Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez

Departamento de Ciencias Matemáticas Examen Departamental IV Mate 3031

14 de junio de 2017

Nombre______________________. Número de estudiante____________________ I. Llene los blancos(30 puntos)

1. (5 puntos)Evalúe ∫ 𝑥45 𝑑𝑥1

0

2. (5 puntos) Evalúe ∫ 12𝑡

𝑑𝑡91

3. (5 puntos) Evalúe la integral indefinida ∫ 𝑥3−2√𝑥𝑥

𝑑𝑥

4. (5 puntos)Expresando lim𝑛→∞

∑ 𝑥𝑖cos (𝑥𝑖2)∆𝑥𝑛

𝑖 como una integral definida en [0, 𝜋] obtenemos

5. (5 puntos)Sea 𝑓(𝑥) = ∫ √𝑡 + 42𝑥+1𝜋 𝑑𝑡.

Encuentre 𝑓′(2)

6. (5 puntos)Evalúe ∫ 4𝑡2+1

𝑑𝑡10

II. Conteste las siguientes preguntas de respuesta abierta. Muestre todo el trabajo necesario para llegar a sus respuestas. Soluciones presentadas sin trabajo podrían no recibir crédito. Respuestas numéricas deben presentarse como expresiones matemáticas exactas, no mediante una aproximación decimal. Use aproximaciones decimales solo en casos en que las instrucciones del problema las pida. 1. (8 puntos)Use el Método de Newton con valor inicial

𝑥1 = 1 para encontrar 𝑥3, la tercera aproximación a la solución de la ecuación 𝑥7 + 4 = 0. Escriba su respuesta usando cuatro cifras decimales.

2. (8 puntos) Dado que la gráfica de la función 𝑓 pasa por el punto (2,5) y que la pendiente de su recta tangente en el punto (𝑥, 𝑓(𝑥)) es 3 − 4𝑥, encuentre 𝑓(1).

3. (12 puntos)Estime el area bajo la curva 𝑓(𝑥) = 3 − 1

2𝑥, en el

intervalo [2,14] usando 6 rectángulos cuya altura esté determinada por la frontera derecha de cada subintervalo.

4. (12 puntos)Use la definición de la integral definida para evaluar ∫ (45

2 − 2𝑥) 𝑑𝑥.

5. (15 puntos) Se desea construir una caja rectangular cuya base sea un cuadrado y que no tenga tapa. Se tienen disponibles 1200 𝑐𝑚2 de material. Encuentre el volumen más grande posible que puede tener la caja.

6. ( 15 puntos) Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥2−4

. a. (1 puntos) Identifique la(s) asíntota(s)

horizontal(es)de 𝑓

b. (2 puntos)Identifique la(s ) asíntota(s) vertical(es

)de 𝑓.

c. (3 puntos) Identifique los intervalos donde 𝑓 es creciente o decreciente. ¿Acaso 𝑓 tiene extremos relativos? Explique

d. (1puntos)Encuentre𝑓′′(𝑥)

e. (3 puntos)Identifique los intervalos de concavidad para 𝑓 .

f. (7 puntos)Trace un boceto de la gráfica de 𝑓