Post on 09-Mar-2016
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1UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
Facultad de Ingeniera
Departamento de Ingeniera Industrial
Probabilidad y Estadstica I
Sesiones # 23 y # 24
Intervalos de Confianza
Mario Castillo (Coordinador General Curso)
2Intervalos de Confianza
Caso No. 1: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea una distribucin normal con varianza conocida.
Supuestos:
1) Variable aleatoria:
2) Parmetros poblacionales: desconocida, conocida.
3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la muestra aleatoria.
Estadstico:1) Estimador del parmetro :
2) Construccin del estadstico:
Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro :
)1,0(~0
Nn
X
nNX
2
0,~
1
1
0)2/1(
0)2/1(
)2/1(
0
)2/1(
nzX
nzXP
zn
XzP
nzXIC 0)2/1(%100)1(
20,~ NX 2
0
SnX ,,
3Ejemplo (Clculo del I. de C.)
Variable de inters: precio de las acciones de compaas del sector tecnolgico en US.
Se sabe que el precio de los acciones se comporta como una VA N(, 400). Se tiene una MAde tamao 9 dada por: (100, 109, 110, 80, 65, 125,120, 85, 85).
Calcular el IC para , de 90% y 95% de confiabilidad.
De la MA se obtiene: Por otra parte:
- P(XN* z) = 0.975 => z = 1.96
- P(XN* z) = 0.950 => z = 1.65
Entonces el IC para , de 95% de confiabilidad est dado por:
Ejemplo (Clculo del I. de C.)
Variable de inters: Consumo mensual de minutos de celular de estudiantes de P&E I.
Se sabe que esta variable se comporta como una VA N(, 703.22). Se tiene una MA detamao 10 dada por: (400, 200, 400, 600, 700, 900, 550, 150, 400, 400). Calcular el IC para
, de 95% de confiabilidad.
Intervalos de Confianza
404
7.97
2
S
X
]76.110;64.84[9
2096.17.970)975.0(%95
nzXIC
]8.905;15.34[10
2.70396.14700)975.0(%95
nzXIC
4Intervalos de Confianza
Caso No. 2: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea unadistribucin normal con varianza desconocida.
Supuestos:
1) Variable aleatoria:
2) Parmetros poblacionales: desconocidas.
3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la muestra aleatoria.
Estadstico:1) Estimador del parmetro :
2) Construccin del estadstico:
pero es desconocido.
Por otra parte, se puede demostrar que:
)1,0(~ Nn
X
nNX
2
,~
2,~ NX2,
SnX ,,
2
)1(2
2
~)1( nnS
)1()1(
2
2~~
)1(
)1(
nn tnS
Xt
n
nS
n
X
5Intervalos de Confianza
Caso No. 2: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea unadistribucin normal con varianza desconocida.
Supuestos:
1) Variable aleatoria:
2) Parmetros poblacionales: desconocidas.
3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la muestra aleatoria.
Estadstico:1) Estimador del parmetro :
2) Construccin del estadstico:
Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro :
nNX
2
,~
2,~ NX2,
SnX ,,
)1(~
ntnS
X
1
1
)2/1()2/1(
)2/1()2/1(
n
StX
n
StXP
tnS
XtP
n
StXIC )2/1(%100)1(
6Ejemplo (Clculo del I. de C.)
Variable de inters: activos de una muestra aleatoria de 1000 clientes de un banco.
Segn el comportamiento de los datos, esta variable se comporta como un VA N(, 2).
Con base en la muestra, se calcul que = 517 ($M) y S = 300($M).
Hallar el IC para , de 90% y 95% de confiabilidad.
- P( t(999) t ) = 0.950 => t = 1.645
- P( t(999) t ) = 0.975 => t = 1.96
Los IC del parmetro de 90% y 95% de confiabilidad estn dados por:
Intervalos de Confianza
X
]6.535;4.498[1000
30096.1517)975.0(%95
n
StXIC
]6.532;4.501[1000
300645.1517)95.0(%90
n
StXIC
7Intervalos de Confianza
Caso No. 3: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando semuestrean dos distribuciones normales independientes con varianzasdesconocidas pero iguales.
Supuestos:
1) Variables aleatorias:
2) Parmetros poblacionales: desconocidas.
3) Muestras aleatorias: calculables a partir de la M.A.
Estadstico:1) Estimador del parmetro (1 - 2):
2) Construccin del estadstico:
pero es desconocido.
Por otra parte, se puede demostrar que:
2
2
1
2
2121 ,~nn
NXX
222211 ,~,,~ NXNX 221 ,,
222111 ,,,,, SnXSnX
2
)2(22
2
212
2
1
21~)1()1( nnn
Sn
S
)2(
21
22
2
212
2
1
2
2
1
2
2121
21~
2
)1()1(
nnt
nn
nS
nS
nn
XX
1,0~
2
2
1
2
2121 N
nn
XX
)2(
21
2
2
21
2
1
21
2121
21~
2
)1()1(11
nnt
nn
nSnS
nn
XX
8Intervalos de Confianza
Caso No. 3: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando semuestrean dos distribuciones normales independientes con varianzasdesconocidas pero iguales.
Estadstico: donde
Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro (1 - 2):
11111
111
21
)2/1(2121
21
)2/1(21
)2/1(
21
2121
)2/1(
nnSptXX
nnSptXXP
t
nnSp
XXtP
2
)1()1(~
11 21
2
2
21
2
1)2(
21
2121
21
nn
nSnSSpt
nnSp
XXnn
21
)2/1(21%100)1(
11
nnSptXXIC
9Intervalos de Confianza para la Diferencia de Medias - Ejemplo
X1 X2
n1 = 100 n2 = 100
S12 = 41 S2
2 = 46
Media Muestral 1 =101 Media Muestral 2 = 80.3
]53.22;87.18[100
1
100
1)595.6(96.13.80101%95
IC
595.62100100
)1100(46)1100(41
2
)1()1(
21
2
2
21
2
1
Sp
nn
nSnSSp
21
)975.0(21%95
11
nnSptXXIC
10
Intervalos de Confianza
Caso No. 4: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando semuestrean dos poblaciones independientes, no necesariamente normales, paramuestras grandes y varianzas conocidas.
Supuestos:
1) Variables aleatorias:
2) Parmetros poblacionales: desconocidas conocidas.
3) Muestras aleatorias: calculables a partir de la M.A.
Estadstico:1) Estimador del parmetro (1 - 2):
2) Construccin del estadstico:
Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro (1 - 2):
2
2
2
1
2
12121 ,~
nnNXX
2222
11221121 ,,,, XVarXVarXEXEXX
21,
222111 ,,,,, SnXSnX
1,0~
2
2
2
1
2
1
2121 N
nn
XX
2
2
2
1 ,
1
1
2
2
2
1
2
1)2/1(2121
2
2
2
1
2
1)2/1(21
)2/1(
2
2
2
1
2
1
2121
)2/1(
nnzXX
nnzXXP
z
nn
XXzP
2
2
2
1
2
1)2/1(21%100)1(
nnzXXIC
30, 21 nn
11
Intervalos de Confianza
Caso No. 5: Intervalo de Confianza para la diferencia de proporciones cuando semuestrean dos poblaciones independientes, no necesariamente normales, paramuestras grandes y varianzas conocidas.
Supuestos:
1) Variables aleatorias:
Estadstico:1) Estimador del parmetro (p1 - p2):
2) Construccin del estadstico:
Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro (p1 - p2):
2
22
1
11212121
)1()1(,~
n
pp
n
ppppNXXpp
1,0~
)1()1(
2
22
1
11
2121 N
n
pp
n
pp
pppp
2
22
1
11)2/1(21%100)1(
)1()1(
n
pp
n
ppzppIC
2211 ~,~ pBernoulliXpBernoulliX
)1()1( 2221112211 ppXVarppXVarpXEpXE
12
Intervalos de Confianza
Caso No. 6: Intervalo de Confianza para la varianza cuando se muestrea una distribucin normal.
Supuestos:
1) Variable aleatoria:
2) Parmetros poblacionales: desconocidas.
3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la M.A.
Estadstico:
Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro 2:
1)1()1(
1)1(
)2/(
22
)2/1(
2
)2/1(2
2
)2/(
nSnSP
nS
P
2,~ NX2,
SnX ,,
2
)1(2
2
~)1( nnS
)2/(
2
)2/1(
2
%100)1(
)1(;
)1(
nSnSIC
13
EJEMPLO
Variable de inters: estatura de los estudiantes de P&E I.
Segn el comportamiento de los datos, esta variable se comporta como un VA N(, 2).
Se quiere construir un intervalo de confianza del 99% para la varianza de dicha variable a partir de una MA
de tamao 15 en la que se obtuvieron las siguientes estaturas en centmetros: 182, 167, 170, 165, 169,
169, 180, 181, 175, 157, 168, 168, 183, 178, 162.
Solucin:
De la muestra aleatoria se obienten S2 = 61.54 y n = 15.
Intervalos de Confianza
]43.211;51.27[075.4
)115(54.61;
32.31
)115(54.61%99
IC
)005.0(
2
)995.0(
2
%99
)1(;
)1(
nSnSIC
14
Intervalos de Confianza
Caso No. 7: Intervalo de Confianza con respecto al cociente de varianzas de dos distribuciones normales independientes.
Supuestos:
1) Variables aleatorias:
2) Parmetros poblacionales: desconocidas.
3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la M.A.
Construccin del Estadstico:
Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro (12/ 2
2 ):
1
1
)2/1(2
2
2
1
2
2
2
1)2/(2
2
2
1
)2/1(2
2
2
1
2
1
2
2)2/(
FS
SF
S
SP
FS
SFP
22222111 ,~,,~ NXNX
2
)1(22
2
22
)1(12
2
2
2
1
1
1
~)1(,~)1( nn nS
nS
2
2
2
121 ,,,
222111 ,,,,, SnXSnX
)1,1(
1
2
1
2
2
2
2
2
2
12
1
1
2
~
)1(
)1(
)1(
)1(
nnF
n
nS
n
nS
)1,1(22
22
2
12
21
1
~ nnFS
S
)2/1(2
2
2
1)2/(2
2
2
1%100)1( ; F
S
SF
S
SIC
15
Tabla de la Distribucin Normal Estndar
Probabilidad acumulada
hasta el punto z.
= ( )
= 1 ( )
16
Tabla de la Distribucin ()
n: Grados de libertad.
17
Tabla de la Distribucin ()2
n: Grados de libertad.
18
Tabla de la Distribucin F
m: Grados de libertad del numerador.
n: Grados de libertad del denominador.
05.0)( vVP
19
Ejercicios Propuestos
1. Suponga, que se quiere analizar el comportamiento de la media de la variable
Consumo mensual de Minutos de Celular en la poblacin de estudiantes deP&E 1. Usando las 100 muestras aleatorias que se encuentran en el archivo
Ejercicios IC.xlsx construya los intervalos de confianza del 95% para la
estimacin de la media poblacional si se sabe que es 703.72 minutos/mes , yencuentre la proporcin de veces que dicho intervalo contiene a la media.
2. Repita el procedimiento anterior asumiendo que no se conoce la varianza
poblacional.
3. Suponga que se desea comparar los tiempos de desplazamiento Casa-
Universidad y Universidad-Casa de los estudiantes de P&E 1. Usando el archivo
Ejercicios IC.xlsx construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia
de medias, asumiendo normalidad y que la desviaciones son de 20.11 y 21.81
minutos, respectivamente . Analice sus resultados.