INTRODUCCION A LA TEORIA DE PROBABILIDADESEl concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eentos !"t"ros# Es por ello $"e el est"dio de probabilidades s"r%e como "na herramienta "tilizada por los nobles para %anar en los &"e%os ' pasatiempos de la (poca# El desarrollo de estas herramientas !"e asi%nado a los matem)ticos de la corte#Con el tiempo estas t(cnicas matem)ticas se per!eccionaron ' encontraron otros "sos m"' di!erentes para la $"e !"eron creadas# Act"almente se contin*ocon el est"dio de n"eas metodolo%+as $"e permitan ma,imizar el "so de la comp"taci-n en el est"dio de las probabilidades dismin"'endo. de este modo. los m)r%enes de error en los c)lc"los#A tra(s de la historia se han desarrollado tres en!o$"es concept"ales di!erentes para de/nir la probabilidad ' determinar los alores de probabilidad0El en!o$"e cl)sicoDice $"e si ha' , posibles res"ltados !aorables a la oc"rrencia de "n eento A ' z posibles res"ltados des!aorables a la oc"rrencia de A. ' todos los res"ltados son i%"almente posibles ' m"t"amente e,cl"'ente 1no p"eden oc"rrir los dos al mismo tiempo2. entonces la probabilidad de $"e oc"rra A es0El en!o$"e cl)sico de la probabilidad se basa en la s"posici-n de $"e cada res"ltado sea i%"almente posible#Este en!o$"e es llamado en!o$"e a priori por$"e permite. 1en caso de $"e p"eda aplicarse2 calc"lar el alor de probabilidad antes de obserar c"al$"ier eento de m"estra#E&emplo0Si tenemos en "na ca&a 34 piedras erdes ' 5 piedras ro&as# La probabilidad de sacar "na piedra ro&a en "n intento es0El en!o$"e de !rec"encia relatiaTambi(n llamado En!o$"e Emp+rico. determina la probabilidad sobre la base de la proporci-n de eces $"e oc"rre "n eento !aorable en "n n"mero de obseraciones# En este en!o$"e no ese "tiliza la s"posici-n preia de aleatoriedad# Por$"e la determinaci-n de los alores de probabilidad se basa en la obseraci-n ' recopilaci-n de datos#E&emplo0Se ha obserado $"e 5 de cada 46 eh+c"los $"e pasan por "na es$"ina no tienen cint"r-n de se%"ridad# Si "n i%ilante de transito se para en esa misma es$"ina "n ida c"al$"iera 7C")l ser) la probabilidad de $"e deten%a "n eh+c"lo sin cint"r-n de se%"ridad8Tanto el en!o$"e cl)sico como el en!o$"e emp+rico cond"cen a alores ob&etios de probabilidad. en el sentido de $"e los alores de probabilidad indican al lar%o plazo la tasa relatia de oc"rrencia del eento#El en!o$"e s"b&etioDice $"e la probabilidad de oc"rrencia de "n eento es el %rado de creencia por parte de "n indiid"o de $"e "n eento oc"rra. basado en toda la eidenciaa s" disposici-n# Ba&o esta premisa se p"ede decir $"e este en!o$"e es adec"ado c"ando solo ha' "na oport"nidad de oc"rrencia del eento# Es decir. $"e el eento oc"rrir) o no oc"rrir) esa sola ez# El alor de probabilidad ba&o este en!o$"e es "n &"icio personal#Concepto de ProbabilidadSe de/ne como c)lc"lo de probabilidad al con&"nto de re%las $"e permiten determinar si "n !en-meno ha de prod"cirse. !"ndando la s"posici-n en el c)lc"lo. las estad+sticas o la teor+a#El ob&etio de esta pr)ctica es realizar arios e,perimentos de probabilidad. anotar los res"ltados ' posteriormente compararlos con los res"ltados te-ricos#Ob&etios de las ProbabilidadesEl ob&etio !"ndamental de la probabilidad. es la de mostrar al al"mno la importancia ' "tilidad del 9(todo Estad+stico en el )mbito econ-mico:empresarial# Con tal /n. el al"mno deber) aprender a mane&ar los m(todos ' t(cnicas m)s adec"adas para el correcto tratamiento ' an)lisis de la in!ormaci-n proporcionada por los datos $"e %enera la actiidad econ-mica#Para ello se comienza a/anzando los conocimientos $"e el al"mno 'a posee deEstad+stica Descriptia. adem)s de al%"nos conceptos n"eos relacionados coneste tema#El alor de la probabilidadEl alor m)s pe$"e;o $"e p"ede tener la probabilidad de oc"rrencia de "n eento es i%"al a 6. el c"al indica $"e el eento es imposible. ' el alor ma'or es 3. $"e indica $"e el eento ciertamente oc"rrir)# Entonces si decimos $"e P1A2 es la probabilidad de oc"rrencia de "n eento A ' P1A< 2 la probabilidad de no:oc"rrencia de A. tenemos $"e0Eentos m"t"amente e,cl"'entes ' eentos no e,cl"'entesDos o m)s eentos son m"t"amente e,cl"'entes o dis&"ntos. si no p"eden oc"rrir sim"lt)neamente# Es decir. la oc"rrencia de "n eento impide a"tom)ticamente la oc"rrencia del otro eento 1o eentos2#E&emplo0Al lanzar "na moneda solo p"ede oc"rrir $"e sal%a cara o sello pero no los dos a la ez. esto $"iere decir $"e estos eentos son e,cl"'entes#Dos o m)s eentos son no e,cl"'entes. o con&"ntos. c"ando es posible $"e oc"rran ambos# Esto no indica $"e necesariamente deban oc"rrir estos eentosen !orma sim"lt)nea#E&emplo0Si consideramos en "n &"e%o de domino sacar al menos "n blanco ' "n seis. estos eentos son no e,cl"'entes por$"e p"ede oc"rrir $"e sal%a el seis blanco#Re%las de la Adici-nLa Re%la de la Adici-n e,presa $"e0 la probabilidad de oc"rrencia de al menos dos s"cesos A ' B es i%"al a0P1A o B2 = P1A2 U P1B2 = P1A2 > P1B2 si A ' B son m"t"amente e,cl"'enteP1A o B2 = P1A2 > P1B2 ? P1A ' B2 si A ' B son no e,cl"'entesSiendo0 P1A2 = probabilidad de oc"rrencia del eento AP1B2 = probabilidad de oc"rrencia del eento BP1A ' B2 = probabilidad de oc"rrencia sim"ltanea de los eentos A ' BEentos IndependientesDos o m)s eentos son independientes c"ando la oc"rrencia o no:oc"rrencia de "n eento no tiene e!ecto sobre la probabilidad de oc"rrencia del otro eento 1o eentos2# Un caso t+pico de eentos independiente es el m"estreo con reposici-n. es decir. "na ez tomada la m"estra se re%resa de n"eo a la poblaci-n donde se obt"o#E&emplo0lanzar al aire dos eces "na moneda son eentos independientes por $"e el res"ltado del primer eento no a!ecta sobre las probabilidades e!ectias de $"eoc"rra cara o sello. en el se%"ndo lanzamiento#Eentos dependientesDos o m)s eentos ser)n dependientes c"ando la oc"rrencia o no:oc"rrencia de "no de ellos a!ecta la probabilidad de oc"rrencia del otro 1o otros2# C"ando tenemos este caso. empleamos entonces. el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del eento relacionado# La e,presi-n P1A@B2 indica la probabilidad de oc"rrencia del eento A s+ el eento B 'a oc"rri-#Se debe tener claro $"e A@B no es "na !racci-n#P1A@B2 = P1A ' B2AP1B2 o P1B@A2 = P1A ' B2AP1A2Re%las de 9"ltiplicaci-nSe relacionan con la determinaci-n de la oc"rrencia de con&"nta de dos o m)s eentos# Es decir la intersecci-n entre los con&"ntos de los posibles alores de A ' los alores de B. esto $"iere decir $"e la probabilidad de $"e oc"rran con&"ntamente los eentos A ' B es0P1A ' B2 = P1A B2 = P1A2P1B2 si A ' B son independientesP1A ' B2 = P1A B2 = P1A2P1B@A2 si A ' B son dependientesP1A ' B2 = P1A B2 = P1B2P1A@B2 si A ' B son dependientesDistrib"ci-n de probabilidad normalEs "na distrib"ci-n de probabilidad contin"a $"e es tanto sim(trica como mesoc"rtica# La c"ra $"e representa la distrib"ci-n de probabilidad normal se describe %eneralmente como en !orma de campana# Esta distrib"ci-n es importante en in!erencia estad+stica por tres razones di!erentes0Se sabe $"e las medidas prod"cidas en m"chos procesos aleatorios si%"en esta distrib"ci-n#Las probabilidades normales p"eden "tilizarse %eneralmente para apro,imar otras distrib"ciones de probabilidad. tales como las distrib"ciones binomial ' de Poisson#Las distrib"ciones estad+sticas tales como la media de la m"estra ' la proporci-n de la m"estra. si%"en a men"do la distrib"ci-n normal. sin tener en c"enta la distrib"ci-n de la poblaci-nLos alores de los par)metros de la distrib"ci-n de probabilidad normal son= 6 ' = 3# C"al$"ier con&"nto de alores B normalmente distrib"ido p"edenconertirse en alores normales est)ndar z por medio de la !orm"la0Caciendo posible el "so de la tabla de proporciones de )rea ' hace innecesario el "so de la ec"aci-n de la !"nci-n de densidad de c"al$"ier distrib"ci-n normal dada#Para apro,imar las distrib"ciones discretas binomial ' de Poisson se debe hacer0Binomial npnp13:p2 Si n D E6#np D 4 n13:p2 D 4Poisson D 3 6Distrib"ci-n de probabilidad e,ponencialSi en el conte,to de "n proceso de Poisson oc"rren eentos o (,itos en "n espectro contin"o de tiempo ' espacio# Entonces la lon%it"d del espacio o tiempo entre eentos s"cesios si%"e "na distrib"ci-n de probabilidad e,ponencial# P"esto $"e el tiempo ' el espacio son "n espectro contin"o. esta es "na distrib"ci-n contin"a#En caso de este tipo de distrib"ci-n no ale la pena pre%"ntarse 7c")l es la probabilidad de $"e el primer pedido de sericio se ha%a e,actamente de a$"+ a "n min"to8# 9as bien debemos asi%nar "n interalo dentro del c"al el eento p"ede oc"rrir. pre%"nt)ndonos. 7c")l es la probabilidad de $"e el primer pedido se prod"zca en el pr-,imo min"to8#Dado $"e el proceso de Poisson es estacionario. la distrib"ci-n e,ponencial se aplica 'a sea c"ando estamos interesados en el tiempo 1o espacio2 hasta el primer eento. el tiempo entre dos eentos s"cesios. o el tiempo hasta $"e oc"rra el primer eento desp"(s de c"al$"ier p"nto aleatoriamente seleccionado#Dondees la ci!ra media de oc"rrencias para el interalo de inter(s. laprobabilidad e,ponencial de $"e el primer eento oc"rra dentro del interalo desi%nado de tiempo o espacio es#P1T F t2 = 3 : e :De manera $"e la probabilidad e,ponencial de $"e el primer eento no oc"rra dentro del interalo desi%nado de tiempo o espacio es0P1T D t2 = e :E&emplo0 Un departamento de mantenimiento recibe "n promedio de 4 llamadas por hora# Comenzando en "n momento aleatoriamente seleccionado. la probabilidad de $"e "na llamada lle%"e dentro de media hora es0Promedio 4 por hora. como el interalo es media hora tenemos $"e =G.4Amedia hora#P 1T F E6 min#2 = 3: e :4 = 3 : 6.6HG6H = 6.53I5GAxiomas de ProbabilidadLos a,iomas de la probabilidad son en"nciados m"' simples a partir de los c"ales se constr"'e la teoria de la probabilidad#3# S"ma de Probabilidades i%"al a 3G# Todos los posibles res"ltados estan entre cero ' "noE#: Para G eentos E3 ' EG con E3JEG = 6P1E3UEG2 = P1E32 > P1EG2si E eento independienteP1EK2 = 3 : P1E2Regla de AdicionLos eentos comp"estos se %eneran al a"mentar las operaciones basicas a los con&"ntos de eentos indiid"ales# Las "niones de eentos. las intersecciones de eentos ' los complementos son de interes !rec"ente#La probabilidad de "n eento comp"esto a men"do p"ede obtenerse a partir de las probabilidades de cada "no de los eentos $"e lo !orman#En ocasiones las operaciones basicas de los con&"ntos tambien son "tiles para determinar la probabilidad de "n eento comp"esto#L AJB = 6L P1AUB2 = P1A2 > P1B2L P1AUB2 = P1A2 > P1B2 : P1AJB2: E o mas eentosL P1AUBUC2= P1A2 > P1B2 > P1C2 : P1AJB2 : P1AJC2 P1BJC2 > P1AJBJC2: Si los eentos son E,cl"'entesL P1AUBUC2 = P1A2 > P1B2 > P1C2Regla de MultiplicacionSe re/eren a la determinaci-n de la probabilidad de la oc"rrencia con&"nta de A' B#E,isten dos acepciones de esta re%la032 Si los eentos de independientes0 P1A ' B 2 = P1 A J B 2 = P1A2P1B2G2 Si los eentos son dependientes0Es la probabilidad de A m"ltiplicada por la probabilidad condicional de B dado A#LP1A ' B2 = P1A2P1BA2Probabilidad Condicional9"chos eentos se constr"'en en relacion a "n proceso aleatorio ' el calc"lo de s" probabilidad depende de la oc"rrencia de eentos pasados#Con lo $"e lo podemos plantear con la si%"iente !orm"la#P1AB2 = P 1AJB2 A P 1B2donde0 P1AB2 representa la Probabilidad del eento A dado el eento B#Teorema de Ba'esEl Teorema de Ba'es. dentro de la teor+a probabil+stica. proporciona la distrib"ci-n de probabilidad condicional de "n eento MAM dado otro eento MBM . en !"nci-n de la distrib"ci-n de probabilidad condicional del eento MBM dado MAM ' de la distrib"ci-n de probabilidad mar%inal del eento MAM#De tal manera. $"e se calc"la con la si%"iente !orm"la 0donde0P1Ai2 son las probabilidades a priori#P1B Ai2 es la probabilidad de B en la hip-tesis Ai#P1Ai B2 son las probabilidades a posteriori#===================================E&emplos3#:La si%"iente tabla presenta la historia de 5N6 obleas de "n proceso de !abricacion de semicond"ctores# S"pon%ase $"e se eli&a alazar "na oblea# sea A el eento donde la oblea tiene alto niel de contaminacion#En el centro delposicionInstr"mento deNoSiContaminacionNo43NOHAltaSi33GGNOSea0A = P altos nieles contaminacion Qb = P la oblea esta en el centro del instr"mento QA2 como interpreta 1AUB2 ' 1AJB2#B2 Calc"lar la probabilidad de cada eento#: A2P1AUB2 = n1a2 > n1b2 : 1AJB2 = E4H > E3N : GNO = NGO: B2LP 1AUB2 = NGOA5N6 = #N4LP 1AJB2 = GNOA5N6 = #GOLP1a2 = E4HA5N6 = #EHLP1b2 = E3NA5N6 = #EEG#: Al /nal de semestre. c"al se a a %rad"ar en in%enieria ind"strial# Desp"es de tener entreistas en G compa;ias donde $"iere traba&ar. el eal"a la probabilidad $"e tiene de li%rar "na o!erta de empleo en la compa;ia A=#H ' la prob# de tenerla en la compa;ia B=#O# si por otro lado sonsidera $"e la prob# de$"e reciba o!erta de arias compa;ias es #4 # 7C"al es la prob# de obtendra almenos "na o!erta de esas G compa;ias#P1A2 = #HP1B2 = #OP1C2 = #4P1almenos32 = P1AJ2 = #4P1AJB2 = P1A2 > P1B2 : P1AJB2 = #H > #O : #4 = #5E#: C"al es la probabilidad de obtener "n total de I. 33 c"ando se lanza "n par de dados#P1I2 = S P 13.O2 1G.42 1E.N2 1N.E2 14.G2 1O.32P1I2 = OAEO = 3AOP1332 = S P 14.O2 1O.42 QP1332 = GAEO = 3A3HN#: Si las prob# de $"e "n indiid"o $"e compra "n a"tomoil de ele%ir el color erde. blanco. ro&o o az"l. son respectiamente 0 #5. #34. #G3 ' #GE. 7C"al es la prob# de $"e "n comprador dado ad$"iera "n a"tomoil ne%ro $"e ten%a 3 de esos colores#P12 = #65P1b2 = #34P1r2 = #G3P1a2 = #GEP1UbUrUa2 = P12 > P1b2 > P1r2 > P1a2 = #65 > #34 > #G3 > #GE = #OH4#: Los residentes de "na metropoli estan decidiendo si es coneniente "na policia metropolitana# se toma "na m"estra de 346 residentes a los $"e se les pre%"nta si estan a !aor o en contra de esta policia metropolitana. los res"ltados de la m"estra se presentan en la si%# tabla#OpinionesResidentesRaorContraEn la ci"dadH6N6En la s"b"rbiosG636si se toma "n residente alazar. c"al es la prob# de $"e esta persononaa2 este a !aor = 1366A3462 = #OOb2 este a !aor ' sea residente en ci"dad = 1H6A3G62 = #OOc2 este a !aor ' ia en los s"b"rbios = 1G6AE62= #OOd2 son los eentos a !aor o en contra independientes 8 = independientes p$ las prob# son i%"alesO#: Los res"ltados obtnidos de GOO m"estras se clasi/can de ac"erdo con la presencia de Gmolec"las raras# sea A el eento !ormado por todos las m"estrasen las $"e se enc"entra presente la molec"la rara 3 ' B el eento !ormado por todas las m"estras de aire donde esta presente la molec"la G ' sea la distrib"cion m"estras en la si%# tabla9olec"la 3presentenosi9olec"la GNoG3GGNpresenteSi3H3G3#: P1A2 = EOAGOO = #3E4G#: P1AB2 = 3GAE6 = #NE#: P1B2 = E6AGOO = #33GN#: P1BA2 = 3GAEO = #EEI#: Se selecciona "n al"mno alazar de G66. se sabe $"e 3N6 son de tiempo completo 1H6 hombres ' O6 m"&eres2 . O6 de tiempo parcial 1N6 m"&eres ' G6 hombres2. si el eento A es el est"diante seleccionado es de tiempo completo 'C es m"&er. enc"entre la prob# de $"e sea m"&er ' de tiempo completo#Al"mnoCombre9"&erT# CompletoO6H6T ParcialG6N6: P1tiempo completo2 = 3N6AG66=#I: P1m"&er2 = 3G6AG66 = #O: P 1AJB2 = 1H6A3G62 13G6AG662 = 1H6AG662 = #NH#: Se lanza "n dado ne%ro ' "n dado blanco . enc"entre la prob# de $"e la s"ma de los n"meros sea I ' $"e el n"mero del dado ne%ro sea mas $"e el deldado blanco#s = P 13. O2 1G.42 1E.N2P1a2 = EAEO = #6HEP1AJB2 = 1EA342 134AEO2 = EAEO = #6HE5#: La prob# de $"e "na bateria de a"tomoil sometida a alta temperat"ra dentro del compartimiento del motor reciba "na corriente ma'or $"e la normal es de #I. la prob# de $"e la pila este e,p"esta a alta temperat"ea es #64 . sea Ael eento donde la bateria e,perimenta "na corriente de car%a ma'or a la normal ' B donde la bateria esta e,p"esta a altas temperat"ras. 7C"al es la prob# de $"e la bateria e,periemente "na corriente alta ' "na temp# alta8A Pbateria sometida corriente ma'or QB P bateria e,p"esta alta temperat"ra QP1a2 = #IP1b2 = #64P1AAB2 = P1AJB2 A P1B2 = 1#I21#642 A #64P1AAB2 = #6E4A#64P1AAB2 = #I36#: P 0 P Cto inte%rado s"&eto a nieles de contaminacion sea la ca"sa de "na !alla de prod"cto Q = 6#36 1RAA2P P Cto $"e no esta s"&eta a altos nieles de contaminacion sea la ca"sa de la !alla Q = #664 1RAAK2G6S prod"ccion esta s"&eta a altos nieles de contaminacionc"al es la prob# de $"e "n prod"cto "tilize al%"no de estos circ"itos !alle 8R P eento donde prod"cto !alla QA P el cto esta e,p"esto a altos nieles de contaminacion Q:::::::P1R2 = 1AJR2 > 1AKJR2= P1RAA2 P1A2 > P 1RAAK2 P1AK2= 1#362 1#G62 > 1#6642 1#H62P1R2 = #6G > #66NP1R2 = #6GN33#: El so!tTare para detectar !ra"de en las tar&etas tele!onicas "tilizadas por los "s"arios re%istra todos los dias el n"mero de aras metropolitanas donde se ori%ina todas las llamadas# Se tiene $"e el 3S de los "s"sarios le%itimos hacen al dia llamadas $"e se ori%inan en G o mas areas metropolitanas. sin embar%o. el E6S de los "s"arios !ra"dolentos hacen al dia llamadas desde G o mas areasmetropolitanas#La proporcion de "s"arios !ra"dolentos es #63SSie el mismo "s"ario hace en 3 dia G o mas llamadas desde 3 o mas areas metropolitanas # 7C"al es la prob# de $"e sea "n "s"ario !ra"d"lento 8P1"s"ario !ra"d"lento2 = #6663P1"s"ario le%itimo2 = 3: #6665 = #5555P1BAA2 = #63P1BAAK2 = #EP1AKAB2 = P1BAAK2 P 1AK2 A P 1B2= P 1BAAK2 P1AK2A P1BAA2 P 1A2 > P 1BAAK2 P1AK2= 1#E2 1#66632 A 1#632 1#66632 > 1#E2 1#55552= #66I55