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PROGRAMA NACIONAL DE I+D EN MEDIO AMBIENTE
Proyecto AMB99-1095-C02-01
Control activo acústico estructural del ruido de baja frecuencia en el
interior de medios de transporte
Informe Nº 3Informe Nº 3Informe Nº 3Informe Nº 3
DISEÑO DE SENSORES MODALES PARA EL CAAE
Noviembre 2000
Pedro Cobo Parra
Instituto de Acústica. CSIC.
Serrano 144. 28006 Madrid
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-1-
CONTENIDO
1. INTRODUCCION …………………………………………………………….. 22. MODOS ESTRUCTURALES Y MODOS RADIANTES .......................... 63. SENSORES PUNTUALES PARA EL CAAE………………………..........
3.1. Sensores puntuales para modos estructurales ……….....…..3.2. Sensores puntuales para modos radiantes …........…………..
151517
4. SENSORES DISTRIBUIDOS PARA EL CAAE ……………....………….. 4.1. Sensores distribuidos para modos estructurales ..................... 4.2. Sensores distribuidos para modos radiantes ............................ 4.3. Sensores distribuidos para la velocidad volúmica ...................
20222841
4. DISEÑO DE SENSORES MODALES EN EL DOMINIO DELNUMERO DE ONDA ............................................................................ 54
6. EJEMPLOS DE CAAE CON SENSORES DISTRIBUIDOS ................... 597. RESUMEN Y CONCLUSIONES ............................................................. 64REFERENCIAS …………………………………………………………………. 68APENDICE A: MODOS ESTRUCTURALES vs. MODOS RADIANTES .... 72
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
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1. INTRODUCCION
El Control Activo del Ruido (CAR) surge como una técnica
complementaria al control pasivo en el margen de las frecuencias
bajas. Un sistema CAR consta de sensores para la medida del campo
primario (señal de referencia) y residual (señal de error), actuadores
para la generación del ruido secundario (señal de control), y un
sistema de control automático (controlador) que pilota el proceso de
cancelación del ruido. En un sistema CAR clásico los sensores de error
son micrófonos y los actuadores son altavoces. Es bien conocido que
el CAR funciona tanto mejor cuanto más próximas están las fuentes
de control a la fuente primaria que origina el ruido.
Cuando la estructura temporal, frecuencial y/o espacial del ruido es
muy simple (por ejemplo, ruido periódico de baja frecuencia en
conductos, o ruido en la cavidad de protectores auditivos) el sistema
CAR es capaz de proporcionar atenuaciones de hasta varias decenas
de dB. De hecho, existen ya sistemas CAR comerciales para
complementar la atenuación pasiva de protectores auditivos y para el
control del ruido en conductos (Cobo, 1997). Sin embargo, en
recintos, donde el campo acústico es mucho más complejo, el CAR
sólo proporciona una atenuación adicional de unos cuantos dB. Existe
además un problema añadido, a saber, que la respuesta natural de
los altavoces comerciales (por ejemplo, los altavoces de coche) es
muy pobre por debajo de los 100 Hz. Se puede realzar la respuesta
en este margen usando altavoces más grandes (subwoofers)
encerrados en cajas voluminosas, pero esto requiere un espacio del
que muchas veces no se dispone.
Para resolver estos problemas, Fuller introdujo a principios de los 90
el Control Activo Acústico Estructural (CAAE). Si el ruido es de origen
estructural (una superficie que vibra) es mucho más eficiente actuar
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sobre la propia estructura para reducir su radiación acústica que
actuar sobre el ruido aéreo ya propagado (Fuller et al, 1996).
CAR
(a)
referencia
error
control
CAAE 1
(b)
error
referencia
control
CAAE 2
(c)
error
referencia
control
Figura 1. Sistema CAR (a), sistema CAAE primitivo (b), y sistema CAAE para
estructuras inteligentes (c)
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La estrategia es mucho más eficiente, puesto que los actuadores
pueden estar pegados a la fuente primaria, y además ocupan mucho
menos espacio. Así pues, un sistema CAAE es uno que usa actuadores
para modificar la respuesta estructural de la fuente primaria, de tal
modo que se reduzca su radiación acústica en baja frecuencia. En un
principio se usaron cerámicas PZT como actuadores pegados sobre la
estructura, y micrófonos como sensores de la radiación acústica al
campo lejano (Figura 1b). La tendencia actual, sobre todo en la
industria aeronáutica, es integrar tanto los actuadores como los
sensores en la propia estructura (materiales inteligentes). Esto da
lugar a un sistema CAAE como el de la Figura 1c.
Sería muy interesante poder aprovechar para los sistemas CAAE la
parte de control (software y hardware) de los sistemas CAR. En lo
que respecta a los actuadores, no suele haber ningún problema. Si
usamos cerámicas de PZT, habrá que cambiar el amplificador de
audio por otro de alta impedancia de salida (también se puede
intercalar un transformador entre el amplificador de audio y la
cerámica). Sin embargo, el uso de sensores estructurales como
señales directas para un sistema CAAE requiere modificaciones
importantes. Como veremos en la Sección 2, la respuesta estructural
de una superficie vibrante en baja frecuencia puede ponerse como
una suma de modos estructurales. Un sensor estructural medirá
esencialmente los modos estructurales dominantes en la banda de
frecuencias de interés. El sistema CAAE tratará de minimizar estos
modos estructurales. Desgraciadamente, esto no garantiza la
minimización de la potencia acústica radiada. Sin embargo, existen
combinaciones de modos estructurales, denominadas modos
radiantes, que son ortogonales. Por tanto, la cancelación de los
modos radiantes garantiza la reducción de la potencia acústica
radiada.
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Los sensores modales pueden ser puntuales o distribuidos. La Sección
3 profundiza más en el uso de sensores puntuales como señales de
error de sistemas CAAE. Este tipo de sensores tiene dos
inconvenientes importantes:
• Se requieren tantos sensores como número de modos en la banda
de frecuencias de interés, como mínimo. Esto daría lugar a
sistemas CAAE multicanal con un gran número de canales de
entrada/salida. Sistemas tales suponen una carga computacional
inasequible incluso a los DSP más potentes.
• Es necesario intercalar filtros modales entre los sensores y el
sistema CAAE para informar a éste de los modos radiantes. Es
decir, no se pueden usar los sistemas CAR existentes, sino que es
preciso filtrar convenientemente cada uno de los canales de
entrada.
Lee y Moon (1990) demostraron que es posible diseñar sensores
distribuidos con una forma geométrica calculada de tal modo que
realicen ya un cierto filtrado modal. Estos sensores distribuidos se
pueden implementar en PVDF, por ejemplo. En la Sección 4
profundizamos más en este tema. Esta estrategia permite:
• Diseñar sistemas CAAE con una dimensionalidad más reducida. De
hecho, Charette et al. (1995, 1998) demuestran que es posible
atenuar en más de 20 dB la potencia radiada en baja frecuencia
con un sistema con un solo sensor y un solo actuador (SISO).
• Introducir directamente la señal captada por el sensor al
controlador, sin ningún filtrado previo.
Si en lugar de analizar la potencia acústica radiada por la estructura
que vibra en el dominio espacial, pasamos al dominio de los números
de onda, mediante una transformada de Fourier, es fácil demostrar
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que sólo aquellos modos cuyo número de onda transversal es menor
que el número de onda acústico a la frecuencia de interés (modos
supersónicos) radian sonido al campo lejano. Los modos subsónicos
son evanescentes, y por tanto, no radian sonido al campo lejano. La
sensibilidad de un sensor de los modos supersónicos en el dominio
transformado es entonces un simple filtro paso-bajo. Esto lo
discutimos en la Sección 5. En la Sección 6 se presentan algunos
ejemplos.
2. MODOS ESTRUCTURALES Y MODOS RADIANTES
El objetivo del CAAE es la cancelación del ruido de baja frecuencia
radiado por una estructura que vibra. Por consiguiente, es necesario
resolver dos problemas:
• Problema estructural: consiste en conocer cómo vibra la
estructura, conocida su geometría, sus propiedades mecánicas, las
condiciones de contorno, y las fuerzas externas aplicadas a la
misma.
• Problema acoplado acústico/estructural: consiste en calcular cómo
radia sonido una estructura, conocido su comportamiento
estructural y las condiciones de carga del medio circundante
(impedancia acústica).
El problema estructural, para geometrías sencillas, y en baja
frecuencia, puede resolverse usando la teoría de modos normales. En
concreto, la vibración transversal, w(x,y), de una placa delgada de
dimensiones (a, b, tp), tal que (tp << λ) , (Figura 2), viene dada
por:
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x
y
z
a
b
tp
w(x,y)
Figura 2. Placa delgada en soporte simple
∑∑= =
=M
m
N
nmnmn yxWyxw
1 1),()(),,( ψωω (1)
donde
),( yxmnψ son los modos normales, o modos estructurales, y
mnW son las amplitudes modales
que dependen de las condiciones de contorno y de las fuerzas
externas (Cobo, 2000). La Figura 3 muestra la vibración transversal,
como una función de la frecuencia, que mediríamos con un
acelerómetro en un punto de una placa de acero de (0.38 m x 0.3 m
x 2 mm), en soporte simple, cuando es excitada con un shaker en el
punto de coordenadas (0.063 m, 0.075m). En el margen entre 10 y
500 Hz hay 5 modos estructurales, cuyas frecuencias propias dan
lugar a picos en la vibración transversal de la placa. La Figura 4
muestra las formas geométricas de estos modos estructurales. A una
determinada frecuencia, la respuesta estructural de la placa viene
determinada por la contribución relativa de cada uno de los modos
estructurales (amplitudes modales).
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Figura 3. Respuesta estructural de una placa de acero de (0.38 m x 0.3 m x 2 mm)
excitada con una fuerza puntual de 0.5 N en (0.063 m, 0.075 m) y medida en el punto
(0.25 m, 0.25 m)
Figura 4. Los cinco primeros modos estructurales de una placa de acero de (0.38 m x
0.3 m x 2 mm)
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La Figura 5 muestra la respuesta estructural de la placa a una
frecuencia intermedia entre los modos (2,2) y (3,1), 300 Hz.
Figura 5. Respuesta estructural de una placa de acero de (0.38 m x 0.3 m x 2 mm)
excitada con una fuerza puntual de 0.5 N en (0.063 m, 0.075 m) a la frecuencia de 300
Hz
Una vez que conocemos como vibra la estructura, se puede calcular
como radia sonido al campo lejano. Existen dos formulaciones para
ello:
• La formulación de campo lejano, que usa la integral de Rayleigh
para calcular la presión acústica radiada al campo lejano (r>>a,b
y r>>λ) por una estructura apantallada en un baffle infinito (Fuller
et al, 1996; Hansen y Snyder, 1997).
• La formulación de campo próximo, que divide la superficie radiante
en células, caracterizada cada una de ellas por una velocidad de
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vibración y una presión acústica (Johnson y Elliott, 1995a). Ambas
magnitudes pueden ser relacionadas a través de la matriz de
transferencia de impedancia.
Veamos con más detalle la formulación de campo próximo.
Consideremos una placa rectangular en un baffle infinito, Figura 6.
v
baffle infinito
i
piS
Figura 6. Una placa delgada rectangular, dividida en una serie de radiadores
elementales, cada uno de superficie S
Dividimos la placa en un número d de radiadores elementales, cada
uno de ellos de área S. Cada radiador elemental vibra con velocidad
vi. Nótese que para el caso de excitación armónica, v=-jωw. La
presión acústica enfrente del radiador i-ésimo es pi. Como en
aplicaciones CAR/CAAE el controlador trata de cancelar la suma
cuadrática de las señales de error, interesa usar una magnitud
proporcional a la presión acústica al cuadrado. La potencia acústica
radiada por la placa es (Johnson y Elliott, 1995a)
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pvHS ℜ
=Π
2 (2)
donde
( )dvvv ,...,, 21=v es el vector de velocidades complejas de
cada uno de los radiadores elementales
),...,,( 21 dppp=p es el vector de presiones acusticas
complejas en frente de cada radiador
elemental
H denota hermítico (transpuesto, complejo conjugado), y ℜ denota
parte real. Ahora bien, la presión acústica y la velocidad de vibración
están relacionadas por la matriz de transferencia de impedancia, Z,
Zvp = (3)
Luego
RvvZvv HHS =ℜ
=Π
2 (4)
donde
ZR ℜ
=
2S
es la matriz de transferencia de resistencia.
La Ec. (4) permite calcular la potencia acústica radiada por la
estructura al campo lejano, conocido su comportamiento estructural
(la velocidad de vibración) y su acoplamiento al medio circundante (la
matriz de resistencia). Ya que la matriz R no es diagonal, los modos
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normales estructurales contribuyen a la potencia acústica radiada de
una manera acoplada. Es decir, el modo estructural i-ésimo
contribuye aisladamente a la potencia radiada, a través del elemento
Rii de la matriz de resistencia, pero también se acopla con el modo j-
ésimo para radiar potencia acústica, a través del elemento Rij de la
matriz de resistencia. Por esta razón, la minimización de un número
determinado de modos estructurales en una banda de frecuencias no
garantiza la reducción de la potencia acústica radiada en dicha banda
de frecuencias (Borgiotti, 1990; Cunefare, 1991; Cazzolatto y
Hansen, 1998).
Pero R es una matriz simétrica (Rij=Rji), real y definida positiva. Por
tanto, se puede descomponer en vectores y valores propios
QQR Λ= T (5)
donde Q es una matriz unitaria (QQ-1=I) de vectores propios, y ΛΛΛΛ es
una matriz diagonal de valores propios reales y positivos. La potencia
acústica radiada es entonces
∑=
=Λ=Λ=Πd
iii
HTH y1
2λyyQvQv (6)
donde
Qvy = . (7)
Lo importante de esta formulación es que la potencia acústica se
obtiene como una suma de una serie de términos que son
independientes (ortogonales) unos de otros. Cada uno de los vectores
propios (filas de la matriz Q) se denominan modos radiantes. El
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vector y contiene las amplitudes de estos modos radiantes. Los
valores propios , λi, son las eficiencias de radiación de cada uno de
los modos radiantes. Cada modo radiante está formado por una
combinación lineal de modos estructurales, en una proporción
definida por la matriz de vectores propios. La potencia radiada por
cada modo radiante es igual al cuadrado de su amplitud multiplicado
por su valor propio. Como los modos radiantes son contribuyentes
independientes a la potencia radiada, la reducción de algunos de
éstos implica necesariamente la reducción de aquella. La
ortogonalidad de los modos radiantes es la propiedad que los hace
muy interesantes para aplicaciones CAAE.
Para el caso particular de una placa delgada en soporte simple, la
matriz de transferencia de resistencias tiene por elementos (Johnson
y Elliott, 1995a)
( )
=
ij
ijij kr
krc
SRsin
4 0
022
πρω
(8)
donde ρ0 y c0 son, respectivamente, la densidad y la velocidad del
sonido del medio acústico, y rij es la distancia entre los elementos
radiantes i-ésimo y j-ésimo de la placa. La Figura 7 muestra las
formas modales de los seis primeros modos radiantes de una placa
delgada en soporte simple. La Figura 8 muestra la variación con la
frecuencia de los valores propios correspondientes (eficiencias de
radiación) para una placa de acero de (0.38 m x 0.3 m x 2 mm).
Nótese que hasta ka=1 (f=142 Hz) la potencia radiada está dominada
esencialmente por el primer modo radiante. La cancelación de este
modo radiante garantiza la reducción de la potencia radiada en más
de 20 dB.
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Figura 7. Los seis primeros modos radiantes de una placa delgada en soporte simple
Figura 8. Eficiencias de radiación de los seis primeros modos radiantes de una placadelgada de acero de (0.38 m x 0.3 m x 2 mm) en soporte simple
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Como vemos en la Figura 7, el primer modo radiante es un modo
volúmico, modo pistón, o modo monopolar. Por tanto, un sistema
CAAE SISO con un sensor para la velocidad volúmica será capaz de
cancelar gran parte de la potencia radiada en baja frecuencia (Elliott y
Johnson, 1993; Johnson y Elliott, 1995ab; Charette et al., 1995,
1998; Guigou et al., 1996; Naghshineh y Mason, 1996; St. Pierre et
al, 1998). Profundizaremos más en esto en la Sección 4.
3. SENSORES PUNTUALES PARA EL CAAE
La técnica de medida de modos radiantes con sensores estructurales
puntuales es una generalización de la técnica de medida de las
amplitudes modales de los modos estructurales. Analizemos primero
el procedimiento para la estimación de los modos estructurales.
3.1. Sensores puntuales para modos estructurales
La técnica que extrae las amplitudes modales a partir de las medidas
estructurales en una serie discreta de puntos y de las formas de los
modos normales estructurales se conoce cómo filtrado modal (Snyder
y Tanaka, 1993; Snyder et al., 1995, 1996) o cómo descomposición
modal (Clark y Fuller, 1992a). La solución de modos normales para la
vibración transversal de una placa delgada es
∑∑= =
=M
m
N
nmnmn yxVyxv
1 1),()(),,( ψωω (9)
donde
),( yxmnψ son los modos normales, o modos estructurales, y
mnV son las amplitudes de velocidad modales
Sean P puntos aleatoriamente distribuidos de la placa, de
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coordenadas (xp,yp) , p=1,2, .., P, y v=[v1 v2 ...vP]T el vector de
velocidades medidas en cada uno de estos puntos. De la Ec. (9)
=
MNPPMNPPPP
MN
MN
P V
VV
yxyxyx
yxyxyxyxyxyx
v
vv
.
.
),(..),(),(..
..
....
.
.),(..),(),(),(..),(),(
.
.12
11
2111
2222212211
1111211111
2
1
ψψψ
ψψψψψψ
(10)
Es importante que los sensores estructurales puntuales (por ejemplo,
acelerómetros) no estén espaciados regularmente para evitar la
singularidad del determinante de la matriz ΨΨΨΨ. Si el número de puntos
de medida P=MxN, entonces la Ec. (10) representa un sistema de P
ecuaciones para P incógnitas que puede ser invertido para
proporcionar las amplitudes modales
vΨV 1−= (11a)
Es interesante notar que:
• Con P sensores puntuales se pueden medir P amplitudes modales
como máximo.
• Los modos superiores al P-ésimo producirán aliasing espacial.
Cuando se aplica esta técnica se asume que los modos de órdenes
superiores al P tienen una amplitud despreciable. Para ello, la
frecuencia de excitación de la estructura tiene que ser mucho
menor que la frecuencia del modo más alto que se quiere medir.
Si se usa un número de sensores mayor que el número de amplitudes
modales a medir, P > MxN, entonces se puede aplicar el método de
los mínimos cuadrados para obtener
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v)(ΨΨΨV 1TT −= (11b)
Así pues, para implementar un sistema CAAE que cancele P modos
estructurales se requiere:
• Al menos P sensores puntuales (sistema MIMO).
• Un filtro externo que implemente la Ec. (11).
Si la estructura vibrante tiene una geometría regular, es posible usar
la simetría de los modos estructurales para reducir el número de
sensores puntuales (Snyder et al., 1996). Por ejemplo, para una
placa en soporte simple, sumando o restando las medidas
proporcionadas por cuatro acelerómetros en las esquinas se puede
eliminar la influencia de muchos modos. Otra forma de reducir el
número requerido de sensores estructurales es el uso de sensores
distribuidos como veremos, en la Sección 4.
3.2. Sensores puntuales para modos radiantes
Si partimos de la Ec. (10) ΨVv = , y multiplicamos internamente por
QQT (téngase en cuenta que Q-1=QT), donde Q es la matriz de
modos radiantes, obtenemos
ΦUQVΨQv T == (12)
donde TΨQΦ = es la matriz de modos radiantes transformada por la
matriz de los modos estructurales en cada uno de los puntos de
medida, y QVU = es el vector de amplitudes de los modos radiantes.
En un problema dado se conocen los modos estructurales y la matriz
de resistencias, por lo que se pueden calcular los modos
transformados. Partiendo de las medidas estructurales se pueden
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calcular las amplitudes de los modos transformados invirtiendo la Ec.
(12). Si el número de modos estructurales es igual al número de
sensores puntuales (acelerómetros, por ejemplo), entoces la matriz ΦΦΦΦ
es cuadrada. Si además esta matriz es no singular, entonces se
puede aplicar la inversión directa para obtener
vΦU 1−= (13a)
Si el número de sensores es mayor que el número de modos, el
sistema es sobredeterminado, y se puede aplicar la técnica de
mínimos cuadrados para obtener
v)(ΦΦΦU 1TT −= (13b)
En la deducción de los modos radiantes de la Sección 2
relacionábamos la presión acústica de campo próximo con la
velocidad transversal en cada punto de la estructura a través de la
impedacia acústica. Esto permitía obtener la potencia acústica en
términos de la velocidad estructural y de la resistencia acústica. De
forma totalmente análoga, Berkhoff y Doelman (1999), relacionaban
la velocidad estructural con la presión acústica, a través de la
admitancia acústica, lo que les permitía expresar la potencia acústica
radiada en términos de la presión acústica y de la conductancia
acústica. Esto es
GppYpppv HHH =ℜ
=ℜ
=Π
22SS
(14)
donde
Y=Z-1 es la matriz de transferencia de admitancia
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entre las velocidades de vibración transversal
y las presiones acústicas de campo próximo, y
YG ℜ
=
2S
es la matriz de transferencia de conductancia
acústica
De manera análoga al procedimiento seguido en la Seccion 2,
podemos descomponer G en sus vectores y valores propios para
obtener
GGTG QQG Λ= (15)
y
υΛυpQΛQp GpGCTG
H ==Π (16)
donde
QG es la matriz unitaria de vectores propios de G, cuyas
filas son las formas modales de los modos radiantes
GΛ es la matriz diagonal de valores propios
pQυ Gp = es el vector de amplitudes de los modos radiantes
Berkhoff y Doelman (1999) usaban 20 micrófonos en el campo
próximos de una placa delgada, encastrada en un encapsulamiento de
sección vertical triangular. Como fuente primaria usaban un altavoz
dentro del encapsulamiento. Como actuadores usaban cerámicas PZT.
Como sensores de error usaban las salidas de un front-end cuyas
entradas eran las presiones captadas por los 20 micrófonos. Con un
actuador y un sensor para el primer modo radiante (sistema SISO)
conseguían cancelaciones de 16.2 dB, en el margen entre 50 y 250
Hz. Con tres actuadores y tres sensores para los tres primeros modos
radiantes conseguían una cancelación de 22.9 dB, en la misma banda
de frecuencias.
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Ya hemos comentado antes que la tecnología CAAE actual tiende
hacia el diseño de sistemas inteligentes, en los que tanto los sensores
como los actuadores estén embebidos en la propia estructura. Los
aceleómetros no son los sensores más indicados para este fin.
Masson et al. (1997) y Berry (1999) han usado sensores discretos de
fibra óptica y de PVDF en sistemas CAAE.
5. SENSORES DISTRIBUIDOS PARA EL CAAE
El polivinilideno de flúor (PVDF) es un material piezoeléctrico plástico,
que se fabrica en forma de película fina, que permite implementar
sensores estructurales distribuidos. El diseño de estos sensores está
basado en el trabajo de Lee y Moon (1990) quienes demostraban que
la carga eléctrica, q, proporcionada por un sensor de este tipo,
pegado sobre una estructura 2D, es
( ) ( ) ( ) dxdyyx
yxwey
yxwex
yxweyxFtt
q fa fbfp ∫ ∫
∂∂
∂+∂
∂+∂
∂+−=
0 0
2
362
2
322
2
31,2,,),(
2(17a)
donde
tp es el espesor de la estructura 2D
tf es el espesor de la película de PVDF
af es la longitud del PVDF
bf es la anchura del PVDF
F(x,y) es una función de sensibilidad del PVDF
eij son coeficientes de tensión piezoeléctrica del PVDF, y
w(x,y) es la vibración vertical de la estructura.
Generalmente, se usa PVDF polarizado de tal modo que e36=0
(polarización vertical a la película de PVDF). En este caso
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
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( ) ( ) dxdyy
yxwex
yxweyxFtt
q fa fbfp ∫ ∫
∂∂+
∂∂+
−=0 0 2
2
322
2
31,,),(
2(17b)
Se puede usar la función de sensibilidad para resolver modos
estructurales o radiantes, variando la capacidad de generación de
carga eléctrica del sensor a lo largo de la duración del modo. Si el
modo es 1D, como en barras, se pueden diseñar sensores distribuidos
2D: una dimensión para medir sobre la duración espacial del modo, y
la otra para acomodar la función de sensibilidad. Esto significa que se
puede usar una tira de PVDF a lo largo de una barra, por ejemplo,
para resolver uno de sus modos, variando su anchura según una
forma geométrica apropiada.
Si la estructura es 2D, una placa, por ejemplo, serían necesarios
sensores 3D para medir modos estructurales o radiantes. Así pues,
para resolver un modo, habría que cubrir la estructura entera con la
película de PVDF, y usar el espesor para acomodar la función de
sensibilidad. Ya que las películas de PVDF son muy finas (varias
decenas de µm) es bastante complicado variar su espesor durante su
fabricación. Otra solución poco viable sería practicar pequeños
agujeros sobre el PVDF, de tal modo que la relación de la superficie
abierta a la superficie cerrada siga un patrón directamente
relacionado con la función de sensibilidad. Lo que si es práctico, es el
uso de tiras de PVDF con anchura variable. Aunque una tira sólo
puede discriminar modos 1D, se pueden disponer tiras múltiples
adecuadamente para medir modos 2D. Cuando la estructura tiene
una geometría regular, se puede aprovechar la simetría de los modos
estructurales para dar la forma a los sensores. Por ejemplo, una placa
delgada en soporte simple tiene formas modales desacopladas. Ya
veremos más adelante, que es este caso, se puede diseñar una cruz
de dos tiras de PVDF, paralelas a los ejes de la placa, para discriminar
modos estructurales.
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4.1. Sensores distribuidos para modos estructurales
Clark y Fuller (1992b) aplicaban CAAE a una placa delgada en soporte
simple, usando dos actuadoes PZT y dos tiras rectangulares de PVDF,
paralelas a cada uno de los ejes de la placa (Figura 9), como
sensores.
x
y
a
b
x1
e x2
e
y1
e
y2
e
PZT1
PZT2
PVDF1
PVDF2
Figura 9. Sistema CAAE para una placa delgada en soporte simple usada por Clark y
Fuller (1992b)
La función de sensibilidad para este sensor de PVDF es
[ ][ ])()( )()(),( 2121eeee yyHyyHxxHxxHyxF −−−−−−= (18)
donde H(.) es la función escalón de Heaviside, ),( 21ee xx son las
coordenadas del sensor rectangular en la dirección del eje y, e
),( 21ee yy son las coordenadas de posición del sensor en la dirección del
eje x. Clark y Fuller justificaban la elección de este tipo de sensores
en el hecho de que los modos (impar,impar), por ejemplo los modos
(1,1), (1,3),..., son radiadores mucho más eficientes que los modos
(par,par), por ejemplo los modos (2,2), (2,4),... (Cobo, 2000). Por
razones de simetría de los modos normales de una placa delgada en
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-23-
soporte simple, la tira denominada PVDF1 sólo medirá los modos
impares en la dirección del eje y, mientras que la tira denominada
PVDF2 sólo será sensible a los modos impares en la dirección del eje
x. Por consiguiente, un sistema CAAE cuyas entradas de error sean
las proporcionadas por ambos sensores tenderá a cancelar sólo los
modos impares, en lugar de cancelar todos los modos de la placa.
Clark y Fuller (1992b) comparaban los resultados del CAAE usando
estos dos sensores de PVDF con éstos usando tres micrófonos en el
campo lejano de la placa, a –45º, 0º, y 45º, a diferentes frecuencias.
En todos los casos ensayados se obtenían cancelaciones del orden de
30 dB con los sensores de PVDF, y unos 5-10 dB más con los
sensores acústicos. Concluían pues que era menester usar sensores
modales distribuidos más selectivos para conseguir mejorar los
resultados del CAAE con el PVDF.
Analizando la Ec. (17) que relaciona la función de sensibilidad del
sensor (también denominada función de apertura) con los modos
estructurales del sistema, Clark y Burke (1996) concluían que, en el
caso de estructuras 2D, sólo es posible diseñar sensores modales
exactos en el caso de condiciones de contorno “pinned”. Veamos esto
con más detalle. Derivando dos veces la Ec. (1) e introduciendo el
resultado en la Ec. (17b), obtenemos
dxdyy
ex
eyxFWtt
q fa fb mnmnM
m
N
nmn
fp ∫ ∫∑∑
∂∂+
∂∂+
−== =
0 0 2
2
322
2
311 1
),(2
ψψ (19)
Supongamos ahora unas condiciones de contorno tales que
mnmn
mnmn
y
x
ψψ
ψψ
∝∂
∂
∝∂
∂
2
22
2
(20)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-24-
Entonces
[ ]dxdyyxFeyxFeWtt
q fa fbmnmn
M
m
N
nmn
fp ∫ ∫∑∑ ++
−∝= =
0 0 32311 1
),(),(2
ψψ (21)
Debido a la ortogonalidad de los modos normales, vemos que un
sensor con una función de apertura igual a la forma de un modo
normal, ),(),( yxyxF qrψ= , dará una salida proporcional a la
amplitud modal correspondiente. En resumen, las condiciones para
diseñar sensores modales 2D exactos son:
• La apertura del sensor ha de ser proporcional al modo estructural
que se desea medir.
• La apertura del sensor ha de ser proporcional a la curvatura
(derivada segunda) del modo que se desea medir.
Estos requisitos se cumplen exactamente sólo para condiciones de
contorno ‘pinned’. En el caso de una placa, al menos uno de los
bordes opuestos han de estar en condiciones de soporte simple (Clark
y Burke, 1996). Esto no quiere decir que para otro tipo de
condiciones de contorno no sea posible el diseño de sensores modales
aproximados, como veremos más adelante. En el caso 1D, siempre es
posible diseñar sensores modales exactos, para cualesquiera
condiciones de contorno (Clark y Burke, 1996)
Estrictamente hablando, un sensor modal habría de tener una
apertura igual a la forma del modo que se desea medir. Es decir, en
el caso de estructuras 2D, sería necesario diseñar sensores con
aperturas 2D. En el caso de estructuras 2D con una cierta
regularidad, es posible aprovechar la simetría de los modos
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-25-
estructurales para simplificar el diseño. La Figura 10 ilustra el diseño
de dos sensores distribuidos para medir los modos (3,impar) y (*,1)
de una placa rectangular en soporte simple.
Figura 10. Sensor distribuido para la medida de los modos (3,impar) y (*,1) de una
placa delgada en soporte simple (Según Clark y Burke, 1996)
El sensor consta de dos tiras perpendiculares de PVDF de 2.54 cm de
ancho. La tira paralela al eje x tiene una apertura proporcional al
modo (3,1), por lo que es sensible a todos los modos (3,*). Como
está emplazada a lo largo de la línea media del eje x, sólo será
sensible a los modos (3,impar). La tira paralela al eje y está situada a
lo largo de una línea que atraviesa el primer antinodo del modo (3,1).
Por tanto, será sensible a los modos (*,1).
El sensor a lo largo del eje x de la Figura 10 tiene dos pasos por cero
y tres cambios de polaridad. Hay diferentes maneras de implementar
en la práctica estos cambios de polaridad. Como el PVDF es un
material flexible, se puede doblar por los pasos por cero, de manera
que la cara que está arriba en un segmento, esté abajo en el
segmento siguiente. Otra forma de hacer esto es mediante el
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-26-
conexionado eléctrico de los electrodos, es decir inviertiendo los polos
eléctricos entre segmentos adyacentes del sensor.
Así pues, el diseño de sensores para ciertos tipos de modos, en
estructuras con condiciones de contorno simples, es elemental. Basta
que la apertura del sensor siga la forma del modo buscado. Tanaka et
al. (1998) usan un procedimiento similar para extraer modos
estructurales de una placa delgada en soporte simple. La Figura 11
muestra los resultados para el caso del modo (1,3).
Figura 11. (a)Apertura del modo (1,3) de una placa delgada en soporte simple; (b)
Respuesta de un acelerómetro; (c) Respuesta del sensor modal diseñado (Según Tanaka
et al., 1998)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-27-
En los trabajos sobre diseño de sensores modales que contienen
resultados experimentales es usual atribuir las desviaciones con
respecto a los resultados teóricos a errores cometidos en el corte del
PVDF. Sin embargo, Clark y Burke (1996) atribuyen más importancia
a los errores en la ubicación de los sensores en la estructura. Si se
diseña un sensor para medir un único modo estructural, la apertura
correspondiente debería ser ortogonal al resto de modos, y por tanto
debería proporcionar respuesta cero a dichos modos. Un pequeño
error en la ubicación del sensor puede resultar en contribuciones
significativas de otros modos.
Otro aspecto práctico importante en el diseño de sensores
distribuidos de PVDF es el acondicionamiento de la señal.
Dependiendo de que la respuesta del sensor sea la deformación o la
velocidad de deformación, se debe diseñar un amplificador de voltaje
o un amplificador de corriente, respectivamente. Independientemente
del acondicionamiento usado, es menester prestar importancia al
acoplamiento de impedancias entre el sensor y el amplificador. La
Figura 12 muestra el circuito de un amplificador de voltaje para usar
con PVDF.
Figura 12. Esquema de un amplificador de voltaje para el PVDF (Según Clark y Burke
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-28-
(1996)
Este circuito consta de un amplificador de alta impedancia seguido de
un amplificador operacional estándar. El amplificador de alta
impedancia proporciona adaptación a la impedancia de entrada del
PVDF. El amplificador operacional proporciona ganancia y adaptación
a la baja impedancia de los cables conectados a la salida del circuito.
La resistencia en paralelo se usa para evitar que el amplificador
cargue la capacidad del PVDF y para crear un filtro paso alta.
También, es conveniente conectar a tierra el circuito y la estructura
para evitar tanto el ruido de línea (los 50 Hz) como el ruido eléctrico
generado por otros aparatos usados en el ensayo CAAE.
4.2. Sensores distribuidos para modos radiantes
Cuando se analiza la literatura, se encuentran esencialmente dos
estrategias para el diseño de sensores distribuidos de PVDF para los
modos radiantes en sistemas CAAE. La primera calcula la apertura del
sensor partiendo de un sistema de ecuaciones que se obtiene de
igualar la salida del sensor, Ec. (17b), a la forma del modo radiante
deseado (Snyder et al., 1995ab, 1996; Tanaka et al, 1996). La
segunda se basa en el hecho de que en baja frecuencia, la mayor
parte de la potencia acústica es radiada por el modo volúmico. Esta
estrategia calcula la apertura del sensor igualando la salida
proporcionada por la Ec. (17) a algo que es proporcional al
desplazamiento (o a la velocidad, en problemas armónicos) de
volumen de la estructura (Johnson et al., 1993; Johnson y Elliott,
1995ab; Guigou et al., 1996; Charette et al., 1995, 1998). Ambas
estrategias requieren del conocimiento de los modos estructurales en
la banda de frecuencias de interés. Estos modos estructurales pueden
calcularse en estructuras simples, obtenerse mediante modelos
FEM/BEM, o medirse experimentalmente en estructuras más
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-29-
complejas. Veamos ahora con más detalle la primera estrategia. La
segunda la analizaremos en la Sección 4.3. Reescribamos de nuevo la
Ec. (1) en la forma
∑=
=mN
iiiWw
1
)()( rr ψ (22)
donde
Nm es el número de modos en la banda de interés
r es el vector de posición de un punto de la estructura
Wi es la amplitud del modo i-ésimo
Ψi es el modo i-ésimo
El índice modal i en la Ec. (22) corresponde al par de índices modales
(mi,ni) en la Ec. (1). La Ec. (19) tendrá ahora la forma
rr dy
ex
eFWtt
q fa fb iimN
ii
fp ∫ ∫∑
∂∂+
∂∂+
−==
0 0 2
2
322
2
311
)(2
ψψ (23)
Para continuar necesitamos conocer los modos estructurales. Para el
caso particular de una placa delgada de dimensiones (a,b), en soporte
simple,
=
bynsin
axmsinyx ii
iππψ ),( (24)
Y sustituyendo en la Ec. (23)
rrr dFb
nea
meWtt
q fa fbi
iimN
ii
fp ∫ ∫∑
+
+
==
0 0
2
32
2
311
)()(2
ψππ (25)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-30-
Ya que los modos radiantes son combinaciones de modos
estructurales, asumamos una función apertura para el sensor dada
por
∑=
=mN
iiigF
1
)()( rr ψ (26)
Sustituyendo la Ec. (26) dentro de la Ec. (25), y apelando a la
ortogonalidad de los modos normales, se obtiene finalmente
iii
mN
ii
fp gb
nea
meWabttq
+
+
= ∑=
2
32
2
31142
ππ (27)
Ahora bien, queremos que esta salida del sensor sea proporcional al
modo radiante j-ésimo. De acuerdo a la Ec. (7), la amplitud del modo
radiante j-ésimo es proporcional a
∑ ∑= =
Θ−∝Θ=mN
i
mN
ijijjijj WVb
1 1 (28)
donde ΘΘΘΘ es la matriz de valores propios que resultan de la
diagonalización de la matriz M de resistencia de radiación modal (ver
Apéndice A). De las Ecs. (27) y (28) vemos que la condición necesaria
y suficiente para diseñar un sensor para el modo radiante j-ésimo es
que
2
32
2
31
24
+
Θ+
=
bne
ame
ttabg
ii
ij
fpi
ππ (29)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-31-
Luego, teóricamente, siempre es posible diseñar sensores exactos
para medir los modos radiantes de una placa en soporte simple. De
nuevo, éste es un resultado ideal, pero que no es práctico, pues
deberíamos cubrir completamente la superficie con el sensor. Veamos
cómo se pueden diseñar sensores aproximados a base de tiras de
PVDF, aprovechando la simetría de los modos estructurales en
estructuras regulares.
La Figura 13 muestra un sensor 1D de PVDF a lo largo del eje y de
una placa delgada de dimensiones (a,b).
Figura 13. Sensor 1D en la dirección del eje y de una placa de dimensiones (a,b)
(Según Tanaka et al., 1996)
El sensor, de anchura determinada por la función )(yϕ , está situado a
lo largo de La línea γ=x . Considerando una placa en soporte simple,
la salida de este sensor, de acuerdo a la Ec. (25), será
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-32-
rr db
nea
meWFtt
qb y
y iii
mN
ii
fp ∫ ∫∑+
−=
+
+
=0
)(
)(
2
31
2
321
0 )(2
ϕγ
ϕγψππ
(30)
donde F0 es una constante. Nótese que hemos intercambiado los
coeficientes de tensión piezoeléctrica dentro del corchete con
respecto a las ecuaciones anteriores. Estamos asumiendo, por tanto,
que cortamos el PVDF en la dirección de mayor valor de este
coeficiente. En otras palabras, la dirección del e31 del PVDF lo
estamos situando a lo largo del eje y, y la dirección del e32 del PVDF,
está colocado a lo largo del eje x. Veamos con más detalle la integral
de los modos normales sobre la superficie del sensor.
dydxyxb y
y i∫ ∫+
−0
)(
)(),(
ϕγ
ϕγψ
dydxa
xmsinb
ynsiny
yib i
= ∫∫
+
−
)(
)(0
ϕγ
ϕγ
ππ
dya
xmb
ynsinm
a y
y
ib i
i
)(
)(0cos
ϕγ
ϕγ
πππ
+
−
−
= ∫
[ ] [ ] dya
yma
ymb
ynsinm
a iib i
i
+−
−
= ∫ )(cos)(cos
0
ϕγπϕγπππ
Teniendo en cuenta que
( ) )()()cos()cos(cos BsinAsinBABA !=±
nos queda finalmente
dydxa
xmsinb
ynsiny
yib i
∫∫
+
−
)(
)(0
ϕγ
ϕγ
ππ
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-33-
dyya
msinb
ynsina
msinm
a ib ii
i
= ∫ )(2
0ϕπππγ
π(31a)
Supongamos que )(yϕ tiene la forma del modo nj-ésimo, es decir
=
byn
singy jjn
πϕ )( (32)
En este caso
=
byn
sina
gmsiny
amsin jjnii ππ
ϕπ )(
Ahora bien, si
1<<
b
ynsin
a
gm jjni ππ
entonces
≈
b
ynsin
a
gm
byn
sina
gmsin jjnijjni ππππ
y
dydxa
xmsinb
ynsiny
yib i
∫∫
+
−
)(
)(0
ϕγ
ϕγ
ππ
dyb
ynsin
bynsin
amsin
a
gm
ma jb iijni
i
= ∫
πππγπ
π 0
2
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-34-
=
am
sinbg jjn
πγ(31b)
Sustituyendo la Ec. (31b) dentro de la Ec. (30), obtenemos
finalmente
( )
+
+= ∑
=
2
31
2
321
,2 b
ne
am
ea
msinnmWbgF
ttq jj
jmN
jm
jjjjjno
fp πππγ
( ) ( ) ( )j
jmN
jmjjjjjjjn mcnmbnmWg ∑
=
=1
,, (33a)
donde
+
+=
2
31
2
320 2),(
bn
ea
me
ttbFnmb jjfp
jjjππ
(33b)
y
=
am
sinmc jj
πγ)( (33c)
Así pues, una tira de PVDF con una forma dada por la Ec. (32) es
capaz de medir todos los modos con un índice modal nj en la dirección
y. La salida del sensor dependerá del valor de los modos normales
estructurales a lo largo del ej x, en la posición x=γ.
Veamos ahora como se pueden aprovechar estos resultados, junto
con la simetría de una placa en soporte simple, para diseñar sensores
para modos radiantes. Resumamos primero las características
fundamentales del diseño de sensores 1D de PVDF:
• La Ec. (33a) nos dice que la salida de un sensor 1D de PVDF
consta de la superposición de una serie de términos, en los cuales,
cada amplitud modal estructural es multiplicada por un factor
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-35-
apropiado. Es decir, la salida de un sensor 1D de PVDF contiene ya
una serie de amplitudes modales estructurales, como los modos
radiantes. Para hacer que esta salida sea igual a la amplitud de un
modo radiante es necesario ajustar apropiadamente los
coeficientes que intervienen en la función de apertura de los
sensores.
• La utilización de sensores 1D de PVDF para medir modos radiantes
es una condición necesaria, pero no suficiente. Para soslayar este
problema, será menester diseñar sensores 1D múltiples.
• ¿Cuántos sensores 1D son necesarios para obtener un modo
radiante? Para responder a esta pregunta, analicemos con más
detalle la Ec. (33a). En esta ecuación Nmj es el número de modos
estructurales filtrados por una sóla función de apertura definida
por la Ec. (32). Supongamos que el modo transformado en la
banda de frecuencias de interés consta de m funciones base en la
dirección del eje y, por ejemplo, y que cada una de estas funciones
filtra Nmj modos estructurales. Esto quiere decir que el sensor
modal filtrará entonces ∑ =
m
j jmN1
modos estructurales. Cómo
cada sensor 1D es capaz de sintetizar una serie de funciones base
de la función de forma, el número de sensores 1D necesario será
mjNmaxm jmmax ,..,2,1, == (34)
que es el número máximo de modos estructurales incluido en
cualesquiera de las funciones base, y no el número total de modos
estructurales medidos, ∑ =
m
j jmN1
. Esto es lo que hace posible la
reducción significativa del número de sensores 1D de PVDF. De la
Ec. (33a) la introducción de mmax sensores 1D pegados en
diferentes ubicaciones de la placa significa la introducción de mmax
ecuaciones para los mmax coeficientes de las funciones base gnj.
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-36-
• La conformación de un sensor PVDF con funciones base apropiadas
equivale al uso de muchos sensores puntuales junto con un gran
número de lecturas, sumas y multiplicaciones en el DSP asociado.
En otras palabras, la salida de los sensores distribuidos, per se, es
la señal de entrada al controlador que estamos buscando. Esto
simplifica considerablemente la implementación del sistema CAAE.
• Se puede reducir considerablemente la carga computacional de la
función de forma usando la simetría de los modos estructurales
para ubicar los sensores 1D.
Para ilustrar este proceso, consideremos el caso del diseño de
sensores 1D para los modos radiantes de una placa delgada en
soporte simple, de dimensiones (88 cm x 180 cm x 9 mm), en la
banda de frecuencias hasta 200 Hz. La Tabla 1 resume los modos
estructurales en esta banda de frecuencias.
Tabla 1. Modos estructurales de una placa delgada en soporte simple, de (88 cm x 180
cm x 9 mm), en la banda de frecuencias hasta 200 Hz
Número modal Modo Frecuencia (Hz)
1 (1,1) 35.292
2 (1,2) 55.716
3 (1,3) 89.756
4 (2,1) 120.744
5 (1,4) 137.412
6 (2,2) 141.168
7 (2,3) 175.208
8 (1,5) 198.684
Para una placa delgada en soporte simple, los modos radiantes son
combinaciones de modos estructurales de órdenes parecidos (modos
impar/impar, modos impar/par, modos par/impar, y modos par/par)
que contribuyen independientemente a la radiación acústica. Por
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-37-
consiguiente, el sistema de sensores debe ser capaz de resolver
combinaciones arbitrarias de modos de órdenes parecidos. La Figura
14 muestra el diagrama de bloques del procedimiento de diseño de
sensores 1D para modos radiantes basado en la agrupación de los
modos estructurales en grupos de órdenes parecidos.
Figura 14. Diagrama de bloques del procedimiento de diseño de sensores 1D para los
modos radiantes (Según Tanaka et al., 1996)
Vamos a aplicar paso a paso este procedimiento para el caso indicado
anteriormente.
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-38-
PASO 1. De la Tabla 1 vemos como en el margen hasta 200 Hz hay 8
modos estructurales.
PASO 2. De la Tabla 1, hay dos índices modales en la dirección x (1 y
2) y 5 índices modales en la dirección y (1, 2, 3, 4, y 5).
Elegimos, por tanto, la dirección de mayor variación de
índices, en este caso la y.
PASO 3. Elegimos el diseño del sensor para los modos impar/impar
(primer modo radiante).
PASO 4. Hay m=3 índices modales impares distintos en la dirección y,
(1,1), (1,3) y (1,5), siendo el mayor de ellos 5. Si ubicamos
un sensor a lo largo de la línea γ=(a/2), sólo será necesario
un sensor 1D para medir el primer modo radiante
correspondiente a los modos estructurales de índices
impar/impar.
PASO 5. La función de forma del sensor 1D es entonces
∑ = −
−=
3
1)1(
121)12()(
i i byisingy πϕ
+
+
=
bysing
bysing
bysing πππ 53 )1(
5)1(
3)1(
1 (35)
Así pues, tres clases de índices modales de orden impar
constituyen la base para formular la función de forma del
sensor 1D.
PASO 6. De la Ec. (33a), la salida del sensor 1D será entonces
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-39-
( ) ( ) ( )888)1(
5777333)1(
3444111)1(
1 cbWgcbWcbWgcbWcbWgq ++++= (36a)
Nótese que el primer sumando contiene las contribuciones de
los modos (1,1) y (2,1). Al segundo sumando contribuyen los
modos (1,3) y (2,3). Y al tercer sumando contribuye el modo
(1,5).
PASO 7. El número de sensores 1D necesarios para la medida del
primer modo radiante, o modo impar/impar, sería
21,2,2 == maxmmax
Ahora bién, los modos (2,1) y (2,3) son simétricos en la
dirección del eje x. Por tanto, su efecto puede eliminarse
ubicando un sensor 1D a lo largo de la línea x=γ en la
dirección y. En este caso, la salida del sensor 1D sería
888)1(
5333)1(
3111)1(
1 cbWgcbWgcbWgq ++= (36b)
PASO 8. Queremos que esta salida sea proporcional a los términos de
la Ec. (28) correspondientes al primer modo radiante.
Igualando los coeficientes de los términos Wj del mismo
orden, se obtiene entonces
88
8)1(5
33
3)1(3
11
1)1(1
cbg
cbg
cbg
j
j
j
Θ=
Θ=
Θ=
(37a)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-40-
Sustituyendo los valores para bj y cj de las Ecs. (33b) y (33c)
obtenemos
+
Θ=
+
Θ−=
+
Θ=
2
31
2
32
8)1(5
2
31
2
32
3)1(3
2
31
2
32
1)1(1
5
3
be
aebF
g
be
aebF
g
be
aebF
g
o
j
o
j
o
j
ππ
ππ
ππ
(37b)
Sustituyendo estos valores se obtendría la forma del primer
modo radiante para la placa delgada que estamos
estudiando. De forma similar, Tanaka et al. (1996) obtienen
los coeficientes del sensor 1D para el segundo modo radiante
(modos impar/par), y los coeficientes de los dos sensores 1D
para el tercer modo radiante (modos par/impar).
La Figura 15a muestra las señales medidas por los sensores
diseñados por Tanaka et al. (1996) para los tres primeros modos
radiantes de una placa delgada de acero en soporte simple, de
dimensiones (88 cm x 180 cm x 9 mm). El filtrado modal de estos
sensores es evidente, en comparación a la señal medida por un
acelerómetro. En la Figura 15b se muestran las salidas que se
deberían obtener con estos sensores. Como vemos, los sensores
modales captan también modos estrucurales indeseados. Por
ejemplo, el sensor del primer modo capta alguna contribución de los
modos (1,2) y (1,4). Según Tanaka et al. (1996) estos errores se
deben a imprecisiones en el corte del PVDF. Según Clark y Burke
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-41-
(1996), los sensores de PVDF son más sensibles a errores en la
ubicación que a errores en el corte.
Figura 15. (a) Señal captada por un acelerómetro (arriba) y por los tres sensores para
los tres primeros modos radiantes. (b) Simulación numérica de las señales captadas por
los sensores de los tres primeros modos radiantes (Según Tanaka et al., 1996)
4.3. Sensores distribuidos para la velocidad volúmica
La velocidad volúmica de una superficie es la integral de la velocidad
sobre dicha superficie. Para medirla con sensores puntuales, se
requeriría un gran número de ellos. El PVDF, sin embargo, ofrece la
posibilidad de medirla con sensores distribuidos.
Consideremos de nuevo una placa delgada de dimensiones (a,b)
orientada en las direcciones de los ejes (x,y). Partiendo de la Ec.
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-42-
(17b), Johnson y Elliott (1995b) demuestran que un sensor de PVDF
con una función de apertura cuadrática en la dirección de uno de los
ejes
2),( xaxyxF −= (38)
dará una salida proporcional al desplazamiento volúmico, siempre que
se cumplan las siguientes condiciones:
• El desplazamiento vertical en x=0 y x=a es cero. Es decir,
0),(),0( == yawyw . Esto se cumple para condiciones de contorno
simple o encastrado.
• El gradiente del desplazamiento vertical es el mismo en ambos
bordes en la dirección del eje y. Es decir y
bxwyxw
∂∂=
∂∂ ),()0,(
. Esta
condición se cumple en una placa encastrada. En el caso de
soporte simple, es necesario usar un par de películas de PVDF
convenientemente ponderadas (Johnson et al., 1993).
La velocidad volúmica puede ser calculada diferenciando con respecto
al tiempo el desplazamiento volúmico (multiplicando por -jω). La
Figura 16 muestra una representación 2D de la función cuadrática de
la Ec. (38) y un par de realizaciones prácticas de la misma,
propuestas por Johnson et al., (1993).
Como vemos en la Figura 16, la realización práctica de un sensor para
la velocidad volúmica requeriría cubrir completamente la superficie de
la placa con el sensor de PVDF, lo cual ni es barato ni es práctico.
Charette et al. (1998) proponen un diseño de un sensor de PVDF para
el desplazamiento volúmico que puede ser implementado mediante
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-43-
un par de tiras cruzadas de PVDF. Berry (1999), demuestra que la
potencia radiada por una placa en baja frecuencia es
2
0
04
4D
cπρω≈Π (39a)
con
∫ ∫=a b
dydxyxwD0 0
),( (39b)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-44-
Figura 16. Representación 3D de la función de apertura cuadrática en la dirección del
eje x (arriba) y dos realizaciones prácticas de la función de apertura cuadrática (centro
y abajo) (Según Johnson et al., 1993)
Por consiguiente, un sensor capaz de medir directamente el
desplazamiento volúmico proporcionaría una señal de error ideal para
un sistema CAAE que trate de minimizar la potencia acústica radiada
en baja frecuencia.
El trabajo de Charette parte de las eigenfunciones de una placa
determinadas experimentalmente. Por tanto, se trata de un método
válido para condiciones de contorno arbitrarias. Siguiendo el
procedimiento usado por el paquete de análisis modal STAR SYSTEM
V5.0, se calculan las eigenfunciones ajustando las medidas
experimentales del desplazamiento vertical en una malla de puntos
(por ejemplo, mediante vibrometría láser) a unas funciones
polinómicas del tipo
∑∑−
=
−
=
=
1
0
1
0,),(
P
p
Q
q
qp
pqii by
axAyxψ (40)
donde Ai,pq son una serie de coeficientes que se determinan a partir
del sistema de ecuaciones
ii wA =ϕ (41)
donde
wi es un vector (MXN,1) de desplazamientos en los MxN
puntos de medida, correspondientes al modo i-ésimo
Ai es un vector (PxQ,1) de coeficientes polinómicos a
determinar, y
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-45-
iϕ es una matriz (MxN,PxQ) cuyos elementos son
qn
pm
mnpq by
ax
=ϕ
En general, la Ec. (40) requiere polinomios de grado relativamente
bajo para una precisión razonable. Así pues, PxQ suele ser menor que
MxN, y el sistema de Ecs. (41) es sobredeterminado. La solución de
mínimos cuadrados es entonces
[ ] iTT
i wA ϕϕϕ1−
= (42)
Consideremos ahora que la función de coste a minimizar por un
sistema CAAE es el desplazamiento volúmico definido por
( )∫ ∫=a b
dydxyxwD0 0
, (43a)
Sustituyendo las Ecs. (22) y (40) dentro de la Ec. (43a) obtenemos
∑ ∑∑ ∫ ∫∫ ∫ ∑=
−
=
−
==
==
mN
i
P
p
Q
q
a b pp
pqiia b mN
iii dy
bydx
axAWdydxyxWD
1
1
0
1
00 0,0 0
1),(ψ
∑ ∑∑ ∫ ∫=
−
=
−
=
=
mN
i
P
p
Q
q
a b qp
pqii byd
by
axd
axAWab
1
1
0
1
00 0,
∑ ∑∑ ∫ ∫=
−
=
−
=
++
+
+
=mN
i
P
p
Q
q
a b qp
pqii byd
qaxd
pAWab
1
1
0
1
00 0
11
, 11
11
∑ ∑∑=
−
=
−
=
+
+
=mN
i
P
p
Q
qpqii qp
AWab1
1
0
1
0, 1
11
1
ΓW℘= ab (43b)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-46-
donde
W es un vector (1,Nm) de amplitudes modales
℘ es una matriz (Nm,PxQ) de los coeficientes de los
polinomios de ajuste modal, y
δ es un vector (PXQ,1) cuyos elementos son
)1)(1(1
++=
qppqδ .
La velocidad volúmica sería DjV ω−= . Para excitación armónica, la
minimización del desplazamiento volúmico es equivalente a la
minimización de la velocidad volúmica.
Consideremos ahora un sensor constituido por dos tiras de PVDF,
Figura 17. Una de ellas está ubicada a lo largo del eje x, en y=yct, y
tiene una anchura dada por )(ˆ2 xFxµ , siendo µ2 x la anchura máxima,
y )(ˆ xF la función de apertura en la dirección x, que varía entre –1 y
1. La otra está ubicada a lo largo del eje y, en x=xct, y tiene una
anchura dada por )(ˆ2 yFyµ , siendo µ2 y la anchura máxima, y )(ˆ yF
la función de apertura en la dirección y, que varía entre –1 y 1.
Figura 17. Configuración de un sensor de PVDF de dos tiras perpendiculares de
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-47-
PVDF para el desplazamiento volúmico (Según Charette et al., 1998)
Sean las funciones de apertura
r
S
s
s
r
R
rr
byyF
axxF
∑
∑−
=
−
=
=
=
1
0
1
0
ˆ)(ˆ
ˆ)(ˆ
β
α(44)
La carga proporcionada por un sensor tal será
yx qqq += (45a)
donde
( ) ( ) dxdyy
yxwex
yxwett
qa xFxcty
xFxctyfp
x ∫ ∫+
−
∂∂+
∂∂+
−=0
)(ˆ
)(ˆ 2
2
322
2
31,,
2µ
µ(45b)
y
( ) ( ) dxdyy
yxwex
yxwett
qb yFyctx
yFyctxfp
y ∫ ∫+
−
∂∂+
∂∂+
−=0
)(ˆ
)(ˆ 2
2
322
2
31,,
2µ
µ(45c)
Sustituyendo las Ecs. (22) y (40) dentro de la (45b)
( )∑ ∑∑=
−
=
−
=+
+−=
mN
i
P
p
Q
qpqii
fpx IIAW
ttq
1
1
0
1
021,2
(46a)
donde
∫ ∫
−=
+
−
−a xFxcty
xFxcty
qpdxdy
by
ax
appeI
0
)(ˆ
)(ˆ
2
231
1)1( µ
µ(46b)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-48-
y
∫ ∫
−=
+
−
−a xFxcty
xFxcty
qp
dxdyby
ax
bqqeI
0
)(ˆ
)(ˆ
2
232
2)1( µ
µ(46c)
Vamos a resolver con detalle la integral I1.
∫ ∫
+
−=
+
−
+−a xFxcty
xFxcty
qp
dxbyd
qb
ax
appeI
0
)(ˆ
)(ˆ
12
231
1 1)1( µ
µ
∫+
−
+−
+−=
axFxcty
xFxcty
qp
dxby
ax
qb
appe
0
)(ˆ
)(ˆ
12
231
1)1(
µ
µ
∫
−−
+
+−=
++−aq
xctq
xctp
dxb
xFyb
xFyax
qb
appe
0
112
231 )(ˆ)(ˆ
1)1( µµ
Ahora bien
111)(ˆ
1)(ˆ +++
+
=
+q
ct
xq
ctq
xcty
xFby
bxFy µµ
+
+−+
++++
=
+
..)(ˆ6
)1()1()(ˆ2
)1()(ˆ)1(1321
ct
x
ct
x
ct
xq
cty
xFqqqy
xFqqy
xFqby µµµ
Análogamente
111)(ˆ
1)(ˆ +++
−
=
−q
ct
xq
ctq
xcty
xFby
bxFy µµ
+
+−−
+++−
=
+
..)(ˆ
6)1()1()(ˆ
2)1()(ˆ)1(1
321
ct
x
ct
x
ct
xq
cty
xFqqqy
xFqqy
xFqby µµµ
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-49-
Luego
11)(ˆ)(ˆ ++
−−
+q
xctq
xctb
xFyb
xFy µµ
+
+−++
=
+
..)(ˆ
3)1()1()(ˆ)1(2
31
ct
x
ct
xq
cty
xFqqqy
xFqby µµ
Asumiendo que 1)/)(ˆ( <<ctx yxFµ , podemos despreciar los términos
de orden superior al primero. Nos queda entonces
∫−
−=
a pqctx dxxF
ax
by
appeI
0
2
231
1 )(ˆ)1(2 µ
Y sustituyendo la Ec. (44)
∫ ∑
−=
−
=
−a R
r
r
r
pqctx dx
ax
ax
by
appeI
0
1
0
2
231
1 ˆ)1(2 αµ
∫∑−+−
=
−=
a prR
rr
qctx dx
ax
by
appe
0
21
02
31 ˆ)1(2 αµ
∫∑−+−
=
−+
−=
a prR
rr
qctx
axd
pra
by
appe
0
11
02
311
ˆ)1(2 αµ
aprR
r
rq
ctxax
prby
appe
0
11
0
311
ˆ)1(2
−+
−=
−+−
=∑ αµ
Y finalmente
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-50-
∑−
= −+
−=
1
0
311 1
ˆ)1(2 R
r
rq
ctxprb
yappeI αµ
(47a)
Razonando de forma análoga, podemos obtener
∑−
=
−
++−=
1
0
232
2 1ˆ)1(2 R
r
rq
qctx
prbyaqqeI αµ
(47b)
Sustituyendo las Ecs. (47) dentro de la Ec. (46a) obtenemos el
siguinete valor para qx
∑ ∑∑ ∑=
−
=
−
=
−
= −+
−
+−=
mN
i
P
p
Q
q
R
r
rq
ctxpqii
fpx rpb
ya
ppeAWtt
q1
1
0
1
0
1
0
31, 1
ˆ)1(22
αµ
∑ ∑∑ ∑=
−
=
−
=
−
=
−
++
−
+−
mN
i
P
p
Q
q
R
r
rq
ctxpqii
fp
rpby
baqqeAW
tt
1
1
0
1
0
1
0
2
232
, 1ˆ)1(2
2αµ
Esta ecuación tiene una formulación matricial más elegante (Charette
et al., 1998)
αT1W ˆ2
℘
+−= fp
xtt
q (48a)
donde
W es un vector (1,Nm) de amplitudes modales,
℘ es una matriz (Nm,PxQ) de los coeficientes de los
polinomios de ajuste modal,
T1 es una matriz (PxQ,R) cuyos elementos son
2
23231
, )1()1(2
)1()1(21
−
++−+
−+−=
qctx
qctx
rpq by
rpbaqqe
by
rpappeT µµ
, y
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-51-
α es un vector (R,1) de los coeficientes de forma de la tira
de PVDF en la dirección del eje x.
Mediante un razonamiento similar al previo, se puede obtener para la
carga de salida de la tira en la dirección del eje y
βTW ˆ22
℘
+−= fp
ytt
q (48b)
donde
T2 es una matriz (PxQ,S) cuyos elementos son
2
23231
, )1()1(2
)1()1(2
1−
++
−+
−+−
=p
ctyp
ctyspq a
xsqa
bppea
xsqb
qqeT
µµ, y
β es un vector (S,1) de los coeficientes de forma de la tira
de PVDF en la dirección y.
De las Ecs. (45a) y (48), la carga total propocionada por el sensor
compuesto de las dos tiras será
βT2WαT1W ˆˆ2
℘+℘
+−=+= fp
yxtt
qqq (48c)
Es interesante notar que la matriz ℘ no es cuadrada en general (Nm
no tiene que ser igual a PxQ) por lo que no la hemos eliminado de la
Ec. (49). Como queremos que este sensor proporcione esencialmente
el desplazamiento volúmico, igualando las Ecs. (48c) y (43b), se
obtiene
ΓβT2αT1 ℘=℘+℘
+− ab
tt fp ˆˆ2
(49)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-52-
un sistema de Nm ecuaciones lineales para R+S incógnitas (los
coeficientes rα y sβ ). Existe una solución única cuando R+S=Nm.
Esta condición de unicidad relaciona el número de modos en la banda
de frecuencias de interés con el orden de los polinomios usados para
dar forma a las tiras de PVDF. Polinomios de orden más alto implican
funciones de apertura más complejas. Por eso, cuando el número de
modos incluidos en la banda de interés es muy grande, puede ser
conveniente diseñar sensores con más de una tira en cada dirección.
Es importante resaltar que la Ec. (49) es independiente del tipo,
frecuencia, posición, y amplitud de la excitación de la placa. Charette
et al. (1998) aplicaban este método al diseño de un sensor distribuido
para el desplazamiento volúmico de una placa de (50 cm x 39.8 cm x
3.15 mm), ρ=2800 kg/m3, y E=650 GPa, excitada mediante un par
de actuadores cerámicos de PZT. Para ello disponían de PVDF de 28
µm de espesor, e31=0.046 N/(V m), y e32=0.006 N/(V m), del cual
cortaron dos tiras de µx=µy=1 cm. Para determinar la forma de las
tiras usaron Nm=7 modos y funciones polinómicas de orden R=4 y
S=3. Para resolver el sistema de Ecs. (49) es necesario especificar la
posición de las tiras, xct e yct. Se demostró que la posición del sensor
es muy sensible a estos valores de xct e yct, lo que se podría explicar
en función de la aproximación introducida en el cálulo de las
integrales I1 e I2 ( ctx yxF <<)(ˆµ , cty xyF <<)(ˆµ ).
La Figura 18 muestra la forma de las dos tiras de PVDF a lo largo de
los ejes x e y que componen el sensor resultante, para el caso xct
=0.259 m e yct=0.176 m. La Figura 19 compara el desplazamiento
volúmico medido con este sensor y con vibrometría laser (144
medidas puntuales) cuando se excita la placa con los actuadores
primario y secundario. Hay un buen acuerdo entre ambas medidas,
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-53-
sobre todo a las frecuencias de los modos estructurales. En alta
frecuencia, y a frecuencias intermedias, hay mayor discrepancia,
debido a que hemos usado sólo 7 modos en el cálculo del sensor de
PVDF.
Figura 18. Formas de las tiras de PVDF a lo largo de los ejes x e y para medir el
desplazamiento volúmico de una placa encastrada
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-54-
Figura 19. Comparación entre el desplazamiento volúmico medido con vibrometría
laser y con el sensor de PVDF, cuando la placa es excitada con el actuador primario
(a) y con el secundario (b)
Nótese que los modos (1,2) y (2,1) tienen una contribución
importante al desplazamiento volúmico neto de la placa. Esto
contrasta con lo que podíamos esperar (los modos pares son
simétricos, por lo que no deberían contribuir al desplazamiento
volúmico neto) y podría ser debido a la presencia de los actuadores
y/o a imperfecciones de las condiciones de contorno. En cualquier
caso, este ejemplo demuestra la importancia de diseñar los sensores
a partir de formas modales estructurales determinadas
experimentalmente.
5. DISEÑO DE SENSORES MODALES EN EL DOMINIO DEL NUMERO DEONDA
Sea v(x,y) la velocidad de vibración perpendicular a una placa
delgada, dada por
∑∑= =
=M
m
N
nnmmn yxVyxv
1 1)()(),( ψψ (50)
donde Vmn son las velocidades de vibración modales. Sea V(kx,ky) la
velocidad de vibración vertical transformada al dominio (kx,ky). Pues
bien, la potencia acústica radiada es entonces (Scott y Sommerfeldt,
1997)
−−ℜ=Π ∫∫
≤+ 222222
2
20
),(
8 kkkyx
yx
yx
yx
dkdkkkk
kkVπ
ωρ (51)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-55-
donde ( )0/ ck ω= es el número de onda acústico y 222yxz kkkk −−=
es el número de onda estructural en la dirección del eje z. Vemos
cómo:
• Aquellos modos para los que 22yx kkk +> , dan lugar a una
contribución neta a la potencia acústica radiada. Estos modos se
denominan supersónicos.
• Aquellos modos para los que 22yx kkk +< , dan lugar a una
componente imaginaria pura, y por tanto no contribuyen a la
potencia acústica radiada. Estos modos se denominan
subsónicos.
Así pues, una estrategia CAAE ideal sería aquella que cancelara los
modos supersónicos. La cuestión es cómo diseñar sensores que
seleccionen los modos supersónicos del espectro de velocidades de
una estructura. Al igual que en el diseño en el dominio espacial, se
pueden diseñar sensores puntuales y distribuidos en el dominio
transformado de los números de onda. La diferencia esencial entre
ambas estrategias es que los sensores distribuidos incluyen ya un
filtrado espacial en su función de forma, mientras que los sensores
puntuales requieren un front-end donde implementar dicho filtrado.
Maillard y Fuller (1994ab, 1995) describieron el procedimiento de
diseño de sensores puntuales. La esencia de este método está en la
relación entre componentes del espectro transformado (números de
onda) y ángulos de radiación de la potencia sonora (Fuller y Burdisso,
1991). Una vibración estructural con un determinado número de onda
(kx0 ,ky0) dará lugar a una radiación sonora en la dirección del ángulo
(θ0,φ0). Por consiguiente, un sistema CAAE que cancele la vibración
estructural correspondiente a la componente espectral (kx0, ky0)
cancelará la radiación sonora en la dirección del ángulo (θ0,φ0) sin
necesidad de situar un micrófono en esa dirección en el campo lejano.
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-56-
Maillard y Fuller (1995) aplicaban este principio al diseño de sensores
puntuales para el CAAE de una placa delgada en soporte simple.
Usaban 9 acelerómetros distribuidos en una malla regular sobre la
placa. Las salidas de estos 9 acelerómetros entraban en un DSP
TMS320 C30 de TI, con tres salidas, que implementaba filtros FIR
para la estimación de las componentes de la aceleración en el
dominio transformado, correspondientes a los ángulos –36º, 0º, y
36º. Las salidas de esta caja de filtros eran las entradas de error para
un controlador FX-LMS con tres salidas para tres actuadores PZT. El
controlador se implementaba en otra placa DSP TMS320 C30 de TI.
Los resultados de esta estrategia se comparaban con los de un
sistema CAAE clásico con tres micrófonos de error situados a 1.85 m
de la placa, a –36º, 0º, y 36º. La Figura 20 muestra algunos de los
resultados de este experimento. Como puede deducirse de estos
resultados, la estrategia CAAE con sensores estructurales de campo
próximo proporcionaba esencialmente los mismos resultados que la
estrategia CAAE clásica con sensores acústicos de campo lejano.
Figura 20. Autoespectro del sensor de error a 36 º estructural de campo próximo (a) y
acústico de campo lejano (b) sin (__) y con (--) CAAE. (c) Reducción integrada del SPL
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-57-
entre 10 y 600 Hz usando los sensores acústicos y estructurales (Según Maillard y
Fuller, 1995)
Scott y Sommerfeldt (1997) diseñaron sensores distribuidos de PVDF
para el CAAE en el dominio del número de onda. El fundamento
teórico del diseño en el dominio del número de onda es mucho más
elemental que el diseño en el dominio espacial. Puesto que los modos
radiantes son aquellos para los que su número de onda es menor que
el número de onda acústico (modos supersónicos) se trata de diseñar
una función de forma cuya transformada al dominio del número de
onda sea un filtro paso bajo, con número de onda de corte igual al
número de onda acústico. Scott y Sommerfeldt analizaban el diseño
de sensores de PVDF para el CAAE de una barra encastrada en ambos
extremos. Elegían una función de forma producto de una ventana de
Hamming por una función sinc. La transformada de Fourier de la
función sinc es un filtro paso-bajo. Como es necesario truncar esta
transformada, la transformada de la ventana de Hamming suaviza los
efectos del truncamiento. Es decir
( ) ( )[ ]scs xxksincxxhxF −−=)( (52a)
con
>−<
<≤−
+=
bxax
bxal
xxh p
,0
2cos46.054.0)(π
(52b)
y
xxsinxsinc )()( = (52c)
donde
xs es la posición central del sensor
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-58-
kc es el número de onda de corte
lp es la longitud total del sensor
xs-a y xs+b son las coordenadas de los extremos del
sensor.
El trabajo de Scott y Sommerfeldt, exclusivamente teórico,
comparaba la potencia radiada al campo lejano en la banda (20, 600
Hz) con la estimada a partir de un array de sensores distribuidos de
PVDF, con la forma determinada a partir de las Ecs. (52) y con un
array de 6 acelerómetros equidistribuidos a lo largo de la barra. La
Figura 21 muestra la forma de los sensores distribuidos y la posición
de los acelerómetros, junto con el error de la estimación de la
potencia radiada por ambos métodos.
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-59-
Figura 21. (a) Array de sensores puntuales (acelerómetros) y distribuidos (PVDF) para
la estimación de la potencia radiada al campo lejano. (b) Errores en la estimación de la
potencia de ambos sensores (Según Scott y Sommerfeldt, 1997)
Las desviaciones entre los resultados de ambos sensores y los
teóricos, en la banda entre 20 y 600 Hz, era de –1 a 3 dB para el
caso de los sensores distribuidos y de 36 a 68 dB para el caso de los
sensores puntuales.
6. EJEMPLOS DE CAAE CON SENSORES DISTRIBUIDOS
En la lista de las referencias hay algunos trabajos que presentan
resultados CAAE usando sensores modales. La mayor parte de estos
resultados son numéricos, y muy pocos son experimentales. Entre los
resultados experimentales publicados cabe destacar los de Charette
et al. (1998), que analizaremos con más detalle a continuación. El
sistema experimental, Figura 22, consiste en una placa encastrada
rectangular de aluminio de dimensiones (50 cm x 39.8 cm x 3.15
mm), módulo de Young de 650 Gpa, y densidad 2800 kg m-3.
Pegados a la placa existen dos actuadores cerámicos dobles, uno de
ellos primario y otro secundario, de dimensiones (3,81 cm x 3.18 cm
x 0.19 mm), módulo de Young de 630 Gpa, y densidad 7750 kg m-3.
El sensor de error para la velocidad volúmica consta de dos tiras
perpendiculares de PVDF, cuyo diseño ya ha sido analizado en la
Sección 4.3 (ver Figura 18). Las características de estos sensores son
e31=0.046 N/(V m), e32=0.006 N/(V m), espesor de 28 µm, módulo
de Young de 2 Gpa, y densidad de 1780 kg m-3. Los experimentos se
realizan en una cámara semi-anecoica. Se midieron los SPL en nueve
puntos de una circunferencia a 1.2 m del centro de la placa,
equidistribuidos en el plano x=a/2. Puesto que el método de Charette
et al. es válido para cualesquiera condiciones de contorno, no se usó
un baffle para la placa. Para caracterizar el funcionamiento del
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-60-
sistema CAAE con un solo número, se calculó el SPL promedio en el
plano x=a/2, definido por
=∑=
Pa
sinRpc
R
SPL iii
µ
θθρπ
20
),(9
log10
9
1
2
00
2
(53)
donde R es el radio de la circunferencia donde se encuentran los
micrófonos (en este caso 1.2 m).
Figura 22. Vistas frontal (a) y trasera (b) de la placa analizada por Charette et al.
(1998)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-61-
También se usó un sistema de vibrometría láser para medir el
desplazamiento de la placa en una malla de (12x12) puntos, antes y
después de aplicar el sistema CAAE. Uno de los actuadores se
excitaba con una señal armónica, y se trataba de cancelar la radiación
con el actuador secundario, usando el algoritmo FX-LMS. El voltaje
pico-a-pico aplicado a ambos actuadores variaba entre 80-120 V.
Figura 23. Resultados del CAAE a 125 Hz (frecuencia forzada) (Según Charette et al.,
1998)
P. Cobo Sensores modales para el CAAE_____________________________________________________________
-62-
La Figura 23 muestra los resultados a 125 Hz, una frecuencia alejada
de cualquier frecuencia modal de la placa. Como podemos ver en la
Figura 23a, la placa vibra como un monopolo antes de aplicar el
CAAE, con un máximo alrededor de la posición del actuador primario.
El sistema CAAE fuerza a la placa a vibrar como un dipolo, con una
eficiencia de radiación menor, lo que acarrea una cancelación como la
que se muestra en la Figura 23b. La reducción promedio a esta
frecuencia es de 16 dB. Esta reducción es conseguida como
consecuencia de la reestructuración modal (paso de la vibración
monopolar a la dipolar) y no afecta apenas a los niveles de vibración
de la placa.
La Figura 24 muestra los resultados a la frecuencia del primer modo
(1,1), 140 Hz.
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Figura 24. Resultados del CAAE a 140 Hz (modo (1,1)) (Según Charette et al., 1998)
Como apreciamos en la Figura 24a, el desplazamiento de la placa
antes de aplicar el sistema de control corresponde al del modo (1,1)
con un máximo en el centro de la placa. También se trata de un modo
monopolar. De nuevo, el sistema CAAE fuerza a la placa a vibrar
cómo un dipolo, pero en este caso se reducen los niveles de vibración
además de la radiación de sonido al campo lejano. La Figura 24b
muestra la reducción conseguida en el plano de medida. La reducción
global, calculada de acuerdo a la Ec. (53) es ahora de 40 dB.
La Figura 25 muestra los resultados a la frecuencia del modo (1,2),
320 Hz.
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Figura 25. Resultados del CAAE a 320 Hz (modo (1,2)) (Según Charette et al., 1998)
En este caso, la forma del desplazamiento de la placa antes y
después del CAAE, Figura 25a, es prácticamente el mismo. Los
niveles de vibración, sin embargo, se reducen considerablemente
después de aplicar el CAAE. Por tanto, los 14 dB de reducción
promedio en este caso, son debidos enteramente a la reducción de
los niveles de vibración.
7. RESUMEN Y CONCLUSIONES
Un sistema CAR usa micrófonos como sensores de error y altavoces
como actuadores. Como sensores de referencia se pueden usar
micrófonos, acelerómetros, tacómetros,... Además del controlador, un
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sistema CAR requiere también acondicionadores de señal para los
sensores (preamplificadores) y amplificadores para los altavoces.
El punto más débil de un sistema CAR son los altavoces. Los
altavoces convencionales tienen un problema de durabilidad cuando
han de generar niveles altos de presión sonora, o en ambientes
hostiles, como puede ser el tubo de escape de motores. En medios de
transporte, como coches y aviones, donde el CAR tiene grandes
posibilidades de producir una mejora acústica importante sin
incrementar el peso, hay poco espacio disponible para ubicar los
altavoces necesarios para generar los niveles requeridos en baja
frecuencia. A principios de los 90, en un intento por superar estos
problemas, surge el CAAE. En primera instancia, los sistemas CAAE
usan actuadores cerámicos pegados sobre la estructura y micrófonos
de error. Por tanto, se puede aprovechar esencialmente toda la
electrónica usada en el CAR. Si acaso, será necesario cambiar un
amplificador de audio por uno de impedancia de entrada alta. O
alternativamente, se puede intercalar un transformador de
impedancias entre el amplificador de audio y las cerámicas
piezoeléctricas.
Existe la creencia generalizada de que el CAR/CAAE tiene su
aplicación natural en la industria aeronautica. Por consiguiente, el
siguiente paso en el CAAE fue integrar tanto los sensores como los
actuadores en el propio fuselaje del avión. Es decir, se trataría de
elaborar sistemas CAAE sobre materiales inteligentes. Surgió así la
necesidad de sustituir los sensores acústicos de campo lejano, por
sensores estructurales de campo próximo. Pero los sensores
estructurales miden esencialmente vibraciones, cuando el sistema
CAAE trata de cancelar sonido radiado. Afortunadamente, existe una
relación entre la vibración de una estructura y la radiación de sonido
al campo lejano, a través de la función impedancia.
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En baja frecuencia se puede aplicar la formulación modal. Esta
formulación permite obtener el desplazamiento vertical, la velocidad o
la aceleración de la estructura, en términos de modos normales. Cada
modo normal se caracteriza por una frecuencia modal y una amplitud
modal. La integral de Rayleigh permite calcular la potencia radiada al
campo lejano a partir del conocimiento de la velocidad estructural. O
también se puede usar una formulación de campo próximo, que
relaciona la presión acústica y la velocidad de vibración en términos
de la impedancia (o de la admitancia). Pero los modos estructurales
radian sonido de manera acoplada. Esto quiere decir que a la
radiación del modo i-ésimo contribuye la vibración del modo i-ésimo,
pero también la del modo j-ésimo. Por tanto, si uno diseña un
sistema CAAE con sensores estructurales para unos determinados
modos estructurales, no existe la garantía de que se cancelará el
sonido radiado. Para cancelar el ruido radiado habría que cancelar
todos los modos estructurales, para lo cual se requeriría un sistema
CAAE con un número muy grande de entradas de error. Los cálculos
necesarios para un sistema CAAE tal en tiempo real, excederían
seguramente los de cualquier DSP.
Pero la matriz de impedancia que relaciona las variables estructurales
con la potencia radiada se puede descomponer en valores y vectores
propios. Lo importante de esta descomposición es que da lugar a
modos desacoplados. Cada uno de estos modos desacoplados,
denominados modos radiantes, radia sonido independientemente.
Además, la eficiencia de radiación de los primeros pocos modos es
mucho mayor que la del resto. Así pues, una estrategia CAAE ideal
sería aquella que usase sensores estructurales para medir los
primeros modos radiantes de una estructura, y actuadores cerámicos
para cancelarlos. Surge así la necesidad de diseñar sensores para los
modos radiantes de una estructura.
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Se pueden diseñar sensores modales en el dominio espacial, o en el
dominio transformado del número de onda. En ambos dominios, los
sensores pueden ser puntuales o distribuidos. En los sensores
puntuales, el filtrado modal hay que implementarlo en un front-end
intercalado entre los sensores y el controlador (además de los
preamplificadores). El front-end convierte las señales de Ns sensores
en Ne señales de error, con Ne<Ns. En el dominio espacial, el
procesado de señal necesario incluye un filtrado paso-alto
dependiente de la frecuencia. En el dominio transformado, el
procesado consiste en filtros FIR que implementan transformadas de
Fourier.
Los sensores distribuidos se suelen construir de PVDF, por lo que se
les puede dar una determinada forma. De hecho, la forma de los
sensores se puede calcular de tal manera que midan directamente los
modos radiantes. Por consiguiente, los sensores distribuidos
incoropran ya en su forma el filtrado modal. En el dominio
transfornado, la función de forma es un simple filtro paso-bajo. Esto
es debido a que sólo los modos con número de onda estructural
menor o igual que el número de onda acústico contribuyen a la
radiación al campo lejano (modos supersónicos). El número de onda
de corte del filtro paso-bajo de la función de forma ha de ser igual al
número de onda acústico a la frecuencia de interés.
En el dominio espacial, el diseño de los sensores distribuidos para los
modos radiantes es más complejo. Hemos analizado dos líneas de
investigación en este campo. Ambas requieren el conocimiento previo
de los modos estructurales. La primera, en la que han trabajado
fundamentalmente Tanaka y Snyder, se iguala la salida del sensor
modal a los modos radiantes que deseemos medir. La aplicación de
este método requiere condiciones de contorno “pinned”, en las que al
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menos dos bordes de la estructura han de estar en soporte simple. La
segunda, trata de aprovechar el hecho de que el primer modo
radiante, el de mayor eficiencia de radiación, es un modo volúmico.
En esta línea, la estrategia de control es reducir directamente la
velocidad volúmica (o el desplazamiento volúmico en problemas
armónicos) de la estructura. Por tanto, se trata de diseñar
directamente un sensor distribuido cuya salida sea proporcional a la
velocidad volúmica de la estructura. Esta idea, lanzada por primera
vez por Johnson y Elliott, es usada más recientemente por Charette
para diseñar un sensor que consiste en dos tiras finas de PVDF,
perpendiculares entre sí. La gran ventaja de este diseño es que parte
de modos estructurales medidos experimentalmente, y es válido, por
tanto, para condiciones de contorno cualesquiera. La validez de este
diseño es para frecuencias bajas, donde la eficiencia de radiación del
primer modo radiante excede ampliamente la del resto de modos
radiantes.
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AGRADECIMIENTOS
Este trabajo ha sido posible gracias a la financiación de la CICYT, a
través del Proyecto AMB99-1095-C02-01
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APENDICE A: MODOS ESTRUCTURALES vs. MODOS RADIANTES
En este Informe hemos usado dos tipos de modos radiantes, unos
definidos por Johnson y Elliott, que se obtienen depués de dividir la
superficie en un determinado número de radiadores elementales, y
otros definidos por Snyder y Tanaka, que se obtienen después de
considerar una superficie que vibra según un patrón determinado por
los modos estructurales. Veamos la conexión entre ellos.
En la Sección 2 hemos visto que si dividimos la superficie radiante en
d radiadores elementales, construimos un vector v, con las
velocidades de vibración complejas de cada uno de los radiadores
resultantes, y un vector p, con las presiones enfrente de cada uno de
estos radiadores (formulación de campo próximo), existe la siguiente
relación entre ambos
Zvp = (A.1)
donde Z es la matriz de transferencia de impedancia, que relaciona la
presión de cada uno de los elementos radiantes con la velocidad de
vibración de cada uno de los elementos radiantes. Hemos visto
también que la potencia acústica radiada es
RvvZvvpv HHH SS =ℜ
=ℜ
=Π
22(A.2)
donde R es la matriz de transferencia de resistencia. Ahora, cómo la
matriz R es real, simétrica, y definida positiva, la podíamos
descomponer en vectores y valores propios
ΛQQR T= (A.3)
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donde Q era una matriz unitaria de vectores propios de R, y ΛΛΛΛ es una
matriz diagonal de valores propios de R. La potencia radiada será
entonces
∑=
===Πd
iii y
1
2λΛyyΛQvQv HTH (A.4)
donde
y=Qv. (A.5)
De esta manera, la potencia radiada resulta de la contribución de una
serie de sumandos, cada uno de ellos siendo el producto de la
amplitud al cuadrado del vector yi por el valor propio correspondiente.
Podemos denominar, por tanto, a cada uno de estos sumandos un
modo de potencia acústica, o un modo radiante. La amplitud de cada
modo radiante es yi. Los valores propios son reales y positivos, y
representan las eficiencias de radiación de los modos radiantes. Los
vectores propios, filas de la matriz Q, son las formas de los modos
radiantes. Lo importante de esta formulación, seguida por Elliott y
Johnson, es que los modos de potencia radian sonido
independientemente.
Nótese que en la formulación de campo próximo no es necesario usar
la descomposición de la velocidad de vibración en modos
estructurales. Sin embargo, Snyder y Tanaka diseñan sus sensores
distribuidos igualando la salida del sensor a la amplitud del modo
radiante j-ésimo, en términos de amplitudes modales estructurales.
Veamos cómo se hace esto. Partimos de la descomposición modal de
la velocidad de vibración en formulación matricial
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ΨVv = (A.6)
donde v es un vector de velocidades en los P puntos de medida, ΨΨΨΨ es
una matriz cuyos elementos son los valores de los modos normales
en los puntos de medida, y V es un vector de amplitudes modales de
los modos normales. Si sustituimos la Ec. (A.6) dentro de la Ec. (A.2)
MVVRΨΨVRvv HHHH ===Π V (A.7)
donde RΨΨM H= es la matriz de resistencia de radiación modal. Los
elementos diagonales de esta matriz representan las resistencias de
auto-radiación de cada uno de los modos estructurales. Los
elementos no diagonales de esta matriz representan las resistencias
de radiación mutua entre cada par de modos estructurales. Ahora,
como esta matriz también es real, simétrica, y definida positiva, se
puede descomponer en vectores y valores propios
ΩΘΘM T= (A.8)
donde ΘΘΘΘ es la matriz unitaria de vectores propios y Ω es la matriz
diagonal de valores propios. Y sustituyendo la Ec. (A.8) dentro de la
Ec. (A.7)
∑=Ω====Π
mN
nnn b
1
2ΩbbΩΘVΘVMVV HTHH (A.9)
donde
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ΘVb = (A.10)
Así pues, en esta formulación, la potencia acústica radiada se obtiene
como una suma de términos, cada uno de los cuales es el producto
de la amplitud al cuadrado de bn por el correspondiente valor propio.
Cada uno de estos términos es, por tanto, también un modo de
potencia acústica, o un modo radiante. Cada uno de estos modos
radiantes tiene una forma dada por Θn, una amplitud dada por bn, y
una eficiencia de radiación dada por Ω n. Aunque los vectores y
valores propios de R y de M son distintos, el resultado final, es decir,
la potencia acústica radiada, ha de ser la misma. La primera
formulación, Ec. (A.4) tiene la ventaja de que las amplitudes de los
modos radiantes se obtienen a partir de velocidades de vibración, que
se puede medir directamente, mientras que en la segunda
formulación se usan las amplitudes de velocidad de vibración
modales, que no se miden directamente. Además, la primera
formulación es más general puesto que separa completamente la
dinámica de movimiento de la superficie de su radiación sonora.