ÁlgebraÁlgebraLenguaje Algebraico Lenguaje Algebraico operatoria algebraicaoperatoria algebraica

Lenguaje Algebraico• Es el lenguaje que utiliza letras en combinación

con números y signos.• La utilidad de álgebra se aprecia al adquirir la

capacidad de traducir enunciados entre el lenguaje habitual y el lenguaje algebraico.

• Interesa, principalmente, utilizar notación algebraica para expresar ecuaciones y fórmulas.

Expresión algebraica

Corresponde una cadena de letras, números y símbolos unidos por sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y/o potencias.

Ejemplos:

xyzxxba z

3235

5

243

−−

yx 32 + 23b−5

2 32 ba +

Traducción de expresiones de lenguaje algebraico al

lenguaje cotidiano y viceversa

Enuncie verbalmente las siguientes expresiones algebraicas

( )( )3

2

2

1

3

24

52

3

2

−

+

+

+

x

ba

xy

x

x

x

x

x “Dos unidades más que x “ o también “un número aumentado en dos unidades”

“El triple de un número”

“El doble de un número aumentado en 5 unidades”

“El cuadrado de un número”

“Un cuarto de un número” “ o también “la cuarta parte de un número”

“Dos tercios del producto de dos números”

“El cuadrado de la suma de dos números”

“El cubo de un número disminuido en una unidad”

( )

( )

22

3

))((2

2

)(

1

ba

baba

ba

ba

ba

x

−

−+

−

+−−

“La diferencia entre dos números”

“La semisuma de dos números”

“La semidiferencia de dos números”

“La suma de dos números, por su diferencia”

“La diferencia de los cuadrados de dos números”

“El cubo de un número, disminuido en una unidad”

Ejercicios

• Exprese algebraicamente:1. Un número par2. Un número impar3. Dos números consecutivos4. Dos números pares consecutivos5. Dos números impares consecutivos6. La suma de tres números impares consecutivos

LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN ALGEBRAICA

El doble de un número aumentado en 4  

Un número disminuido en 25  

El sucesor del sucesor de un número  

Tres números consecutivos a x-2  

El antecesor del antecesor de un número  

8 disminuido en el triple de un número  

Un número aumentado en el triple de un número impar

 

La quinta parte del doble de un número par disminuido en el cuadrado del mismo número

 

LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN ALGEBRAICA

El doble de un número p  

El cubo del triple de un número  

El triple del cubo de un número  

La mitad de un número, aumentado tres medios

 

Tres cuartas partes de un número  

Cuatro número pares consecutivos  

Un número disminuido en sus tres octavas partes

 

La octava parte de un número impar, disminuido en ocho

 

LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN ALGEBRAICA

 

 

 

 

 

 

 

 

13 +x

x45 +

pp 22 −

44

3 −t

x73

8 +

4−x

5

47 +y

453 +x

¡Recuerda!• Si n , p , q son números enteros, que

satisfacen n = p ·q , entonces se dice que:

• n es múltiplo de p• n es múltiplo de q• p es divisor de n• q es divisor de n

Ejemplo• 33 = 3 · 11 , entonces se puede decir

que• 33 es múltiplo de 3• 33 es múltiplo de 11• 3 es divisor de 33• 11 es divisor de 33

DefiniciónPropiedad distributiva de la adición sobre la multiplicación

• Le llamaremos así a la propiedad de los números reales que señala que, para cualquier terna de números a , b , c , se cumple siempre que :

a · ( b + c ) = a·b + a·c

Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva

Ejemplo 1

2·(3 + 5) = 2·3 + 2·5

(compruebe ud. que es cierta esta igualdad)

Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva

Ejemplo 2

-2·(3 + 5) = -2·3 -2·5

(compruebe ud. que es cierta esta igualdad)

Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva

Ejemplo 3

-2·(3 - 5) = -2·3 + 2·5

(compruebe ud. que es cierta esta igualdad)

Uso inverso de la propiedad distributiva

• Como las propiedades planteadas a través de igualdades se pueden aplicar en ambos sentidos (de derecha a izquierda y de izquierda a derecha) se puede escribir entones:a·b+ a·c = a·( b + c )A esto se le llama FACTORIZAR

LA EXPRESIÓN “a·b + a·c“ POR EL VALOR “a”

Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva EN FORMA INVERSA

(FACTORIZANDO POR UNA CANTIDAD)Ejemplo 12·3 + 2·5 = 2·(3 + 5)

Ejemplo 27·8 - 7·13 = 7·(8 - 13)

Ejemplo 3 - 9·3 - 9·12 = -9·(8 + 5)

Ejemplo 4 - 4·17 + 4·29 = -4·(17 - 29)

DefiniciónDemostración de una proposición:• Diremos que demostrar una proposición es el

proceso de probar que es verdadera considerando un conocimiento ya establecido y por lo tanto válido.

• Una demostración Matemática implica la definición de una HIPÓTESIS (conocimiento ya establecido, válido) y una TESIS o proposición que se desea probar.

Ejemplo 1 de demostración• Demuestre que la suma de tres números enteros

consecutivos cualquiera es múltiplo de 3:• Hipótesis: Sean tres números x, y , z consecutivos

cualquiera: x = n , y = n + 1 , z = n + 2• Tesis x + y + z es un número múltiplo de 3• Demostración:• Se tiene que x + y + z = n + n + 1 + n + 2,

luego x + y + z = 3n + 3• Pero 3n + 3 = 3(n + 1) = 3N (N es el número

entero n + 1),• Luego se tiene que x + y + z es un número

múltiplo de 3.

Ejemplo 2 de demostración• Demuestre que la suma de dos pares consecutivos

cualquiera es par:• Hipótesis: Sean dos números x e y pares

consecutivos: x = 2n , y = 2n + 2• Tesis: x + y es un número par• Demostración:• Se tiene que x + y = 2n + 2n + 2, luego

x + y = 4n + 2 = 2(2n+1)• Por lo tanto como 2n + 1 = N (número entero), se

tiene que 2(2n+1) = 2N , es decir un número PAR

Ejemplo 3 de demostración• Demuestre que la suma de dos pares

cualquiera es par:• Hipótesis: Sean dos números x e y pares :

x = 2n , y = 2m• Tesis: x + y es un número par• Demostración:• Se tiene que x + y = 2n + 2m, luego• x + y = 2(n + m) = 2N, por lo tanto es un

número PAR.

Ejercicios1) Demuestre que la suma de un número y su sucesor es impar2) Demuestre que el producto de un par y cualquier número es

otro número par.3) Demuestre que los múltiplos de 6 son múltiplos de 2 y de 3

también.4) Demuestre que si un número cualquiera termina en cifra par

es divisible por 2.5) Demuestre que si un número termina en cifra 0 o bien en

cifra 5 es divisible por 5.6) Demuestre que el producto de dos pares es par7) Demuestre que el producto de un par por un impar es par.

Evaluación deExpresiones Algebraicas

Definición• Evaluar una expresión algebraica

corresponde a asignar valores específicos a sus letras para determinar su valor total.

• Ejemplo: • Si x = 3 , la expresión 2x + 5 vale

11, pues 2·3 + 5 = 11

Actividades• Evaluar las siguientes expresiones si x = 1 , y = -1 , w = 0, z = 2

3 22 wx y z− − −2 4x y+

3 2x y− −

2 3x y w− −

2

2

3

2

wx y

y y

+−

4 wx y z+ +

= -2

= -1

= 4

= 4/3

= -4

= 2

Actividades• Evaluar las siguientes expresiones si a = 0,5 , b = , c = 0

Simplifique si es que fuese necesario

2a b+

3 2a b− −

25 2 3 ca b b− −

= 5/3

= -17/6

= -37/12

2

3

• ¿Cuál es el valor de x de manera que 2x + 1 = 31 ?

• Explica por qué x² + 1 es siempre un número distinto de cero, para cualquier valor de x.

• Una tabla de madera tiene 55 cms de largo y se ha cortado un trozo de x cms, ¿cuánto mide el otro trozo?

Desafíos

Identificación y Clasificación

de términos algebraicos y expresiones algebraicas

Términos algebraicos¿Qué es un término algebraico?

Corresponde una expresión algebraica donde no hay sumas ni restas. Ejemplos:

“Son los elementos básicos para formar expresiones algebraicas”.

435 bax2 23b− 5

2 32ba

yx 23− 53615 zyx zyx 734,27

3 32 yx−

Elementos de un término algebraico

• Un término algebraico tiene una parte numérica llamada factor numérico y otra parte, la de las “potencias literales” llamada factor literal.

Partes de un término algebraico

yx23−

52 73bca

Factor numérico

Factor literal

Factor numérico

“dos quintos”

Factor literal

Actividades1. Identifique el factor numérico y literal de cada término.2. Determine el grado de cada término (suma de los exponentes de

las potencias literales)

Término Factor Numérico

Factor literalGrado del Término

Algebraico

43ba

32x

23b−

324,0 ba−

73 102 yx−

5

2 32ba

2 3x

3−2b

1 43ba

4,0− 32ba

5

232ba

73− 102 yx

3

2

7

5

5

12

Definición• Un MONOMIO es un término

algebraico en que todas las potencia literales tienen exponentes positivos

• Ejemplos de MONOMIOSx2 23x−

325 cab27 3xy−

• Ejemplos de EXPRESIONES QUE NO SON MONOMIOS

32 −x4326 −zyx

4

325zyx

x1

Actividad• Invente tres monomios distintos, de

grado 4, con tres potencias literales y factores numéricos 2 , -5 , 8.2 , 7/3 cada uno .

Expresiones Algebraicas¿Qué es una expresión algebraica?

Es simplemente un conjunto de operaciones aritméticas entre términos algebraicos.

Ejemplos:

yx 32 +yxcba

yxcba

2

2352

43

34

325 −+122 +− xx

27183 2 +− xx xx 85

7 3 −92 −aax

yx

713

22

3 +−

Clasificación de expresiones algebraicas

•Existen expresiones algebraicas polinómicas, racionales, radicales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, entre otras.

•Clasificaremos solo expresiones polinómicas.

•Se dirá que una expresión algebraica es un polinomio cuando es la suma de monomios.

Ejemplos:2 2 1x x− +

3 22 3 5x y z+ − +2 3x y+

2a b−

Clasificación de un polinomio

• Un polinomio se puede clasificar de acuerdo a su grado y a la cantidad de términos que tenga.

• Según su grado: El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado.– Ejemplo el grado de es 3

• Según la cantidad de términos:– Si tiene dos términos se llama binomio, si tiene

tres se llama trinomio, si tiene cuatro se llama cuatrinomio, etc.

– El ejemplo anterior es un cuatrinomio

3 22 3 5x y z+ − +

Actividades1.Clasifique cada expresión algebraica según número de términos

(monomio, binomio, trinomio o polinomio)2.Determine el grado de cada expresión (grado del término de mayor

grado)

Expresión AlgebraicaCantidad de

términos algebraicos

ClasificaciónGrado del polinomio

2 Binomio 7

1 Monomio 8

3 Trinomio 7

3 Trinomio 2

2 Binomio 2

3 Trinomio 2

2 Binomio 3

5243 35 yxba +

cbayxba 235243 435 −+

527 yax

122 ++ xx

27183 2 +− xx

xx 85

7 3 −

10025 2 −x

Identificar y Reducir Términos Semejantes

Términos semejantes• Se dirá que dos términos son semejantes si tienen el mismo factor literal.

• Sin son semejantes se podrán SUMAR, pues representan cantidad de la misma especie o familia.

Ejemplos:

x2 x3con son semejantes

24x 27x−con son semejantes

234 cab−4

3 23cabcon son semejantes

365 xy 6345 yxcon son semejantes

53x 25xcon NO son semejantes PORQUE_____________

2324 cba4

3 23cabcon NO son semejantes PORQUE_____________

yx24− 27xycon NO son semejantes PORQUE_____________

Cada uno de estos pares Cada uno de estos pares de términos tienen distintas de términos tienen distintas

potencias literalespotencias literales

Reducción de Términos Semejantes

• Reducir términos semejantes corresponde a sumarlos para resumir la expresión original.

Ejemplo: 2x + 3x se puede reducir a 5x

Luego 2x + 3x = 5x

Reducción de Términos Semejantes

Ejemplo:

5a – b + a + 3b - 7b – 2a = 4a - 5b

Actividad

• Reduzca términos semejantes:x + 3x – 7x + 2x =

a + 2b – 3a + 5b =

2y + 3x – 5y + 6x =

Actividad

• Reduzca términos semejantes:-5x – 4x - 7x =

2x²+ y²- 5x²+ 8y² + 3x³=

3x²+ 5x³-7x²+9x²-6y²+3z²-x - 5x³=

Actividad• Reduzca términos semejantes:0,5x – 4y + 7 + 2,1x + 1,4y – 6 =

4,3x + 2,4y – 8,1 + 6,3x + 3,6y – 5x + 1,9 =

-0,7x –8y +8,9 –0,3x + 7,3y – 7,9 =

Actividad• Reduzca términos semejantes:

2 2 2 2 22 5 5 3

3 4 6 5 2

a b ab a b ab a b+ − + − =

ECUACIONESde primer grado

Objetivos

Definir qué es una ecuación de primer grado con una incógnita y como debemos resolverlas.

Ecuaciones• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones

en las que hay una o más variables desconocidas, llamadas incógnitas.

En ésta ocasión aprenderemos sólo con una incógnita.

Ejemplos:

( ) ( )

( )2

327

5

33

14325

54317

85

+=

−=−

−=−=+

xx

xx

xx

x

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

• Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita para la cual se cumple la igualdad. Estos valores se llaman SOLUCIONES de la ecuación.

Para resolver una ecuación se puede despejar la incógnita

utilizando las propiedades de igualdad

• Propiedades de la igualdad

62

33332

3/ 332

=+=+−+=−

x

x

x

3

62

12

2

12

1/ 62

=

⋅=⋅

⋅=

x

x

x- Propiedad multiplicativa: Si a ambos miembros de una igualdad se multiplican por un mismo número se mantiene la igualdad.

- Propiedad aditiva: Si a ambos miembros de una igualdad se suma un mismo número se mantiene la igualdad.

• EJEMPLO

1616

16824

16883

:igualdad la cumple se si veremosasí

original,ecuación laen 8 reemplazar basta correcta, es encontradasolución la que verificarPara

83

124

3

13

3

1 / 243

816883

)8/( 1683

:igualdad de spropiedade las usando 1683 ecuación laResolver

==−=−⋅

=

=

⋅=⋅

⋅=

+=+−+=−

=−

x

x

x

x

x

x

x

Actividad• Resuelve las siguientes ecuaciones, utilizando las

propiedades y luego verifica tus resultados.

xx

kk

jj

h

g

f

d

c

b

x

67410 )10

31272 )9

5395 )8

1313 )7

052 )6

413 )5

925 )4

0318 )3

1814 )2

265 )1

−=−−=++=−

=−=−−=+−

=−=−−=+

=+

01089126 )16

1512963q )15

24372121348 )14

11142153 )13

94351225 )12

8,222,35 )11

=++−−+=−+−+−

−−=+−−=−+−

−−=+−+=−

rrrr

qqq

pppp

ñññ

nnn

mm

Resumen

• Para resolver ecuaciones debemos utilizar las propiedades de adición y multiplicación de la igualdad.

• Si quieres comprobar el resultado debes reemplazar el valor obtenido de la incógnita en la ecuación original para así verificar que se cumpla la igualdad

ECUACIONESCON PARÉNTESIS

Ecuaciones con paréntesisPara resolver ecuaciones donde encontremos ejercicios con paréntesis, debemos utilizar la propiedaddistributiva.

P. Distributiva:

EJEMPLO:

( ) 15353353 +=⋅+⋅=+ xxx

Actividad • Utilizando la propiedad distributiva y lo estudiando en

clases anteriores, resuelve las siguientes ecuaciones.

)47(7)43(3)1(67 )9

3)32(5)2(2 )8

)1(213 )7

)53(312 )6

)61(7)2359()564( )5

)395(273)94()83( )4

)44()1(71)76()58(3 )3

)23(87)13( )2

)6(9)4(5 )1

−+=−+−−=−−+

−=−−=

−−=−+−++−−−+−−=+−−−++−−=−−+−−

−−=+−−−=−+

ccc

bb

zz

yy

xxxxxx

wwww

vvvv

ttt

sss

Ecuaciones con coeficientes fraccionarios

Para resolver ecuaciones donde exista la incógnita en el numerador, debemos:

1)Multiplicar ambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo entre los denominadores

2) Simplificar cada fracción

3) Resolver como una ecuación con paréntesis (distributiva)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

22

3922

139

22

122

22

1 / 3922

1524151522

15 / 241522

824881530

8/ 2481530

381215

4325123

205

3220

4

123

20/ 5

32

4

123

=

⋅=⋅

⋅=

+=+−+=−

−+=−−−+=−

+=−⋅+=⋅−

⋅+=⋅−

⋅+=−

x

x

x

x

x

xxxx

xxx

xx

xx

xx

xxEJEMPLO:

Actividad Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias

5

2

3

4 )5

2

18

105

7 )4

496

7

2

5 )3

12

5

427 )2

9

1

53

5 )1

=−

=−

=−+

=−

−=+

x

x

x

x

x

12

1

3

14

6

15

4

32)1(3 )10

146

15

5

16)9

4

105

8

32

6

1 )8

73

411 )7

4

7

2

5

4

3 )6

++−=+−−−

−=−−−

+=−−−−

=+

=−

xxx

x

xxx

xxx

xx

xxx