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integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 474 Leopoldo E. Álvarez
INTEGRAL Función primitiva
CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón
Sea f(x):Dℝ ℝ función real de variable real definida en el dominio, D F(x):Dℝ ℝ función real de variable real definida en el mismo dominio, D Se dice que la función, F(x), es una función primitiva de la función, f(x), si la función, F(x), tiene por derivada la función, f(x) F(x) es primitiva de f(x) F’(x)= f(x) F(x)= y= x2 y’= f’(x)= 2x ∫2x.dx= x2 + C Si existe la función primitiva, F(x), de la función, f(x), entonces se dice que la función, f(x), es integrable. La operación que permite obtener una función primitiva, F(x), a partir de una función, f(x), recibe el nombre de integración, y matemáticamente se escribe f(x).dx= F(x) + C Las propiedades fundamentales que permiten hacer la integral de una función, f(x), para hallar su función primitiva, F(x), son:
Si una función, f(x) tiene primitiva ésta no es única, diferenciándose todas ellas en una constante. Sea F(x) función primitiva de f(x) F’(x)= f(x) Cℝ número real cualquiera Entonces la función, F(x) + C, también es una función primitiva de la función, f(x), puesto que su derivada coincide con la función, f(x). [F(x) + C]’= [F(x)]’ + [C]’= F’(x) + 0= F’(x)= f(x) Para que la primitiva de una función quede determinada es necesario conocer el valor de la constante, C, para ello se necesita alguna otra condición, como puede ser:
Conocer el valor que toma la función primitiva en un número real, x= a, de su dominio, D. Conocer un punto, P(a,b), por el que pasa la gráfica de la función primitiva, F(x). Hallar la primitiva, F(x), de la función, f(x)= 2x, cuya gráfica pasa por el punto, P(1,3).
La primitiva de la función, f(x), es, F(x)= x2 + C Dado que la gráfica de la función primitiva, F(x), pasa por el punto, P(1,3), se verifica: 3= F(1)= 12 + C= 1 + C 2= 3 – 1= C
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La primitiva de la función, f(x), es pues finalmente F(x)= x2 + 2 Hallar la recta ó función lineal cuya pendiente es, 2, y pasa por el punto, P(0,4).
La derivada de la función lineal es su pendiente, por lo tanto f’(x)= 2 por lo que la función primitiva es la ecuación de la recta pedida F(x)= 2x + C Por pasar la función primitiva, F(x), por el punto, P(0,4) 4= F(0)= 2.0 + C= 0 + C= C La recta pedida es F(x)= 2x + 4
Se llama integral indefinida al conjunto de las infinitas funciones primitivas, F(x), que puede tener una función, f(x). Este conjunto se representa por:
∫ f(x).dx Se lee integral de, f(x), diferencial de, x. ∫ es el signo de integración f(x) es la función a integrar dx indica la variable de la función con respecto a la que se integra. Si, F(x), es la primitiva de la función, f(x) se verifica ∫ f(x).dx= F(x) + C C constante de integración que puede tomar cualquier valor numérico real Linealidad de la integral indefinida
La integral del producto de una constante, k, por una función, f(x), es igual a la constante por la integral de la función
∫k . f(x).dx= k . ∫ f(x).dx Esta relación permite introducir constantes dentro del signo de integración o sacarlas de él según convenga en cada caso. La integral de una suma o resta de funciones, f(x), g(x),…, h(x), es igual a la suma o resta de las integrales de cada una de dichas funciones
∫ [ f(x) g(x) …. h(x)].dx= ∫ f(x).dx ∫g(x).dx …. ∫h(x).dx
La utilización conjunta de estas dos propiedades constituye el método de descomposición. Por principio conviene descomponer lo más posible el integrando: Aplicando la propiedad distributiva
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Sustituyendo la expresión de la función, f(x), por otra equivalente, sumando y restando una misma cantidad ó bien multiplicando y dividiendo por un mismo número real.
Integrales básicas
Son las que se obtienen del estudio de la tabla de derivadas. Entre otras: Integral de la función nula, f(x)= 0 es una función constante
Es la función constante, F(x)= C La integral de la función constante, f(x)= k, kℝ, y, k 0, es la función lineal o afín Es la función afín ó lineal, F(x)= kx + C
Integral tipo potencial , m -1 Para utilizar este tipo adecuadamente conviene pasar las expresiones fraccionarias y radicales a la forma potencial escribiéndolas con exponente real positivo o negativo. Hay que distinguir en el integrando quien es la función, f(x), y quien es su derivada, f’(x). Si a la función derivada, f’(x), le falta alguna constante para ser la derivada de la función, f(x), se introduce multiplicando y dividiendo el integrando por ese valor y procediendo en sentido inverso delante de la integral. Dentro de este formato entran las integrales del tipo ∫senm (x) . cosn (x).dx m ó n natural e impar ∫ tgm (x) . secn (x).dx m impar ó n par ∫ctgm (x) . cosn (x).dx
12 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2
1 1 1. . .2 . .2 2 1
n n n
n
x dx a b x x dx a b x b dx a b x Cb b na b x
Ejercicios 7
6
7dx Cx x
34
7 74x Cx dx
2 51 3 35 23 32
3 3 3 32 5 5 513
x x x x xC C Cx dx C
0.dx C
.k dx kx C
11. ' .1
m mf x f x dx f x
m
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44
4
1 33
3
3 3 131
34 3x xx dx C C x C C
xdx
x
1 411 4 33 3
3 433 33 3 31 4 4 4 413 3
x x x xx dx C C x C xd C Cx x
1 34 4
3444
11 4 41
13 31
4
d x xx dx Cxx
C x C
2 112 3
333
3
232
111
3 3
dx x xx dx Cx
C C x
3 41 ( 2)
4( 2) xx dx C
2
2 312
2
22 333
1 2 71 1 3(2 2). 2 7 2 722 23
7 42
x xx x x C C x xx dx C
x x
2 221 1(2 1 (2
) 1)x x x d x xx C
12 712 12 5
52
52 5 5
5 72
512 7 715 5
1 x xx x dx x dx C C Cx
dxx x
4 5.cos 1
5sen x xdx sen x C
21 12 .cos 22 .cos .2 22
2 4sen x x dx sesen x xdx n x C
2 32 .sec 1
3tg x xdx tg x C
22cot
11 ( )2
ar gx dx arc Cx
otgx
4 4 15
55
4
14 15
x dxd x Cxx
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5 5 16 6 65 33 5 16
3 x dxx d x Cx
3 3 74 413 74 44 4 434 4 43 4 3 43. 3 33 7 71
3
4
x dx x dx d x x C C x Cx x
1 1 312 2 22 22 21 1 1 1 24 . 2 5 . . 2 5 . . 2 514 4 4 31
2
2 5 x x dx x C x Cx x dx
1 1
4331 1 33 3
14 2. 1 1 34 2 4. 4 2 . . 4 2 4 214 4 1613
x dx x dxdx x C x Cx
4
4 4 117 .1. 747 1
x ddxx
x x C
6 6 6 12 2 2
62
1 1 1 1 12 35 2 3
. 2 3 4 . 2 35 5 4 20 6 1
x xdx x xdx x Cxdx
x
5 2 7 7 16 3 55 2
72 6 3
63 36 7
1 30 12 1 1 15 4 30 12 . 5 46 6 6 7 15
5 2
45 4
x x dx x x x x dx x x Cx x dxx xx x
3 3 1 4
31 1 1ln . ln l
ln
3 1n
4x dx x
xC x C
xdx
x
1
12 222
1 31 1 2cos . cocos
s cos31 11 1
2
ar enx dx ar enxar en x
d C ar e Cx
x nx
x
5 5 14 2 3 4 2
4
3 33
523
1 1 12 6 8 12 . 2 652 2 1
4 6
2 63
x x xx x dxx x
x dx x x C
3 1 43 .c 1 1os
4.
3 1sen x C sese d x Cx x nn x
2 2 123 3
2
23
3
1.sec 32 1
s
3
ec tg x xdx tg x Cx dxtg
gx Cx
t
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2
1 1 12 22
1cot 1cot1
. cot11 12
ar gx dx arar gx
Cx gx x
d x
2 2
2 23 33
3 2.cos .cos . . 1co .cos s .sen x x x dx sen x sen x x dxx dx
sen x
2 2 2 4123 3 3 31.cos . . .cos . .cos .2 1
3
sen x x dx sen x sen x x dx sen x sen x x dx
2 41 1 3 73 3
3 2
1 1 3 32 4 71 1
3 3
sen x sen x C sen x Csen x
1 1
2 2 2 23 34
3.sec .sec .se . 1 .sec c .xdx
tgxtg x x x dx tg x tg x x dx
1 1 1 512 2 2 23 3 3 31.sec . . .sec . .sec .1 1
3
tg x x dx tg x tg x x dx tg x tg x x dx
1 51 1 2 83 33 31 1 3 3
1 5 2 81 13 3
tg x tg x C tg x tg x C
2 2 11 13 33 2 31sec . . sec .sec . . sec1 1
3
sec . . x tgx dx xx tgx dx x tgx dx x C
2 2 33 2 1. . 1 cos . . ( cos . ) cos cos3
. sen x senx dx x senx dx senx x senx dxsen x dx x x C
2 2(2 1). 1 . cos 1x x xs x dx Cen x
Integral tipo logarítmico
'ln
f xdx f x C
f x
Dentro de este formato se encuentra la integral
2 2 2
ln ln1 1 1 1 1 1 1 ln2 2 2 2
a bx a bxdx dx a bxdx dx Ca b x a a bx a bx a a bx a bx a b b ab a bx
El desarrollo anterior se puede hacer debido a que el integrando de la misma se puede escribir en la forma
2 2 2
1 1 1 12a b x a a bx a bx
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22ln(2
11 )x dx
xx C
ln coscos cossenx senxdx dx x C
x xtgxdx
3
3 3
1 1 3.5 .ln 555
1. ln(5 7)3 ln 5 5 7 3.l 57 n
xx
xx
x ddx x C
1
ln lnln
1ln
x dx x Cx
dxx x
2
21
cos1cos .
lnx dx tgx Ct
dxx t xx gg
11 ln1 dx x x Cx
x dxx
1 5 5 5 6 6ln( 5)
55 51
5x dxx
x xdx dx dx x x Cx x x
2
3 22
33 2 2
1 12 12 1 ln 4 612 4 6 14 26
x xx x dxx x
dx x x Cx x
cos ln. xdx senx Cse
ctgx dxnx
2sec sec sec sec . ln secsec sec
sec .x x tgx x x tgxdx dx x tgx C
x tgx x tgd
xx x
2sec sec ss ec secec . . ln secsec sec
co x co x ctgx co x co x ctgxdx dx co x ctgx Cco x ctgx co x ctg
co x dxx
33
23 l1 n( 5)5
x x Cx dxx x
2
22
1 2 1 ln( 1)2 1 21
x dx x Cx dx x
x
3
23
3
21 3 1 ln( 8)3 8 38
x dx x Cx
x dxx
22
2
2. .cos2 ln( )11
1senx x dx sen x Cse
sen x dxse x n xn
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 481 Leopoldo E. Álvarez
2 2 2
ln 2 3 ln 2 31 1 1 1 1 3 1 3 1 1 2 3ln4 2 3 2 3 4 3 2 3 3 2 3 4 3 3
14 9 12 2 3
x xdx dx xdx C Cx x x x
xx
dx
2
ln 3 2 ln 3 21 1 1 1 1 2. 1 2 1 1 3 2ln2 2 2 22 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3
13 4 4 3 3 2
x xdx dx xdxx
dx C Cx x x x x
In tegral t ipo exponencial
. ' .
. ' .ln
f x f x
f xf x
e f x dx e C
aa f x dx Ca
2 2 2 21
2x xe Ce dx
55ln5
xx d Cx
1010ln
2 .0
51
xx
xx dx x Cd
13 3 11 31 18 .3 8
3 3.l 88
nx xx dx Cdx
ln lln
n1 .x
x xe e dx
Cx xd ex
. senxsenxe cox dx e C
22
cos1.
11ar enx arco
arcoses
nxenxee dx
xdx e C
x
33 2
32 ln
3
22
x
x
x
x
dxx Cd
2 22 1 1.2 .
2.
2x xx e x dx e x e Cdx
2 2 2
.2. . .2 .sen x sen x sen xe senx cox dxe sen x d ex C
Integral tipo coseno . ' . cossen f x f x dx f x C
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3 co3 ssenx dx x x C
1 13 5 .3 cos 3 53
53
3 sen x dsen x Cd xx x
22 21 1( 1). 2 3 (2 2). 2 3 cos 2 32 2
x sen x x dx x xx sen x x dx C
c. . osx x xe sene dx e C
1 12 .2 cos 2. 22 2
. sen xsen x d dxx x C
2. 2 . 1 cos4 1 1 4
2 2 8x dx xsen s Cx d n xx e
22(2 1). 1 cos 1x sen x x d x x Cx
2 2 2. 3 1 13 .2 cos 32 2
sen x xdx xx s Cen x dx
1ln . cos lln
nsen x dxsen x
dx x Cx x
2 2 2. 3 1 13 .2 . cos 32 2
. sen x x dx xx sen x dx C
1ln . cos lln
nsen x dxsen x
dx x Cx x
In tegral t ipo seno
cos . ' .f x f x dx sen f x C
2(2 cos )x x dx x senx C
1c (2 5)2
os(2 5) sen xx Cx d
2 2 21 1(2 2).c( os( 2 1) (1).cos( 2 1 2 1)
2 2) x x x dxx x sen x Cx xdx
1cos l
cl
on . n
s lnx dx sen x
xdx
xC
x
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 483 Leopoldo E. Álvarez
2
2 1 cos 2 1 cos2 1 1 1 1 11 cos 2 2 22 2 2 2 2 2 4
cos . x xdx dx x dx x sen x C x sex n x Cdx
1 1cos 2 .2c2 2
. 2os 2 xx d dx sen x Cx
2 2 33 2 1 1cos 3 .cos3 . 1 3 .cos3 . cocos 3 . s3 . 3 .cos3 . 3 33 9
x x dx sen x x dx x dx sen xx dx x dx sen x sen x C
22cos 2 1 .cos 1 1sen xdx x Cx x x
2 22 1 1cos 1.cos .2 12 2
1 .x x dx sex x d n xx C
Integral tipo tangente
2 2
2
'. sec . ' . 1 . ' .
cosf x
dx f x f x dx tg f x f x dx tg f x Cx
2
5cos
5dx x Cx
tg
2 23 (1 ) 3(3 )tg x d tg xx dx tgx C
2 21 1sec (5 3).5 (5 3)
5ec (
5s 5 3) xx dx dx tg x C
2 2 2 2 2 2 24 31sec .sec . (1 ).sec . (sec ssec . ec . )
3x x dx tg x xdx x x tg x dx tgxx dx tg x C
22(3 3 3 ) 3c ) (1 ctg xt dg x d ctx x gx C
2 22 (1 1). (. 1 )tg tg x dx tg x dx dx tgx xx dx C
Integral tipo cotangente
2 2
2
'. sec . ' . 1 . ' .
f xdx co f x f x dx ctg f x f x dx ctg f x C
sen x
2 21 1cos (3 1).3 (3 1)cos (3 1)
3 3ec x d ec x dx ctgx x C
4cosec .x dx 2 2 2 2sec . sec . (1 ). sec .co x co x dx ctg x co xdx
2 2 2 31( sec sec . )3
co x co x ctg x dx ctgx ctg x C
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 484 Leopoldo E. Álvarez
2 2 2(1 1)c 1 ). (ctg x dx ctg xtg x dx dx dx ctgx x C
Integral tipo arco seno
2
'. cos
1
f xdx ar en f x C
f x
Dentro de este formato se encuentra la integral
2 2 2 2 22 2
22
1 1 cos
1 1 1
b dxdx dx dx ba ar eno x Cb b aa b x b x b ba a x x
a a a
2
224
2 121
12 1
x dx arcox sen x Cx
dxx
22
11 21
x
x
xx
x
e dx arcoe sen e Ce
dxe
2 2
1 1. ln1 l
11 n nl
dx arcosen x Cx
dxx xx
2
1 12 . 221
11
dx adx rcosen Cx
xxxx
2 2 2
1 41 1 45 54 4 54 4
125 16
1 15 5
dx dx dx arcosen
xx
x C
x
2 2 22
51 1 1 1 53
35 55 5 53 1 3 1 13
3
3
53
1 dx dx dx dx arcosen x Cx
x xx
Integral tipo arco tangente
2
'. cot
1
f xdx ar g f x C
f x
Dentro de este formato se encuentran las integrales
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 485 Leopoldo E. Álvarez
2 22 2 2 22
2 22
.1 1 1 1 1. . cot1 1 1
b dxdx badx dx ar g x Ca b x a ab ab ab b ba x x x
a a a
2
1 dxax bx c
Siendo el denominador irreducible. La integración se hace fácilmente utilizando la formación de cuadrados. Este proceso se realiza de modo más fácil multiplicando el numerador y el denominador por, 4a, con lo que se evita trabajar con números fraccionarios.
2 2
1 1 1 ( )5 1 5
15 5
dx arcotgdxx
x Cx
22
1 4 1 (4 )4 41 416 1
1 dx arcotgdxx
x Cx
2
cos1
cotx dxse
ar g senx Cn x
23
23
2
6
1 3 1c t
31 31
x dx ar o g x Cx dx
xx
2 2
1 .3 c t 33
39 11
dx ar o g x Cx
dxx
22
2 2 2
2 24 .1 1 3 331 1 1 3 2 1 2 11 1
11
14 4 2 4 2 23 3
dx dx dx dxx x x x
dxx
xx
2 2
2 22 2 2 2 13 3 c t3 3 3 32 2 1 2 11 . 1
23 3
xdx dx ar o g Cx x
2 2 2
7 .1 1 1 72. cot22 7 2 73 74 1 1
2
14
2
.7
dxdx ar g x C
x
xx
x
d
22
1 cot ( 1)( 1) 1
12
dx arx
x Cx x
g xd
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 486 Leopoldo E. Álvarez
222 2
24 2 2 2 2 132 cot
4 4 4 (2 1) 3 3 311
3
132 1
xdx dx dx ar g Cx
dxx x x
xx
3
32
2
3 1
1 2cot 2
x ar g x x Cdxx x
4
222
1 2 1 cot2 211
x dx dx xx
ar g x Cx
22 c
1ot
1
x
x
xx
x
e e dx ardxe
g e Ce
Integral tipo neperiano-arco tangente
2 cotMx N dx Ln ar g Cax bx c
M 0, ax2+bx+c polinomio irreducible. Esta integral se descompone en dos: De tipo neperaiano De tipo arco tangente
22
2 2 2
2 1 6 2 1 6 12 2 1ln( 1) cot1 1 1 3 3
2 71
x x xdx dx dx x x ar g Cx x x x x
x xx x x
d
Integral por partes Se basa en la derivada de un producto de funciones derivables, u, y, v.
d(u.v)= du.v + u.dv A partir de aquí se trata de buscar una regla que permita calcular la integral de un producto de funciones. Integrando ambos miembros de la expresión anterior . ( . ) . . . .u v d u v du v u dv v du u dv
despejando en esta igualdad el término, u.dv, se tiene . . .u dv u v v du
expresión correspondiente al método de integración por partes. Al aplicarla hay que elegir quien va a ser, u, y quien va a ser, dv, lo cual exige un poco de intuición y práctica.
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 487 Leopoldo E. Álvarez
Si la nueva integral que se obtiene es más complicada que la inicial hay que cambiar la elección. En algunas ocasiones hay que repetir la integración por partes en la nueva integral resultante, También puede ocurrir que al hacer esto la integral resultante sea idéntica a la integral de partida, la cual está en el primer miembro del desarrollo. En este caso basta despejar dicha integral como si fuese una ecuación para obtener la primitiva.
.. . .. x xx x xx e e dxx e x edx e C
u= x du= dx dv= ex.dx v=ex.dx= ex
. ( ) ( ).cos( . . ( )) s( ). cox sen x sen x dx x d x x sen xx x C
u= x du= dx dv= cos(x).dx v=cos(x).dx= sen(x)
1ln( ).ln( ). . . .ln( ) .ln( )x x x dx x x dx x x x Cx
x dx
u= ln(x) du= 1x
.dx
dv= dx v=dx= x
22
1 1cot ( ). . . . cot ( ) n(1 )1
cot ( )2
. ar g x x x dx x ar g x l xr x Ca g x dx
u= arcotg(x) du= 2
11 x
.dx
dv= dx v=dx= x
2
2
1( ). . (.1
) 1( ) . .arsen x x x arsen x x Carsen x dx x dxx
11 12
2
2 2222
1 2 1 1 1. 1 .( 2 ). . (1 ) 112 2 21 12
1 . .1
x dx x x dx x x Cx
x dxx
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1.ln . .ln . .ln ln
2 2 2 2 2 4 2 2.ln .x x x x x dx x x x dx x x x x x Cx
xd
u= ln (x) du= 1x
.dx
dv= x.dx v=x.dx= 12
x2
22 3 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1.ln( ) . .ln . .ln ln
3 3 3 3 3.ln .
9 3 3x x x dx x x x dx x x xx x x x C
xdx
u= ln (x) du= 1x
.dx
dv= x2.dx v=x2.dx=13
x3
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 488 Leopoldo E. Álvarez
22 22 .( cos )..( cos ) .cos 2 .co. . s .x x dxx senx dx x x x x x x dx
u= x2 du= 2x.dx dv= sen(x).dx v=sen(x).dx= -cos(x) se aplica de nuevo este método a la integral resultante 2 . 2. . 2 .2 .cos 2.co. sx senx senx dx x sex x dx nx x
u= x du= dx dv= cos x.dx v=cos x.dx= sen x sustituyendo este valor en el desarrollo inicial se tiene
2.cos 2 . 2cosx x x senx x C
.cos . .. .xx xe se e see nnx xx dx xd
u= ex du= ex.dx dv= cos x.dx v=cos x.dx= sen x al hacer este método tanto a la integral inicial como a la resultante se obtiene de nuevo la integral inicial.
.cos . . .cos .cosx x xxe senxd xe xx e ex
u= ex du= ex.dx dv= sen(x).dx v=sen(x).dx= -cos(x) se trata la integral como una ecuación, se despeja dicha integral inicial y resulta
2 .cos . . .cosx x xe x dx e senx e x
de donde
1.cos . . .cos2
x x xe x dx e senx e x
1 1 11 1 1 1 1.ln ..ln .ln .
1 1 1 1. n nn n nx x x dx x x x dx
n n xx x dx
n n
1 1 12
1 1 1 1.ln ln1 ( 1) 1 1
n n nx x x x x Cn n n n
u= ln (x) du= 1x
.dx
dv= xn.dx v=xn.dx= 1
1n .xn+1
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 489 Leopoldo E. Álvarez
2 22 2 2 1
ln ln ln ln ln l. .
n..
x x xxx a x a x a xx ax C
a a a ada x
adx
a
u= x2 du= 2x.dx
dv= ax.dx v=ax.dx= ln
xaa
se aplica de nuevo este método a la integral resultante
1 1 1.
ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ). .
x x x xxx a x a x a aa dx x
a a a a a a ax a dx
u= x du= dx
dv= ax.dx v=ax.dx= ln
xaa
resultado que sustituido en la primera da el resultado final.
32 3 3 2 2
2
1 1 1. co 1 1 1. cot ( ) . cot ( ) . ln(1 )3 3 1 3 3 2 6
t ( ). xx ar g x x ar g x x x Cx
x ar g x dx
u= arcotg (x) du= 2
11 x
.dx
dv= x2.dx v=x2.dx= 13
.x3 x3 x2 + 1
-x3-x x -x
Integral por cambio de variable Se sustituye la variable, x, por una función de otra variable, x= g(t), transformando de esta manera el integrando, f(x).dx, por otro más sencillo. Se hace x= g(t) dx= g’(t).dt de forma que f(x).dx= f(g(t)).g’(t).dt Se halla la integral en la variable, t, y finalmente se deshace el cambio. Si la integral resultante en la nueva variable, t, es más complicada que la inicial, el cambio realizado no es el adecuado. Los cambios de variable más usuales son:
m,n ℕ m, impar t= cos x n, impar t= sen x m,n, par Se disminuyen los valores de éstas haciendo:
.cos .m nsen x x dx
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 490 Leopoldo E. Álvarez
sen2x= 12
(1-cos 2x) cos2x= 12
(1+cos 2x) sen x.cos x= 12
sen 2x
R, función racional del, sen x, y del, cos x
Un cambio de variable genérico para este tipo de integrales es
t= tg 2x
que permite escribir
sen x= 2
21
tt
cos x=2
2
11
tt
dx= 2
21 t
dt
Existen casos particulars que permiten simplificar estas integrales sin tener que hacer uso del cambio genérico anterior.
La función racional, R, es impar en, cos x
R(sen x, -cos x)= -R(sen x, cos x)
El cambio de variable que se usa es t= sen x
La función racional, R, es impar en, sen x R(-sen x, cos x)= -R(sen x, cos x)
El cambio de variable que se usa es
t= cos x
La función racional, R, es par en, sen x, y en, cos x R(-sen x, -cos x)= R(sen x, cos x)
El cambio de variable que se usa es
t= tg x
que permite escribir
21
tsenxt
2
1cos1
xt
2
1 .1
dx dtt
El cambio de variable es, t= ax
2 2, .R x k x dx
( , cos ).R senx x dx
( ).xR a dx
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 491 Leopoldo E. Álvarez
El cambio de variable es, x= k.sen t
2 2, .R x x k dx
El cambio de variable es, x= k.sec t
2 2, .R x k x dx
El cambio de variable es, x= k.tg t
22 2
1 12 .2 . . 2 cot ( ) 2 cot1 .
11
11
dxx
t dt dt ar gx
t ar g x Ctt t
t2= x-1 x= t2+1 dx= 2t.dt
2625 26 22522 . 1 1. 52 2
56 6
t dt tx x dx x C
t= x2+5 dt= 2x.dx x= 5t
3 24 12 8 6 19 17
11 11 16 143 344 1
3
2.12 . 12 . . 12 12t t t t t tt dt t dt dt t t dt
tx x d
tx
x t
17 15 12 417 15 17 512 1212 12 12 4 12 417 15 17 5 17 5
t t C x x C x x C
x= tm..c.m.(índices de las raíces)= tm.c.m.(3,2,4)= t12 dx= 12t11.dt t= 12 x
2 6 45 1
72 5 5
3 2 1 2 1 1 66 6 12 12ln5 1
2 t t tdt dt dt dt t t Ct t t
x xt
dxx
64 3 2
3 312ln 12ln2 2
t C x Ct x
x= t6 dx= 6t5.dt t= 6 x
3 3 2
2 1. 2 2 cot ( ) 2 c t1
11
o1
dx z dz dz ar g z C ar g x Cz zx zx
1+x= z2 dx= 2z.dz z= 1 x 1+x
2
2 2 2 2
2 . . 1. 2 2 11. 2 21 1 1 1
xe z dz z dz dzz dz dz dzz z z z
dx
2 2 cot ( ) 2 1 2 cot 1x xz ar g z C e ar g e C
ex -1= z2 ex= z2+1 ex.dx= 2z.dz dx= 2
21
zz
.dz
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 492 Leopoldo E. Álvarez
2 22 29 3 3 99 4 . cos . 3 1 . cos . cos .4 2 2 2
9 4 . sen t t dt sen t t dt t tx ddx
2
29 1 1 9 1 1 1 2 9 4 4cos2 . 2 2. . . 9 42 2 2 2 2 2 2 3 3 9
x xt dt t sen t x x C
x= 32
sen t sen t= 23x
2 2
2 4 9 4cos 1 19 3x xt sen t
cos2 t= 12
+ 12
cos t sen 2t= 2 sen t.cos t dx= 32
cos t.dt
Integral de funciones racionales o fracciones de polinomios
Se llama fracción simple a aquella que es de una de las dos formas ó Las funciones racionales que forman el integrando se transforman en una suma de fracciones simples, que tienen por denominador polinomios de primer o segundo grado irreducibles Para realizar este método en las funciones racionales el grado del polinomio del numerador de la fracción ha de ser menor que el grado del polinomio del denominador. De no serlo y para conseguir dicho objetivo:
Se realiza la división indicada por la fracción
( ) ( )( )( ) ( )( )
P x Q xP xr x c xQ x
Se aplica la regla de la división
P(x)= Q(x).c(x) + r(x) Se divide ambos miembros de esta expresión por el polinomio del denominador de la fracción, Q(x), resultando una nueva fracción que si cumple esta condición además de un polinomio cuya integración es inmediata:
( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P x Q x c x r x Q x c x r x r xc xQ x Q x Q x Q x Q x
de este modo se transforma la integral inicial en suma de otros dos
( ) ( ) ( )( ) . ( ). .( ) ( ) ( )
P x r x r xdx c x dx c x dx dxQ x Q x Q x
El proceso ahora del método de las funciones racionales consta de tres partes:
Descomponer el denominador en factores
Todo polinomio con coeficientes reales se puede descomponer en un producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles.
Ax n 2
Ax n
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 493 Leopoldo E. Álvarez
Los factores que pueden aparecer en esta descomposición son:
Factores lineales simples El denominador de la fracción tiene todas las raíces simples y reales. x2-5x+6= (x-2).(x-3) factores lineales Factores lineales dobles, triples, … El denominador de la fracción tiene raíces múltiples y reales. x2+2x+1= (x+12 factor lineal doble x3-1= (x-1).(x2+x+1) factor lineal y cuadrático Factores cuadráticos irreducibles simples El denominador de la fracción tiene raíces imaginarias simples. x4-1= (x+1).(x-1).(x2+1) factores lineales y cuadrático Factores cuadráticos irreducibles dobles, triples, … El denominador de la fracción tiene raíces imaginarias dobles, triples, … x4+2x2+1= (x2+1)2 factor cuadrático doble
Descomponer la fracción racional en suma de fracciones simples El esquema de descomposición de la fracción racional depende de los factores que aparecen en la descomposición factorial anterior. Por cada
Factor lineal simple A
x a
Factor lineal doble 2( )B C
x b x b
Factor lineal triple 2 3( ) ( )C D E
x c x c x c
Factor cuadrático simple 2
Mx Nax bx c
Si un polinomio admite una raíz imaginaria admite también su conjugada. Por cada par de raíces imaginarias conjugadas hay que escribir dos fracciones, de forma que
2 2( ) ( ) ( )P Q P Q Px Pd Pei Qx dQ Qei
x d ei x d ei x d ei x d ei x d e
2 2 2 2 2
( )( ) ( )P Q x N Mx N Mx Nx d e x d e ax bx c
donde
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 494 Leopoldo E. Álvarez
N= -Pd-dQ+(Qe-Pe)i M= P+Q (x-d)2+e2= x2-2dx+d2+e2= ax2+bc+c a= 1 b= -2d c= d2+e2
Por cada par de raíces imaginarias simples se escribe una fracción de la forma
2
Mx Nax bx c
El cálculo de las constantes, A, B,… P, Q se hace por el método del valor numérico después de identificar, P(x), con el polinomio que resulta de sumar las fracciones simples. Para hallar las constantes se dan valores numéricos arbitrarios a ambos miembros, por comodidad, conviene utilizar como valores arbitrarios las raíces o números enteros sencillos. Las relaciones obtenidas de esta forma constituyen un sistema cuyas soluciones son las constantes indicadas. Integración de los sumandos Las integrales de las fracciones simples son una de las siguientes formas: Neperiano Potencial Neperiano-arco tangente
2 3 2 3 2ln 2 ln 3
5 22 1
1 ( 2)( 3) 5 3 5 5x dx dxx dx
x xx x C
xx x
se iguala la fracción a integrar a la suma de tres fracciones simples
2 2 1 ( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 2)
1 ( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 1)( 2)( 3)x x A B C A x x B x x C x x
x x x x x x x x x
A, B, C constantes dado que los denominadores son iguales en ambos miembros, para hallar el valor de las constantes, A, B, y, C, se dan tres valores arbitrarios a la variable, x. Para simplificar este paso los valores arbitrarios coinciden con las raíces del polinomio que forma el denominador de la fracción, así x= 1 12-2.1+1= A.(1+2).(1-3) + B.(1-1).(1-3) + C.(1-1).(1+2) 0= A.3.(-2) + B.0.(-2) + C.0.3 0= 6A + 0 + 0 0= 6A 0= A x= -2 (-2)2-2.(-2)+1= A.(-2+2).(-2-3) + B.(-2-1).(-2-3) + C.(-2-1).(-2+2) 9= A.0.(-5) + B.(-3).(-5) + C.(-3).0 9= 0 + 15B + 0 9= 15B
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 495 Leopoldo E. Álvarez
3 95 15 = B
x= 3 32-2.3+1= A.(3+2).(3-3) + B.(3-1).(3-3) + C.(3-1).(3+2) 4= A.5.0 + B.2.0 + C.2.5 4= 0 + 0 + 10C 4= 10C 2 4
5 10 = C
se sustituyen estos valores de las constantes, A, B, y, C, en la expresión anterior y se integra
2
3 2 3 22 1 0 5 5 5 5
1 ( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 2) ( 3)x x
x x x x x x x x
2 2 1 3 2 3 2ln 2 ln 3
1 ( 2)( 3) 5 2 5 3 5 5x x dx dxdx x x C
x x x x x
2
1 15 3 5ln( 2) 3l2 13 2
n( 1)2 1
dx dx x x Cx x
x dxx x
se factoriza por Ruffini el polinomio del denominador de la fracción a integrar ó dado que este polinomio es de segundo grado se pueden obtener sus raíces mediante la fórmula de las ecuaciones de segundo grado, lo que permite factorizarlo posteriormente. x2-3x+2= (x-2).(x-1) se descompone la fracción inicial en suma de fracciones simples por tener su denominador raíces simples
2
2 13 2 2 1
x A Bx x x x
se realiza la suma algebraica de estas fracciones algebraicas
2
2 1 ( 1) ( 2)3 2 2 1 ( 2)( 1)
x A B A x B xx x x x x x
de esta igualdad dado que los denominadores son iguales se deduce que también han de serlo los numeradores, de donde se escribe 2 1 ( 1) ( 2)x A x B x se determina el valor de las constantes, A, y, B, dándole sucesivamente dos valores arbitrarios a la variable, x. Los valores arbitrarios que se dan son, x= 2, y, x= 1 x= 2 2.2+1= A.(2-1) + B.(2-2) 5= A.1 + B.0 5= A x= 1 2.1+1= A.(1-1) + B.(1-2) 3= A.0 + B.(-1) 3= -B -3= 5B
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 496 Leopoldo E. Álvarez
3 22
1 1 1 1 1 1 1 44 ln( 1) ln( 1)2 1 2 1 ( 1) 2 2 1
3 51
dx dx dx x x Cx x x
x dx x x
xx
se factoriza por Ruffini el polinomio del denominador de la fracción a integrar x3-x2-x+1= (x+1).(x-1)2 se descompone la fracción inicial en suma de fracciones de la forma
3 2 2
3 51 1 1 ( 1)
x A B Cx x x x x x
se realiza la suma algebraica de estas fracciones algebraicas
2
3 2 2 2
3 5 .( 1) .( 1).( 1) .( 1)1 1 1 ( 1) ( 1)( 1)
x A B C A x B x x C xx x x x x x x x
de esta igualdad dado que los denominadores son iguales se deduce que también han de serlo los numeradores, de donde se escribe
23 5 .( 1) .( 1).( 1) .( 1)x A x B x x C x se determina el valor de las constantes, A, B, y, C, dándole sucesivamente dos valores arbitrarios a la variable, x. Los valores arbitrarios que se dan son, x= 1, , x= -1, y, x= 0 x= 1 8= 2B B= 4
x= -1 2= 4A A= 12
x= 0 5= A+B+C= 1+ 12
+C C= - 12
2 23 2
1 1 1 2 1 1 1 1 2 4 1 1 2 1 3.3 1 3 1 3 1 3 2 1 1 6 1
11
x x xdx dxx x x x x x x x x
dxx
2
2 2
1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 1ln( 1) ln( 1) cot3 1 6 1 6 1 3 6 3 3
x xdx dx x x x ar g Cx x x x x
se factoriza por Ruffini el polinomio del denominador de la fracción a integrar x3+1= (x+1).(x2-x+1) resultando el segundo factor cuadrático irreducible, por lo que se descompone la fracción inicial en suma de fracciones de la forma
3 2
11 1 1
A Mx Nx x x x
se realiza la suma algebraica de estas fracciones algebraicas
2
3 2 2
1 .( 1) ( ).( 1)1 1 1 ( 1).( 1)
A Mx N A x x Mx N xx x x x x x x
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 497 Leopoldo E. Álvarez
de esta igualdad dado que los denominadores son iguales se deduce que también han de serlo los numeradores, de donde se escribe
21 .( 1) ( ).( 1)A x x Mx N x se determina el valor de las constantes, A, M, y, N, dándole sucesivamente dos valores arbitrarios a la variable, x. Los valores arbitrarios que se dan son, x= 0, , x= 1, y, x= -1
x= 1 1= 3A A= 13
x= 0 1= A+N= 13
+N N= 23
x= -1 1= A+2M+2N= 13
+2M+43
M= 2
3
3
3 2
2 12 ( 1) ( 2)
x x dxx x x
se descompone la fracción inicial en suma de fracciones de la forma
3
3 2 3 22
2 1( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)2 ( 1) ( 2)
x x A B C D E Fx x x x x xx x x
se realiza la suma algebraica de estas fracciones algebraicas
3 2 2 2 2 3 3 3 2
3 3 22
2 1 ( 2) .( 1) .( 2) ( 2).( 1) .( 2) .( 1) .( 2) ( 2) .( 1).( 2) ( 2) .( 2) ( 2) .( 1)( 2) .( 1) .( 2)2 ( 1) ( 2)
x x A x x x B x x x C x x D x x x E x x F x xx x xx x x
de esta igualdad dado que los denominadores son iguales se deduce que también han de serlo los numeradores, de donde se escribe
3 2 2 2 2 3 3 3 22 1 ( 2) .( 1) .( 2) ( 2).( 1) .( 2) .( 1) .( 2) ( 2) .( 1).( 2) ( 2) .( 2) ( 2) .( 1)x x A x x x B x x x C x x D x x x E x x F x x para determinar las constantes, A, B, C, D, E, y, F, se le dan a la variable, x, seis valores arbitrarios. Para simplificar este proceso algunos de estos valores arbitrarios coinciden con las raíces del polinomio del denominador de la fracción.
12 12 12 52 5 5
2 5 752
5. 12 715
1.
xx x dx x ddx x Cx xx
5 3
4 22( 6 2 6 45
4)3
x x x x Cx x x dx
75
133 62 2 5 7 2 66262
32 2 2 6 2 65 7 5 7 5 72 6
x x x x x x x x x xdx x x dx Cx x
x x dxx
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 498 Leopoldo E. Álvarez
5 171 53 2 4 12
4 125 173 2
4 124 44
3 5 3 5 3 5 6 30. .5 172 2 2 2 5 1723 5
24 12
2x x x xdx x x dx x x Cx x
x x dxx
2.cos . 1
2senx x dx sen x C
2 32 1 22 .cos . .
2 2 2.cos
2.
2 2 3x x x xsen dxsen xx sen Cd
3 43 5 2 1.(1 )4
tg tg x tg x dx tg x Cx tg x dx
3
1 22 322sec . 2sec . 3. .
32
tgxx tgx dx tgx d x tgx x C
3
1 2 32
lnc. l osn . 2. ln . ln3 32
senxx senxctgx sen dx senxe
xs nx
dx C
12
1 22 cos3 . 332 cos3
.( 3). 2 cos33 3
x sen xsen x dxxx
x Cd
2
222 1sec .
1 1ec 1s x tgxx dx
tgxdx C
tgx
3
1 22
2.cos . .
2
cos . . 3 3senx
senx x dx senx s x senxe x x Cn d
2 33 1sec .sesec . c . . se. c
3x x tgx tgx x d x Cdx x
23
23
1 ln1 11 ln . .2 2 1 l. ln n1
xx dxx C
x xd
xx
3 13 742 3 7 34 4 44 44 4 4. . 3 7 71
.7
4
x x xx x dx x dx x dx x xdx x x C
1 11 72 6
6 76 6 6 66 66 63 3 2 6 6 6. 2 . 2 2 . 2. . 2. 216
27
.7 71
x xdx x dx x dx x x x xx Cdx
xx
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 499 Leopoldo E. Álvarez
3 113 2 22
3
2cos .c . 3 112
s
2
o sen x sen xx sen xx d dx Cxsen x senx
2 32
1 1ln . . ln3
2ln4
x dx
dxx
x x Cx
22
21 12 ln . . 2. ln ln2
ln x dxx d xx x Cxx
2
32
3 3
1 3 1. ln( 8)3 8 38
x d x dx xxx
Cx
cos . ln( ). x dx senx Csenx
ctgx dx
22
2
2 .cos . ln(1 )1
21
senx x dx sen x Csen x
sen x dxsen x
5 1.5 ln(cos5 )
cos5 5. sen x dtg x xd x C
xx
cos . ln( )x dxdx
tgsenx C
senx x
1
22 2ln 11
1. 1
x dxdxx
x Cx x
23 2
2
12 1 n2 lx dx x x x Cx
x x x dxx
2 22
3
2
2 33 ln( 1)1
3 51 2
xx dx xx x dxx
x Cx
cos ln( cos )cos
coscos
x senx dxsenx x dxsenx
senx x Cse xx n x
2
2
11 ln cot
cot(1 ) cotx dx ar gx C
ardx
x ar ggx x
12 . 2ln coscos 2sen x dx x C
xtg x d
x xx
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 500 Leopoldo E. Álvarez
322 3
23 ln
23
3
xx
x dxx Cd
2 2 21 1. . .
2. 2
2xx xx e d x e x Cx d e
2 22
.2. c .. o2 .. sssen en x sex n xe sene sen x d x x d e Cx x
2cos
gxt
tgxe d e Cx
x
1 22 5 5
ln525 x
x xddx x Cxx
5 55 1 15ccos5 os5 ..
5 5sen s sx en x en xxx e d e d Cx x e
2 2 2lln 2 n 2 ln 2
22
1 2 1.7 72 1 2.ln 7
.72
x xxx dx x dxx
x C
2 2
22 2
2 1 1 1 1 1.( 2). .2.2 22 2 4 4
xx x x
xxe dx e dx e Ce e dx e
22
2 2
4 4 1 55 cot 4 ln 1 4
1 4 ln 4 2.ln 41 4
4 5.161 16
x xx x
xx
x x
x dx dx dx ar g C
cos cossenxx s xnx d Ce x
32 23 secx x dx x tgx C
.cosx xxe e dx sene C
22 21 15 .2 . cos 52
. 5 .2
sen x x dx x Cx sen x dx
1ln . . cos lnsen x dx x C
xsen lnx
dxx
2 2 23 cos .cos . 1 .co cos . coss .cos. .x x dx sen x x dx x sen xx dx x dx
2 2 31 1cos . .cos . cos . 3. .cos .3 3
x dx sen x x dx x dx sen x x dx senx sen x C
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 501 Leopoldo E. Álvarez
2 224 1 cos 2 1 2cos 2 cos 1 1 12cos 2 . cos .
2 4 4 4.
4x x xdxsen x d dx dx x dx x dxx
1 1 1 1 cos 4 1 1 1 12 2 44 4 4 2 4 4 8 32
xx sen x dx x sen x x sen x
3 1 12 48 4 32
x sen x sen x C
5 2 2 24 2 2 2 4 2. .cos . 1 cos ..cos .cos . 1 2cos cos . .cos .. senx sen x x dx x senx x dx x x sesen x x dx n x dx
2 4 6 3 5 71 2 1(cos . 2cos . cos . ). cos cos cos3 5 7
x senx x senx x senx dx x x x C
2 2cos cos ln cos ln l1
.cosn ln
.cos cos cossen x x senx x senxdx dx dx x senx tgx C
senx x x senxse xdx
nx x
2 1 cos8 1 1 8
24
2 16xdx x sen x Csen xdx
4 2 45 22cos .cos . 1 .cos . cos . 2 .cosco . .cos .s x xdx sen x x dx x dx sen x x dx senxdx x x dx
3 52 13 5
senx sen x sen s C
2 2
122 2
c. os scodx
x xx dx tg x C
x
2
2 32 2
2
24
1 1 1. .cos cos coos s 3csen x dsen x dx x tg x dx
xtg x C
x x x
.sec . ln cos seccos cos cocos ssenx tgx senxdx dx dx tgx xsenx tgx d dx x x C
xx x xx
2 2
2 22 2 22
1.c
cos 1 1 c.cos co oss
sen x xdx dx dx tgx tgx Csen x x x sen x
dxsen x x
1
2 22 2 2 2
1 1 1 1 ( 2 )(1 )21 1 1 1
11
x xdx dx dxdxx
x dx x x dxx x x x
2cos 1ar enx x C
2 1 1 11 cos2 22 2 4
. x dx xsen x sedx n x C
2 1 1 11 cos2 22 2 4
cos . xx dx dx x sen x C
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 502 Leopoldo E. Álvarez
2 2 33 1cos . 1 cos .coscos ..3
x sen x dx x sen x x dx senx d x sen x Cx
2 2 33 1. 1 cos cos . . cos cos3
. senx x dx senx x senx dx x xsen x dx C
22 .co2 .. ssenx x dx sensen x dx x C
3 .cos(2 1). 1 5 1 1 1 5 1 1cos cos2 2 2 5 2 2
x x x xsen sen dx Csen x x dx
2 .cos2 2
A B A BsenA senB sen
32
A B x 5 1A x
22
A B x 1B x
2 2 2
2 2
1 cos 1 2cos cos 1 2cos cos(1 cos )(1 cos
1 cos1 cos ) 1 cos
x x x x xdx dx dxx x x s
xe x
xn
dx
2
2 22 2 2 2
1 cos cos 12 2 cos . . cot .x xdx dx dx dx x sen xdx g xdxsen x sen x sen x sen x
2 22
1 22 cos . . 1 cot 1 . cot cotdx x sen x dx g x dx gx gx xsen x senx
22cot gx x Csenx
2 2 2
2 2
1 1 2 1 2(1 )(1
11 c1 ) os
senx senx sen x senx sen xdx dx dxsenx sen
senx dxse x sen xnx x
2
2 22 2 2 2
1 12 2 .cos . .cos cos cos cos
senx sen xdx dx dx dx senx x dx tg x dxx x x x
2 22
1 22 .cos . 1 1 .cos cos
dx senx xdx tg x dx tgx tgx xx x
22cos
tgx x Cx
2
22 1cotsec
1 ) 11 ( ( )senx
dx ar g tgx x Csenx
xsen
xx
dtg x
2 22 22
15 5 5 5 2.2
4 4 4 4 44 2 2 21 12 2
54 8
dxdx dx dxx
dxx x xx x x
5 2
cot2 2
xar g C
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 503 Leopoldo E. Álvarez
2
24 2
21
2 . cot1
x dx ard Cx x gxx
x
22 22
48 8 2 2 2 17 cot
16 8 8 (4 1) 7 7 7 72 1 17
12 1
dxx x
xdx dx dx ar g Cx x x
x
22 22
48 8 2 2 2 17 cot
16 8 8 (4 1) 7 7 7 72 1 17
12 1
dxx x
xdx dx dx ar g Cx x x
x
3
3 32
22
122
1 11 .(2 1). 13 1
2
1
1
1 2x x x dx dx
x xx x x C C
x x
3
44
3
4
1 4 4 1. ln 4 74 4
14 7 47
x dx d x x x Cx
xx xx
22
1
cos lnl1 ln 1 nx dx ar en x C
xdx
x x
1
2 22 2 22
12 5 5 39 .( 2 ) .3
39 92 59
13
x dx dx x x dx dx dx
xxx x x
12 2
29
5 cos 2 9 5 cos1 3 32
x x xar en x ar en C
2 2
2 1 2 ln 2 1 cos 2ln 2 ln 21 2 1
24 21
x xx
x x
x
xdx dx ar en Cdx
2
22 224
2 21 3 1 23. cos3 32 2 2 222 19
3
21
3
9x xdx dx arx dx
xen C
xx
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 504 Leopoldo E. Álvarez
Hallar la función, F(x), cuya derivada es, f(x)= x+6, tal que para, x= 2, tome el valor, 25.
2
6 62xx dx x C
se verifica
2225 6.22
C C= 11
2
( ) 6 112xF x x
¿De las infinitas funciones primitivas de la función, y= x2-x+1. ¿cuál es la que para, x= 3, toma el valor, 5?.
3 2
2 13 2x xx x dx x C
se verifica
3 23 35 33 2
C C= 52
3 2 5
3 2 2x xy x
Hallar la función primitiva de, y= x2+2x, cuya representación gráfica pasa por el punto, P(1,3).
3 2 3
2 22 23 2 3x x xx x dx x C
3
2
3xy x C
se verifica por pasar por el punto, P(1,3)
3213 1
3C C=
53
3
2 53 3xy x
Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto, P(1,5), y cuya pendiente en cualquier punto es, 3x2+5x-2. y’= 3x2+5x-2
2 3 253 5 2 22
y x x dx x x x C
se verifica por pasar por el punto, P(1,5)
3 255 1 1 2.12
C C= 72
3 25 722 2
y x x x
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 505 Leopoldo E. Álvarez
Hallar la función primitiva de la función, 2( ) 1f x x x , que se anula para, x= 2.
3
21 22 2 2
11 11. 2 .( 1) 32 22
xx x dx x x dx C
se verifica
321 2 1 03
C C= 3 321( ) 1 33
F x x
3 332 2
3 3 1 13.
3 1. . .
x xdx dx dx x dx dx x dxxx x x x x
xx
x x dx x
3 12 2
22 23ln 3ln5 1 52 2
x xx x x x Cx
2
2 22 2 2
2
cc os 1 1 1 2 seos2cos
ccosx sen x dx tg x dx sen x dx dx
xx x dx
x
22. sec . 2dx x dx x tgx C
22
22 2
1 1 11 cot11 1
x x dx dx x ar gxdxx
Cx x
1 1 13 .cos3 . 3 .cos3 . .cos3.cos2 .co .2 2
s3 .2
sen x senx x dx sen x x dx sensenx x x dx x d xx
1 1 1 cos6 1 cos 4 1 cos 26 . 4 2 . . .4 4 4 6 4 4 4 2
x x xsen x dx sen x sen x dx
1 1 1cos6 cos 4 cos 2
24 16 8x x x C
las expresiones trigonométricas que se utilizan en este ejercicio son:
sen x.cos 2x= 1 13 ( ) 32 2
sen x sen x sen x senx
sen 3x.cos 3x= 1 12 3 cos3 62 2
sen x x sen x
sen x.cos 3x= 1 1 14 cos( 2 ) 4 22 2 2
sen x x sen x sen x
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 506 Leopoldo E. Álvarez
2 2 1 cos 2 1 1cos .cos . cos . cos2 .2
12 2
tt t dt t dt dt dt t ddx tx
21 1 1 1 1 12 .cos cos . 12 4 2 2 2 2
t sen t t sent t ar enx x x C
el cambio de variable que se hace es:
x= sen t dx= cos t.dt 2 2 21 1 cos cosx sen t t t
1 coscos2 2x x 2 1 coscos
2 2x x
22 6 4 2 7 52 32 4 21 .2 . 2 4 2 .7
. 15 3
. t t dt t tx x dx t dt t t t C
7 5 32 2 2
2 4 21 1 17 5 3
x x x C
el cambio de variable que se hace es:
x+1= t2 x= t2-1 dx= 2t.dt t= 1x
7 3 7 3
8 48 8 88 8
7 3 3 1 8 3 4 1 3ln 1 c31
ot1 1 8 1 4 1 8 4
x x x xdxx x dxx
dx dx dx x ar gx Cx x x x
22
1 1. ccot ot . . cot ln 11 2
. x ar gx x dx x ar gx x Cx
ar gx dx
u= arco tg x du= 2
11 x
dv= dx v= x
22 2(1 ).cos 2 (1 ).cos 2.. . cco oss1 . ( ). .x x dx x x senx xx xx enx xs dx
21 cos 2 .x x x senx C
u= x2+1 du= 2x.dx dv= sen x.dx v= -cos x . . . c.c . osos x senx senx dx x sex nx xd xx
u= x du= dx dv= cos x.dx v=sen x
5 3
2 3 23 23
6 6 66 6 6 . 2 3 6 6l11 12
n2
1t tdt dt t t dt t t t tt
dt
xx tx t
3 6 62 2 3 2 2 6ln 1 2x x x x C
el cambio de variable que se hace es:
x+2= t6 16( 2)t x dx= 6t5.dt
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 507 Leopoldo E. Álvarez
2
22 2 2 22
2 2 2 2( 1). . 21 1 2. .1 1
.11
t tt t dt dtx dxx
dt dt dtt t tx t
2
1 11 2 22 2 2 2 2 ln( 1) ln( 1)
1 1 1t dt t dt t t t
t t t
211 111 1 12 ln 2 ln 2 ln 11 1 1
xxxt x xxt
t x xxxx
12 2ln 1x x x Cx
el cambio de variable que se hace es:
1xx
= t2 x+1= x.t2 1= x.t2-x x= 2
11t
dx= 22
2
1
t dtt
1 3 5
2 2 2 45 (1 ) . . 2 21
.co .3
s5
m m mm m m mm t t tt t dt t t t dsen x x dx t t
m m m
1 3 5cos cos cos21 3 5
m m mx x x Cm m m
el cambio de variable debido a que el exponente del, sen x, es, 5, viene dado por:
t= cos x dt= -sen x.dx
sen5x.dx= sen4x.sen x.dx= (sen2x)2.(-dt)= (1-cos2x)2.(-dt)= -(1-t2)2.dt
22 24 2 1 1. .cos 2 cos.cos . 2 . . 2 .2 4
s sen x senx x dx x sen edx n dxx x x
2 2 21 1 12 . 2 .cos 2 . 1 cos 48 8 2 2
dusen x dx sen x x dx x dx u
3
31 1 1 1 11 cos 4 . 4 216 16 3 16 64 48
ux dx x sen x sen x C
el cambio de variable es:
u= sen 2x du= 2.cos 2x.dx
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 508 Leopoldo E. Álvarez
44
4
82 2 4 2
4 4 2
1 1. .(1 ) . .(1 )coc s cos 1ossen x dx t t dt t t dt
x x tsen x dx
x
5 3
5 31 15 7 5 3
tg x tg xt t C C
el cambio de variable por ser la función racional y par en, sen x, y en, cos x:
4 4
8 8
( ) ( )( , cos ) ( ,cos )( cos ) (cos )
senx senxR senx x R senx xx x
t= tg x x= arco tg t dx= 2
11
dtt
cos2x= 2
11 t
sen2x= 2
21t
t
2 2
2 2 2
3
2
cos 1 2.cos . 11 1 1
cos1
x tx dxx dxsen x
dt dtsen x t t
2 cot 2 cot ( )t ar gt senx ar g senx C
el cambio de variable por ser la función racional impar en, cos x, es:
sen x= t dt= cos x.dx cos x= 21 .t dt
2
2 2 2
2 2
2.2.1
12.1
2 1 1 2 1 2cos 2 111 1
dtdt dt dtt
t t t t t t tt
dxse
tnx x
ln(1 ) ln 12xt tg C
el cambio de variable es:
t= 2xtg dx= 2
2.1
dtt
cos x= 2
2
11
tt
sen x= 2
21
tt
2
2 2 2
4 5.(4 ) 1 1 5.4 1 5.4 .ln 4.
1 (4 ) ln 44
1 (5.16
1 4 116 )
x x xx
x x
x xx
tdx dx dtt
dx
22 2
1 5 55 cot ln(1 ) cot 4 ln(1 16 )1 1 2 2
x xtdt dt ar gt t ar g Ct t
el cambio de variable es:
t= 4x dt= 4x.ln 4.dx
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 509 Leopoldo E. Álvarez
222
. 1 1 1.( 2) 2 3 1 6 22 .
12
x
x xx x x
e dx dt dt dt dtt t
dxe e t t t te e e
6 36 31 1 1 2. 1 2. 1ln ln( 1) ln( 2) ln ln
2 3 6
x x
x
t t e et t t Ct e
el cambio de variable es: t= ex dt= ex.dx también se ha tenido en cuenta la igualdad
1 .( 1).( 2) . .( 2) . .( 1).( 1).( 2) 1 2 .( 1).( 2)
A B C A t t B t t C t tt t t t t t t t t
Si, t= 0, A= 12
Si, t= 1, B= 13
Si, t= -2, C= 16
3
3 2 23
2
8.2cos . 8 . 8 . . 8 (1 cos .
s4).
2cosen t t dt sen t dt sen t sent dt t sent ddx
txtx
3
2 233 2 28 8 18cos cos 1 8 1 4 4 4
3 3 2 2 3x xt t x x C
el cambio de variable es:
x= 2 sen t 2 24 4 4 2cosx sen t t dx= 2cos t.dt
5 2cos . 1cos
dxar enx x
t ar enx
3. 2 1.
2 1
x x dx
t x
1x x
x
dxe e
t e
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 510 Leopoldo E. Álvarez
2
1. 11
dxx x
xt
3
6
dx dxx x
x t
2. 1 .x x dx
x sent
21 cos21 cos2
sen x dxx
t x
3 2 25
2
.(1 2 )
1 2
x x dx
t x
1
2 21 (2 1)
2 1
x dx
x sent
5
3
3
11
x dxx
t x
2 2 3
2 2
1 (1 )
1
x dxx x
x t
coscoscos
senx x dxsenx x
t senx x
2
3
3
11
x dxx
t x
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 511 Leopoldo E. Álvarez
4
21
x dxx
t x
3
8
4
1x dx
xt x
21 42
x
x
x
dx
t
32 2(1 )x dx
x sent
cos.
cos
xsenx e dx
x t
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 512 Leopoldo E. Álvarez
INTEGRAL Integral definida
CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón
La integral definida se representa por,
∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es el diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. La integral definida tiene las siguientes propiedades:
Teorema
Si, f(x), es una función continua en el intervalo cerrado, [a,b], entonces la función integral, F(x), es derivable en todos los puntos, x, de dicho intervalo cerrado y además en ellos F’(x)= f(x)
La derivación y la integración son operaciones inversas. Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original. El valor de la integral definida cambia de signo al permutar los límites de integración
Se deduce que si los límites de integración coinciden la integral definida es nula
pues en este caso
( ) ( )a a
a af x f x
escribiendo las dos integrales en el primer miembro de la igualdad anterior
( ) ( ) 2 ( ) 0a a a
a a af x f x f x
se tiene
( ) 0a
af x
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 513 Leopoldo E. Álvarez
Si, c, es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales definidas
La integral definida del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral definida de la función
Las constantes pueden sacarse fuera del signo de la integral o introducirse, según convenga. Las dos últimas propiedades indican que las funciones integral definida en un intervalo, [a,b], constituyen un espacio vectorial. Teorema de la media Si una función es continua en un intervalo cerrado, [a, b], existe un punto, c, en el interior del intervalo tal que
A B
AB’ represente el arco de la gráfica en el intervalo cerrado, [a,b].
abB’A en un trapecio mixtilíneo
Se verifica la relación A’ B’
Área(abB’A’)<área(abB’A)<área(abBA) Existe pues un rectángulo intermedio entre, abB’A’, y, abBA, que tenga la misma área que el trapecio mixtilíneo, abB’A. Para hallar la altura de este rectángulo se sigue:
sea, m, el valor mínimo de la función, f(x), en el intervalo cerrado, [a,b], y, M, su valor máximo en dicho intervalo cerrado. Se verifica (b-a).m (b-a).M se dividen todos los términos por, b-a, y se tiene
1 ( ).
b
am f x dx M
b a
por el teorema del valor intermedio, al ser la función, f(x), continua en el intervalo cerrado, [a,b], toma todos los valores intermedios entre el valor mínimo, m, y el valor máximo, M, se razona la existencia de un punto, c, interior al intervalo cerrado, [a,b], que verifica
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 514 Leopoldo E. Álvarez
1 ( ). ( )
b
af x dx f c
b a
se despeja la integral definida de esta expresión = (b-a).f(c) el área del trapecio mixtilíneo, abB’A, es igual al área de un rectángulo de base, b-a, y altura, f(c), siendo, c, un punto interior del intervalo cerrado, [a,b]. El valor, f(c), recibe el nombre de altura media o valor medio de la función.
3
0
3
02 1 2.(2 1) 2
1xdx
x
41 3 334 2 22 2 22
0
4 2
00
. 9. 1 1 1 982 .( 9) 9 25 92 3 3 3
x x dx xx x dx
1 33 2 22
2 2
3
22
12 .( 1 3
11) 8
2x dx x x dx x
x
3 3
121cot cot 3 cot 1
41 3 12ar gx adx r g ar g
x
000
2 1 cos2 1 22 2 4
.2
x xdx sen xsen x dx
0 0
2 2
0sec 1. x dt x tgxx d xg x
0
2
0
12
cos 0. . sen xsenx x dx
3
22
32
2
1 1 8ln 1 ln8 ln3 ln2 21 3
xx dxx
3
33 4
3 3 3222
4
1 1 1 1ln .3ln 3ln 3 3lnln 2
x dxxx x x
dx
320
22 2 32 20 0
0
11 cos . . cos . cos c. os
3x senx dx senx x senx dxsen x dx x x
3 31 1 1 2cos cos cos0 cos 0 1
2 3 2 3 3 3
0
0
0
0s 0co . senxsenxe dx e e e
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 515 Leopoldo E. Álvarez
1
2 2 22
1
32
1 1 1 1 52( 1) 2 ( 2) ( 3) 2( ) 71
dx
xx
2 2 2
00 0
4
0
2 12 1 2 ln(1 ) 4 2l 3
1 11n
d t dt dt t tx t
xt
x= t2 dx= 2t.dt 4= t2 t= 2 0= t2 t= 0
22 2 ( .c. 2 . 2. . . os cos .cos . )x senx dxx senx x x s x xex dx dxn xx
2. 2 .cos 2x senx x x senx C u= x2 du= 2x.dx dv= cos x v= sen x .c. os .. cosx senx dx x x x dx
u= x du= 1.dx dv= sen x v= -cos x
2 2
00.cos . . 2 .cos 2 2x x dx x senx x x senx
2 0
0
21
1
2.( cos .) ..t sen t sentar x dx tt dt d
arcos x= t x= cos t dx= -sen t.dt 1= cos t t= 0 -1= cos t t=
2
0 000
2 2
0 0
2c . .. . cos 2 3o co .s 2 . s t sent st t t t d ent dtt sent dt t tt
u= t2 du= 2t.dt u= t du= dt dv= sen t v= -cos t dv= cos t v= sen t
Longitud de un arco La longitud del arco de una función, f(x), limitado por las rectas verticales, x= a, y, x= b, viene dado por la expresión
21 '( ) .b
al f x dx
Teorema fundamental del cálculo integral
Dada una función, f(x), integrable en el intervalo cerrado, [a,b], existe para todo valor, x, de dicho intervalo cerrado la integral definida
( ).x
af t dt
Si la función, f(x), y el límite inferior de integración son fijos, la integral definida anterior puede considerarse en el intervalo cerrado, [a,b], como una función de la variable, x, que es su límite de integración superior, llamada función integral.
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 516 Leopoldo E. Álvarez
F(x)= ( ).x
af t dt
Si, , , la función integral, F(x), da el área comprendida entre la gráfica de la función, f(x), el eje, X, y las líneas verticales, x=a, y, x= x, Se dan los siguientes casos para determinar el área comprendida entre la gráfica de la función, f(x), el eje de abscisas, X, y dos líneas verticales, x=a, y, x=b:
La gráfica de la función es positiva en el intervalo cerrado, [a,b]
Si la función es positiva en el intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área se sigue:
se hallan los puntos de corte con el eje de abscisas, X, haciendo, f(x)= 0, y resolviendo la ecuación resultante. el área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración las raíces obtenidas ó puntos de corte de la función, f(x), con el eje, X.
La gráfica de la función es negativa en el intervalo cerrado, [a,b]
Si la función es negativa en el intervalo cerrado, [a, b], entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas, X. El área de la función viene dada por una de estas expresiones equivalentes
La gráfica de la función es positiva y negativa en el intervalo cerrado, [a,b]
En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas, X. Para hallar el área de la función se sigue:
se hallan los puntos de corte con el eje de abscisas, OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación resultante. se ordenan de menor a mayor las raíces obtenidas, que serán los límites de integración. el área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
, , ( ) 0x a b f x
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Área comprendida entre dos funciones
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
Regla de Barrow La integral definida de una función continua, f(x), en un intervalo cerrado [a,b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva, G(x), de, f(x), en los extremos de dicho intervalo.
( ). ( ) ( ) ( )bb
a af x dx G x G b G a
Sea, F(x)= ( ).x
af t dt , la función integral primitiva de la función, f(x).
por ser, G(x), también una función primitiva de la función, f(x), se tiene
F(x)= G(x) + C C constante de integración
para obtener le valor de la constante de integración, C, se hace, x=a, verificándose:
F(a)= ( ). 0a
af t dt = G(a) + C de donde C= -G(a)
lo que permite escribir
F(x)= G(x) – G(a)
como esta relación se cumple para todos los puntos del intervalo cerrado, [a,b], en particular se cumple para el punto, b
F(b)= ( ).b
af t dt ( ) b
aG x = G(b) – G(a)=
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Método de los trapecios Da una aproximación del área bajo la curva de la función, f(x), a partir de la suma de las áreas de trapecios construidos en su intervalo de definición. El método consiste realizar una partición del intervalo, [x0,xn], en, n, partes todas del mismo ancho, h= xi-xi-1, de forma que el área bajo la curva se aproxima a la suma de las áreas de los trapecios cuyas bases son, y0, y1, y2,…,yn, respectivamente. Se tiene entonces:
0 1 1 2 2 1 1( ). . . ... . .2 2 2 2
b n n n na
y y y y y y y yf x dx h h h h
0 1 1 2 2 1 1 01 2 1. ... . ...
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n n n
ny y y y y y y y y yh h y y y
Regla de Simpson
La regla de Simpson pretende obtener una aproximación adecuada de la función integrable, f(x), a través de un polinomio de grado superior obtenido a partir del desarrollo de Lagrange. Se distingue Regla de Simpson, 1/3
Utiliza una aproximación polinomial de segundo orden. Sea
f(x) función que se quiere aproximar a través de un polinomio de orden superior en el intervalo, [a,b]
f(a) valor de la función en el extremo inferior del intervalo, [a,b] f(b) valor de la función en el extremo superior del intervalo, [a,b] x1 punto interior del intervalo, [a,b], equidistante de ambos extremos.
1 2a bx h
f(x1) valor comprendido entre, f(a), y, f(b), que junto a esos valores permite
aproximar la función, f(x), en el intervalo, [a,b], por una parábola. aproximación por un polinomio de grado, 2. El área bajo la curva se obtiene a través de la aproximación del área bajo la parábola que une los tres puntos.
2( ). ( ).b b
a aI f x dx f x dx
2f interpolación polinomial de segundo orden
obtenida con el polinomio de Lagrange de segundo grado.
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 519 Leopoldo E. Álvarez
m=2
a b punto medio del intervalo, [a.b].
La función de Lagrange que aproxima a la función, f(x), viene dada por la expresión
2 2( ).( ) ( ).( ) ( ).( )( ) ( ). ( ). ( ).( ).( ) ( ).( ) ( ).( )x c x b x a x b x a x cf P x f a f c f ba c a b c a c b b a b c
1 2 3( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )L x f a L x f c L x f b sustituyendo en la ecuación de la integral, se obtiene
2 2( ). ( ). ( ).b b b
a a aI f x dx f x dx P x dx
1 2 3( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) .b
aL x f a L x f c L x f b dx
1 2 3( ). ( ). ( ). ( ). ( ). ( ).b b b
a a af a L x dx f c L x dx f b L x dx =
( ) 4 ( ) ( )3h f a f c f b
Regla de Simpson compuesta
Consiste en tomar para cada tres puntos consecutivos de la partición el polinomio de interpolación de Lagrange de grado, 2, correspondiente a los pares de puntos, (xi,f(xi)), (xi+1,f(xi+1)), y, (xi+2,f(xi+2)), y calcular el área bajo dicho polinomio de interpolación sumando después todas estas áreas.
0 2 2 1 2( ). 4. 2.3
b
n n na
hf x dx y y y y
2 1ny suma de las ordenadas impares no extremas de la partición 2ny suma de las ordenadas pares no extremas de la partición
utiliza una aproximación polinomial de segundo orden superior. Sea f(x) función que se quiere aproximar a través de un polinomio de orden superior en
el intervalo, [a,b] x1, x2,…,xi
puntos intermedios del intervalo, [a,b], equidistantes entre ellos y con los extremos del intervalo. Dividen al intervalo, [a,b],en, i+1, partes de longitud
1a bhi
De esta forma se tendrán, i+2, puntos, (a,f(a)), (x1,f(x1)),...,(xi,f(xi)), (b,f(b)), de la gráfica de la función, f(x), que permiten ajustar la función, f(x), por un polinomio de Lagrange de grado, i+1
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 520 Leopoldo E. Álvarez
aproximación por un polinomio de grado, 3 El área bajo la curva se obtiene a través de la aproximación del área bajo el polinomio de grado, 3, que une los cuatro puntos. Cuando se conocen un número par de puntos, (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), (x2,f(x2)),..., (xn,f(xn)), del intervalo, [x0,xn], de forma que dicho intervalo quede dividido en, n-partes, iguales de longitud
0nx xhn
n par
El área bajo la gráfica de la función, f(x), se aproxima por la expresión
1 2
01,3,5,... 2,4,6,...
( ). ( ) 4. ( ) 2. ( ) ( )3
n nb
i j nai j
hI f x dx f x f x f x f x
0( ) 4. 2. ( )3 nh f x I P f x
I suma de las ordenadas impares no extremas
P suma de las ordenadas paras no extremas
Volumen de revolución de una función alrededor del eje, X
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva, f(x), alrededor del eje de abscisas, OX, y limitado por las rectas verticales, x= a, y, x= b, viene dado por:
Volumen de revolución de una función alrededor del eje, X
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva, f(x), alrededor del eje de ordenadas, OY, y limitado por las rectas horizontales, y= c, e, y= d, viene dado por:
22. ( ) .
d d
c cV x dy g y dy
x= g(y) Hallar el área del recinto limitado por la curva, y= 4x−x2, y el eje de abscisas, OX. se hallan los puntos de corte con el eje de abscisas, OX, para representar la curva y conocer los límites de integración. 0= 4x-x2 x= 0 x= 4 se halla la integral:
434 2 2 2
00
32(4 ) 23 2xA x x dx x u
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 521 Leopoldo E. Álvarez
Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva, y= ln x, entre el punto de corte con el eje de abscisas, OX, y el punto de abscisa, x= e. se halla el punto de corte con el eje de abscisas. ln x= 0 e0= 1 (1,0)
ln . .ln .lnx dx x x dx x x x C
v= ln x dv= 1 dxx
dv= 1 v= x
1 1 1 2
0 00ln . .ln .(ln 1) 0 1 1x dx x x x x x u
Hallar el área del círculo de radio, r. se parte de la ecuación de la circunferencia x²+y²= r². el área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
2 21 0
.r
A r x dx
se halla la integral indefinida por cambio de variable.
2 2 .r x dx
x= r.sen t dx= r.cos t.dt
2 2 2 2 2 2 2 2 2. . .cos . (1 ). .cos . .cos .r x dx r r sen t r t dt r sen t r t dt r t dt
2 2 2 2 21 cos 2 1cos . 22 2 4
t tr t dt r dt r sen t C
se hallan los nuevos límites de integración. x= 0 0= r.sen t sen t= 0 t= 0
x= r r= r.sen t sen t= 1 t=2
22 2 2 21
0
1 12 02 4 4 4tA r sen t r r
A= 4.A1= r2
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 522 Leopoldo E. Álvarez
Hallar el área limitada por la recta, x+y= 10, el eje, OX, y las ordenadas de, x= 2, y, x= 8. 828 2
22
(10 ) 10 302xA x dx x u
Hallar el área de una elipse de semiejes, a, y, b.
2 2
2 2 1x ya b
2 2by a xa
por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida es, 4, veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
2 2
04 .
a bA a x dxa
2 2 2 2 2 2 2 2 2. . . .cos . (1 ). .cos . .cos .a x dx a a sen t a t dt a sen t a t dt a t dt
2 2 2 2 21 cos2 1cos . 2
2 2 4t ta t dt a a sen t C
x= a.sen t dx= a.cos t.dt se hallan los nuevos límites de integración. x= 0 0= r.sen t sen t= 0 t= 0
x= a a= a.sen t sen t= 1 t= 2
22 2 2 2
00
14 . 4. . 2 42 4 4
a b b tA a x dx a sen t ab aba a
Hallar el área limitada por la curva, y= 6x2−3x3, y el eje de abscisas. 6x2-3x3= 0, 3x2.(2-x)= 0, x1= 0, y, x2= 2
22 2 3 3 4 2
00
3(6 3 ) 2 16 12 44
A x x dx x x u
Hallar el área limitada por la parábola, y2= 4x, y la recta, y= x. se hallan los puntos de corte de estas funciones para determinar los límites de integración. y2= 4x
y2= 4y (0,0) (4,0) y= x de, x= 0, a, x= 4, la parábola queda por encima de la recta.
43 24 4 4 220 0 0
0
4 84 . . ( 4 )3 2 3
xA x dx x dx x x dx x u
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 523 Leopoldo E. Álvarez
Hallar el área limitada por la curva, y= x2-5x+6, y la recta, y= 2x. en primer lugar se hallan los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración. y= x2-5x+6 x1= 1 x2= 6 y= 2x De, x= 1, a, x= 6, la recta queda por encima de la parábola.
63 26 62 2
1 11
72 5 6 ( 7 6) 63 2x xA x x x dx x x dx x
3 2 3 2
26 7.6 1 7.1 1256.6 6.13 2 3 2 6
u
Hallar el área limitada por las gráficas de las funciones 3y = x2 e y = −x2 + 4x. en primer lugar se representan las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
2
3xy xv= 0 yv= 0 V(0,0)
y= -x2+4x xv= 2 yv= 4 V(2,4) los puntos de corte de esta función con el eje, X, son -x2+4x= 0 x1= 0 x2= 4 se hallan también los puntos de corte de las funciones, que darán los límites de integración.
2
3xy
(0,0) (3,3) y= -x2+4x
323 32 2 3 2 2
0 00
4 44 4 2 12 18 63 3 9xA x x dx x x dx x x u
Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por la curva, y= sen x, y las rectas, x= 0, y, x= π, al girar en torno al eje, OX.
2
2 3
0 00
1 1. 1 cos 2 22 2 2 2
V sen xdx x dx x sen x u
Hallar el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas, y= 2, x= 1, y, x= 4, y el eje, OX, al girar alrededor de este eje.
4 42 3
112 . 4 4 .(4 1) 12V dx x u
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 524 Leopoldo E. Álvarez
Hallar el área de la figura plana limitada por las parábolas, y= x2−2x, e, y= −x2+4x. se representan las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes. el vértice de la primera parábola es, xv= 1 yv= -1 V(1,-1) los puntos de corte con el eje, X, de la primera parábola son 0= x2-2x 0=x.(x-2) (0,0) (2,0) el vértice de la segunda parábola es, xv= 2 yv= 4 V(2,4) los puntos de corte con el eje, X, de la primera parábola son 0= -x2+4x 0=x.(-x+4) (0,0) (4,0) los puntos de corte de las funciones, que darán los límites de integración. y= x2−2x
x2−2x= −x2+4x solución de esta ecuación, (0,0), y, (3,3) y= −x2+4x
232 2 2
1 00
423 3xA x x dx x
21
43
A u
333 2 2
2 00
4 2 93xA x x dx x
2
2 9A u
333 2 2
3 22
423 3xA x x dx x
2
343
A u
2
1 2 34 49 93 3
A A A A u
Hallar el área de de la región limitada por las funciones, y= sen x, y= cos x, y, x= 0. en primer lugar se halla el punto de intersección de las funciones: y= sen x
sen x= cos x 4
x
y= cos x la gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.
24 400
cos cos 2 1A x senx dx senx x u
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 525 Leopoldo E. Álvarez
Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta, y= x+2, y las coordenadas correspondientes a, x= 4, y, x= 10, al girar alrededor del eje, OX.
10310 102 2 2 3
4 44
1000 64( 2) ( 4 4) 2 4 200 40 32 16 5043 3 3xV x dx x x dx x x u
Hallar el volumen engendrado al girar alrededor del eje, OX, el recinto limitado por las gráficas de, y= 2x−x2, y= −x + 2. puntos de intersección entre la parábola y la recta: y= 2x-x2
2x-x2= −x+2 solución, (1,1), y, (2,0) y= −x+4 la parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.
252 22 22 4 3 2 4 3 2 3
1 11
2 2 ( 4 3 4 4) 2 45 5xV x x x dx x x x x dx x x x x u
Hallar el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola, y2= x, y la recta, x= 2, alrededor del eje, OY. como gira alrededor del eje, OY, se aplica: el volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos, y= −4, e, y= 4.
2.b
aV x dy
como la parábola es simétrica con respecto al eje, OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre, y= 0, e, y= 4.
2 42 54 42 3
0 00
1282 2 2 2 48 320 5y yV dy dy y u
Hallar el volumen de la esfera de radio, r. se parte de la ecuación de la circunferencia, x²+y²= r². se gira un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.
22 2 2 2( )r r
r rV r x dx r x dx
3 3 3
2 32 2 43 3 3 3
r
r
x r rr x r
integrales Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 526 Leopoldo E. Álvarez
Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse, 16x2+25y2= 400, al girar: Alrededor de su eje mayor. Alrededor de su eje menor. como la elipse es simétrica respecto de los dos ejes, el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.
16x2+25y2= 400 2
2 400 1625
xy (5,0)
2 525 3 31 0
0
400 16 16 3202 2 1625 75 3
xV dx x x u
16x2+25y2= 400 2
2 400 2516
yx (0,4)
2 424 3 32 0
0
400 25 25 4002 2 2516 48 3
yV dy y y u