Post on 10-May-2020
5,1 El modelo matemático de transporte de soluto:
Las distintas ecuaciones diferenciales parciales anteriores rigen y describen el transporte y
transformaciones de soluto. Hay un número infinito de soluciones posibles para cualquier
ecuación diferencial parcial.
(1) las condiciones iniciales que especifican el estado inicial de soluto en el sistema
(2) las condiciones de frontera que controlan el modo en el área en cuestión.
5.1.1 Administración ecuaciones
De la ecuación diferencial parcial que rige el transporte tridimensional con un solo
constituyente químico de las aguas subterráneas, teniendo en cuenta la advección,
dispersión: dispersión:
El factor de retardo se define como:
Concentración disuelta
Concentración sorbida , una función de la concentración
disuelta C, tal como se define por una isoterma de sorción
Velocidad de Darcy
Tensor, coeficiente de dispersión
Tasa de flujo (fuentes o sumideros) por unidad de volumen
Concentración del líquido (de la fuente o sumidero) de flujo
Constante de velocidad de reacción de la fase disuelta
Velocidad de reacción constante de la fase sorbida
Porosidad (sin dimensiones)
La densidad aparente del medio porosoLa densidad aparente del medio poroso
Si el equilibrio local no se puede suponer para el proceso de absorción, la ecuación (5.1)
puede ser sustituida por dos ecuaciones simultáneas: una para la fase disuelta y la otra
para la fase sorbida:
Fase disuelta
Fase sorbida
Coeficiente
1er.
Orden fase
disuelta/fase
sorbida
Coef. distribucion fase sorbida
Estas ecuación son las que rigen la mayoría de los modelos de transporte de solutos en el uso.
En las ecuaciones (5.1) y (5.2), se supone que los efectos elásticos de almacenamiento
transitorio en virtud de las condiciones son tan insignificantes que la porosidad puede
considerarse independiente del tiempo.
Las ecuaciones que rigen el transporte están vinculados a la ecuación que rige el flujo a través
de la Ley de Darcy:
Donde h es la cabeza hidráulica, que se obtiene a partir de la solución de la ecuación que rige
para tres dimensiones el flujo de las aguas subterráneas totalmente saturadas:para tres dimensiones el flujo de las aguas subterráneas totalmente saturadas:
Tensor de la
Conductividad
hidráulica
Valor especifico
De almacenamiento
En medio poroso
En el caso general, el tensor de la conductividad hidráulica realmente tiene nueve
componentes. (Kxx, Kyy, Kzz) o simplemente (Kx, Ky, Kz), o los términos cruz
(Kxy, Kxz, Kyx, Kyz, Kzx, Kzy) pasan a ser cero.
Suponiendo que los cambios en la concentración de soluto dado por la solución de la
ecuación de transporte tiene una variación insignificante en la densidad del agua, la
ecuación de caudal y transporte de soluto se puede resolver independientemente como
en la ecuación (5.4),
Si el movimiento de soluto predicho por la ecuación de transporte causa cambio
significativo en la densidad del agua, las corrientes y el transporte de las ecuaciones
debe ser resuelto como en el Capítulo 15.
La ecuación de caudal, que a menudo se expresa en términos de presión, se resuelve
primero por pasos de tiempo, la utilización de una supuesta distribución de la densidad
para el final de ese paso.
Las velocidades son calculadas y usadas en la ecuación de transporte para obtener una
primera aproximación a la concentración de soluto al final del primer paso de tiempo.
Estas concentraciones de soluto se utilizan para desarrollar una versión actualizada de
la densidad del agua sobre el terreno, que a su vez se utiliza como insumo en la nueva
solución de la ecuación de caudal para el primer paso. Este proceso es seguido
iterativamente hasta una presión final de distribución y concentración de la distribución
se obtienen para el final del primer paso de tiempo. El procedimiento se repite en el
segundo tiempo y posteriores pasos. Este enfoque de "unidades" requiere mucho más
esfuerzo computacional que el enfoque disociado, pero es necesario para la solución de
los problemas de transporte de fluidos en el que la densidad varía en respuesta al los problemas de transporte de fluidos en el que la densidad varía en respuesta al
transporte de soluto.
En un problema en el que el soluto de interés está presente en concentraciones baja, al igual que
en muchas situaciones que afecta el materia de contaminación por productos químicos orgánicos,
la densidad puede ser generalmente considerada constante y el flujo de transporte y ecuaciones
se pueden resolverse independientemente. Por otro lado, cuando el problema implica movimiento
de agua salina (por ejemplo, en un acuífero costero), variaciones significativas en la densidad
puede ocurrir, por lo que la corriente y el transporte junto con eficacia ecuaciones son y deben ser
solucionados conjuntamente.
5.1.2 Condiciones iniciales Condiciones iniciales son una parte integral del modelo matemático que describe el cambio transitorio de la concentración de soluto en el agua subterránea, y debe ser especificado antes de la solución del modelo matemático puede ser intentado. La condición inicial en forma general puede escribirse como
Cuando C° (x, y, z) indica una concentración conocida de distribución y Ω denota todo el dominio de interés, Un caso especial de la ecuación (5.5) (fig. 5.1 (a)) es
Donde la concentración inicial en el campo de interés es cero en todas partes, como se muestra en la Fig. 5.2 (b). Muchos de los problemas de transporte tiene como objetivo evaluar el impacto de posibles fuentes contaminantes tienen este tipo de condición inicial
5.1.3 Condiciones de frontera
La solución del modelo matemático también requiere condiciones de frontera. En general, hay
tres tipos de condición de frontera en los modelos de transporte:
(1) Las concentraciones se especifican a lo largo de una frontera, llamada la condición de
Dirichlet, Dirichlet,
(2) Se especifican los gradientes de concentración a través de una frontera, llamada la condición
de Neumann, y
(3) las dos concentraciones a lo largo de una frontera y la concentración de gradientes a través
de esa frontera se especifican, rindiendo una combinación de (2), llamada la condición de
Cauchy.
Para la condición de frontera Dirichlet, la concentración se especifica a lo largo de la frontera
por un período de tiempo especificado;
Donde Г1 indica que se han especificado los límites de concentración y C(x, y, z) es la
concentración a lo largo de determinado Г1. Las diferentes distribuciones en diferentes
períodos de tiempo se puede especificar con C(x, y, z) a fin de incorporar variables en el
tiempo las condiciones de frontera.
En el flujo de modelado, una frontera de Dirichlet es un límite especifico;
Del mismo modo, un determinado límite de concentración en un modelo de transporte
actúa como una fuente o suministro de masa de soluto, o como un sumidero de la
eliminación en masa de soluto del dominio.
El flujo dispersivo de un determinado límite de concentración ocurre en respuesta a la
diferencia de concentración entre la frontera y el interior de los puntos adyacentes, y es
directamente análoga a la del flujo de agua de un determinado límite de cabeza en la
simulación de la corriente. Por otra parte, sin embargo, un flujo advectivo puede ocurrir
de un determinado límite de la concentración, distinto de cero si la velocidad se calcula
en el flujo de esa frontera en la simulación.
De la condición de frontera Neumann, el gradiente de concentración es normal a la
frontera, lo que implica que el flujo dispersivo a través de esa frontera se especifica:
Flujo dispersivo normal a la frontera
De nuevo, las diferentes distribuciones en diferentes período de tiempo se puede
especificar con fi (x, y, z) a fin de incorporar variables en el tiempo dispersivo y flujos a
través de la frontera. Un caso especial de las condiciones en flujo dispersivo específico
a lo largo de una frontera impermeable donde fi (x, y, z) = 0. Cuando el modelado de
transporte se dirige a la zona saturada como en muchas aplicaciones de campo, el flujo
dispersivo a través de la tabla de agua puede tomarse como cero.
Cauchy para la condición de frontera, tanto para la concentración a lo largo de la
frontera y para el gradiente de concentración a través de la frontera son especificados,
implica los flujos dispersivos y advectivos a través de la frontera son especificados:
Diferentes distribuciones en diferentes períodos de tiempo también se puede especificar
Flujo total (dis-adv) normal a la frontera
Diferentes distribuciones en diferentes períodos de tiempo también se puede especificar
como gi (x, y, z) a fin de incorporar variables en el tiempo total de los flujos a través de
la frontera. Fronteras impermeables tanto para el flujo dispersivo y advectivo son
iguales a cero gi (x, y, z) = 0. En la entrada o salida de las fronteras, si se puede
suponer que el flujo advectivo domina en comparación con el flujo dispersivo, la
ecuación (5.9) puede ser simplificada como
Las condiciones límite que se expresa en la ecuación (5.10) pueden ser manejados de
la misma manera como termino interno de sumidero/ fuente en la solución de la
ecuación que rige el transporte.
Un ejemplo hipotético que ilustra los tres tipos de condición de frontera se presenta en el gráfico. 5,3, que
muestra una acuífero que pueden ser tratados en dos dimensiones en el plano. A la izquierda la frontera
de la corriente de dominio, un río penetra totalmente y se supone que tienen una concentración constante
Co, y representan la frontera Dirichlet. El borde superior es una frontera impermeable en la que ambos
flujos advectivo dispersivo son cero. Por lo tanto, el borde superior puede ser considerado ya sea una
frontera dispersiva deNeumann donde el flujo fy (x, y) = 0 o una frontera de Cauchy donde el flujo total gy
(x, y) = 0. La frontera es una frontera de Cauchy donde el flujo advectivo y el dispersivo deben ser
especificados. La Velocidad de la corriente en este problema se dirige de manera uniforme en la
dirección x, por lo tanto, debido a que la velocidad es paralela a la frontera inferior, el flujo advectivo es
cero. Sin embargo, se supone que los gradientes de concentración en la dirección y existen en toda la
frontera menor; se desprende que la frontera es una frontera de Neumann menor.
5.1.4 Solución del modelo matemático
El modelo matemático de transporte de soluto, expresada en término de las ecuaciones que rigen, las condiciones iniciales, y las
condiciones de frontera, junto con la aplicación de parámetros de flujo y transporte, y la información sobre las fuentes y sumideros,
hay que resolver para obtener la concentración de la distribución en la región y duración De interés. El proceso de fromulación y de
la solución de un modelo matemático que se conoce como el modelado matemático. Los métodos para la obtención de la solución
de un modelo matemático se puede dividir en dos clases, analíticos y numéricos, a pesar de un híbrido de estas dos clases no es
poco común. Métodos de análisis de rendimiento exacto de las soluciones a las que rigen ecuaciones diferenciales, métodos
numéricos aproximación de las ecuaciones diferenciales con un conjunto de ecuaciones algebraicas.
En general, soluciones analíticas sólo puede obtenerse en virtud de la simplificación de muchos supuestos, tales como un campo de
velocidades unidireccional, de un conjunto de propiedades de transporte uniforme, una simple corriente de dominio de la geometría,
y un simple patrón de los sumideros y fuentes de distribución. Por estas razones, soluciones numéricas, que son capaces de
aproximar más las condiciones generales, son más ampliamente utilizados en aplicaciones de campo. El centro de atención de este
texto es de las soluciones numéricas de soluto problemas de transporte, o de modelado numérico.
5,2 sección proporciona un ejemplo de una solución analítica soluto a un problema de transporte. En los capítulos 6 al 8, se discuten
diversos métodos numéricos y códigos informáticos existentes para la solución de los problemas de transporte de solutos. La
aplicación de modelos de transporte a la solución de problemas sobre el terreno se aborda en los capítulos 9-14, con ejemplos
adicionales previstas en el capítulo 15-17.
5,2 soluciones analíticas 5,2 soluciones analíticas
Soluciones analíticas son expresiones matemáticas que rigen satisfacer exactamente la ecuación, las condiciones iniciales y
condiciones de frontera para un problema particular. Aunque las soluciones analíticas se puede obtener sólo bajo supuestos
restrictivos, la simplicidad de soluciones de análisis los hace valiosos como herramientas. Además, las soluciones analíticas son los
principales medios para el ensayo y la evaluación comparativa de los códigos numéricos.
Una gran colección de soluciones analíticas para el transporte de soluto están disponibles en la literatura con inclusión de diversos
autores. La mayoría de estas soluciones son acompañadas de breves programas de ordenador a través de los cuales se ejecutan.
Como ejemplo, consideremos el transporte tridimensional con un "parche" de la fuente en un flujo unidireccional de campo (fig. 5.4).
Suponiendo que el eje x se ajusta a la velocidad unidireccional vector (v) y que sólo se considera la sorción lineal, la ecuación que
rige el transporte (5.1) se puede simplificar como
5,2.- soluciones analíticas
Donde R es la constante factor de retardo y los componentes de la constante
coeficiente de dispersión se dan por
Donde αLv, αTHv, αTVv se definen de las ecuaciones (3.37) - (3.42). La coincidencia
del eje x con la velocidad de la corriente implica que todos los términos del tensor del eje x con la velocidad de la corriente implica que todos los términos del tensor
producto cruz de dispersión son cero. Dividiendo ambos lados de las ecuaciones
(5.11) por el factor de retardo y de la definición de
La ecuación será la que rige
De la siguiente condición inicial
Y condiciones de frontera (ver fig. 5.4)
Y la solución analítica de este problema derivado por Neville (1994) es
el siguiente:
Donde B es el nuevo espesor del acuífero, y Co (t) es el flujo de
concentración límite a la izquierda (x = 0) en el parche de-y0 a y0 y z1 a
z2 (ver fig. 5.4). Cuando el flujo general de la concentración Co (t)
puede representarse como un conjunto de pasos discretos NP, con
∆Ci que representa la diferencia entre las concentraciones en el ith y
el (i-1)th pasos (ver fig. 5.5), la analítica Solución se convierte en
La configuración del parche definido de la zona de la fuente puede especificarse
de tal manera que la solución analítica dada en las ecuaciones (5.15) y (5.16)
calcula transporte en dos dimensiones y una de las dimensiones así como:
1 .- Por dos dimensiones de áreas de transporte. El parche se especifica durante
todo el espesor del acuífero, mediante el establecimiento de
2 .- para dos dimensiones transversales de transporte, un gran parche se
especifica:
3 .- para una dimensión en el transporte, el parche se especifica muy amplio que se
extiende a lo largo de todo el espesor del acuífero:
Para estos casos, la solución analítica dada en la ecuación (5.16) o (5.16) reduce automáticamente a las formas dadas por otros autores de uno o de dos dimensiones de transporte en un campo de velocidad uniforme en constante variables en el tiempo o la afluencia concentraciones
Para los parámetros de transporte enumerados en el cuadro 5,1, la ecuación (5.16) se
utilizó para calcular las curvas de avance en un punto de observación, los resultados se
muestran en el gráfico. 5,6, de una, dos y tres dimensiones, respectivamente. La
observación tiene el mismo punto y y z las coordenadas en el centro de la fuente, pero
está a 10 metros de distancia de ella a lo largo de la dirección x. Tridimensionales para
el transporte de la fuente se define un parche de 0,5 m de altura por 2 m de ancho. Con
el centro correspondiente a la mitad del acuífero. En dos dimensiones para el
transporte, la ruta de la fuente es de la misma anchura, pero es igual en el acuífero a la
altura de espesor. En una dimensión de transporte, la fuente de parches, tienen un
ancho que puede considerarse infinito, para efectos prácticos. La Fig. 5.6 demuestra
que se pueden producir errores significativos si un problema tridimensional i se
aproxima indebidamente a uno de dos dimensiones o una dimensión.