Post on 22-Jan-2015
Interpolación
Forma de Lagrange para interpolación
polinomial
Dra. Nélida Beatriz Brignole
Aproximación de Funciones
Interpolación
Cuadrados Mínimos
Dra. Nélida Beatriz Brignole 3Computación Científica
Ajuste de Datos
Dra. Nélida Beatriz Brignole 4Computación Científica
Cuadrados Mínimos
Dra. Nélida Beatriz Brignole 5Computación Científica
Interpolación
niyxp
xp
yxn
ii
ii
0)(
:que talposible mínimo grado de )( polinomioun es
datos los interpola que polinomioun
),(dato puntos1 de tablauna Dada
Dra. Nélida Beatriz Brignole 6Computación Científica
Teorema (existencia y unicidad)
niyxp
np
yyy
xxx
iin
n
n
n
0)(
:que tal sumo lo a grado de polinomio únicoun hay
,,,sarbitrario valorespara entonces
distintos, reales númerosson ,,, Si
10
10
Dra. Nélida Beatriz Brignole 7Computación Científica
Interpolación
Lagrange
Splines
Dra. Nélida Beatriz Brignole 8Computación Científica
Fórmula de Interpolación
nnnnnn
n
n
n
ii
nn
y
y
y
y
a
a
a
a
xxx
xxx
xxx
xxx
niyxp
xaxaxaaxp
2
1
0
2
1
0
2
2222
1211
0200
2210
1
1
1
1
0)(
...)(
Dra. Nélida Beatriz Brignole 9Computación Científica
Características
Matriz de coeficientes: Matriz de Vandermonde
Mal condicionada
Dra. Nélida Beatriz Brignole 10Computación Científica
Forma de Lagrange
0)(
1)(:nObservació
0)(
)()(
0
0
ji
ii
n
ijj ji
ji
n
kkkn
xl
xl
nixx
xxxl
xlyxp
Dra. Nélida Beatriz Brignole 11Computación Científica
Forma de Lagrange• polinomio de interpolación de grado n para una tabla
con (n+1) puntos (asumiendo abscisas xi distintas)
• n diferentes formas de construir este polinomio (s algoritmos). Una alternativa es Lagrange.
El polinomio de Lagrange se escribe como:
n
iiinn xyxyxyxyxp
01100 )()(...)()()(
Donde i(x) con 0 i n son polinomios de grado n con la propiedad:
ji
jix ijji 1
0)(
(1.a)
(1.b)Delta de Kronecker
Dra. Nélida Beatriz Brignole 12Computación Científica
Construcción del polinomio
La propiedad anterior asegura que se cumplan las condiciones de interpolación.
iii yx )( 0 i n
Derivemos la forma de los polinomios de Lagrange:• Para satisfacer (1.a) i(x) debe tomar la forma:
))...()()...(()( 110 niiii xxxxxxxxkx (2)
• Para satisfacer (1.b) debe ser:
))...()()...(()(1 110 niiiiiiiii xxxxxxxxkx
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Construcción del polinomio
n
ik
kki
n
ik
kk
i
xx
xx
x
0
0
)(
)(
)(
Reemplazando (3) en (2):
))...()()...((
1
110 niiiiiii xxxxxxxx
k
(3)
Dra. Nélida Beatriz Brignole 14Computación Científica
Construcción del polinomio
Puede probarse que:
1)(0
n
ii x
Lo cual puede utilizarse como chequeo aritmético cuando calculamos a mano.
Dra. Nélida Beatriz Brignole 15Computación Científica
Representación para abscisas equidistantes
Suele haber tablas matemáticas en las que:
ihxxi 0
Se introduce una nueva variable s , que mide la distancia entre x y x0 en unidades de h:
i
Si tenemos en cuenta lo siguiente:
shxx 0
hkixx
hksxx
ki
k
)(
)(
Dra. Nélida Beatriz Brignole 16Computación Científica
Representación para abscisas equidistantes
n
ik
kn
ik
kki
n
ik
kk
i ki
ks
xx
xx
x0
0
0
)(
)(
)(
)(
)(
OBS: La representación es independiente de h
Dra. Nélida Beatriz Brignole 17Computación Científica
Existencia y unicidad del polinomio de interpolación
Teorema:
Si x0, x1,..., xn son números reales distintos, entonces para valores arbitrarios y0, y1,..., yn polinomio pn de grado n tal que:
iin yxp )( (0 i n)
Demostración:
a) UNICIDAD (por contradicción)
Supongamos que existen dos polinomios distintos pn(x) y qn(x).
Entonces, grado(pn(x)) n y
grado(qn(x)) n
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Demostración
Si generamos el polinomio diferencia:
)()()( xqxpxd nnn
grado(dn(x)) n (*)
Como ambos polinomios interpolan a los mismos datos,
iin
iin
yxq
yxp
)(
)(0 i n
0)()()( iiininin yyxqxpxd
x0, x1,..., xn son (n+1) raíces del polinomio dn(x)
Dra. Nélida Beatriz Brignole 19Computación Científica
Demostración de unicidad
donde grado(dn(x)) = n +1 + grado(z(x)) (1)
ó bien
z(x) 0 (2)
Si se verifica (1)
Þ Como grado(z(x)) 0 grado(dn(x)) n+1 (**)
Si comparo (*) con (**) una contradicción
Y lo que ocurre es (2)
dn(x) = 0 pn(x) = qn(x) CQD
)())...()(()( 10 xzxxxxxxxd nn
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Demostración de existencia
b) EXISTENCIA (por inducción sobre el grado del polinomio)• Base: n=0 (obvia)
(x0,y0) p0(x0) = cte (grado 0)
p0(x0) = y0 p0(x0) = y0 = cte• Hipótesis inductiva:
asumo que
pk-1(x) de grado a lo sumo (k-1) tal que
pk-1(xi)=yi 0 i k-1 qpq’
pk-1(x) , grado (pk-1(x)) k tal que
pk(x)=yi 0 i k-1
Dra. Nélida Beatriz Brignole 21Computación Científica
Demostración de existencia
Construyo:
))...()(()()( 1101 kkk xxxxxxcxpxpObs: pk(x) interpola los datos (xi, yi) 0 i k-1
determinemos el coeficiente c de modo tal que pk(xk)= yk
Reemplazando queda:))...()(()()( 1101 kkkkkkkkk xxxxxxcxpyxp
))...()((
)(
110
1
kkkk
kkk
xxxxxx
xpyc
Como por hipótesis xk yj k j el polinomio es 0 c
CQD