacarga de 4 tn una vez haesn contacto solo tienen desplazamiento vertical. Para elprtico b = h = 30 cm, fe = ,'10 kg/cm2 y para las otras barras (solo rigidez axial) A =10cm2yE = 2.040m/cm2
4tn3tn/m
J tn *v yJ|'XL-^_y -'*'..-'**'- \>L **"-yL-^y tys^/
I
J
"JJ k
ni
* 11
n
v - ' C ' ; n iB: ; . . '.*", ;>i i '.'i.":,.:'')(.' > ' i > ; ' . ' . : : > .K! 3 ' ;'.;';jt ;.''''.. ",~.i rT"! f:;-1.' ') :* '3;.->,.,';rv*;'-','!':: ,-:' : . - '" . : . , ':,:..*,.. * O, '' .1>':;i.'. T
BE
6,1' SISTEMAS CON MUROS Y/O PRTICOS;!.i>:3'!/'.", vyt.*'*.;?,> .d - .MI : i - l ; . . ^ \ ' - ' ; ; / ^K:' ;.'. ' '-^;.';' :.' ' ' '. . ' ' / ' i .' ' ' En muchos" caaos'1 para'dar .a los edificig tanto rigidez como ^ resistencia ante cargaslaterales' se 'mplian''mro's de liorrign' reforzado, ;usualmente combinados con prticos(sistema--dual)? Otra mflra proporcionarle rigidez' a los prticos es rellenando losespacios entre 'vigas y columnas con muros de mampostera o contraventearlos condiagonales de hormign y de acei o.
it un 11 n i) n ' ,a) Muro y prticos
-"\
(
j-t-'-.n -i.-i' .'i- , ,. - . , r , i -1
. 1 - 1 . f
. 1
1 i " ' ;i ' ' i1 J L
. 1 . . 1 , ,1
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1
-srr-r
h ( A ^= 3,35: =+ f 0,022 f^-U H :,.. (6.1)G. A,\a ra /
i , . ( ... , * ; '
, 1 1 .,I .
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1
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Ac/2 ,;;: j Ac/2' ,^~r ^ t; v
i1""_ . J . u_ ,i, -L_;yp t> ' 1^
i -i ;. . 1 . . . ' ' . . . . j . . ' . . ' '-.^ . * ' ^ j . . . l
H ,,,1.;^ , ,-,'', ,,' " . : . - i ; !;..;x/rv-f..'> I ' - ' U -: ,' '.
FIGURA 6, 3 LtedtflBM dal modelo matemtico
Roberto Rocha! Avrad
Anlisis Matrcial de Estructuras
Ec = 3.00oVfc' (Mdulo d rigidez del hormign en kg/ciD2) 'Gm = Mdulo de rigidez cortante del muro \. ,A,,, = rea transversal del muro .A0 = rea transversal de las columnas medida entre el bordo y el eje
Una vez calculada el rea de la diagonal esta debe modelarse a| utilizar el programa decomputador pues esta barra no debe tener rigidez a la flexin.
:>N
6.4 PROPIEDADES MECNICAS DE LA MAMPOSTERA EN ARCILLAi \e las memorias del Simposio Internacional sobras Manipostera', Estructural y
Arquitectura, celebrado en Medellin del 23 al 24 de Julio de: '1992, se 'estracta de lasconferencias dictadas por el Ingeniero Hctor Gallego ks.si^uierit^s especificaciones:
6.4.1 MODULO DE ELASTICIDAD
"Diferentes experimentos realizados por Turnsek ,
Anlisis Maricial de EstrUcturus
M
>I
i m
ladrillos de arcilla y slce-cal as.3ntados cori mortero^. sPaiaf las .K'ftfilitomaremos el valor promedio: Em* = 700 fm.
40
30
Em(GP.)
-20
Gt-2nvle*B3mett ,
' A SCPR?, |. . ' ' , ' , - '
!'; l . ' ( ' . I | I i^|'.T i.' . ' , )'Em-iooofm '
X' m-700fm
V''A
.'' ,-* o . A
t .'l.#W;r
^
.,:" Em-400fm
i !20 JO 50
HesijlHda:il comprwnfra(Mpii) ">
^ * 'FIGURA'
Anlisis Maricial de Estructuras
6.4,4 DEFORMACIONES UNITARIAS ULTIMAS
Loa siguientes valores de las deformaciones unitarias [ltimas, utlizablea para medir laresistencia y curvatura ltimas de elementos de flexo^cornjbresin, para la manipostera debloques huecos rellenos con1 hormign lquido. Estn calculados en la rama descendente deldiagrama esfuerzo-deformacin a 0,50 fm y son los siguienl es: "
' -\ Bloques unidos con mortero; 0,25%
Bloques apilados: 0,20 Bloques unidos; con refuerzo en la junta:-hasta 0,6%, dependiendo de la cuanta
volumtrica del acero. Este valor mximo se alcanza para .cuantas volumtricas delorden del 2%.
*ecr-tc
6.5 EJEMPLO
Se desea analizar el efecto de los muros-* de mtpnposera sobre la siguienteestructura aportcada, para ello se resuelve primer^ elpjrtico sin muros, asumiendo quetodos los t^m^\g^'.'de:^l0^,
Anlisis Matricial de Estitucturas 6-7
r -i.vb {I
niK }i;
O
i!ni(L, j&u
j ] x Ed j Em = 10.500 kg/cm2 ' ;II:,X Adf (0,35 + 0,022 * 7,274)I- >'
Diagonal centra;!:,,-' Ad# (0,35 + 0,022 * 7,274) * 300 * 15^-2.295,126 cm2Diagonal extrema: ' M-H$3$'+ 0,022 * 5,726) *-300;* 15^2"l41874 cm2\< ] ^.- .]' j ^' j.;..i^ .y.-^jAl'emplear el programa del coniputadr debe entrarse dimensiones .que-representen estasreas y hagan.'.'s inercia cero, sn el caso de la i diagonal central ste objetivo se logratomando, por ejemplo, las siguientes dimensiones: b=2/295,216 * 1010 cm y h= 1 * 10"10cm, este modelacin es neeesarii pues las digonales que representan los muros no debenabsorber momentos,.i
pj'; "f .J)1;,
Anlisis Matricial de Estructuras
B tn
0,49 0,455,80 v FU r\0 0.54
O.S9
Desplazamiento promedio del piso 2 ~ 0,439^ cmDesplazamiento promedio'del'piso:l!^:'0,25$ cm :Khpiso 2 ='6/(0;439;'-'0;256) ^32,79!tn/cmj>-'>'' 'Khpiso 1 = 11/0,256: '43,97'tn/cm
Anlis Matricial de Estructuras
h TSf
n
n
nrr*, i-
n
f*J! !
11fI
='0,ll'02v'cm ';;':!!'K^pis2=i6/(0,176-0,110)'=;90,9tri/cm;-'' " ; '
Kh piso 1 = 11/0, 110 = 100,00 tn/cm!!: : .'"S1 (!'.> l i - t "
Anlisis Matricial de Estructuras r;Cuando los muros se disponen de ,una manera simtrica, se, incrementa la rigidez de la M*estructura de una manera. uniforme y no se inducen afelos desfavorables.
r r*el anlisis, se presenta un peligroso desplazamiento del centrq de rigidez de la estructuraque conduce a una torsin no considera en el anlisis y que fue la causa de falla de ms I*"1del 50% de los edificios en Ciudad de Mxico en d sismo de 1985. Este caso es | ?particularmente critico en edificios de esquina en los cuales en los prticos sobre. Iqslinderos deben llenarse todos los espacios, 'lo cual se hace frecuentemente 'con f .mamposteria de arcilla, mientras, que los prticos de facliada llevan grandes ventanales. .
j , ^Debe existir concordancia entre lo proyectado y lo consi rudo si en el anlisis no se hanconsiderado los muros como elementos estructralos estos, deben necesariamenteaislarse de la estructura, an a costa de los rendimientos 'econnomicos. Una maladisposicin de los muros puede ser fatal para el comportamiento ssmico de la estructura.
Las derivas inelsticas, desplazamientos- relativos entre/ dos pisos consecutivos,' quepermite el Cdigo Colombiano de Construcciones Sismo ^Resistentes, para prticos, de J r 'hormign reforzado, son del 1,5% de la altura del entrepiso; (Sec. A.6.4.2), pero cuando alos prtico se le adosan los muros estos fallan cuando la, deriva alcanza valores cercanos ^al 0,25%. Esto implica que las normas permiten disei lar , prticos muy, flexibles . a.' Iqs,cuales se les adicionan muros muy rgidos que ante un pequeo desplazamiento lateraldel prtico se fisuran, el ejemplo ms reciente lo tenemc
jj JVM
II'>>h li
ri! i
?!
h&l Y-MI
nii
Anlisis Matricial de Estructuras
gremiales dedicadas a la con struccin (Camacol); a las financieras de vivinedas y a lascompaas aseguradoras que; inviertan en investigaciones en los centros universitarios
pata podermejorar la calidad1 tcnica derarlisis',1 diseo yconstruccin de;vivienda.
6.7 PROBLEMAS PROPUESTOS
6.1 Si en la estructura tridimensional aporticada de la figura (conformada por prticos:a'brtbgohale3 iguales1 al? analizado 'en;el1' ejemplo de este Captulo) loa prticos 4 y D
>"' corresponderi: a los'linderos y por consiguientes sus espacios se llenan con maniposterano reforzada, calcular el desplazamiento que tiene el centro de rigidez respecto al centrode masa del segundo piso, asumir una distribucin uniforme de la masa y realizar losclculos con base a los resultados de este capitul! Qu momento torsof se induce?
Problema 6.1Resp. e = 5,24 m
6.2 Se desea reducir la deriva elstica promedio de este prtico a la mitad mediante elempleo de una diagonal de acero (E-2,100 tn/cm2), Cul debe ser el rea de ladiagonal?. Para vigas y colunmas: b = h = 30 cm, f c = 210 kg/cm2 '
6.3 Calcular el rea de las diagonales de acero (E = 2,100 tn/cm2) que reducen las derivaselsticas promedio de los dos'pisos a la mitad de su valor elstico. Para vigas b = h = 30* 40 cmy columnas: b = h = 30 cm. f c = 210 kg/cm2
4 tai
5ta
4tn
4m
4mH
Problema 63.Resp. Aj^liSOcirt2
.O'"'
/;''
5m
a
...\a 6,3
3m
4m
Resp.A2 = 1,79 cm2, Aj = 1,71 cm21 '.'I p'$4$IsL
Roberto Rochel Awad'
Anlisis Matricial de Estructuras
BIBLIOGRAFA
,RolienQ Rochel Awad
ff'1. Meli,Piralla,, Roberto, y/..Bazn: Zurita,,, Enrique, ,JVAjVU,AL-, PE PSELO ASSMICO-,DE pl
EDIFICIOS, Editorial Limusa, Primera Edicin, 1985 '__ j2. Meli Piralla, Roberto, DISEO ESTRUCTURAL, Editorial Limusa, Primera edicin, 1985
3. Garca Diaz, Humberto, -INFLUENCIA DE LOS ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES SOBRE 'LAS ESTRUCTURAS APORTICADAS, Revista,^Ingeniera.;Hoy, .Universidad del Cauca, TilNmeroS, Julio. 1992 , ; . . . . ,, "^(
4. Hctor Gallegos, SIMPOSIO1 INTERNACIONAL SOBRE IVJAiVPPOSJrERIA ESTRUCTURAL Y BPARQUITECTNICA, Asociacin de Ingenieros Estructurales de Antioquia, Medelln, Julio23 y 24 de 1992
1I
U
LJlIi
MIi
H-I
r ti
7.'-ANLISIS DEL SISTEMA DUAL
7.1 ASPECTOS
t Elsitm! estructural1 ideal;1 es1 "aqul-