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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNAFACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIALIII UNIDAD
INTEGRACIÓN TRIPLE
Las integrales triples cumplen las propiedades de las integrales dobles y simples. La propiedad de linealidad se cumple una de las más importantes en la integración, además las integrales triples se pueden evaluar como integrales iteradas. No tiene UNA INTERPETACION GEOMETRICA, ya que resulta imposible aún poder hacer una gráfica en la cuarta dimensión, ya que según nuestros estudios sabemos que las integrales dobles generan un volumen y las integrales triples me deben generar un volumen CUATRIDIMENSIONAL y hasta ahora no se ha podido graficar esto. Estas integrales son de mucha utilidad para poder calcular la masa total de un sólido, el centro de masa, flujo que pasa por un sólido etc. Algunas de estas aplicaciones las veremos más adelante básicamente las aplicaciones están orientadas a ser la base matemática para los cursos de física.
TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES
Teorema 1: Consideremos una función acotada en una región S ⊂ R3, es decir f: S ⊂ R3 → R,
: La integral triple de una función f(x,y,z) sobre una superficie (caja) S = {a≤ x ≤ b, c ≤ y≤ d, p ≤ z ≤ q} es igual a la integral iterada:
∭S
❑
f (x , y , z ) dV = ∫a
b
∫c
d
∫p
q
f (x , y , z ) dzdydx
Además, la integral triple iterada se puede expresar en cualquier orden:
Ejemplo1:
Integración sobre S (caja). Calcule la integral ∭S
❑
xy z2dV, donde
S = {0≤ x ≤ 1,0-1≤ y≤ 2, 0≤ z ≤ 3} es igual a la integral iterada:
∭S
❑
xy z2 dV = ∫0
3
∫−1
2
∫0
1
xy z2 dxdydz Rpta. 274
∭S
❑
xy z2 dV = ∫0
3
∫−1
2
∫0
1
xy z2 dxdydz
= ∫0
3
∫−1
2 12
x2|10 yz2 dydz = ∫
0
3
∫−1
2
[ 12
(12−02 )] y z2dydz= 12∫0
3
∫−1
2
y z2 dydz
= 12∫0
3
( 12
y2|¿ 2−1
)z2 dz¿ = 14∫0
3
(22−(−1)2) z2dz =14
.3∫0
3
z2 dz = 14 .3.
13
z3|30 = 27
4 Rpta
Teorema 2: La integral triple de una función continua f sobre la región S S : (x,y)∈ D, z1(x,y) ≤ z ≤ z2(x,y) Es igual a la integral iterada:
∭S
❑
f (x , y , z ) dV = ∬D
❑
¿¿
Ejemplo 2: Región solida con una base rectangular
Evalué ∭S
❑
zdV , donde S es la región comprendida entre los planos z = x+y
y z = 3x+5y y que se encuentra por encima del rectángulo : 0≤ x≤ 3, 0≤ y ≤ 2
∫0
3
∫0
2
∫x+ y
3 x+5 y
zdzdydx = ∫0
3
∫0
2 12
z2|3 x+5 yx+ y
dydx
= ∫0
3
∫0
2 12 [(3 x+5 y)2−(x+ y)2 ¿dydx
= 12∫0
3
∫0
2
[9 x2+30xy+25 y2−x2−2 xy− y2]dydx
= 12∫0
3
[ 9 x2 y|¿20+ 30
2x y2|2
0+25
3y3|2
0−x2 y|2
0−2
2x y2|2
0− 1
3y3|2
0]dx ¿
= 12∫0
3
[9 x2 (2−0 )+15 x (22−02)¿+25
3(23−03 )−x2 (2−0 )−x (22−02 )−1
3(23−03)]dx¿
= 12∫0
3
¿¿]dx
= 12∫0
3
[16 x2+56 x+ 1923 ¿]dx ¿
¿ 12∫0
3
[16 x2+56 x+64 ¿]dx¿ ¿ 12∫0
3
[16 x2+56 x+64 ]dx=¿ 12 [
163
x3|30+56
2x2|3
0+64 x|30]
¿ 12 [
163
(33−03 )+28 (32−02 )+64 (3−0)¿ = 12[16.9+28.9+192]
= 12[144+252+192] =
12 [588]= 294 Rpta
Ejemplo3 : Región solida con una base triangular: ∭S
❑
zdV donde S es la región de
la figura dada
∭S
❑
zdV =∫0
1
∫0
1− x
∫x+ y
3x+5 y
zdzdydx
¿ ∫0
1
∫0
1− x 12
z2|3x+5 yx+ y
dydx=12∫0
1
∫0
1−x
[(3x+5 y )2−(x+ y )2 ]dydx
¿ 12∫0
1
∫0
1−x
[9 x2+30xy+25 y2−x2−2 xy− y2 ]dydx
¿ 12∫0
1
[¿ 9 x2 y|1−x0
+302
x y2|1−x0
+253
y3|1−x0
−x2 y|1−x0
− 22x y2|1−x
0−1
3y3|1−x
0]dx ¿
¿ 12∫0
1
¿¿ +15x(1−x )2+253
(1−x)3-x2¿)-x(1−x )2-
13(1−x)3
]dx
¿ 12∫0
1
¿¿]dx
¿ ∫0
1
¿¿]dx
Solución: Límites para x: 0≤ x≤1Límites para y: 0≤ y≤1−xSe debe calcular la recta que corta a los ejes X e Y
Límites para z: 3x+5y≤ z≤ x+ y
¿ ∫0
1
[ 4 x2−4 x3+7 x (1−2 x+ x2 )+4 (1−3x+3 x2−x3 ) ]dx
¿ ∫0
1
¿¿+7x-14x2+7x3+4-12x+12x2−4 x3 ¿dx
¿ ∫0
1
[−x3+2 x2¿−5x+4]dx ¿= -14
x4|10+
23
x3|10-
52
x2|10+4x|1
0
¿ -14 +
23 -
52 +4 =
−3+8−30+4812 = 23
12 Rpta.
Ejemplo 4: Región entre dos superficies que se cortanIntegre f(x,y,z) = x sobre la región S limitada superiormente por z = 4-x2− y2 e inferiormente por z = x2+3 y2 en el OCTANTE x≥0, y≥0, z≥0.
La región S es: ∭S
❑
xdV = ∬D
❑
∫x2+3 y2
4− x2− y2
xdzdydx
1° Se debe hallar la frontera D
D: x2+2 y2=2 De aquí sacamos los límites de integración para X e Y
2° Calculo de los límites de integración Límites para x: 0≤ x≤√2−2 y2
Límites para y: 0≤ y≤1Límites para z: x2+3 y2 ≤ z ≤4−x2− y2
∫0
1
∫0
√2−2 y2
∫x2+3 y2
4− x2−y2
xdzdxdy
= ∫0
1
∫0
√2−2 y2
¿¿¿)dxdy = ∫0
1
∫0
√2−2 y2
x (¿¿4−x2− y2−x2−3 y2)dxdy ¿¿
= ∫0
1
∫0
√2−2 y2
x¿¿¿)dxdy = ∫0
1
∫0
√2−2 y2
(4 x¿¿−2x3−4 x y2)dxdy¿¿
= ∫0
1
¿¿)dy
= ∫0
1
[2(2−2 y2)¿−12
(2−2 y2 )2−2(2−2 y2) y2]dy¿
= ∫0
1
¿¿(4-8y2−4 y4)−4 y2+4 y 4]dy
=∫0
1
[¿4−4 y2−2+4 y2−2 y4−4 y2+4 y4 ]dy ¿
= ∫0
1
¿¿2−4 y2+2 y 4¿dy
= 2 y|10 - 4
3y3|1
0+25
y5|10
= 2(1-0)-43
(13−03 )+25(15−05)
= 2−43
+ 25 = 30−20+6
15 = 1615 Rpta
.
VOLUMEN MEDIANTE INTEGRALES TRIPLES
Sea una función f definida en una región cerrada S ⊂ R3, es decir f: S ⊂ R3 →R, tal que f(x,y,z) = 1, ∀ (x,y,z) ∈ S, entonces el volumen del solido S es dado por:
V(S) = ∭S
❑
dV = ∭S
❑
dxdydz
Ejemplo 1: Encontrar el volumen de la región acotada por:Z= x2+3 y2 ( Abajo ) y z= 12-1
3x2 (arriba)
Solución:
V =4∫0
3
∫0
√36−4 x2
3
∫x2+3 y2
12−13
x2
dzdydx
V = 4∫0
3
∫0
√36−4 x2
3
z|12−13x2
x2+3 y2
dydx--
V = 4∫0
3
∫0
√36−4 x2
3
[12−13x2¿¿−x2−3 y2]dydx ¿¿
V = 4∫0
3
¿¿dx
V = 4∫0
3
¿¿]dx
V = 4∫0
3
¿¿ −(36−4 x2)3/2
27]dx
V = 4∫0
3
¿¿ −89 √9−x2− 8
27(9−x2)3/2]dx
Para resolver estas integrales debemos hace un cambio de variable a integrales trigonométricas
30|x = 3 senθ|
π20→dx=3cosθdθ
senθ= x3
V = 4∫0
π2
¿¿]3cosθdθ
V = 12∫0
π2
¿¿] cosθdθ
V = 12.8.3∫0
π2
¿¿]dθ
V = 12.8.3∫0
π2
89
cos2θdθ -12.8.3. 127∫0
π2
cos4 θdθ
V = 12.8.3.89∫0
π2
cos2θdθ−323 ∫
0
π2
cos4θdθ
V = 2563 ∫
0
π2
(1+cos 2θ)2
dθ−323 ∫
0
π2
((1+cos2θ)
2)
2
dθ
V = 2563
. 12∫0
π2
dθ+¿ 2563
¿.12∫0
π2
cos2θdθ−3212∫0
π2
¿¿)dθ
V = 1283
θ|π20
+1283
.(−sen2θ2
)|π20−8
3∫0
π2
dθ−163 ∫
0
π2
cos2θdθ−83∫0
π2
¿¿)dθ
V = 1283
. π2−64
3.(sen2( π2 )−sen2 (0 ))−8
3. π
2−16
3. (−sen2θ
2 )|π20−4
3θ|
π20−4
3 (−sen2θ2 )|π2
0
V ¿ 64 π3
−¿ 643
(0−0 )−4 π3
− 83 (sen 2( π2 )−sen 2 (0 ))− 4
3. π2−2
3 (sen2( π2 )−sen2 (0 ) ¿
V = 64 π3
−4 π3
−2 π3 ¿ 58π
3u3Rpta.
Ejemplo 2: Empleando integrales triples. Calcular el volumen de la esfera que tiene por ecuación: x2+ y2+z2=a2 , (Sug. Use coordenadas polares)
Recordar: x=rcosθ; y = rsenθ ; x2+ y2=r2por COORDENADAS POLARESNota: Las coordenadas polares se utilizan solo en integrales dobles asi que primero debemos integrar una vez y luego recién se integra
Solución:
V = 8∫0
a
∫0
√a2−x2
∫0
√a2− x2− y2
dzdydx
1° Se integra con respecto a z
V = 8∫0
a
∫0
√a2− x2
z|√a2−x2− y2
0dydx
V = 8∫0
a
∫0
√a2− x2
√a2−x2− y2dydx
Ahora ya estamos en integrales dobles y se puede hacer el cambio a coordenadas polares2° pasar a coordenadas polaresLimites de integración para θ
0≤θ≤ π2
Limites de integración para r 0≤r ≤a
V = 8∫0
π2
∫0
a
√a2−r2 rdrdθ = 8∫0
π2
−13
(a2−r 2)3 /2|a0dθ
V = −83 ∫
0
π2
(¿ (a2−a2 )32−(a2−02 )
32)dθ ¿
V = −83 ∫
0
π2
−a3 dθ ¿8a3
3θ|
π20=8a3
3. π
2 ¿ 4 a3 π3 Rpta.
CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES TRIPLESSea T: R3 →R, una transformación tal que:
f(x,y,z) = T(u, v, w)= (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), continuamente diferenciable y uno a uno en D y con Jacobiano no nulo, es decir: J(u,v,w)= ∂(x , y , z)
∂(u , v ,w) ≠0Sea S ⊂ D⊂(u,v,w) un conjunto cerrado y acotado y sea T(s) = E la imagen del conjunto S via la transformación T, entonces si es integrable sobre E, la imagen foT(u,v,w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), es integrable sobre S.
∭E
❑
f (x , y , z ) dxdydz=∭s
❑
f (x (u ,v ,w) , y (u , v ,w) , z (u , v ,w))|J (u , v ,w)|dudvdw
Observación: Cuando f(x,y,z) =1, ∀(x , y , z)∈ E se tiene el volumen del solido E es decir:
V( E ) = ∭E
❑
dxdydz=¿∭E
❑
|J (u , v ,w)|dudvdw ¿
Nota: Una de las aplicaciones de los cambios de variables están las COORDENADAS ESFERICIAS Y CILINDRICAS, que veremos más adelante.
Donde: J (u , v ,w) = ∂(x , y , z)∂(u , v ,w) = |
∂ x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂ y∂u
∂ y∂v
∂ y∂ w
∂ z∂u
∂ z∂v
∂ z∂w
|Y también se cumple que: J (u , v ,w) =
∂(x , y , z)∂(u , v ,w) =
1∂ (u , v ,w)∂( x , y , z )
ósea:
J (u , v ,w) = 1
∂ (u , v ,w)∂( x , y , z )
=
1
|∂u∂ x
∂u∂ y
∂u∂ z
∂v∂ x
∂v∂ y
∂v∂ z
∂w∂x
∂ w∂ y
∂w∂z
| Ejemplo 1:
Calcular: ∭E
❑
x2dxdydz donde E: -1≤ x-z ≤1, 0 ≤ y+z ≤ 2, 0 ≤ x+z ≤ 1
Solucion: de : (1) y (3) de (3): de: (1) y (2):
Sean: {x−z=u…. (1 )y+z=v…. (2 )x+z=w…. (3 )
{x−z=u…. (1 )x+z=w…. (3 ) z=w−x {x−z=u…. (1 )
y+z=v…. (2 )
2 x+0=u+w z=w−u+w2 x+ y ¿u+v
x=u+w2 z = 2w−u−w
2 y=u+v -x
y=u+v −u+w2
Z = w−u2
y ¿u−u2+v−w
2
y=v−w−u2
Luego la nueva región es D: −1≤u≤1,0≤v ≤2 ,0≤w≤1
Calculamos el Jacobiano
J(u,v,w)= ∂(x , y , z)∂(u , v ,w) = |
∂ x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂ y∂u
∂ y∂v
∂ y∂ w
∂ z∂u
∂ z∂v
∂ z∂w
| = |−12
0−12
−12
1−12
−12
0 12
|= 14 –(-14 ) = 1
2
O también :
{x−z=u…. (1 )y+z=v…. (2 )x+z=w…. (3 )
J (u , v ,w) = 1
∂ (u , v ,w)∂( x , y , z )
=
1
|∂u∂ x
∂u∂ y
∂u∂ z
∂ v∂ x
∂ v∂ y
∂ v∂ z
∂w∂x
∂ w∂ y
∂w∂z
| =
1
|10−101−110−1
¿| = 1
(1+1) = 12
∭E
❑
x2dxdydz = ∭D
❑ (u+w)4
2
|J (u , v ,w)|dudvdw= ∭D
❑ (u+w )4
2
( 12)dwdvdu
∭E
❑
x2dxdydz =18∭D
❑
(u+w)2dwdvdu= 1
8∫−1
1
∫0
2
∫0
1
(u+w)2 dwdvdu
18∫−1
1
∫0
2 13
(u+w)3|10
dvdu = 124∫−1
1
∫0
2
¿¿¿]dvdu
124 ∫−1
1
∫0
2
(u+1−u)((u+1)2¿¿+u(u+1)+u2)¿ ¿ dvdu
124 ∫
−1
1
∫0
2
(u ¿¿2+2u+1+u2+u+u2)dvdu¿
124 ∫
−1
1
∫0
2
(3u¿¿2+3u+1)dvdu¿ 124∫−1
1
¿¿
124 ∫
−1
1
[6u2¿+2(3u+1)]du=¿¿ 112∫−1
1
[3u2+3u+1¿]du¿
112 ¿1
12 [2+ 32
(1−1 )+(1+1 )] ¿ 112
[ 2+2 ] ¿ 412
=13Rpta .
Ejemplo 2: ∭E
❑
(x+ y+z )dxdydz donde E: 1≤ x+y+z ≤2, 0 ≤ x+y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 1
Solución: 1° Cambio de variablesu =x+y+z→u=w+v−w+z →z=u−vv = x+y→ y=v−ww = xLimites de integración: 1≤u≤20≤v ≤2 0≤w≤1
2° Calculo del Jacobiano
J(u,v,w)= ∂(x , y , z)∂(u , v ,w) = |
∂ x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂ y∂u
∂ y∂v
∂ y∂ w
∂ z∂u
∂ z∂v
∂ z∂w
|=| 0 0 10 1−11−10|= 0+0+0-1-0-0 = -1
Necesitamos el |J (u ,v ,w)| = |−1| = 13° Integramos con las nuevas variables
∭s
❑
f (x (u , v ,w ) , y (u , v ,w ) , z (u , v ,w ) )|J (u , v ,w )|dudvdw
¿ ∫0
1
∫0
2
∫1
2
¿¿¿¿)(1)dudvdw = ∫0
1
∫0
2
∫1
2
u)(1)dudvdw ¿∫0
1
∫0
2
∫1
2
ududvdw = ∫0
1
∫0
2 12u2|2
1dvdw =
12∫0
1
∫0
2
(22−11 )dvdw
¿ 32∫0
1
∫0
2
dvdw = 32∫0
1
v|20dw = 3
2∫01
(2−0 ) dw= 3∫0
1
dw = 3w|10
= 3(1-0) = 3 Rpta.
TRABAJO ENCARGADO 1Calcule las siguientes integrales triples
1. ∭s
❑
z4dV, donde S: 2≤x ≤8 ,0≤ y≤5 ,0≤z ≤1
Rpta.6 2. ∭
s
❑
xz2dV, donde S: −2≤x ≤3 ,1≤ y ≤3 ,1≤z ≤4
Rpta . 1053. ∭
s
❑
xe y−2 zdV, donde S: 0≤ x≤2,0≤ y≤1 ,0≤ z≤1
Rpta. (e−1)(1−e−2)
4. ∭s
❑ x( y+z )2dV, donde S: 0≤ x≤2,2≤ y ≤4 ,−1≤ z ≤1
Rpta. -2ln5+4ln3
5. ∭s
❑
(x− y )( y−z )dV, donde S: 0≤ x≤1,0≤ y≤3 ,0≤z ≤3
Rpta . −274
6. Calcular ∭S
❑
xdV . y S : 0≤ x≤√2, 0≤ y≤√2−x2, x2+ y2≤ z≤2
x≥0 , y≥0.
Rpta. 8√215
7. Calcule ∭S
❑
xdV y Sea S: 0≤ x≤1, x2≤ y ≤1− x
2 , 0≤ z≤2−x−2 y
Rpta. 1/24 (Verificar la respuesta)
8. Calcular la integral ∭S
❑
e zdV, sobre el tetraedro S que se forma con los ejes coordenados
como se muestra en la figura. Rpta. 118
e12−8518
9. Hallar ∭S
❑
zdV sobre la región S, por debajo del hemisferio x2+ y2+z2=9, y que se
encuentra por encima del triángulo D en el plano XY , limitado por : x=1, y= 0 y x=y. Como se muestra en la figura. S: 0≤ x≤1,0≤ y≤ x, 0≤ z≤√9−x2− y2 Rpta. 25
12
10.. Evalué ∭S
❑
zdV , donde E es el tetraedro sólido acotado por los 4 planos: x=0, y= 0,
z= 0 y x+y+z=1; S: 0≤ x≤1, 0≤ y≤1−x ,0≤ z≤1−x− y
Rpta. 1/24
11. Hallar el volumen del solido S determinado por las ecuaciones: 1≤x2+ y2≤9 y 0≤ z≤9−x2− y2
Sugerencia: Utilice coordenadas polares (Vea el ejemplo 2 de Volumen)
.
12. Halle el volumen de la región limitada por z = 1- y2, y = x2 y los planos z=0 , y=1
Rpta. (16/21)u3
13.Calcule el volumen ∭S
❑
dV y S: 0≤ x≤1, x2≤ y ≤1− x
2 , 0≤ z≤2−x−2 y
14. Calcular el volumen ∭S
❑
dV , sobre el tetraedro S que se forma con los ejes
coordenados y sea S: 0≤ x≤1, 0≤ y≤1−x ,0≤ z≤1−x− y
15. Halle el volumen ∭
S
❑
dV , limitado por S: 0≤ x≤1, x2≤ y ≤√ x, 0≤ z≤ x+ y+5
Rpta. 5930
u3
16. Calcular el volumen de del solido D encerrado en el elipsoide x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 =1 (Cambio de variable)
Sugerencia :hagau= xa, v= y
b , w= zc
Se pideV (D )=∭D
❑
dV
Rpta: 4 πabc3
u3
Tacna, 02 de marzo del 2015Docente: Ing° Luis Nina Ponce