INTEGRALES DOBLES

Daniel Restrepo Jiménez

Estudiante Ingeniería Industrial

Universidad Tecnológica de Pereira

danielrestrepo@utp.edu.co

El presente documento va dirigido a estudiantes de matemáticas III que no

tienen muy buenas bases para este tema, ya que este puede ser complicado,

y más si se desconocen algunas técnicas, así que con este trabajo se espera

dar a entender el concepto de integral doble, así como su tratamiento y fácil

manejo.

El documento estará conformado por un repaso de integral simple definida,

el concepto de integral doble, ejemplos y algunos consejos. Los únicos

requerimientos serán el repaso de las técnicas de integración y una buena

disposición para trabajar el tema.

No se tratarán integrales dobles en coordenadas polares.

Integrales Dobles

Para el tratamiento del concepto geométrico de integral doble, primero se

debe hacer un breve repaso acerca de integral simple definida o área bajo la

curva.

Entonces, supongamos que tenemos una función ( ) , la cual es

continua en el intervalo [a, b]. La integral definida de la función ( ) en el

intervalo [a, b] se da de esta manera:

Donde:

i. Se divide [a, b] en n partes iguales.

ii. El rectángulo con base ó , y altura ( ), tendrá el

nombre de rectángulo típico.

iii. El área del rectángulo típico estará definida por:

( ) ( ) ( ) ( )

iv. Una buena aproximación del área limitada por las rectas

y la curva ( ), es:

∑

Que por sumas de Riemann sería:

∑ ( )( )

Con esto ya tenemos lista la integral definida:

∫ ( )

La cual es equivalente a la suma de Riemann.

Ejemplo:

Hallar el área encerrada por ( ) el eje x, entre

La integral queda así:

∫ ( )

( )

( ) [ ( )]

El área encerrada es igual a 2 unidades cuadradas

Ahora, si extendemos el concepto de integral definida a una dimensión

adicional, obtenemos una integral doble, la cual ya no hallará áreas, sino

volúmenes, y ya no usaremos rectángulos típicos sino paralelepípedos.

Para la integral simple, se requería que la función estuviera definida en un

intervalo cerrado del conjunto de los números reales, para la integral doble,

la función de dos variables estará definida en una región cerrada en .

Tenemos a ( ) continua en el rectángulo = [a, b] x [c, d], el rectángulo

se divide en subrectángulos, los cuales tienen por área ( )( ).

La altura cada paralelepípedo es ( ), por lo cual su volumen es

( )( )( )

La suma de Riemann correspondiente sería ∑ ∑ ( )( )( )

equivalente a la suma de los volúmenes de los paralelepípedos, obteniendo

así la integral doble de ( ) en el rectángulo :

∬ ( )

Cuando proyectamos una función ( ) en el plano xy y obtenemos un

rectángulo de esta manera:

y

xa b

c

d

Podemos hallar los límites de integración directamente:

∬ ( ) ∬ ( )

Este es el teorema de Fubini, aplicado para el cambio en el orden de

integración de funciones de varias variables, pero se debe tener una cosa en

cuenta: este teorema únicamente es aplicable en regiones rectangulares, en

las cuales los límites de integración son valores constantes, luego se

trabajarán regiones mas generales y limites que incluyen variables.

El proceso para resolver integrales de mas variables, es el mismo proceso

usado para resolver derivadas parciales, dejar una variable como constante y

trabajar con la otra, es decir, si voy a integrar respecto a , debo tomar a

como constante.

Ejemplo:

Evaluar la integral doble:

∬

, R= [1, 3] x [-1, 2]

Entonces, los límites de integración los podemos tratar de dos maneras:

∬ ∬

Primero vamos a utilizar el orden , utilizando primero a como

constante, luego a :

∬

∫

∫

[

]

∫

[ ]

Ahora utilizaremos la segunda forma, entonces manejaremos primero a

como constante y luego a :

∫∫

∫

∫

∫

[

]

32 unidades cúbicas es el resultado de la integral anterior, como se acaba de

mostrar, en regiones rectangulares, el orden de integración se puede

acomodar como se desee, buscando siempre resolver una integral

posiblemente más sencilla.

Ahora, trataremos integrales dobles sobre regiones no rectangulares, es

decir, mas generales, con curvas y otra clase de comportamiento. Aquí,

algunos de los límites de integración se presentaran como funciones de

alguna de las variables, mientras que los otros se mantendrán como

constantes.

Existen dos tipos de integración en regiones generales:

TIPO I

Aquí la integral se trata de esta manera:

∬ ( ) ∫ ∫ ( )

( )

( )

TIPO II

La integral doble es:

∬ ( ) ∫ ∫ ( )

( )

( )

Ejemplos:

Evaluar la integral doble:

∫∫

∫

|

∫

|

Expresar como una integral doble, la medida del volumen del sólido

que se encuentra por arriba del plano xy delimitado por el paraboloide

elíptico y el cilindro

.

El sólido requerido se puede dividir en 4 partes iguales, entonces

hallaremos el volumen de una, y la multiplicaremos por 4.

La región R que se integrará esta limitada por los ejes y la elipse:

La región R se puede tratar de dos maneras:

∫ ∫ ∫ ∫

√

(√ )

Trabajemos la primera expresión:

∫ ∫ ∫

|

(√ )

(√ )

∫

√

( )

⁄

∫ √ ( )

⁄

∫√ ( )

∫( )√

El procedimiento de esta integral es extenso, así que se irá

directamente al resultado:

( )

⁄ √

|

El volumen del sólido es de unidades cúbicas

Resolver la integral doble:

∫ ∫

La anterior integral no tiene una función F(x) primitiva, es decir, que no

se puede integrar directamente a menos que se utilicen métodos

complejos, pero vamos a ver, que si cambiamos el orden de

integración la función quedará más fácil de manejar.

Tenemos que:

∫ ∫

∫∫

⁄

Y esta segunda expresión se puede integrar fácilmente.

∫∫

⁄

∫ | ⁄

∫

|

Como se acaba de ver, si se cambia el orden de integración puede llegar a ser

mas fácil resolver una integrar, es mejor buscar unos límites de integración

más cómodos también.

Así termina pues, el tema de las integrales dobles de una manera corta y

sencilla, posteriormente se dejarán algunos ejercicios resueltos y otros para

trabajar, éxito.

No se tratará el tema de integrales dobles en coordenadas polares, pues este

exige que el documento se extienda mas, y pueden quedar algunas dudas,

puesto que para trabajar las integrales dobles en dichas coordenadas, hay

que repasar también el tema completo de las coordenadas polares, así que

este tema quedará de consulta, o pueden buscarme directamente, aquí están

mis datos:

Daniel Restrepo Jiménez

Estudiante Ingeniería Industrial, Universidad Tecnológica de Pereira

Teléfono: 3156619210

Correo: danielrestrepo@utp.edu.co – albert_masi27@hotmail.com