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Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1
LA DERIVADA
UNIDAD III III.1 INCREMENTOS Se define como incremento de la variable x al aumento o disminución que experimenta, desde un valor
1x a otro 2x , en su campo de variación. Se denota por x∆ . Por tanto:
12 xxx −=∆
x1 x2
∆∆∆∆x = x2 - x1
x
y
De forma análoga, el incremento de la variable y es el aumento o disminución que experimenta, desde
un valor 1y a otro 2y , en su campo de variación. Se denota por y∆ , esto es:
12 yyy −=∆
∆∆∆∆y = y2 - y1
x
y
y1 = f(x 1)
y2 = f(x 2)
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Por definición, los incrementos pueden ser: 0>∆ si el valor final es mayor que el inicial 0<∆ si el valor final es menor que el inicial 0=∆ si el valor final es igual que el inicial
Ejemplos.
1) Sea 34 2 −= xy , obtener x∆ y y∆ si x pasa de 2 a 5.2 Solución:
5.2,2 21 == xx
5.025.2 =−=∆x
( ) ( ) ( ) 133163242 211 =−=−=== fxfy
( ) ( ) ( ) 2232535.245.2 222 =−=−=== fxfy
12 yyy −=∆
91322 =−=∆y
2) Sea 1026 3 −−= xxy , obtener x∆ y y∆ si x pasa de 3 a 02.3 Solución:
02.3,3 21 == xx
02.0304.3 =−=∆x
( ) ( ) ( ) ( ) 1461061621032363 311 =−−=−−=== fxfy
( ) ( ) ( ) ( ) 2216.1491004.62616.1651002.3202.3602.3 322 =−−=−−=== fxfy
12 yyy −=∆
2216.31462216.149 =−=∆y
Como puede observarse, 2y es el valor final de la variable dependiente cuando a x se le asigna el valor
2x . De la misma forma, 1y es el valor inicial de la variable dependiente cuando a x se le asigna el valor
inicial 1x . Esto es:
( )11 xfy =
( )22 xfy =
Ahora, de 12 xxx −=∆ , se despeja 2x :
xxx ∆+= 12
por lo que 2y es:
( ) ( )xxfxf ∆+= 12
por lo tanto, sustituyendo en 12 yyy −=∆ :
( ) ( )11 xfxxfy −∆+=∆
Esto significa que al darle un incremento a x en el punto 1x le corresponde a y un incremento:
( ) ( )11 xfxxfy −∆+=∆ . Ahora, si a la expresión anterior se divide por x∆ :
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3
( ) ( )x
xfxxf
x
y
∆−∆+=
∆∆ 11
se obtiene el cociente de incrementos. III.2 DEFINICIÓN DE DERIVADA
Se define como derivada de una función ( )xfy = con respecto a x en un punto 1x , al límite, si existe,
del cociente de incrementos x
y
∆∆
cuando x∆ tiende a cero.
Esto significa que la derivada es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente, entre el incremento de la variable independiente, cuando éste tiende a cero, y se denota por:
( ) ( ) ( )x
xfxxfxf
x ∆−∆+=
→∆
11
01 lim'
Las notaciones más comunes de la derivada de la función ( )xfy = con respecto a x son:
'y ó ( )xf ' Notación de Lagrange
dx
dy ó
( )dx
xdf Notación de Leibniz
yDx ó ( )xfDx Notación de Cauchy •y ó ( )
•xf Notación de Newton
La más usada es la notación de Leibniz1. Las distintas partes de estas expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente. Las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números ""dy y ""dx '. Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el
límite de los cocientes ( ) ( )
x
xfxxf
∆−∆+ 11 , sino como el “valor” de este cociente cuando x∆ es un
número infinitamente pequeño. Esta cantidad “infinitamente pequeña” fue designada por dx y la
correspondiente diferencia “infinitamente pequeña” ( ) ( )xfxxf −∆+ por ( )xdf . III.3 MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS Para hallar la derivada de una función se sigue un procedimiento conocido como método de los cuatro pasos que consiste en:
1. A la función en x se le incrementa en x∆ : ( )xxf ∆+
2. A lo obtenido, se le resta la función original, es decir ( ) ( )xfxxf −∆+
1 Leibniz es generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal (junto con Newton).
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3. Se divide todo por x∆ : ( ) ( )
x
xfxxf
∆−∆+
4. Se toma el límite cuando x∆ tiende a cero: ( ) ( )
x
xfxxfx ∆
−∆+→∆ 0
lim , y si existe este límite, es su derivada.
Ejemplos. Aplicando el método de los cuatro pasos, obtener la derivada de las siguientes funciones. 1) 35 −= xy Solución:
( ) 35 −= xxf
1er paso: ( ) ( ) 35 −∆+=∆+ xxxxf
2º paso: ( ) ( ) ( ) ( )3535 −−−∆+=−∆+ xxxxfxxf
xxxx ∆=+−−∆+= 535355
3er paso:( ) ( )
55 =∆∆=
∆−∆+
x
x
x
xfxxf
4º paso: ( ) ( )
55limlim00
==∆
−∆+→∆→∆ xx x
xfxxf
( ) 5' ==∴dx
dyxf
2) 674 2 +−= xxy Solución:
( ) 674 2 +−= xxxf
1er paso: ( ) ( ) ( ) 674 2 +∆+−∆+=∆+ xxxxxxf
( )( ) ( ) 67748467724 2222 +∆−−∆+∆+=+∆−−∆+∆+= xxxxxxxxxxxx
2º paso: ( ) ( ) ( ) ( )674677484 222 +−−+∆−−∆+∆+=−∆+ xxxxxxxxxfxxf
( ) 674677484 222 −+−+∆−−∆+∆+= xxxxxxxx
( ) xxxx ∆−∆+∆= 748 2
3er paso:( ) ( ) ( )
748748 2
−∆+=∆
∆−∆+∆=∆
−∆+xx
x
xxxx
x
xfxxf
4º paso: ( ) ( ) ( ) 78748limlim
00−=−∆+=
∆−∆+
→∆→∆xxx
x
xfxxfxx
( ) 78' −==∴ xdx
dyxf
3) 1152 3 −−= xxy Solución:
( ) 1152 3 −−= xxxf
1er paso: ( ) ( ) ( ) 1152 3 −∆+−∆+=∆+ xxxxxxf
( ) ( )( ) ( ) ( ) 115526621155332 32233223 −∆−−∆+∆+∆+=−∆−−∆+∆+∆+= xxxxxxxxxxxxxxxx
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2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )115211552662 33223 −−−−∆−−∆+∆+∆+=−∆+ xxxxxxxxxxxfxxf
( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxxxxxxxxxxxx ∆−∆+∆+∆=++−−∆−−∆+∆+∆+= 5266115211552662 32233223
3er paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5266
5266 22322
−∆+∆+=∆
∆−∆+∆+∆=∆
−∆+xxxx
x
xxxxxx
x
xfxxf
4º paso: ( ) ( ) ( )( ) 565266limlim 222
00−=−∆+∆+=
∆−∆+
→∆→∆xxxxx
x
xfxxfxx
( ) 56' 2 −==∴ xdx
dyxf
4) 2
7
xy =
Solución:
( )2
7
xxf =
1er paso: ( ) ( )2
7
xxxxf
∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( ) 22
77
xxxxfxxf −
∆+=−∆+ , simplificando las fracciones:
( )
( )( )( )
( )( )
( ) 22
222
22
222
22
22 7147727777
xxx
xxxxx
xxx
xxxxx
xxx
xxx
∆+∆−∆−−=
∆+∆+∆+−=
∆+∆+−=
( )
( ) 22
2714
xxx
xxx
∆+∆−∆−=
3er paso: ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) 2222
222
2
714714
714
xxx
xx
xxxx
xxx
x
xxx
xxx
x
xfxxf
∆+∆−−=
∆∆+∆−∆−=
∆∆+
∆−∆−
=∆
−∆+
4º paso: ( ) ( )
( ) 34222200
141414714limlim
xx
x
xx
x
xxx
xx
x
xfxxfxx
−=−=−=∆+
∆−−=∆
−∆+→∆→∆
( )3
14'
xdx
dyxf −==∴
5) xy 3= Solución:
( ) xxf 3=
1er paso: ( ) ( )xxxxf ∆+=∆+ 3
2º paso: ( ) ( ) ( ) xxxxfxxf 33 −∆+=−∆+
multiplicando arriba y abajo por el conjugado del binomio, se tiene:
( )xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
333
3
333
333
333
333333
+∆+∆=
+∆+−∆+=
+∆++∆+⋅−∆+=
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3er paso: ( ) ( )
( ) xxxxxxx
x
xxxx
x
x
xfxxf
333
3
333
3333
3
+∆+=
∆+∆+∆=
∆+∆+
∆
=∆
−∆+
4º paso: ( ) ( )
xxxxxxx
xfxxfxx 32
3
33
3
333
3limlim
00=
+=
+∆+=
∆−∆+
→∆→∆
( )xdx
dyxf
32
3' ==∴
III.4 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Sea una función ( )xfy = . Si se toma un punto cualquiera ( )yxP , y se efectúa un incremento
cualquiera 1x∆ se obtiene su respectivo incremento 1y∆ en el punto ( )yyxxQ ∆+∆+ ,1 . La razón 1
1
x
y
∆∆
representa la pendiente del segmento 1PQ . Ahora, si P permanece fijo y x∆ es cada vez más pequeño, lo que sucede es que el punto Q se mueve
sobre la curva acercándose a P . Cada vez que disminuye x∆ , la recta 1PQ gira en torno a P hasta
que llega a su posición límite que es la tangente a la curva en el punto P . Por lo tanto el ( ) ( )
x
xfxxfx ∆
−∆+→∆ 0
lim es la pendiente de la tangente a la curva ( )xfy = en el punto P .
y
x
P(x,y)
∆∆∆∆x5
y = f(x)
∆∆∆∆y2
∆∆∆∆y3
∆∆∆∆y4∆∆∆∆y5
∆∆∆∆y1
∆∆∆∆x4
∆∆∆∆x3
∆∆∆∆x2
∆∆∆∆x1
0 ←←←← ∆∆∆∆x
Q1(x+∆∆∆∆x,y+ ∆∆∆∆y)
Recta tangente
Q4
Q5
Q3
Q2
La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente en el punto ( )yxP , .
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III.5 DERIVABILIDAD DE FUNCIONES
Una función ( )xf es derivable en el punto 1x si ( )af ' existe. Por su parte, una función es derivable en
un intervalo abierto ( )ba, si es derivable en cualquier punto del intervalo.
Es importante resaltar que: si ( )xf es derivable en un punto 1x , entonces ( )xf es continua en 1x , sin embargo, el caso inverso, no necesariamente es cierto porque hay funciones que son continuas pero no son derivables. En general, si la gráfica de una función presenta cualquiera de los siguientes tres casos, entonces una función no es derivable. 1. Si posee “picos” ya que la función no posee tangente en esos puntos y no es derivable allí debido a
que al calcular ( )1' xf se encuentra que los límites laterales son diferentes.
x1x
y
Un “pico”
2. Si una función ( )xf no es continua en 1x entonces no es derivable en ese punto, por lo tanto, en
cualquier discontinuidad, la función deja de ser derivable.
x1x
y
Discontinuidad
3. Si la curva tiene una recta tangente vertical cuando 1xx = . Esto es: ( )xf es continua en 1x y
( ) ∞=→ 1'lim
1
xfxx
, lo que significa que las tangentes se vuelven cada vez más pronunciadas.
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x1
x
y
Tangente vertical
A pesar de que la gráfica tome la apariencia de una recta, mientras no presente un cambio brusco en forma de esquina, entonces la función es derivable. Las siguientes gráficas muestran esto en un punto
1xx = :
x1
x
y
f(x) es derivable en x = x 1
x1
x
y
f(x) no es derivable en x = x 1
Ejemplo.
Determinar los puntos en que la función ( ) xxf = es derivable.
Solución: Como el valor absoluto de x presenta tres posibles valores, se analiza por separado:
• Si 0>x , se tiene: ( ) 11limlimlimlim'0000
==∆∆=
∆−∆+=
∆−∆+
=→∆→∆→∆→∆ xxx x
x
x
xxx
x
xxxxf
Por tanto, la función es derivable para 0>x . • Si 0<x , se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) 11limlimlimlim'0000
−=−=∆∆−=
∆−−∆+−=
∆−∆+
=→∆→∆→∆→∆ xxx x
x
x
xxx
x
xxxxf
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Por tanto, la función es derivable para 0<x . • Si 0=x , se tiene:
( )x
xxf
x ∆−∆+
=→∆
00lim'
0 (si existe)
Se comparan los límites laterales por separado:
11limlimlim00
lim0000
==∆∆=
∆∆
=∆
−∆+++++ →∆→∆→∆→∆ xxxx x
x
x
x
x
x
( ) 11limlimlim00
lim0000
−=−=∆∆−=
∆∆
=∆
−∆+−−−− →∆→∆→∆→∆ xxxx x
x
x
x
x
x
Puesto que ( ) ( )0lim0lim00
ffxx −+ →∆→∆
≠ , no existe ( )0'f . Por lo tanto ( )xf es derivable para toda x
excepto en 0=x . En la gráfica siguiente se aprecia como la función no posee tangente en 0=x .
0 x
y
y = f(x) = x
2 4-2-4
2
4
III.6 FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
Sean las funciones ( )ufy = y ( )xgu = , tal que se forme una composición de funciones que cumpla
con: ( )( )xgfy = .
La derivada dx
dy de la función compuesta se obtiene por medio de:
dx
du
du
dy
dx
dy ⋅=
Expresión conocida también como la regla de la cadena. La regla de la cadena es muy útil en cambios de variable a fin de simplificar la derivación de funciones: a una parte de la función se le denota como u , se deriva la función respecto a esta variable, se le
multiplica por dx
du y finalmente se sustituye u por la parte correspondiente de la función original en x .
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Sean wvu ,, tres funciones de x , es decir, ( ) ( ) ( )xfwxfvxfu === ,, y c una constante. Las once primeras formulas básicas de derivación, considerando la regla de la cadena, son:
1) ( ) 0=cdx
d
Demostración: ( ) cxf =
1er paso: ( ) cxxf =∆+
2º paso: ( ) ( ) 0=−=−∆+ ccxfxxf
3er paso: ( ) ( )
00 =
∆=
∆−∆+
xx
xfxxf
4º paso: ( ) ( )
00limlim00
==∆
−∆+→∆→∆ xx x
xfxxf
( ) ( ) 0' ==∴ cdx
dxf
La derivada de una constante siempre es cero.
2) ( ) 1=xdx
d
Demostración:
( ) xxf =
1er paso: ( ) xxxxf ∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( ) xxxxxxxxfxxf ∆=−∆+=−∆+=−∆+
3er paso: ( ) ( )
1=∆∆=
∆−∆+
x
x
x
xfxxf
4º paso: ( ) ( ) ( ) 11limlim
00==
∆−∆+
→∆→∆ xx x
xfxxf
( ) ( ) 1' ==∴ xdx
dxf
La derivada de x , respecto a si misma, es uno.
3) ( ) cxcdx
d =⋅
Demostración: ( ) xcxf ⋅=
1er paso: ( ) ( )xxcxxf ∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( ) xccxxccxcxxxcxfxxf ∆=−∆+=−∆+=−∆+
3er paso: ( ) ( )
cx
xc
x
xfxxf =∆∆=
∆−∆+
4º paso: ( ) ( ) ( ) cc
x
xfxxfxx
==∆
−∆+→∆→∆ 00
limlim
( ) ( ) cxcdx
dxf =⋅=∴ '
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La derivada de una función por una constante es igual a la constante.
4) ( )dx
dw
dx
dv
dx
duwvu
dx
d ++=++
Demostración: ( ) wvuxf ++=
1er paso: ( ) ( ) ( ) ( )xxwxxvxxuxxf ∆++∆++∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xwxvxuxxwxxvxxuxfxxf −−−∆++∆++∆+=−∆+
3er paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xwxxwxvxxvxuxxu
x
xfxxf
∆−∆++−∆++−∆+=
∆−∆+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xwxxw
x
xvxxv
x
xuxxu
∆−∆++
∆−∆++
∆−∆+=
4º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xwxxw
x
xvxxv
x
xuxxu
x
xfxxfxxxx ∆
−∆++∆
−∆++∆
−∆+=∆
−∆+→∆→∆→∆→∆ 0000
limlimlimlim
( ) ( )dx
dw
dx
dv
dx
duwvu
dx
dwvuf ++=++=++∴ '
La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de esas funciones.
5) ( )dx
duv
dx
dvuvu
dx
d ⋅+⋅=⋅
Demostración: ( ) vuxf ⋅=
1er paso: ( ) ( ) ( )xxvxxuxxf ∆+⋅∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxxvxxuxfxxf ⋅−∆+⋅∆+=−∆+
3er paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xvxuxxvxxu
x
xfxxf
∆⋅−∆+⋅∆+=
∆−∆+
restando y sumando: ( ) ( )xxuxv ∆+⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
xvxuxxuxvxxuxvxxvxxu
x
xfxxf
∆⋅−∆+⋅+∆+⋅−∆+⋅∆+=
∆−∆+
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
x
xuxxuxvxvxxvxxu
∆−∆++−∆+∆+=
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
x
xuxxuxv
x
xvxxvxxu
∆−∆++
∆−∆+∆+=
4º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
x
xuxxuxv
x
xvxxvxxu
x
xfxxfoxxx ∆
−∆++∆
−∆+∆+=∆
−∆+→∆→∆→∆
limlimlim00
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
xuxxuxv
x
xvxxvxxu
oxxxx ∆−∆+⋅+
∆−∆+⋅∆+=
→∆→∆→∆→∆limlimlimlim
000
( ) ( )dx
duv
dx
dvuvu
dx
dvuf ⋅+⋅=⋅=⋅∴ '
La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función multiplicada por la derivada de la segunda, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera.
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6) ( )dx
duwv
dx
dvwu
dx
dwvuwvu
dx
d ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅
Demostración:
( ) ( ) ( ) ( )xwxvxuxf ⋅⋅=
1er paso: ( ) ( ) ( ) ( )xxwxxvxxuxxf ∆+⋅∆+⋅∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xwxvxuxxwxxvxxuxfxxf ⋅⋅−∆+⋅∆+⋅∆+=−∆+
3er paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xwxvxuxxwxxvxxu
x
xfxxf
∆⋅⋅−∆+⋅∆+⋅∆+=
∆−∆+
restando y sumando: ( ) ( ) ( )xwxxvxxu ⋅∆+⋅∆+ y ( ) ( ) ( )xwxvxxu ⋅⋅∆+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
xwxxvxxuxxwxxvxxu
x
xfxxf
∆⋅∆+⋅∆+−∆+⋅∆+⋅∆+=
∆−∆+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xwxvxxuxwxxvxxu
∆⋅⋅∆+−⋅∆+⋅∆++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xwxvxuxwxvxxu
∆⋅⋅−⋅⋅∆++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xvxxvxwxxu
x
xwxxwxxvxxu
x
xfxxf
∆−∆+⋅⋅∆++
∆−∆+⋅∆+⋅∆+=
∆−∆+
( ) ( ) ( ) ( )x
xuxxuxwxv
∆−∆+⋅⋅+
4º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xwxxwxxvxxu
x
xfxxfxxx ∆
−∆+⋅∆+⋅∆+=∆
−∆+→∆→∆→∆ 000
limlimlim
( ) ( ) ( ) ( )x
xvxxvxwxxu
xx ∆−∆+⋅⋅∆++
→∆→∆ 00limlim
( ) ( ) ( ) ( )x
xuxxuxwxv
oxx ∆−∆+⋅⋅+
→∆→∆limlim
0
( ) ( )dx
duwv
dx
dvwu
dx
dwvuwvu
dx
dvuf ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅∴ '
La derivada de un producto de tres funciones es igual al producto de la primera y la segunda funciones por la derivada de la tercera, más el producto de la primera y la tercera funciones por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda y la tercera funciones por la derivada de la primera.
7) 01 ≠=
ccc
x
dx
d
Demostración:
( )c
xxf =
1er paso: ( ) ( )c
xxxxf
∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( )c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
xxxfxxf
∆=−∆+=−∆+=−∆+
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3er paso: ( ) ( )
cxc
x
x
xfxxf 1=∆
∆
=∆
−∆+
4º paso: ( ) ( )
ccx
xfxxfxx
11limlim
00=
=∆
−∆+→∆→∆
( ) 01
' ≠=
=∴ ccc
x
dx
dxf
La derivada del cociente de la función identidad sobre una constante es igual al inverso multiplicativo de la constante.
8) 2
1
x
c
xdx
dc
x
c
dx
d −=
⋅=
Demostración:
( )x
cxf =
1er paso: ( )xx
cxxf
∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xxx
xc
xxx
xccxcx
xxx
xxccx
x
c
xx
cxfxxf
∆+∆−=
∆+∆−−=
∆+∆+−=−
∆+=−∆+
3er paso: ( ) ( ) ( )
( ) ( )xxx
c
xxxx
xc
xxxx
xc
x
xfxxf
∆+−=
∆∆+∆−=
∆∆+
∆−=
∆−∆+
4º paso: ( ) ( )
( ) 200limlim
x
c
xxx
c
x
xfxxfxx
−=
∆+−=
∆−∆+
→∆→∆
( )2
'x
c
x
c
dx
dxf −=
=∴
La derivada del cociente de una constante sobre la función identidad es igual a la constante dividida por el cuadrado de la función afectado todo por un signo negativo.
9) 0,2
≠⋅−⋅
=
v
vdx
dvu
dx
duv
v
u
dx
d
Demostración:
( ) ( )( )xv
xuxf =
1er paso: ( ) ( )( )xxv
xxuxxf
∆+∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xvxxv
xxvxuxvxxu
xv
xu
xxv
xxuxfxxf
⋅∆+∆+⋅−⋅∆+=−
∆+∆+=−∆+
restando y sumando: ( ) ( )xvxu ⋅
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
14
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
x
xvxxv
xvxuxxvxuxvxuxvxxu
x
xv
xu
xxv
xxu
x
xfxxf
∆⋅∆+
⋅+∆+⋅−⋅−⋅∆+
=∆
−∆+∆+
=∆
−∆+
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) xxvxxv
xvxxvxuxuxxuxv
∆⋅⋅∆+−∆+−−∆+=
4º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) xxvxxv
xvxxvxuxuxxuxv
x
xfxxfxx ∆⋅⋅∆+
−∆+−−∆+=∆
−∆+→∆→∆ 00
limlim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )xvxxvx
xvxxvxu
x
xuxxuxv
x
xx
⋅∆+∆
−∆+⋅−∆
−∆+⋅=
→∆
→∆→∆
0
00
lim
limlim
4º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )20
''lim
xv
xvxuxuxv
x
xfxxfx
⋅−⋅=∆
−∆+→∆
( ) 0;'2
≠⋅−⋅
=
=∴ vv
dx
dvu
dx
duv
v
u
dx
dxf
La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.
10) 1−⋅= nn xnxdx
d
Demostración:
( ) nxxf =
1er paso: ( ) ( )nxxxxf ∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( ) nn xxxxfxxf −∆+=−∆+
3er paso: ( ) ( )
x
xfxxf
∆−∆+
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
x
xxxxnnnxxnnxnx
x nnnnn
n
∆
−
∆+⋅⋅⋅+∆−−+∆−+∆+
=
−−−
!3
21
!2
1
!1
33221
( ) ( )( ) ( ) ( ) 1
2321
!3
21
!2
1
!1−
−−−
∆⋅⋅⋅+∆−−+∆−+= nnnn
xxxnnnxxnnnx
4º paso:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 112321
00 !3
21
!2
1
!1limlim −−
−−−
→∆→∆⋅=
∆⋅⋅⋅+∆−−+∆−+=
∆−∆+ nn
nnn
xxxnx
xxnnnxxnnnx
x
xfxxf
( ) ( ) 1' −⋅==∴ nn xnxdx
dxf
La derivada de una potencia de x es igual al exponente multiplicado por x elevado al exponente menos uno.
En resumen y aplicando la regla de la cadena, en donde ( )xfu = , las expresiones anteriores toman la siguiente forma:
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
15
1) ( ) 0=cdx
d 2) ( ) 1=x
dx
d
3) ( )dx
ducuc
dx
d ⋅=⋅ 4) ( )dx
dw
dx
dv
dx
duwvu
dx
d ++=++
5) ( )dx
duv
dx
dvuvu
dx
d ⋅+⋅=⋅ 6) ( )dx
duwv
dx
dvwu
dx
dwvuwvu
dx
d ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅
7) 01 ≠⋅=
cdx
du
cc
u
dx
d 8)
dx
du
u
c
udx
dc
u
c
dx
d ⋅−=
⋅=
2
1
9) 0,2
≠⋅−⋅
=
v
vdx
dvu
dx
duv
v
u
dx
d 10)
dx
duunu
dx
d nn ⋅⋅= −1
Ejemplos. Aplicando las fórmulas de derivación, obtener la derivada de las siguientes funciones: 1) 4=y
0=dx
dy
2) xy 7=
7=dx
dy
3) 34xy =
212xdx
dy =
4) 658 2 +−= xxy
516 −= xdx
dy
5) 1119 23 +−−= xxxy
11183 2 −−= xxdx
dy
6) ( )52 276 −−= xxy Aplicando la regla de la cadena:
276 2 −−= xxu 5uy =
45udu
dy =
712 −= xdx
du
( ) ( )712276542 −−−=∴ xxx
dx
dy
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
16
para fines prácticos, se deriva a la función del paréntesis en su conjunto ( )u y se multiplica por la derivada del contenido del paréntesis:
7) ( )324 1358 xxxy −−=
( ) ( )13103213583 3224 −−−−= xxxxxdx
dy
8) ( )543 6527 −−−= xxxy
( ) ( )582165275 32443 −−−−−= xxxxxdx
dy
9) ( )( )1341158129 322 −+−−+−= xxxxxy
( )( ) ( )( )12181341151211108129 3222 −−+−−++−−+−= xxxxxxxxdx
dy
10) ( )( )96155781610 2234 +−++−−= xxxxxxy
( )( ) ( )( )716484096156305781610 232234 +−−+−+−++−−= xxxxxxxxxxdx
dy
11) ( )( )( )46981711 432 −−−= xxxxy
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )172246982446171124981711 43242332 −−−+−−+−−= xxxxxxxxxxxdx
dy
12) ( )( )( )23245 163125123 xxxxxy −+−−=
( )( )( ) ( )( )( )xxxxxxxxxxdx
dy41635123329125123 23452245 −−−+−+−−=
( )( )( )34232 481516312 xxxxx −−++
13) ( ) ( )78532 14694 xxxxy +−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )243278768532 2789451461448146794 xxxxxxxxxxxdx
dy −−++++−=
14) 6
114 2 −−= xxy
6
18 −= x
dx
dy
15) ( )
9
1247353
−−−= xx
y
( ) ( )9
101212421 42253 xxxx
dx
dy −−−−=
16) xy =
2
1
xy =
xx
xdx
dy
2
1
2
1
2
1
2
12
1
===−
17) 5 3xy =
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17
5
3
xy =
5 25
25
2
5
3
5
3
5
3
xx
xdx
dy ===−
18) 4 69xy =
( )4
169xy =
( )( ) ( )4 36
5
4
36
554
36
94
54
94
54549
4
1
x
x
x
xxx
dx
dy ===−
19) 6 82xy =
( )6
182xy =
( )( ) ( )6 58
7
6
58
776
58
23
8
26
16162
6
1
x
x
x
xxx
dx
dy ===−
20) 7 4
1
xy =
7
4
7
4
1 −== x
x
y
7 117
117
11
7
4
7
4
7
4
xx
xdx
dy −=−=−=−
21) 3 472 xxy −=
( )3
1472 xxy −=
( ) ( )( ) ( )3 24
3
3
24
333
24
723
282
723
28228272
3
1
xx
x
xx
xxxx
dx
dy
−
−=−
−=−−=−
22) 6 29 85
41
xxy
−−=
( )( ) 6
129
6
129
854185
41 −−−=−
−= xxxx
y
( ) ( ) ( )( )
( )( )6 729
8
6
729
886
729
856
164541
856
164541164585
6
41
xx
xx
xx
xxxxxx
dx
dy
−
−=−
−=−−=−
23) xx
xxy
115
2372
2
−−−=
( )( ) ( )( )( )22
22
115
1110237314115
xx
xxxxxx
dx
dy
−−−−−−−=
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
18
24) 65
34
57
4138
xxx
xxy
−++−=
( )( ) ( )( )( )265
54342365
57
301354138393257
xxx
xxxxxxxxx
dx
dy
−+−++−−−−+=
25) ( )
5 8
33
2
1117
xx
xxy
−
−−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25 8
75
48332235 8
2
2825
111171121111732
xx
xxxxxxxxxx
dx
dy
−
−−−−−−−−−=
−
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )25 8
5 48
7332235 8
2
25
2811171121111732
xx
xx
xxxxxxxx
dx
dy
−
−
−−−−−−−−
=
26) 3
175 −
=x
y
( )( )25
4
3
517
−−=
x
x
dx
dy
27) 46 53
6
xxy
−=
( )( )246
35
53
20186
xx
xx
dx
dy
−−−=
28) ( )39 28
14
xxy
−−=
( ) ( ) ( )( )
( )( )49
8
69
829
28
27214
28
27228314
xx
x
xx
xxx
dx
dy
−−=
−−−−−=
29) 32
7124
xxxy +−=
321 7124 −−− +−= xxxy
432432 21244
21244xxx
xxxdx
dy −+−=−+−= −−−
30) 4
227
1539
5
14
8
6
xxx
xxy −−++=
4227 15395
14
8
6 −−− −−++= xxxxxy
538538 60
695
28
8
426069
5
28
8
42
xx
xxxxxx
dx
dy +−+−−=+−+−−= −−−
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19
III.7 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
La derivada dx
dyde una función ( )xfy = se conoce como primera derivada. Si ésta es a su vez una
función derivable, su derivada se denomina segunda derivada de la función original, que se denota como:
( )xfdx
yd
dx
dy
dx
d''
2
2
==
La derivada de la segunda derivada, en caso de existir, se conoce como tercera derivada de la función:
( )xfdx
yd
dx
yd
dx
d'''
3
3
2
2
==
El proceso es sucesivo, y mientras exista, la derivada enésima es: ( )xfdx
yd nn
n
= .
Ejemplo.
Obtener la tercera derivada de la función 12542 23 −−−= xxxy Solución:
586 2 −−= xxdx
dy
8122
2
−=
= xdx
dy
dx
d
dx
yd
122
2
3
3
=
=
dx
yd
dx
d
dx
yd
Ejemplo.
Obtener la quinta derivada de la función 199572 2346 −−+−= xxxxy Solución:
xxxxdx
dy18152812 235 −+−=
18308460 242
2
−+−=
= xxxdx
dy
dx
d
dx
yd
30168240 32
2
3
3
+−=
= xx
dx
yd
dx
d
dx
yd
168720 23
3
4
4
−=
= x
dx
yd
dx
d
dx
yd
xdx
yd
dx
d
dx
yd440,1
4
4
5
5
=
=
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20
Ejemplo.
Obtener la séptima derivada de la función x
y5=
Solución:
15 −= xy
25 −−= xdx
dy
32
2
10 −=
= xdx
dy
dx
d
dx
yd
42
2
3
3
30 −−=
= x
dx
yd
dx
d
dx
yd
53
3
4
4
120 −=
= x
dx
yd
dx
d
dx
yd
64
4
5
5
600 −−=
= x
dx
yd
dx
d
dx
yd
75
5
6
6
600,3 −=
= x
dx
yd
dx
d
dx
yd
88
6
6
7
7 200,25200,25
xx
dx
yd
dx
d
dx
yd ==
= −
III.8 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA IM PLÍCITA Como se definió en el primer capítulo, una función expresada en forma implícita es de la forma
( ) 0, =yxf . Para encontrar la derivada podría encontrarse su equivalente forma explícita y derivar. Sin embargo, como se sabe, no siempre es fácil despejar la variable dependiente, por lo que resulta necesario derivar en forma implícita.
En este sentido, la derivada dx
dyde una función ( ) 0, =yxf se puede obtener efectuando el
procedimiento que consta de los siguientes pasos:
1. Se expresa el operador dx
dy a cada término de la función
2. Se deriva cada término, considerando la regla del producto (que en su caso aplique), y además, tomando en cuenta que la derivada de una función en y con respecto a x es igual a la derivada de esta función
con respecto a y multiplicada por la derivada de y con respecto a x , esto es: ( ) ( )
dx
dy
dy
ydf
dx
ydf ⋅=
3. Se acomodan en el primer miembro todos los términos que posean al operador dx
dy y en el segundo
miembro a los que no lo tengan, siempre respetando las reglas de los signos.
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21
4. Se factoriza el operador dx
dy
5. Finalmente, se obtiene la derivada dx
dy al despejarla de la expresión resultante.
Ejemplos. Hallar la derivada de las siguientes funciones expresadas en forma implícita:
1) 012254 5432 =−−+ yxyx Solución:
012254 5432
dx
d
dx
dy
dx
dx
dx
dyx
dx
d =−−+
001020834 43322 =−−++dx
dyyxxy
dx
dyyx
33422 2081034 xxydx
dyy
dx
dyyx −−=−
( ) 33422 2081012 xxyyyxdx
dy −−=−
422
33
1012
208
yyx
xxy
dx
dy
−−−=
2) 01578263 533645 =+−++− yxyyxx Solución:
01578263 533645
dx
d
dx
dy
dx
dx
dx
dy
dx
dyx
dx
dx
dx
d =+−++−
0035246246615 42236544 =+−++
+−dx
dyyx
dx
dyyxy
dx
dyyxx
035246243615 42263544 =−++−−dx
dyyx
dx
dyyyx
dx
dyyxx
26344254 24241535636 xyxxdx
dyy
dx
dyy
dx
dyyx −+−=−+−
( ) 26344254 24241535636 xyxxyyyxdx
dy −+−=−+−
4254
2634
35636
242415
yyyx
xyxx
dx
dy
−+−−+−=
3) 01110728 37434 =−−+− yxxyxx Solución:
01110728 37434
dx
d
dx
dyx
dx
dx
dx
dyx
dx
dx
dx
d =−−+−
0030104964232 23624333 =−
+−+
+− xydx
dyxxxy
dx
dyyxx
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22
03010496832 23642333 =−−+−− yxdx
dyxxyx
dx
dyyxx
yxxyxxdx
dyx
dx
dyyx 26423333 3049632108 +−+−=−−
( ) yxxyxxxyxdx
dy 26423333 3049632108 +−+−=−−
333
26423
108
3049632
xyx
yxxyxx
dx
dy
−−+−+−=
4) 011585116 534323 =−+−+− xyxyyxx Solución:
011585116 534323
dx
d
dx
dx
dx
dyx
dx
dy
dx
dyx
dx
dx
dx
d =−+−+−
0052458202231118 254333222 =−+
+−+
+− xydx
dyyx
dx
dyyxy
dx
dyyxx
05244020223318 524333222 =+−−+−− yxdx
dyyx
dx
dyyxy
dx
dyyxx
5242218402033 523243322 −++−=−+− yxxyxdx
dyyx
dx
dyy
dx
dyyx
( ) 5242218402033 523243322 −++−=−+− yxxyxyxyyxdx
dy
43322
5232
402033
5242218
yxyyx
yxxyx
dx
dy
−+−−++−=
5) 046109128 2234 =−+−++ xxyyyxx Solución:
046109128 2234
dx
d
dx
dx
dx
dxy
dx
dy
dx
dyx
dx
dx
dx
d =−+−++
0061010183621232 2233 =−+
+−+
++ ydx
dyx
dx
dyyxy
dx
dyyxx
06101018362432 2233 =+−−+++ ydx
dyx
dx
dyyyx
dx
dyyxx
6103632101824 2233 −+−−=−+ yyxxdx
dyx
dx
dyy
dx
dyyx
( ) 6103632101824 2233 −+−−=−+ yyxxxyyxdx
dy
xyyx
yyxx
dx
dy
101824
61036323
223
−+−+−−=
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23
Si se tiene una función ( ) 0, =yxf , se conoce como derivada parcial de f con respecto a x a la
derivada de la función, sólo considerando a x como variable y lo demás como constante2. Se denota como:
x
f
∂∂
Similarmente, la derivada parcial de f con respecto a y es la derivada de la función, sólo considerando a y como variable y lo demás como constante. Se denota como:
y
f
∂∂
Ejemplos.
Obtener x
f
∂∂
y y
f
∂∂
de las siguientes funciones:
1) 0269873 562242 =++−++ xyyxyxx
616286 6232 +++=∂∂
xyyxxx
f
4524 454814 yyxyxy
f −+=∂∂
2) 0129364 427234 =−−+− yxyxyx
433 181216 xyxyxx
f −−=∂∂
32624 362112 yxyyxy
f −+=∂∂
Dada una función implícita de la forma ( )yxf , , la derivada dx
dy puede obtenerse muy fácilmente a
través de la aplicación de derivadas parciales, por medio de la siguiente expresión:
y
fx
f
dx
dy
∂∂∂∂−
=
Ejemplos.
Aplicando derivadas parciales, obtener dx
dy de las siguientes funciones expresadas en forma implícita:
2 La definición de derivada parcial es mucho más formal y amplia que lo expuesto. El concepto dado aquí es sólo para poseer otro recurso para resolver derivadas expresadas en forma implícita. En cursos posteriores de Cálculo se comprenderá el importante significado y utilidad de una derivada parcial.
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24
1) 0109125 2234 =−+− yyxx Solución:
yyx
yxx
y
fx
f
dx
dy
1824
36203
223
+−+−=
∂∂∂∂−
=
2) 01578263 53645 =+−++− yxyyxx Solución:
4254
634
35636
82415
yyyx
yxx
y
fx
f
dx
dy
−+−−+−=
∂∂∂∂−
=
Ejemplos. Comprobar los resultados de los primeros cinco ejercicios resueltos de este subtema.
1) 012254 5432 =−−+ yxyx Solución:
422
33
1012
208
yyx
xxy
y
fx
f
dx
dy
−−−=
∂∂∂∂−
=
2) 01578263 533645 =+−++− yxyyxx Solución:
4254
2634
35636
242415
yyyx
xyxx
y
fx
f
dx
dy
−+−−+−=
∂∂∂∂−
=
3) 01110728 37434 =−−+− yxxyxx Solución:
333
26423
108
3049632
xyx
yxxyxx
y
fx
f
dx
dy
−−+−+−=
∂∂∂∂−
=
4) 011585116 534323 =−+−+− xyxyyxx Solución:
43323
5232
402033
5242218
yxyyx
yxxyx
y
fx
f
dx
dy
−+−−++−=
∂∂∂∂−
=
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
25
5) 046109128 2234 =−+−++ xxyyyxx Solución:
xyyx
yyxx
y
fx
f
dx
dy
101824
61036323
223
−+−+−−=
∂∂∂∂−
=
III.9 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA PA RAMÉTRICA Dada una función expresada en forma paramétrica, tal y como se definió en el tema I.6, de la forma:
( )( )
==
tfy
tfx
Su derivada viene dada por:
dt
dxdt
dy
dx
dy =
Ejemplos. Obtener la derivada de las siguientes funciones expresadas en forma paramétrica:
1)
+−−=
+−=
21075
96423
2
ttty
ttx
Solución:
101415
682 −−
−==tt
t
dt
dxdt
dy
dx
dy
2) ( )( )( )
−−=
−−=5224
423
541312
13118
tttty
ttx
Solución:
Para hallar dt
dx se aplica la regla de la cadena y para encontrar
dt
dy se aplica la regla del producto:
( )( ) ( )( )( ) ( )tttt
tttttttt
dt
dxdt
dy
dx
dy
22241311484
26485425813122323
352424
−−−−−+−−==
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
26
3)
=
=8
3
5ty
tx
Solución:
( )
=
=
8
1
3
1
5ty
tx
( )
3 2
8 7
3
158
5
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dy ==
4)
=
−=
ty
tx
2
35
Solución:
=
−=−
−
2
1
5
2
3
ty
tx
6
3
15
1
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dy−
==
5)
−−=
−=
53
4
76
84
92
tt
ty
tx
Solución:
Para hallar dt
dx se aplica la regla
dt
du
uu
dt
d ⋅=2
1 y para encontrar
dt
dy se aplica la regla del
cociente:
( )( ) ( )( )( )
4
3
253
4253
92
1876
351884476
t
t
tt
ttttt
dt
dxdt
dy
dx
dy
−−
−−−−−
==
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27
La segunda derivada de una función expresada en forma paramétrica está dada por:
dx
dt
dx
dy
dt
d
dx
yd ⋅
=2
2
Ejemplos. Obtener la segunda derivada de las siguientes funciones expresadas en forma paramétrica:
1)
−=+−=
212
1543
2
ty
ttx
Solución:
58
6 2
−==
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dy
( )( ) ( )( )( ) ( )3
22
2
22
2
2
58
486096
58
1
58
861258
58
6
−−−=
−⋅
−−−=⋅
−=⋅
=t
ttt
tt
ttt
dx
dt
t
t
dt
d
dx
dt
dx
dy
dt
d
dx
yd
( )3
2
58
6048
−−=
t
tt
2)
=
=
53
1
ty
tx
Solución:
6
2
4
151
15t
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dy −=−
==
( ) ( ) 72562
2
909015 tttdx
dtt
dt
d
dx
dt
dx
dy
dt
d
dx
yd =−⋅−=⋅−=⋅
=
III.10 DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS
Sea una función ( )xfy = en el intervalo abierto ( )ba, cuya derivada no cambia de signo. Si su función
inversa es ( )ygx = , la derivada dx
dyviene dada por:
dy
dxdx
dy 1=
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28
Ejemplos. Obtener la derivada de la función inversa de:
1) ( ) 68 −= xxf Solución: Forma 1. Obteniendo la función inversa:
( ) ( )8
668 1 +==⇒−= − x
xgxfyx
( )8
1=dx
xdg
Forma 2. Aplicando la fórmula:
8
11 ==
dy
dxdx
dy
2) ( ) 52 −= xxf Solución: Forma 1. Obteniendo la función inversa:
( ) ( ) 55 12 +==⇒−= − xxgxfyx
( )52
1
+=
xdx
xdg
Forma 2. Aplicando la fórmula:
52
1
2
11
+===
xydy
dxdx
dy
3) ( ) 14 += xxf Solución: Forma 1. Obteniendo la función inversa:
( ) ( )4
114
21 −==⇒+= − x
xgxfyx
( )24
2 xx
dx
xdg ==
Forma 2. Aplicando la fórmula:
24
142
142
411 xy
ydy
dxdx
dy =+
=
+
==
Ejemplos.
Aplicando la expresión
dy
dxdx
dy 1= obtener la derivada de las siguientes funciones:
1) ( ) ( )23+= xxf
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29
Solución: Obteniendo la función inversa:
( ) ( ) ( ) 33 12 −==⇒+= − xxgxfyx
( ) ( ) xxydy
dxdx
dy
2
1
332
1
32
11 =+−
=+
==
2) ( )x
xf5=
Solución: Obteniendo la función inversa:
( ) ( )x
xgxfy
x55 1 ==⇒= −
22
2
2
2
5
5
25
5
5
5511
xxxy
ydy
dxdx
dy −=−=
−=−=−
==
3) ( )17
2
−=
xxf
Solución: Obteniendo la función inversa:
( ) ( ) 172
17
2 1 +==⇒−
= −
xxgxf
yx
( )
( )2
22
2
2
2
2
2
2
17172
2
17
17
211
xxxy
ydy
dxdx
dy −=
−=
+−−=−−=
−−
==
4) ( ) 3 2 104 += xxf . Solución: Obteniendo la función inversa:
( ) ( )4
10104
313 2 −==⇒+= − x
xgxfyx
( ) ( )( )
4
108
3
8
1043
81043
111
3
23 22
3
22 −
=+
=+
==− x
x
y
y
yydy
dxdx
dy
III.11 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIREC TAS Las funciones trigonométricas o circulares directas fueron expuestas con amplitud en el capítulo II del libro de Matemáticas V de esta misma serie. Las derivadas de estas funciones se deducen a continuación:
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30
1) ( ) xxsendx
dcos=
Demostración:
1er paso: ( ) ( )xxsenxxf ∆+=∆+
2º paso: ( ) ( ) ( ) xsenxxsenxfxxf −∆+=−∆+
considerando la identidad trigonométrica: ( ) bsenbaasenbasen2
1
2
1cos2 ⋅
+=−+
se tiene: ( ) ( ) xsenxxxfxxf ∆⋅
∆+=−∆+2
1
2
1cos2
3er paso: ( ) ( )
x
xsenxx
x
xsenxx
x
xfxxf
∆
∆⋅
∆+=∆
∆⋅
∆+=
∆−∆+
2
12
1
2
1cos
2
1
2
1cos2
4º paso:
( ) ( )
x
xsenxx
x
xsenxx
x
xfxxfxxxx
∆
∆⋅
∆+=∆
∆⋅
∆+=∆
−∆+→∆→∆→∆→∆
2
12
1
lim2
1coslim
2
12
1
2
1coslimlim
0000
pero se sabe que: 1
2
12
1
lim0
=∆
∆
→∆x
xsen
x
( ) ( )xxx
x
xfxxfxx
cos12
1coslimlim
00=⋅
∆+=∆
−∆+⇒
→∆→∆
( ) ( ) xxsendx
dxf cos' ==∴
2) ( ) xsenxdx
d −=cos
Demostración:
Aplicando la identidad trigonométrica
−= xsenx π2
1cos , se tiene:
( )
−= xsenxf π2
1
derivando la función:
( )
−−=
− xxsendx
d ππ2
1cos1
2
1
pero se sabe que:
−= xxsen π2
1cos
( ) ( ) xsenxdx
dxf −==∴ cos'
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
31
3) ( ) xxdx
d 2sectan =
Demostración:
( )x
xsenxf
cos=
derivando el cociente:
( ) ( ) ( )( ) x
xx
xsenx
x
xsenxsenxxxf 2
22
22
2sec
cos
1
cos
cos
cos
coscos' ==+=−−=
( ) ( ) xxdx
dxf 2sectan' ==∴
4) ( ) xxdx
d 2csccot −=
Demostración:
( )xsen
xxf
cos=
derivando el cociente:
( ) ( ) ( )( )
( )xsen
xxsen
xsen
xxsen
xsen
xxxsenxsenxf
2
22
2
22
2
cos1coscoscos'
+−=−−=−−=
xxsen
22
csc1 −=−=
( ) ( ) xxdx
dxf 2csccot' −==∴
5) ( ) xxxdx
dtansecsec ⋅=
Demostración:
( )x
xfcos
1=
derivando el cociente:
( ) ( )( ) xx
x
xsen
xx
xsen
x
xsenxf tansec
coscos
1
coscos'
22⋅=⋅==−−=
( ) ( ) xxxdx
dxf tansecsec' ⋅==∴
6) ( ) xxxdx
dcotcsccsc ⋅−=
Demostración:
( )xsen
xf1=
derivando el cociente:
( ) ( )( ) xx
xsen
x
xsenxsen
x
xsen
xxf cotcsc
cos1coscos'
22⋅−=⋅−=−=−=
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
32
( ) ( ) xxxdx
dxf cotcsccsc' ⋅−==∴
Aplicando la regla de la cadena, en donde ( )xfu = , las expresiones anteriores toman la siguiente forma:
1) dx
duuusen
dx
d ⋅= cos 2) dx
duusenu
dx
d ⋅−=cos
3) dx
duuu
dx
d ⋅= 2sectan 4) dx
duuu
dx
d ⋅−= 2csccot
5) dx
duuuu
dx
d ⋅⋅= tansecsec 6) dx
duuuu
dx
d ⋅⋅−= cotcsccsc
Ejemplos. Derivar las siguientes funciones trigonométricas. 1) xseny 4=
xdx
dy4cos4=
2) xy 9cos3=
( )( ) xsenxsendx
dy927993 −=−=
3) 32tan5 xy =
( ) 322322 2sec302sec65 xxxxdx
dy ==
4) ( )72 85cot6 xxy −=
( ) ( ) ( ) ( )72267226 85csc3366085csc56106 xxxxxxxxdx
dy −+−=−−−=
5) 42sec8 xy =
( ) 443443 2tan2sec642tan2sec88 xxxxxxdx
dy ==
6) ( )xxy 63csc4 5 −=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxxdx
dy63cot63csc246063cot63csc6154 554554 −−+−=−−−−=
7) ( )79412 2 +−= xxseny
( ) ( ) ( ) ( )794cos10896794cos9812 22 +−−=+−−= xxxxxxdx
dy
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
33
8) ( )53 3810cos6 +−−= xxy
( ) ( ) ( )53243 3810830381030 +−−+−= xxsenxxxdx
dy
9) xy 3tan=
( )2
1
3tan xy =
( ) ( )x
xxx
dx
dy
3tan2
3sec33sec33tan
2
1 22
2
1
== −
10) ( )( )42 5sec2cot4 xxy =
( )( ) ( ) ( )( )2244432 2csc445sec5tan5sec202cot4 xxxxxxxdx
dy −+=
2244423 2csc5sec165tan5sec2cot80 xxxxxxx −=
11) xsen
xy
85
2csc7 3
−=
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )2
2332
85
8cos852csc72cot2csc6785
xsen
xxxxxxsen
dx
dy
−−−−−=
xsen
xxxxxsenx
825
8cos2csc2802cot2csc82102
2332 +=
12) 2xseny =
2cos2 xxdx
dy =
13) xseny 2=
( )2xseny =
xxsendx
dycos2 ⋅=
Nótese como las funciones de los ejercicios 12 y 13, aunque aparentemente son similares, son muy diferentes: en el primer caso el cuadrado está afectando al argumento de la función. En el segundo caso, el cuadrado está afectando a la función seno. En conclusión, sus derivadas son totalmente distintas. Algo muy similar sucede con los siguientes dos ejercicios:
14) 3cosxy =
323 xsenxdx
dy −=
15) xy 3cos=
( )3cosxy =
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
34
( ) xsenxxsenxdx
dy 22 cos3cos3 −=−=
16) 47 9cot xy =
( )749cot xy =
( ) 4246342346 9csc9cot2529csc369cot7 xxxxxxdx
dy −=−=
17) ( )( )xxy 9tan815sec10 3=
( ) ( )( ) ( ) ( )( )33223 15tan15sec45109tan89sec9815sec10 xxxxxxdx
dy +=
33223 15tan15sec9tan36009sec15sec720 xxxxxx +=
18) 3
3
10cos
10
x
xseny =
( )( ) ( )( )( )23
323323
10cos
10301010cos3010cos
x
xsenxxsenxxx
dx
dy −−=
( )
32
2
32
32322
32
322322
10cos
30
10cos
1010cos30
10cos
103010cos30
x
x
x
xsenxx
x
xsenxxx =+=+= 322 10sec30 xx=
19) 310tan xy =
322 10sec30 xxdx
dy =
Se observa como la derivada de las funciones de los ejercicios 18 y 19 son iguales. Eso significa que aplicar convenientemente identidades trigonométricas puede simplificar notablemente el proceso de derivación. Un caso similar sucede con las derivadas de los ejercicios 20 y 21:
20) ( )8611
1245 +−
=xxsen
y
( )8611 245 +−= − xxseny
( ) ( ) ( )8611cos861112445 242463 +−+−−−= − xxxxsenxxdx
dy
pero como uusen
ucot
cos =
( ) ( )( )
( ) ( )( )8611
8611cot12445
8611
8611cos12445245
243
246
243
+−+−−−=
+−+−−−=
xxsen
xxxx
xxsen
xxxx
dx
dy
y uusen
csc1 = , se tiene:
( ) ( ) ( )8611csc8611cot12445 245243 +−+−−−= xxxxxxdx
dy
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
35
21) ( )8611csc 245 +−= xxy
( ) ( ) ( ) ( )( )8611cot8611csc8611csc12445 2424443 +−+−−⋅+−−= xxxxxxxxdx
dy
( ) ( ) ( )8611csc8611cot12445 245243 +−⋅+−−−= xxxxxxdx
dy
III.12 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVER SAS Las funciones trigonométricas inversas definidas poseen reglas de derivación. A continuación se deducen las seis fórmulas considerando sus respectivos campos de variación.
1) ( )2
1
1
1
xxsen
dx
d
−=−
Demostración:
ysenxxseny =⇒= −1 derivando:
dx
dyyysen
dx
d
dx
dx ⋅== cos
dx
dyy ⋅= cos1
22222 1cos1cos1cos xyyxyysen −=⇒=+⇒=+
2
2
1
111
xdx
dy
dx
dyx
−=⇒⋅−=
( ) ( )2
1
1
1'
xxsen
dx
dxf
−==∴ −
2) ( )2
1
1
1cos
xx
dx
d
−−=−
Demostración:
yxxy coscos 1 =⇒= − derivando:
dx
dyyseny
dx
d
dx
dx ⋅−== cos
dx
dyysen ⋅−=1
22222 111cos xysenxysenyysen −=⇒=+⇒=+
2
2
1
111
xdx
dy
dx
dyx
−−=⇒⋅−−=
( ) ( )2
1
1
1cos'
xx
dx
dxf
−−==∴ −
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
36
3) ( )2
1
1
1tan
xx
dx
d
+=−
Demostración:
yxxy tantan 1 =⇒= − derivando:
dx
dyyy
dx
d
dx
dx ⋅== 2sectan
dx
dyy ⋅= 2sec1
2222 1sectan1sec xyyy +=⇒+=
( )2
2
1
111
xdx
dy
dx
dyx
+=⇒⋅+=
( ) ( )2
1
1
1tan'
xx
dx
dxf
+==∴ −
4) ( )2
1
1
1cot
xx
dx
d
+−=−
Demostración:
yxxy cotcot 1 =⇒= − derivando:
dx
dyyy
dx
d
dx
dx ⋅−== 2csccot
dx
dyy ⋅−= 2csc1
2222 1csccot1csc xyyy +=⇒+=
( )2
2
1
111
xdx
dy
dx
dyx
+−=⇒⋅+−=
( ) ( )2
1
1
1cot'
xx
dx
dxf
+−==∴ −
5) ( )1
1sec
2
1
−=−
xxx
dx
d
Demostración:
yxxy secsec 1 =⇒= − derivando:
dx
dyyyy
dx
d
dx
dx ⋅⋅== tansecsec
dx
dyyy ⋅⋅= tansec1
1tan1sectantan1sec 22222 −=⇒−=⇒+= xyyyyy
1
111
2
2
−=⇒⋅−⋅=
xxdx
dy
dx
dyxx
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
37
( ) ( )1
1sec'
2
1
−==∴ −
xxx
dx
dxf
6) ( )1
1csc
2
1
−−=−
xxx
dx
d
Demostración:
yxxy csccsc 1 =⇒= − derivando:
dx
dyyyy
dx
d
dx
dx ⋅⋅−== cotcsccsc
dx
dyyy ⋅⋅−= cotcsc1
1cot1csccotcot1csc 22222 −=⇒−=⇒+= xyxyyy
1
111
2
2
−−=⇒⋅−⋅−=xxdx
dy
dx
dyxx
( ) ( )1
1csc'
2
1
−−==∴ −
xxx
dx
dxf
Aplicando la regla de la cadena, en donde ( )xfu = , las expresiones anteriores toman la siguiente forma:
1) dx
du
uusen
dx
d ⋅−
=−
2
1
1
1 2)
dx
du
uu
dx
d ⋅−−=−
2
1
1
1cos
3) dx
du
uu
dx
d ⋅+
=−2
1
1
1tan 4)
dx
du
uu
dx
d ⋅+−=−
21
1
1cot
5) dx
du
uuu
dx
d ⋅−
=−
1
1sec
2
1 6) dx
du
uuu
dx
d ⋅−
−=−
1
1csc
2
1
Ejemplos. Derivar las siguientes funciones trigonométricas inversas:
1) xseny 51−=
( )( )
22 251
55
51
1
xxdx
dy
−=
−=
2) xy3
1cos 1−=
22
9
113
1
3
1
3
11
1
xxdx
dy
−
−=
−
−=
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38
3) 31 2tan xy −=
( ) ( )6
22
23 41
66
21
1
x
xx
xdx
dy
+=
+=
4) 4110cot xy −=
( ) ( )8
33
24 1001
4040
101
1
x
xx
xdx
dy
+−=
+−=
5) ( )11213sec2 21 +−= − xxy
( ) ( )( )1226
11121311213
2222
−−+−+−
= xxxxxdx
dy
( ) ( ) 112121311213
2452222 −−−+−
−=xxxx
x
6) ( )xxy 414csc9 31 −−= −
( ) ( )( )442
1414414
9 2
233−
−−−
−−= xxxxxdx
dy
( ) ( ) 1414414
36378233
2
−−−
−=xxxx
x
7) 4151 8cos34 xxseny −− ⋅=
( )( )
( )( )4
25
413
24
51 1531
48cos32
81
134 x
xxx
xxsen
dx
dy
−⋅+
−
−⋅= −−
10
441
8
351
91
608cos
641
3234
x
xx
x
xxsen
−⋅+
−⋅−= −−
8) 71
1
3tan5
4csc2
x
xy −
−
=
( )( ) ( ) ( )
( )271
627
1
2
71
3tan5
2131
54csc24
144
23tan5
x
xx
xxx
x
dx
dy−
−−
+⋅−
−
−⋅
=
( )271
14
16
2
71
3tan5
91
4csc210
116
3tan10
x
x
xx
xx
x
−
−−
+−
−−
=
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM La derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
39
9) ( )475secsec 21 −+= − xxy Por ser funciones inversas, se eliminan:
475 2 −+= xxy
710 += xdx
dy
10) 6 21 2cot xy −=
( )6
121 2cot xy −=
( ) ( ) ( )( ) ( )46 521
226
521
412cot6
44
21
12cot
6
1
xx
xx
xx
dx
dy
+−=
+−⋅=
−
−−
III.13 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR ÍTMICAS Las reglas de derivación para las funciones exponenciales y logarítmicas se deducen a continuación:
1) ( ) ex
xdx
daa log
1log =
Demostración: 1er paso: ( ) ( )xxxxf a ∆+=∆+ log
2º paso: ( ) ( ) ( )
∆+=∆+=−∆+=−∆+x
x
x
xxxxxxfxxf aaaa 1loglogloglog
3er paso:( ) ( ) x
x
aa
a
x
x
xx
x
x
x
xxx
x
x
xfxxf ∆
∆+⋅=
∆+⋅∆
⋅=∆
∆+=
∆−∆+
1log1
1log1
1log
4º paso:
( ) ( )e
xx
x
xx
x
xx
xfxxfa
x
x
xa
x
x
axx
log1
1limlog1
1log1
limlim000
=
∆+=
∆+⋅=∆
−∆+ ∆
→∆
∆
→∆→∆
( ) ( ) ex
xdx
dxf aa log
1log' ==∴
2) ( )x
xdx
d 1ln =
Demostración:
( ) ex
xdx
daa log
1log =
para este caso: ea =
( )x
ex
ex
xf e
1ln
1log
1' ===
( ) ( )x
xdx
dxf
1ln' ==∴
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40
3) aaadx
d xx ln⋅=
Demostración:
axayay xx lnlnln ==⇒=
derivando con respecto a x :
aaaydx
dya
dx
dy
yx lnlnln
1 ⋅=⋅=⇒=⋅
( ) ( ) aaadx
dxf xx ln' ⋅==∴
4) xx eedx
d =
Demostración:
( ) aaadx
d xx ln⋅=
para este caso: ea =
( ) ( ) xxx eeeexf ==⋅= 1ln'
( ) ( ) xx eedx
dxf ==∴ '
Aplicando la regla de la cadena, en donde ( )xfu = , las expresiones anteriores toman la siguiente forma:
1) ( )1,0log1
log ≠>⋅= aadx
due
uu
dx
daa
2) dx
du
uu
dx
d ⋅= 1ln
3) ( )0ln >⋅= adx
duuaa
dx
d uu
4) dx
duee
dx
d uu ⋅=
Ejemplos. Derivar las siguientes funciones:
1) ( )167log 243 −−= xxy
exx
xx
dx
dy324
3
log167
144
−−−=
2) ( )45 3log xseny =
exsen
xx
dx
dy54
43
log3
3cos12=
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41
3) ( )12ln 2 −−= xxy
12
142 −−
−=xx
x
dx
dy
4) 45cosln xy =
4
43
5cos
520
x
xsenx
dx
dy −=
43 5tan20 xx−=
5) xy 57=
( )( )55ln75 xdx
dy x=
6) ( )193 2
4 −−= xxy
( ) ( )( )( )96193ln4 2193 2
−−−= −− xxxdx
dy xx
7) 52xey =
52410 xexdx
dy =
8) xey =
x
e
dx
dy x
2=
9) ( )522 743log +−= xxy
Aplicando la propiedad:
xnx an
a loglog = se tiene:
10) ( )( )232 2586ln xxxxy −−= Aplicando la propiedad:
( ) yxyx aaa logloglog +=⋅ se tiene:
( ) ( )232 25ln86ln xxxxy −+−=
23
2
2 25
415
86
812
xx
xx
xx
x
dx
dy
−−+
−−=
( )743log5 22 +−= xxy
( )e
xx
x
dx
dy22 log
743
465
+−−=
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42
11) 5
2
3
8
4
3ln
x
x
ey =
Aplicando la propiedad: yxy
xaaa logloglog −=
se tiene:
52 38 4ln3ln xx ey −=
( ) ( ) 42
3
43
8
28
158ln164
154
3
168ln35
5
2
2
xxxe
xexx
dx
dyx
x
x
x
+=−=
12) ( )( )( )
⋅=
−
3
615 34
24
3cos6logln
xsen
xxy
Aplicando convenientemente las propiedades de logaritmos se tiene:
( )3615 34 24ln3cos6logln xsenxxy −⋅= −
xsenxxy 24ln33cosln6logln 615 34 −+= −
( ) xsenxxy 24ln33cosln6logln 615
13
4 −+= −
( ) xsenxxy 24ln33cosln6logln5
1 6134 −+= −
( )xsen
x
x
x
x
x
ex
x
dx
dy
24
2cos24
3cos
31
18
6log
log6
18
5
161
26
5
34
43
2
−−
−
+= −
( ) x
xx
x
xx
e2cot6
913cos
18
6log30
log181261
5
34
4 −−
−=−