Métodos de integración

Integración de funciones con trinomiocuadrado perfecto.

Integración por sustitucióntrigonométrica

Ing. Ms. David Uscamayta Verástegui

Propósitos: Aplica las reglas de integración

para resolver ejercicios defunciones con trinomio cuadradoperfecto.

Aplica la sustitucióntrigonométrica para calcularintegrales.

Integrales que contienen polinomios cuadráticos

Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencianegativa de un polinomio cuadrático ax2 + b x + c se pueden simplificarmediante el proceso de completar el cuadrado. (Trinomio cuadradoperfecto).Por ejemplo

y por tanto, con la sustitución u = x + 1, du = dx, se obtiene

En general, el objetivo es convertir ax2+bx+c en una suma o en una diferencia

de cuadrados para que se pueda usar tablas

o 2222 -u aau

1)1(22 22 xxx

cxacuau

du

xx

dx)1tan()tan(

122 22

PROBLEMAS

Resolver los siguientes ejercicios

1. I =

2. I =

3. I =

INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

• Cuando un integrando contiene potenciasenteras de “x” y potencias enteras dealguna de las expresiones:

• es posible que se puedan evaluar pormedio de una sustitución trigonométrica.

22 xa 22 xa22 ax

CASO 1: Integrandos que contienen

22 xa

En este caso utilizaremos la siguiente representación:

A partir de ella, definimos

Identidad pitagórica

22 xa

xa

)(aSenx

22 cos1 sen

CASO 2: Integrandos que contienen

22 xa

En este caso utilizaremos la siguiente representación:

A partir de ella, definimos

Identidad pitagórica

22 xa

x

a

)(aTanx

22 sectan1

CASO 3: Integrandos que contienen

22 ax

En este caso utilizaremos la siguiente representación:

A partir de ella, definimos

Identidad pitagórica

22 ax

x

a

)(aSecx

22 tan1sec

PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

1. Proponer la sustitución adecuada.

2. Reemplazar los términos en la integral apartir de la sustitución propuesta.

3. Resolver la integral equivalente obtenidaal reemplazar los términos a partir de lasustitución propuesta.

4. Expresar la solución de la integralequivalente en términos de la sustituciónoriginal.

EJEMPLO:

1. Resolver:

Seguiremos paso a paso con el proceso indicado.Como el radical tiene la forma con a = 4, tenemos una integral del CASO 2.

Procedimiento de solución:

1. El cambio indicado es:

Con ello, tenemos la siguienterepresentación gráfica:

216 xx

dx

22 xa

)(4Tanx

2. Reemplazando los términos en la integral propuesta tenemos:

216 xx

4

)(4Tanx

22 161616 Tanx

)1(16 2Tan

SecSec 416 2

dSecdx 24

SecTan

dSec

xx

dx

44

4

16

2

2

Simplificando:

Esta última representa la integral equivalente.

dSen

dCosSen

Cos

xx

dx 1

4

1

/

/1

4

1

16 2

SecTan

dSec

xx

dx

44

4

16

2

2

Tan

dSec

xx

dx

4

1

16 2

dCscxx

dx

4

1

16 2

3. Enseguida procedemos a resolver la integral equivalente. Como:

Entonces:

4. Expresando lo anterior en función de los términos originales, tenemos finalmente que:

cCotuCscuCscudu ln

cCotCscdCscxx

dxln

4

1

4

1

16 2

cxx

x

xx

dx 416ln

4

1

16 2

EJEMPLO:

2. Resolver:

3. Resolver:

4. Resolver:

2/32 )4(xx

dx

dxx

x2

2 94

24 2 xx

dx

PROBLEMAS:• Resolver:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

dxx

x

2

2

25

dxx

x29

2/32 )1( x

dx

dxx

x4

2 9

dxx2142x

dx

Expresión Sustitución Identidad

Sustituciones trigonométricas

dxxa 22

dxax 22

dxax 22

22,senax

22,tanax

2

3

20,sec oax

xx 22 cossen1

xx 22 sectan1

xx 22 tan1sec

SINTESIS DE LA CLASE