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PROYECTO PARCIAL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
ANALISIS DINAMICO DE UNA ESTRUCTURA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
PRESENTADO POR
LUIS CARLOS HERNANDEZ CÒDIGO: 215103
KEVIN DANIEL USECHE CÒDIGO: 215168
ING. MARITZABEL MOLINA HERRERA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL
ANALISIS ESTRUCTURAL APLICADO
BOGOTA D.C.
2013-01
1. MATRICES DE RIGIDEZ, MODOS DE LA ESTRUCTURA Y FUERZAS DE RIGIDEZ
Para la determinación de los modos de vibración de la estructura, se contara con el apoyo del
software ingenieril SAP2000 con el fin de calcular, con el procedimiento visto en clase, las matrices
de rigidez en el sentido X y en el sentido Y de la estructura.
Para la obtención de estas matrices se procede a modelar cada pórtico por aparte en X y en Y con
el fin de sacar una matriz por cada uno y consecuentemente, ensamblarlas en una sola y definitiva.
MATRIZ SENTIDO X
A. Montaje de cada pórtico en el software de SAP2000 tomando como referencia el material
concreto de 3000 psi.
Pórtico AD
Figura 1. Secciones pórtico AD
Pórtico BC
Figura 2. Secciones pórtico BC
B. Se carga uno de los niveles del pórtico con una carga de rigidez de 1000 kN mientras que los
niveles no cargados se restringen con apoyos de segundo género
Figura 3. Esquema carga para determinación matrices de rigidez
C. Se selecciona el caso de carga rigidez para correr la simulación en SAP2000 y se mide el Δ
promedio del piso libre (promedio de los x nodos del piso desplazado) y se anotan las reacciones
en cada piso restringido en el sentido X o Y según corresponda, para efecto de las reacciones se
tomaran reacciones a la derecha positivas y reacciones a la derecha negativas.
Figura 4. Esquema de desplazamientos de simulación
Figura 5. Esquema de reacciones de la simulación
Se realiza este procedimiento para cada pórtico que compone la estructura en dirección x.
Pórtico AD
PISO 1 LIBRE
P 1000
Δ prom 0.002375
X2 -510,86
X3 2,76
PISO 2 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,003125
X1 -664,77
X3 -384,76
PISO 3 LIBRE
P 1000
Δ prom 0.002375
X1 -1036,77
X2 3,09
Tabla 1. Datos pórtico AD
Pórtico BC
PISO 1 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,003475
X2 -510,86
X3 0,8
PISO 2 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,004375
X1 -618,03
X3 -403,363
PISO 3 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,016
X1 -5,43
X2 -1032,13
Tabla 2. Datos pórtico BC
Luego se calculó la matriz de rigidez de la forma:
Dónde:
J es la rigidez del nivel j
Xi es la reacción del nivel i debido a la carga en el nivel j
P es la carga aplicada en el nivel j
Y se tiene la siguiente matriz de rigidez de cada pórtico
[
]
Y obtenemos las siguientes matrices de rigidez:
[
]
[
]
Ahora se suman dos veces cada matriz para obtener la matriz de rigidez en el sentido x, ya que hay
dos pórticos AD y dos pórticos BC
[
]
MATRIZ SENTIDO Y
Para la matriz en el sentido Y tomamos los siguientes pórticos:
Pórtico 1
Figura 6.Secciones pórtico 1
Pórtico 2
Figura 7. Secciones pórtico 2
Pórtico 3
Figura 8. Secciones pórtico 3
Pórtico 4
Figura 9. Secciones pórtico 4
Luego se sigue el mismo procedimiento que con X y se obtiene:
Pórtico 1
PISO 1 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,00325
X2 -561,42
X3 19,19
PISO 2 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,003675
X1 -616,11
X3 -415,59
PISO 3 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,01035
X1 60,06
X2 -1073,94 Tabla 3. Datos pórtico1
[
]
Pórtico 2
PISO 1 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,0022
X2 -558,93
X3 20,66
PISO 2 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,0026
X1 -637,19
X3 -393,52
PISO 3 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,00775
X1 75,15
X2 -1088,76
Tabla 4. Datos Pórtico 2
[
]
Pórtico 3
PISO 1 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,001975
X2 -559,61
X3 28,07
PISO 2 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,00235
X1 -647,39
X3 -398,39
PISO 3 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,0071
X1 110,68
X2 -1119,79
Tabla 5. Datos pórtico 3
[
]
Pórtico 4
PISO 1 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,00335
X2 -547,61
PISO 2 LIBRE
P 1000
Δ prom 0,00725
X1 -1086,99
Tabla 6. Datos pórtico 4
[
]
Ahora se suma una vez cada matriz de las anteriores (una por cada pórtico) y se obtiene la matriz
global de Rigidez de Y
[
]
Y también podemos obtener la matriz de masa sabiendo el peso por cada nivel y su área como
sigue:
[
]
Ya con esta matriz y las matrices de rigidez, podemos plantear la ecuación para la obtención de los
modos fundamentales de la estructura como:
[ ] [ ]
Resolviendo el sistema1, y obteniendo el determinante de esta matriz, podemos obtener los Wn2
para cada sentido, X y Y.
Wn en X
Wn1 23.07986135
Wn2 63.0222183
Wn3 91.54091981
Tabla 7. Wn para x
Wn en Y
Wn1 25,5917956
Wn2 66,2486981
Wn3 98,2311051
Tabla 8. Wn para y
Y con estos Wn podemos obtener la matriz de modos, tomando como el fundamental al que posee
la menor frecuencia y obtenemos:
Фx
2,77954903 -1,783138221 0,596873546
1,79912956 0,592025546 -0,940045346
1 1 1
1 Procedimiento disponible en el anexo 1
Tabla 9. Matriz de modos x
Фy
2,46996093 -2,022216431 0,710983535
1,76627948 0,487148192 -0,975692552
1 1 1
Tabla 10. Matriz de modo y
Para el cálculo de las fuerzas que nos pueden generar este desplazamiento, se procederán a
evaluar las fuerzas de rigidez de la estructura multiplicanda la matriz de rigidez en cada sentido
por el vector del modo fundamental de la estructura y obtenemos:
SENTIDO X
[
] [
] [
]
SENTIDO Y
[
] [
] [
]
2. CARGA SÚBITA SIN AMORTIGUAMIENTO2
Si el tercer nivel tiene una carga súbita de 100KN haga un análisis de los desplazamientos
en los tres niveles de la estructura sin amortiguación, teniendo en cuenta que los
desplazamientos y las velocidades iniciales para todos los niveles son nulos. Esto en el
sentido x y en el sentido y.
Al ser un sistema con una carga externa actuando en él, se tienen dos soluciones, una homogénea
y una particular. La suma de estas dos soluciones nos da como resultado una función para el
desplazamiento de cada piso.
SENTIDO X
Para el sentido X obtenemos las siguientes expresiones:
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
SENTIDO Y
Para el sentido Y obtenemos las siguientes expresiones:
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
( ( ) )
2 Procedimiento disponible en el anexo 2
Para comparar los anteriores resultados realizaremos un análisis de los desplazamientos máximos
realizando la gráfica correspondiente a cada movimiento.
Grafica 1. Carga súbita sin amortiguamiento en x
Grafica 2. Carga súbita sin amortiguamiento en y
Como se puede observar en las dos gráficas, vemos que el desplazamiento máximo del piso 3 en x
esta alrededor de 1.5 mm y el desplazamiento máximo del piso 3 en y está alrededor de 1.3 mm
En ambos casos podemos observar que los comportamientos presentan concordancia en sus
movimientos.
3. CARGA SÚBITA CON AMORTIGUAMIENTO3
Si el tercer nivel tiene una carga súbita de 100KN haga un análisis de los desplazamientos
en los tres niveles de las estructuras con amortiguación de 5%, teniendo en cuenta que los
desplazamientos y las velocidades iniciales para todos los niveles son nulos. Esto en el
sentido x y en sentido y.
Al ser un sistema con una carga externa actuando en él, se tienen dos soluciones, una homogénea
y una particular. La suma de estas dos soluciones nos da como resultado una función para el
desplazamiento de cada piso. La estructura ahora posee un amortiguamiento de 5%.
SENTIDO X
Para el sentido X obtenemos las siguientes expresiones:
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) ) )
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) ) )
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) ) )
SENTIDO Y
Para el sentido Y obtenemos las siguientes expresiones:
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) ) )
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) ) )
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) )
(( ( ) ( )) ) )
3 Procedimiento disponible en el anexo 3
Para comparar los anteriores resultados realizaremos un análisis de los desplazamientos máximos
realizando la gráfica correspondiente a cada movimiento.
Grafica 3. Carga súbita con amortiguamiento en x
Grafica 4. Carga súbita con amortiguamiento en y
Como se puede observar en las dos gráficas, vemos que el desplazamiento máximo del piso 3 en x
esta alrededor de 1.6 mm y el desplazamiento máximo del piso 3 en y está alrededor de 1.2 mm.
También se puede ver que la estructura en su último nivel, quedara desfasada de su posición
inicial con el tiempo cierta distancia, en el sentido X este desfase máximo será de 0.9 mm al igual
que en el eje Y.
En ambos casos podemos observar que los comportamientos presentan concordancia en sus
movimientos.
4. CARGA ARMÓNICA SINUSOIDAL SIN AMORTIGUAMIENTO4
Si el tercer nivel tiene una carga de 100Sen(Ωt)KN haga un análisis de los tres niveles de la
estructura sin amortiguación, teniendo en cuenta que los desplazamientos y las
velocidades iniciales para todos los niveles son nulos. Esto en el sentido x con Ω=Wn1,
Ω=Wn2, Ω=Wn3, Ω=50 rad/seg.
Al ser un sistema con una carga externa armónica actuando en él, se tienen dos soluciones, una
homogénea y una particular. La suma de estas dos soluciones nos da como resultado una función
para el desplazamiento de cada piso. La estructura no tiene amortiguamiento y se analizara
cambiando el valor de Ω.
Para el sistema en general se obtiene la siguiente expresión:
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
Dónde:
( )
( )
( )
Y los factores B3 B2 y B1 se sacan del siguiente sistema:
[
] [ ] [
]
( )
( )
( )
4 Procedimiento disponible en el anexo 4
PARA Ω = Wn1
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de resonancia que observamos a
continuación
Grafica 5. Carga sinusoidal sin amortiguamiento para Ω=Wn1
PARA Ω = Wn2
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de resonancia que observamos a
continuación
Grafica 6. Carga sinusoidal sin amortiguamiento para Ω=Wn2
PARA Ω = Wn3
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de resonancia que observamos a
continuación
Grafica 7. Carga sinusoidal sin amortiguamiento para Ω=Wn3
PARA Ω = 50 rad/seg
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de resonancia que observamos a
continuación
Grafica 8. Carga sinusoidal sin amortiguamiento para Ω=50rad/seg
Como se puede observar en las cuatro gráficas, tomando como referencia el t=1, el
desplazamiento máximo del piso 3 en Ω=Wn1 está alrededor de 10 mm, en Ω=Wn2 está alrededor
de 0.6 mm, en Ω=Wn3 está alrededor de 0.5 mm y el en Ω=50 rad/seg está alrededor de 0.8 mm.
Solo en el primer caso vemos la concordancia, en los otros casos vemos que no se da tan
claramente la concordancia sino que los efectos tienden a ser discordantes.
5. CARGA ARMÓNICA SINUSOIDAL CON AMORTIGUAMIENTO5
Si el tercer nivel tiene una carga de 100Sen(Ωt)KN haga un análisis de los desplazamientos
en los tres niveles de la estructura con amortiguación de 5%, teniendo en cuenta que los
desplazamientos y las velocidades iniciales para todos los niveles son nulos. Esto en el
sentido x con Ω=Wn1, Ω=Wn2, Ω=Wn3, Ω=50 rad/seg.
Al ser un sistema con una carga externa armónica actuando en él, se tienen dos soluciones, una
homogénea y una particular. La suma de estas dos soluciones nos da como resultado una función
para el desplazamiento de cada piso. La estructura tiene amortiguamiento y se analizara
cambiando el valor de Ω.
Para el sistema en general se obtiene la siguiente expresión:
(( ( ) ( )) ( ))
(( ( ) ( )) ( ))
( ( ) ( )) ( )
(( ( ) ( )) ( ))
(( ( ) ( )) ( ))
( ( ) ( )) ( )
(( ( ) ( )) ( ))
(( ( ) ( )) ( ))
( ( ) ( )) ( )
Dónde:
√( ) ( )
√( ) ( )
√( ) ( )
Y los factores A3 A2 y A1 se sacan del siguiente sistema:
[
] [ ] [
]
5 Procedimiento disponible en el anexo 5
( ( ) ( ) ( ))
( ( ) ( ) ( ))
( ( ) ( ) ( ))
Y los factores B3 B2 y B1 se sacan del siguiente sistema:
[
] [ ] [
]
( ) ( ) (
)
( ) ( ) (
)
( ) ( ) ( )
PARA Ω = Wn1
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de vibración que observamos a continuación
Grafica 9. Carga sinusoidal con amortiguamiento para Ω=wn1
PARA Ω = Wn2
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de vibración que observamos a continuación
Grafica 10. Carga sinusoidal con amortiguamiento para Ω=wn2
PARA Ω = Wn3
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de vibración que observamos a continuación
Grafica 11. Carga sinusoidal con amortiguamiento para Ω=wn3
PARA Ω = 50 rad/seg
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de vibración que observamos a continuación
Grafica 12. Carga sinusoidal con amortiguamiento para Ω=50 rad/seg
Como se puede observar en las cuatro gráficas, tomando como referencia el t=1, el
desplazamiento máximo del piso 3 en Ω=Wn1 está alrededor de 1.2 mm, en Ω=Wn2 está
alrededor de 0.4 mm, en Ω=Wn3 está alrededor de 0.5 mm y el en Ω=50 rad/seg está alrededor de
2.5 mm. En cuanto al comportamiento de la estructura al infinito se estabiliza en valores cercanos
a 0.5 mm.
En todos los casos podemos ver la concordancia de los movimientos de los pisos.
6. CARGA ARMÓNICA COSENOIDAL SIN AMORTIGUAMIENTO6
Si el tercer nivel tiene una carga de 100Cos(Ωt)KN haga un análisis de los tres niveles de la
estructura sin amortiguación, teniendo en cuenta que los desplazamientos y las
velocidades iniciales para todos los niveles son nulos. Esto en el sentido x con Ω=Wn1,
Ω=Wn2, Ω=Wn3, Ω=50 rad/seg.
Al ser un sistema con una carga externa armónica actuando en él, se tienen dos soluciones, una
homogénea y una particular. La suma de estas dos soluciones nos da como resultado una función
para el desplazamiento de cada piso. La estructura no tiene amortiguamiento y se analizara
cambiando el valor de Ω.
Para el sistema en general se obtiene la siguiente expresión:
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
Dónde:
( )
( )
( )
Y los factores A3 A2 y A1 se sacan del siguiente sistema:
[
] [ ] [
]
( )
( )
6 Procedimiento disponible en el anexo 6
( )
PARA Ω = Wn1
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de resonancia que observamos a
continuación
Grafica 13. Carga cosenoidal sin amortiguamiento para Ω=wn1
PARA Ω = Wn2
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de resonancia que observamos a
continuación
Grafica 14. Carga cosenoidal sin amortiguamiento para Ω=wn2
PARA Ω = Wn3
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de resonancia que observamos a
continuación
Grafica 15. Carga cosenoidal sin amortiguamiento para Ω=wn3
PARA Ω = 50 rad/seg
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de resonancia que observamos a
continuación
Grafica 16. Carga cosenoidal sin amortiguamiento para Ω=50 rad/seg
Como se puede observar en las cuatro gráficas, tomando como referencia el t = 1, el
desplazamiento máximo del piso 3 en Ω=Wn1 está alrededor de 80 mm, en Ω=Wn2 está alrededor
de 4 mm, en Ω=Wn3 está alrededor de 0.5 mm y el en Ω=50 rad/seg está alrededor de 0.7 mm.
Solo en el primer caso vemos la concordancia producida por el modo fundamental, en los otros
casos vemos que no se da tan claramente la concordancia sino que los efectos tienden a ser
discordantes.
7. CARGA ARMÓNICA COSENOIDAL CON AMORTIGUAMIENTO7
Si el tercer nivel tiene una carga de 100Cos(Ωt)KN haga un análisis de los desplazamientos
en los tres niveles de la estructura con amortiguación de 5%, teniendo en cuenta que los
desplazamientos y las velocidades iniciales para todos los niveles son nulos. Esto en el
sentido x con Ω=Wn1, Ω=Wn2, Ω=Wn3, Ω=50 rad/seg.
Al ser un sistema con una carga externa armónica actuando en él, se tienen dos soluciones, una
homogénea y una particular. La suma de estas dos soluciones nos da como resultado una función
para el desplazamiento de cada piso. La estructura tiene amortiguamiento y se analizara
cambiando el valor de Ω.
Para el sistema en general se obtiene la siguiente expresión:
(( ( ) ( )) ( ))
(( ( ) ( )) ( ))
( ( ) ( )) ( )
(( ( ) ( )) ( ))
(( ( ) ( )) ( ))
( ( ) ( )) ( )
(( ( ) ( )) ( ))
(( ( ) ( )) ( ))
( ( ) ( )) ( )
Dónde:
√( ) ( )
√( ) ( )
√( ) ( )
Y los factores A3 A2 y A1 se sacan del siguiente sistema:
[
] [ ] [
]
7 Procedimiento disponible en el anexo 7
( ( ) ( ) ( ))
( ( ) ( ) ( ))
( ( ) ( ) ( ))
Y los factores B3 B2 y B1 se sacan del siguiente sistema:
[
] [ ] [
]
( ) ( ) (
)
( ) ( ) (
)
( ) ( ) ( )
PARA Ω = Wn1
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de vibración que observamos a continuación
Grafica 17. Carga cosenoidal con amortiguamiento para Ω=wn1
PARA Ω = Wn2
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de vibración que observamos a continuación
Grafica 18. Carga cosenoidal con amortiguamiento para Ω=wn2
PARA Ω = Wn3
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de vibración que observamos a continuación
Grafica 19. Carga cosenoidal con amortiguamiento para Ω=wn3
PARA Ω = 50 rad/seg
Para este valor de Ω podemos observar un fenómeno de vibración que observamos a continuación
Grafica 20. Carga cosenoidal con amortiguamiento para Ω=50 rad/seg
Como se puede observar en las cuatro gráficas, tomando como referencia el t=1, el
desplazamiento máximo del piso 3 en Ω=Wn1 está alrededor de 2 mm, en Ω=Wn2 está alrededor
de 0.48 mm, en Ω=Wn3 está alrededor de 0.21 mm y el en Ω=50 rad/seg está alrededor de 0.29
mm.
8. COMPARACIÓN DE LOS CASOS DE CARGA DINÁMICA
¿Qué diferencias hay en el comportamiento de la estructura?
El comportamiento más extremo viene dado por aquellos en los que se cumple que Ω=Wn1 y se
dan en el caso de las estructuras que no poseen amortiguación, como el caso 4 y 5 de carga.
En algunos casos, como el caso 5 cuando Ω=Wn3 vemos que no siempre el peor efecto en la
estructura viene dado por el modo fundamental, ya que es más dañino para la estructura la
cantidad de oscilaciones debidas al Wn3 que las debidas al Wn1, esto por su periodo de oscilación
en la estructura.
b. ¿La amortiguación que contribución hace en el comportamiento de la estructura para
los casos analizados?
La amortiguación es la encargada de la reducción rápida de las oscilaciones, es un factor
determinante en estas ya que el incremento o decremento de las oscilaciones viene dado por la
parte exponencial de la ecuación y a medida que el ξ aumente, el decremento de la gráfica será
más fuerte, y si el ξ disminuye ocurre lo contrario.
c. ¿Cuál es la contribución de cada modo de vibración en cada caso?
El modo de vibración va a ser vital en cada caso para para determinar la magnitud de los
desplazamientos que ocurren en cada nivel de la estructura, de manera que los desplazamientos
van a ser mayores o menores dependiendo del modo de vibración predominante, siendo más
críticos los desplazamientos asociados al modo de vibración fundamental de la estructura.
Los modos de vibración también nos indican en qué dirección ocurren los desplazamientos, siendo
de mayor interés para nosotros, la dirección en la ocurren los desplazamientos máximos. Cada
modo vibración implica una forma diferente en que la estructura va a vibrar, resultando ser más
importante para nuestro análisis la forma relacionada con el modo fundamental de vibración.
d. ¿Cómo acoplaría el análisis dinámico en las dos direcciones de la estructura para
estudiar el efecto más crítico?
I) Se podría acoplar el análisis desde un principio planteando matrices de masa y de rigidez
similares a las del análisis matricial de estructural que nos permitan incluir los dos de libertad de la
estructura y de esta forma pasar de resolver un sistema
( )
A un sistema
( )
Y a partir de este, comenzar a desarrollar las ecuaciones para sistemas de cada tipo y de esta
forma sacar expresiones de desplazamiento para X y Y en un solo proceso.
II) Graficaría la respuesta dinámica en X y en Y del edificio en un mismo plano coordenado para así
tomar la envolvente de estos desplazamientos y tomar esta como el comportamiento más crítico
de la estructura para poder luego, proceder al diseño de la estructura en sí.
III) Tomaría las respuestas en X y en Y, las combinaría de tal forma de obtener el valor y la
dirección del desplazamiento de cada respectivo grado de libertad y luego buscaría la forma de
llevarlos todos a un mismo plano por medio de matrices, para así poder analizarlos a todos en una
magnitud equivalente para todos y poder dar una respuesta general del sistema.