Post on 05-Feb-2021
rotor campos conservativos
Rotor y campos conservativos
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
7 de marzo de 2012
rotor campos conservativos
el operador nabla
el operador nabla
el operador nablael operador nabla
es
∇ =(∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
)
rotor campos conservativos
el operador nabla
el operador nabla
el operador nablael operador nablaes
∇ =(∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
)
rotor campos conservativos
el operador nabla
ejemplo
ejemplo
f : Ω ⊂ R3 → R diferenciable
⇒∇f =
(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z
)gradiente de f
rotor campos conservativos
el operador nabla
ejemplo
ejemplo
f : Ω ⊂ R3 → R diferenciable⇒
∇f =(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z
)
gradiente de f
rotor campos conservativos
el operador nabla
ejemplo
ejemplo
f : Ω ⊂ R3 → R diferenciable⇒
∇f =(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z
)gradiente de f
rotor campos conservativos
rotor
rotor de un campo
rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciable
rotor de X
∇∧ X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
X1 X2 X3
∣∣∣∣∣∣∣
rot X =(∂X3∂y− ∂X2
∂z,∂X1∂z− ∂X3
∂x,∂X2∂x− ∂X1
∂y
)
rotor campos conservativos
rotor
rotor de un campo
rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciablerotor de X
∇∧ X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
X1 X2 X3
∣∣∣∣∣∣∣
rot X =(∂X3∂y− ∂X2
∂z,∂X1∂z− ∂X3
∂x,∂X2∂x− ∂X1
∂y
)
rotor campos conservativos
rotor
rotor de un campo
rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciablerotor de X
∇∧ X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
X1 X2 X3
∣∣∣∣∣∣∣
rot X =(∂X3∂y− ∂X2
∂z,∂X1∂z− ∂X3
∂x,∂X2∂x− ∂X1
∂y
)
rotor campos conservativos
rotor
rotor de un campo
rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciablerotor de X
∇∧ X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
X1 X2 X3
∣∣∣∣∣∣∣rot X =
(∂X3∂y− ∂X2
∂z,∂X1∂z− ∂X3
∂x,∂X2∂x− ∂X1
∂y
)
rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1X(x , y , z) = (x , xy ,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
x xy 1
∣∣∣∣∣∣∣
= (0,0, y)
rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1X(x , y , z) = (x , xy ,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
x xy 1
∣∣∣∣∣∣∣
= (0,0, y)
rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1X(x , y , z) = (x , xy ,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
x xy 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (0,0, y)
rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (xy ,− sin z,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
xy − sin z 1
∣∣∣∣∣∣∣
= (cos z,0,−x)
rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (xy ,− sin z,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
xy − sin z 1
∣∣∣∣∣∣∣
= (cos z,0,−x)
rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (xy ,− sin z,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
xy − sin z 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (cos z,0,−x)
rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 3
campo planoX = (P,Q) campo plano
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
P Q 0
∣∣∣∣∣∣∣
=
(0,0,
∂Q∂x− ∂P∂y
)
rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 3
campo planoX = (P,Q) campo plano
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
P Q 0
∣∣∣∣∣∣∣
=
(0,0,
∂Q∂x− ∂P∂y
)
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ejemplos
ejemplo 3
campo planoX = (P,Q) campo plano
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
P Q 0
∣∣∣∣∣∣∣ =(
0,0,∂Q∂x− ∂P∂y
)
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ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Q
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Q
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα
= ωr sin θ
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ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ
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ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒v = ~ω ∧ r
= (−ωy , ωx ,0)
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ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒v = ~ω ∧ r = (−ωy , ωx ,0)
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
α = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒ v = ~ω∧ r = (−ωy , ωx ,0)⇒
rot v =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
−ωy ωx 0
∣∣∣∣∣∣∣
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ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒ v = ~ω∧ r = (−ωy , ωx ,0)⇒
rot v =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
−ωy ωx 0
∣∣∣∣∣∣∣rot v = (0,0,2ω)
= 2~ω
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ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒ v = ~ω∧ r = (−ωy , ωx ,0)⇒
rot v =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
−ωy ωx 0
∣∣∣∣∣∣∣rot v = (0,0,2ω) = 2~ω
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido
X velocidad en (x , y , z)
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido
X velocidad en (x , y , z)∇∧ X = 2 velocidadangular
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ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido
X velocidad en (x , y , z)∇∧ X = 2 velocidadangular∇∧ X(x , y , z) = ~0⇒ elfluido no tiene remolinosen (x , y , z)
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ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido
∇∧ X = 2 velocidadangular∇∧ X(x , y , z) = ~0⇒ elfluido no tiene remolinosen (x , y , z)la ruedita gira con el fluido,pero no alrededor de sueje
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido
∇∧ X(x , y , z) = ~0⇒ elfluido no tiene remolinosen (x , y , z)la ruedita gira con el fluido,pero no alrededor de suejeesto es lo que pasa con unlíquido que se desagota
rotor campos conservativos
campo irrotacional
campo irrotacional
campo irrotacional
X : Ω→ R3 campo vectorial
X campo irrotacionalsi
rot X ≡ ~0
rotor campos conservativos
campo irrotacional
campo irrotacional
campo irrotacional
X : Ω→ R3 campo vectorialX campo irrotacional
sirot X ≡ ~0
rotor campos conservativos
campo irrotacional
campo irrotacional
campo irrotacional
X : Ω→ R3 campo vectorialX campo irrotacionalsi
rot X ≡ ~0
rotor campos conservativos
campo irrotacional
ejemplo
ejemplo
X(x , y , z) =(y ,−x ,0)x2 + y2
es irrotacional en su dominio
rot X =(
0,0,∂
∂x
(−x
x2 + y2
)− ∂∂y
(y
x2 + y2
))
rot X =(
0,0,−(x2 + y2)− 2x2 + (x2 + y2)− 2y2
(x2 + y2)2
)
= ~0
rotor campos conservativos
campo irrotacional
ejemplo
ejemplo
X(x , y , z) =(y ,−x ,0)x2 + y2
es irrotacional en su dominio
rot X =(
0,0,∂
∂x
(−x
x2 + y2
)− ∂∂y
(y
x2 + y2
))
rot X =(
0,0,−(x2 + y2)− 2x2 + (x2 + y2)− 2y2
(x2 + y2)2
)
= ~0
rotor campos conservativos
campo irrotacional
ejemplo
ejemplo
X(x , y , z) =(y ,−x ,0)x2 + y2
es irrotacional en su dominio
rot X =(
0,0,∂
∂x
(−x
x2 + y2
)− ∂∂y
(y
x2 + y2
))
rot X =(
0,0,−(x2 + y2)− 2x2 + (x2 + y2)− 2y2
(x2 + y2)2
)
= ~0
rotor campos conservativos
campo irrotacional
ejemplo
ejemplo
X(x , y , z) =(y ,−x ,0)x2 + y2
es irrotacional en su dominio
rot X =(
0,0,∂
∂x
(−x
x2 + y2
)− ∂∂y
(y
x2 + y2
))
rot X =(
0,0,−(x2 + y2)− 2x2 + (x2 + y2)− 2y2
(x2 + y2)2
)= ~0
rotor campos conservativos
campos conservativos
campos conservativos
campos conservativosX campo vectorial
X campo conservativo o de gradientessi
X = ∇f
rotor campos conservativos
campos conservativos
campos conservativos
campos conservativosX campo vectorialX campo conservativo o de gradientes
siX = ∇f
rotor campos conservativos
campos conservativos
campos conservativos
campos conservativosX campo vectorialX campo conservativo o de gradientessi
X = ∇f
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1)
= (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz
⇒ f (x , y , z) = xy + z
f = z + Cxycumple ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?
f = yx + Cyzf = yx + Cxz
⇒ f (x , y , z) = xy + z
f = z + Cxycumple ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyz
f = yx + Cxz
⇒ f (x , y , z) = xy + z
f = z + Cxycumple ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz
⇒ f (x , y , z) = xy + zf = z + Cxycumple ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz
⇒ f (x , y , z) = xy + z
f = z + Cxy
cumple ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz ⇒ f (x , y , z) = xy + zf = z + Cxy
cumple ∇f = X
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz ⇒ f (x , y , z) = xy + zf = z + Cxycumple ∇f = X
rotor campos conservativos
potencial escalar
potencial escalar
potencial escalar
X : Ω→ R3 campo vectorial
f potencial escalar de Xsi
∇f = X
rotor campos conservativos
potencial escalar
potencial escalar
potencial escalar
X : Ω→ R3 campo vectorialf potencial escalar de X
si∇f = X
rotor campos conservativos
potencial escalar
potencial escalar
potencial escalar
X : Ω→ R3 campo vectorialf potencial escalar de Xsi
∇f = X
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable
(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivel
f (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel
⇒∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivel
f (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivel
f (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivel
f (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivelf (α(t)) = c curva contenida en la superficie S
α(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivelf (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)
⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivelf (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
demostración
demostración
f (α(t)) = c ∀t
⇒ ddt f (α(t)) = 0x regla de la cadena∇f (α(0)).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
demostración
demostración
f (α(t)) = c ∀t⇒ ddt f (α(t)) = 0
x regla de la cadena∇f (α(0)).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
demostración
demostración
f (α(t)) = c ∀t⇒ ddt f (α(t)) = 0x regla de la cadena
∇f (α(0)).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
demostración
demostración
f (α(t)) = c ∀t⇒ ddt f (α(t)) = 0x regla de la cadena∇f (α(0)).α′(0) = 0
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)
f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− z
superficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)
⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)
divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitario
respuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 2
ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga
se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)
líneas equipotenciales
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 2
ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → R
superficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)
líneas equipotenciales
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 2
ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotenciales
el campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)
líneas equipotenciales
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 2
ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φ
E ⊥ (superficies equipotenciales)
líneas equipotenciales
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 2
ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)
líneas equipotenciales
rotor campos conservativos
potencial escalar
líneas equipotenciales
líneas equipotenciales
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor de un gradiente es cero
teoremaf : Ω ⊂ R3 → R función C2
⇒rot(∇f ) = ~0
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor de un gradiente es cero
teoremaf : Ω ⊂ R3 → R función C2
⇒rot(∇f ) = ~0
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor del gradiente es cero
demostración
rot(∇f ) =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
fx fy fz
∣∣∣∣∣∣∣ = (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy ) = ~0
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor del gradiente es cero
demostración
rot(∇f ) =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
fx fy fz
∣∣∣∣∣∣∣
= (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy ) = ~0
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor del gradiente es cero
demostración
rot(∇f ) =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
fx fy fz
∣∣∣∣∣∣∣ = (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy )
= ~0
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor del gradiente es cero
demostración
rot(∇f ) =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
fx fy fz
∣∣∣∣∣∣∣ = (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy ) = ~0
rotorel operador nablarotorejemploscampo irrotacional
campos conservativoscampos conservativospotencial escalarel rotor de un gradiente es cero