- 1. -Sharma -Mulvanev -Rizvi ~LIMUSA WILEY~
- 2. Este libro constituye un curso bsico para el rea de in-
geniera de procesos en alimentos, que tiene por objeto desarrollar
habilidades cuantitativas especficas, tiles en un gran nmero de
entornos donde se realicen activi- dades de procesamiento o
manufactUra de alimentos. Combina prcticas de laboratorio con
ejercicios de programacin lineal, diseo de experimentos y anlisis
de las propiedades reolgicas de los alimentos lquidos y semislidos.
Los numerosos ejercicios en el libro per- miten al estudiante
familiarizarse con diferentes procesos de alimentos. Esta obra
contiene: Experimentos de laboratorio paso por paso. Descripcin del
equipo necesario, incluyendo los pro- cedimientos de operacin.
Ejemplos resueltos para clculos importantes (como: cociente de
Poisson, mdulos de flexin, cociente de letalidad, etctera). Pruebas
de simulacin en computadora, as como informacin para el uso de
hojas de clculo. Ejercicios, en cada uno de los cuales se plantean
preguntas y objetivos, se lleva a cabo el anlisis de datos y su
interpretacin. REA: OUIMICA EING. OUIMICA e-mail:
limusa@noriega.com.mx www.noriega.com.mx
- 3. INGENIERA DE ALlMENTDS Operaciones unitarias y prcticas de
laboratorio
- 4. , INGENIERIA DE ALIMENTOS Operaciones unitarias y prcticas
de laboratorio Shri K. Sharma Steven J. Mulvaney Syed s. H. Rizvi
Comell Uni'ersiry Ithaca, Nueva York '. 123 LIMUSA WILEY@
- 5. Le TP37Q OEWEY VEAS1~j AUTORIZAOA EN ESPA"'Ol DE LA OBRA
OIlIQ!NAU.lENTE PUBUCAO, EN lNGl..ll:SPOfI JoHN Wru.v & SDHS.
INC., ~ El TlTu..o: FOCO PROCESS ENGINEERING rnEOFIV ~ LA6OfUTOAY
exPERIMENTa CoPVIIGI-IT CJoi.fN WUY & SoNs. I~c. N=WYOOK,
CHlCHESTER, BAIS9mE, SlNQ,POflE, TOIlONTO ANO WEINHEIM Coo LA
COlA8Cf'IAC~ EN LA TIl.o.oucaotl DE: MARIO ALBERTO HERNNDEZ CUAPIQ
Bo.o::;o. ACAll~lCO DE U. UNIY!::RSIOAO A1JrCN:IMA De TlAXCAlA
REVlSlC(.I TllCN",c...: HUMBEATO HEANNOEZ SNCHEZ INGENIERO
BIOOUIMICO CON ESPECIALIQAD EN ALI- """NfOS. PROFESOA-lNVESTlGADOA
DEl OEPAFlTAA'ENTO DE GRAOUADOS E INVESTlG"ClN EN AUMENTOS, ESCUELA
N"c,cx,;AL DE CIENCEAS Bo.OOICA5, IPN INGENIERfA DE ALIMENTOS
a>EflACiCNES UNITAR....S y PRACTICAS O LAOClRATOFlIO 90N
PROPIEDAD DEL 8lfTOR N;~ PARTE DE ESTA 06IA I'.E)E SEA Re'ROOUODA o
TIlANSImIOA. 'ffiIAN1E t.lNG(I.I S:STE.IA o101 nooo. ~o MEC.lJ'.ICO
(t.Cl.Ul'EKlO B. FOTCXXlFIAOO, lA GRAllACION o ClJAl.O.lEl'I
SISTEMA DE IlO..I"ERAClON y AlJ,lI,CENJ.M1E1ITO OE INFOIlW.CION).
S!i CCNl:Etffi1l'EN"fO POlI E1lOo,O DEL EOI1OR. DERECI10S
RESEilVAIX:l9: Q 2003, EDITORIAL lIMUSA, SA DE C.V. GAUPO NORIEGA
EDITORES BAlOERAS95, MEX!CO, D.F. C.P. 06040 (5) 8503-60-50 ~
01(800) HI6-91-00 ~ (5) 512-29-{)3 lL Umusa@noega.com.mx
-ww.fIClCiegLcom.mx r.~IEM N/ol. 121 PRll-'ERA EDIClON ~ EN
M!'.XJCO rsl3N 968-186203-1 @
- 6. Dedicamos esta obra a todos nuestros seres queridos
- 7. Prlogo Captulo 1 CONTENIDO formulacin de productos y
optimizacin de procesos mediante programacin lineal EmpIco de la
programacin lineal en las operaciones de procesos de alimentos.
Descripcin de mtodos gr.'ficos sencillos para explicar el concepto
de programacin lineal; utilizacin de software como Microsorl Exccl"
para resolver problemas de p;ugmmacin lineal relacionados con el
desarrollo de productos alimenticios y el diseo de procesos.
Captulo 2 Captulo 3 Prueba de materiales y reologa de alimentos
slidos Utilizacin del analizador de lexturas, del remetro oscilante
o del analizador mecnico dinmico, para detemlinar varios mdulos en
productos alimenticios. Los modos de prueba incluyen compresin,
tensin, doblado en 3 puntos y oscilacin. Reologa de alimentos
liquidos Vsemislidos Principios de los alimentos de comportamiento
newtoniano, pseudoplstico, dilatante y plstico de Bingham.
Mediciones de viscosidad, viscosidad aparente. ndice de
comportamiento de flujo e ndice de consistencia de alimentos
lquidos y semislidos. 20 51 Captulo 4 Captulo 5 Conceptos de
transferencia de calor Vtiempos de muerte trmica 68 Conduccin de
estado estacionario y de estado no estacionario. Uso del trdZO de
Schmidt y las grficas de Gumey-Lurie para calcular la transferencia
de calor en el estado no estacionario. Utilizacin de grficas
semiJogarlmicas y logartmicas, clculo de la pendiente y la
inlerseccin en procesos tmlicos. Enlatado de alimentos.
procesamiento tnnico en autoclave Vclculo de la letalidad por el
mtodo general 96 Obtencin de dalas sobre la penetrJcin de calor en
alimentos calentados por conduccin y alimentos calentados por
conveccin vii
- 8. viii CONTENIDO durallle el procesamiento en autocbve.
Evaluacin del procesamiento trmico de latas en autoclavc. Clculo de
la klalidad por el mtodo general (tcnicas grficas y numricas).
Capitulo 6 Prueba de penetracin de calor y diseo del proceso trmico
con el mtodo de la frmula de Ball 11D Evaluacin del proccsamiento
trmico de latas en una autoclave ulilizando la fnnula de Ball.
Clculo del tiempo de procesamiento para alimentos calentados en el
modo de conduccin y en el modo de conveccin en diferentes tamaos de
lata. Captulo 7 Captulo 8 Captulo 9 Capitulo 10 Escalde Vcongelacin
de los alimentos Escalde de frutas y verduras y efecto sobre b
calidad del producto. Aspectos termodinmicos de la congelacin de
alimentos. Clculo del tiempo de congelacin. Efecto de la congelacin
en la calidad del producto. Procesamiento trmico a temperatura
uJtraalta Procesamiento a temperatura ultraalta (UHT) de alimemos
de baja }' de alta viscosidad. Comparacin entre cl tr::uamiento UHT
y el procesamiento en latas de alimentos en una autoclave. Clculo
del coeficiente global de transferencia de calor y efecto del UHT
en la calidad del producto. Procesamiento con membranas de
alimentos Iiquidos Concentracin de alimentos lquidos mediante el
procesamielllo con membranas. Efecto del flujo, b presin
lransmembrana. la resistencia de la membrana y la fonnacin de lorta
en la velocidad de llux del permeado. Concentracin de alimentos
lquidos por evaporacin Uso de un evaporador para concentrar jarabe
de maplelleche. Consideraciones relacionadas con la ingeniera y la
calidad del producto. 127 142 164 176 Capitulo 11 Capitulo 12
Principios de diseo experimental 187 Concepto de diseo
experimelllal. factores de tratamiento, niveles de tratamiento.
interaccin de factores, efecto de los bloques sobre el diseno
experimental, r:;lica verdadera en experimentos de desarrollo de
productos. Ulilizacin del anlisis de varianza}' clculo del efecto
significativo de los factores de lralamento. Secado por aspersin y
en tambor 202 Conceptos de ingeniera y de procesamiento del secado
por aspersin y en tambor de leche descremada concentrada; efecto de
las condiciones del proceso en la calidad total de la leche en
polvo descremadu.
- 9. CONTENIDO ix Capitulo 13 Capitulo 14 Captulo 15 Capitulo 16
Capitulo 17 Captulo la Captulo 19 Secado convectivo de alimentos
Secado de alimentos utilizando un secador de tnel. Dctenninacin de
la velocidad de evaporacin del agua durante los diferentes periodos
de secado. Deshidratacin osmtica de alimentos Deshidratacin osmtica
de frutas y verduras. EfeclO de la temperatura en la 'elocidad de
eliminacin de agua durante la deshidratacin osmtica. Calentamiento
de los alimentos a base de microondas Fenmenos de calentamiento con
microondas de algunos sistemas modelo y productos alimenticios
comerciales: clculo de la velocidad de calentamiento y de la
eliciencia de calentamiento de las microondas. Fredo de los
alimentos Cambios en la calidad del produclO durante el fredo en
funcin del tiempo y la temper.Jtur.J de fredo de los medios.
Cocimiento de los alimentos por extrusin Principios de la extrusin
de alimentos. Evaluacin del efeclO del contenido de humedad en la
energa mecnica especfica. la temperatura y la presin del producto
para un proceso representativo de extrusin de una bOlana expandida.
Empaque de alimentos Principios del empaque de alimentos. Prediccin
de la vida de anaquel de botanas envueltas en una pelcula por medio
de la isoterma de sorcin de humedad. Control de procesos en la
manufactura de alimentos Principios de la dinmica y el control de
procesos en la manufaclUra de alimenlOs. Ejemplo de control de
procesos en las operaciones de procesamiento de alimentos. 216 225
236 259 268 283 291 Apndice A: Valores de log(g). fJUcon Z= lBOfy
j= 1 -1.2 que se utilizan en el diseo de procesos trmicos 299
Apndice B: Prueba del catecol y propiedades termofsicas 302 Apndice
C: Material adicional sobre diseo de experimentos 305 Apndice D:
Parmetros de procesamiento en el secado por aspersin 326 Apndice E:
Permeabilidad de algunas peliculas de empaque 327 Apndice F:
Constantes y factores de conversio,n fundamentales 329 Apndice G:
Tablas de vapor 332 ndice 343
- 10. , PROLOGO En este libro, que constituye la culminacin de
muchos aos de colaboracin pedaggica en Comell University, los
autores tratamos de distinguir entre los principios de la ingenie-
ra de procesos en alimentos y los principios de la simple ingeniera
de alimentos; tarca no tan sencilla como a primera vista parece, En
la prctica, el procesamiento de alimentos es una labor que abarca
todas las opemciones, lo cual hace que su enseanza no resulte tan
fci1. Algunos cursos sobre el tema se concentran en la" materias
primas ---es decir, el en- foque del producto-- y analizan la
evolucin de una materia prima desde el comienzo. hasta el final;
por ejemplo, de Icche a queso. Otros dan prioridad a los aspectos
de inge- niera del procesamiento de alimentos, lo que comnmente se
conoce como el enfoque de la." operaciones unitarias. No obstante,
es posible que este ltimo no resulte muy diferen- te de un curso de
ingeniera de alimell10s si en l se enfatizan los aspectos de la
transfe- rencia de calor y de masa de las operaciones unitarias El
objetivo de este libro es ofrecer un curso bsico para el rea de la
ingeniera de procesos en alimentos, que permita desa- rrollar
habilidades cuantitativas especficas, tiles en un gran nmero de
entornos de pro- cesamiento o manufactura de aUmentos. Consideramos
que para un curso de tal naturale- za, es preciso llevar antes uno
que ensee los principios de la ingeniera de alimentos, con prcticas
de laboratorio que destaquen las propiedades ingenieriles y los
procesos de trans- porte. Dicho curso bsico tambin podra
considerarse como la introduccin a un curso ms avanzado de
ingeniera de procesos en alimentos. En nuestra opinin, e..~
importante que los egresados de una Licenciatura en el rea de los
alimentos tengan la capacidad de analizar de manera sistemtica un
proceso de manufactura de alimentos, teniendo en cuen- ta los
aspectos fsicos y qumicos en que se sustenta. Lo anterior implica
combinar prcticas de laboratorio del tipo de operaciones
unitaria.~, con ejereicios de laboratorio de programacin lineal,
diseo de experimentos y anlisis de las propiedades reolgicas de los
alimentos lquidos y scmislidos. Asimismo, las prcticas de
laboratorio de opemcione.." unitaria.~ que se utilizan fueron
seleccionadas para demostrar la interaccin entre los aspectos de
ingeniera, qumica, microbiolgicos y sensoriales de la manufactura
de alimentos. La variedad dc ejercicios de laboratorio que se
ofrece permite al estudiante familiarizarse con diferentes procesos
de alimentos, como la eXlfUsin de cerea- lc.", el secado por
aspersin de la leche, el fredo de botanas o la esterilizacin de
verduras. Se ha hecho todo 10 posible por relacionar un aspecto
fsico de la calidad de los alimentos, como color, textura o
propiedades materiales (densidad o porosidad), etctera, con varias
condiciones del proceso. Lo anterior se debe, en pune, a nueslro
inters en este aspecto del
- 11. xii PRLOGO procesamienlo de alimentos. De cualquier foona,
eSlas pruebas son por lo general muy r- pidas para realizarlas en
una sola sesin de labor.ltorio. amn de que la tendencia es no en-
searlas en un curso independiente de ciencia de los alimentos. Un
aspecto nico de este libro es que con cada ejercicio de laboralOrio
se incluye bas- tante informacin bsica sobre los aspectos de fsicos
y qumicos de importancia para un tema panicular. De eSle modo. los
eSludiantes tienen a la mano toda la infoonacin nece- saria para
entender la prctica. La experiencia nos ha demostrado que los
estudiantes de niwles avanzados no consultan sus libros de qumica o
de fsica de los primeros aos pa- r.l re-solver las tareas. Esle
texto resulta IOdava ms til para los estudiantes que no tienen una
fomlacin en el campo de ciencia de los alimemos, corno los
estudiantes de ingenie- ra con inters en alimenlOS. El libro tambin
es til para los profesores que imparten un curso de procesos con
base en un solo libro de texto, en vez de recomendar ulla amp]ja
bi- bliogr.lfa par.l cada tema de clase. El libro cuenta con 19
caplulos que se pueden adaptar fcilmente a un curso de un semestre.
dependiendo de las necesidades e intereses espec- ficos del
profesor. as como del equipo de procesamiento e instnllnentos
analticos de los que se disponga. Nos complace reconocer la
contribucin de los numerosos asistentes de clase y de los
estudianles de posgrado que nos ayudaron a fommlar las prcticas de
laboralorio. as co- mo del grnn nmero de estudiantes que han tomado
nuestros cursos durante los ltimos 10 aos. No es imposiblc
nombrarlos a lodos. pero ellos saben quines son. Agradecemos pro-
fundamente a George Houghton, quien se desempe como nuestro
auxiliar pedaggico por varios aos antes de retirarse. El material
sobre programacin lineal y diseo de expe- rimentos es en esencia
obra de George. Asimismo. l prepar la mayor pane de las figuras
originales dcltexto. Si este libro despierta en cIlector un mayor
inters en el 'procesamien- to cuantitalivo de alimentos", entonces
habremos cumplido nuestro cometido. Shri K. Sharma Stcvcn J.
Mulvaney Syed S. H. Rizvi fl/wca. ,vllC"" Jork
- 12. 1 , FORMULACION DE, PRODUCTOS Y OPTIMIZACION DE PROCESOS
MEDIANTE, PROGRAMACION LINEAL 1.1. ANTECEDENTES Muchos alimentos
consisten en una combinacin de ingredientes que deben mezclarse. A
fin de que el producto resultante sea satisfactorio, ste debe
cumplir con ciertas especifi- caciones respecto a cantidad de
grasas, protenas, agua y OlfOS ingredientes. Con bastante
frecuencia se encuentra que muchas fonnulaciones se ajustan a
dichas especificaciones. En estas circunstancias. es posible que se
Quiera encontrar la fonnulacin que implique el menor costo. La
programacin lineal es una tcnica con sustento matemtico concebida
para optimizar algunas funciones como el casIO, al tiempo que se
cumple con una serie de especificaciones o restricciones. 1.2.
EJEMPLO DE PROGRAMACiN LINEAL El siguiente ejemplo simplificado
constituye una introduccin a la programacin lineal. 1.2.1. Problema
Se asigna la tarea de formular un alimento para perros que consiste
en tres ingredientes: harina Guau. lrocitos Fido y un rdlcnador
carente de valor nutritivo. Cien kilogramos del producto final
deben contener por lo menos 10 kilogramos de protena. 6 kilogramos
de grasa y 15 kilogramos de fibra. Los ingredientes tienen los
siguientes porcentajes de estos componentes: la harina Guau
contiene 10'70 protena, 12% grasa y 75% fibra, y los lroci-
- 13. 2 FORMULACIN DE PRODUCTOS Y OPTlMIZACIN DE PROCESOS lOS
Fido contienen 50% protena, 15% grasa y 20% fibra. Los ndices de
precios de esla maana indican que los cien kilogramos de harina
Guau se estn vendiendo a 52.50 y los de trocitos Fido a 53.00.
Calcule cul es la formulacin de menor costo que cumple con las
especificaciones. Suponga que el COSIO del rellenador es tan bajo
que se puede pasar por alto. l. Variables del problema. Este
problema se resuelve especificando los valores de dos variables. G
= kiJogramos de harina Guau en 100 kilogramos de prodUCID F =
kilogramos de trocitos Fido en 100 kilogramos de produclO 2. Funcin
objetivo. Puesto que el costo de los ingredientes es 52.50 y 53.00
por ca- da cien kilogramos, es decir, 50.025 y 50.030 por
kilogramo, el costo de 100 kilo- gramos del producto se obtiene con
la siguiellle ecuacin: e = 0.025G + 0.030F (1.1) El objetivo es
encontrar los valores de G y F que reduzcan al mnimo el costo an-
terior, es decir, minimizar C. La ecuacin que se va a minimizar o
maximizar se co- noce como la funcin objetivo del problema. 3.
Re.~triccio"es //0 negalims. Puesto que no tiene sentido que los
ingredientes pre- senten valores negativos, la soluci6n debe
ajustarse a las siguienles restricciones: (1.2) 4. Restriccin del
pe!iO combillGlio. Adems, ya que se busca la Fonnulaci6n para cer-
ca de 100 kilogramos de alimento para perro, se agrega la
restriccin Peso combinado: G + F s 100 (1.3) Si el valor de F + G
es menor que 100, el balance se hace con el rellenador. 5. Olras
restricciones. El problema establece que la cantidad total de
protena debe ser mayor de 10% o 10 kilogramos por cien kilogramos.
Puesto que la harina Guau conliene 10% de protena y los tTocitos
Fido, 50%, esta especificacin se expresa por medio de la siguiente
restriccin: PrOlena: O.IOG + 0.50F 2: 10 kilogramos (1.4) De manera
similar, los requisitos de grasa y fibra se expresan mediante las
siguien- tes restricciones: Grasa: 0.12G + 0.15F 2: 6 kilogramos
Fibra: 0.75G + 0.20F 2: 15 kilogramos (1.5) (1.6) 6. Planteamiento
(iel problema. Con estas restricciones y la Funcin objetivo, el
pro- blema, entonces, se vuelve a plantear en trminos matemticos
formales como
- 14. EJEMPLO OE PROGRAMACiN LINEAL 3 siguc. Encucntre C ~ OYr 2:
O, dc modo quc Protena: 0.1 OC + 0.50F ~ 10 Grasa: 0.125 + 0.15F 2:
6 Fibra: 0.75C + 0.20r 2: 15 Peso: G + Fs 100 y. as. e = 0.025G +
0.030F se minimiza. 1.2.2. Solucin grfica En el caso de problemas
sencillos con dos variables nicamente, es posible resolver un pro-
blema de programacin lineal por un mtodo grfico. Adems, encontrar
una solucin gr- fica pernlile entender mejor la programacin lineal.
Los siguientes prrafos describen c- mo se lleva a cabo este
proceso: l. El espacio problema. Empezar trazando el plano
cartesiano de la figura 1.1, en el que dos ejes representan las
variables del problema, a saber, el peso de la harina Guau (G) y el
peso de los trocitos Fido (n. Este plano se conoce como el "espacio
problema" de este problema y se extiende hacia el infinito en todas
direcciones. Cualquier punto en este plano representa los pesos de
los ingredientes de una for- mulacin particular del producto. 2.
Soluciolles potenciales. La solucin a este problema es un par de
valorc...... uno pa- ra G y otro para r. Pero estas cantidadcs son
coordenadas de .un punto del plano, as que la solucin al problema
puede ser representada por un punto en el espacio problema. La
figura 1.1 ilustra slo cinco soluciones posibles; el espacio
problema en su totalidad contiene infinidad de soluciones. 3.
Esrrategia. La estrategia para encontrar una solucin a un problema
de programa- cin lineal consiste en utilizar las rcstricciones a
fin de limitar la parte del espacio problema en que es posible
cncontrar la solucin. La regin dcl espacio que se ajus- ta a todas
las restricciones se denomina regin factible. Luego se emplea la
funcin objetivo para encontrar una solucin ptima dentro de esta
regin faclible. 4. Medios planos. Observe que el plano representado
en la figura 1.1 contiene valo- res negativos de G y de F. Como ya
se indic antes, los pesos negativos no tienen G F Figura 1.1.
Harina Guau (Gl y trocilOS Fido {Fl en un plano bidimensional.
- 15. 4 FORMULACiN DE PRODUCTOS Y OPTIMIZACiN DE PROCESOS sentido
y las nicas reas del plano que deben tenerse en cueIlla son las que
se ajus- tan a las restricciones no negativas. Por ejemplo, la
restriccin de la ecuacin 1.2 implica que F ~ Olimita la
consideracin a las reas del plano que incluyen el eje venical y el
rea a la derecha de ste. Esto es, las reas sombreadas de la figura
1.21. Note que esta restriccin elimina el inters en la mitad del
espacio problema. />. esta regin pemlitida por la restriccin se
le denomina un medio plano. De manera similar, la figum 1.2B se
halla sombreada para indicar el medio plano corres- pondiente a la
restriccin indic;]d;] por la ecuacin 1.3 como G ~ O. La misma
restriccin elimina tambin la milad de todo el espacio problema.
5.llllerseccilJ de 1)lalJos. Ya que ambas restricciones F~OyG~O
deben mantenerse, el rea del plano que contiene la solucin se
reduce a la intersec- cin de los dos medios planos. como 10 seala
el rea sombreada de la figura 1.2C. Por lo lanto, queda para
considerar slo una cuana parte del espacio problema. 6.
Representacin grfica lit' la restriccin de 1l/llrimelllos. Cada
restriccin define un medio plano. Considere la restriccin de grasa
(ecuacin 1.5) que se indica a con- tinuacin: 0.12G + 0.15F~ 6 A
diferencia de las dos primeras restricciones, la frontera de sta no
se halla a 10 largo de un eje sino a lo largo de la recta cuya
ecuacin es 0.12G + 0.15F = 6 (1.7) Para trazar esta recta, localice
primero dos puntos a lo largo de la lnea. Un punto se localiza
sustituyendo una variable por cualquier valor y calculando la alfa
variable. Aunque se puede utilizar cualquier valor, 10 ms sencillo
es sustituir a F por O, as, 0.12G+0.15(0)=6. G~ _6_ =50 0.12 Lo
anterior indica que la recta de esta ecuacin pasa por el puntO
(0,50), donde O es la coordenada F del punto Y50 es la coordenada
G. Asimismo, seala que una mezcla que contenga 50 kilogramos de
harina Guau y nada de trocitos Fido cum- plirfi con la restriccin
de grasa. , , G --+--+F O-_+_--.J, F f>0 A 6>0 ~ ~ B e Figura
1.2. Restricciones de peso (tanto los pesos de la harina Guau como
los de los trocitos Fi do deben ser positivos).
- 16. EJEMPLO DE PROGRAMAClN LINEAL 5 En el caso del segundo
punto. sustituya a G por O y encuentre F: 0.12(0) + 0.15F = 6. 6
F~-=-lO 0.15 Esto significa que la recia tambin pasa por el punto
(-lO.o). o que una mezcla que contenga -lO kilogrnmos de trocitos
Fido y nada de harina Guau tambin se ajustar a la restriccin de
grasa. Si se 1r:lZ;: una lne;: recta que pase por estos dos puntos.
el me- dio plano que corresponde a la restriccin de gra.~a contendr
la recta}'. debido a que la restriccin comiene una relacin mayor
que. tooa el :lrea por aniba y a la derecha de la reCia. Este medio
plano se halla sombreado en la figum 1.3rt. Cualquier punto dentro
de este medio satisface la restriccin de grasa. De Illaner,
semejante, la reslric- cin de protena es limitada por una lnea
recta que pasa por (0.100) y (20.0). en tanto que la restriccin de
fibra es limitada por una lnea que pasa por (0.20)}' (75.0). Estas
restricciones se muestran gnficamemc en las figura.~ 1.3B y 1.3C.
respecti'a- mente. (Se le recomienda al leClor "Crificar si estos
medios planos son los correctos.) 7. l..n restriccin del/leso
combinado. Por ltimo. la restriccin de que la suma del peso de l::!
harina Guau}' el de los trocitos Fido debe ser menor que o igual a
100 kilogra- mos (ecuacin 1.3) define un medio plano a la izquierda
de una lnea recta que cruza (100.0) Y(0.100). Lo anterior se
representa en la figura lA. 8. l regin {cblt>. Cada una de las
restricciones define un medio plano. Y puesto que la solucin debe
cumplir con tooas las restricciones. debe ubicarse dentro de estos
medios planos y. en cOllsecuencia. demro de lu interseccin de todos
estos planos. Esta interseccin se conoce como la regin factible del
problema}' se muestra como la porcin sombreada de la figura 1.5. La
solucin debe ser un pun- to dentro de la regin factible. " (0,100)
7 (O,SO) +---'>,--' /' (40,0) 1les:riX:in lIe!llS , /'(2O,O) R~
lIe cG:
- 17. 6 FORMULACIN DE PRODUCTOS Y OPTlMlZACIN DE PROCESOS G _..
...-I --do"" figura 1.S. Regin factible. 9. Pumos c:etrl'mos.
Obser..-e que la regin factible se halla delimilada por un polgo-
no que consiste en una serie dc scgmemos de lnea recia. E.
- 18. EJEMPLO DE PROGRAMACIN LINEAL 7 das la~ soluciones que
tengan un costo de 52.00 por 100 kilogramos, sustituyendo con 2.00
en la funcin objetivo. se obtiene 2.00 = 0.025G + 0.030F Esta es la
ecuacin de una lnea recta, as que es necesario hallar dos puntos a
lo largo de la lnea. Sustituyendo a G por Oda 2.00 = 0.025(0) +
0.030F, F = 2.00 = 66.7 0.030 1.21 = 0.0256 + 0.03lF de modo que la
lnea pard e = 2.00 pasa por (66.7,0). La sustirucin de F por Oin-
dica que la lnea pasa por (0,80). Est:llnea se muestra en la figura
1.7. Cualquier punto a lo largo de esta lnea representa una
fommlacin que costar. 52.00 con es- lOS dos ingredientes. En los
sitios donde esta lnea pasa por la regin factible, con- tiene
posibles soluciones que cuestan 52.00. Ellla figura 1.7 se mueslm
tambin una lnea que represenla todas las fonnulaciones con un costo
de $1.00 por cien ki- logmmos de pnxJucto. Ni una sola de estas
formulaciones cae dentro de la regin factible. as que ninguna
cumple con todas las restricciones. 11. Ltl SO!tciIl le menor
costo. Note que las dos lneas de la figum L7 tienen la mis- ma
pendiente. En realidad. todas las lneas gcnemda" pnr la misma
funcin objeti- vo tendrn la misma pendiente. Por lo tanto, para
localiwr la solucin de menor costo, simplemente trJce cualquier
lnea que satisfaga la funcin objetivo, y luego muvala sin cambiar
su pendiente hasta encontrar la lnea de menor costo que cai- ga
dentro de la regin factible. En la figura 1.8 se observa que la
linea que repre-, G 1.00 = O.025G +0.03lF Figura 1.7. Valores de la
funcin objetivo. G Figura 1.8. las lineas Que forman interseccin
indican la solucin del problema.
- 19. 8 FORMULACiN OE PROOUCTOS y OPTIMIZACIN OE PROCESOS sellla
un COSIO de S1.21 por cien kilogramos de produclO hace contaelO con
la re- gin factible lnicamente en un punto. mismo que COnSilUye la
solucin del proble- ma. Cualquier costo JIls bajo har que la lnea
se mueva a la izquierda. fuera de la regin factible. de modo que
ste es el costo ms bajo que salisface todas las res- tricciones.
12. Iitlores SOI'lcill. En este ejemplo. la solucin cae en la
interseccin de las lneas definidas por las ecuaciones 1.4}' 1.5:
Grasa: O.12G+O.15F = 6 Fibra: 0.75G + O.lOF = 15 Los valores de G}'
F en esta interseccin se leen directamente en la grfica. como se
indica en la figura 1.9. o se obtienen resolviendo dichas
ecuaciones sirnultnea- mellle. Eslas ecuaciones se resuelven por
medio de mlOdos algebraicos o bien. se puede replantearlas en fomla
de matriz y utilizar un programa de cmputo para ma- trices. Si se
utilizan mlodos algebraicos ordinarios. se podra proceder as:
Primero. haga el coeficiente de F en la ecuacin de grasa igual a la
unidad mul- tiplicando por 1/0.15: _1_(0.12G + 0.151-) = _1_(6).
0.15 0.15 o.se + IF =-Q .1 continulIciIl. haga el coeficiente de F
en esta ecullcin igual a 0.2 multiplican- do por 0.2: 0.2(0.se +
IF) = 0.2(40), 0.16G + 0.2F = S Ahora. elimine F restndole esta
ecuacin a la ecuacin de la fibra: (0.75 - O.lfi)e + (0.2 - 0.2) F =
15 - 8. Calcule e: 0.59G = 7 G G~ 7 0.59 = 11.9 :'::"~==:i~~ F
'"Figura 1.9. El punto seala la solucin de menor costo.
- 20. EJEMPLO DE PROGRAMACiN UNEAL 9 Sustituya esta solucin en
una de las ecuaciones originales y calcu1c F: 0.12(11.9) + 0.15F =
6. F = 6 - 0.12(11.9) = 30.5 0.15 Para el lector familiarizado con
el mtodo de matrices. las ecuaciones de grasa y fi- bm son ( 0.12
0.75 0.15)(G) (6)0.20 F = 15 (1.8) La solucin de estas matrices,
que puede obtenerse con ~'Iierosofto& Excel 97. es (G) (- 2.260
1.695)( 6) (".9)F = 8.475 - 1.356 15 = 30.5 De una manera u otra.
la foonulacin ms barata que satisface las restricciones re- quiere
11.9 kilogramos de harina Guau y 30.5 kilogramos de trocitos Ficto.
13. Costo solucin. El costo de esta foonulacin se obtiene
suslituyendo estos valores en la funcin objetivo (ecuacin 1.1): C =
0.025(11.9) + 0.030(30.5) = S1.21 por cien kilogramos 14. Peso
tola/. Si se suslitLlyenlas soluciones en la ecuacin 1.3. el peso
total de los in- gredientes es 11.9 + 30.5 = 42.4 kilogramos A
partir de lo anterior. se concluye que se necesitan lOO - 42.4 =
57.6 kilogramos de rellenador para llenar un saco de mezcla. En un
problema ms real. el rellena- dor tendra un costo y se incluira
como una variable. Por ejemplo. si el rellenador cuesla
SO.05Ikilogramo. la funcin objetivo sera 0.11G + 0.15F + 0.05N = e
y la restriccin sobre el peso total cambiara a la igualdad G+F+N=
100 Sin embargo. lo anterior creera un problema tridimensional que
no es posibli= re solver por el mtodo grfico con facilidad. 1.2.3.
Modificacin del problema l. Holgura. Al sustituir los valores que
constituyen la solucin en las ecuaciones de restriccin lA. 1.5 Y
.6. se demuestra que la fmmla solucin tiene la siguienle
composicin: Protena: 0.10(11.9) + 0.50(30.5) = 1604 kilogramos
Grasa: 0.12( 11.9) + 0.15(30.5) = 6.0 kilogramos Fibra: 0.75(11.9)
+ 0.20(30.5) = 15.0 kilogramos
- 21. , o FORMULACiN DE PRODUCTOS Y opnMlZAClN DE PROCESOS Note
que IOdos los nutrientes se hallan en cantidades mayores que o
iguales a los lmites especificados y de este modo se cumple con las
restricciones. Asimismo. las cantidades de gr.l."a y fibm
satisfacen con exactitud las restricciones mnimas. Por otra pane.
el nivel de protena excede del mnimo en la cantidad 16.4 - 10.0 =
6.4 kilogramos/lOO kilogramos (1.9) Este exceso se conoce como
"holgum" y es conlln que se le halle presente en la solucin a
problemas de programacin lineal. 2. Re.uricciones bilmemles. En
algunos casos. se poda considerar QUc la holgura es dcmasiado
grande. En este caso. se trata con el exceso de holgura
estableciendo una restriccin bilateral sobre alguna propiedad. Por
ejemplo, es posible que se dc- see mantener la protena entre 10 y
15 kilogr,mos por 100. Esta restriccin se es- tablece as: 10 ~
O.IOG + 0.50F:=; 15 (1.10) Las restricciones bilaterales deben
manejar~ como dos restricciones separadas, as: O.IOG + O.50F ~ 10
(la restriccin original de protena) O.IOG + O.50F:=; 15 (la
restriccin adicional de protena) (1.11) L1. nueva restriccin pasa
por los puntos (10.100) Y(30.0). (El !eclOr debe verifi- car eslOs
valores.) En la figura !.IDA se observa cmo la nueva restriccin
reduce la regin factible. La figura 1.108 ilustra la nueva solucin
con G = 16.7 kilogramos de harina Guau F = 26.7 kilogramos de
trocitos Fido La holgura en esta nueva solucin se halla en la fibm
ya que [0.75(16.7) + 0.20(26.7)J - 15 = 2.87 kilogramos de fibra
""""'" GI'(lllt'l}atr..a .......,.. --depro:el:J G
-l-,J-:'''''------' F ".1 , Figura 1.10. Regin factible con dos
restricciones sobre la proteina.
- 22. EJEMPLO DE PROGRAMACIN LINEAL 11 1.2.4. Restricciones de
proporcin Algunas veces las reslricciones aparecen en b form:J de
proporciollcs. Por ejemplo. se po- dra requerir que el conlenido de
lecitin:J (un emulsificador) del alimemo para perros sea igual a
por lo menos 2% del COl1enido de grasa. En otros l~nninos. Lccitina
Grasa ~ 0.02 o Grasa Lt'cina un coeficiente mullipl icado por F.
Por ejem- plo. la restriccin para la protena es o. 10G + O.50F $ 10
Para que la hoja de clculo calcule el lado izquierdo de esta
desigualdad. introduzca los cocficnlC.s en B8 y C8. corno se indica
en la tabla 1.1. Luego. copie la funcin objetivo en 03 y 08, de
modo que los pesos de tos ingredientes sean multiplicados por estos
coeficientes. De hecho, copie 03 en las ccldas 05 a O 10. Para
hacer esto en Exce!. Hag;) dic en la celda 03. Apunte al pequerlo
cuadro que se halla en el ngulo inferior derecho de la celda 03.
Arr:lstre este CU:ldro al ngulo inferior derecho de l:l cclda [)
10_ (por cuestiones de presentacin, tal vez se quiera borr:lr la
fmml:l de la celda 04.) 6. Tipos de re.Hricciones. En la hoja de
clculo. la column:l E se miliz; para indicar los tipos de
rc!:lciones de las restricciones. En este problema. tod:ls las
restriccio- nes son del tipo:2':: . S:ltvo la de la fila 7. La hoja
de clculo utiliza las relaciones de estas ccldas. stas se
introducen slo corno un recordatorio prra el usuario. 7. Limires de
la.~ restricciones_ Los lmites a las restricciones se colocan en
las celdas F8 a F1O. como se indica en la tabla 1. l. S.
Restricciones distintlls de cero. Las restricciones diferentes de
cero tambin es po- sible ponerlas en la misma forma que la funcin
objetivo. utiliz:lndo los coeficien- tes 1 y O. Por ejemplo. la
restriccin F ~ Opuede expresarse como OG+IF~O Las restricciones de
no ncg:ltividad se introducen de esta fonna en las filas 5 y 6. 9_
Restriccin de peso total. Si se utiliza c1mismo mtodo. la
restriccin de que G+F$IOO se introduce en la fila 7 como IG+ lF~
100 10. Holgura. La holgura de protena se calcula con la siguiente
fnnula: Excel: G8: = lJ8 - Fll Esta frmula se copia en las celdas
que se hallan arriba y debajo de ella. 1l. Resolucin del
probfl'/I/a en una hoja lle clculo. Con una hoja de clculo como
r'licrosoft Excel 97. el problema se resuelve mediante el comando
soher (buscar objetivo) que se halla en el men Tools
(Herramientas). Se deben especificar tres cosas: la celda que se va
minimizar o ma;ximizar. las celdas que contienen valo--
- 26. EJEMPLO DE PROGRAMACiN UNEAl 15 res para las variables y
las celdas que especi fican las restriccionel'. stas sc especi-
fican como sigue: a) Para entrar al men optimizador. haga elic en
e1menll Tools y luego en 801"1'1". La primera vez que se h;ga esto,
se debe esperar a que se cargue el :iof,('T. b) Par.! especificar
qu celda se va a oplimil.ar. haga e1ic en Set Targel Cell (Defi-
nir la celda). luego haga dic en la celd; con l; funcin objetivo.
en este caso 03. e) Para especificar ellipo de optimizacin. haga
dic en el bOl Holgura O It.86 O 30.51 lOO -57.36 10 6.~ 6 0.00 1;
000 2 Peso 3 COS!O , ; 6 7 Pe50 8 Protcfna 9 G= 10 Fibra B e D E G
f Tolal tl.86 30.51 .12.37 0.025 0.030 1.2t Mn I o 11.86 >~ o I
30.51 >~ I I H..H , 0.12 0.15 6.00 >, 0.75 0.20 15.00 F
G
- 27. 16 FORMULACiN DE PRODUCTOS Y OPTIMIZACiN DE PROCESOS 1-1.
Holgura. Note que las restricciones >= tendrn holgura positiva.
lo que indica la cantidad en que un constilllyente excede del lmite
inferior. Por aIra pane. las res- tricciones a",'O .eL1 T t D l
(2.25) Figura 2.19. Prueba representativa de flexin en un aparato
Instran o un TAXT2.
- 48. MEraDOs DE PRUEBA 37 --! -lllIIUla fJl U'I ~ Q! b
p,:lo-
- 49. 38 PRUEBA DE MATERIALES Y REOLOGiA DE ALIMENTOS SLIDOS
Ejemplo. En el ejemplo ameriOl: IIfI esfitel7.o tll' 483 kPa
fJrodujo lI/lO defonnacin de 0.00245. El mdulo de flexilI de esla
oblea es E, = 483 kPa 0.00245 1.97 X 10~k.Pa= 197;..
- 50. EJERCICIOS DE LABORATORIO 39 El cambio defller:a elltre
e." D es j,F=70N El cambio de esfller:o ell/rt! e." oes ElmlJ/llo
de flexin e.f -;-;3;;(:,70~N"')('C0,;;O,,7;;:5::;m,,)s-= --: = 5952
kPa 2(0.027 m)(0.OO7 m)~ (5.952 l'IPa) 0.012 = 496 MP: Lo anterior
representa un resumen de las propiedades materiales
representativac; )' los mtodos de prueba para slidos. Tener en
cuenta que "slidos" originalmente significaba material para
soportar carga (acero. cobre. etctera). Estas pruebas se adaptaron
luego a los polmeros)' plsticos. y ahora se est viendo su adaptacin
a los alimentos. Los alimentos no son metales. pero se hace
referencia a ellos como slidos blandos. La principal advcr- tencia
paro. utilizar estaS pruebas de gran defonnacin es tener presente
que los resultados dependern de las condiciones de prueba.
bsicamente la 'c1ocidad de carga cruzada. Claro est. las
propiedades mau:riales podan cambiar tambin con la temperatura )'
la composi- cin de la muestra. Es probable que estas pruebas se
utilicen mejor de modo compar.nivo. en 'e2 de modo absoluto. Por
ejemplo. el mdulo de nexin de una galleta probablemente debe
interprel:llSC en el contexto de mdulos para Otr.lS galletas de uso
propuesto similar. o de un ralor blanco conocido que represente un
bucn produClo. 2.S. EJERCICIOS DE LABORATORIO 2.5.1. Objetivos 1.
Ensear las pruebas para detenninar las propiedades materiales en un
instrumento medidor de, fueT7.a representativo. 2. Familiarizarse
con los clculos que se utilizan en las pruebas de compresin. de
tensin y de nexin. 3. Relacionar las propiedades materiales
obtenidas mediante estos instrumentos con las caractersticas de
textura de algunos materiales alimenticios. 2.5.2. Equipo l.
Analizador TA-XT2 o un instrumento tipo Instron. 2. Conador
cilndrico de I pulgada para dar fonna a los ejemplares de prueba.
3. Micrmetro para medir los ejemplares de prueba.
51. 40 PRUEBA DE MATERIALES Y REOlOGiA DE AUMENTOS SUDOS
2.5.3. Materiales l. Rebanadas de alrededor de una pulgada de
quesos de lTCS diferenlcs durezas para el ensayo de compresin:
Mouarella de leche entera. tlozzarella de leche parcial- mente
descremada)' Provolone. Como queso duro se puede utili7.ar tambin
el Sui- zo o el Cheddar. 2. Un material apropiado para un ensayo de
tensin: por ejemplo. tortillas de maz )' de harina de trigo. 3.
P,,;-dazos rectangulares de tortilla. galletas o un material
quebradizo similar para las pruebas de nexin. 2.5.3.1. Medicin
subjetiva de la textura. A fin de interpretar la medicin del
esfuen:o. la de la dcfonnacin y la de los mdulos. resulta til
relacionarlas con materiales familiares. rvledir estas propiedades
de mancra subjetiva apretando varios quesos con los dedos. Ya que
los dedos no estdn calibrAdos. simplemente clasificar los 'arios
quesos asignndoles una calificacin de I a un queso que es el ms
alto en cuamo a una propiedad panicular. 2 para el queso que le
sigue. etctera. l. AIJriere e/ que.m. Tome un trozo de cada tipo de
queso. t1plique un esfuerzo de com- presin apretndolos enlrc los
dedos. y obsen'e la deformacin (porcentaje de compresin). 2.
JII:.glle e/ esfller:.o re/milo. Para alcanzar aproximadamenlc la
misma deformacin. ,cul de estos quesos requiere el mayor esfuerzo
(categora I)? Cul la siguiente (categora 2)? etcter.J.. 3. JfI:g/le
/a c/efomlllci611 relatim. ParJ. el mismo esfuerzo aplicado (presin
de los dedos). qu queso presenta la mayor deformacin (categora I)?
Cul la siguien- te (categora 2)? etctera. ~. JfI:.glle e/mdulo
re/milo. Con base en las respuestas a 2 y 3. qu queso tiene el
mayor mdulo (categora I)? Cul el siguiente (categora 2)? etcterd.
Recuerde que el mdulo es bsicamente la firmeza del queso. Registre
los datos en la hoja de datos 2.1. 2.5.3.2. Prueba de
compresin/relajamiento l. Corte el cilindro de queso. 2. Rebaje a
la altura apropiada. 3. Pegue papel metlico a los CXlrcmos del
cilindro de queso. 4. Registre las dimensiones de la muestra de
prueba en la hoja de datos 2.2. 2.5.4. Ajuste del analizador de
textura o dellnstron 1. Calibre el instrumento con la carga estndar
apropiada. 2. Ajuste la perilla de seguridad a un nivel seguro
haciendo descender la sonda hasta cerca de la plal1fonna. Podra
dejarse un espacio de alrededor de 2 mm. 3. Fije la sonda cilndrica
de I pulgada de dimetro con el fondo plano sobre la carga cruzada
del instrumento. ~. Seleccione las unidades dc fuer!.:!. dislancia
y e1ocidad. clctcr:l. 5. Seleccione los par:imelros como se indica
en la tabla 2.1. 6. Ajuste la defonnaci6n a alrededor de 25S(:. lo
que debe estar dcnlTO dellmile els- lico de las muestras. 7. Lleve
a cabo la prueba y conserve los datos originales. 52. EJERCICIOS DE
LABORATORIO 41 Tbl. 2.1. Pilrimetros utilizados en al anUyo de
compresiiln/reljmiento Vdocilbd antes do.-l cosa)"o Vdocilbd de
CDSa)'O Vdocilbd despus del CIlS3)'O Dist:lnci:t Ticmpo tic
n:l:tjamicnio 2.5.5. Clculos Descripcin Vdocid:td de: caJ"8a
cruzad:t ;UlIes de: dispar:tr l:t rllCf"Z3 Vdocid:td de ~a cruzad:t
dur.tnlc la compn:si60 Vclocid:td de carga cruzad: despus del
CIlS3)"O Distancia de romprc:o;ill (p.e.j.: dcronnxin de 25%)
TiCnlpo para el rc:1:tjamic:nlo 2 mmfs 1 rnmI. 5mmfs 2.5 mm 180. l.
Sepan: los datos en un ensayo de compresin y uno de relajamiento.
2. Elabore una grfica de esfuerl.O contr:l defonnacin P:lr..1 cada
ensayo de compre- sin. En qu difieren los quesos? 3. Localice la
porcin lineal inicial de la curva. Calcule el mdulo elstico
(esfuer;:oI deformacin) duranle las primer..tS etapas de la
compresin. Localice una porcin lineal de la cun'a inmediatamente
despus de comen7.ar la prueba. Como alternati- va. se podra trazar
una lnea arbitraria que conecle el origen con un punto; por
ejemplo. deformacin de 2%. 8te es el mtodo de la secanLe para
delenninar el mdulo. 4. Calcule el mdulo de compresin (E) del
malcrial a lo largo de este inlen'alo. Es este valor una propiedad
material? Cmo se comparan los mdulos relali"Os de los lfCS quesos
con los discernimientos subjelivos efeclUados? 5. Par..l cada
queso. determine el grado de relajamienlo expresado como porcentaje
del esruerl.o mximo. Qu queso presenta el mayor relajamiento? Que
dice cslo acerca de los tres quesos? 6. Anule los resultados en la
hoja de dalos 2.2. 2.5.6. Prueba de doblado en tres puntos En esta
prueba. se comparan las propiedadc..'i de fractura de diferel11es
tipos de gallelas co- mo saladas y gmham (gallelas elabomda'i con
harina de trigo integml). etclera. 1. Fije los aparejos de doblado
de lfCS puntos al aparato TA-XT2. Mida el espacio en- lre las
barras paralelas sobre la platafornla. Asegrese de que el claro
entre las dos barras del fondo sea suficiente para sostener lodas
las muestras y la hoja superior baje a la mitad de las barr.1s del
fondo. 2. Calibre la fuerza y ajuste la perilla de seguridad como
se hizo en la seccin 2.5.4. 3. Seleccione el parrnelro como se
muestra en la !abl:! 2.2. 4. Mida con cuidado uJd:!s I:IS
dimensiones de cad:! g:!Jleta. 5. Coloque la muestr.l sobre el
soporte de barr.1 paralela directamenlc bajo la sonda: bjela hasta
aproxim:!damenle 3 mm por arriba de la muestra para asegurarse de
quc est centrada. 6. Efccle la prueba y conservc los datos
originales.